5 Epäoleellinen integraali

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 Epäoleellinen integraali"

Transkriptio

1 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss kikill ], b[. Määritelmä 5.. Jos b on äärellisenä olemss, snotn että integrli suppenee, j merkitään = b. Kyseistä integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, b]. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn että integrli hjntuu. Funktion epäoleellinen integrli integrointivälin lrjll määritellään vstvsti. Myös tällöin integrlin snotn hjntuvn, jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen. Määritelmä 5.2. Jos on f sellinen välillä ], b] määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] kikill ], b[ j on olemss äärellinen rjrvo, + snotn että integrli 94

2 suppenee, j merkitään = +. Huomutus 5.. Määritelmän 5. ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, ] toteutuu, jos esimerkiksi f on jtkuv välillä [, b[. Vstvsti määritelmän 5.2 ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, b] toteutuu, jos f on jtkuv välillä ], b]. Huomutus 5.2. Yllä olev vstv huomutus voidn esittää myös muille luvun 5 määritelmille j tuloksille. Toisin snoen funktion jtkuvuus välillä I tk funktion Riemnn-integroituvuuden jokisell välin I suljetull osvälillä. Huomutus 5.3. Jos hlutn korost integrlin epäoleellisuutt ti epäoleellisuuspisteitä, voidn merkitä = b j = + +. Esimerkki 5.. Määritetään x 2 dx. Epäoleellisuuspiste on integrointivälin ylärjll. Siis dx = x 2 = / x 2 dx rc sin x = (rc sin rc sin ) = rc sin = π 2. 95

3 Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin x s dx = x s dx (b >, s R) suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Olkoon jokin välin ], b[ piste. Jos s =, niin (5.) j jos s, niin x s dx = / b log x = log b log, (5.2) x s dx = / b x s s = b s s s s. Siis sdn seurvt tpukset. : Jos s >, niin tuloksen (5.2) perusteell x s dx = + joten integrli hjntuu. b s s + s = + < {}}{ s vkio ( {}}{ b s {}}{ s ) =, 2 : Jos s =, niin tuloksen (5.) perusteell x s dx = + joten integrli hjntuu. + 3 : Jos s <, niin tuloksen (5.2) perusteell ( { vkio }}{{}}{ log b log ) =, x s dx = + joten integrli suppenee. b s s + s = + > {}}{ s ( {}}{ vkio {}}{ b s ) s = b s s, Jos s <, niin x s on jtkuv välillä [, b], joten kyseessä ei ole vrsininen epäoleellisuuspiste (vrt. huomutus 5.4, s. 97). 96

4 Kohtien 3 perusteell Lisäksi integrlin supetess dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs x s dx = b s s. Huomutus 5.4. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin missä = b = + on funktion f Riemnn-integrli välillä [, b]., Todistus. Väite seur suorn jtkuvuuden määritelmästä, sillä luseen 3. (s. 44) nojll G () = ovt jtkuvi funktiot välillä [, b]. Esimerkki 5.3. Määritetään j G 2 () = x log x dx. Olkoon ], [. Osittisintegroimll sdn x log x dx = = / ( 2 x 2 2 log x x 2 2 x dx log 2 2 log ) = 2 2 log x 2 dx. x 2 dx 97

5 Nyt x on jtkuv (j siis Riemnn-integroituv) koko välillä [, ], joten huomutuksen nojll Kosk niin Siis x + 2 dx = x 2 dx = / x 2 4 = 4. {}}{ 2 log = {}}{ log =, x log x dx = + 4 = 4. x log x dx = 4. Määritelmä 5.3. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b] pitsi mhdollisesti pisteessä c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], c[ j Riemnn-integroituv välillä [, b] kikill ]c, b[. Tällöin snotn, että integrli suppenee, jos integrlit suppenevt. Tällöin c j c = c + c. Esimerkki 5.4. Tutkitn integrlin x 3 dx suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin keskellä pisteessä x =. Jos esimerkiksi >, niin x 3 dx = / 2x = ( ) , kun +.

6 Siis integrli hjntuu. x 3 dx Huomutus 5.5. Jos integrlin epäoleellisuuspiste on keskellä integrointiväliä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt epäolellisuuspisteen eri puolill oleviss integrleiss yhtäikisesti. Esimerkki 5.5. Trkstelln esimerkin 5.4 integrli x 3 dx. Nyt + ( x 3 dx + ) x dx 3 = + ( / 2x 2 + / ) 2x 2 ( ( ) = ( ) ) 2 }{{ 2 } = =, mutt integrli ei kuitenkn suppene. Luse 5.6. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b[ j c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[. Tällöin integrlit j c suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. Edelleen jos integrlit suppenevt, niin = c c. Todistus. Väitteet seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä, sillä = vkio {}}{ c + c = ]c, b[ 99

7 j c = c ]c, b[. Huomutus 5.7. Lusett 5.6 vstv tulos on voimss, jos epäoleellisuuspiste on integrointivälin lrjll (hrjoitustehtävä). Määritelmä 5.4. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin ], b[ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi c ], b[. Tällöin integrli suppenee, jos integrlit c molemmt suppenevt. Tällöin j c = c + c. Huomutus 5.8. Luseen 5.6 j huomutuksen 5.7 nojll integrlin rvo määritelmässä 5.4 ei riipu pisteen c vlinnst. Esimerkki 5.6. Tutkitn integrlin x( x) dx suppenemist. Integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä. Aluksi hvitn, että välillä ], [ x( x) dx = 2 2 x ( x) 2 dx = 2 rc sin x + C.

8 Olkoon nyt c jokin välin ], [ piste. Tällöin j c + c dx x(x ) = + 2 ( rc sin c dx x(x ) = {}}{ rc sin ) = 2 rc sin c π 2 {}}{ 2 ( rc sin rc sin ( π c) = 2 2 rc sin ) c. Siis integrli suppenee j x( x) dx x( x) dx = c x( x) dx + x( x) dx = 2 rc sin ( π c rc sin ) c = π. Huomutus 5.9. Jos integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt molemmiss päätepisteissä yhtäikisesti (vrt. huomutus 5.5). Esimerkki 5.7. Trkstelln integrli 2x x( x) dx. Yhtäikisell rj-rvotrkstelull sdn 2x dx = log (x( x)) + x( x) + ( ) = log (( )) log (( )) + =, mutt integrli ei kuitenkn suppene (hrjoitustehtävä). / c

9 Luse 5.. Oletetn, että integrlit suppenevt. Tällöin j g(x) dx (i) c suppenee j c = c (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx = + g(x) dx. Todistus. Tulokset seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä. Luse 5.. Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin = j =. + b Todistus. Todistetn tpus, joss epäoleellisuuspiste on integrointivälin ylärjll. Muut tpukset todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f Riemnn-integroituv välillä [, c] kikill c ], b[. Tällöin luseen 3. (s. 44) nojll Lisäksi luseen 5.6 nojll = + = =. ], b[, 2

10 joten = ], b[. Siis rj-rvon lskusääntöjen perusteell ( = b b = = =. { = vkio }} { b ) 3

11 5.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Luse 5.2. Olkoon f sellinen välillä [, b[ määritelty funktio, että f on Riemnnintegroituv välillä [, ] kikill ], b[. Oletetn lisäksi, että f(x) kikill x [, b[. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että niin suppenee j M ], b[, M. Todistus. Merkitään G() =, [, b[. Tällöin G on oletuksen nojll ylhäältä rjoitettu välillä [, b[. Olkoot nyt j 2 sellisi välin [, b[ pisteitä, että < 2. Kosk f(x) kikill x [, 2 ], niin G( 2 ) G( ) = Siis G on välillä [, b[ ksvv, joten rj-rvo 2. on olemss j G() b G() M. b Huomutus 5.3. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ j f(x) M kikill x [, b[, niin Siis luseen 5.2 ehto M dx = M( ) < M(b ) ], b[. M ], b[ on voimss esimerkiksi (ei-negtiivisille) ylhäältä rjoitetuille funktioille. 4

12 Huomutus 5.4. Lusett 5.2 j huomutust 5.3 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 5.8. Kosk + sin x 2 x ], ], niin huomutuksen 5.3 nojll luseen 5.2 (j huomutuksen 5.4) ehdot ovt voimss. Siis ( + sin ) dx x suppenee. Luse 5.5 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, ] kikill ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j g(x) dx. Todistus. Olkoon [, b[. Kosk g(x) kikill x [, b[, niin y g(x) dx y ], b[. Siis rj-rvon perusominisuuksien nojll g(x) dx = y g(x) dx, y b missä rj-rvon olemssolo seur ehdost (ii) j luseest 5.6 (s. 99). 5

13 Täten ehdon (i) j luseen 5.6 nojll g(x) dx g(x) dx + g(x) dx = g(x) dx. Siis ehdon (ii) nojll on ylhäältä rjoitettu, joten luseen 5.2 nojll suppenee j g(x) dx. Luse 5.6 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, ] kikill ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. Todistus. Jos suppenisi, niin ehdon (i) j mjornttiperitteen perusteell myös g(x) dx suppenisi, mistä seurisi ristiriit ehdon (ii) knss. 6

14 Huomutus 5.7. Luseit 5.5 j 5.6 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 5.9. Tutkitn integrlin e x x 2 dx suppenemist. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk e x < e kikill x [, [, niin e x < e x 2 x 2 x [, [. 2 : Integrli e dx = e dx x 2 x 2 suppenee (esimerkki 5., s. 95, j luse 5., s. 2). Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee. Lisäksi esimerkin 5. nojll Huomutus 5.8. Kosk A x dx = A s e x x 2 dx e x dx e π x 2 2. dx (A >, b > ) xs suppenee täsmälleen silloin, kun s < (esimerkki 5.2, s. 96, j luse 5., s. 2), niin usein g(x) = A x s (A > ) on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll. 7

15 Esimerkki 5.. Trkstelln integrlin suppenemist. I(s) = dx (s ) x s log ( + x) : Olkoon s. Kosk niin log ( + x) x x >, x s log ( + x) x s x = x ], ]. xs+ 2 : Kun s, niin s +, joten hjntuu (esimerkki 5.2, s. 96). dx xs+ Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli I(s) hjntuu, kun s. Esimerkki 5.. Trkstelln integrlin suppenemist. I(s) = dx (s < ) x s log ( + x) : Olkoon s <. Trkstelln pufunktiot Nyt f(x) = log (x + ) x, x [, ]. 2 f (x) = x + 2 x [, ], joten f on ksvv välillä [, ]. Kosk f() =, niin f(x) x [, ] j edelleen log ( + x) x 2 x [, ]. Siis x s log ( + x) x s x 2 = 2 x s+ x ], ]. 8

16 2 : Kun s <, niin s + <, joten 2 dx = 2 dx xs+ xs+ suppenee (esimerkki 5.2, s. 96, j luse 5., s. 2). Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli I(s) suppenee, kun s <. Yhdessä esimerkin 5. tuloksen knss sdn, että I(s) suppenee täsmälleen silloin, kun s <. Huomutus 5.9. Esimerkkien 5. j 5. vertilufunktioit vstvt funktiot sdn johdettu myös rj-rvotuloksest log ( + x) x + x =, sillä rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen h >, että ekvivlenssiketjun log ( + x) x < 2 log ( + x) < < 2 x 2 2 < log ( + x) x < 3 2 x 2 < log ( + x) < 3x 2 epäyhtälöt ovt voimss välillä ], h[ ], ]. Täten < 2 3 x < log ( + x) < 2 x x ], h[ j edelleen < 2 3 x < s+ x s log ( + x) < 2 x ], h[. x s+ Huomutus 5.2. Kosk A dx j (x ) s A dx ( < b, A > ) (b x) s suppenevt täsmälleen silloin, kun s < (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 5.8), niin usein A g(x) = (A > ) (x ) s 9

17 on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll, j vstvsti A g(x) = (A > ) (b x) s on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] ylärjll. Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin suppenemist. π sin x (π x) 2 dx : Kosk sin x = sin (π x) kikill x R, niin x π sin x π x = x π sin (π x) π x Siis on olemss sellinen luku h, että < h < π j sekä edelleen sin x π x 2 sin x (π x) 2 2 π x 2 : Huomutuksen 5.2 perusteell hjntuu. π π h = sin x [π h, π[ 2 π x dx x [π h, π[. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että π π h sin x (π x) 2 dx hjntuu, joten luseen 5.6 (s. 99) perusteell myös =. hjntuu. π sin x (π x) 2 dx

18 5.3 Itseinen suppeneminen Määritelmä 5.5. Epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse 5.2. Jos integrli suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Kosk j f(x) f(x) 2 f(x) x [, b] 2 f(x) dx = 2 suppenee, niin mjornttiperitteen nojll myös ( f(x) f(x)) dx f(x) dx suppenee. Edelleen rj-rvon lskusääntöjen nojll = ( f(x) f(x) + f(x)) dx = f(x) dx joten luseen 5. (s. 2) nojll myös ( f(x) f(x)) dx, suppenee.

19 Esimerkki 5.3. Tutkitn integrlin sin x dx suppenemist. Kosk sin x x ], ], niin huomutuksen 5.4 (s. 5) nojll sin x dx suppenee. Siis luseen 5.2 nojll myös integrli suppenee. sin x dx Huomutus Luse 5.2 ei ole voimss kääntäen. Esimerkiksi integrli π x sin x dx suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutukset 5.23, s. 4, j 5.34, s. 24). Huomutus. Epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä mutt ei itseisesti. Esimerkiksi huomutuksen 5.22 epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti. 2

20 5.4 Integrointi yli äärettömän välin Edellä ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integroitv funktio ei ollut rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn integrointi, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luvuiss keskitytään väliin [, [. Luvuss trkstelu ljennetn koskemn myös väliä ], b] j luvuss vstvsti erilisten epäoleellisten integrlien yhdistelmiä Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen funktio, että f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä eli on olemss kikill >. Määritelmä 5.6. Jos rj-rvo on äärellisenä olemss, snotn epäoleellisen integrlin suppenevn j merkitään =. Mikäli rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn integrlin hjntuvn. Esimerkki 5.4. Integrli hjntuu, sillä rj-rvo ei ole olemss. sin x dx = sin x dx / cos x = ( cos ) 3

21 Esimerkki 5.5. Määritetään e x log 2 x dx. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin j logritmin derivointikvoj sdn e x log 2 dx = x = e / e ( ) log x log 2 x x dx ( = log ) log e = ( ) =. Huomutus Olkoon >. Tällöin integrlit j ( ) x f dx 2 x suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess = ( ) x f dx. 2 x Todistus. Tulos seur rj-rvon perusominisuuksist, sillä sijoittmll x = t j dx = t dt, 2, sdn = ( ) f ( ) dt = t t 2 ( ) t f dt = 2 t ( ) x f dx. 2 x 4

22 Esimerkki 5.6. Tutkitn integrlin x s dx suppenemist ( >, s R). Huomutuksen 5.23 perusteell suppenee täsmälleen silloin, kun x s dx = ( x ) s dx suppenee. Integrli x 2 xs dx = dx x2 s dx x2 s puolestn suppenee esimerkin 5.2 (s. 96) nojll täsmälleen silloin, kun 2 s < eli kun s >. Siis dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs Aiemmisss luvuiss esitetyt epäoleellisi integrlej koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luseet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi b >. Tällöin integrlit j b suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess b =. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.6, s. 99). 5

23 Luse Oletetn, että integrlit j g(x) dx suppenevt. Tällöin (i) c suppenee j c = c (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx = + g(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5., s. 2). Luse Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin =. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5., s. 2) Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Ei-negtiivisen funktion integrlin suppenemisen tutkimiseen on rjoittmttomll välillä käytössä smt putulokset kuin tpuksess, joss funktion rvo ei ole rjoitettu. Perustuloksen on nytkin, että ei-negtiivisen funktion integrli on ksvv j että ksvvll ylhäältä rjoitetull funktioll on rj-rvo. 6

24 Luse Olkoon f sellinen funktio, että f(x) kikill x j f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että M >, niin suppenee j M. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.2, s. 4). Esimerkki 5.7. Olkoon > j f(x) = sin2 x x 2 (x ). Selvästi f(x) kikill x. Kosk niin lisäksi sin 2 x x R, = sin 2 x x 2 dx x 2 dx = / x = < kikill >. Siis luseen 5.27 nojll integrli suppenee j. Myös mjorntti- j minornttiperitteet ovt voimss vstvll tvll kuin rjoittmttomille funktioille. Peritteet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. 7

25 Luse 5.28 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) f(x) g(x) x, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j g(x) dx. Todistus. Kuten luse 5.5 (s. 5). Luse 5.29 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) g(x) f(x) x, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.6, s. 6). Esimerkki 5.8. Tutkitn integrlin suppenemist. x 2 + x dx ( > ) 8

26 : Kosk niin 2 : Integrli x 2 + x x 2 > x, < suppenee (esimerkki 5.6, s. 5). x 2 + x x 2 x. x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee (kun > ). x 2 + x dx Esimerkki 5.9. Tutkitn integrlin suppenemist. x + x dx : Kosk niin < x + x x + x = 2x x, x + x 2x > x. 2 : Esimerkin 5.6 (s. 5) j luseen 5.25 (s. 6) nojll hjntuu. 2x dx = 2 x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli hjntuu. x + x dx 9

27 Luse 5.3. Olkoot f j g sellisi funktioit, että f(x) j g(x) kikill x j f sekä g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemsss rj-rvo niin x f(x) g(x) = b suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. j ( < b < ), g(x) dx Todistus. Kosk b > j f(x) sekä g(x) kikill x, voidn olett, että muuttujn x jostkin riittävän suurest rvost lken g(x) >. Siis rjrvon määritelmän nojll on olemss sellinen x >, että 2 b < f(x) g(x) < 3 2 b x x j edelleen < b 2 g(x) < f(x) < 3 2 b g(x) x x. Täten mjorntti- j minornttiperitteiden sekä luseen 5.25 (s. 6) nojll integrlit x j x g(x) dx suppenevt smnikisesti. Siis luseen 5.24 (s. 5) nojll integrlit suppenevt smnikisesti. j g(x) dx Esimerkki 5.2. Tutkitn integrlin suppenemist. Olkoon j f(x) = x s dx (s R) + x2 xs + x 2 (x ) g(x) = xs x 2 (x ). 2

28 Tällöin f j g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j f(x) > sekä g(x) > kikill x. Lisäksi x f(x) g(x) = x Edelleen esimerkin 5.6 (s. 5) nojll x s x 2 ( + x 2 ) x s = x x 2 + x 2 = >. g(x) dx = dx x2 s suppenee täsmälleen silloin, kun 2 s > eli s <. Siis luseen 5.3 perusteell = x s + x 2 dx suppenee täsmälleen silloin, kun s <. Huomutus 5.3. Jos luseess 5.3 rj-rvo b = j integrli g(x) dx suppenee, myös integrli suppenee. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus Jos luseess 5.3 rj-rvo b = j integrli g(x) dx hjntuu, myös integrli hjntuu. Todistus. Hrjoitustehtävä. 2

29 5.4.3 Itseinen suppeneminen Määritelmä 5.7. Epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse Jos integrli suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 5.2, s. ). Huomutus. Nytkin epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä mutt ei itseisesti. Esimerkki 5.2. Integrlit sin x x s dx j cos x x s suppenevt itseisesti mjornttiperitteen nojll inkin silloin, kun s >, sillä sin x x s cos x j x s x s x s kikill x j x s dx suppenee, kun s > (esimerkki 5.6, s. 5). dx Esimerkki Tutkitn suppeneeko integrli sin x 2 dx. 22

30 Olkoon >. Osittisintegroimll sdn Nyt Lisäksi j sin x 2 dx = 2 = 2 = 2 / = 2 2 ( ) ( sin x 2 2x) dx x ( ) D(cos x 2 ) dx x ( ) cos x 2 x 2 ( cos 2 ( {}}{ cos 2 ) cos 2 ) cos x 2 cos x2 dx. = cos 2. cos x 2 x 2 x x 2 x 2 dx x 2 cos x2 dx. suppenee (esimerkki 5.6, s. 5), joten mjornttiperitteen nojll suppenee. Siis luseen 5.33 nojll cos x 2 dx x 2 suppenee. Täten rj-rvo on olemss, joten suppenee. cos x 2 dx x 2 sin x 2 dx sin x 2 dx 23

31 Huomutus Luse 5.33 ei ole voimss kääntäen. Voidn esimerkiksi osoitt, että sin x x dx suppenee ehdollisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 5.22, s. 2). π Muut rjoittmttomt välit Luvuiss ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integrointiväli oli [, [. Integrli määritellään vstvsti eli integrli suppenee, jos rj-rvo on äärellisenä olemss. Luvuiss esitetyt tulokset ovt vstvsti voimss myös integrointivälillä ], b]. Integrointiväli voi oll rjoittmton myös molemmiss päätepisteissä. Tällöin integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 5. jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien c j (c R) c vull. Esimerkki Tutkitn integrlin x 2 + x + dx suppenemist j mhdollist rvo. Neliöimällä sdn x 2 + x + = ( x + 2 ) = ( ( ) ) 2 2x+ 3 +,

32 joten x 2 + x + dx = ( ) 2 dx = 2 rc tn 2x + + C. 2x Siis dx = x 2 + x + / 2 = 2 rc tn 2x ( = 2 ( π 3 2 π ) 6 π 2 {}}{ rc tn 2 + rc tn ) 3 3 j dx = x 2 + x + = / = 2 ( π π ). 2 2 rc tn 2x ( 2 rc tn 3 3 π 2 {}}{ rc tn 2 + ) 3 Siis lkuperäinen integrli suppenee j x 2 + x + dx = x 2 + x + dx + = 2 ( π π ) 2 x 2 + x + dx + 2 ( π 3 2 π ) 6 = π 3 + π 3 = 2π 3. 25

33 Huomutus Jos suppenee, niin rj-rvo on olemss. Sen sijn kääntäen rj-rvo voi oll olemss integrlin silti hjntuess (ks. esimerkki 5.24). Esimerkki Trkstelln funktiot Tällöin 2x + dx = x 2 + = / f(x) = 2x + x 2 +. ( ) 2x x dx x 2 + ( log(x 2 + ) + rc tn x ) = ( ( log( 2 + ) + rc tn ) ( = ( log(( ) 2 + ) + rc tn( ) ) ) = {}}{ π 2 π 2 {}}{{}}{ ) log( 2 + ) log( 2 + ) + rc tn rc tn( ) = π 2 + π 2 Integrli = π. 2x + x 2 + dx ei kuitenkn suppene, sillä esimerkiksi integrli hjntuu. 2x + x 2 + dx = (( log( 2 + ) + rc tn ) ( + ) ) = 26

34 5.4.5 Rjoittmton funktio j ääretön väli Integrli voidn trkstell myös tpuksiss, joiss sekä funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä että integrointiväli ei ole rjoitettu. Jos integrointiväli ei ole rjoitettu j funktioll on integrointivälin toisess päätepisteessä epäoleellisuuspiste, integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 5. (määritelmä 5.4, s. ) jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien vull j integrli integrlien vull. c + c j + j c ( < c) c (c < b) Jos epäoleellisuuspiste c on rjoittmttomn välin keskellä, määritellään epäoleellinen integrli kuten vstvss tpuksess luvuss 5. (määritelmä 5.3, s. 98) yhdistämällä epäoleelliset integrlit, joiss c on integrointivälin loppupiste j lkupiste. Siis integrli määritellään integrlien vull, integrli integrlien c c j j c ( < c) c 27 (c < b)

35 vull j integrli integrlien c j c vull. Alkuperäinen integrli tulee tällöin jetuksi vähintään kolmeksi integrliksi, sillä inkin toinen yhdistettävistä integrleist on sellinen, että funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä j integrointiväli ei ole rjoitettu. Täten kyseinen integrli on jettv uuden välipisteen vull vielä (inkin) khteen osn. Esimerkki Tutkitn integrlin suppenemist. niin Kosk Kosk lisäksi x 2 + x dx x 2 + x x > x ], ], < x 2 + x x ], ]. x x dx suppenee (esimerkki 5.2, s. 96, s = ), niin mjornttiperitteen nojll integrli 2 suppenee. x 2 + x dx Toislt esimerkin 5.8 (s. 8) nojll myös integrli suppenee ( = ). Täten integrli x 2 + x dx suppenee. x 2 + x dx = x 2 + x dx + x 2 + x dx 28

36 Esimerkki Tutkitn Eulerin gmmfunktiot Γ(s) = x s e x dx (s > ). Jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn kirjoittmll Γ(s) = + x s e x dx + x s e x dx = I + I 2. : Kosk e x on idosti vähenevä, niin = e > e x e > x ], ]. Täten < x s e x < x s x ], ]. Lisäksi esimerkin 5.2 (s. 96) nojll x s dx = dx x s suppenee, kun s < eli s >. Täten mjornttiperitteen nojll myös I suppenee, kun s >. j 2 : Kosk x x s e x x s+ = x 2 x = e x x 2 dx = x 2 dx suppenee esimerkin 5.6 (s. 5) nojll, niin huomutuksen 5.3 (s. 2) nojll myös integrli I 2 suppenee. Täten kohtien j 2 perusteell Γ(s) suppenee (kun s > ). Käyttämällä osittisintegrointi sdn (kun x, s > ) x s e x dx = xs s e x = s xs e x + s Jos s, niin integrli hjntuu (hrjoitustehtävä). x s s ( e x ) dx x s e x dx. 29

37 Täten x s e x dx = x s e x dx + ( = + s / x s e x + s x s e x dx ) Kosk niin vstvsti = + ( ) e s e s }{{} + + = s e + x s e x dx. s s e =, x s e x dx = x s e x dx ( = s / ( = s e s x s e x + s }{{} x s e x dx x s e x dx s ) e ) + x s e x dx s Täten x s e x dx = = = s e + x s e x dx. s x s e x dx + x s e x dx ( s e + ) ( x s e x dx + s s e + ) x s e x dx s eli = s x s e x dx Γ(s) = Γ(s + ) s 3

38 j edelleen Γ(s + ) = s Γ(s). Lisäksi Γ() = e x dx = / {}}{ e x = ( e ) =, joten Γ(2) = =, Γ(3) = 2 = 2,. j yleisesti Γ(n + ) = n! (n N). Kun s =, niin funktioll Γ(s) on täsmällisesti otten näennäinen epäoleellisuuspiste pisteessä x =, sillä funktiot x s e x ei ole tällöin määritelty. Kosk funktion rvoll yksittäisessä pisteessä ei ole merkitystä integroinnin knnlt, voidn tässä olett, että x s e x = e x myös pisteessä x =. 3

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä

Newton-Cotesin ja Gaussin integrointimenetelmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Anniin Julku Newton-Cotesin j Gussin integrointimenetelmistä Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 215 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö JULKU,

Lisätiedot

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot