Pertti Koivisto. Analyysi C

Transkriptio

1 Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28

2 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi C ISBN (pdf) ISSN-L ISSN

3 Anlyysi C Epäoleellinen integrli j srjt Pertti Koivisto Joulukuu 28

4 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi C. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist, hrjoitustehtävien rtkisemist j tenttiin vlmistutumist. Moniste sisältää melko kttvsti kurssill käsiteltävät sit, mutt pikoitellen lisäselitykset j mhdollinen lisämterili helpottnevt tekstin seurmist j esitettyjen sioiden ymmärtämistä. Moniste ei vrsinisesti ole trkoitettu kttvksi itseopiskelupketiksi. Monisteen rkenne j sisältö pohjutuvt suurelt osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen ikoinn Tmpereen yliopistoss pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verrn muokttu kevyempään suuntn j myös rkenteess on tehty muutoksi. Kurssin menestyksellinen seurminen edellyttää Tmpereen yliopiston opintojksoill Anlyysi A j Anlyysi B (j niiden esitietoin olevill opintojksoill) esitettyjen sioiden hyvää hllint. Jos kurssill trvittvt esitiedot ovt päässeet unohtumn ti niiden hllinnss on muust syystä puutteit, myös esitietojen kertmiseen pitää vrt riittävästi ik (kurssin Anlyysi C seurmisen ohess). Kosk moniste on suor jtko kurssien Anlyysi A j B vstville monisteille, mtemtiikn opiskelun luonnett koskevien huomutusten oslt näissä lkusnoiss tyydytään viittmn kurssin Anlyysi A monisteen lkusnoihin. Lopuksi esitän kiitokset kikille, jotk ovt kommenteilln, ehdotuksilln j neuvoilln uttneet minu tämän monisteen teoss. Pertti Koivisto

5 Sisältö Esitietoj 2 Epäoleellinen integrli 2 2. Integrlin suppeneminen Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Itseinen suppeneminen Integrointi yli äärettömän välin Srjteorin lkeit Määritelmiä Perustuloksi Positiiviterminen srj Vuorottelev srj Itseinen suppeneminen Funktiosrjoist Funktiosrjn suppeneminen Srjn tsinen suppeneminen Tsisen suppenemisen seuruksi Potenssisrjoist 9 5. Määritelmä Potenssisrjn suppenemissäde j -väli Potenssisrjn määrittelemä funktio Tylorin srj

6 Esitietoj Kursseill Anlyysi A j B esitetyt lukujonon j funktion rj-rvo, funktion jtkuvuutt j derivtt sekä lkeisfunktioit j Riemnn-integrli koskevt tulokset oletetn jtkoss tunnetuksi. Monisteen esimerkeissä hyödynnetään iemmill kursseill käsiteltyjen lkeisfunktioiden perusominisuuksi lskusääntöineen (sisältäen derivointi- j integrointitulokset). Lisäksi muutmien esimerkkien j huomutusten ymmärtäminen edellyttää perustietämystä integrointitekniikst. Käytettyjä menetelmiä ovt esimerkiksi yhdistetyn funktion integrointisääntö, osittisintegrointi j sijoitussääntö. Seurvss on vielä kertuksen minittu muutmi tuloksi, joit jtkoss tulln käyttämään. Tvnomisten lskusääntöjen ohell monisteen esimerkeissä hyödynnetään muutmi kursseill Anlyysi A j B johdettuj rj-rvotuloksi. Tällisi ovt esimerkiksi rj-rvot ( lim + n sin x e j lim n n) x x kurssilt Anlyysi A sekä rj-rvot lim x kurssilt Anlyysi B. log( + x) x j lim x x s (s R) ex Todistuksiss hyödynnetään myös välillä I määritellyn Riemnn-integrlin (.) G(x) x c f(t) dt (x, c I) jtkuvuutt j mhdollist derivoituvuutt. Kyseiset tulokset esitetään viittusten selkeyttämiseksi ll vielä lusein. Luse.. Ehdon (.) funktio G on jtkuv välillä I. Luse.2. Jos funktio f on jtkuv välillä I, niin ehdon (.) funktio G on pitsi jtkuv myös derivoituv välillä I j G (x) f(x) x I.

7 2 Epäoleellinen integrli Riemnn-integrlin määrittelyssä oli kksi rjoitust. Toislt integrointiväli oli äärellinen suljettu väli, j toislt integroitv funktio oli rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn tpuksi, joiss rjoitteet eivät välttämättä ole voimss. Aluksi luovutn vtimuksest, että integroitv funktio on rjoitettu integrointivälillä. Integrointiväli on edelleen äärellinen. Sen jälkeen trkstelln tilnnett, joss integrointiväli on ääretön, j lopuksi trkstelln tpust, joss on luovuttu molemmist rjoitteist. 2. Integrlin suppeneminen 2.. Epäoleellisuus välin päätepisteessä Trkstelln luksi tilnnett, joss integroitv funktio ei ole rjoitettu integrointivälin [, b] loppupisteessä. Olkoon siis f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[ eli z f(x) dx on olemss kikill z ], b[. Määritelmä 2.. Jos rj-rvo z lim f(x) dx z b on äärellisenä olemss, snotn että integrli suppenee, j merkitään b f(x) dx z lim f(x) dx z b b f(x) dx. 2

8 Määritelmän 2. integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, b]. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn että integrli hjntuu. Funktion epäoleellinen integrli integrointivälin lrjll määritellään vstvsti. Myös tällöin integrlin snotn hjntuvn, jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen. Määritelmä 2.2. Jos on f sellinen välillä ], b] määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [z, b] kikill z ], b[ j on olemss äärellinen rj-rvo b lim f(x) dx, z + z snotn että integrli suppenee, j merkitään b f(x) dx b lim f(x) dx z + z b f(x) dx. Huomutus 2.. Määritelmän 2. ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, z] toteutuu, jos esimerkiksi f on jtkuv välillä [, b[. Vstvsti määritelmän 2.2 ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [z, b] toteutuu, jos f on jtkuv välillä ], b]. Huomutus 2.2. Yllä olev vstv huomutus voidn esittää myös muille luvun 2 määritelmille j tuloksille. Toisin snoen funktion jtkuvuus välillä I tk funktion Riemnn-integroituvuuden jokisell välin I suljetull osvälillä. Huomutus 2.3. Jos hlutn korost integrlin epäoleellisuutt ti epäoleellisuuspisteitä, voidn merkitä j z lim f(x) dx z b b lim f(x) dx z + z 3 b b + f(x) dx f(x) dx.

9 Esimerkki 2.. Määritetään x 2 dx. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. Siis z dx lim x 2 z lim z / z x 2 dx rc sin x lim (rc sin z rc sin ) z rc sin π 2. Esimerkki 2.2. Tutkitn integrlin b x s dx b x s dx (b >, s R) suppenemist, j osoitetn, että b dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Olkoon z jokin välin ], b[ piste. Jos s, niin (2.) b z x s dx / b z log x log b log z, Jos s <, niin x s on jtkuv välillä [, b], joten kyseessä ei ole vrsininen epäoleellisuuspiste (vrt. huomutus 2.4, s. 6). 4

10 j jos s, niin (2.2) b z x s dx / b z x s s b s s z s s. Täten sdn seurvt tpukset. : Jos s >, niin tuloksen (2.2) perusteell b lim x s dx z + z joten integrli hjntuu. b s z s lim z + s lim z + < {}}{ s vkio ( {}}{ b s {}}{ z s ), 2 : Jos s, niin tuloksen (2.) perusteell b lim x s dx z + z joten integrli hjntuu. lim z + 3 : Jos s <, niin tuloksen (2.2) perusteell ( { vkio }}{{}}{ log b log z ), b lim x s dx z + z joten integrli suppenee. b s z s lim z + s lim z + > {}}{ s ( {}}{ vkio {}}{ b s z ) s b s s, Siis kohtien - 3 perusteell b Lisäksi integrlin supetess dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs b x s dx b s s. 5

11 Huomutus 2.4. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin missä z lim f(x) dx z b b lim f(x) dx z + z b f(x) dx on funktion f Riemnn-integrli välillä [, b]. b f(x) dx, Todistus. Väite seur suorn jtkuvuuden määritelmästä, sillä luseen. (s. ) nojll G (z) z f(x) dx j G 2 (z) ovt jtkuvi funktiot välillä [, b]. Täten b z f(x) dx lim G (z) G (b) j lim G 2(z) G 2 (). z b z Epäoleellisuus välin sisäpisteessä Trkstelln sitten tilnnett, joss epäoleellisuuspiste on integrointivälin [, b] sisäpisteessä. Määritelmä 2.3. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b] pitsi mhdollisesti pisteessä c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], c[ j Riemnn-integroituv välillä [z, b] kikill z ]c, b[. Tällöin snotn, että integrli suppenee, jos integrlit suppenevt. Tällöin b c f(x) dx f(x) dx b c f(x) dx j b c f(x) dx + f(x) dx b c f(x) dx. 6

12 Esimerkki 2.3. Tutkitn integrlin suppenemist. x 3 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin keskellä pisteessä x. Jos esimerkiksi z >, niin z Siis integrli hjntuu. x 3 dx / z 2x ( ) 2 2 z 2 x 3 dx, kun z +. Huomutus 2.5. Jos integrlin epäoleellisuuspiste on keskellä integrointiväliä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt epäoleellisuuspisteen eri puolill oleviss integrleiss yhtäikisesti (ks. esimerkki 2.4). Esimerkki 2.4. Trkstelln esimerkin 2.3 integrli x 3 dx. Nyt lim z + ( z x 3 dx + z ) x dx 3 lim z + ( z / 2x 2 + / z ) 2x 2 ( ( ) lim z + 2 z + ( ) ) 2 z }{{ 2 }, mutt integrli ei siis suppene. 7

13 Huomutus. Yhtäikisen rj-rvotrkstelun ohell mhdollinen virhe on, että keskellä integrointiväliä olev integrlin epäoleellisuuspistettä ei ollenkn huomioid. Esimerkiksi lskemll suorviivisesti x 3 dx / ( 2x 2 2 ) 2 sdn virheellinen tulos, sillä kyseessä on epäoleellinen integrli j esimerkissä 2.4 osoitettiin, että kyseinen epäoleellinen integrli hjntuu Epäoleellisuus välin molemmiss päätepisteissä Trkstelln sitten vielä tpust, joss funktio ei ole rjoitettu integrointivälin kummsskn päätepisteessä. Ennen vrsinist määrittelyä esitetään yksi tilnnett helpottv putulos. Luse 2.6. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b[ j c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[. Tällöin integrlit b f(x) dx j b c f(x) dx suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. Edelleen jos integrlit suppenevt, niin b f(x) dx b c f(x) dx c f(x) dx. Todistus. Väitteet seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä, sillä vkio {}}{ c z f(x) dx + f(x) dx z f(x) dx z ]c, b[ c j z f(x) dx z c f(x) dx c f(x) dx z ]c, b[. 8

14 Huomutus 2.7. Lusett 2.6 vstv tulos on voimss, jos epäoleellisuuspiste on integrointivälin lrjll (hrjoitustehtävä). Sitten voidn esittää vrsininen määrittely. Jos funktio ei ole rjoitettu integrointivälin kummsskn päätepisteessä, tilnne yksinkertisesti plutetn minkä thns välin sisäpisteen vull tpuksiin, joss funktio ei ole rjoitettu integrointivälin lkupisteessä j loppupisteessä. Määritelmä 2.4. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin ], b[ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi c ], b[. Tällöin integrli suppenee, jos integrlit b f(x) dx c f(x) dx molemmt suppenevt. Tällöin j b c f(x) dx b f(x) dx c f(x) dx + b c f(x) dx. Huomutus 2.8. Luseen 2.6 j huomutuksen 2.7 nojll integrlin b f(x) dx rvo määritelmässä 2.4 ei riipu pisteen c vlinnst. Huomutus. Määritelmässä 2.4 esitetty osväleihin jko soveltuu myös tpuksiin, joss funktioll on epäoleellisuuspiste välin päätepisteessä j sisäpisteessä (ti päätepisteissä j sisäpisteissä). 9

15 Esimerkki 2.5. Tutkitn integrlin suppenemist. x( x) dx Integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä. Aluksi hvitn, että välillä ], [ x( x) dx 2 2 x ( x) 2 dx 2 rc sin x + C. Olkoon nyt c jokin välin ], [ piste. Tällöin j c lim z + z dx x(x ) lim z + 2 ( rc sin c {}}{ rc sin z ) 2 rc sin c z lim z c dx x(x ) lim 2 ( z π 2 {}}{ rc sin z rc sin c ) π 2 rc sin c. Siis integrli suppenee j x( x) dx x( x) dx c x( x) dx + x( x) dx 2 rc sin c + ( π 2 rc sin c ) π. c Huomutus 2.9. Jos integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt molemmiss päätepisteissä yhtäikisesti (ks. esimerkki 2.6). Vrt. myös huomutus 2.5 j huomutus 2.4 (s. 42).

16 Esimerkki 2.6. Trkstelln integrli 2x x( x) dx. Yhtäikisell rj-rvotrkstelull sdn z z 2x lim dx lim log (x( x)) z + x( x) z + z z ( ) lim log (( z)z) log (z( z)) z +, mutt integrli ei kuitenkn suppene (hrjoitustehtävä). / 2..4 Perustuloksi Esitetään luvun 2. lopuksi vielä pri epäoleellisten integrlien tutkimist helpottv tulost. Luse 2.. Oletetn, että integrlit b f(x) dx j b g(x) dx suppenevt j λ R. Tällöin myös funktioiden λf j f + g epäoleelliset integrlit suppenevt välillä [, b] j b b λf(x) dx λ f(x) dx, j b (f + g)(x) dx b f(x) dx + b g(x) dx. Todistus. Tulokset seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä.

17 Luse 2.. Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin b f(x) dx z b lim f(x) dx j lim f(x) dx. z + z b z Todistus. Todistetn tpus, joss on yksi epäoleellisuuspiste integrointivälin ylärjll. Muut tpukset todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f Riemnn-integroituv välillä [, c] kikill c ], b[. Tällöin luseen. (s. ) nojll Lisäksi luseen 2.6 nojll joten b b z f(x) dx f(x) dx z lim f(x) dx z + b z f(x) dx b f(x) dx Siis rj-rvon lskusääntöjen perusteell b ( lim f(x) dx lim z b z b z b b z z f(x) dx. f(x) dx z ], b[, f(x) dx z ], b[. { vkio }} { b z f(x) dx f(x) dx z f(x) dx lim f(x) dx z b f(x) dx b f(x) dx. ) 2

18 2.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Tutkitn sitten epäoleellisen integrlin suppenemist, kun integroitv funktio on ei-negtiivinen. Tällöin pystytään hyödyntämään tieto, että välillä ], b[ ksvvll j ylhäältä rjoitetull funktioll on vsemmnpuoleinen rj-rvo pisteessä b. Luse 2.2. Olkoon f sellinen välillä [, b[ määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[. Oletetn lisäksi, että f(x) kikill x [, b[. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että (2.3) niin suppenee j z f(x) dx M z ], b[, b b f(x) dx f(x) dx M. Todistus. Merkitään G(z) z f(x) dx, z [, b[. Tällöin G on oletuksen nojll ylhäältä rjoitettu välillä [, b[. Olkoot nyt z j z 2 sellisi välin [, b[ pisteitä, että z < z 2. Kosk f(x) kikill x [z, z 2 ], niin G(z 2 ) G(z ) z 2 z f(x) dx. Siis G on välillä [, b[ ksvv, joten rj-rvo lim G(z) z b on olemss j lim G(z) M. z b 3

19 Huomutus 2.3. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[ j lisäksi f(x) M kikill x [, b[, niin z f(x) dx z M dx M(z ) < M(b ) z ], b[. Siis luseen 2.2 ehto (2.3) on voimss esimerkiksi (ei-negtiivisille) ylhäältä rjoitetuille funktioille. Huomutus 2.4. Lusett 2.2 j huomutust 2.3 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 2.7. Kosk + sin x 2 x ], ], niin huomutuksen 2.3 nojll luseen 2.2 (j huomutuksen 2.4) ehdot ovt voimss. Siis ( + sin ) dx x suppenee. Luse 2.5 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) b g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j b b f(x) dx f(x) dx b g(x) dx. 4

20 Todistus. Olkoon z [, b[. Kosk g(x) kikill x [, b[, niin y z g(x) dx y ]z, b[. Siis rj-rvon perusominisuuksien nojll b z g(x) dx y lim g(x) dx, y b z missä rj-rvon olemssolo seur ehdost (ii) j luseest 2.6 (s. 8). Täten ehdon (i) j luseen 2.6 nojll z f(x) dx Siis ehdon (ii) nojll z g(x) dx z z g(x) dx + f(x) dx on ylhäältä rjoitettu, joten luseen 2.2 nojll suppenee j b b f(x) dx f(x) dx b b z g(x) dx. g(x) dx b g(x) dx. Jos tutkitn pelkästään epäoleellisen integrlin suppenemist, mjornttiperite voidn esittää muodoss, jot on joskus yksinkertisempi käyttää. Seurus 2.6 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) A > j c ], b[ siten, että f(x) A g(x) x [c, b[, (ii) b c Tällöin myös suppenee. g(x) dx suppenee. b f(x) dx 5

21 Todistus. Jos c ], b[, niin luseen 2.6 (s. 8) nojll integrlit b f(x) dx j b c f(x) dx suppenevt smnikisesti, j jos A >, niin luseen 2. (s. ) nojll integrlit b g(x) dx j b A g(x) dx suppenevt smnikisesti. Mjornttiperitett käyttäen voidn siis osoitt epäoleellisen integrlin suppeneminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk epäoleellisen integrlin tiedetään suppenevn. Epäoleellisen integrlin hjntuminen voidn vstvll tvll osoitt käyttämällä minornttiperitett. Myös minornttiperitteest esitetään kksi versiot. Luse 2.7 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) b g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. b f(x) dx Todistus. Jos b f(x) dx suppenisi, niin ehdon (i) j mjornttiperitteen perusteell myös b g(x) dx suppenisi, mistä seurisi ristiriit ehdon (ii) knss. 6

22 Seurus 2.8 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) A > j c ], b[ siten, että f(x) A g(x) x [c, b[, (ii) b c g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. b f(x) dx Todistus. Vstvsti kuin seurus 2.6. Huomutus 2.9. Luseit 2.5 j 2.7 j seuruksi 2.6 j 2.8 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 2.8. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee, j rvioidn integrlin rvo. e x x 2 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk e x < e kikill x [, [, niin e x < e x 2 x 2 x [, [. 2 : Integrli e dx e dx x 2 x 2 suppenee (esimerkki 2., s. 4, j luse 2., s. ). 7

23 Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee. Lisäksi esimerkin 2. nojll e x x 2 dx e x x 2 dx e π 2. Huomutus 2.2. Kosk b dx (b > ) xs suppenee täsmälleen silloin, kun s < (esimerkki 2.2, s. 4), niin g(x) x s on usein sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll. Esimerkki 2.9. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.4) 5 x 3 + 2x x 3 + x 2 dx hjntuu. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Jos < x, niin x 3 x 2. Täten x 3 + 2x x 3 + x 2 6 x 3 + x 6 2 x 2 + x 3 x ], ]. 2 x2 2 : dx hjntuu (esimerkki 2.2, s. 4). x2 Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.4) hjntuu. 8

24 Esimerkki 2.. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. x log( + x) dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Trkstelln pufunktiot Nyt f(x) log(x + ) x, x [, ]. 2 f (x) x + 2 x [, ], joten f on ksvv välillä [, ]. Kosk f(), niin f(x) x [, ] j edelleen log ( + x) x 2 x [, ]. Siis x log( + x) x x 2 2 x x ], ]. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.2, s. 4). x dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että epäoleellinen integrli suppenee. x log( + x) dx 9

25 Huomutus 2.2. Esimerkin 2. vertilufunktio sdn johdettu myös rjrvotuloksest log( + x) lim, x + x sillä funktion rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen h >, että ekvivlenssin 2 < log( + x) x < 3 2 epäyhtälöt ovt voimss välillä ], h] ], ]. Täten j edelleen < 2 3 x < log( + x) < 2 x < x 2 < log( + x) < 3x 2 x ], h] x log( + x) < 2 x x ], h]. Esimerkki 2.. Osoitetn, että epäoleellinen integrli hjntuu. log( + x) dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Huomutuksen 2.2 nojll on olemss sellinen h >, että log( + x) 2 3 x > x ], h]. 2 : Integrli hjntuu (esimerkki 2.2, s. 4). h x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että epäoleellinen integrli hjntuu. log( + x) dx 2

26 Huomutus Kosk b dx j (x ) s b dx ( < b) (b x) s suppenevt täsmälleen silloin, kun s < (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 2.2), niin g(x) (x ) s on usein sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll, j vstvsti g(x) (b x) s on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] ylärjll. Esimerkki 2.2. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.5) hjntuu. π sin x (π x) 2 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk sin x sin (π x) kikill x R, niin lim x π sin x π x lim x π sin (π x) π x Siis on olemss sellinen luku h, että < h < π j sekä edelleen sin x π x 2 sin x (π x) 2 2 π x 2 : Huomutuksen 2.22 perusteell π π h lim z sin z z x [π h, π[ x [π h, π[. dx hjntuu. π x. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.5) hjntuu. 2

27 2.3 Itseinen suppeneminen Trkstelln vielä lyhyesti epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist. Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv epäoleellisen integrlin määrittelyissä esiintyvillä integrointivälin suljetuill osväleillä (ks. huomutus 2.25, s. 24). Määritelmä 2.5. Epäoleellinen integrli b f(x) dx suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. b f(x) dx Luse Jos integrli b f(x) dx suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Oletetn, että suppenee. Kosk b f(x) dx f(x) f(x) 2 f(x) x [, b], niin mjornttiperitteen nojll myös b ( f(x) f(x)) dx suppenee. Täten luseen 2. (s. ) nojll myös epäoleellinen integrli suppenee. b ( ) b f(x) ( f(x) f(x)) dx f(x) dx 22

28 Esimerkki 2.3. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. x sin x dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Tutkitn itseistä suppenemist. : Kosk niin sin x x ], ], sin x ], ]. x x x x 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.2, s. 4). x dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli x sin x dx suppenee itseisesti j smll luseen 2.23 nojll myös tvllisesss mielessä. Huomutus Luse 2.23 ei ole voimss kääntäen (ks. esimerkki 2.4). Määritelmä 2.6. Epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti. Esimerkki 2.4. Voidn osoitt, että integrli π x sin x dx suppenee ehdollisesti eli se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutukset 2.26, s. 26, j 2.4, s. 4). 23

29 Huomutus Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv epäoleellisen integrlin määrittelyissä esiintyvillä integrointivälin suljetuill osväleillä. Jos esimerkiksi, kun x Q, f(x), kun x R \ Q, niin integrlin ei snot suppenevn, vikk integrli b f(x) dx b f(x) dx b dx b suppenee, sillä f ei ole Riemnn-integroituv millään suljetull välillä. 24

30 2.4 Integrointi yli äärettömän välin Edellä ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integroitv funktio ei ollut rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn integrointi, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luvuiss keskitytään väliin [, [. Luvuss (s. 4) trkstelu ljennetn koskemn myös väliä ], b] j luvuss (s. 43) vstvsti erilisten epäoleellisten integrlien yhdistelmiä Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen funktio, että f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä eli z f(x) dx on olemss kikill z >. Määritelmä 2.7. Jos rj-rvo z lim f(x) dx z on äärellisenä olemss, snotn, että integrli suppenee, j merkitään f(x) dx f(x) dx z lim f(x) dx. z Määritelmän 2.7 integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, [. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn, että integrli hjntuu. Huomutus. Määritelmässä 2.7 ei edellytetä, että funktio f on rjoitettu välillä [, [ (toki f on rjoitettu välin [, [ suljetuill osväleillä) ti että funktioll f(x) on rj-rvo, kun x (ks. esimerkki 2.26, s. 39). 25

31 Esimerkki 2.5. Integrli hjntuu, sillä rj-rvo ei ole olemss. z lim sin x dx z lim z sin x dx / z cos x lim ( cos z) z Esimerkki 2.6. Määritetään e x log 2 x dx. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin j logritmin derivointikvoj sdn z lim z e x log 2 dx lim x z z lim z e / z e ( ) log x log 2 x x dx ( lim z log z ) log e ( ). Huomutus Olkoon >. Tällöin integrlit f(x) dx j ( ) x f dx 2 x suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess f(x) dx ( ) x f dx. 2 x 26

32 Todistus. Tulos seur rj-rvon perusominisuuksist, sillä sijoittmll x t j dx t dt, 2, z z sdn z f(x) dx z ( ) f ( ) dt t t 2 z ( ) t f dt 2 t z ( ) x f dx. 2 x Esimerkki 2.7. Tutkitn integrlin x s dx suppenemist ( >, s R), j osoitetn, että dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs Huomutuksen 2.26 perusteell suppenee täsmälleen silloin, kun x s dx ( x ) s dx suppenee. Integrli x 2 xs dx dx x2 s dx x2 s puolestn suppenee esimerkin 2.2 (s. 4) nojll täsmälleen silloin, kun 2 s < eli kun s >. Siis dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs 27

33 Aiemmisss luvuiss esitetyt epäoleellisi integrlej koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luseet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi b >. Tällöin integrlit f(x) dx j b f(x) dx suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess f(x) dx b f(x) dx b f(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.6, s. 8). Luse Oletetn, että integrlit f(x) dx j g(x) dx suppenevt. Tällöin (i) c f(x) dx suppenee j c f(x) dx c f(x) dx (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx f(x) dx + g(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2., s. ). 28

34 Luse Oletetn, että integrli f(x) dx suppenee. Tällöin lim f(x) dx. z z Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2., s. 2) Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Ei-negtiivisen funktion integrlin suppenemisen tutkimiseen on rjoittmttomll välillä käytössä smt putulokset kuin tpuksess, joss funktion rvo ei ole rjoitettu. Perustuloksen on nytkin, että ei-negtiivisen funktion integrli on ksvv j että ksvvll ylhäältä rjoitetull funktioll on rj-rvo. Luse 2.3. Olkoon f sellinen funktio, että f(x) kikill x j f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että z f(x) dx M z >, niin suppenee j f(x) dx f(x) dx M. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.2, s. 3). 29

35 Esimerkki 2.8. Olkoon >. Osoitetn, että integrli (2.6) sin 2 x x 2 dx suppenee, j rvioidn integrlin rvo. Selvästi sin 2 x x 2 x. Kosk sin 2 x kikill x R, niin lisäksi z sin 2 x x 2 dx z x 2 dx / z x z < z >. Siis luseen 2.3 nojll integrli (2.6) suppenee j sin 2 x x 2 dx. Myös mjorntti- j minornttiperitteet ovt voimss vstvll tvll kuin rjoittmttomille funktioille. Peritteet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse 2.3 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) f(x) g(x) x, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j f(x) dx f(x) dx g(x) dx. Todistus. Kuten luse 2.5 (s. 4). 3

36 Seurus 2.32 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) A > j c ], [ siten, että f(x) A g(x) x c, (ii) c g(x) dx suppenee. Tällöin myös suppenee. f(x) dx Todistus. Kuten seurus 2.6 (s. 5). Rjoittmttomien funktioiden tpn mjornttiperitteell on nyt mhdollist osoitt epäoleellisen integrlin suppeneminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk integrlin tiedetään suppenevn. Edellytyksenä tietysti on, että tällinen funktio löydetään. Vstvsti minornttiperitteell voidn osoitt epäoleellisen integrlin hjntuminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk integrlin tiedetään hjntuvn. Luse 2.33 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) g(x) f(x) x, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.7, s. 6). 3

37 Seurus 2.34 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) A > j c ], [ siten, että A g(x) f(x) x, (ii) c g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. seurus 2.8, s. 7). Esimerkki 2.9. Tutkitn epäoleellisen integrlin suppenemist. x 2 + x dx ( > ) : Kosk niin x 2 + x x 2 > x, < x 2 + x x 2 x. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.7, s. 27). x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee (kun > ). x 2 + x dx 32

38 Esimerkki 2.2. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.7) hjntuu. 2 + sin x x : Kosk 2 + sin x kikill x R, niin 2 : Integrli 2 + sin x x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). x dx > x. x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.7) hjntuu. Esimerkki 2.2. Tutkitn epäoleellisen integrlin suppenemist. : Kosk niin 2 : Integrli x + x dx < x + x x + x 2x x, x + x 2x 2 x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). x dx > x. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli hjntuu. x + x dx 33

39 Luse Olkoot f j g sellisi funktioit, että f(x) j g(x) kikill x j f sekä g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemsss rj-rvo lim x f(x) g(x) B ( < B < ), niin f(x) dx j suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. g(x) dx Todistus. Kosk B > j f(x) sekä g(x) kikill x, voidn olett, että muuttujn x jostkin riittävän suurest rvost lken g(x) >. Siis rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen x >, että 2 B < f(x) g(x) < 3 2 B x x j edelleen < B 2 g(x) < f(x) < 3B 2 g(x) x x. Täten mjorntti- j minornttiperitteiden nojll integrlit suppenevt smnikisesti. f(x) dx j g(x) dx Huomutus Jos luseess 2.35 rj-rvo B j integrli g(x) dx suppenee, myös integrli suppenee. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä. 34

40 Huomutus Jos luseess 2.35 rj-rvo B j integrli g(x) dx hjntuu, myös integrli hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä. Esimerkki Osoitetn, että integrli suppenee täsmälleen silloin, kun s <. j Olkoon f(x) x s dx (s R) + x2 xs + x 2 (x ) g(x) xs x 2 (x ). Tällöin f(x) > sekä g(x) > kikill x. Lisäksi lim x f(x) g(x) lim x Edelleen esimerkin 2.7 (s. 27) nojll x s x 2 x 2 lim ( + x 2 ) x s x + x >. 2 g(x) dx dx x2 s suppenee täsmälleen silloin, kun 2 s > eli s <. Siis luseen 2.35 perusteell f(x) dx suppenee täsmälleen silloin, kun s <. x s + x 2 dx 35

41 Huomutus. Lusett 2.35 on toisinn helpompi sovelt kuin mjornttij minornttiperitteit. Kyseiset peritteet ovt kuitenkin sikäli yleisempiä, että niitä voi joskus käyttää siinäkin tpuksess, että luseen 2.35 vtim rj-rvo ei ole olemss (ks. esimerkki 2.2). Lisäksi mjorntti- j minornttiperitteit voi in käyttää, kun luseen 2.35 vtim rj-rvo on olemss. Trvittv mjoroiv ti minoroiv funktio sdn tällöin luseen 2.35 todistuksess käytetyllä menettelyllä. Esimerkki Osoitetn lusett 2.35 käyttäen, että esimerkin 2.2 epäoleellinen integrli x + x dx hjntuu. j Olkoon f(x) x + x g(x) x Nyt f(x) > j g(x) > kikill x. Lisäksi kun x, j integrli / f(x) g(x) x + x x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). Täten integrli hjntuu luseen 2.35 perusteell. (x ) (x ). x x + x +, x x dx x + x dx 36

42 2.4.3 Itseinen suppeneminen Trkstelln sitten vielä epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv integrointivälin kikill suljetuill osväleillä (vrt. huomutus 2.25, s. 24). Aiemmin esitetyt epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Tulokset todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Määritelmä 2.8. Epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse Jos integrli f(x) dx suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.23, s. 22). Huomutus Nytkin epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti. 37

43 Esimerkki Integrlit sin x x s dx j cos x x s dx suppenevt itseisesti mjornttiperitteen nojll inkin silloin, kun s >, sillä kikill x j sin x x s j x s x s dx suppenee, kun s > (esimerkki 2.7, s. 27). cos x x s x s Esimerkki Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. Tutkitn itseistä suppenemist. cos(x 2 ) x 2 dx : Nyt cos(x 2 ) x 2 x 2 x. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.7, s. 27). x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli cos(x 2 ) x 2 dx suppenee, joten luseen 2.38 nojll myös integrli suppenee. cos(x 2 ) x 2 dx 38

44 Esimerkki Osoitetn esimerkkiä 2.25 hyödyntämällä, että epäoleellinen integrli sin(x 2 ) dx. suppenee. Nyt Olkoon z >. Osittisintegroimll sdn z Lisäksi rj-rvo on olemss, sillä sin(x 2 ) dx 2 suppenee (esimerkki 2.25). Siis rj-rvo on olemss, joten suppenee. 2 2 z z / z 2 lim z 2 ( ( ) ( sin(x 2 ) 2x) dx x ( ) D ( cos(x 2 ) ) dx x ( ) cos(x 2 ) z x 2 ( cos(z 2 ) z {}}{ cos(z 2 ) ) cos z lim z x 2 cos(x2 ) dx. ) cos z cos(x 2 ) dx. 2 x 2 z cos(x 2 ) dx 2 x 2 cos(x 2 ) x 2 dx z lim sin(x 2 ) dx z sin(x 2 ) dx cos 2. 39

45 Huomutus 2.4. Luse 2.38 ei ole voimss kääntäen. Voidn esimerkiksi osoitt, että sin x x dx suppenee ehdollisesti (hrjoitustehtävä, vrt. esimerkki 2.4, s. 23). π Muut rjoittmttomt välit Luvuiss ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integrointiväli oli [, [. Integrli b f(x) dx määritellään vstvsti eli integrli suppenee, jos rj-rvo b lim f(x) dx z z on äärellisenä olemss. Luvuiss esitetyt tulokset ovt vstvsti voimss myös integrointivälillä ], b]. Integrointiväli voi oll rjoittmton myös molemmiss päätepisteissä. Tällöin integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 2. jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien f(x) dx c f(x) dx j f(x) dx (c R) c vull. 4

46 Esimerkki Määritetään (2.8) x 2 + x + dx. joten Neliöimällä sdn x 2 + x + ( x + 2 x 2 + x + dx 2 3 ) ( 2 ( + 3 ) ) 2 3 2x , 3 2 ( ) 2 dx 2 rc tn 2x + + C. 2x Siis z lim z dx lim x 2 + x + z / z 2 rc tn 2x lim z 3 ( π 2 {}}{ rc tn 2z + rc tn ) 3 3 j 2 ( π 3 2 π ) 6 lim dx lim z x 2 + x + z z / z π 3 π rc tn 2x + 3 lim z ( 2 rc tn 3 3 π 2 {}}{ rc tn 2z + ) 3 2 ( π π ) 2 π π 3. Siis integrli (2.8) suppenee j x 2 + x + dx x 2 + x + dx + x 2 + x + dx ( π π ) ( π 3 + π ) π 3. 4

47 Huomutus 2.4. Jos suppenee, niin rj-rvo lim z z f(x) dx z f(x) dx on olemss. Sen sijn kääntäen rj-rvo voi oll olemss integrlin silti hjntuess (ks. esimerkki 2.28). Vrt. myös huomutus 2.9, s.. Esimerkki Trkstelln funktiot f(x) 2x + x 2 +. Tällöin lim z z z 2x + dx lim x 2 + z lim z z / z z z ( ) 2x x dx x 2 + ( log(x 2 + ) + rc tn x ) lim z ( ( log(z 2 + ) + rc tn z ) ( lim z ( log(( z) 2 + ) + rc tn( z) ) ) {}}{ π 2 π 2 {}}{{}}{ ) log(z 2 + ) log(z 2 + ) + rc tn z rc tn( z) Integrli π 2 + π 2 π. 2x + x 2 + dx ei kuitenkn suppene, sillä esimerkiksi integrli hjntuu. 2x + x 2 + dx lim (( log(z 2 + ) + rc tn z ) ( + ) ) z 42

48 2.4.5 Rjoittmton funktio j ääretön väli Integrli voidn trkstell myös tpuksiss, joiss sekä funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä että integrointiväli ei ole rjoitettu. Jos integrointiväli ei ole rjoitettu j funktioll on integrointivälin toisess päätepisteessä epäoleellisuuspiste, integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 2. (määritelmä 2.4, s. 9) jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien vull j integrli integrlien vull. c + c f(x) dx f(x) dx j j + b f(x) dx c f(x) dx ( < c) f(x) dx b c f(x) dx (c < b) Jos epäoleellisuuspiste c on rjoittmttomn välin keskellä, määritellään epäoleellinen integrli kuten vstvss tpuksess luvuss 2. (määritelmä 2.3, s. 6) yhdistämällä epäoleelliset integrlit, joiss c on integrointivälin loppupiste j lkupiste. Siis integrli f(x) dx määritellään integrlien vull, integrli integrlien c c f(x) dx f(x) dx j j b c f(x) dx ( < c) f(x) dx b c 43 f(x) dx (c < b)

49 vull j integrli integrlien c f(x) dx j f(x) dx c f(x) dx (c R) vull. Alkuperäinen integrli tulee tällöin jetuksi vähintään kolmeksi integrliksi, sillä inkin toinen yhdistettävistä integrleist on sellinen, että funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä j integrointiväli ei ole rjoitettu. Täten kyseinen integrli on jettv uuden välipisteen vull vielä (inkin) khteen osn. Esimerkki Tutkitn integrlin suppenemist. x 2 + x dx Integrlill on epäoleellisuuspiste myös lrjll, joten jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn vlitsemll c jkopisteeksi. Kosk niin Kosk lisäksi x 2 + x x > x ], ], < x 2 + x x ], ]. x x dx suppenee (esimerkki 2.2, s. 4, s ), niin mjornttiperitteen nojll integrli 2 suppenee. x 2 + x dx Toislt esimerkin 2.9 (s. 32) nojll myös integrli suppenee ( ). Täten integrli suppenee. x 2 + x dx x 2 + x dx x 2 + x dx + x 2 + x dx 44

50 Esimerkki 2.3. Tutkitn Eulerin gmmfunktiot Γ(s) x s e x dx (s > ). Jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn kirjoittmll Γ(s) + x s e x dx + x s e x dx I + I 2. : Kosk e x on idosti vähenevä, niin e > e x e > x ], ]. Täten < x s e x < x s x ], ]. Lisäksi esimerkin 2.2 (s. 4) nojll x s dx dx x s suppenee, kun s < eli s >. Täten mjornttiperitteen nojll myös I suppenee, kun s >. j 2 : Kosk lim x x s e x x s+ lim x 2 x e x x 2 dx x 2 dx suppenee esimerkin 2.7 (s. 27) nojll, niin huomutuksen 2.36 (s. 34) nojll myös integrli I 2 suppenee. Täten kohtien j 2 perusteell Γ(s) suppenee (kun s > ). Käyttämällä osittisintegrointi sdn (kun x, s > ) x s e x dx xs s e x s xs e x + s Jos s, niin integrli hjntuu (hrjoitustehtävä). x s s ( e x ) dx x s e x dx. 45

51 Täten x s e x dx lim x s e x dx z + z ( lim z + s lim z + / z x s e x + s z x s e x dx ( ) e z s e z s }{{} + lim z + s e + x s e x dx, s ) x s e x dx s z kun s >. Kosk niin vstvsti (kun s > ) lim z z s e z, Siis kun s >, niin z x s e x dx lim x s e x dx z ( lim z s / z ( lim z s e z z s x s e x + s }{{} z s e + x s e x dx. s x s e x dx ) z e ) + lim x s e x dx z s x s e x dx x s e x dx + x s e x dx ( s e + ) ( x s e x dx + s s e + ) x s e x dx s s x s e x dx 46

52 eli Γ(s) Γ(s + ) s j edelleen Γ(s + ) s Γ(s). Lisäksi Γ() e x dx lim z / z {}}{ e x lim ( e z ), z joten Γ(2), Γ(3) 2 2,. j yleisesti Γ(n + ) n! (n N). Kun s, niin funktioll Γ(s) on täsmällisesti otten näennäinen epäoleellisuuspiste pisteessä x, sillä funktiot x s e x ei ole tällöin määritelty. Kosk funktion rvoll yksittäisessä pisteessä ei ole merkitystä integroinnin knnlt, voidn tässä olett, että x s e x e x myös pisteessä x. 47

53 3 Srjteorin lkeit 3. Määritelmiä Olkoon (x n ) relilukujono. Muodostetn muodostetn tämän jonon jäsenistä uusi lukujono (S n ), missä S x, S 2 x + x 2, S 3 x + x 2 + x 3,. S n x + x x n. Määritelmä 3.. Lukujono (S n ) snotn lukujonon (x n ) jäsenten muodostmksi srjksi j sitä merkitään x k ti x + x x n +. k Luku x n on srjn n:s termi, j S n on srjn n:s ossumm. Jos rj-rvo lim S n S n on äärellisenä olemss (ts. ossummien muodostm lukujono (S n ) suppenee), snotn, että srj suppenee j sen summ on S. Tällöin merkitään x k S. k Jos rj-rvo ei ole äärellisenä olemss, snotn srjn hjntuvn. Huomutus. Yllä määritelmässä 3. merkintä x k k trkoitt siis kht eri si: sekä srj että (suppenevn) srjn summ. Srjn summll on tietysti rvo vin, kun srj suppenee. 48

54 Huomutus. Ei ole mitenkään oleellist, millä kirjimell srjn summusindeksiä merkitään. Sm srj voidn ilmoitt esimerkiksi muodoiss x k, k x n n ti x i. i Tässä monisteess ovt useimmiten käytössä indeksit k j n. Huomutus. Ei myöskään ole oleellist, että srjn termien indeksointi lk ykkösestä. Jos srjn indeksointi lk jostkin kokonisluvust p, voidn vstvsti määritellä kp x k lim n Vrsinkin tpus p esiintyy usein. n x k. kp Huomutus. Lukujonon rj-rvon perusominisuuksist seur, että srjt x k k j x k (p Z + ) kp suppenevt smnikisesti j niiden supetess x k k x k kp p k x k. On myös syytä korost äärellisen summn j srjn (eli äärettömän summn) ero. Äärellisessä summss x + x x n yhteenlskettvien järjestystä voidn viht j summn voidn lisätä ti siitä voidn poist sulkuj ilmn, että summn rvo muuttuu. Äärellisellä summll on myös in yksikäsitteinen rvo. Srjn summss on kuitenkin kyse rj-rvost, joten edellä minitut ominisuudet eivät välttämättä ole voimss. Esimerkiksi srjn termien järjestyksen vihto ti termien ryhmittely sulkuj lisäämällä ti poistmll voi vikutt srjn suppenemiseen ti srjn summn rvoon. 49

55 Huomutus 3.. Suppenevss srjss peräkkäisiä termejä voidn kuitenkin yhdistellä lisäämällä srjn sulkuj, sillä suluttmll sdun srjn ossummien jono on lkuperäisen srjn ossummien jonon osjono. Täten jono suppenee kohti sm rj-rvo j stu uusi srj suppenee j sillä on sm summ kuin lkuperäisellä srjll. Sulkujen poistminen suppenevst srjst ei sen sijn ole luvllist. Esimerkiksi srj ( ) + ( ) + ( ) suppenee (kukin ossumm on ), mutt srj hjntuu (ks. esimerkki 3.2) Esimerkki 3.. Osoitetn, että srj k suppenee j että sen summ on. Kosk kikill k Z +, niin k(k + ) k(k + ) k k + S n n k n k k(k + ) ( k ) k + ( ) ( ( + 3) 3 ( + + 4) n ) n + Siis n +. joten trksteltv srj suppenee j ( lim S n lim ) n n n +, k k(k + ). 5

56 Huomutus. Srj kutsutn teleskooppiseksi, jos sen termit x k voidn (kuten esimerkissä 3.) esittää muodoss x k k k+ (k Z + ). Kuten esimerkistä 3. hvitn, teleskooppinen srj suppenee, jos lukujonoll ( k ) on rj-rvo. Esimerkki 3.2. Osoitetn, että srj hjntuu. Nyt ( ) k k S n n ( ) k+ k joten rj-rvo lim S n n ei ole olemss. Siis srj hjntuu., kun n on priton,, kun n on prillinen, Esimerkki 3.3 (Hrmoninen srj). Osoitetn, että hrmoninen srj hjntuu. joten Siis S n Olkoon k Z +. Tällöin n k k n k k k k+ k k k x k+ k x dx k dx n+ x [k, k + ], k+ k x dx k dx n+ joten lim S n. n Siis hrmoninen srj hjntuu. / k+ k x dx. log x log(n + ) n Z +, 5

57 Esimerkki 3.4 (Geometrinen srj). Osoitetn, että geometrinen srj q k k q k + q + q 2 + k suppenee täsmälleen silloin, kun q <, j että tällöin Nyt Jos siis q <, niin k S n + q + + q n q k q. lim S n n q, q n, kun q, q n, kun q. j jos q, niin rj-rvo lim n S n ei ole (äärellisenä) olemss. Täten geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun q <, j tällöin k q k q. Huomutus. Jos srjn indeksointi loitetn nollst, törmätään toisinn epämääräiseen muotoon. Tällöin noudtetn sopimust, että srjn terminä. Huomutus. Jos q <, niin esimerkin 3.4 nojll k q k ( q) q q q q. Määritelmä 3.2. Jos S n on srjn x k k n:s ossumm, niin R n on srjn n:s jäännöstermi. x k S n k x k kn+ 52

58 Huomutus. Srjn jäännöstermi ei ole hyvin määritelty siinä mielessä, että jos srj hjntuu, niin jäännöstermillä ei ole rvo. Huomutus. Jäännösterminkään määritettelyssä ei ole oleellist, että srjn indeksointi lk nimenomn ykkösestä. Jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust, on jäännöstermin indeksin lkurvo sitten vin muutettv vstvsti. Sinänsä ei ole myöskään oleellist, että trksteltv jäännöstermi vst mimenomn ossumm S n. Esimerkiksi jäännöstermin rj-rvo tutkittess voi joskus oll merkinnällisesti yksinkertisemp määritellä jäännöstermi vstmn jotkin muut ossumm. Huomutus 3.2. Jos S on suppenevn srjn summ j S n srjn n:s ossumm, niin R n S S n. Lisäksi tällöin lim R n lim (S S n ) n n lim S lim S n S S. n n Esimerkki 3.5. Jos q <, niin geometrisen srjn (ks. esimerkki 3.4) q k k jäännöstermiksi sdn R n kn q k q qn q qn q. Huomutus. Kosk geometrisen srjn indeksointi loitetn nollst, niin srjn n:nnen jäännöstermin indeksointi esimerkissä 3.5 lk rvost n (eikä siis rvost n + ). Määritetään luvun 3. lopuksi vielä summ khdelle myöhemminkin esiintyvällä srjlle. Summi hyödynnetään myöhemmissä esimerkeissä. 53

59 Esimerkki 3.6. Osoitetn, että srj ( ) k suppenee j sen summ on log 2 (vrt. esimerkki 4.4, s. 3). Olkoon k S n n k k ( ) k srjn n:s ossumm. Oletetn lisäksi, että t [, ], j trkstelln geometrist srj, jonk suhdeluku on t. Kosk t, niin kyseisen geometrisen srjn n:nneksi ossummksi sdn (ks. esimerkki 3.4) Täten Jos siis n Z +, niin n k ( t) k ( t)n ( t) n + t ( t) k + ( t)n + t k + t dt ( n k k + t ( t)n + t. n Z +. ) ( t) k + ( t)n dt + t n k n k n k n k ( t) k dt + ( ) k / ( ) k ( ) k k + + R n ( t) n + t dt }{{} Merk. R n t k+ k + + R n k + + R n n k ( ) k k + R n S n + R n. 54

60 Toislt + t dt / log( + t) log( + ) log log 2, joten Kosk S n log 2 R n n Z +. ( t) R n n + t dt / ( t) n + t t n + t dt t n dt t n+ n + n + dt niin lim S n lim (log 2 R n ) n n Siis trksteltv srj suppenee j, kun n, lim log 2 lim R n log 2. n n ( ) k k k log 2. 55

61 Esimerkki 3.7. Tutkimll geometrist summ, jonk suhdeluku on t 2, voidn vstvll tvll kuin esimerkissä 3.6 osoitt (hrjoitustehtävä), että srj suppenee j k (vrt. esimerkki 5.2, s. 2). k ( ) k 2k + ( ) k 2k + rc tn π 4 56

62 3.2 Perustuloksi Trkstelln sitten muutmi srjojen perusominisuuksi. Luse 3.3. Jos k x k suppenee, niin lim k x k. Todistus. Srjn supetess ossummien jonoill (S n ) j (S n ) on sm rj-rvo S eli lim S n lim S n S. n n Täten lim x n lim (S n S n ) n n lim S n lim S n S S. n n Huomutus 3.4. Luse 3.3 ei ole voimss kääntäen. Esimerkiksi hrmoninen srj hjntuu (ks. esimerkki 3.3, s. 5), vikk sen termin rj-rvo on noll. Luse 3.3 voidn esittää myös muodoss, jot voidn helposti käyttää srjn hjntumisen osoittmiseen. Seurus 3.5 (Hjntumistrkstin). Jos lim x k k hjntuu., niin srj x k k Esimerkki 3.8. Osoitetn, että srj hjntuu. n n n + 2 Kosk n lim n n + 2 lim n + 2 ( ), n niin srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. 57

63 Esimerkki 3.9. Vstvll tvll kuin esimerkissä 3.8 voidn osoitt, että srj n sin n hjntuu (hrjoitustehtävä). n Luse 3.6. Olkoon x k S, y k T j c R. Tällöin k k (i) (ii) c x k c S, k (x k + y k ) S + T. k Todistus. Äärellisten summien perusominisuuksien j oletusten nojll (i) S n n c x k n c x k c S, kun n, k k (ii) S n n (x k + y k ) k n n x k + y k S + T, kun n. k k Huomutus. Luseess 3.6 srjn summn olemssolo sisältää tietysti oletuksen (ti väitteen), että srj suppenee. Esimerkki 3.. Kosk esimerkin 3.7 (s. 56) perusteell niin luseen 3.6 nojll k ( ) k 2k + rc tn, k ( ) k+ 2k + ( ) k ( ) k 2k + rc tn rc tn( ) π 4 (j siis molemmt srjt suppenevt). Vrt. esimerkki 5.2, s

64 Esimerkki 3.. Osoitetn, että srj suppenee, j määritetään srjn summ. + 2 k+2 k 3 k+ Luseen 3.6 j geometrisen srjn suppenemistulosten (esimerkki 3.4, s. 52) nojll j k k 3 k+ k 2 k+2 3 k+ k 3 3 k k 3 k 4 3 k ( 3 k ( 2 3 ) k 3 ) k (j siis molemmt srjt suppenevt). Täten luseen 3.6 nojll trksteltv srj suppenee j k + 2 k+2 3 k+ ( ) 2k+2 + k 3k+ 3 k Esimerkki 3.2. Lusett 3.6 käyttäen geometrisen srjn q k k jäännöstermi sdn srjn supetess helposti määritettyä myös käyttämättä srjn ossumm (vrt. esimerkki 3.5, s. 53), sillä kun q <, niin R n q k q n q k q n kn k q qn q. Seurus 3.7. Jos c j srj x k k hjntuu, niin myös srj hjntuu. c x k k 59

65 Esimerkki 3.3. Srj k hjntuu seuruksen 3.7 nojll, sillä 2 k j hrmoninen srj hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5). k k 2 k k k 2 k Seurus 3.8. Jos toinen srjoist x k k j y k k suppenee j toinen hjntuu, niin srj (x k + y k ) k hjntuu. Esimerkki 3.4. Osoitetn, että srj k + 2 k(k + ) hjntuu. Kosk k + 2 k(k + ) k (k + ) + k(k + ) k + k(k + ) kikill k Z +, niin väite seur suorn seuruksest 3.8, sillä srj k(k + ) k suppenee (esimerkki 3., s. 5) j hrmoninen srj k hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5). k 6

66 Huomutus. Jos srjt x k k molemmt hjntuvt, niin srj j y k k (x k + y k ) k voi hjntu ti supet (ks. esimerkki 3.5). Esimerkki 3.5. Olkoon x k k j y k k (k Z + ). Tällöin srjt x k j y k k k molemmt hjntuvt (hrmoninen srj; seurus 3.7). Toislt srj ( ( (x k + y k ) k k k + )) k k suppenee, mutt srj ( (x k + x k ) k k k + ) 2 k k k hjntuu (esimerkki 3.3). Huomutus. Jos srjt x k k molemmt suppenevt, niin srjn j x k y k k y k k ei silti trvitse supet (ks. esimerkki 3.6). 6

67 Esimerkki 3.6. Myöhemmin esimerkissä 3.3 (s. 8) osoitetn, että srj x k k k suppenee. Kuitenkin kertomll stu srj ( ) k+ k x k x k k k ( ) k+ k ( )k+ k hjntuu hrmonisen srjn (esimerkki 3.3, s. 5). k k Todistetn vielä luvun 3.2 lopuksi pri sinänsä ilmeistä myöhemmissä todistuksiss trvittv putulost. Luse 3.9. Jos srjt S x k j T k y k k suppenevt j niin S T. x k y k k Z +, Todistus. Luseen oletusten perusteell n S n x k k n y k T n n Z +. k Kosk srjt suppenevt, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll S lim S n lim T n T. n n Seurus 3.. Jos srjt S suppenevt, niin S T. x k j T k x k k 62

68 Todistus. Kosk x k x k x k k Z +, niin luseen 3.9 (j srjn suppenemisen perusominisuuksien) nojll T S T. Täten väite seur itseisrvon perusominisuuksist. Huomutus 3.. Luvun 3.2 tulokset ovt tietysti voimss myös, jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust kuin. 63

69 3.3 Positiiviterminen srj Positiivitermisellä srjll trkoitetn srj, jonk termit ovt ei-negtiivisi. Toisin snoen srj x k k on positiiviterminen, jos x k kikill k Z +. Luse 3.2. Positiiviterminen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono (S n ) on ylhäältä rjoitettu. Todistus. Positiivitermisen srjn ossummien jono (S n ) on ilmn muut ksvv. Jos (S n ) on lisäksi ylhäältä rjoitettu, niin rj-rvo lim S n S n on olemss monotonisten jonojen perusluseen nojll, joten srj suppenee Jos ts (S n ) ei ole ylhäältä rjoitettu, niin lim S n, n joten srj hjntuu. Positiivitermisille srjoille on lukuisi suppenemistestejä, joist tässä trkstelln muutm. Aluksi trkstelln integrlitestiä Integrlitrkstin Integrlitestissä tvoitteen on verrt srjn j epäoleellisen integrlin suppenemist. Luse 3.3 (Integrlitrkstin). Olkoon f sellinen vähenevä funktio, että f(x) kikill x. Tällöin f(k) suppenee k f(x) dx suppenee. 64

70 Todistus. Kosk f on vähenevä, niin kikill k Z +. Täten f(k) f(x) f(k + ) x [k, k + ] f(k) j edelleen k+ k f(k) dx k+ k f(x) dx k+ k f(k + ) dx f(k + ) k Z + (3.) n f(k) k n+ f(x) dx n f(k + ) k n+ k2 f(k) n Z +. : Oletetn ensiksi, että suppenee. Kosk nyt f(x), niin S n f(x) dx n n f(k) f() + f(k) (3.) n f() + k k2 f(x) dx f() + kikill n Z +. Siis jono (S n ) on ylhäältä rjoitettu, joten srj suppenee luseen 3.2 nojll. : Oletetn sitten, että f(k) k f(k) M k f(x) dx } {{ } vkio suppenee. Olkoon z > j n z. Tällöin n z < n + j kosk f on ei-negtiivinen, niin z f(x) dx n+ Täten epäoleellinen integrli f(x) dx (3.) suppenee luseen 2.3 (s. 29) nojll. f(x) dx n f(k) k f(k) M. k 65

71 Huomutus 3.4. Luseen 3.3 todistuksest hvitn, että srjn j sitä vstvn epäoleellisen integrlin supetess f(x) dx f(k) f() + f(x) dx. k Huomutus 3.5. Integrlitrkstimesskn ei ole oleellist, että srjn summus loitetn indeksin rvost. Tulos pätee tietysti myös muill loitusrvoill k, kunhn vin trksteltv funktio f on vähenevä j f(x) kikill x k. Esimerkki 3.7. Osoitetn, että srj hjntuu. Funktio n2 f(x) n log n x log x on vähenevä j positiivinen, kun x 2. Täten integrlitrkstimen nojll Kosk z lim z 2 2 x log x dx niin sekä integrli että srj hjntuvt. f(x) dx suppenee lim z / z 2 log(log x) 2 x log x dx n2 n log n f(n) suppenee. n2 {}}{ lim ( log(log z) log(log 2)), z 66

72 Esimerkki 3.8. Osoitetn, että srj n n s suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. : Olkoon s. Tällöin lim n n s lim n n {}}{ s >, joten srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. 2 : Olkoon s >. Trkstelln funktiot f(x) x s, jok on nyt vähenevä j, kun x. Lisäksi esimerkin 2.7 (s. 27) nojll x s dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. Täten integrlitrkstimen nojll srj n s n suppenee, kun s >, j hjntuu, kun < s. Väite seur nyt kohdist j 2. Huomutus. Esimerkin 3.8 suppenevt srjt määrittelevät (osin) ns. Riemnnin zet-funktion ζ(s) (s > ), n s n joll on keskeinen rooli nlyyttiseksi lukuteoriksi kutsutull mtemtiikn oslueell. Huomutus. Jos s >, niin x s dx z lim z x s dx lim z s Täten huomutuksen 3.4 nojll sdn rvio / z s ζ(s) + s ( ) lim xs z s z s (s > ). s. 67