Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä"

Transkriptio

1 Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016

2 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus Normi j normivruus Linerikuvus 6 3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt Ketjusääntö Välirvoluse j sen seurukset Lähdeluettelo 16 1

3 Johdnto Tutkielmssni ljennetn normli relinlyysi vektorirvoisten funktioiden nlyysiksi. Pohjtietoin on hyvä oll ymmärrys linerilgebrst j relinlyysistä. Tutkielmn luss määritellään iheeseen liittyvää peruskäsitteistöä, kuten vektorivruus, vektori, normi, normivruus, linerikuvus j funktioiden jtkuvuus. Määrittelyjen tueksi olen ottnut muutmi ymmärrettäviä esimerkkejä rtkisuineen. Näiden peruskäsitteiden ymmärtäminen helpott itse nlyysiosion määritelmien, esimerkkien j luseiden ymmärtämistä. Anlyysiosioss määritellään vektorirvoisten funktioiden derivtt eli Frechet'n derivtt. Tässä määritelmässä huomion rvoist on, että se ei kerro itse funktion derivtn lskemisest mitään. Määritelmässä kerrotn vin, että derivtt on jokin linerikuvus, jok täyttää määritelmän ehdon. Frechet'n derivtn ymmärtämisen helpottmiseksi vertn sitä normliin derivtn määritelmään eli erotusosmäärän rj-rvoon. Yhteistä tutulle derivtlle j vektorirvoisten funktioiden derivtlle on se, että molemmt ovt yksikäsitteisiä j derivoituvuus implikoi jtkuvuuden. Relinlyysistä tutut ketjusääntö j dierentililskenn välirvoluse voidn kirjoitt myös vektorirvoisten funktioiden tpuksess. Erityisesti välirvoluse on tärkeä funktioiden nlyysissä j optimointi ongelmien rtkisemisess. Tuttu välirvolusett j vektorirvoisten funktioiden välirvolusett vertilln myös keskenään, jott ymmärretään niiden erot j smnkltisuudet. Tutkielmn viimeisessä esimerkissä tulee hyvin esille vektorirvoisen välirvoluseen käyttö. Normi käytetään erityisesti Freshet'n derivtn määritelmässä j välirvoluseess. Sitä käytetään, jott vektoreit voidn vertill keskenään. Tvllisten relilukujen vertminen keskenään onnistuu helposti ilmn normi, mutt jos otetn vektorivruudeksi vikk Euklidinen vruus R n ei siellä olevi vikkp viisiuloitteisess vruudess olevi vektoreit voi mitenkään vertill ilmn Euklidist normi. Tutkielmss olen käyttänyt kht teost, Debnthin j Mikusinskin kirjoittm kirj "Hilbert spces with pplictions"j Depreen j Swrtz kirjoittm teost "Introduction to rel nlysis". 2

4 1 Vektorivruus Määritelmä 1.1. Vektorivruudell trkoitetn epätyhjää joukko E, johon on määritelty kksi lskutoimitust: lkioiden summ j kunnn F sklrill kertominen siten, että seurvt ehdot toteutuvt kikill x, y, z E j, b F: 1. x + y = y + x (vihdnnisuus) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (liitännäisyys) 3. On olemss sellinen 0 E, että 0 + x = x (nollvektori) 4. On olemss sellinen x E, että x + ( x) = 0 (vstvektori) 5. On olemss sellinen 1 F, että 1x = x (ykköslkio) 6. (bx) = (b)x (sklrien tulon vihdnnisuus) 7. ( + b)x = x + bx (sklrien summn osittelu) 8. (x + y) = x + y (osittelulki) Joukoll F trkoitetn yleensä joko relilukujen joukko R ti kompleksilukujen joukko C. Joukon E lkioit kutsutn vektoreiksi. Jos F = R, niin E on relinen vektorivruus j jos F = C, niin E on kompleksinen vektorivruus. Esimerkki 1.2. Vektorist puhuttess, käsitetään se koskemn erityisesti vruudess R n ti C n,joss n Z + olevi lkioit ( 1, 2,..., n ). Määritelmän mukn vektori on kuitenkin minkä thns vektorivruuden lkio. Yksinkertisimpi vektorivruuksi ovt relilukujen ti kompleksilukujen joukko ti, vikk vin joukko {0}. Relilukujen joukko on vektorivruus, jos lskutoimituksiksi määritellään relilukujen yhteenlsku j sklrikertolskuksi relilukujen kertolsku. Nämä lskutoimitukset toteuttvt selvästi kikki määritelmän khdeksn koht. Esimerkki 1.3 (Funktioiden muodostm vektorivruus). Olkoon F kikkien kuvusten R R joukko. Jos f F, g F j R, niin kuvukset f + g j f määritellään seurvsti: f + g : R R, x f(x) + g(x) j f : R R, x f(x) Osoitetn että joukko F, joss yhteenlsku j sklrikertolsku määritellään pisteittäin, on vektorivruus. 3

5 Todistus. 1. Vihdnnisuus: f + g = g + f, f, g F j x R. Nyt (f + g)(x) = f(x) + g(x) j (g + f)(x) = g(x) + f(x). Kosk rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, niin ne ovt vihdnnisi. Eli kuvukset (f + g)(x) j (g + f)(x) ovt yhtäsuuret. 2. Liitännäisyys: (f + g) + h = f + (g + h), f, g, h F j x R. Nyt (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x). 3. Nollvektori: Funktioll on olemss nollvektori, jok on vkiofunktio 0(x) = 0, kikill x R. Osoitetn, että se on nollvektori käyttämällä vektorivruuden yhteenlsku. Nyt (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x). 4. Vstvektori: Osoitetn, että funktion f F vstvektori on f. Osoitetn siis, että f + ( f) = 0, eli silloin f(x) on funktion f(x) vstvektori, kikill x R. Eli (f + ( f))(x) = f(x) + ( f(x)) = Ykköslkio sklritulon suhteen: Funktioll on olemss sklritulon suhteen ykköslkio 1 R siten, että (1f(x)) = 1f(x) = f(x). 6. Sklrien tulon vihdnnisuus: Siis (bf(x)) = bf(x) = (b)(f(x)). Kosk, b j f(x) ovt relilukuj, niin osittelulit ovt voimss. 7. Sklrien summn osittelu: Osoitetn, että ( + b)f = f + bf. Nyt (( + b)f)(x) = ( + b)f(x) = f(x) + bf(x) = (f + bf)(x). Käyttämällä sklritulo j yhteenlsku hyväkseen stiin todistettu sklrien summn osittelulki. 8. Osittelulki: Osoitetn, että (f + g) = f + g. Nyt ((f + g)(x)) = (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). Kosk funktioiden f j g rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, osittelulit ovt voimss. 4

6 1.1 Normi j normivruus Määritelmä 1.4. Kuvust x x, jok sett jokisen vektorivruuden lkion vstmn reliluku, kutsutn normiksi, jos se täyttää seurvt ehdot: 1. x = 0, jos j vin jos x = 0 2. λx = λ x, kikill x E j λ F 3. x + y x + y, kikill x, y E Huomutus 1.5. Koht 3. kutsutn kolmioepäyhtälöksi. Sen nojll 0 = 0 = x x x + x = 2 x, eli x 0 kikill x E. Huom, että kohdst 2. seur, että 0 = 0. Kolmioepäyhtälön toist suunt x y x ± y, käytetään myös usein. Se on seurus kohdist 2. j 3. Huomutus 1.6. Normin käsite on tutun itseisrvon yleisempi muoto. Itseisrvo ilmisee yleisesti vektorin pituutt ti etäisyyttä jostkin. Normi ilmisee vektorin etäisyyttä origost äärellisuloitteisiss vruuksiss. Määritelmä 1.7. Joisskin vektorivruuksiss on määritelty normi. Tällisi vektorivruuksi kutsutnkin normivruuksiksi. Normivruutt merkitään prill (E, ), joss E on vektorivruus j on vektorivruuden normi. Jotkut vektorivruudet miellämme suorn normivruuksiksi. Esimerkiksi vektorivruus R n voidn vrust Euklidisell normill x = x x 2 n. Normill on bsoluuttisi rvoj reliluvuiss j kompleksiluvuiss. Näissä sitä voidnkin hyödyntää esimerkiksi etäisyyksien rvioinniss j rjrvojen määrittelyssä. Esimerkki 1.8. Euklidinen normi: z = ( z z n 2 ), z = (z 1,..., z n ) C n Tämä on normi joukoss C n j tätä normi kutsutn Euklidiseksi normiksi. Vektorivruudell C n on myös muit normej kuten z = z z n ti z = mx{ z 1,..., z n }. 5

7 Esimerkki 1.9. Vrustetn Esimerkin 1.3 vektorivruus normill f = sup f(x). x R Oletetn, että funktiot f j g ovt jtkuvi. Osoitetn, että näin sdn normivruus. Todistus. 1. Osoitetn, että f = 0, jos j vin jos f(x) = 0. Nyt sup x R f(x) = 0, silloin f(x) = 0, jost seur, että f(x) = 0, eli funktion normi f = 0, jos j vin jos f(x) = Käyttämällä supremumin lskusääntöjä sdn, että f = sup x R f(x) = sup f(x) = f. x R Tämän perusteellä kerroin voidn ott normin sisäpuolelt pois. 3. Osoitetn, että f + g f + g (kolmioepäyhtälö) toteutuu funktion normiss. Supremumin lskusääntöjen vull sdn, että f + g = sup x R f(x) + g(x) sup x R f(x) + sup g(x) = f + g. x R Kohtien perusteell f = sup x R f(x) on esimerkin 1.3 normi. 2 Linerikuvus Määritelmä 2.1. Olkoon V j W vektorivruuksi. Kuvust L : V W snotn linerikuvukseksi, jos seurvt ehdot täyttyvät: 1. L(v + w) = L(v) + L(w), kikill v, w V 2. L(v) = L(v), kikill v V j F. Linerikuvust merkitään L L(V, W ). Esimerkki 2.2. Kuvus L : R R on linerinen, jos on olemss sellinen R, että L(x) = x kikill x R. Todistus. R 1. L(x + y) = (x + y) = x + y = L(x) + L(y), kikill x, y j 2. L(λx) = λx = λx = λ(l(x)), kikill λ, x R 6

8 Esimerkki 2.3. Kuvus K : R R, K(x) = x + 5 ei ole linerinen. Todistus. 1. K(x + y) = x y = K(x) + K(y) 5 K(x) + K(y) 2. K(x) = x + 5 K(x) = x + 5 Eli yksinkertinen funktio K(x) = x + 5 ei ole linerikuvus, vikk sen kuvj ksv linerisesti. Esimerkki 2.4. Olkoon X = Y = C(, b) vrustettu normill sup x T (x) j olkoot T : X X määritelty (T u)(x) = Osoitetn, että kuvus on linerinen. Todistus T (u + v)(x) = = = K(x, s)u(s)ds. K(x, s)(u(s) + v(s))ds [K(x, s)u(s) + K(x, s)v(s)]ds K(x, s)u(s)ds + T (cu)(x) = = c K(x, s)cu(s)ds K(x, s)v(s)ds = (T u)(x) + (T v)(x) K(x, s)u(s)ds = c(t u)(x) Kohtien 1. j 2. nojll (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Määritelmä 2.5 (Jtkuvuus). Kuvus T L(X, Y ) on jtkuv pisteessä x X, jos kikill ε > 0 löytyy sellinen δ > 0, että T (x) T (y) < ε, kun y Y j y x < δ. Kuvus on jtkuv, jos se on jtkuv jokisess pisteessä x X Määritelmä 2.6 (Tsinen jtkuvuus). Funktio f : S 1 S 2 on tsisesti jtkuv joukoss S 1, jos kikill ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε, kun x y < δ. 7

9 Luse 2.7. Olkoon X, Y linerisi normivruuksi j kuvus T : X Y on linerinen. Seurvt kohdt ovt silloin yhtäpitäviä: 1. T on jtkuv vruudess X 2. T on jtkuv pisteessä x = 0 3. { T x : x 1} on rjoitettu osjoukko joukoss R 4. On olemss sellinen M 0, että T x M x kikill x X 5. T on tsisesti jtkuv vruudess X Huomutus 2.8. Linerikuvust pisteessä x merkitään yleisesti T x. Se voidn kirjoitt myös tutummin T (x). Huomutus 2.9. Linerivruuksien X j Y normit ovt yleisesti erilisi, kuitenkn erilisi normej ei merkitä yksinkertisuuden vuoksi eri tvoill. Todistus. Osoitetn kohdt 1.-5 yhtäpitäviksi siten, että jokinen koht implikoi seurvn kohdn j koht 5. implikoi kohdn 1. Selvästi nähdään, että kohdst 1. seur koht 2. Oletetn, että koht 2. on voimss, mutt koht 3. ei ole voimss. Silloin on olemss sellinen jono {x k } X, että x k 1 j T x k k. Määritetään y k = x k /k. Silloin y k 0. Kuitenkin T y k = (1/k) T x k 1 j niinpä jono {T y k } ei mene nolln. Siitä seur, että T ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn, että koht 3. voimss j M = sup{ T x : x 1}. Jos x = 0 sillon koht 4. on selvästi voimss. Jos x 0 määritellään y = x/ x. Silloin y = 1 j T y M. Toisin snoen (1/ x ) T x M j koht 4. toteutuu. Jos koht 4. on voimss, silloin kikille x, y X pätee T x T y = T (x y) M x y. Tästä seur, että T on tsisesti jtkuv j koht 5. on voimss. Välittömästi nähdään, että koht 5. implikoi kohdn 1. Määritelmä 2.10 (Operttorin normi). Olkoon T L(X, Y ). Määritellään T = sup{ T x : x 1}. Huom, että T x T x kikill x X (luseen 2.7 kohdt 3. j 4.). Huom myös, että käytössä ei ole erityistä merkintätp operttorin normille. 8

10 3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt Ennen Frechet'n derivtn määritelmää on hyvä plutell tuttu relifunktioiden derivtt, jok määritellään seurvsti f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x) = lim. h 0 h Tämän määritelmän vull funktioille pystytään lskemn derivtt suorn. On syytä huomt, että Frechet'n derivtt ei pystytä kuitenkn lskemn suorn määritelmän vull. Määritelmä 3.1 kertoo vin sen, että derivtt on olemss tietyin ehdoin. Määritelmä 3.1. Funktio f on Frechet derivoituv pisteessä x, jos on olemss sellinen linerikuvus T : X Y, että f(x + h) f(x) T (h) lim h 0 h = 0. (1) Derivtt T (h) merkitään df(x) ti f (x) eli T (h) = f (x) = df(x) Huomutus 3.2. Frechetn derivtn määritelmä ei kerro miten funktion f derivtt f löydetään. Luse 3.3 käsittelee derivtn yksikäsitteisyyttä j Lusess 3.4 todistetn, että derivoituvuudest seur kuvuksen jtkuvuus. Luse 3.3. Oletetn, että T 1 j T 2 L(X, Y ) j toteuttvt seurvn ehdon: Silloin T 1 = T 2. f(x + h) f(x) T i (h) lim h 0 h = 0, i = 1, 2 Todistus. Olkoon A = T 1 T 2 j h X mielivltinen. Nyt A(h) = f(x + h) f(x) T 1 (h) [f(x + h) f(x) T 2 (h)] f(x + h) f(x) T 1 (h) + f(x + h) f(x) T 2 (h). Siitä seur, että A(h) / h 0, kun h 0. Näin ollen, jos h 0 j h X, silloin A(th) / th 0, kun t 0. Mutt A(th) / th on riippumton t:stä, kosk A(th) th = T 1(th) T 2 (th) th = tt 1h tt 2 h th = T 1h T 2 h. h Niinpä A(th) = 0 j A = 0 eli T 1 = T 2. 9

11 Luse 3.4. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin f on myös jtkuv pisteessä x. Eli funktion derivoituvuudest seur funktion jtkuvuus. Todistus. Yhtälöstä (1) seur f(x + h) f(x) df(x)(h) / h 1, kun h on riittävän pieni. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä sdn f(x + h) f(x) df(x) h h f(x + h) f(x) df(x)(h) h 1, j edelleen f(x + h) f(x) h + df(x) h 0, kun h 0. Esimerkki 3.5. Olkoon D R n j f = (f 1,..., f m ) : D R m. Oletetn, että f on derivoituv pisteessä x D, eli jokinen f i (i = 1,..., m) on derivoituv pisteessä x. Osoitetn, että df(x)(e j ) = (D j f 1 (x),..., D j f m (x)), j = 1,..., n. Todistus. Jos T : R n R m on linerinen, niin se voidn tulkit mtriisin. Tässä j = 1,..., n, olkoon T (e j ) = m i=1 t ije i j olkoon [T ] mtriisi [t ij ], i = 1,..., m j j = 1,..., n. Huom, että T e j koordintit tulevt näkyviin j:n pystysrkkeess mtriisiss [T ]. Jos x = n j=1 x je j R n,, silloin ( n m n ) T (x) = x j T (e j ) = x j t ij e j, j=1 toisin snoen, T (x) on trnspoosi x 1 [T ]x t = [t ij ]. x n i=1 j=1 = (T (x)) t. Kosk f on derivoituv pisteessä x, niin mtriisin derivtt df pisteessä x on D 1 f 1 (x) D n f 1 (x) [ ] fi df(x) =. = (x),. x j D 1 f m (x) D n f m (x) Tätä mtriisi kutsutn f:n Jcobin mtriisiksi pisteessä x. Oletetn m = n. Jos f on kirjoitettu komponentti muodoss: 10

12 y 1 = f 1 (x 1,..., x n ),. y n = f n (x 1,..., x n ), silloin Jcobin mtriisin determinntti on (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) = (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) j se on nimetty f:n Jcobin determinntiksi pisteessä x. Esimerkki 3.6. Esimerkissä 2.4 todistettiin, että integrlioperttori (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Lsketn integrlioperttorin derivtt. Ensin lsketn T (u + h) T (u), kun h X on mielivltinen. [T (u + h) T (u)](x) = = = K(x, s)[u(s) + h(s)]ds K(x, s)[u(s) + h(s) u(s)]ds K(x, s)h(s)ds = (T h)(x) K(x, s)u(s)ds Huom, että tulokseksi stiin sm integrlioperttori funktion h suhteen. Seurvksi edellisen lskun sijoitetn se Määritelmään 1 derivtn piklle j trkistetn onko kyseessä integrlioperttorin derivtt T (u + h) T (u) K((x, s)h(s)ds h = 0. Kosk yhtälö on tott kikill h 0, se on Frechet derivtt integrlioperttorille. Se voidn kirjoitt DT (h) = K((x, s)h(s)ds. Huomutus 3.7. Yleisesti trkstelln Frechetn derivtn määritelmässä olev erotust f(x + h) f(x) j pyritään siitä päättelemään derivtt, kuten edellisessä esimerkissäkin tehtiin. Luse 3.8. Jos T L(X, Y ), niin dt = T = T. 11

13 Todistus. Jos T linerikuvus, niin sen Frechetn derivtt on T, kosk T (x + h) T (x) T (h) lim h 0 h = lim h 0 T (x) + T (h) T (x) T (h) h = Ketjusääntö Luse 3.9. Olkoon X, Y j Z normitettuj vektorivruuksi, j D X, j f : D Y derivoituv pisteessä x 0 D. Oletetn, että kuvus g : G Z, missä f(d) G Y, on derivoituv pisteessä f(x 0 ). Silloin F = g f on derivoituv pisteessä x 0 j df (x 0 ) = dg(f(x 0 ))df(x 0 ). Todistus. Olkoon y 0 = f(x 0 ), A = df(x 0 ) j B = dg(y 0 ). Määritellään u(x) = f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ), v(y) = g(y) g(y 0 ) B(y y 0 ), x D y G r(x) = F (x) F (x 0 ) BA(x x 0 ), x D. Näytetään, että df (x 0 ) = BA. Riittää näyttää, että r(x) / x x 0 0, kun x x 0. Nyt r(x) = g(f(x)) g(y 0 ) B(f(x) y 0 ) + B[f(x) f(x 0 ) A(x x 0 )] = v(f(x)) + B(u(x)). (2) Olkoon ε > 0, silloin on olemss selliset η > 0, δ > 0, että v(y) ε y y 0, kun y y 0 < η, j f(x) y 0 < η j u(x) < ε x x 0, kun x x 0 < δ. Silloin j v(f(x)) ε f(x) y 0 = ε u(x) + A(x x 0 ) ε 2 x x 0 + ε A x x0, B(u(x)) B u(x) ε B x x0, kun x x 0 < δ. Niin kvn (2) mukn, r(x) / x x 0 0, kun x x 0. 12

14 3.2 Välirvoluse j sen seurukset Ennen vektorirvoisten funktioiden välirvoluseen määritelmää plutetn mieleen tuttu dierentililskennn välirvoluse, jok määritellään seurvsti f(b) f() = f (c)(b ). Tutun välirvoluseen(val) j luseen 3.10 välirvoluseen(vval) suurimpi eroj on se, että VVAL:ss käytetään normej (vektoreiden etäisyyksiä) j yhtäsuuruden sijll käytetään epäyhtälöä. Normej käytetään, kosk vektoreit ei voi muuten verrt keskenään. VVAL:ss käytetään epäyhtälöä, kosk on tilnteit, joss yhtäsuuruus ei päde. Välirvolusett käytetään yleisesti optimointiongelmien rtkisuiss. Luse Olkoon, b R, Y normitettu vektorivruus j kuvus ϕ : [, b] Y on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä (, b). Silloin on olemss sellinen ζ (, b), että ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ). Todistus. Olkoon L = (b )/3, M = ϕ(b) ϕ(). Määritellään g : [, + 2L] Y siten, että g(s) = ϕ(s + L) ϕ(s). Kosk niin ϕ(b) ϕ() = g() + g( + L) + g( + 2L), M g() + g( + L) + g( + 2L). (3) Osoitetn, että g(s 1 ) M/3, jos < s 1 < + 2L. Tehdään vstoletus, eli g(s) < M/3, kikill < s < + 2L. Kuvus s g(s) on jtkuv, jolloin g() M/3 j g( + 2L) M/3. Tästä tulee ristiriit tuloksen (3) knss. Olkoon t 1 = s 1 + L. Huomtn, että < s 1 < t 1 < b, t 1 s 1 = (b )/3 j g(s 1 ) = ϕ(t 1 ) ϕ(s 1 ) M/3. Päättely voidn toist osvälillä [s 1, t 1 ]. Tästä iheutuu kksi jono {s k } j {t k } välille (, b) siten, että t k s k = (b )/3 k, [s k, t k ] (s k 1, t k 1 ) j ϕ(t k ) ϕ(s k ) M/3 k. Tällöin, ϕ(t k ) ϕ(s k ) (t k s k ) ϕ(b) ϕ(). (b ) Olkoon {ζ} = k=1 [s k, t k ]. Voidn osoitt, että tästä seur ϕ (ζ) ϕ(b) ϕ(). (b ) 13

15 Seurus Jos ϕ luseess 3.10 on sellinen, että M = sup{ ϕ (t) : < t < b}, niin ϕ(b) ϕ() M(b ). Määritelmä 3.12 (Konveksi joukko). Joukko D on konveksi joukko, jos kikill x, y D pätee x + (1 )y D kikill [0, 1]. Seurus Olkoon D konveksi j voin joukko j olkoon f : D Y derivoituv D:ssä. Jos x, y j x 0 D, niin 1. f(y) f(x) y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]} 2. f(y) f(x) df(x 0 )(y x) y x sup{ df(ζ) df(x 0 ) : ζ [x, y]}. Tässä [x, y] = {ty + (1 t)x : 0 t 1} on jn vruudess D. Todistus. 1. Asetetn ϕ : [0, 1] Y kvll ϕ(t) = f(ty + (1 t)x). Tällöin ϕ(0) = f(x) j ϕ(1) = f(y). Ketjusäännön vull sdn, ϕ (t) = df(ty + (1 t)x)(y x). Seurust 3.11 soveltmll sdn väite. Eli eli ϕ(1) ϕ(0) sup ϕ (t) t (0,1) f(y) f(x) sup df(ty + (1 t)x)(y x) t (0,1) sup df(ty + (1 t)x) y x t (0,1) = y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]}. 2. Seur kohdst 1. soveltmll funktioon x f(x) df(x 0 )(x). Esimerkki Mitkä pisteet ζ (0, 1) toteuttvt vektorirvoisenfunktion välirvoluseen ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ), funktiolle ϕ(t) = (t t 2, t t 3 ), 0 t 1? 14

16 Todistus. Lsketn ensin funktion ϕ derivtt. Derivtt on ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) Lsketn seurvksi derivtn normi ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) = (1 2t)2 + (1 3t 2 ) 2 = 2 4t 2t 2 + 9t 4. Lsketn sitten epäyhtälön vsen puoli, kun oletetn, että b = 1 j = 0. Eli ϕ(1) ϕ(0) = ([ ], [ ]) = 0. Nyt epäyhtälöstä sdn, että 0 2 4t 2t 2 + 9t 4 = (1 2t) 2 + (1 3t 2 ) 2. Huomtn, että edellinen yhtälö on in idosti positiivinen, kosk nämä kksi binomin neliötä ovt nolli eri pisteissä. Tästä johtuen yhtälön yhtäsuuruus ei ole koskn voimss. Välirvoluse eli epäyhtälö 0 2 4t 2t 2 + 9t 4. toteutuu kikill välin (0, 1) pisteissä. Huomutus Tämä esimerkki osoitt, että vektorirvoisten funktioiden tpuksiss välirvoluseen yhtäsuuruus ei in päde siksi trvitn epäyhtälö. 15

17 Lähdeluettelo [1] Debnth L j Mikusinski p, Hilbert spces with pplictions, Acdemic Press, 2005, 3rd edition [2] Depree J D j Swrtz C W, Introduction to rel nlysis, Wiley,

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYSI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Johdatusta variaatiolaskentaan

Johdatusta variaatiolaskentaan LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Alkusnt isältö Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m. 1 2. j-rvoist 2 3. Kuvuksen

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt .. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Luri Kumpulinen Vritiolskent j sen sovelluksi Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Lokkuu 2016 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö KUMPULAINEN, LAURI: Vritiolskent

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot