HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI"

Transkriptio

1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn nimi Arbetets titel Title Mtemtiikn j tilstotieteen litos Riemnn-Stieltjesin integrli Oppiine Läroämne Subject Mtemtiikk Työn lji Arbetets rt Level Aik Dtum Month nd yer Sivumäärä Sidontl Number of pges Pro grdu -tutkielm Huhtikuu s. Tiivistelmä Refert Abstrct Tämän pro grdu -tutkielmn trkoituksen on esitellä Riemnn-Stieltjesin integrli. Lukijlt odotetn nlyysin peruskurssien osmist. Yleisesti tässä tutkielmss käsitellään mielenkiintoisi j tärkeitä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Näihin tuloksiin trjotn in todistukset sekä muutmiss tpuksiss käydään läpi myös esimerkki. Tutkielm noj usesti iemmin tutkielmss todistettuihin luseisiin ti määritelmiin, mikä vtii lukijlt plmist iempiin todistuksiin. Mutt tässä tutkielmss ei ole linkn todistuksi, jotk täytyisi trkist muult. Tässä rkennetn koko jn vnhn päälle j lopuss sitten käydään läpi yksinkertinen esimerkki todennäköisyyslskennst, joss käytetään läpikäytyjä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Tutkielmss käydään läpi ensimmäiseksi Riemnn-Stieltjesin integrlin määritelmä j sen ominisuuksi. Luvuss 3 käydään läpi muutmi olennisimmist ominisuuksist, joihin tulln viittmn seurviss kppleiss. Näitä ovt muun muss linerisuus j osittisintegrointi. Porrsfunktiot ovt tämän tutkielmn olennisin funktioiden muoto. Luvuss 4 tulee mont tärkeää lisäominisuutt j trkennust. Ylä- j lsummt mhdollisesti vvt integrlin käsitystä vielä lisää. Rjoitetusti heilhtelevuus on hieno ominisuus, jok toimii hyvänä linkkinä Riemnnin integrliin. Pljon tulee myös ehtoj Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle. Luvuss 5 käydään läpi kksi erilist välirvolusett Riemnn-Stieltjesin integrlille. Viimeisessä luvuss ktsotn yhteys todennäköisyyslskentn j käydään läpi yksi yksinkertinen esimerkki. Avinsnt Nyckelord Keywords Riemnn-Stieltjesin integrli, Porrsfunktiot, Rjoitetusti heilhtelevuus Säilytyspikk Förvringsställe Where deposited Kumpuln tiedekirjsto Muit tietoj Övrig uppgifter Additionl informtion

2 Stieltjesin integrli Antti Khri

3 Sisältö 1 Johdnto 2 2 Riemnn-Stieltjesin integrlin ominisuuksi 3 3 Lineriset ominisuudet Osittisintegrointi Plutus Riemnnin integrliin Porrsfunktiot integrttorein Ylä- j lsummt Riemnnin ehto Rjoitetusti heilhtelevt integrttorit Lisää ominisuuksi Riittävät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Välttämättömät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Välirvoluse Välirvoluse Riemnn-Stieltjesin integrlille Toisenlinen välirvoluse Riemnnin integrlille Integrli ylärjn funktion Esimerkki todennäköisyyslskennss 32 1

4 Luku 1 Johdnto Tämän pro grdu -tutkielmn trkoituksen on esitellä Riemnn-Stieltjesin integrli. Lukijlt odotetn nlyysin peruskurssien osmist. Yleisesti tässä tutkielmss käsitellään mielenkiintoisi j tärkeitä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Näihin tuloksiin trjotn in todistukset sekä muutmiss tpuksiss käydään läpi myös esimerkki. Tutkielm noj usesti iemmin tutkielmss todistettuihin luseisiin ti määritelmiin, mikä vtii lukijlt plmist iempiin todistuksiin. Mutt tässä tutkielmss ei ole linkn todistuksi, jotk täytyisi trkist muult. Tässä rkennetn koko jn vnhn päälle j lopuss sitten käydään läpi yksinkertinen esimerkki todennäköisyyslskennst, joss käytetään läpikäytyjä Riemnn-Stieltjesin ominisuuksi. Tutkielmss käydään läpi ensimmäiseksi Riemnn-Stieltjesin integrlin määritelmä j sen ominisuuksi. Luvuss 3 käydään läpi muutmi olennisimmist ominisuuksist, joihin tulln viittmn seurviss kppleiss. Näitä ovt muun muss linerisuus j osittisintegrointi. Porrsfunktiot ovt tämän tutkielmn olennisin funktioiden muoto. Luvuss 4 tulee mont tärkeää lisäominisuutt j trkennust. Ylä- j lsummt mhdollisesti vvt integrlin käsitystä vielä lisää. Rjoitetusti heilhtelevuus on hieno ominisuus, jok toimii hyvänä linkkinä Riemnnin integrliin. Pljon tulee myös ehtoj Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle. Luvuss 5 käydään läpi kksi erilist välirvolusett Riemnn-Stieltjesin integrlille. Viimeisessä luvuss ktsotn yhteys todennäköisyyslskentn j käydään läpi yksi yksinkertinen esimerkki. 2

5 Luku 2 Riemnn-Stieltjesin integrlin ominisuuksi Integrli käytetään muun muss pint-lojen lskemiseen. Perite itsessään on yksinkertinen: l jetn moneen pieneen suorkulmioon j lsketn ost yhteen. Epämääräisen muotoinen l on mhdotont jk tsn suorkulmioihin, mutt vlittess yhä pienempiä suorkulmioit, pystytään rvioimn epämääräistäkin l yhä trkemmin. Ide integrliss on, että pint-l jetn n määrään osi, jotk ovt jokinen suorkulmioit, joiden lt sitten lsketn yhteen. Tämä summ nt hlutun pint-ln, j kun n ksv, summst sdn tsn oike pint-l. Lukioss käytetään Riemnnin integrli, jok kirjoitetn esimerkiksi muotoon F (x) = x f(t)dt. Tässä tutkielmss hipistn myös derivtt kosk se on integrlin knss vhvsti kytköksissä. Voidn sno, että ne ovt toistens käänteisopertiot. Derivtt yllä minitust integrlist tuott siis sen lkuperäisen funktion: F (x) = f(x) Stieltjesin integrlin yleinen kirjoitusmuoto ei pljo ero Riemnnin integrlist, sillä vstv Stieltjesin integrlin muoto on F (x) = x f(t)dα(t). Eli Stieltjesin integrliss on kksi funktiot yhden sijst. Stieltjesin integrli on yleisempi muoto verrttun lukioss käytettyyn Riemnnin integrliin, missä α(t) = t. Määritellään ensiksi Riemnn-Stieltjesin integrlin lskuiss pljon käytetty ositus (mhdollisesti käytetään myös termiä jko). 3

6 Määritelmä 2.1. Jos [, b] on äärellinen väli, silloin pistejoukko P = {x 0, x 1,..., x n }, jok toteutt epäyhtälöt = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b kutsutn välin [, b] ositukseksi. Väliä [x k 1, x k ] kutsutn P :n k:nneksi osväliksi j kirjoitetn x k = x k x k 1, jolloin n x k = b. Kokoelm kikist mhdollisist välin [, b] osituksist merkitään P [, b]. Määritelmä 2.2. Olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } välin [, b] ositus j olkoon t k piste osvälillä [x k 1, x k ]. Seurv summ kutsutn f:n Riemnn-Stieltjesin summksi α:n suhteen S(P, f, α) = f(t k ) α k. Snotn, että f on Riemnn-integroituv suhteess α:n välillä [, b] j kirjoitetn f R(α) välillä [, b], jos on olemss luku A, joll on seurv ominisuus: Jokiselle ɛ > 0 on olemss sellinen välin [, b] ositus P ɛ, että jokiselle ositust P ɛ hienommlle ositukselle P, j kikille pisteille t k väleillä [x k 1, x k ], on S(P, f, α) A < ɛ. Termillä hienompi trkoitetn että hienommll osituksell on lisää jkopisteitä. Kun kyseinen luku A on olemss, se on yksikäsitteisesti määrätty j sitä merkitään fdα ti f(x)dα(x). Snotn lisäksi, että Riemnn-Stieltjesin integrli fdα on olemss. Funktiot f kutsutn integrndiksi j funktiot α integrttoriksi. Erikoistpuksess, joss α(x) = x, kirjoitetn S(P, f, α):n sijst S(P, f) j f R(α):n sijst kirjoitetn f R. Tässä erikoistpuksess kutsumme tätä integrli Riemnn-integrliksi j merkitsemme sitä b fdx ti f(x)dx. Luku f(x)dα(x) riippuu inostn muuttujist f, α, j b, se ei riipu symbolist x. Jos α on jtkuvsti derivoituv, näemme myöhemmin luseess 3.6, että f dα = f(x)α (x) dx. Esimerkki 2.3. Olkoon f(x) = 2x j olkoon α(x) = x 3. Lsketn Riemnn-Stieltjesin integrlin rvo välillä [1, 3] x d(x 3 ) = 3 1 2x(3x 2 ) dx = 3 1 6x 3 dx = 1 / x4 = 120 4

7 Luku 3 Lineriset ominisuudet Osoitetn että Riemnn-Stieltjesin integrli riippuu linerisesti sekä integrndist että integrttorist. Seurvt kksi lusett todistuksineen näyttävät tämän todeksi. Luse 3.1. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b], niin c 1 f + c 2 g R(α) välillä [, b] (millä thns vkioill c 1 j c 2 ) j (c 1 f + c 2 g) dα = c 1 f dα + c 2 g dα. Todistus. Olkoon h = c 1 f +c 2 g. Jos P = {x 0,..., x n } on välin [, b] ositus j t k [x k 1, x k ], niin voidn kirjoitt S(P, h, α) = h(t k ) α k = c 1 f(t k ) α k + c 2 = c 1 S(P, f, α) + c 2 S(P, g, α). g(t k ) α k Oletten että ɛ > 0, vlitn jko P ɛ niin, että sen jokiselle lijolle P pätee ehto S(P, f, α) f dα < ɛ j vlitn myös toinen jko P ɛ niin, että sen jokiselle lijolle P pätee ehto S(P, g, α) g dα < ɛ. Jos otetn P ɛ = P ɛ P ɛ silloin meillä on P :lle, jok on hienompi ositus kuin P ɛ, S(P, h, α) c 1 f dα c 2 g dα c 1 ɛ + c 2 ɛ, j tämä todist luseen. 5

8 Luse 3.2. Jos f R(α) j f R(β) välillä [, b], silloin f R(c 1 α + c 2 β) (millä vin vkioill c 1 j c 2 ) j pätee kv f d(c 1 α + c 2 β) = c 1 f dα + c 2 f dβ. Luseen todistus on niin smnkltinen luseen 3.1. todistuksen knss, että sen esittäminen ei ole trpeellist. Seurvksi todistetn integrlin dditiivisuus integrointivälin suhteen. Luse 3.3. Oletetn että c (, b). Jos kksi kolmest integrlist ll olevss yhtälössä on olemss, niin myös kolms on olemss j c f dα + c f dα = f dα. Todistus. Jos P on välin [, b] ositus siten, että c P, olkoon P = P [, c] j P = P [c, b]. Riemnn-Stieltjesin summi tällisist joist yhdistää yhtälö S(P, f, α) = S(P, f, α) + S(P, f, α). Oletetn että c f dα j f dα ovt olemss. (Voitisiin myös olett että esimerkiksi c b f dα j f dα ovt olemss, mistä löytyy lskut myöhemmin). Silloin, oletten että c ɛ > 0, on olemss välin [, c] ositus P ɛ siten että c S(P, f, α) f dα < ɛ/2 in kun P on ositust P ɛ hienompi ositus, j on olemss ositus P väliltä [c, b] siten että S(P, f, α) f dα < ɛ/2 in kun P on ositust P ɛ hienompi ositus. c Tällöin P ɛ = P ɛ P ɛ on välin [, b] ositus j jos ositus P on hienompi kuin P ɛ, niin voidn yhdistämällä edellä minitut tulokset joht seurv epäyhtälö: c S(P, f, α) f dα f dα < ɛ. Tämä todist, että f dα on olemss j on yhtä suuri kuin c f dα + f dα. Induktioll pystymme todistmn smnlisen tuloksen äärelliselle määrällä välin [, b] c osvälejä. 6 c

9 Jos oletetn että f dα j f dα ovt olemss, sdn johdettu smll tvll c j smoin merkinnöin epäyhtälö ( S(P, f, α) f dα S(P, f, α) f dα) < ɛ j c ( S(P, f, α) f dα f dα) < ɛ. c Tämä todist, että c f dα on olemss j on yhtä suuri kuin f dα f dα. c Otetn vielä yksi määritelmä täydentämään dditiivisuutt integroimisvälin suhteen. Luse 3.4. Jos < b, määritellään f dα = f dα in kun f dα on olemss. b Määritellään myös f dα = 0. Luseen 3.4 yhtälö voidn nyt kirjoitt myös seurvsti f dα Osittisintegrointi c b f dα + c f dα = 0. On olemss merkittävä yhteys integrndin j integrttorin välillä Riemnn-Stieltjesin integrliss. Integrlin f dα olemssolo merkitsee integrlin α df olemssolo. Myös päinvstinen on tott. Luse 3.5. Jos f R(α) välillä [, b], niin silloin α R(f) välillä [, b] j f(x) dα(x) + α(x) df(x) = f(b)α(b) f()α(). Todistus. Olkoon ɛ > 0 nnettu. Kosk f dα on olemss, on olemss välin [, b] ositus P ɛ siten että jokisell ositust P ɛ hienommll osituksell P pätee rvio S(P, f, α) f dα < ɛ. Trkstelln mielivltist Riemnn-Stieltjesin summ S(P, α, f) = α(t k ) f k = α(t k )f(x k ) α(t k )f(x k 1 ) 7

10 integrlille f dα, missä P on ositust P ɛ hienompi ositus. Kirjoittmll A = f(b)α(b) f()α(), sdn smuus A = f(x k )α(x k ) f(x k 1 )α(x k 1 ). Vähentämällä kksi viimeistä esillä ollutt yhtälöä toisistn, sdn A S(P, α, f) = f(x k )[α(x k ) α(t k )] + f(x k 1 )[α(t k ) α(x k 1 )]. Kksi oikell puolell olev summ voidn yhdistää yhdeksi summksi muoto S(P, f, α), missä P on se välin [, b] ositus, jok sdn ottmll mukn kikki pisteet x k j t k. Silloin ositus P on hienompi kuin ositus P j siksi myös hienompi kuin ositus P ɛ. Niinpä epäyhtälö b S(P, f, α) f dα < ɛ pätee j tämä trkoitt, että sdn A S(P, α, f) f dα < ɛ in kuin P on ositust P ɛ hienompi ositus. Mutt tämä merkitsee, että integrli α df on olemss j yhtäsuuri luvun A f dα knss. 3.2 Plutus Riemnnin integrliin Seurv luse kertoo meille, että voimme korvt symbolin dα(x) symbolill α (x) dx integrliss f(x) dα(x) in kun funktioll α on jtkuv derivtt α. Luse 3.6. Olkoon f R(α) välillä [, b] j oletetn, että funktioll α on jtkuv derivtt α välilä [, b]. Silloin Riemnnin integrli f(x) dα(x) on olemss j f(x) dα(x) = f(x)α (x) dx. Todistus. Olkoon g(x) = f(x)α (x) j trkstelln Riemnnin summ S(P, g) = g(t k ) x k = 8 f(t k )α (t k ) x k.

11 Sm ositust P j smoj pisteitä t k voidn käyttää muodostksemme Riemnn- Stieltjesin summn S(P, f, α) = f(t k ) α k. Käyttämällä välirvolusett, voidn kirjoitt j siispä α k = α (v k ) x k, missä v k (x k 1, x k ), S(P, f, α) S(P, g) = f(t k )[α (v k ) α (t k )] x k. Kosk f on rjoitettu, voidn kirjoitt f(x) M kikill x välillä [, b], missä M > 0. Funktion α jtkuvuudest välillä [, b] seur tsinen jtkuvuus välillä [, b]. Siispä, jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss δ > 0 (δ riippuu inostn luvust ɛ) siten että epäyhtälöstä 0 x y < δ seur α (x) α (y) < ɛ 2M(b ). Jos otetn ositus P ɛ normituksell P ɛ < δ, silloin mille thns hienompijkoiselle ositukselle P meillä on α (v k ) α (t k ) < ɛ/[2m(b )] edeltävässä yhtälössä. Selliselle ositukselle P meillä on S(P, f, α) S(P, g) < ɛ 2. Toislt, kosk f R(α) välillä [, b], on olemss ositus P ɛ hienommll osituksell P pätee P ɛ S(P, f, α) f dα < ɛ 2. siten että jokisell ositust Yhdistämällä kksi viimeistä epäyhtälöä, nähdään, että kun P on hienojkoisempi kuin P ɛ = P ɛ P ɛ, sdn S(P, g) f dα < ɛ, j tämä todist luseen. 3.3 Porrsfunktiot integrttorein Jos α on vkio välillä [, b], integrli f dα on olemss j sen rvo on 0, kosk jokinen summ S(P, f, α) = 0. Kuitenkin, jos α on vkio lukuunottmtt hyppäysepäjtkuvuutt yhdessä koht, integrli ei välttämättä ole olemss. Jos se on olemss, sen rvo ei trvitse oll 0. Seurv luse selittää trkemmin kyseisen tilnteen: 9

12 Luse 3.7. Olkoon < c < b. Määritellään α välillä [, b] seurvsti: Arvot α(), α(c), α(b) ovt mielivltisi; α(x) = α() jos x < c, j α(x) = α(b) jos c < x b. Olkoon f määritelty välillä [, b] siten että vähintään yksi funktioist f ti α on jtkuv vsemmlt pisteessä c j vähintään yksi on jtkuv oikelt pisteessä c. Silloin f R(α) välillä [, b] j tällöin f dα = f(c)[α(c+) α(c )]. Todistus. Jos c P, jokinen termi summss S(P, f, α) on noll, pitsi ne kksi termiä jotk svt lkuns c:n sisältäviltä osväleiltä. Snotn S(P, f, α) = f(t k 1 )[α(c) α(c )] + f(t k )[α(c+) α(c)], missä t k 1 c t k. Tämä yhtälö voidn kirjoitt myös seurvsti: = [f(t k 1 ) f(c)][α(c) α(c )] + [f(t k ) f(c)][α(c+) α(c)], missä = S(P, f, α) f(c)[α(c+) α(c )]. Siispä meillä on f(t k 1 ) f(c) α(c) α(c ) + f(t k ) f(c) α(c+) α(c). Jos f on jtkuv pisteessä c, jokisell ɛ > 0 on olemss δ > 0 siten että epäyhtälöstä P < δ seur f(t k 1 ) f(c) < ɛ j f(t k ) f(c) < ɛ. Tässä tpuksess, sdn epäyhtälö ɛ α(c) α(c ) + ɛ α(c+) α(c). Mutt tämä epäyhtälö pätee riippumtt siitä, onko f jtkuv pisteessä c vi ei. Esimerkiksi, jos f on epäjtkuv sekä vsemmlt että oikelt pisteessä c, silloin α(c) = α(c ) j α(c) = α(c+) j sdn = 0. Toislt, jos f on jtkuv vsemmlt, mutt epäjtkuv oikelt pisteessä c, meillä täytyy oll α(c) = α(c+) j sdn ɛ α(c) α(c ). Yhtä lill, jos f on jtkuv oikelt, mutt epäjtkuv vsemmlt pisteessä c, meillä on α(c) = α(c ) j ɛ α(c+) α(c). Näin ollen ylempänä esitetty epäyhtälö pätee jok tpuksess j luse on todistettu. Luse 3.8. kertoo meille että Riemnn-Stieltjesin integrli voidn muutt vihtmll funktion f rvo tietyssä pisteessä j on nähtävissä myös että integrlin olemssoloon voidn vikutt moisell vihdoll. 10

13 Trkstelln seurv esimerkkiä: α(x) = 0 jos x 0, α(0) = 1, f(x) = 1, jos 1 x +1. Funktio α ei ole jtkuv eikä myöskään derivoituv välillä [ 1, 1]. Luseen 3.7 mukn sdn 1 f(x) dα(x) = f(0) 0 = 0. 1 Mutt jos määritellään uudelleen f siten että f(0) = 2 j f(x) = 1 jos x 0, voidn nähdä että 1 f dα ei ole olemss. Itse siss, kun P on ositus, jok sisältää luvun 0, 1 hvitn, että S(P, f, α) =f(t k )[α(x k ) α(0)] + f(t k 1 )[α(0) α(x k 2 )] =f(t k ) f(t k 1 ), missä x k 2 t k 1 0 t k x k. Summn rvo on joko 0, 1 ti -1, riippuen vlinnoist t k j t k 1. Siispä, 1 f dα ei ole olemss tässä tpuksess. Kuitenkin, Riemnnin integrliss 1 f(x) dx, funktion rvot voidn muutt äärellisessä määrässä pisteitä vikuttmtt integrlin sekä olemss oloon että rvoon. Perustellksemme tämän, trkstelln mlliksi vin tpust missä f(x) = 0 kikill x välillä [, b] lukuunottmtt yhtäpistettä, x = c. Selliselle funktiolle pätee S(P, f) f(c) P. Kosk P voidn sd mielivltisen pieneksi, siitä seur että f(x) dx = 0. Jos sdn f(x) dx = 0 yhdellä pisteellä, sdn se myös äärellisellä määrällä pisteitä. Integrttori α luseess 3.7. on erikoistpus tärkeästä funktioden luokst, jok tunnetn porrsfunktioin. Nämä ovt funktioit, jotk ovt vkioit koko välin, pitsi äärellisessä määrässä hyppyepäjtkuvuuksi. Esimerkki 3.8. Olkoon j 2, kun x 0 f(x) = 3x + 2, kun 0 < x < 2 8, kun x 2 0, kun x 0 α(x) = 2, kun 0 < x < 2 0, kun x 2. 11

14 Kosk f on jtkuv, 4 f(x) dα(x) on olemss j sdn f(x) dα(x) =f(0)(α(0+) α(0 )) + f(2)(α(2+) α(2 )) =2(2 0) + 8(0 2) = 12 Määritelmä 3.9. (Porrsfunktiot) Olkoon α määritelty välillä [, b] siten että α on epäjtkuv äärellisessä määrässä pisteitä c k, missä c 1 < c 2 <... < c n b. Jos α on vkio jokisell voimell osvälillä (c k 1, c k ), silloin α: kutsutn porrsfunktioksi j luku α(c k +) α(c k ) kutsutn hypyksi pisteessä c k. Jos c 1 =, hyppy pisteessä c 1 on α(c 1 +) α(c 1 ), j jos c n = b, hyppy pisteessä c n on α(c n ) α(c n ). Porrsfunktiot trjovt yhdistävän linkin Riemnn-Stieltjesin integrlin j äärellisten summien välille: Luse (Sievennys Riemnn-Stieltjesin integrlist äärelliseen summn). Olkoon α porrsfunktio, jok on määritelty välillä [, b] j joll on hyppy α k pisteessä x k, missä x 1 < x 2 <... < x n b. Olkoon f määritelty välillä [, b] siten, etteivät molemmt f j α ole epäjtkuvi oikelt ti vsemmlt pisteessä x k. Silloin f dα on olemss j meillä on f(x) dα(x) = f(x k )α k. Todistus. Luseen 3.3. mukn f dα voidn kirjoitt sellisten integrlien summn, joit käsiteltiin luseess 3.7. Esimerkki Yksi yksinkertisimmist porrsfunktioist on lttifunktio. Sen rvo pisteessä x on suurin kokonisluku, mikä on pienempi ti yhtäsuuri kuin x, j sitä merkitään [x]. Siispä, [x] on ino kokonisluku, jok toteutt epäyhtälöt [x] x < [x] + 1. Luse Jokinen äärellinen summ voidn kirjoitt Riemnn-Stieltjesin integrlin. Itse siss, nnettu summ n k, määritellään f välillä [0, n] seurvsti: Silloin f(x) = k jos k 1 < x k (k = 1, 2,..., n), f(0) = 0. k = Missä [x] on suurin kokonisluku x. f(k) = 12 n 0 f(x)d[x],

15 Kuv 3.1: Lttifunktio Todistus. Lttifunktio on porrsfunktio, jtkuv oikelt j sillä on yhden suuruinen hyppy jokisen kokonisluvun kohdll. Funktio f on jtkuv vsemmlt pisteissä 1, 2,..., n. Nyt väite seur luseest Hvinnollistetn Riemnn-Stieltjesin integrli johtmll merkittävä luse, jok tunnetn Eulerin summluseen. Tämä luse liittää välin [, b] yli otetun funktion integrlin summn funktion rvoist kokonisluvuiss välillä [, b]. Sitä voidn joskus käyttää integrlien pproksimoimiseen summill, ti vstvuoroisesti rvioimn joidenkin summien rvo integrleill. Luse (Eulerin summluse) Jos funktioll f on jtkuv derivtt f välillä [, b], silloin meillä on f(n) = f(x) dx + f (x)((x)) dx + f()(()) f(b)((b)), <n b missä ((x)) = x [x]. Kun j b ovt kokonislukuj, tästä tulee b ( f(n) = f(x) dx + f (x) x [x] 1 ) f() + f(b) dx n= Huom. <n b trkoitt summ luvust n = [] + 1 lukuun n = [b]. Todistus. Käyttämällä osittisintegrointi, voidn kirjoitt f(x) d(x [x]) + (x [x]) df(x) = f(b)(b [b]) f()( []). Kosk lttifunktioll on hyppykohti välillä [, b] kokonisluvuill x = []+1, []+2,..., [b], voidn kirjoitt f(x) d[x] = f(n). 13 <n b

16 Jos yhdistämme tämän edeltävän yhtälön knss, seur luse tästä seurvsti: f(x) d[x] = f(x) d[x] f(x) dx + f(x) d(x [x]) + f(x) dx + f(x) dx f (x)((x)) dx f (x)((x)) dx + f()(()) f(b)((b)) f (x)((x)) dx = f()(()) f(b)((b)) f(x) d[x] = f()(()) + f(b)((b)) (x [x]) df(x) = f(b)(b [b]) f()( []). 14

17 Luku 4 Ylä- j lsummt Luse 4.1. Olkoon P välin [, b] ositus j olkoon M k (f) = sup {f(x) x (x k 1, x k ]}, m k (f) = inf {f(x) x (x k 1, x k ]}. Seurvi lukuj U(P, f, α) = M k (f) α k j L(P, f, α) = m k (f) α k kutsutn vstvsti f:n ylä- j lsummiksi suhteess α:n jotuksell P. Ehto m k (f) M k (f) on in voimss, jos α on ksvv välillä [, b], silloin α k 0 j voidn kirjoitt myös m k (f) α k M k (f) α k, mistä seur että lsummt eivät ylitä yläsummi. Lisäksi, jos t k [x k 1, x k ], niin m k (f) f(t k ) M k (f). Näin ollen, kun α on ksvv, sdn epäyhtälöt L(P, f, α) S(P, f, α) U(P, f, α), jotk liittävät ylä- j lsummt Riemnn-Stieltjesin summiin. Nämä epäyhtälöt, joit käytetään usein tulevss mteriliss, eivät välttämättä päde kun α ei ole ksvv funktio. Seurv luse osoitt, että kun funktio α on nousev, osituksen hienontminen nost lsummi j lskee yläsummi. 15

18 Luse 4.2. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin: (i) jos ositus P on hienompi kuin ositus P, niin U(P, f, α) U(P, f, α) j L(P, f, α) L(P, f, α). (ii) Mille thns osituksille P 1 j P 2, meillä on L(P 1, f, α) U(P 2, f, α). Todistus. Riittää todist (i), kun P sisältää tsn yhden pisteen enemmän kuin P, snotn vikk piste c. Jos c on P :n i:nnessä osvälissä, voidn kirjoitt U(P, f, α) = M k (f) α k + M [α(c) α(x i 1 )] + M [α(x i ) α(c)], missä M j M merkitsevät f:n supremumi väleillä [x i 1, c] j [c, x i ]. Mutt, kosk M M i (f) j M M i (f), sdn U(P, f, α) U(P, f, α). Alsummien epäyhtälö voidn todist smll tvll. Todistksemme ehdon (ii), olkoon P = P 1 P 2. Silloin meillä on L(P 1, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) U(P 2, f, α). Huomio. Tästä luseest seur, että ksvvll α:ll pätee m[α(b) α()] L(P 1, f, α) U(P 2, f, α) M[α(b) α()], missä M j m merkitsevät funktion f supremumi j infimumi välillä [, b]. Ktsotn seurvksi esimerkki, joss lsketn funktion ylä- j lsummt pienellä määrällä osituksi. Esimerkki 4.3. olkoon f(x) = 2x 2 3x + 4 välillä [1, 4] j olkoon P = {1, 2, 2.6, 4}. Funktio α = x, jolloin sdn yläsummksi U(P, f, α) = M k (α(x k ) α(x k 1 )) =f(2)(α(2) α(1)) + f(2.6)(α(2.6) α(2)) + f(4)(α(4) α(2.6)) =6 ( 2 1) ( 2.6 2) + 24 (2 ( 2.6)

19 Vstvsti lsummksi sdn L(P, f, α) = m k (α(x k ) α(x k 1 )) =f(1)(α(2) α(1)) + f(2)(α(2.6) α(2)) + f(2.6)(α(4) α(2.6)) =4 ( 2 1) + 6 ( 2.6 2) (2 ( 2.6) 6.6. Lisäämällä vin yhden välin lisää ositukseen P sisimme heti trkemmn tuloksen. Lisäämällä vikkp pisteen 3.3 ositukseen P, sisimme smll lill lskemll yläsummksi noin 12.3, j lsummksi noin 7.9. Tästä näkee käytännössä, kuink ylä- j lsumm lähestyvät toisin, kun osituksen tiheys ksv. Kuv 4.1: Funktion ylä- j lsumm Yllä olevst kuvst näkee selvästi ylä- j lsummn eron kun välit ovt suurempi. Määritelmä 4.4. Oletetn että α on ksvv välillä [,b]. Ylempi Stieltjesin integrli funktiost f suhteess α:n on määritelty seurvsti: f dα = inf {U(P, f, α) P P [, b].} Alempi Stieltjesin integrli määritellään seurvsti: f dα = sup {L(P, f, α) P P [, b].} 17

20 Huomio. Joskus kirjoitetn Ī(f, α) j I(f, α) ylä- j l integrleille. Erikoistpuksess, joss α(x) = x, ylä- j lsummi merkitään U(P, f) j L(P, f) j niitä kutsutn Riemnnin ylä- j lsummiksi. Luse 4.5. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin I(f, α) Ī(f, α) Todistus. Jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss ositus P 1 siten että U(P 1, f, α) < Ī(f, α) + ɛ. Luseen 4.2 mukn Ī(f, α)+ɛ on ylärj kikille lsummille L(P, f, α). Siispä, I(f, α) Ī(f, α) + ɛ, j kosk ɛ on mielivltinen, seur tästä I(f, α) Ī(f, α). 4.1 Riemnnin ehto Jos hlutn osoitt ylä- j lintegrlien smuus, niin meidän täytyy kyetä näyttämään yläsummien tulevn mielivltisen lähelle lsummi. Siispä vikutt mielekkäältä etsiä niitä funktioit f, joiden erotus U(P, f, α) L(P, f, α) sdn mielivltisen pieneksi. Määritelmä 4.6. Snotn että f täyttää Riemnnin ehdon suhteess α:n välillä [, b], jos jokiselle ɛ > 0 on olemss sellinen ositus P ɛ, että jokiselle sitä hienommlle ositukselle P pätee ehto 0 U(P, f, α) L(P, f, α) < ɛ. Luse 4.7. Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Silloin seurvt kolme väitettä ovt yhtäpitävät (i) f R(α) välillä [, b]. (ii) f täyttää Riemnnin ehdon suhteess α:n välillä [, b]. (iii) I(f, α) = Ī(f, α). Todistus. Todistetn että osst (i) seur (ii), osst (ii) seur (iii), j osst (iii) seur (i). Oletetn että (i) pätee. Jos α() = α(b), sdn U(P, f, α) L(P, f, α) = 0 < ɛ. Tälläin ehto (ii) pätee suorn. Oletetn siis että α() < α(b). Olkoon ɛ > 0. Vlitn P ɛ siten, että jokiselle hienommlle ositukselle P j kikille t k j t k välillä [x k 1, x k ], meillä on f(t k ) α k A < ɛ 3 j 18 f(t k) α k A < ɛ 3,

21 missä A = f dα. Yhdistämällä nämä epäyhtälöt, sdn f(t k ) α k A f(t k) α k A ɛ 3 < ɛ 3 [f(t k ) f(t k)] α k < 2 3 ɛ. Kosk M k (f) m k (f) = sup {f(x) f(x ) x, x [x k 1, x k ]}, seur että jokiselle h > 0 voidn vlit t k j t k siten että f(t k) f(t k ) > M k(f) m k (f) h. Vlitsemll h = 1ɛ/[α(b) α()], voidn kirjoitt 3 U(P, f, α) L(P, f, α) = [M k (f) m k (f)] α k < = [f(t k ) f(t k)] α k + h α k [f(t k ) f(t k)] α k + h[α(b) α()] < ɛ. Siispä osst (i) seur (ii). Seurvksi oletetn että (ii) pätee. Jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss ositus P ɛ siten, että in kun P on hienompi ositus kuin P ɛ, pätee U(P, f, α) < L(P, f, α) + ɛ. Siispä selliselle P on voimss Ī(f, α) U(P, f, α) < L(P, f, α) + ɛ I(f, α) + ɛ. Voidn sno siis että Ī(f, α) I(f, α) + ɛ jokisell ɛ > 0. Näin ollen, Ī(f, α) I(f, α). Mutt iemmn luseen 4.5. mukn myös päinvstinen epäyhtälö pätee, siispä osst (ii) seur (iii). Viimeiseksi, oletetn että Ī(f, α) = I(f, α) j merkitköön A niiden yhteistä rvo. Todistetn että f dα on olemss j on yhtä suuri kuin A. On nnettu ɛ > 0, vlitn P ɛ siten että U(P, f, α) < Ī(f, α)+ɛ kikille ositust P ɛ hienommille osituksille P. Vlitn myös P ɛ siten että L(P, f, α) > I(f, α) ɛ kikille ositust P ɛ hienommille osituksille P. Jos P ɛ = P ɛ P ɛ, voidn kirjoitt I(f, α) ɛ < L(P, f, α) S(P, f, α) U(P, f, α) < Ī(f, α) + ɛ Jokiselle ositust P ɛ hienommille osituksille P. Mutt, kosk Ī(f, α) = I(f, α) = A, tämä trkoitt, että S(P, f, α) A < ɛ jokiselle ositust P ɛ hienommlle ositukselle P. Tämä todist että f dα on olemss j on yhtäsuuri kuin A. Todistus luseelle on näin ollen vlmis. 19

22 4.2 Rjoitetusti heilhtelevt integrttorit Määritelmä 4.8. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b]. Jos P = {x 0, x 1,..., x n } on välin [, b] ositus, kirjoitetn f k = f(x k ) f(x k 1 ), k = 1, 2,..., n. Jos on olemss positiivinen luku M siten, että f k M kikille välin [, b] osituksille, silloin funktion f snotn olevn rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Määritelmä 4.9. Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], j merkitköön (P ) summ n f k vstten välin [, b] ositust P = {x 0, x 1,..., x n }. Luku (P } V f (, b) = sup{ ) P P [, b] kutsutn funktion f kokonisheilhteluksi välillä [, b]. Huomio. Jos mhdollist kirjoitetn V f sen sijn että kirjoitettisiin V f (, b). Kosk f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], luku V f on äärellinen. Lisäksi V f 0 kosk jokinen summ (P ) 0. Luse Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että c (, b). Silloin f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b] j tällöin V f (, b) = V f (, c) + V f (c, b). Todistus. Ensiksi todistetn että f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b]. Olkoon P 1 välin [, c] ositus j olkoon P 2 välin [c, b] ositus. Silloin P 0 = P 1 P 2 on välin [, b] ositus. Merkitään osituksen P summ f k summll (P ). Silloin (P1 ) + (P 2 ) = (P 0 ) V f (, b). Tästä nähdään että molemmt summist (P 1 ) sekä (P 2 ) ovt V f (, b) rjoittmi. Tämä trkoitt että f on rjoitetusti heilhtelev väleillä [, c] j [c, b]. Yllä olevst yhtälöstä sdn epäyhtälö V f (, c) + V f (c, b) V f (, b). Sdksemme käänteisen epäyhtälön, olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } P [, b] j olkoon P 0 = P {c} ositus, jok sdn lisäämällä piste c. Jos c [x k 1, x k ], silloin f(x k ) f(x k 1 ) f(x k ) f(c) + f(c) f(x k 1 ) 20

23 j siispä (P ) (P 0 ). Nyt välin [, c] osituksen P 0 pisteet määräävät välin [, c] osituksen P 1 j välin [c, b] osituksen P 0 pisteet määräävät välin [c, b] osituksen P 2. Vstvt summt kikille näille osituksille toteuttvt epäyhtälöt (P ) (P0 ) = (P 1 ) + (P 2 ) V f (, c) + V f (c, b). Joten, V f (, c) + V f (c, b) on ylärj jokiselle summlle (P ). Kosk tämä ei voi oll pienempi kuin pienin ylärj, täytyy oll V f (, b) V f (, c) + V f (c, b), j nyt on molemmt epäyhtälöt todistettu j osoitettu yhtäsuuruus. Luse Olkoon f rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Olkoon V määritelty välillä [, b] seurvsti: V (x) = V f (, x) jos < x b, V () = 0. Silloin: (i) (ii) V on ksvv funktio välillä [, b]. V f on ksvv funktio välillä [, b]. Todistus. Jos < x < y b, voidn kirjoitt V f (, y) = V f (, x) + V f (x, y). Tästä seur V (y) V (x) = V f (x, y) 0. Siispä V (x) V (y), j (i) pätee. Todistksemme ehdon (ii), olkoon D(x) = V (x) f(x), kun x [, b]. Silloin, jos x < y b, niin D(y) D(x) = V (y) V (x) [f(y) f(x)] = V f (x, y) [f(y) f(x)]. Mutt V f (x, y):n määritelmästä seur, että f(y) f(x) V f (x, y). Tämä trkoitt, että D(y) D(x) 0, j (ii) pätee. Luse Olkoon f määritelty välillä [, b]. Silloin f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], jos j vin jos f voidn ilmist khden ksvvn funktion erotuksen. Todistus. Jos f on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], voidn kirjoitt f = V D, missä V on luseen 4.11 funktio j D = V f. Molemmt V j D ovt ksvvi funktioit välillä [, b]. Jos f on ksvv välillä [, b], silloin kikille välin [, b] osituksille P = {x 0, x 1,..., x n } pätee f k = [f(x k ) f(x k 1 )] = f(x n ) f(x 0 ) = f(b) f(). Tästä nähdään että n f k M, jolloin voidn sno määritelmän 4.8. mukn, että f on rjoitetusti heilhtelev. Sm pätee ksvvlle funktiolle g, jolloin näiden funktioiden erotus f g on myös rjoitetusti heilhtelev. 21

24 Luse Oletetn, että α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Merkitään funktioll V (x) α:n kokonisheilhtelu välillä [, x], kun < x b, j olkoon V () = 0. Olkoon f määritelty j rjoitettu välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], silloin f R(V ) välillä [, b]. Todistus. Jos V (b) = 0, silloin V on vkio j tulos on trivili. Alempn nähdään syy miksi tulos on trivili. Oletetn siis, että V (b) > 0. Oletetn myös että f(x) M, kun x [, b]. Kosk V on ksvv, täytyy inost vrmist, että f täyttää Riemnnin ehdon suhteess funktioon V välillä [, b]. Olkoon nnettu ɛ > 0. Vlitn ositus P ɛ siten, että jokiselle sitä hienommlle ositukselle P j kikille pisteille t k j t k P :n väleillä [x k 1, x k ] pätee ehto j [f(t k ) f(t k)] α k < ɛ 4 j V (b) < α k + ɛ 4M. Jos ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ, todistmme kksi epäyhtälöä: [M k (f) m k (f)] ( V k α k ) < ɛ 2 [M k (f) m k (f)] α k < ɛ 2, joist sdn yhteenlskull ehto U(P, f, V ) L(P, f, V ) < ɛ. Todistksemme ensimmäisen epäyhtälön, huommme että V k α k 0 j siten [M k (f) m k (f)]( V k α k ) 2M ( V k α k ) ( = 2M V (b) ) α k < ɛ 2, kosk V on ksvv. Todistksemme toisen epäyhtälön, olkoon A(P ) = {k α k 0}, B(P ) = {k α k < 0} j olkoon h = 1 ɛ/v (b). Jos k A(P ), 4 vlitn t k j t k siten että f(tk) f(t k) > M k (f) m k (f) h. Jos k B(P ), vlitn t k j t k siten että f(t k) f(t k ) > M k (f) m k (f) h. 22

25 Silloin [M k (f) m k (f)] α k < [f(t k ) f(t k)] α k k A(P ) + [f(t k) f(t k )] α k + h = k B(P ) [f(t k ) f(t k)] α k + h < ɛ 4 + hv (b) = ɛ 4 + ɛ 4 = ɛ 2. α k α k Tästä seur että f R(V ) välillä [, b]. Luse Olkoon α rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että f R(α) välillä [, b]. Silloin f R(α) jokisell osvälillä [c, d] [, b]. Todistus. Riittää olett että α on ksvv välillä [, b], kosk rjoitetusti heilhtelev funktio on in khden ksvvn funktion erotus. Luseen 3.3 nsiost, riittää todist että c f dα j d f dα molemmt ovt olemss. Oletetn että < c < b. P :n olless välin [, x] ositus, merkitköön (P, x) väliin [, x] liittyvien ylä- j lsummien erotust (P, x) = U(P, f, α) L(P, f, α). Kosk f R(α) välillä [, b], Riemnnin ehto pätee. Siispä, jos ɛ > 0 on nnettu, on olemss välin [, b] ositus P ɛ siten että (P, b) < ɛ, jos P on hienompi ositus kuin P ɛ. Voidn olett, että c P ɛ. Pisteet välin [, c] osituksess P ɛ muodostvt välin [, c] osituksen P ɛ. Jos ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ välillä [, c], silloin P = P P ɛ on välin [, b] ositus. Nyt (P, c):n määrittelevä summ sisältää vin osn termeistä, jotk määrittelevät summn (P, b). Kosk jokinen termi on suurempi ti yhtäsuuri kuin 0 j kosk ositus P on hienompi kuin ositus P ɛ, niin tällöin (P, c) (P, b) < ɛ. Tämä merkitsee että osituksen P olless hienompi kuin ositus P ɛ, pätee (P, c) < ɛ. Siispä, funktio f toteutt Riemnnin ehdon välillä [, c] j c f dα on olemss. Sm rgumentti pätee myös toisin päin osoitten että d f dα on olemss, j luseen 3.3. nojll d f dα on olemss. c 23

26 4.3 Lisää ominisuuksi Luse Oletetn, että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b] j jos f(x) g(x) kikill x välillä [, b], silloin meillä on f(x) dα(x) g(x) dα(x). Todistus. Jokiselle ositukselle P, vstvt Riemnn-Stieltjesin summt toteuttvt S(P, f, α) = f(t k ) α k g(t k ) α k = S(P, g, α), kosk α on ksvv välillä [, b]. Lisäksi kosk jokist ɛ > 0 vst jko P niin, että S(P, f, α) f(x) dα(x) < ɛ j S(P, g, α) g(x) dα(x) < ɛ, nähdään että luse pätee. Erityisesti tästä luseest seur että g(x) dα(x) 0 in kun g(x) 0 j α on ksvv välillä [, b]. Luse Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], silloin f R(α) välillä [, b] j sdn seurv epäyhtälö f(x) dα(x) f(x) dα(x). Todistus. Olkoon P ositus väliltä [, b] j olkoon Voidn kirjoitt M k (f) = sup {f(x) x [x k 1, x k ]}, m k (f) = inf {f(x) x [x k 1, x k ]}. M k (f) m k (f) = sup {f(x) f(y) x, y [x k 1, x k ]}. Kosk epäyhtälö f(x) f(y) f(x) f(y) pätee in, siitä seur että M k ( f ) m k ( f ) M k (f) m k (f). Kertomll α k :ll j summmll yli k:n, sdn U(P, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) L(P, f, α) jokiselle välin [, b] ositukselle P. Käyttämällä Riemnnin ehto, nähdään että f R(α) välillä [, b]. Luseen epäyhtälö sdn vlitsemll g = f luseess

27 Luse Oletetn, että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) välillä [, b], niin f 2 R(α) välillä [, b]. Todistus. käyttämällä sm merkintätp kuin edellisessä (luse 4.16), meillä on Siispä voidn kirjoitt M k (f 2 ) = [M k ( f )] 2 j m k (f 2 ) = [m k ( f )] 2. M k (f 2 ) m k (f 2 ) = [M k ( f ) + m k ( f )][M k ( f ) m k ( f )] 2M[M k ( f ) m k ( f )], missä M on ylärj funktiolle f välillä [, b]. Käyttämällä Riemnnin ehto, sdn hluttu johtopäätös. Luse Oletetn että α on ksvv välillä [, b]. Jos f R(α) j g R(α) välillä [, b], silloin tulo f g R(α) välillä [, b]. Todistus. Käytetään lusett 4.16 j yhtälöä 2f(x)g(x) = [f(x) + g(x)] 2 [f(x)] 2 [g(x)] Riittävät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Luse Jos f on jtkuv välillä [, b] j jos α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], niin f R(α) välillä [, b]. Todistus. Riittää todist luse, kun α on idosti ksvv. Alempn selitys miksi idosti ksvvuus riittää. Funktion f jtkuvuus suljetull välillä [, b] merkitsee tsist jtkuvuutt. Jos ɛ > 0 on nnettu, voidn siis löytää vin ɛ:st riippuv δ > 0 siten, että x y < δ f(x) f(y) < ɛ/a, missä A = 2[α(b) α()]. Jos α olisi ksvv f(x) f(y) voisi oll 0, j väite pätisi trivilisti. Jos P ɛ on ositus normill P ɛ < δ, niin jokiselle sitä hienommlle ositukselle P pätee ehto M k (f) m k (f) ɛ/a, kosk M k (f) m k (f) = sup{f(x) f(y) x, y välillä [x k 1, x k ]}. Kertomll epäyhtälö α k :ll j yhteenlskemll sdn yhtälö U(P, f, α) L(P, f, α) ɛ α k = ɛ A 2 < ɛ, j nähdään että Riemnnin ehto pätee. Siispä, f R(α) välillä [, b]. 25

28 Ottmll erikoistpuksen, missä α(x) = x, luseet j 3.7. tuottvt seurvn korollrin: Luse Kumpikin seurvist ehdoist on riittävä Riemnnin integrlin f(x) dx olemssololle: () f on jtkuv välillä [,b]. (b) f on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. Tulos (b) on erityisen hyödyllinen Riemnnin integrlin olemssolon selvittämisen knnlt. Sitä ei juuri käsitellä peruskursseill, joten ktsotn pri esimerkkiä missä sitä käytetään. Esimerkki Aiemmin käsitelty lttifunktio on oiv esimerkki ei jtkuvst, mutt rjoitetusti heilhtelevst funktiost. Esimerkki Funktio x+sin(x) on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Myös funktio g(x) = x + sin(1/x) on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], kun > 0. Kyseinen funktio ei kuitenkn ole rjoitetusti heilhtelev esimerkiksi välillä [0, 2 ], (määritellään vikkp π g(0) = 2), kosk g heilhtelee liin nopesti nolln ympäristössä. Jott g olisi rjoitetusti heilhtelev, on oltv olemss positiivinen luku M siten, että g k M 1 Trkstelln jälkimmäistä summttv. Kirjoitetn f(x) = sin( ). Tällöin x:n 2/(2xπ π) olless luonnollinen luku, f(x) s inostn rvoj 1 j 1. Tästä sdn f k = f(k) f(k 1) = 2, jolloin summ f k hjntuu, eikä ole olemss positiivistä luku M, jolle M n f k kikill n. 4.5 Välttämättömät ehdot Riemnn-Stieltjesin integrlin olemssololle Kun α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], funktion f jtkuvuus on riittävä integrlin f dα olemssololle. Kuitenkn funktion f jtkuvuus välillä [, b] ei ole välttämätöntä. Seurv luse kertoo että α:n j f:n yhteiset epäjtkuvuudet vsemmlt ti oikelt täytyy välttää, jott integrli voi oll olemss. 26

29 Kuv 4.2: Funktioiden x + sin(x) (vsemmll) j x + sin(1/x) (oikell) kuvjt Luse Oletetn, että α on ksvv välillä [, b] j olkoon < c < b. Oletetn lisäksi, että molemmt α sekä f ovt epäjtkuvi oikelt kohdss x = c. Oletetn siis, että on olemss sellinen ɛ > 0, jolle kikill δ > 0 on olemss x j y välillä (c, c + δ), joille pätee f(x) f(c) ɛ j α(y) α(c) ɛ. Tällöin integrli f(x) dα(x) ei voi oll olemss. Integrli ei myöskään voi oll olemss jos α j f ovt epäjtkuvi vsemmlt kohdss c. Todistus. Olkoon P ositus välillä [, b] sisältäen pisteen c kyseiseltä väliltä. Muodostetn erotus U(P, f, α) L(P, f, α) = [M k (f) m k (f)] α k. Jos i:s osväli sisältää pisteen c vsempn päätepisteenään, silloin U(P, f, α) L(P, f, α) [M i (f) m i (f)][α(x i ) α(c)] kosk summn jokinen termi 0. Jos c on f:n j α:n yhteinen epäjtkuvuuskoht oikelt, voidn olett että piste x i on vlittu siten että α(x i ) α(c) ɛ. Luseen oletuksest seur epäyhtälö M i (f) m i (f) ɛ. Siispä U(P, f, α) L(P, f, α) ɛ 2, j Riemnnin ehto ei void täyttää. Jos c on yhteinen epäjtkuvuus vsemmlt, rgumentti on smnlinen. 27

30 Luku 5 Välirvoluse 5.1 Välirvoluse Riemnn-Stieltjesin integrlille Vikk integrlej esiintyy moniss ongelmiss, hrvoin on mhdollist lske trkk rvo hlutulle integrlille. Kuitenkin usein riittää lske rvio integrlist, trkn rvon sijn. Välirvoluseet ovt erityisen hyödyllisiä tälläisten rviointien tekemiseen. Luse 5.1. (Ensimmäinen välirvoluse). Oletetn että α on ksvv j olkoon f R(α) välillä [, b]. Olkoot luvut M j m vstvsti joukon {f(x) x [, b]} supremum j infimum. Silloin on olemss reliluku c toteutten m c M siten, että f(x) dα(x) = c dα(x) = c[α(b) α()]. Erityisesti jos f on jtkuv välillä [, b], silloin c = f(x 0 ) jollekin luvulle x 0 välillä [, b]. Todistus. Jos α() = α(b), luse pätee trivilisti, kosk molemmt puolet ovt 0. Siispä voimme olett, että α() < α(b). Kosk kikki ylä- j lsummt toteuttvt m[α(b) α(b)] L(P, f, α) U(P, f, α) M[α(b) α()], integrlin f dα täytyy sijit smojen rjojen sisällä. Siispä, osmäärä c = ( f dα)/( dα) = ( f dα)/(α(b) α()) sijoittuu lukujen m j M väliin. Kun f on jtkuv välillä [, b], jtkuvien funktioiden välirvoluse tuott c = f(x 0 ) jollekin x 0 välillä [, b]. Toisen tämän tyyppisen luseen smme ensimmäisen vull käyttämällä osittisintegrointi. 28

31 Luse 5.2. (Toinen välirvoluse). Oletetn että α on jtkuv j että f on ksvv välillä [, b]. Silloin on olemss piste x 0 välillä [, b], siten että f(x) dα(x) = f() x0 Todistus. Luseen 3.7. mukn sdn dα(x) + f(b) f(x) dα(x) = f(b)α(b) f()α() x 0 dα(x). α(x) df(x). Käyttämällä lusett 5.1. oikell puolell olevn integrliin, sdn Tämä sijoittmll sdn α(x) df(x) = α(x 0 ) df(x) = α(x 0 )[f(b) f()]. f(x) dα(x) =f(b)α(b) f()α() α(x 0 )[f(b) f()] =f(b)α(b) f()α() α(x 0 )f(b) + α(x 0 )f() =f()[α(x 0 ) α()] + f(b)[α(b) α(x 0 )], missä x o [, b], mikä on juuri se mitä lähdettiin hkemn. 5.2 Toisenlinen välirvoluse Riemnnin integrlille Luse 5.3. Olkoon g jtkuv j oletetn että f on ksvv välillä [, b]. Olkoot A j B relilukuj, jotk toteuttvt epäyhtälöt A f(+) j B f(b ). Silloin on olemss piste x 0 välillä [, b] siten että (i) f(x)g(x) dx = A x0 Erityisesti, jos f(x) 0 kikille x [, b], niin g(x) dx + B x 0 g(x) dx. (ii) f(x)g(x) dx = B x 0 g(x) dx, Huomio. Os (ii) tunnetn Bonnetin luseen missä x 0 [, b]. 29

32 Todistus. Jos α(x) = x g(t) dt, silloin α = g j luse 5.2. on käytettävissä j sdn f(x)g(x) dx = f() x0 g(x) dx + f(b) x 0 g(x) dx. Tämä todist ehdon (i) in kun A = f() j B = f(b). Nyt jos A j B ovt mitkä thns kksi reliluku, jotk täyttävät ehdot A f(+) j B f(b ), voidn määritellä f uudelleen päätepisteissä j b smn rvot f() = A j f(b) = B. Muokttu f on yhä ksvv välillä [, b], j muuttmll f:n rvo äärellisessä määrässä pisteitä ei vikutet Riemnnin integrlin rvoon. Vlitsemll A = 0, osst (i) seur os (ii). 5.3 Integrli ylärjn funktion Jos f R(α) välillä [, b] j jos α on rjoitetusti heilhtelev, silloin luseen mukn integrli x f dα on olemss jokiselle x välillä [, b] j sitä voidn tutki x:n funktion. Joitin tämän funktion ominisuuksi sdn nyt svutettu. Luse 5.4. Olkoon α rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] j oletetn että f R(α) välillä [, b]. Määritellään F yhtälöllä F (x) = Tällöin F toteutt seurvt ehdot: x f dα, jos x [, b]. (i) F on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. (ii) Jokinen α:n jtkuvuuspiste on myös F :n jtkuvuuspiste. (iii) Jos α on ksvv välillä [, b], derivtt F (x) on olemss jokisess sellisess pisteessä x (, b), joss α (x) on olemss j joss f on jtkuv. Selliselle pisteelle x pätee kv F (x) = f(x)α (x). Todistus. Voidn olett että α on ksvv välillä [, b]. Jos x y, luseen 5.1. mukn meillä on F (y) F (x) = y x f dα = c[α(y) α(x)], missä m c M. (Luvut m j M ovt joukon {f(x) x [, b]} supremum j infimum.) Kosk α on rjoitetusti heilhtelev välillä [, b], on myös c[α(y) α()] = F (y) F () rjoitetusti heilhtelev välillä [, b]. Tästä seur, että väite (i) pätee. Kosk f R(α) 30

33 eikä integrli toimenpiteenä vikut jtkuvuuspisteisiin, on jokisen α:n jtkuvuuspisteen oltv myös F :n jtkuvuuspiste, tästä seur, että väite (ii) pätee. Todistksemme ehdon (iii), jmme (y x):llä j huommme, että c f(x) kun y x. Seurvss luseess osoitetn derivtn hyödyllisyys Riemnnin integrlien rvioimisess. Luse 5.5. Oletetn että f R välillä [, b]. Olkoon funktio g määritelty välillä [, b] siten, että derivtt g on olemss välillä (, b) j sillä on rvo g (x) = f(x) jokiselle x välillä (, b). Päätepisteissä oletetn että g(+) j g(b ) ovt olemss j toteuttvt g() g(+) = g(b) g(b ). Silloin meillä on f(x) dx = g (x) dx = g(b) g(). Todistus. Jokiselle ositukselle väliltä [, b] voidn kirjoitt g(b) g() = [g(x k ) g(x k 1 )] = g (t k ) x k = f(t k ) x k, missä t k on differentililskennn välirvoluseen ntm piste välillä (x k 1, x k ). Mutt nnetulle ɛ > 0, ositus voidn viedä niin hienoksi että g(b) g() f(x) dx = f(t k ) x k j tämä todist luseen. f(x) dx < ɛ, 31

34 Luku 6 Esimerkki todennäköisyyslskennss Todennäköisyyslskennss on diskreettejä j jtkuvi tphtumi. Normlisti näiden yhdistäminen muodost hnkluuksi lskennllisesti, mutt Riemnn-Stieltjesin integrlill pystyy tälläisiä ongelmi rtkomn. Todennäköisyyslskent onkin ehkä se l, missä Riemnn-Stieltjesin integrlist on eniten käytännön hyötyä. Lsketn esimerkki, missä yhdistyy diskreettiä jkum j tiheysfunktiot. Olkoon 0.3, kun x 0 jtkuv vsemmlt 0:ss f(x) = 0.2, kun 0 < x 2 jtkuv 1:ssä 1, kun x > 2 jtkuv vsemmlt pisteessä 2 x 2 j 0, kun x < 0 1, kun 0 x < 1 jtkuv oikelt 0:ss α(x) = 2, kun 1 x 2 jtkuv oikelt 1:ssä x, kun x > 2 jtkuv oikelt pisteessä 2. Lskettess todennäköisyyksiä, funktion todennäköisyyksien kertymän täytyy oll 1. Trkistetn ensimmäiseksi, että näin on. Lskettess Riemnn-Stieltjesin integrli, jetn integrli khteen väliin lskemisen helpottmiseksi 2 f(x) dα(x) = f(x) dα(x) + f(x) dα(x). 32 2

35 Luseen mukn voidn muutt summn vsempi puoli äärelliseksi summksi. Tämä on mielekästä tehdä kosk meillä on vin kksi hyppykoht. Luse ei vdi molempien funktioiden jtkuvuutt kikiss pisteissä. Oike puoli ts sieventyy Riemnnin integrliksi, kosk α(x) = x. Eli sdn f(0) (α(0+) α(0 )) + f(1) (α(1+) α(1 )) + f(2) (α(2+) α(2 )) + =(0.3 (1 0) (2 1) (2 2)) + = / 1 x = x 2 dx Nyt voisimme lske mille hyvänsä x:lle kertymäfunktion rvon x:ssä lskemll integrlin x f dα. 2 f(x) dx 33

36 Kirjllisuutt [1] Tom M Apostol: Mthemticl nlysis. A modern pproch to dvnced clculus, Addison-Wesley publishing compny,

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause

Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Ann-Riikk Pvol Integrli j yleistetty Pythgorn luse Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Mrrskuu 28 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Pvol, Ann-Riikk:

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot