6 Integraalilaskentaa

Transkriptio

1 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion määrittämistä (eli derivoinnin käänteistoimitust) snotn integroinniksi. Integrlimerkinnässä d:n jäljessä olev kirjin ilmoitt muuttujn, jonk suhteen integroidn. Huomutus 6.. Funktioll on äärettömän mont integrlifunktiot. Jos funktio F on funktion f integrlifunktio, niin kikki funktiot, jotk ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio, ovt myös funktion f integrlifunktioit: D (F(x) + c) = DF(x) + Dc = F (x) + = f (x). Toislt, funktion f kikki integrlifunktiot ovt muoto F(x) + c, missä c R on jokin vkio. Vkiot c snotn funktion integroimisvkioksi. Esimerkki 6.2. Olkoon f (x) = 2x +. ) Määritä funktion f integrlifunktiot. ) Määritä funktion f se integrlifunktio, jonk kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt. Rtkisu: ) F(x) = f (x) dx = (2x + ) dx = x 2 + x + c, kosk F (x) = D(x 2 + x + c) = 2x + = f (x). ) Kosk integrlifunktion F kuvj kulkee pisteen (, 2) kutt, on F() = 2, eli Näin ollen F(x) = x 2 + x 2. Integroimissääntöjä c = 2 c = 2 Derivoimissäännöistä voidn joht seurvt integroimissäännöt. Oletetn, että funktioill f j g on integrlifunktiot j R on vkio.. dx= x + c (vkion integrointi) 52

2 2. x r dx = r + xr+ + c, missä r R, r (potenssifunktion integrointi). f(x) dx = f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn integrointi) Esimerkki 6.. Integroi polynomifunktio p(x) = x 4 x 2 + 7x 2. Rtkisu: p(x) dx = (x 4 x 2 + 7x 2) dx = 4 + x4+ = 5 x5 x x2 2x + c 2 + x x+ 2x + c Trkistetn vstus derivoimll: D( 5 x5 x x2 2x + c) = 5 5x5 x x2 2 = x 4 x 2 + 7x 2 Edellä ollut potenssifunktion integroimissääntö ei sovellu tpukseen r =. Trkstelln seurvksi funktion f (x) = x = x, x, integroimist. Kosk D ln x = x (x > ) on potenssifunktion f (x) = x = x, x, integrlifunktiot muoto F(x) = dx = ln x + c, c R, x. x Huom, että kun x <, on ln x = ln( x), jolloin D ln( x) = x ( ) = x Eksponenttifunktion j trigonometristen funktioiden integroimissäännöt seurvt suorn niiden derivoimissäännöistä: 5

3 e x dx = e x + c x dx = x + c, >, ln cos xdx= sin x + c sin xdx= cos x + c Yhdistetyn funktion integrointi ei in ole kovinkn helppo, eikä onnistu lkeisfunktioiden integroimissääntöjen vull. Seurviss yhdistetyn funktion integroimissäännöissä on in sisäfunktion derivtt kertojn. Kosk D (h(x)) r+ = (r + ) (h(x)) r h (x), niin (h(x)) r h (x) dx = r + (h(x))r+ + c, r. Kosk De h(x) = e h(x) h (x), niin e h(x) h (x) dx = e h(x) + c. Kosk D ln (h(x)) = h(x) h (x) = h (x) h(x), niin h (x) h(x) dx = h(x) h (x) dx = ln h(x) + c, h(x). Kosk D sin (h(x)) = cos (h(x)) h (x), niin cos (h(x)) h (x) dx = sin (h(x)) + c. Kosk D cos (h(x)) = sin (h(x)) h (x), niin sin (h(x)) h (x) dx = cos (h(x)) + c. Tällä kurssill yhdistetyn funktion integroimisess toimii hyvin pun seurv khdeksn kohdn ohje:. Tunnist yhdistetty funktio. 2. Mikä on sisäfunktio? Mikä on sen derivtt?. Onko sisäfunktion derivtt kertojn? Kyllä olisi muuten, mutt vkio on väärä. 54

4 4. Siirrä väärä vkio integrlin eteen. 5. Lisää oike vkio j korj se ulkopuolell. 6. "Peitä" sisäfunktion derivtt j integroi ulkofunktio. 7. Sievennä tulos. 8. Trkist derivoimll (TD). Esimerkki 6.4. Integroi funktiot ) f (x) = 4xe x2 ) g(x) = cos 5x c) h(x) = 4x x 2 + d) i(x) = (x )(x + 2x) Rtkisu: ) f (x) dx = 4xe x2 dx = 4 xe x2 dx = 2 4 2xe x2 dx = 2e x2 + c ) g(x) dx = cos 5xdx= 5 5 cos 5xdx= sin 5x + c 5 c) 4x x 2 + dx = 2 4 2x x 2 + dx = 2 ln x2 + + c = 2 ln(x 2 + ) + c d) Kosk tulolle ei ole erityistä integroimissääntöä, niin kerrotn sulut uki. i(x) = (x )(x + 2x) = x 4 x + 2x 2 2x i(x) dx = (x 4 x + 2x 2 2x) dx = 5 x5 4 x4 + 2 x x 2 + c Esimerkki 6.5. Integroi funktiot ) f (x) = x sin x 2 ) g(x) = x sin x Rtkisu: ) x sin x 2 dx = 2 2x sin x 2 dx = 2 ( cos x2 ) + c = 2 cos x2 + c )? 55

5 )-kohdn funktion integrointiin sopii hyvin ns. osittisintegrointi, jok ei kuulu tenttilueeseen, vn käsitellään kurssill "ylimääräisenä", tulevi opintoj jtellen vrmsti hyödyllisenä integroimiskeinon. *. Osittisintegrointi Tulon derivoimissäännön mukn joten Df(x)g(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x), f (x)g(x) + f (x)g (x) dx = f (x)g(x) + c. Integroidn summ erikseen j siirretään toinen integroitvist yhtälön oikelle puolelle, jolloin sdn osittisintegroimissääntö: f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Rtkistn nyt esimerkin 6.5 )-koht: sin x xdx"vlitsemll" f (x) = sin x j g(x) = x. Tällöin f (x) = cos x j g (x) =. Osittisintegroimll: sin x xdx= cos x x = x cos x + cos x dx cos xdx = x cos x + sin x + c Trkistus: D ( x cos x + sin x + c) = cos x + x sin x + cos x = x sin x Huom, että jos olisi vlittu luss f (x) = x j g(x) = sin x, niin osittisintegrointikvn käytöstä ei olisi ollut hyötyä, sillä yhtälön oikelle puolelle olisi jäänyt integroitvksi funktio 2 x2 cos x. 6.2 Määrätty integrli Olkoon f integroituv välillä [, ]. Funktion f määrätty integrli :st :hen on rjrvo n f (x i ) x j sitä merkitään lim n i= f (x) dx. 56

6 Summ n i= f (x i ) x = f (x ) x + f (x 2 ) x f (x n ) x snotn välisummksi (ktso kurssin kotisivult iheeseen liittyvä GeoGer-demo). Väli [, ] on jettu n:ään yhtä pitkään osväliin j kunkin osvälin pituus on x = n. Pisteet x, x 2,...x n kuuluvt vstville osväleille. Huom, että kun n, niin x. Jos funktio f on jtkuv j ei-negtiivinen välillä [, ], nt välisumm rvion funktion kuvjn j x-kselin välisen lueen pint-llle A välillä [, ] (kuv puuttuu). Kun osvälien lukumäärä n ksv, pint-ln rvio prnee j lim n n f (x i ) x = i= Olkoon funktio f jtkuv j <. Tällöin f (x) dx = A. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. f (x) dx = A, kun f (x) kikill x [, ]. Lukuj j snotn integroimisrjoiksi: on lrj j on ylärj. Esimerkki 6.6. Lske määrätty integrli Rtkisu: f (x) dx, kun f (x) = 6 2x. Kosk f (x) kikill x [, ], niin f (x) dx = (6 2x) dx = A (kuv puuttuu) j x-kselin j lskevn suorn y = 2x + 6 rjoittm lue välillä [, ] on suorkulminen kolmio, jonk pint-l A on A = 6 2 = 9. Siis f (x) dx = 9. 57

7 Määrätyn integrlin ominisuuksi Olkoot f j g integroituvi välillä [, ] j k R vkio.. 2. f (x) dx = (integroimisrjt yhtä suuret) f (x) dx = f (x) dx (integroimisrjojen vihto). kf(x) dx = k f (x) dx (vkion siirto) 4. ( f (x) + g(x)) dx = 5. c f (x) dx+ c f (x) dx = f (x) dx + g(x) dx (summn määrätty integrli) f (x) dx (määrätyn integrlin yhteenlskuominisuus) Seurv tulos yhdistää toisiins määrätyn integrlin j integrlifunktion käsitteet. Sen vull pystytään lskemn helposti muidenkin funktioiden määrättyjä integrlej kuin vin sellisten erikoistpusten (esimerkki 6.6), jotk sdn geometrisesti pintln. Anlyysin perusluse missä F on funktion f jokin integrlifunktio. f (x) dx = F(x) = F() F(), Huomutus 6.7. Merkintä F(x) luetn "sijoitus :st :hen Fx" j trkoitt siis, että vähennetään toisistn ylärj j lrj sijoitettuin integrlifunktion lusekkeeseen. Siten myös integroimisvkio c supistuu sijoituksess pois, eli käytännössä voidn vlit c =. Määrätyn integrlin lskeminen nlyysin perusluseell on näin ollen kksiviheinen. Ensin määritetään funktion jokin integrlifunktio (eli helpoin: c = ), jonk jälkeen tehdään sijoitus, eli lsketn integrlifunktion rvojen erotus. Esimerkki 6.8. Lsketn esimerkin 6.6 määrätty integrli nlyysin perusluseell: (6 2x) dx = Esimerkki 6.9. Lske määrätty integrli e Rtkisu: e (6x x2 ) = = 8 9 = 9. x dx. x dx = e ln x = ln e ln = =. 58

8 Pint-ln lskeminen. Funktion kuvjn j x-kselin rjoittm lue Aiemmin jo todettiin, että funktion f kuvjn, x-kselin sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l A = f (x) dx, jos f (x) kikill x [, ]. kuv puuttuu Jos f (x) < kikill x [, ], niin määrätty integrli f (x) dx on negtiivinen j itseisrvoltn yhtä suuri kuin funktion kuvjn j x-kselin välillä [, ] rjoittmn lueen pint-l. Siis A = f (x) dx. kuv puuttuu Esimerkki 6.. Määritä funktion f (x) = 2x 8x kuvjn j x-kselin rjoittmn kksiosisen lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn funktion f nollkohdt: 2x 8x = 2x(x 2 4) =, jost sdn rtkisuksi x = ti x = ±2. Kosk jtkuv funktio f voi viht merkkiään vin ohitettess nollkoht, voidn in testipisteiden vull selvittää funktion merkki eri nollkohtien välillä: f ( ) = 6 > j f () = 6 < 59

9 Siten A = A + A 2 = = 2 = 2 2 f (x) dx f (x) dx (2x 8x) dx 2 ( 2 x4 4x 2 ) 2 2 (2x 8x) dx ( 2 x4 4x 2 ) = ( 2 ( 2)4 4 ( 2) 2 ) ( ) + ( ) = = 6 2. Khden funktion kuvjn rjoittm lue Määrätyn integrlin vull voidn lske myös khden funktion kuvjn rjoittmn lueen pint-l. Jos välillä [, ] on voimss f (x) g(x), niin funktioiden f j g kuvjien sekä suorien x = j x = rjoittmn lueen pint-l (kuv puuttuu) A = ( f (x) g(x)) dx. Huom, että jos on vin nnettu kksi funktiot f j g, on ensin tutkittv kumpi kuvjist on ylempänä j kumpi lempn milloinkin. Sen perusteell integroitv luseke on eri osväleillä joko f (x) g(x) ti g(x) f (x). Esimerkki 6.. Määritä käyrien y = x 2 2x j y = 2x 2 4x rjoittmn lueen pint-l. Rtkisu: Rtkistn käyrien leikkuskohdt. Sdn yhtälöpri y = x 2 2x y = 2x 2 4x jonk rtkisun on x = ti x =. Merkitään f (x) = x2 2x j g(x) = 2x 2 4x. Kosk lspäin ukev preli g(x) = 2x 2 4x on ylempänä kuin ylöspäin ukev preli f (x) = x 2 2x leikkuskohtien välillä (g() = > f () = ), on prelien, 6

10 eli funktioiden f j g kuvjien rjoittmn lueen pint-l A = = = (g(x) f (x)) dx = ( 2x 2 4x x 2 + 2x + ) dx ( x 2 2x + ) dx = ( x x 2 + x) ( 2x 2 4x (x 2 2x )) dx = ( ) ( )2 + ( ) ( ) 2 + ( ) =...=