6 Integraalilaskentaa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6 Integraalilaskentaa"

Transkriptio

1 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion määrittämistä (eli derivoinnin käänteistoimitust) snotn integroinniksi. Integrlimerkinnässä d:n jäljessä olev kirjin ilmoitt muuttujn, jonk suhteen integroidn. Huomutus 6.. Funktioll on äärettömän mont integrlifunktiot. Jos funktio F on funktion f integrlifunktio, niin kikki funktiot, jotk ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio, ovt myös funktion f integrlifunktioit: D (F(x) + c) = DF(x) + Dc = F (x) + = f (x). Toislt, funktion f kikki integrlifunktiot ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio. Vkiot c snotn funktion integroimisvkioksi. Esimerkki 6.2. Olkoon f (x) = 2x +. ) Määritä funktion f integrlifunktiot. ) Määritä funktion f se integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt. Rtkisu: ) F(x) = f (x) dx = (2x + ) dx = x 2 + x + c, kosk F (x) = D(x 2 + x + c) = 2x + = f (x). ) Kosk integrlifunktion F kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt, on F() = 2, eli Näin ollen F(x) = x 2 + x 2. Integroimissääntöjä c = 2 c = 2 Derivoimissäännöistä voidn joht seurvt integroimissäännöt. Oletetn, että funktioill f j g on integrlifunktiot j R on vkio.. dx= x + c (vkion integrointi) 52

2 2. x r dx = r + xr+ + c, missä r R, r (potenssifunktion integrointi). f(x) dx = f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn integrointi) Esimerkki 6.. Integroi polynomifunktio p(x) = x 4 x 2 + 7x 2. Rtkisu: p(x) dx = (x 4 x 2 + 7x 2) dx = 4 + x4+ = 5 x5 x x2 2x + c 2 + x x+ 2x + c Trkistetn vstus derivoimll: D( 5 x5 x x2 2x + c) = 5 5x5 x x2 2 = x 4 x 2 + 7x 2 Edellä ollut potenssifunktion integroimissääntö ei sovellu tpukseen r =. Trkstelln seurvksi funktion f (x) = x = x, x, integroimist. Kosk D ln x = x (x > ) on potenssifunktion f (x) = x = x, x, integrlifunktiot muoto F(x) = dx = ln x + c, c R, x. x Huom, että kun x <, on ln x = ln( x), jolloin D ln( x) = x ( ) = x Eksponenttifunktion j trigonometristen funktioiden integroimissäännöt seurvt suorn niiden derivoimissäännöistä: 5

3 e x dx = e x + c x dx = x + c, >, ln cos xdx= sin x + c sin xdx= cos x + c Yhdistetyn funktion integrointi ei in ole kovinkn helppo, eikä onnistu lkeisfunktioiden integroimissääntöjen vull. Seurviss yhdistetyn funktion integroimissäännöissä on in sisäfunktion derivtt kertojn. Kosk D (h(x)) r+ = (r + ) (h(x)) r h (x), niin (h(x)) r h (x) dx = r + (h(x))r+ + c, r. Kosk De h(x) = e h(x) h (x), niin e h(x) h (x) dx = e h(x) + c. Kosk D ln (h(x)) = h(x) h (x) = h (x) h(x), niin h (x) h(x) dx = h(x) h (x) dx = ln h(x) + c, h(x). Kosk D sin (h(x)) = cos (h(x)) h (x), niin cos (h(x)) h (x) dx = sin (h(x)) + c. Kosk D cos (h(x)) = sin (h(x)) h (x), niin sin (h(x)) h (x) dx = cos (h(x)) + c. Tällä kurssill yhdistetyn funktion integroimisess toimii hyvin pun seurv khdeksn kohdn ohje:. Tunnist yhdistetty funktio. 2. Mikä on sisäfunktio? Mikä on sen derivtt?. Onko sisäfunktion derivtt kertojn? Kyllä olisi muuten, mutt vkio on väärä. 54

4 4. Siirrä väärä vkio integrlin eteen. 5. Lisää oike vkio j korj se ulkopuolell. 6. "Peitä" sisäfunktion derivtt j integroi ulkofunktio. 7. Sievennä tulos. 8. Trkist derivoimll (TD). Esimerkki 6.4. Integroi funktiot ) f (x) = 4xe x2 ) g(x) = cos 5x c) h(x) = 4x x 2 + d) i(x) = (x )(x + 2x) Rtkisu: ) f (x) dx = 4xe x2 dx = 4 xe x2 dx = 2 4 2xe x2 dx = 2e x2 + c ) g(x) dx = cos 5xdx= 5 5 cos 5xdx= sin 5x + c 5 c) 4x x 2 + dx = 2 4 2x x 2 + dx = 2 ln x2 + + c = 2 ln(x 2 + ) + c d) Kosk tulolle ei ole erityistä integroimissääntöä, niin kerrotn sulut uki. i(x) = (x )(x + 2x) = x 4 x + 2x 2 2x i(x) dx = (x 4 x + 2x 2 2x) dx = 5 x5 4 x4 + 2 x x 2 + c Esimerkki 6.5. Integroi funktiot ) f (x) = x sin x 2 ) g(x) = x sin x Rtkisu: ) x sin x 2 dx = 2 2x sin x 2 dx = 2 ( cos x2 ) + c = 2 cos x2 + c )? 55

5 )-kohdn funktion integrointiin sopii hyvin ns. osittisintegrointi, jok ei kuulu tenttilueeseen, vn käsitellään kurssill "ylimääräisenä", tulevi opintoj jtellen vrmsti hyödyllisenä integroimiskeinon. *. Osittisintegrointi Tulon derivoimissäännön mukn joten Df(x)g(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x), f (x)g(x) + f (x)g (x) dx = f (x)g(x) + c. Integroidn summ erikseen j siirretään toinen integroitvist yhtälön oikelle puolelle, jolloin sdn osittisintegroimissääntö: f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Rtkistn nyt esimerkin 6.5 )-koht: sin x xdx"vlitsemll" f (x) = sin x j g(x) = x. Tällöin f (x) = cos x j g (x) =. Osittisintegroimll: sin x xdx= cos x x = x cos x + cos x dx cos xdx = x cos x + sin x + c Trkistus: D ( x cos x + sin x + c) = cos x + x sin x + cos x = x sin x Huom, että jos olisi vlittu luss f (x) = x j g(x) = sin x, niin osittisintegrointikvn käytöstä ei olisi ollut hyötyä, sillä yhtälön oikelle puolelle olisi jäänyt integroitvksi funktio 2 x2 cos x. 6.2 Määrätty integrli Olkoon f integroituv välillä [, ]. Funktion f määrätty integrli :st :hen on rjrvo n f (x i ) x j sitä merkitään lim n i= f (x) dx. 56

6 Summ n i= f (x i ) x = f (x ) x + f (x 2 ) x f (x n ) x snotn välisummksi (ktso kurssin kotisivult iheeseen liittyvä GeoGer-demo). Väli [, ] on jettu n:ään yhtä pitkään osväliin j kunkin osvälin pituus on x = n. Pisteet x, x 2,...x n kuuluvt vstville osväleille. Huom, että kun n, niin x. Jos funktio f on jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, ], nt välisumm rvion funktion kuvjn j x-kselin välisen lueen pint-llle A välillä [, ] (kuv puuttuu). Kun osvälien lukumäärä n ksv, pint-ln rvio prnee j lim n n f (x i ) x = i= Olkoon funktio f jtkuv j <. Tällöin f (x) dx = A. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. Lukuj j snotn integroimisrjoiksi: on lrj j on ylärj. Esimerkki 6.6. Lske määrätty integrli Rtkisu: f (x) dx, kun f (x) = 6 2x. Kosk f (x) kikill x [, ], niin f (x) dx = (6 2x) dx = A (kuv puuttuu) j x-kselin j lskevn suorn y = 2x + 6 rjoittm lue välillä [, ] on suorkulminen kolmio, jonk pint-l A on A = 6 2 = 9. Siis f (x) dx = 9. 57

7 Määrätyn integrlin ominisuuksi Olkoot f j g integroituvi välillä [, ] j k R vkio.. 2. f (x) dx = (integroimisrjt yhtä suuret) f (x) dx = f (x) dx (integroimisrjojen vihto). kf(x) dx = k f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = 5. c f (x) dx+ c f (x) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn määrätty integrli) f (x) dx (määrätyn integrlin yhteenlskuominisuus) Seurv tulos yhdistää toisiins määrätyn integrlin j integrlifunktion käsitteet. Sen vull pystytään lskemn helposti muidenkin funktioiden määrättyjä integrlej kuin vin sellisten erikoistpusten (esimerkki 6.6), jotk sdn geometrisesti pintln. Anlyysin perusluse missä F on funktion f jokin integrlifunktio. f (x) dx = F(x) = F() F(), Huomutus 6.7. Merkintä F(x) luetn "sijoitus :st :hen Fx" j trkoitt siis, että vähennetään toisistn ylärj j lrj sijoitettuin integrlifunktion lusekkeeseen. Siten myös integroimisvkio c supistuu sijoituksess pois, eli käytännössä voidn vlit c =. Määrätyn integrlin lskeminen nlyysin perusluseell on näin ollen kksiviheinen. Ensin määritetään funktion jokin integrlifunktio (eli helpoin: c = ), jonk jälkeen tehdään sijoitus, eli lsketn integrlifunktion rvojen erotus. Esimerkki 6.8. Lsketn esimerkin 6.6 määrätty integrli nlyysin perusluseell: (6 2x) dx = Esimerkki 6.9. Lske määrätty integrli e Rtkisu: e (6x x2 ) = = 8 9 = 9. x dx. x dx = e ln x = ln e ln = =. 58

8 Pint-ln lskeminen. Funktion kuvjn j x-kselin rjoittm lue Aiemmin jo todettiin, että funktion f kuvjn, x-kselin sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l A = f (x) dx, jos f (x) kikill x [, ]. kuv puuttuu Jos f (x) < kikill x [, ], niin määrätty integrli f (x) dx on negtiivinen j itseisrvoltn yhtä suuri kuin funktion kuvjn j x-kselin välillä [, ] rjoittmn lueen pint-l. Siis A = f (x) dx. kuv puuttuu Esimerkki 6.. Määritä funktion f (x) = 2x 8x kuvjn j x-kselin rjoittmn kksiosisen lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn funktion f nollkohdt: 2x 8x = 2x(x 2 4) =, jost sdn rtkisuksi x = ti x = ±2. Kosk jtkuv funktio f voi viht merkkiään vin ohitettess nollkoht, voidn in testipisteiden vull selvittää funktion merkki eri nollkohtien välillä: f ( ) = 6 > j f () = 6 < 59

9 Siten A = A + A 2 = = 2 = 2 2 f (x) dx f (x) dx (2x 8x) dx 2 ( 2 x4 4x 2 ) 2 2 (2x 8x) dx ( 2 x4 4x 2 ) = ( 2 ( 2)4 4 ( 2) 2 ) ( ) + ( ) = = 6 2. Khden funktion kuvjn rjoittm lue Määrätyn integrlin vull voidn lske myös khden funktion kuvjn rjoittmn lueen pint-l. Jos välillä [, ] on voimss f (x) g(x), niin funktioiden f j g kuvjien sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l (kuv puuttuu) A = ( f (x) g(x)) dx. Huom, että jos on vin nnettu kksi funktiot f j g, on ensin tutkittv kumpi kuvjist on ylempänä j kumpi lempn milloinkin. Sen perusteell integroitv luseke on eri osväleillä joko f (x) g(x) ti g(x) f (x). Esimerkki 6.. Määritä käyrien y = x 2 2x j y = 2x 2 4x rjoittmn lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn käyrien leikkuskohdt. Sdn yhtälöpri y = x 2 2x y = 2x 2 4x jonk rtkisun on x = ti x =. Merkitään f (x) = x2 2x j g(x) = 2x 2 4x. Kosk lspäin ukev preli g(x) = 2x 2 4x on ylempänä kuin ylöspäin ukev preli f (x) = x 2 2x leikkuskohtien välillä (g() = > f () = ), on prelien, 6

10 eli funktioiden f j g kuvjien rjoittmn lueen pint-l A = = = (g(x) f (x)) dx = ( 2x 2 4x x 2 + 2x + ) dx ( x 2 2x + ) dx = ( x x 2 + x) ( 2x 2 4x (x 2 2x )) dx = ( ) ( )2 + ( ) ( ) 2 + ( ) =...=

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2017 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Muita määrätyn integraalin sovelluksia

Muita määrätyn integraalin sovelluksia Muit määrätyn integrlin sovelluksi Ekstr Pohint Auto kiihyttää tsisesti viiessä sekunniss vuhist 4 km/h vuhtiin 76 km/h. ) Muoost funktio, jok ilmisee uton vuhin v(t), kun on kulunut t sekunti kiihytyksen

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012. mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot