Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20"

Transkriptio

1 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio Integroituvist funktioit Määrätyn integrlin ominisuuksi Integrlifunktio Integrlilskennn tärkeimmät luseet 6 2 Integroimiskvoj 9 3 Integroimistekniikkoj Rtionlifunktioiden integointi Integrointi sijoituksen vull 12 4 Epäoleelliset integrlit Itseinen suppeneminen 19 1

2 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 2 / 20 1 Määrätty integrli j integrlifunktio Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli inf{s D } = sup{s D }, missä {s D } on funktion f lsummien joukko välillä [, b] j {S D } on funktion f yläsummien joukko smisell välillä. Tässä D on mielivltinen välin [, b] äärellinen jko. Integroituvuus voidn määritellä toisell tvll Riemnnin välisummien vull. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli on olemss sellinen luku I R, että δ D I 0, kun D 0 missä D on välin [, b] jko mielivltisill välipisteiden vlinnll {t i }, δ D jko D vstv ossumm j D on jon normi. on Määritelmät eivät tuot ongelmi, sillä voidn osoitt, että yllä olevt integroituvuusehdot ovt keskenään yhtäpitäviä j I = inf{s D } = sup{s D }, kun funktio on integroituv. Tässä inf j sup otetn yli kikkien välin [, b] äärellisistä joist D. Mikäli funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin funktion f määrätty integrli välillä [, b] on f(x)dx = I = inf{s D } = sup{s D } Määrätty integrli voidn siis jtell määritellyksi vstmn kummsskin tpuksess funktion lle jäävän pint-ln rj-rvon, edellyttäen että funktio s positiivisi rvoj. Alun perin Newton j Leibniz määrittelivät määrätyt integrlit integrlilskennn peruslusett vstvss muodoss f(x)dx = F (b) F (), missä F (x) = f(x) 2

3 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 3 / 20 Määrittelyssä oli ongelmns, joten Cuchy j Riemnn kehittelivät nykyiset rjrvoihin liittyvät määrätyn integrlin määritelmät, joill suurimmst osst ikisemmist ongelmist päästiin. Huomutus. Selvästikään kikki välillä [, b] määritellyt funktiot eivät ole Riemnnintegroituvi. Ensinnäkin funktion f täytyy oll rjoitettu välillä [, b] eli on olemss sellinen luku M, että f(x) M in, kun x [, b] (vert tyypin kksi epäoleelliset integrlit). Toislt vikk funktio olisikin rjoitettu, niin se ei ole välttämättä Riemnn-integroituv, esimerkkinä vikkp funktio 1, kun x R \ Q f(x) = 0, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä. Määrätty integrli välillä [, b] voidn jtell funktioksi H : {f on integroituv funktio välillä [, b]} R, H(f) = f(x)dx, sillä se liittää jokiseen välillä integroituvn funktioon f yksikäsitteisen reliluvun. Jtkoss puhuttess funktion integroituvuudest trkoitetn juuri Riemnnintegroituvuutt. Integrli voidn määritellä myös muillkin tvoill, joist tunnetuin on Lebesguen integrli. Ylläolev esimerkki Riemnn-integroimttomst funktiost on integroituv Lebesguen mielestä. Asist kerrotn enemmän kurssill Anlyysi III. 1.1 Integroituvist funktioit Kosk Riemnnin summien ti l- j yläsummien lskeminen on hyvin työlästä, niin integroituvuuden perustelemiseen on usein helpompi käyttää seurv lusett 3

4 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 4 / 20 Luse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin se on integroituv välillä [, b]. Luseen todistus perustuu tulokseen, että rjoitetull j suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Täten esimerkiksi kikki jtkuvt lkeisfunktiot tulevt olemn integroituvi jokisell määrityslueens rjoitetull osvälillä. Myös epäjtkuv funktio voi oll integroituv, kunhn epäjtkuvuuskohti on esimerkiksi äärellinen määrä integroitvll välillä. Täten yhdistelemällä ikisemp tieto sdn, että derivoituvuudest seur jtkuvuus, jost seur integroituvuus. Siis f on derivoituv relifunktio f on jtkuv relifunktio f on integroituv relifunktio Lisäksi voidn osoitt muitkin ehtoj, joist integroituvuus seur. Esimerkiksi kikki välillä [, b] rjoitetut j monotoniset funktiot ovt integroituvi kyseisellä välillä. 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi Määritellään integrlille seurvt ominisuudet f(x)dx = b f(x)dx j f(x)dx = 0. Ominisuudet ovt tutut j intuitiivisest selvät. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j c [, b], niin se on integoituv välin [, b] jokisell osvälillä j f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Toisin snoen integrointi voidn suoritt osväleittäin. Mikäli f on integroituv kullkin osvälillä, on yllä olev kv voimss myös kun c [, b]. 4

5 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 5 / 20 Luse. Jos funktiot f j g ovt integroituvi välillä [, b] j f(x) g(x) in, kun x [, b], niin f(x)dx g(x)dx. Tämän luseen seuruksen sdn krke rvio määrätyn integrlin rvolle. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) f(x)dx M(b ). Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x)dx f(x) dx. Edellisen luseen rvion voidn jtell olevn eräällä tvll nloginen kolmioepäyhtälön yleistetyn muodon n i i=1 n i knss. Integrlihn määriteltiin summien rj-rvoksi tiettyjen ehtojen vllitess. i=1 1.3 Integrlifunktio Olkoon f :], b[ R funktio. Funktio F :], b[ R on funktion f integrlifunktio välillä ], b[, jos f(x) = F (x) in, kun x ], b[. Tällöin merkitään f(x)dx = F (x) + C. Tehtyä opertiot eli integrlifunktion etsimistä kutsutn integroimiseksi j funktiot f snotn integrndiksi eli integroitvksi funktioksi. Funktiot F kutsutn myös funktion f primitiivifunktioksi ti ntiderivtksi. 5

6 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 6 / 20 Integrlifunkio ei ole yksikäsitteinen, sillä jos F (x) = f(x), niin D(F (x) + C) = F (x) = f(x) kikille C R. Toislt integrlilskennn perusluseen nojll funktion f kikki primitiivifunktiot ovt muoto F (x) + C, missä luku C kutsutn integroimisvkioksi. Huomutus. Kikkien funktioiden integrlifunktioit ei void esittää lkeisfunktioiden vull. Tälläisiä funktioit on esimerkiksi e x2 j sin x. Tällöin määrätyn x integrlin rvo lskettess täytyy turvutu muihin menetelmiin, esimerkiksi Tylorin srjoihin. Huomutus. Integrlifunktion olemss olo j integroituvuus eivät ole sm si. Funktio voi oll integroituv eräällä välillä ilmn, että sillä olisi integrlifunktiot tällä välillä. Vstvsti funktioll voi oll integrlifunktio ilmn, että se olisi integroituv tällä välillä. Esimerkit näistä tilnteist löytyvät hrjoitustehtävistä. 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät luseet Yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on integroituv välillä [, b]. Jos lisäksi joko g(x) 0 ti g(x) 0 kikill x [, b], niin tällöin on olemss sellinen t [, b], että f(x)g(x)dx = f(t) g(x)dx. Vlitsemll g(x) 1 sdn tutumpi muoto luseelle. Integrlilskennn välirvoluse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin on olemss sellinen t [, b], että f(x)dx = f(t)(b ). 6

7 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 7 / 20 Oletus funktion f jtkuvuudest on välttämätön khdess edellisessä luseess. Vstesimerkiksi käy funktio 1, kun x 0 f(x) = 1, kun x < 0 välillä [ 1, 1], kun g(x) 1. Normlin välirvoluseen vull sdn Integrlilskennn perusluse. Jos f jtkuv välillä [, b], derivoituv väillä ], b[ j f (x) = 0 kikill x ], b[, niin funktio f on vkiofunktio välillä [, b]. Integrlilskennn käyttökelpoisuus on puhtsti integrlilskennn pääluseen nsiot. Se yhdistää derivoinnin j integroinnin j trjo näppärän tvn lske määrättyjen integrlien rvoj. Integrlilskennn pääluse. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin 1. Funktio G : [, b] R G(x) = x f(t)dt on derivoituv välillä [, b] j G (x) = f(x). 2. Jos F on funktion f eräs integrlifunktio, niin f(x)dx = F (b) F (). Huomutus. Päälusett voidn yleistää vielä edellä olleest muodost. Jos oletukseksi ott, että funktio f on integroituv välillä [, b], niin silloin kertymäfunktio G(x) = x f(t)dt tulee olemn jtkuv välillä [, b] j dierentioituv niissä välin [, b] pisteissä joiss funktio f on jtkuv. Huomutus. Kohdss 2. ei oletet integrlifunktion F olemss olo. Siinä vin todetn, että mikäli integrlifunktio on olemss, niin se tulee toteuttmn 7

8 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 8 / 20 esitellyn ehdon. Myöskään integrlifunktion vlinnll ei ole väliä, sillä vkio C tulee supistumn erotuksess pois. Integrointilskennn pääluseen nojll integrointi j derivointi voidn jtell käänteiseksi opertioiksi tietyillä rjoituksill. Jos f on jtkuv välillä [, b], niin d x f(t) dt = f(x) dx kikille x [, b]. Jos funktio F (t) on integroituv välillä [, b], niin x F (t) dt = F (x) F () kikille x [, b]. Pääluse siis kytkee yhteen integrlifunktiot F (x) + C = b f(x) dx j määrätyn integrlin f(x) dx, joill ei määritelmien perusteell näyttäisi olevn mitään yhteyttä lukuunottmtt smnlist merkintää. 8

9 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 9 / 20 2 Integroimiskvoj Luse. Olkoon f j g integroituvi funktioit j k R vkio. Tällöin 1. k dx = kx + C 2. kf(x) dx = k f(x) dx 3. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx 4. f (x)f n (x) dx = f n+1 (x) n+1 + C, kun n 1 5. f (x) f(x) dx = ln f(x) + C, mikäli integrlit ovt olemss. Funktioiden derivoimiskvoist sdn suorn seurvt integroimiskvt: Integroimiskvoj dx = C 2. x n dx = xn+1 + C, kun n 1 n dx = ln x + C x 4. e x dx = e x + C 5. sin x dx = cos x + C 6. cos x dx = sin x + C 7. tn x dx = ln cos x + C 8. dx = rctn x + C 1+x 2 9. dx 1 x 2 = rcsin x + C Funktioiden tulon derivtn perusteell D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Integoimll tämä puolittin sdn Osittisintegrointi. Jos f j g ovt derivoituvi funktioit, niin f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx (1) 9

10 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 10 / 20 3 Integroimistekniikkoj 3.1 Rtionlifunktioiden integointi Rtionlifunktio R(x) on muoto R(x) = P (x) Q(x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomifunktioit. Jos deg P (x) deg Q(x) eli polynomin P ste on suurempi kuin polynomin Q, niin esimerkiksi jkokulmss lskemll sdn esitys R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x), missä deg P 1 (x) < deg Q(x) (todistus Algebr I:ssä). Polynomi P 0 (x) on helposti integoitviss, joten rtionlifunktioiden integroinnin ongelmn on selvittää miten integrointi suoritetn, kun deg P (x) < deg Q(x). Tpus: P (x) = kq (x) Jos osoittjss olev polynomifunktio on P (x) = kq (x), missä k R vkio, niin integrointikvojen perusteell kq (x) Q Q(x) dx = k (x) dx = k ln Q(x) + C. Q(x) Muiss tpuksiss täytyy tutki trkemmin polynomin Q(x) nollkohti, joiden vull polynomi voidn jk tekijöihin. Relikertoimisen polynomin Q(x) lgebrllisten ominisuuksien perusteell sillä on n = deg Q(x) kpplett kompleksisi nollkohti. Lisäksi jos kompleksiluku c = +bi on polynomin Q nollkoht, niin myös sen konjugtti c = bi on polynomin Q nollkoht. Täten relilukukunnss polynomi voidn in esittää ensimmäisen j toisen steen tekijöiden tulon. 10

11 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 11 / 20 Tpus: Polynomi Q(x) = (x x 1 ) n, missä x 1 R Tällöin osmurtokehitelmä kirjoitetn muotoon P (x) (x x 1 ) = A 1 A 2 + n x x 1 (x x 1 ) A n 2 (x x 1 ), n missä kertoimet A 1, A 2,..., A n on vielä määrättävä. Esimerkiksi polynomin Q(x) = (x 2) 3 osmurtokehitelmä on P (x) Q(x) = A x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on reliset juuret Nyt polynomi voidn esittää tulon B (x 2) + C 2 (x 2). 3 Q(x) = (x x 1 ) n 1 (x x 2 ) n2 (x x k ) n k. Tällöin osmurtokehitelmäss jokist termiä (x x i ) n i kohti otetn, kuten edellisessä kohdss osmurto A i1 + A i2 x x i (x x i ) A in i 2 (x x i ). n i Osmurtokehitelmäksi tulee siten näiden summ P (x) k ( Q(x) = Ai1 + x x i i=1 A i2 (x x i ) A in i (x x i ) n i Esimerkiksi jos Q(x) = x 2 (x + 1)(x 3) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x B x + C x 2 + D x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on kompleksisi juuri ). E (x 2) + F 2 (x 2). 3 Jos polynomill Q(x) on myös imginäärisiä juuri, niin ne esiintyvät in preittin c = + bi j c = bi. Tällöin polynomin erääksi tekijäksi tulee toisen sten polynomi (x c)(x c) = x 2 cx cx + c c = x 2 }{{} 2 x + ( 2 + b 2 ). } {{ } r t 11

12 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 12 / 20 Tällöin osmurtokehitelmään otetn termi Ax + B x 2 + rx + t. Mikäli kompleksinen juuri c j esiintyy k > 1 kert polynomiss, niin myös termi (x + rx + t) jk polynomin k kert. Tällöin osmurtoon tulee summ A 1 x + B 1 x 2 + rx + t + A 2x + B 2 (x 2 + rx + t) A kx + B k (x 2 + rx + t) k. Reliset juuret käsitellään kuten edellisessä tpuksess. Esimerkiksi jos Q(x) = (x + i) 2 (x i) 2 (x 2) 3 = (x 2 + 1) 2 (x 2) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x 2 + B (x 2) + C 2 (x 2) + Dx + E 3 x F x + G (x 2 + 1). 2 Osmurtokehitelmissä esiintyvät kertoimet sdn rtkistuiksi, kun kerrotn molemmt puolet polynomill Q(x). Asettmll syntyneiden polynomien muuttujn x smojen potenssien kertoimet yhtäsuuriksi sdn yhtälöryhmä, jost kertoimet ovt rtkistviss. 3.2 Integrointi sijoituksen vull Luse. Jos funktio g : [, b] R on jtkuvsti derivoituv j funktio f on jtkuv kuvjoukoss g([, b]), niin f (g(x)) g (x)dx = g(b) g() f(t)dt Käytännössä lusett sovelletn usein, niin että lskettess integrli I = f (g(x)) g (x)dx vlitn t = g(x). Tästä lsketn dierentiliksi dt = g (x)dx j integroimisrjoiksi lkuperäisiä rvoj j b vstvt t:n rvot t 1 = g() j t 2 = g(b). Sijoittmll nämä sdn integrli I = g(b) g() 12 f(t)dt.

13 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 13 / 20 Toinen tp, mikäli integrli I = d c f(x)dx on hnkl lske, on vlit x = g(t) j lske dx = g (t)dt. Sijoittmll nämä sdn I = f (g(t)) g (t)dt, missä c = g() j d = g(b) ovt uudet integroimisrjt. Määrättyihin integrleihin sijoitettess funktion g ei trvitse oll bijektio, riittää vin, että on olemss selliset rvot j b, että ehdot = g(c) j b = g(d) toteutuvt. Tietenkin, jos g on bijektio, niin on olemss käänteisfunktio g 1, joilloin = g 1 (c) j b = g 1 (d). Sijoitettess määräämättömään integrliin funktion g täytyy oll bijektio. Tämä siksi, että integroinnin onnistuttu voidn lkuperäinen muuttuj plutt käänteisfunktion vull stuun integrlifunktioon. Mikäli sijoitus joht helpompn integrointiin j siten sdn lskettu integrlifunktio, niin sen oikeellisuus voidn in trkist derivoimll se j ktsomll sdnko tulokseksi integroitv funktio. Täten integoimistekniikn muodollinen pätevyys ei ole niin tärkeä, kosk määräämättömän integroinnin tuloksen voi in trkist derivtn vull. Sijoitus x = sin t, > 0. Jos integroitvss funktiot ovt 2 x 2 ti 1 2 x 2, niin voidn käyttää sijoitust x = sin t. Nyt x, joten sijoitus on järkevä, kun t [ π 2, π 2 ]. Tällöin 2 x 2 = 2 2 sin 2 t = 1 sin 2 t = cos 2 t. Kosk t [ π, π ], niin cos t 0 j 2 2 cos2 t = cos t = cos t. 13

14 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 14 / 20 Lisäksi t = rcsin x j dx = cos tdt, missä t = rcsin x on päährn rvo. Sijoitus t = x + x 2 +, > 0. Jos integroitvss on termi x 2 +, niin sijoitus t = x + x 2 + voi joht rtionlifunktion integoitiin. Tällöin lskemll sdn, että t x = x 2 + t 2 2tx + x 2 = x 2 + x = t2. 2t Derivoimll tämä sdn dierentiliksi dx = t2 dt. 2t 2 Sijoitus t = n x+b cx+b. stt joht rtionli- Jos integrliss on n x+b, niin sijoitus t = n cx+b funktion integrointiin. x+b cx+b Sijoitus x = tn t 2. Jos x = tn t, niin piirtämällä suorkulminen kolmio, jonk kteetit ovt x j 2 1 sekä toinen terävä kulm t. Tällöin kolmion hypotenuus on 1 + x 2 2, sin t = 2 x 1+x 2 j cos t = x 2. Trigonometristen funktioiden kksinkertisten kulmien kvoist sdn, että sin t = 2x 1 x2, cos t = j dt = x2 1 + x x dx 2 14

15 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 15 / 20 Tämä sijoitus stt sieventää sopivsti integroitvi funktioit, joiden osoittjss j nimittäjässä on sini- j kosinifunktioit. Tässä esitellyt sijoitukset eivät ole inoit mhdollisi sijoituksi, vn esimerkkejä sijoitustekniikoist. Virllisesti oiket sijoitust ei ole olemss, vn mikä thns sijoitus käy kunhn integrli vin rtke. Jotkut tekniikoist voivt tosin joht huomttvsti helpompiin integrleihin kuin toiset. Usein knntt kokeill eri tyyppisiä sijoituksi, kunnes sopiv löytyy. 15

16 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 16 / 20 4 Epäoleelliset integrlit Nimestään huolimtt epäoleelliset integrlit (englnniksi improper integrls) ovt tärkeitä. Ne määritellään tvllisen määrätyn integrlin rj-rvoiksi. Integroituv funktiot määriteltäessä oletettiin, että funktio f : [, b] R on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio K > 0, että f(x) K. Epäoleellisten integrlien vull voidn ljent trksteltviss olevien määrättyjen integrlien tpuksi tilnteisiin, joiss funktio f ei välttämättä olekn rjoitettu integrointivälillä ti integrointiväli ei olekn rjoitettu. Ensimmäisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroimisväliä ei ole rjoitettu toisest päistä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, c], missä on kiinteä j c > (vstvsti väleillä [c, ], missä c < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli trkoitt rj-rvo c lim c mikäli se on olemss. f(x)dx f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim c ) f(x)dx c ) f(x)dx, Toisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroitv funktio ei ole rjoitettu integroitumisvälillä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, t], missä < t < c (vstvsti väleillä [t, ], missä c < t < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli c f(x)dx tulee trkoittmn rj-rvo lim t c t f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim t c + c ) f(x)dx t ) f(x)dx. Epäoleellisen integrlin snotn suppenevn, mikäli rj-rvo on olemss äärellisenä. Muutoin epäoleellinen integrli hjntuu. 16

17 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 17 / 20 Huomutus. Jos funktion f integrlifunktio on F, niin esimerkisi ensimmäisen tyypin epäoleellinen integrli on rj-rvo f(x)dx = lim c F (c) F (). Vstvsti kikki muutkin tpukset voidn plutt integrlifunktion rjrvoon. Yleisessä tpuksess epäoleellisess integrliss voi oll usempi pisteitä, joiss funktion rvo ei ole rjoitettu tikk integroimisväliä ei ole rjoitettu kummsskn päässä. Tällöin integoimisväli jetn pienempiin osväleihin, niin että jokiselle osvälille tulee vin yksi epäoleellinen integrli. Tällöin epäoleellinen integrli suppenee vin jos kikki rj-rvot ovt olemss. Huomutus. Mikäli funktio F on funktion f integrlifunktio j pisteet x = j x = b ovt funktion f integroinnin ongelmkohdt, niin määrätyn integrlin ominisuuksien perusteell f(x)dx = lim t 1 + c t 1 t2 f(x)dx + lim f(x)dx t 2 b c = lim t 1 + F (t 1) F (c) + F (c) lim t 2 b F (t 2) = lim t 1 + F (t 1) lim t 2 b F (t 2) Tutkittess yleistä tpust epäoleellisest integrlist välin jkopiste c ], b[ voidn vlit vpsti, kosk se ei tule vikuttmn tulokseen. Kosk joidenkin funktioiden integrlifunktion keksiminen on erittäin hnkl, suppenemistestejä trvitn, että epäoleellisten integrlien trkstelut voidn plutt tuttuihin funktioihin. Kun tiedetään, että epäoleellinen integrli suppenee, voidn sen rvo määritellä numeerisillä menetelmillä. Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g integroitovi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x. Jos epäoleellinen integrli g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 17

18 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 18 / 20 f(x)dx suppenee j f(x)dx g(x)dx. Jos epäoleellinen integrli f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. Vstv luse toisen tyypin epäoleellisille integrleille on: Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g jokisell välillä [, c], < c < b, integroituvi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x < b ( vstvsti < x b). Jos epäoleellinen integrli f(x)dx suppenee j Jos epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli f(x)dx g(x)dx. f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli Suorn lskemll sdn seurv tulos, jost sdn suppenemistrksteluj vrten minorntti- j mjornttifunktioit. Luse. Epäoleellinen integrli 1 1 x s dx suppenee jos j vin jos s > 1. Epäoleellinen integrli suppenee jos j vin jos s < x s dx 18

19 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 19 / 20 Ensimmäisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä < x. Jos niin integrlit f(x)dx j f(x) lim x g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Vstvll tvll luse voidn muotoill kun integroimisväliä ei ole lhlt rjoitettu. Toisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä x < b. Jos niin integrlit f(x)dx j 4.1 Itseinen suppeneminen f(x) lim x b g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Edellä minitut suppenemistestit trkstelivt vin positiivisi funktioit. Negtiivisten funktioiden epäoleellisi integrlej voidn trkstell, kun sovelletn suppenemistestejä funktioon f(x). Yleisessä tpuksess epäoleellisen integrlin suppeneminen voidn todet joissin tpuksiss trkstelemmll itseistä suppenemist. Olkoon f(x)dx mielivltinen epäoleellinen integrli (täten voi oll myös = j/ti b = ). Sen snotn suppenevn itseisesti, mikäli epäoleellinen integrli f(x) dx 19

20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 20 / 20 suppenee. Luse. Jos epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, niin se myös suppenee. Luse ei päde toiseen suuntn. Esimerkiksi epäoleellinen integrli 1 sin x x dx suppenee, mutt ei itseisesti. Täten epäoleellisen integrlin itseinen hjntuminen ei nn suor tieto normlist suppenemisest. 20

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2017 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Ann-Riikk Pvol Integrli j yleistetty Pythgorn luse Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Mrrskuu 28 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Pvol, Ann-Riikk:

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali MAT-3430 Lj mtemtiikk 3 TTY 00 Risto Silvennoinen Luku 5. Integrli 5.. Relifunktioien määräämätön integrli Integrlifunktio Derivoinnin käänteistoimituksen on vstt kysymykseen "Mikä on se funktio, jonk

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot