Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20"

Transkriptio

1 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio Integroituvist funktioit Määrätyn integrlin ominisuuksi Integrlifunktio Integrlilskennn tärkeimmät luseet 6 2 Integroimiskvoj 9 3 Integroimistekniikkoj Rtionlifunktioiden integointi Integrointi sijoituksen vull 12 4 Epäoleelliset integrlit Itseinen suppeneminen 19 1

2 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 2 / 20 1 Määrätty integrli j integrlifunktio Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli inf{s D } = sup{s D }, missä {s D } on funktion f lsummien joukko välillä [, b] j {S D } on funktion f yläsummien joukko smisell välillä. Tässä D on mielivltinen välin [, b] äärellinen jko. Integroituvuus voidn määritellä toisell tvll Riemnnin välisummien vull. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv välillä [, b], mikäli on olemss sellinen luku I R, että δ D I 0, kun D 0 missä D on välin [, b] jko mielivltisill välipisteiden vlinnll {t i }, δ D jko D vstv ossumm j D on jon normi. on Määritelmät eivät tuot ongelmi, sillä voidn osoitt, että yllä olevt integroituvuusehdot ovt keskenään yhtäpitäviä j I = inf{s D } = sup{s D }, kun funktio on integroituv. Tässä inf j sup otetn yli kikkien välin [, b] äärellisistä joist D. Mikäli funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin funktion f määrätty integrli välillä [, b] on f(x)dx = I = inf{s D } = sup{s D } Määrätty integrli voidn siis jtell määritellyksi vstmn kummsskin tpuksess funktion lle jäävän pint-ln rj-rvon, edellyttäen että funktio s positiivisi rvoj. Alun perin Newton j Leibniz määrittelivät määrätyt integrlit integrlilskennn peruslusett vstvss muodoss f(x)dx = F (b) F (), missä F (x) = f(x) 2

3 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 3 / 20 Määrittelyssä oli ongelmns, joten Cuchy j Riemnn kehittelivät nykyiset rjrvoihin liittyvät määrätyn integrlin määritelmät, joill suurimmst osst ikisemmist ongelmist päästiin. Huomutus. Selvästikään kikki välillä [, b] määritellyt funktiot eivät ole Riemnnintegroituvi. Ensinnäkin funktion f täytyy oll rjoitettu välillä [, b] eli on olemss sellinen luku M, että f(x) M in, kun x [, b] (vert tyypin kksi epäoleelliset integrlit). Toislt vikk funktio olisikin rjoitettu, niin se ei ole välttämättä Riemnn-integroituv, esimerkkinä vikkp funktio 1, kun x R \ Q f(x) = 0, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä. Määrätty integrli välillä [, b] voidn jtell funktioksi H : {f on integroituv funktio välillä [, b]} R, H(f) = f(x)dx, sillä se liittää jokiseen välillä integroituvn funktioon f yksikäsitteisen reliluvun. Jtkoss puhuttess funktion integroituvuudest trkoitetn juuri Riemnnintegroituvuutt. Integrli voidn määritellä myös muillkin tvoill, joist tunnetuin on Lebesguen integrli. Ylläolev esimerkki Riemnn-integroimttomst funktiost on integroituv Lebesguen mielestä. Asist kerrotn enemmän kurssill Anlyysi III. 1.1 Integroituvist funktioit Kosk Riemnnin summien ti l- j yläsummien lskeminen on hyvin työlästä, niin integroituvuuden perustelemiseen on usein helpompi käyttää seurv lusett 3

4 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 4 / 20 Luse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin se on integroituv välillä [, b]. Luseen todistus perustuu tulokseen, että rjoitetull j suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Täten esimerkiksi kikki jtkuvt lkeisfunktiot tulevt olemn integroituvi jokisell määrityslueens rjoitetull osvälillä. Myös epäjtkuv funktio voi oll integroituv, kunhn epäjtkuvuuskohti on esimerkiksi äärellinen määrä integroitvll välillä. Täten yhdistelemällä ikisemp tieto sdn, että derivoituvuudest seur jtkuvuus, jost seur integroituvuus. Siis f on derivoituv relifunktio f on jtkuv relifunktio f on integroituv relifunktio Lisäksi voidn osoitt muitkin ehtoj, joist integroituvuus seur. Esimerkiksi kikki välillä [, b] rjoitetut j monotoniset funktiot ovt integroituvi kyseisellä välillä. 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi Määritellään integrlille seurvt ominisuudet f(x)dx = b f(x)dx j f(x)dx = 0. Ominisuudet ovt tutut j intuitiivisest selvät. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j c [, b], niin se on integoituv välin [, b] jokisell osvälillä j f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Toisin snoen integrointi voidn suoritt osväleittäin. Mikäli f on integroituv kullkin osvälillä, on yllä olev kv voimss myös kun c [, b]. 4

5 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 5 / 20 Luse. Jos funktiot f j g ovt integroituvi välillä [, b] j f(x) g(x) in, kun x [, b], niin f(x)dx g(x)dx. Tämän luseen seuruksen sdn krke rvio määrätyn integrlin rvolle. Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b] j m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) f(x)dx M(b ). Luse. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x)dx f(x) dx. Edellisen luseen rvion voidn jtell olevn eräällä tvll nloginen kolmioepäyhtälön yleistetyn muodon n i i=1 n i knss. Integrlihn määriteltiin summien rj-rvoksi tiettyjen ehtojen vllitess. i=1 1.3 Integrlifunktio Olkoon f :], b[ R funktio. Funktio F :], b[ R on funktion f integrlifunktio välillä ], b[, jos f(x) = F (x) in, kun x ], b[. Tällöin merkitään f(x)dx = F (x) + C. Tehtyä opertiot eli integrlifunktion etsimistä kutsutn integroimiseksi j funktiot f snotn integrndiksi eli integroitvksi funktioksi. Funktiot F kutsutn myös funktion f primitiivifunktioksi ti ntiderivtksi. 5

6 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 6 / 20 Integrlifunkio ei ole yksikäsitteinen, sillä jos F (x) = f(x), niin D(F (x) + C) = F (x) = f(x) kikille C R. Toislt integrlilskennn perusluseen nojll funktion f kikki primitiivifunktiot ovt muoto F (x) + C, missä luku C kutsutn integroimisvkioksi. Huomutus. Kikkien funktioiden integrlifunktioit ei void esittää lkeisfunktioiden vull. Tälläisiä funktioit on esimerkiksi e x2 j sin x. Tällöin määrätyn x integrlin rvo lskettess täytyy turvutu muihin menetelmiin, esimerkiksi Tylorin srjoihin. Huomutus. Integrlifunktion olemss olo j integroituvuus eivät ole sm si. Funktio voi oll integroituv eräällä välillä ilmn, että sillä olisi integrlifunktiot tällä välillä. Vstvsti funktioll voi oll integrlifunktio ilmn, että se olisi integroituv tällä välillä. Esimerkit näistä tilnteist löytyvät hrjoitustehtävistä. 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät luseet Yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on integroituv välillä [, b]. Jos lisäksi joko g(x) 0 ti g(x) 0 kikill x [, b], niin tällöin on olemss sellinen t [, b], että f(x)g(x)dx = f(t) g(x)dx. Vlitsemll g(x) 1 sdn tutumpi muoto luseelle. Integrlilskennn välirvoluse. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin on olemss sellinen t [, b], että f(x)dx = f(t)(b ). 6

7 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 7 / 20 Oletus funktion f jtkuvuudest on välttämätön khdess edellisessä luseess. Vstesimerkiksi käy funktio 1, kun x 0 f(x) = 1, kun x < 0 välillä [ 1, 1], kun g(x) 1. Normlin välirvoluseen vull sdn Integrlilskennn perusluse. Jos f jtkuv välillä [, b], derivoituv väillä ], b[ j f (x) = 0 kikill x ], b[, niin funktio f on vkiofunktio välillä [, b]. Integrlilskennn käyttökelpoisuus on puhtsti integrlilskennn pääluseen nsiot. Se yhdistää derivoinnin j integroinnin j trjo näppärän tvn lske määrättyjen integrlien rvoj. Integrlilskennn pääluse. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Tällöin 1. Funktio G : [, b] R G(x) = x f(t)dt on derivoituv välillä [, b] j G (x) = f(x). 2. Jos F on funktion f eräs integrlifunktio, niin f(x)dx = F (b) F (). Huomutus. Päälusett voidn yleistää vielä edellä olleest muodost. Jos oletukseksi ott, että funktio f on integroituv välillä [, b], niin silloin kertymäfunktio G(x) = x f(t)dt tulee olemn jtkuv välillä [, b] j dierentioituv niissä välin [, b] pisteissä joiss funktio f on jtkuv. Huomutus. Kohdss 2. ei oletet integrlifunktion F olemss olo. Siinä vin todetn, että mikäli integrlifunktio on olemss, niin se tulee toteuttmn 7

8 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 8 / 20 esitellyn ehdon. Myöskään integrlifunktion vlinnll ei ole väliä, sillä vkio C tulee supistumn erotuksess pois. Integrointilskennn pääluseen nojll integrointi j derivointi voidn jtell käänteiseksi opertioiksi tietyillä rjoituksill. Jos f on jtkuv välillä [, b], niin d x f(t) dt = f(x) dx kikille x [, b]. Jos funktio F (t) on integroituv välillä [, b], niin x F (t) dt = F (x) F () kikille x [, b]. Pääluse siis kytkee yhteen integrlifunktiot F (x) + C = b f(x) dx j määrätyn integrlin f(x) dx, joill ei määritelmien perusteell näyttäisi olevn mitään yhteyttä lukuunottmtt smnlist merkintää. 8

9 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 9 / 20 2 Integroimiskvoj Luse. Olkoon f j g integroituvi funktioit j k R vkio. Tällöin 1. k dx = kx + C 2. kf(x) dx = k f(x) dx 3. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx 4. f (x)f n (x) dx = f n+1 (x) n+1 + C, kun n 1 5. f (x) f(x) dx = ln f(x) + C, mikäli integrlit ovt olemss. Funktioiden derivoimiskvoist sdn suorn seurvt integroimiskvt: Integroimiskvoj dx = C 2. x n dx = xn+1 + C, kun n 1 n dx = ln x + C x 4. e x dx = e x + C 5. sin x dx = cos x + C 6. cos x dx = sin x + C 7. tn x dx = ln cos x + C 8. dx = rctn x + C 1+x 2 9. dx 1 x 2 = rcsin x + C Funktioiden tulon derivtn perusteell D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Integoimll tämä puolittin sdn Osittisintegrointi. Jos f j g ovt derivoituvi funktioit, niin f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx (1) 9

10 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 10 / 20 3 Integroimistekniikkoj 3.1 Rtionlifunktioiden integointi Rtionlifunktio R(x) on muoto R(x) = P (x) Q(x), missä P (x) j Q(x) ovt polynomifunktioit. Jos deg P (x) deg Q(x) eli polynomin P ste on suurempi kuin polynomin Q, niin esimerkiksi jkokulmss lskemll sdn esitys R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x), missä deg P 1 (x) < deg Q(x) (todistus Algebr I:ssä). Polynomi P 0 (x) on helposti integoitviss, joten rtionlifunktioiden integroinnin ongelmn on selvittää miten integrointi suoritetn, kun deg P (x) < deg Q(x). Tpus: P (x) = kq (x) Jos osoittjss olev polynomifunktio on P (x) = kq (x), missä k R vkio, niin integrointikvojen perusteell kq (x) Q Q(x) dx = k (x) dx = k ln Q(x) + C. Q(x) Muiss tpuksiss täytyy tutki trkemmin polynomin Q(x) nollkohti, joiden vull polynomi voidn jk tekijöihin. Relikertoimisen polynomin Q(x) lgebrllisten ominisuuksien perusteell sillä on n = deg Q(x) kpplett kompleksisi nollkohti. Lisäksi jos kompleksiluku c = +bi on polynomin Q nollkoht, niin myös sen konjugtti c = bi on polynomin Q nollkoht. Täten relilukukunnss polynomi voidn in esittää ensimmäisen j toisen steen tekijöiden tulon. 10

11 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 11 / 20 Tpus: Polynomi Q(x) = (x x 1 ) n, missä x 1 R Tällöin osmurtokehitelmä kirjoitetn muotoon P (x) (x x 1 ) = A 1 A 2 + n x x 1 (x x 1 ) A n 2 (x x 1 ), n missä kertoimet A 1, A 2,..., A n on vielä määrättävä. Esimerkiksi polynomin Q(x) = (x 2) 3 osmurtokehitelmä on P (x) Q(x) = A x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on reliset juuret Nyt polynomi voidn esittää tulon B (x 2) + C 2 (x 2). 3 Q(x) = (x x 1 ) n 1 (x x 2 ) n2 (x x k ) n k. Tällöin osmurtokehitelmäss jokist termiä (x x i ) n i kohti otetn, kuten edellisessä kohdss osmurto A i1 + A i2 x x i (x x i ) A in i 2 (x x i ). n i Osmurtokehitelmäksi tulee siten näiden summ P (x) k ( Q(x) = Ai1 + x x i i=1 A i2 (x x i ) A in i (x x i ) n i Esimerkiksi jos Q(x) = x 2 (x + 1)(x 3) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x B x + C x 2 + D x 2 + Tpus: Polynomill Q(x) on kompleksisi juuri ). E (x 2) + F 2 (x 2). 3 Jos polynomill Q(x) on myös imginäärisiä juuri, niin ne esiintyvät in preittin c = + bi j c = bi. Tällöin polynomin erääksi tekijäksi tulee toisen sten polynomi (x c)(x c) = x 2 cx cx + c c = x 2 }{{} 2 x + ( 2 + b 2 ). } {{ } r t 11

12 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 12 / 20 Tällöin osmurtokehitelmään otetn termi Ax + B x 2 + rx + t. Mikäli kompleksinen juuri c j esiintyy k > 1 kert polynomiss, niin myös termi (x + rx + t) jk polynomin k kert. Tällöin osmurtoon tulee summ A 1 x + B 1 x 2 + rx + t + A 2x + B 2 (x 2 + rx + t) A kx + B k (x 2 + rx + t) k. Reliset juuret käsitellään kuten edellisessä tpuksess. Esimerkiksi jos Q(x) = (x + i) 2 (x i) 2 (x 2) 3 = (x 2 + 1) 2 (x 2) 3, niin osmurtokehitelmäksi tulee P (x) Q(x) = A x 2 + B (x 2) + C 2 (x 2) + Dx + E 3 x F x + G (x 2 + 1). 2 Osmurtokehitelmissä esiintyvät kertoimet sdn rtkistuiksi, kun kerrotn molemmt puolet polynomill Q(x). Asettmll syntyneiden polynomien muuttujn x smojen potenssien kertoimet yhtäsuuriksi sdn yhtälöryhmä, jost kertoimet ovt rtkistviss. 3.2 Integrointi sijoituksen vull Luse. Jos funktio g : [, b] R on jtkuvsti derivoituv j funktio f on jtkuv kuvjoukoss g([, b]), niin f (g(x)) g (x)dx = g(b) g() f(t)dt Käytännössä lusett sovelletn usein, niin että lskettess integrli I = f (g(x)) g (x)dx vlitn t = g(x). Tästä lsketn dierentiliksi dt = g (x)dx j integroimisrjoiksi lkuperäisiä rvoj j b vstvt t:n rvot t 1 = g() j t 2 = g(b). Sijoittmll nämä sdn integrli I = g(b) g() 12 f(t)dt.

13 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 13 / 20 Toinen tp, mikäli integrli I = d c f(x)dx on hnkl lske, on vlit x = g(t) j lske dx = g (t)dt. Sijoittmll nämä sdn I = f (g(t)) g (t)dt, missä c = g() j d = g(b) ovt uudet integroimisrjt. Määrättyihin integrleihin sijoitettess funktion g ei trvitse oll bijektio, riittää vin, että on olemss selliset rvot j b, että ehdot = g(c) j b = g(d) toteutuvt. Tietenkin, jos g on bijektio, niin on olemss käänteisfunktio g 1, joilloin = g 1 (c) j b = g 1 (d). Sijoitettess määräämättömään integrliin funktion g täytyy oll bijektio. Tämä siksi, että integroinnin onnistuttu voidn lkuperäinen muuttuj plutt käänteisfunktion vull stuun integrlifunktioon. Mikäli sijoitus joht helpompn integrointiin j siten sdn lskettu integrlifunktio, niin sen oikeellisuus voidn in trkist derivoimll se j ktsomll sdnko tulokseksi integroitv funktio. Täten integoimistekniikn muodollinen pätevyys ei ole niin tärkeä, kosk määräämättömän integroinnin tuloksen voi in trkist derivtn vull. Sijoitus x = sin t, > 0. Jos integroitvss funktiot ovt 2 x 2 ti 1 2 x 2, niin voidn käyttää sijoitust x = sin t. Nyt x, joten sijoitus on järkevä, kun t [ π 2, π 2 ]. Tällöin 2 x 2 = 2 2 sin 2 t = 1 sin 2 t = cos 2 t. Kosk t [ π, π ], niin cos t 0 j 2 2 cos2 t = cos t = cos t. 13

14 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 14 / 20 Lisäksi t = rcsin x j dx = cos tdt, missä t = rcsin x on päährn rvo. Sijoitus t = x + x 2 +, > 0. Jos integroitvss on termi x 2 +, niin sijoitus t = x + x 2 + voi joht rtionlifunktion integoitiin. Tällöin lskemll sdn, että t x = x 2 + t 2 2tx + x 2 = x 2 + x = t2. 2t Derivoimll tämä sdn dierentiliksi dx = t2 dt. 2t 2 Sijoitus t = n x+b cx+b. stt joht rtionli- Jos integrliss on n x+b, niin sijoitus t = n cx+b funktion integrointiin. x+b cx+b Sijoitus x = tn t 2. Jos x = tn t, niin piirtämällä suorkulminen kolmio, jonk kteetit ovt x j 2 1 sekä toinen terävä kulm t. Tällöin kolmion hypotenuus on 1 + x 2 2, sin t = 2 x 1+x 2 j cos t = x 2. Trigonometristen funktioiden kksinkertisten kulmien kvoist sdn, että sin t = 2x 1 x2, cos t = j dt = x2 1 + x x dx 2 14

15 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 15 / 20 Tämä sijoitus stt sieventää sopivsti integroitvi funktioit, joiden osoittjss j nimittäjässä on sini- j kosinifunktioit. Tässä esitellyt sijoitukset eivät ole inoit mhdollisi sijoituksi, vn esimerkkejä sijoitustekniikoist. Virllisesti oiket sijoitust ei ole olemss, vn mikä thns sijoitus käy kunhn integrli vin rtke. Jotkut tekniikoist voivt tosin joht huomttvsti helpompiin integrleihin kuin toiset. Usein knntt kokeill eri tyyppisiä sijoituksi, kunnes sopiv löytyy. 15

16 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 16 / 20 4 Epäoleelliset integrlit Nimestään huolimtt epäoleelliset integrlit (englnniksi improper integrls) ovt tärkeitä. Ne määritellään tvllisen määrätyn integrlin rj-rvoiksi. Integroituv funktiot määriteltäessä oletettiin, että funktio f : [, b] R on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio K > 0, että f(x) K. Epäoleellisten integrlien vull voidn ljent trksteltviss olevien määrättyjen integrlien tpuksi tilnteisiin, joiss funktio f ei välttämättä olekn rjoitettu integrointivälillä ti integrointiväli ei olekn rjoitettu. Ensimmäisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroimisväliä ei ole rjoitettu toisest päistä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, c], missä on kiinteä j c > (vstvsti väleillä [c, ], missä c < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli trkoitt rj-rvo c lim c mikäli se on olemss. f(x)dx f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim c ) f(x)dx c ) f(x)dx, Toisen tyypin epäoleellisiss integrleiss integroitv funktio ei ole rjoitettu integroitumisvälillä. Olkoon funktio f integroituv jokisell välillä [, t], missä < t < c (vstvsti väleillä [t, ], missä c < t < ). Määritetään, että epäoleellinen integrli c f(x)dx tulee trkoittmn rj-rvo lim t c t f(x)dx ( vstvsti ( vstvsti lim t c + c ) f(x)dx t ) f(x)dx. Epäoleellisen integrlin snotn suppenevn, mikäli rj-rvo on olemss äärellisenä. Muutoin epäoleellinen integrli hjntuu. 16

17 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 17 / 20 Huomutus. Jos funktion f integrlifunktio on F, niin esimerkisi ensimmäisen tyypin epäoleellinen integrli on rj-rvo f(x)dx = lim c F (c) F (). Vstvsti kikki muutkin tpukset voidn plutt integrlifunktion rjrvoon. Yleisessä tpuksess epäoleellisess integrliss voi oll usempi pisteitä, joiss funktion rvo ei ole rjoitettu tikk integroimisväliä ei ole rjoitettu kummsskn päässä. Tällöin integoimisväli jetn pienempiin osväleihin, niin että jokiselle osvälille tulee vin yksi epäoleellinen integrli. Tällöin epäoleellinen integrli suppenee vin jos kikki rj-rvot ovt olemss. Huomutus. Mikäli funktio F on funktion f integrlifunktio j pisteet x = j x = b ovt funktion f integroinnin ongelmkohdt, niin määrätyn integrlin ominisuuksien perusteell f(x)dx = lim t 1 + c t 1 t2 f(x)dx + lim f(x)dx t 2 b c = lim t 1 + F (t 1) F (c) + F (c) lim t 2 b F (t 2) = lim t 1 + F (t 1) lim t 2 b F (t 2) Tutkittess yleistä tpust epäoleellisest integrlist välin jkopiste c ], b[ voidn vlit vpsti, kosk se ei tule vikuttmn tulokseen. Kosk joidenkin funktioiden integrlifunktion keksiminen on erittäin hnkl, suppenemistestejä trvitn, että epäoleellisten integrlien trkstelut voidn plutt tuttuihin funktioihin. Kun tiedetään, että epäoleellinen integrli suppenee, voidn sen rvo määritellä numeerisillä menetelmillä. Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g integroitovi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x. Jos epäoleellinen integrli g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 17

18 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 18 / 20 f(x)dx suppenee j f(x)dx g(x)dx. Jos epäoleellinen integrli f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. Vstv luse toisen tyypin epäoleellisille integrleille on: Mjorntti- j minornttiperite. Olkoon f j g jokisell välillä [, c], < c < b, integroituvi funktioit, joille 0 f(x) g(x) in, kun x < b ( vstvsti < x b). Jos epäoleellinen integrli f(x)dx suppenee j Jos epäoleellinen integrli g(x)dx hjntuu. g(x)dx suppenee, niin myös epäoleellinen integrli f(x)dx g(x)dx. f(x)dx hjntuu, niin myös epäoleellinen integrli Suorn lskemll sdn seurv tulos, jost sdn suppenemistrksteluj vrten minorntti- j mjornttifunktioit. Luse. Epäoleellinen integrli 1 1 x s dx suppenee jos j vin jos s > 1. Epäoleellinen integrli suppenee jos j vin jos s < x s dx 18

19 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 19 / 20 Ensimmäisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä < x. Jos niin integrlit f(x)dx j f(x) lim x g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Vstvll tvll luse voidn muotoill kun integroimisväliä ei ole lhlt rjoitettu. Toisen tyypin integrleille vertiluperite on: Vertiluperite. Olkoon f j g ovt positiivisi jtkuvi funktioit jokisell välillä [, x], missä x < b. Jos niin integrlit f(x)dx j 4.1 Itseinen suppeneminen f(x) lim x b g(x) = c > 0, g(x)dx joko suppenevt ti hjntuvt kumpikin. Edellä minitut suppenemistestit trkstelivt vin positiivisi funktioit. Negtiivisten funktioiden epäoleellisi integrlej voidn trkstell, kun sovelletn suppenemistestejä funktioon f(x). Yleisessä tpuksess epäoleellisen integrlin suppeneminen voidn todet joissin tpuksiss trkstelemmll itseistä suppenemist. Olkoon f(x)dx mielivltinen epäoleellinen integrli (täten voi oll myös = j/ti b = ). Sen snotn suppenevn itseisesti, mikäli epäoleellinen integrli f(x) dx 19

20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 20 / 20 suppenee. Luse. Jos epäoleellinen integrli suppenee itseisesti, niin se myös suppenee. Luse ei päde toiseen suuntn. Esimerkiksi epäoleellinen integrli 1 sin x x dx suppenee, mutt ei itseisesti. Täten epäoleellisen integrlin itseinen hjntuminen ei nn suor tieto normlist suppenemisest. 20

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5 Sisältö Johdanto.................................................................... 5. Kerrattavaa..............................................................

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03 Sisältö Polynomit................................... 4 Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla................. 5. Kokonaislukujen jakolasku......................

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivaatta ja integrointi, analyyttiset funktiot. Derivaatta ja analyyttinen funktio

Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivaatta ja integrointi, analyyttiset funktiot. Derivaatta ja analyyttinen funktio Mtemtiikn peruskurssi KP3 I OSA 2: Kompleksinen derivtt j integrointi, nlyyttiset funktiot Antti Rsil Jn v.pfler (modif.) 26. syyskuut 27 Antti Rsil, Jn v.pfler (modif.) () KP3 Kompleksiluvut 26. syyskuut

Lisätiedot

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet

ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1. Differentiaalilaskentaa

1. Differentiaalilaskentaa Sisältö 1. Differentililskent 1 1.1.1 Derivtn määritelmä............ 1 1.1.2 Derivttojen lsku.............. 1 1.1.3 Korkemmn kertluvun derivtt..... 3 1.1.4 Sovelluksi.................. 4 1.1.5 Usemmn muuttujn

Lisätiedot