Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15"

Transkriptio

1 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt Tylorin polynomit Tylorin srjt Yleisimpi srjkehitelmiä 14 1

2 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 2 / 15 1 Funktiojonoist Reliset lukujonot määriteltiin funktioin f : Z + R. Anlogisesti funktiojonot määritellään funktioin positiivisten kokonislukujen joukolt relifunktioiden joukolle. Täten funktiojono liittää jokiselle kokonisluvulle täsmälleen yhden funktion f : A B, missä A, B R. Jos f 1 : D R, f 2 : D R,... on jono relifunktioit, niin funktiojono merkitään (f k ). Mikäli indeksistä ei ole epäselvyyttä, niin lyhennetään vin (f k ). Olkoon (f k ) funktiojono, joss f k suppenee pisteittäin kohti funktiot f : D R, mikäli : D R j D R. Tämä funktiojono lim f k(x) = f(x) in, kun x D. Tällöin funktiot f snotn jonon (f k ) rjfunktioksi j merkitään lim f k = f ti f k f, kun k. Kiinnittämällä x 0 D sdn normli relinen lukujono (f k (x 0 )). Selvästi mikäli tämä lukujono hjntuu, niin ei voi oll olemss funktiot f : D R, jok toteuttisi ehdon f k (x 0 ) f(x 0 ), kun k. Tällöin funktiojono (f k ) ei voi supet. Esimerkiksi funktiojono (f k ), missä f k : [0, 1] R, f k (x) = x k on jono jtkuvi funktioit, jok suppenee kohti funktiot f : [0, 1] R, missä 0, kun 0 x < 1 f(x) = 1, kun x = 1. Nyt funktio f ei ole jtkuv funktio, vikk jokinen funktiojonon funktio f k on. Tämä on hiemn ongelmllist, sillä jtko jtellen olisi hyödyllistä, että suppeneminen säilyttäisi rjfunktion jtkuvuuden. Otetn käyttöön tiukempi ehto suppenemiselle. 2

3 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 3 / 15 Funktiojono (f k ) suppenee tsisesti joukoss D R kohti rjfunktiot f, mikäli sup f k (x) f(x) 0, kun k. x D Tsisest suppenemisest seur suorn pisteittäinen suppeneminen, sillä f k (x) f(x) sup f k (x) f(x) 0, kun k. x D Täten lim f k (x) = f(x) kikill x D. Pisteittäisessä suppenemisess jokist luku ɛ > 0 on olemss sellinen luku k(x, ɛ) Z +, että f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k(x, ɛ), missä x D. Kosk jokinen (f k (x 0 )) on om lukujonons, niin k(x 0, ɛ) tulee riippumn luvust ɛ > 0 j määritysjoukon pisteestä x 0 D. Edellisessä esimerkissä jokinen k Z + käy luvuksi k(x, ɛ), kun x = 0 ti x = 1. Kun 0 < x < 1, täytyy vlit k(x, ɛ) > ln ɛ. Tämä rvio vkiolle sdn ottmll epäyhtälöstä ln x x k 0 = x k < ɛ puolittin luonnollinen logritmi. Tämä voidn tehdä, kosk molemmt puolet ovt positiivisi. Täten ln x k = k ln x < ln ɛ. Epäyhtälön suunt säilyy, kosk luonnollinen logritmi on idosti ksvv funktio. Kosk 0 < x < 1, niin ln x < 0 j sdn k > ln ɛ ln x. Tsisess suppenemisess vditn luvun k ɛ Z + täyttävän ehdon sup f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k ɛ. x D 3

4 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 4 / 15 Täten k ɛ tulee riippumn vin luvust ɛ > 0 j joukost D. Siis f k (x) f(x) < ɛ in, kun k > k ɛ j x D. Ero ei vikut ehkä järin suurelt, mutt on käytännössä huomttv, sillä erotuksen f k (x) f(x) supremum lsketn ennen kuin luvun k nnetn ksv rjtt. Seurv luse osoitt, että määritelmänä tsinen suppeneminen on hyvin vlittu, sillä se tulee tkmn, että rjfunktio tulee säilyttämään jtkuvuuden. Luse. Jos jtkuvien funktioiden muodostm funktiojono (f k ) suppenee tsisesti joukoss D R kohti rjfunktiot f : D R, niin funktio f on jtkuv. Smll luse nt helpon tvn osoitt joisskin tpuksiss, että funktiosrjn suppeneminen ei ole tsist. Nimittäin jos rjfunktio f on epäjtkuv vikk funktiojonon termit f k ovt jtkuvi, niin suppeneminen ei voi oll tsist. Huomutus. Kosk suljetull j rjoitetull välillä I = [, b] jtkuv funktio svutt mksimins tällä välillä, niin sup f k (x) f(x) = mx f k(x) f(x). x I x I Kosk mx f k(x) f(x) on luvust k riippuv lukujono, niin tsisen suppenemisen trkstelu sdn plutettu lukujonon suppenemiseen, mikäli x I mksimirvo pystytään määräämään. 4

5 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 5 / 15 2 Funktiosrjoist Olkoon (g k ) mielivltinen jono funktioit g k : D R. Vstvll tvll kuin tvllinen srj muodostetn lukujonost summmll lukujonon termejä, niin funktiosrj sdn muodostmll uusi funktiojono (f n ), missä f n (x) = n g k (x) = g 1 (x) + g 2 (x) g n (x) in, kun x D j n Z +. Tätä funktiot snotn funktiosrjn g k (x) n:nneksi ossummksi. Funktiosrj g k (x) suppenee pisteittäin kohti funktiot f joukoss D, mikäli ossummien jono (f n ) suppenee pisteittäinäin kohti funktiot f joukoss D. Siis jos lim n n g k (x) = f(x) in, kun x D. Kiinnittämällä x 0 D sdn ikn relilukujen srj g k (x 0 ). Tähän voi- dn sovelt suorn srjteorin tuloksi. Esimerksi funktiosrj g k (x 0 ) ei voi supet, mikäli g k (x 0 ) 0, kun k. Myös muit suppenemistestejä, esimerkiksi suhdetestiä j juuritestiä, voidn sovelt pisteittäisissä suppenemistrksteluiss. Funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D, mikäli ossummien jono (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D. Eli jos n sup g k (x) f(x) 0, kun n. x D Kosk khden jtkuvn funktion summfunktio on jtkuv, niin jtkuvien funktioiden muodostm srjn jokinen ossumm on jtkuv funktio. Täten voidn funktiojonoille osoitettu tulost sovelt j sd 5

6 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 6 / 15 Luse. Jos funktiot (g k ) ovt jtkuvi kikill k Z + joukoss D j funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti joukoss D R kohti summfunktiot f : D R, niin summfunktio f on jtkuv. Vrsinkin srjojen tpuksess tsisen suppenemisen osoittminen voi oll hyvin työlästä. Onneksi Weierstrssin M-testi yksinkertist tätä huomttvsti, mikäli onnistuu löytämään sopivn mjornttisrjn. Weierstrssin M-testi. Jos srj niin funktiosrj k suppenee j g k (x) k in, kun x D j k Z +, g k (x) suppenee tsisesti joukoss D. Huomutus. Korvmll g n (x) termillä g n (x) huomtn, että jos Weierstrssin M-testin ehdot täyttyvät, niin myös funktiosrj g k (x) suppenee tsisesti joukoss D. 6

7 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 7 / 15 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi Jtkuvuuden lisäksi tsinen suppeneminen tulee säilyttämään myös funktion integroituvuuden j lisäksi integroimisen s suoritt termeittäin. Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt integroituvi välillä [, b]. Jos jono (f k ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f, niin funktio f on integroituv välillä [, b] j f(x)dx = Vstv tulos funktiosrjoille on: lim f k(x)dx = lim f k (x)dx Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt integroituvi välillä [, b]. Jos srj f k suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f, niin funktio f on in- tegroituv välillä [, b] j f(x)dx = f k (x)dx = f k (x)dx Kosk esimerkiksi kikki suljetull j rjoitetull välillä jtkuvt funktiot ovt integroituvi tällä välillä, niin käytännön lskutehtävissä usein riittää todet, että funktiojonon funktiot ovt jtkuvi välillä, jonk yli integrointi suoritetn. Ikävä kyllä, derivoimisen suhteen tilnne ei ole yhtä yksinkertinen. Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b]. Jos jono (f k ) suppenee pisteittäin välillä [, b] kohti funktiot f j derivttojen jono (f k ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot g, niin funktio f on derivoituv jtkuvsti välillä [, b] j f (x) = g(x) = lim f k(x) in, kun x [, b]. Funktio f k on jtkuvsti derivoituv välillä, mikäli funktion derivttfunktio on olemss j se on jtkuv. Tämän merkintään kirjoittmll f k C 1 (R). J srjoille sm tulos on: 7

8 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 8 / 15 Luse. Olkoon (f k ) jono funktioit, jotk ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b]. Jos srj f k suppenee pisteittäin välillä [, b] kohti funktiot f j derivttojen srj f k suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot g, niin funktio f on derivoituv jtkuvsti välillä [, b] j f (x) = d dx f k (x) = f k(x) = g(x) in, kun x [, b]. Huomutus. Edellä olevi tuloksi voidn prnt, eli os oletuksist on turhi. Tämän kurssin trpeisiin tulokset ovt kuitenkin riittäviä. Voidn osoitt, että jos f on välillä [, b] jtkuv funktio, niin on olemss polynomijono (P k ), jok suppenee tsisesti välillä [, b] kohti funktiot f. Jokinen polynomi on derivoituv kikiss relilukupisteissä. Kuitenkin on olemss funktioit, jotk ovt jtkuvi kikkill, mutt eivät missään derivoituvi. Täten derivoituvuus ei ole ominisuus, jonk tsinen suppeneminen säilyttää. Tämä voi tuntu oudolt, kosk tsinen suppeneminen säilyttää kuitenkin jtkuvuuden j integoituvuuden. Derivoituvuus on vin pljon tiukempi ehto kuin integroituvuus ti jtkuvuus. 8

9 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 9 / 15 4 Potenssisrjt Olkoon x 0 mielivltinen reliluku j ( k ) mielivltinen relinen lukujono. Funktiosrj k (z x 0 ) k snotn potenssisrjksi. Lukuj 0, 1, 2,... kutsutn potenssisrjn kertoimiksi j luku x 0 on srjn keskipiste. Merkitsemällä x = z x 0 sdn kikki potenssisrjt plutettu muotoon k x k = x + 2 x x , joiss keskipisteenä on siis 0. Potenssisrj määrittelee siis funktion f : D R, f(x) = k x k, missä funktion f määritysjoukko D sisältää täsmälleen ne luvut x R, joiss potenssisrj suppenee. Eli x D jos j vin jos srjn äärellisenä olemss. Siis { } D = x R k x k suppenee. k x k 0 summ on Huomutus. Yleensä lusekett 0 0 ei ole määritelty, mutt potenssisrj käsiteltäessä sovitn, että 0 0 = 1. Tällöin f(0) = k 0 k = 0. Potenssisrjn k x k suppenemissäde on luku { } R = sup x R k x k suppenee = sup D. 9

10 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 10 / 15 Selvästi jokinen potenssisrj suppenee, kun x = 0, joten R 0. Mikäli potenssisrj suppenee kikill reliluvuill x R eli { } R = x R k x k suppenee = D, niin joukon suprenumi ei ole äärellisenä olemss, jolloin merkitään R =. Siten 0 R. Määritelmän nimi on mielekäs, sillä mjorntti- j minornttiperitett käyttämällä sdn, että Luse. Potenssisrj kun x > R k x k suppenee in, kun x < R j hjntuu in, Huomutus. Luseen suppenemis- j hjntumisehdot eivät ole jos j vin jos, sillä potenssisrj voi supet ti hjntu rvoill x = R ti x = R. Nämä pitää siis trkstell erikseen srjn suppenemist tutkittess. Srjojen osmäärä- j juuritestiä muokkmll sdn seurvt tulokset: Osmäärätesti. Olkoon lim k+1 k = p. Jos p = 0, niin R =. Jos p =, niin R = 0. Jos 0 < p <, niin R = 1 p. j Juuritesti. Olkoon lim k k = p. Jos p = 0, niin R =. Jos p =, niin R = 0. Jos 0 < p <, niin R = 1 p. Weierstrssin M-testi soveltmll sdn tsen: k x k suppenee tsisesti jokisell välillä [, b] ] Luse. Potenssisrj R, R[, missä, b R j < b. 10

11 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 11 / 15 Kosk funktiot f k (x) = k x k ovt jtkuvi j tsinen suppeneminen säilyttää jtkuvuuden, niin Luse. Funktio f :] R, R[ R, f(x) = k x k on jtkuv. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] jtkuvt funktiot ovt myös integoituvi tällä välillä. Tsinen suppeneminen säilytti integoituvuuden j slli termeittäin integroinnin, joten Luse. Jos [, b] ] R, R[, niin funktio f(x) = k x k on integroituv välillä [, b] j f(x)dx = ( k ) x k dx = ( k b/ ) x k+1 = k + 1 Derivoituvuuden osoittmiseen trvitn seurvn putulost. k k + 1 xk+1 Luse. Potenssisrjoill k x k, k k + 1 xk+1 j k k x k 1 on smt suppenemissäteet. Luse. Jos x ] R, R[, niin funktio f on derivoituv pisteessä x j f (x) = d dx k x k = d dx kx k = k k x k 1. Täten jokinen potenssisrj voidn derivoid mielivltisen mont kert suppenemissäteensä ] R, R[ sisällä. Tutkimll srjn derivttoj sdn seurv tulos. Luse. Jos f(x) = k x k j g(x) = b k x k sekä on olemss sellinen r > 0, että f(x) = g(x) in, kun x ] r, r[, niin k = b k kikill k = 0, 1, 2... Täten potenssisrjn kertoimet ovt yksikäsitteisiä. 11

12 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 12 / 15 5 Tylorin polynomit j srjt Jokist potenssisrj voidn derivoid mielivltisen mont kert suppenemissäteensä ]x 0 R, x 0 + R[ sisällä. Ottmll srjn f(x) = k (x x 0 ) k i:s derivtt, sdn f (i) (x) = i(i 1)(i 2) (k i + 1) k (x x 0 ) k i k=i Sijoittmll x = x 0 kikki kertoimen (x x 0 ) sisältävät termit supistuvt pois j jäljelle jää f (i) (x 0 ) = i! i eli potenssisrjn kertoimelle i sdn uusi esitysmuoto i = f (i) (x 0 ). i! Nyt potenssisrjt voidn kirjoitt uudell tvll f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k, k! jot snotn funktion f Tylorin srjksi pisteen x 0 ympäristössä. Mikäli x 0 = 0, niin srj kutsutn Mclurinin srjksi. Jokinen potenssisrjn määräämä funktio f voidn siis kirjoitt Tylorin srjn. Seurvksi trkstelln milloin funktiolle on mhdollist muodost Tylorin srj eli milloin se voidn esittää potenssisrjn. 5.1 Tylorin polynomit Olkoon f sellinen funktio, että se on n kert derivoituv pisteessä x 0. Tällöin sen n:nnen steen Tylorin polynomi pisteessä x 0 on n f (k) (x 0 ) T n (x, x 0 ) = (x x 0 ) k k! 12

13 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 13 / 15 Funktiot R n (x, x 0 ) = f(x) T n (x, x 0 ) snotn Tylorin polynomin jäännöstermiksi. Se siis kertoo millinen virhe tehdään, kun funktiot f rvioidn n:nnen steen Tylorin polynomill. Luse. Jos funktio f on äärettömän mont kert derivoituv pisteen x 0 eräässä R-säteisessä ympäristössä, niin R n (x, x 0 ) = 1 n! x in, kun x x 0 < R j n = 0, 1, 2,... x 0 f (n+1) (t)(x t) n dt Soveltmll integrlilskennn välirvoluseen yleistettyä muoto tähän sdn, että on olemss sellinen luku s pisteiden x j x 0 (ei tiedetä kumpi on suurempi) välissä, että Täten f(x) = R n (x, x 0 ) = f (n+1) (s) (n + 1)! (x x 0) n+1. n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+1) (s) k! (n + 1)! (x x 0) n+1, mikä on välirvoluseen yleistys, sillä tpuksess n = 0 yhtälö on supistuu muotoon f(x) = f(x 0 ) + f (s)(x x 0 ). Huomutus. Edellisen luseen kv nt virheelle trkn rvon, mikäli integrlin x x 0 f (n+1) (t)(x t) n dt rvo ostn lske. Kosk yleensä hlutn tietää vin rvio virheelle luvun n eri rvoill, niin helpoin tp tähän voi oll lske jokin ylärj lusekkeelle missä s ]x 0 R, x 0 + R[. f (n+1) (s) (n + 1)! (x x 0) n+1, 13

14 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 14 / Tylorin srjt Olkoon R > 0 srjn f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k suppenemissäde. Oletetn, että R n (x, x 0 ) 0, kun n välillä ]x 0 R, x 0 + R[. Tällöin T n (x, x 0 ) f(x), kun n j x ]x 0 R, x 0 + R[. Siis funktioll f on srjkehitelmä pisteen x 0 ympäristössä, jok yhtyy funktioon f funktiosrjn suppenemissäteen ]x 0 R, x 0 + R[ sisällä. Tätä srjkehitelmää f(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k in, kun x ]x 0 R, x 0 + R[ k! kutsutn funktion f Tylorin srjksi pisteen x 0 ympäristössä. Useimmiss tpuksiss funktion Tylorin polynomin virhefunktion R n (x, x 0 ) rj-rvo on hnkl trkstell. Seurvn luseen soveltminen voi helpott trkstelu. Luse. Jos funktion f jokinen derivtt f (k) (x) on rjoitettu pisteen x 0 ympäristössä B R (x 0 ) eli on olemss sellinen vkio M > 0, että f (k) (x) < M in, kun x x0 < R j k = 0, 1,..., niin lim n R n (x, x 0 ) = 0 in, kun x x 0 < R. Täten esimerkiksi funktioiden sin x j cos x Tylorin srjt suppenevt kikkill lueess R. Mikäli funktio f voidn kirjoitt funktioon yhtyvänä Tylorin srjn, niin funktio on polynomifunktioiden rj-rvo. Polynomien j rj-rvon käsitteet voidn helposti yleistää esimerkiksi kompleksiluvuille j mtriiseille. Täten funktio f voidn määritellä mielekkäästi myös kompleksiluvuille j mtriiseille. 5.3 Yleisimpi srjkehitelmiä 1. e x = x k k! = 1 + x + x2 2 + x kikill x R 14

15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 15 / ln(1 + x) = k+1 xk ( 1) 3. sin x = ( 1) k x2k+1 = x x3 (2k+1)! k = x x2 + x3 +..., kun 1 < x x kikill x R 4. cos x = ( 1) k x2k = 1 x2 + x4... kikill x R (2k)! 2 4! 5. (1 + x) α = 1 + ( ( α 1) x + α ) 2 x 2 + ( α 3) x kikill x < 1 j α R. Huomutus. Edellisessä merkintä ( α n) on nk. yleistetty binomikerroin j ( ) α α(α 1)(α 2) (α n + 1) = n n! kikill α R j n = 0, 1, 2,

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN

MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN Alto-yliopisto Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Syksy 2016 1 2 KIRSI PELTONEN 1.1. Kompleksiluvut (kertust). 1. Anlyyttinen funktio Määritelmä 1.1. Kompleksiluku

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

73035 Insinöörimatematiikka 2

73035 Insinöörimatematiikka 2 7335 Insinöörimtemtii Kesä 5 Tmpereen tenillinen yliopisto Risto Silvennoinen. Luusrjt. Funtiosrjt 8 3. Relifuntioiden määräämätön integrli 5 4. Relifuntioiden määrätty integrli 6 5. Integrointi n-ulotteisess

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot