MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN"

Transkriptio

1 MS-C1300 KOMPLEKSIANALYYSI KIRSI PELTONEN Alto-yliopisto Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Syksy

2 2 KIRSI PELTONEN 1.1. Kompleksiluvut (kertust). 1. Anlyyttinen funktio Määritelmä 1.1. Kompleksiluku on relilukupri z = (x, y). Niiden joukko C = R R. Jos z = (x, y), niin merkitään x = Re z luvun z relios j y = Im z imginrios. Geometrinen esitys: C on tso j x, y luvun z suorkulmiset koordintit. Npkoordintit (r, ϕ): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, missä r = x 2 + y 2 j ϕ = rctn y ti rctn y + π (ϕ määritelty vin 2π:n monikert ville). x x Huomutus 1.1. ϕ ei määritelty kun z = (0, 0) =: 0. r = z on luvun z itseisrvo eli moduli ϕ = rg z on luvun z rgumentti eli vihekulm C:n lskutoimitukset: 1. Summ: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (vektorien yhteenlsku) (C, +) Abelin ryhmä; 0-lkio 0 = (0, 0), vst-lkio (x, y) = ( x, y) 2. Tulo: Olkoon z = (x, y), z = (x, y ). Ohje: z = x + iy, z = x + iy, j i 2 = 1. Näistä sdn: zz = (x + iy)(x + iy ) = xx yy + i(yx + xy ) = (xx yy, yx + xy ). Siispä setetn Määritelmä 1.2. zz = (xx yy, yx + xy ) HT: Miksei setet zz = (xx, yy )? Luse 1.1. C on kunt. Todistus. (Relilukujen ominisuudet oletetn tunnetuiksi.) 1. (C, +) Abelin ryhmä: Löytyy 0-lkio, vst-lkio, + liitännäinen: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3, + vihdnninen: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 2. Kertolsku on liitännäinen j vihdnninen. 3. Tulon osittelulki z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 on voimss. 4. C:ssä on 1-lkio (1, 0): z(1, 0) = (x, y)(1, 0) = (x, y) = (1, 0)(x, y) = (1, 0)z. 5. Kompleksiluvull (, b) (0, 0) on käänteislkio (x, y) siten, että pätee (, b)(x, y) = (1, 0) (x by, y + bx) = (1, 0) x by = 1, y + bx = 0

3 KOMPLEKSIANALYYSI 3 x = 2 + b 2, y = Huomutus 1.2. C:ssä ei ole järjestysreltiot. b 2 + b 2. Olkoon u : R C ehdon u(x) = (x, 0) määräämä kuvus. Tällöin pätee 1. u on injektio 2. u(x + y) = u(x) + u(y) 3. u(xy) = (xy, 0) = (x, 0)(y, 0) = u(x)u(y) Ehdot (2) j (3) yllä trkoittvt, että kuvus u välittää yhteensopivsti relilukujen yhteen- j kertolskut vstvien kompleksilukujen lskutoimitusten knss. Tällist (renkiden välistä) kuvust u kutsutn rengshomomorfismiksi. Voidn siis smst u(x) = x, jolloin R = u(r) C. Smstus R = {(x, 0) x R} määrää C:n relikselin. Merkitään nyt i = (0, 1) imginriyksikkö. Tällöin pätee: i 2 = (0, 1)(0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0) = 1! Jos y R, niin pätee iy = (0, 1)(y, 0) = (0, y)) j edelleen (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. Stiin siis kompleksiluvun tvllinen esitysmuoto: (x, y) = x + iy. Määritelmä 1.3. Kompleksiluku z = x + iy on relinen jos y = 0, imginrinen jos y 0 j puhtsti imginrinen jos x = 0, y 0. Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy liittoluku on z = x iy. Kvoj, jotk seurvt melko suorn määritelmistä: z z = z 2 z + z = 2 Re z z z = 2i Im z z = z rg z = rg z z = z z + z = z + z zz = z z ( z z ) = z z Luse z z z + z z + z 2. zz = z z

4 4 KIRSI PELTONEN 3. rg(zz ) = rg z + rg z, (mod 2π) 4. Kikill z 0 pätee 1 = 1. z z 5. rg 1 = rg z, (mod 2π) z Todistus. HT Induktiivisesti edellisen luseen kohdist (2) j (3) seur Moivren kv: Kikill n Z pätee (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ.

5 1.2. C:n topologi (kertust). Olkoon z 0 C, r > 0, KOMPLEKSIANALYYSI 5 j z 0 :n kiekkoympäristö B(z 0, r) = {z C z z 0 < r} voin kiekko, B(z 0, r) = {z C z z 0 r} suljettu kiekko S (z 0, r) = {z C z z 0 = r} ympyrä Määritelmä 1.5. Joukko A C on voin, jos kikill z A löytyy r > 0 siten, että B(z, r) A. Joukko A C on suljettu, jos C\A on voin. Avoimuus säilyy joukkojen mielivltisiss yhdisteissä j äärellisissä leikkuksiss. Vstvsti mielivltiset suljettujen joukkojen leikkukset j äärelliset yhdisteet ovt suljettuj. (HT) Esimerkki Avoin kiekko B(z 0, r) on voin joukko. HT: Todist tämä trksti 2. Suljettu kiekko B(z 0, r) on suljettu joukko. HT: Todist tämä trksti 3. Koko kompleksitso C j tyhjä joukko ovt kompleksitson voimi j suljettuj joukkoj. 4. Joukko {z = x + iy C x, y Q}, missä Q on rtionlilukujen joukko ei ole kompleksitson voin eikä suljettu joukko. Määritelmä 1.6. Joukon A sulkeum A = {z C B(z, r) A kikill r > 0} Joukon A sulkeumn pisteitä kutsutn myös A:n kosketuspisteiksi. Esimerkki 1.2. Q = R Määritelmä 1.7. Joukko A C on rjoitettu jos löytyy piste z C j luku r > 0 siten, että pätee A B(z, r) Joukko A C on kompkti jos A on suljettu j rjoitettu. Joskus hlutn tutki voimi j suljettuj joukkoj jossin kompleksitson C osjoukoss X. Tällöin määritellään: Määritelmä 1.8. Joukko A X on voin X:ssä jos j vin jos jokist z A kohti löytyy r > 0 siten, että pätee B(z, r) X A. Joukko A X on suljettu X:ssä jos j vin jos X\A on voin X:ssä. Esimerkki 1.3. Jos X = {z}, niin A = {z} on voin j suljettu X:ssä Esimerkki 1.4. Jos X = R, niin voin väli A = (, b), < b on voin joukko X:ssä muttei voin (eikä suljettu) kompleksitsoss.

6 6 KIRSI PELTONEN Joukon ominisuudet voin/suljettu ovt siis suhteellisi käsitteitä j riippuvt trksteluympäristöstä. Kuitenkin, jos joukko X on itse kompleksitson voin (vst. suljettu) joukko, niin käsitteet yhtyvät. Osoit: 1. Jos X C on voin, niin A X on voin X:ssä jos j vin jos A on kompleksitson voin joukko. 2. Jos X C on suljettu, niin A X on suljettu X:ssä jos j vin jos A on kompleksitson suljettu joukko. Määritelmä 1.9. Joukko A C on yhtenäinen, jos ei päde A = U V, millään A:ss voimill U, V, jotk epätyhjiä U V j erillisiä U V =. Jos A ei ole yhtenäinen, snotn, että se on epäyhtenäinen j siis lusuttviss khden erillisen A:ss voimen, epätyhjän joukon yhdisteenä. Määritelmä Joukko A C on lue jos se on voin j yhtenäinen. Seurv tärkeä esimerkki oletetn tunnetuksi. (Todistus ylimääräinen hrjoitustehtävä) Esimerkki 1.5. Relikseli R j sen suljetut välit ovt yhtenäisiä. Esimerkki 1.6. Joukko A = R\{0} on epäyhtenäinen, sillä se on A:ss voimien välien (, 0), (0, ) yhdiste. Määritelmä Joukko A C on polkuyhtenäinen, jos jokist z 0, z 1 A kohti on olemss pisteet yhdistävä polku ts. jtkuv kuvus α : [, b] A siten, että α() = z 0 j α(b) = z 1. Esimerkki 1.7. Topologin sinikäyrä A = {(t, sin 1 t ) t > 0} on polkuyhtenäinen (HT) j yhtenäinen (seur polkuyhtenäisyydestä j Luseest 1.1.) Joukko B = A [ i, i] on edelleen yhtenäinen, muttei polkuyhtenäinen (HT). Joukon B yhtenäisyys seur hvinnost B = A j yhtenäisyyden säilymisestä sulkeumss (HT). Määritelmä Piste z C on joukon A sisäpiste, jos on olemss r > 0 siten, että B(z, r) A. Piste z C on joukon A ulkopiste, jos se on joukon C\A sisäpiste. Piste z C on joukon A reunpiste, jos kikill r > 0 pätee B(z, r) A B(z, r) (C\A). Merkitään Int A joukon A sisäpisteet, Ext A joukon A ulkopisteet j A joukon A reun. Esimerkki 1.8. Int Q =, Ext Q = C\R, Q = R Huomutus 1.3. Mielivltinen kompleksitson joukko A C määrää kompleksitson jon pistevierisiin joukkoihin C = Int A Ext A A.

7 KOMPLEKSIANALYYSI 7 Määritelmä Kuvus f : A C on jtkuv pisteessä z 0 A C jos jokist ɛ > 0 kohti löytyy luku δ = δ(z 0, ɛ) > 0 siten, että pätee f (A B(z 0, δ)) B( f (z 0 ), ɛ). Huom, että jtkuvuuden ehto yllä on täsmälleen sm kuin ehto f (z 0 ) f (z) < ɛ kikill z A, joille pätee z z 0 < δ. Seurvt krkterisoinnit jtkuvuudelle tulevt usein käyttöön (HT): f : X C on jtkuv <=> f 1 U on voin X:ssä kikill voimill joukoill U C <=> f 1 V on suljettu X:ssä kikill suljetuill joukoill V C Määritelmä Joukkojen X, X C välinen homeomorfismi on bijektio f : X X, jolle f j f 1 ovt jtkuvi. Huomutus 1.4. Homeomorfismin määrittelyssä myös käänteiskuvuksen jtkuvuus on erikseen oletettv. HT: Konstruoi jtkuv bijektio, joll on epäjtkuv käänteiskuvus. Luse 1.3. Avoin joukko A C on lue jos j vin jos A on polkuyhtenäinen. Todistus. Osoitetn ensin, että polkuyhtenäisyydestä seur yhtenäisyys. Tehdää vstoletus, että joukko A olisikin epäyhtenäinen. Tällöin löytyy voimet, epätyhjät, erilliset joukot U j V siten, että A = U V. Olkoon nyt z 0 U j z 1 V j α pisteet z 0 j z 1 yhdistävä polku eli jtkuv kuvus α : [, b] A siten, että α() = z 0 j α(b) = z 1. Nyt pätee [, b] = α 1 U α 1 V, missä joukot α 1 U j α 1 V ovt nyt välillä [, b] voimi (α oli jtkuv), epätyhjiä ( α 1 U, b α 1 V) j erillisiä. Mutt tällöin väli [, b] olisi epäyhtenäinen. Tästä seur ristiriit kun välin yhtenäisyys oletetn tunnetuksi. Vstoletus oli siis väärä, joten joukko A on yhtenäinen. Osoitetn käänteinen väite, eli oletetn, että voin joukko A on yhtenäinen. Olkoon z 0 A j osoitetn, että z 0 voidn yhdistää jokiseen z A jop murtoviivll. Määritellään joukot U j V settmll U = {z A Piste z 0 voidn yhdistää pisteeseen z murtoviivll joukoss A}, V = {z A Pistettä z 0 ei void yhdistää pisteeseen z murtoviivll joukoss A}. Nyt pätee selvästi A = U V j U V =. Osoitetn seurvksi, että joukko U on voin. Olkoon z U. Tällöin löytyy murtoviiv M A pisteestä z 0 pisteeseen z. Vlitn r > 0 siten, että pätee B(z, r) A (A oli voin!). Jos z 1 B(z, r), j merkitään kompleksitson jn [z, z 1 ] = {tz 1 + (1 t)z t [0, 1] R }, niin M 1 = M [z, z 1 ] on murtoviiv pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Siis z 1 U. Stiin B(z, r) U eli joukko U on voin.

8 8 KIRSI PELTONEN Osoitetn vielä, että joukko V on voin. Olkoon z V j vlitn r > 0 siten, että B(z, r) A. Riittää osoitt, että B(z, r) V. Tehdään tämä epäsuorsti, j tehdään vstoletus, että löytyisi piste z 1 B(z, r) U. Tällöin on olemss murtoviiv M 1 pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Mutt tällöin M 1 [z, z 1 ] on murtoviiv pisteestä z 0 pisteeseen z. Siis pätee z U, mutt tämä on ristiriit. Tämä trkoitt, että vstoletus oli väärä j pätee B(z, r) V. Joukko V on siis voin. Kosk joukko A oli oletuksen mukn yhtenäinen, niin jommn kummn joukoist U ti V on oltv tyhjä. Kosk z 0 U, niin pätee V =. Siispä A = U. Huomutus 1.5. Edellisen luseen todistuksest seur yleisesti, että polkuyhtenäinen joukko on in yhtenäinen, sillä joukon A voimuutt ei käytetty. Käänteinen väite ei päde ilmn joukon A voimuus oletust. Esimerkki tsojoukost, jok on yhtenäinen, muttei polkuyhtenäinen sdn topologin sinikäyrän sulkeumst.

9 KOMPLEKSIANALYYSI Anlyyttinen funktio. Olkoon G C lue j f : G C kuvus. Määritelmä Funktioll f on pisteessä z G derivtt f (z) C, jos f f (z + h) f (z) (z) = lim. h 0 h Huomutus 1.6. Muuttuj h on kompleksiluku. Määritelmä Kuvus f : G C on nlyyttinen, jos sillä on derivtt jokisess pisteessä z G. Kuvus f on nlyyttinen pisteessä z G, jos se on nlyyttinen jossin pisteen z ympäristössä. Huomutus 1.7. Derivtn olemssolo yhdessä pisteessä ei riitä nlyyttisyyten. Esimerkki f : z z ei nlyyttinen (ei edes derivoituv) missään pisteessä: f (z + h) f (z) e = = z + h z = z + h z = h h h h h. Jos h R, niin e = h = 1. Jos toislt h on puhtsti imginrinen h = ki, niin h e = ki = 1, joten rj-rvo lim ki h 0 e ei ole olemss eikä f siten ole derivoituv eikä nlyyttinen missään pisteessä. 2. f : z z 2 on koko tson nlyyttinen funktio: f (z + h) f (z) e = = (z + h)2 z 2 = 2z + h 2z, kun h 0. h h Kuvuksell f on siis olemss derivtt f (z) = 2z jokisess tson pisteessä z, joten se on nlyyttinen koko C:ssä. Vstvsti f : z z n nlyyttinen koko tsoss j f (z) = nz n f : z z 2 derivoituv origoss, muttei missään nlyyttinen (HT). Derivoimissäännöt (todistetn kuten relisess tpuksess): ( f + g) (z) = f (z) + g (z) ( f g) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) ( f g) (z) = f (g(z))g (z) jos yhtälöiden oiket puolet olemss. Derivoimissäännöistä seur: Luse 1.4. Anlyyttisten funktioiden summ j tulo ovt nlyyttisiä. Anlyyttisistä funktioist yhdistetty funktio on nlyyttinen. Esimerkki Polynomi P(z) = z + + n z n on nlyyttinen. Jos kuvuksell f on derivtt f (z) pisteessä z, niin pätee f (z + h) f (z) f (z) =: ɛ(z, h) 0, kun h 0 h Sdn siis esitys f (z + h) f (z) = f (z)h + hɛ(h, z),

10 10 KIRSI PELTONEN joten jos f tulkitn khden relimuuttujn (x, y) = z funktioksi, niin se on differentioituv (Diff.int II/L2-kurssin mielessä) khden relimuuttujn funktio. Derivtt f (z) vst tällöin linerikuvust d f (x, y) : h f (z)h, jonk esitysmtriisi tson x, y -koordinteiss on muoto ( ) 1 u 2 u, 1 v 2 v mikä sdn kirjoittmll f komponenttifunktioden u : (x, y) u(x, y) = Re f (z) j v : (x, y) v(x, y) = Im f (z) vull: f = u + iv = (u, v). Esimerkki Loklisti kuvus f : z z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy on nlyyttisen kuvuksen prototyyppi. Jos kirjoitetn f = u + iv kuten yllä, niin tässä u(x, y) = x 2 y 2 j v(x, y) = 2xy, joten kuvuksen f derivtt f (z) = 2z pisteessä z vstvn linerikuvuksen mtriisiesitys tson x, y-koordinteiss s muodon ( ) 2x 2y d f (x, y) =. 2y 2x Pisteessä z = (x, y) 0 sdn vielä npkoordinttiesitys ( cos ϕ sin ϕ d f (x, y) = 2r sin ϕ cos ϕ missä x = r cos ϕ j y = r sin ϕ. Tässä esityksessä näkyy nlyyttisen kuvuksen lokli toimint: linerikuvus d f (x, y) : (k, l) d f (x, y)(k, l) suurent kertoimen 2r verrn j kiertää tso kulmn ϕ verrn positiiviseen kiertosuuntn. Sm toimint nähdään suorn myös kompleksilukujen kertolskun geometrisest tulkinnst: f (z) : h f (z)h, f (z) C. Huomutus 1.8. Jos kuvus f : G C on khden relimuuttujn mielessä differentioituv, niin tästä ei vielä seur derivoituvuus kompleksimuuttujn mielessä (vrt. esimerkit edellä). Luse 1.5. Anlyyttinen funktio on jtkuv. ), Todistus. f (z + h) f (z) = f (z)h + hɛ(z, h) f (z) h + h ɛ(z, h) 0, kun h 0 Luse 1.6. Anlyyttinen funktio f : G C on vkio jos j vin jos f (z) = 0 kikill z G. Todistus. Jos f (z) on vkio, niin selvästi pätee f (z) = 0 kikill z G. Kääntäen jos oletetn f (z) = 0 kikill z G, niin myös kikki osittisderivtt häviävät. Kosk G on lueen yhtenäinen, niin f on vkio (L2: khden muuttujn välirvoluse).

11 KOMPLEKSIANALYYSI Cuchy-Riemnnin yhtälöt. Olkoon G C lue j f : G C nlyyttinen funktio. Edellä todettiin, että tällöin pätee f (z + h) = f (z) + f (z)h + hɛ(z, h), missä ɛ(z, h) 0 kun h 0 j h f (z)h on linerinen kuvus R 2 R 2 (h = (k, l)). Anlyyttinen funktio f on siis myös relisess mielessä differentioituv. Edellisessä luvuss nähtiin myös, että kompleksisen derivtn olemssolo on vhvempi ominisuus kuin (relinen khden muuttujn) differentioituvuus. Etsitään seurvksi muit välttämättömiä ehtoj kompleksiselle derivoituvuudelle. Hjotetn f : f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Merkitään P 1, P 2 : R 2 R projektio P 1 (x, y) = x, P 2 (x, y) = y. Nyt pätee u = Re f = P 1 f j v = Im f = P 2 f. Kosk projektiot P 1, P 2 j nlyyttinen f ovt relisess mielessä differentioituvi, myös näistä yhdistämällä sdut funktiot u j v : G R ovt differentioituvi. Erityisesti niiden osittisderivtt 1 u, 2 u, 1 v j 2 v ovt olemss kikiss joukon G pisteissä. Voidn siis kirjoitt (nlyyttiseksi oletetun) funktion f derivtn luseke, kun lisäys h vlitn pitkin relikseli eli oletetn h = k R. Tällöin sdn: f f (x + k, y) f (x, y) (z) = lim = k 0 k ( ) u(x + k, y) u(x, y) v(x + k, y) v(x, y) lim + i = 1 u(z) + i 1 v(z). k 0 k k Toislt vlitsemll lisäys h pitkin imginrikseli, eli olettmll h = il, l R, sdn: f f (x, y + l) f (x, y) (z) = lim = l 0 ( ) il u(x, y + l) u(x, y) v(x, y + l) v(x, y) lim + = 1 l 0 il l i 2u(z) + 2 v(z) = 2 v(z) i 2 u(z). Kosk f on nlyyttinen pisteessä z, on molempien yllä stujen lusekkeiden oltv smt, joten sdn osittisdifferentiliyhtälöt 1 u(z) = 2 v(z), 2 u(z) = 1 v(z). Nämä ovt Cuchy-Riemnnin (C-R) yhtälöt, jotk siis ovt välttämätön ehto funktion nlyyttisyydelle. Huomutus 1.9. C-R yhtälöt olivt nimestään huolimtt käytössä jo ennen Cuchyn ( ) j Riemnnin ( ) töitä hydrodynmiikn tutkimuksiss L. Eulerill ( ) vuonn 1755 j D Alembertill ( ) vuonn 1752 sekä myöhemmin C.F. Gussill ( ). Huomutus C-R yhtälöt eivät yksin riitä tkmn funktion nlyttisyyttä (ti edes derivoituvuutt). Tästä esimerkkejä hrjoitustehtävissä. Krkterisoidn seurvksi nlyyttisyys.

12 12 KIRSI PELTONEN Luse 1.7. Olkoon G C lue j f : G C, f = u + iv kuvus. Tällöin f on nlyyttinen jos j vin jos funktiot u j v ovt differentioituvi kikiss pisteissä z G j Cuchy-Riemnnin yhtälöt ovt voimss Todistus. C-R yhtälöiden j funktioiden u j v differentioituvuuden välttämättömyys nlyyttisyydelle todettiin jo edellä. Osoitetn riittävyys. Oletetn siis C-R yhtälöt j funktioiden u, v : G R differentioituvuus mielivltisess pisteessä z G. Olkoon lisäys h = k + il, missä k, l R. Linerikuvuksille du(z), dv(z) : R 2 R pätee nyt j vstvsti du(z)h = grd u(z) h = ( 1 u(z), 2 u(z)) (k, l) = 1 u(z)k + 2 u(z)l dv(z)h = grd v(z) h = ( 1 v(z), 2 v(z)) (k, l) = 1 v(z)k + 2 v(z)l. Differentioituvuusoletuksen perusteell funktioille u j v pätee nyt u(z + h) u(z) = du(z)h + h ɛ 1 (z, h) = 1 u(z)k + 2 u(z)l + h ɛ 1 (z, h) j v(z + h) v(z) = dv(z)h + h ɛ 2 (z, h) = 1 v(z)k + 2 v(z)l + h ɛ 2 (z, h), missä ɛ j (z, h) 0 kun h 0, ( j = 1, 2). Anlyyttisyyden osoittmiseksi hjotetn nyt funktio f pisteessä z + h, jolloin sdn edellisten esitysten vull f (z + h) = u(z + h) + iv(z + h) = u(z) + 1 u(z)k + 2 u(z)l + h ɛ 1 (z, h) + i(v(z) + 1 v(z)k + 2 v(z)l + h ɛ 2 (z, h)). Soveltmll vielä C-R yhtälöitä osittisderivttoihin 1 u j 2 u sdn f (z + h) = u(z) + iv(z) + 2 v(z)(k + il) + 1 v(z)( l + ik) + h (ɛ 1 (z, h) + iɛ 2 (z, h)). Kirjoittmll nyt lyhyesti ɛ(z, h) = ɛ 1 (z, h) + iɛ 2 (z, h) sdn edelleen f (z + h) = f (z) + ( 2 v(z) + i 1 v(z))h + h ɛ(z, h). Tästä nähdään, että erotusosmäärällä f (z + h) f (z) h on rj-rvo kun h 0, joten derivtt on olemss pisteessä z j f (z) = 2 v(z) + i 1 v(z). Kosk piste z G oli mielivltisesti vlittu, niin edellä esitetyn lskun perusteell derivtt on olemss jokisess lueen G pisteessä. Huomutus Edellisen luseen todistus nt eksplisiittisen lusekkeen nlyyttisen funktion derivtlle f (z) C funktioiden u j v osittisderivttojen vull. C-R yhtälöiden vull sdn lisää erilisi esityksiä: f (z) = 2 v(z) + i 1 v(z) = 1 u(z) i 2 u(z). Huomutus Funktiot u, v yllä ovt differentioituvi jos niillä on jtkuvt osittisderivtt j u, j v, j = 1, 2 (L2).

13 KOMPLEKSIANALYYSI 13 Esimerkki Funktion f = u + iv nlyyttisyys, kun u = x + y, v = xy? C-R yhtälöt eivät ole voimss, sillä pätee 1 u(x, y) = 1 x = 2 v(x, y) pisteissä joiss x 1. f ei siis voi oll nlyyttinen missään tson pisteessä. Vlitsemll ṽ = y x sdn nlyyttinen funktio f = u+iṽ, sillä pätee 1 u = 1 = 2 ṽ j 2 u = 1 = 1 ṽ j funktiot j u, j ṽ ovt jtkuvi. Oletetn nyt, että f = u + iv : G C on nlyyttinen j funktioill u j v on lisäksi jtkuvt toiset osittisderivtt. Tällöin C-R yhtälöistä j derivoimisjärjestyksen riippumttomuudest seur: 11 u = 1 2 v = 2 1 v = 22 u. Sdn siis Lplcen osittisdifferentiliyhtälö u = 11 u + 22 u = 0, missä 2 = = Lplcen operttori. Vstvsti pätee v = 0. Määritelmä Funktio u : G R on hrmoninen jos se on khdesti jtkuvsti derivoituv j jos pätee kikill z G. Stiin siis 11 u(z) + 22 u(z) = 0, Luse 1.8. Jos nlyyttisellä funktioll f : G C on jtkuvt toisen kertluvun osittisderivtt, niin f :n reli- j imginrios ovt hrmonisi funktioit. Huomutus Myöhemmin osoitetn, että nlyyttisellä funktioll on kikkien kertlukujen osittisderivtt. Edelliselle luseelle sdn myös käänteinen lokli tulos. Luse 1.9. Olkoon u : B(z 0, r) R, r > 0 hrmoninen funktio. Tällöin on olemss hrmoninen konjugttifunktio v : B(z 0, r) R siten, että f = u + iv : B(z 0, r) C on nlyyttinen funktio. Todistus. Jos v löytyy, niin se toteutt C-R yhtälöt. Sdn siis v(x, y) = 2 vdy + C(x) = 1 udy + C(x), missä x C(x) on jokin muuttujst x riippuv (etsittävä) funktio. Derivoimll muuttujn x suhteen j soveltmll vielä C-R yhtälöitä sdn edelleen 2 u = 1 v = 11 udy + C (x) = 22 udy + C (x) = 2 u + C 1 (x) + C (x). Funktio C sdn nyt määrättyä integroimll muuttujn x suhteen, jost edelleen määräytyy etsitty v.

14 14 KIRSI PELTONEN Esimerkki Olkoon u(x, y) = xy 3 x 3 y. Etsitään tälle hrmoninen konjugttifunktio. Todetn ensin, että u on hrmoninen: j 1 u = y 3 3x 2 y, 11 u = 6xy 2 u = 3xy 2 x 3, 22 u = 6xy joten pätee u = 0. Kuten edellisen luseen todistuksess, sdn v(x, y) = (y 3 3x 2 y)dy + C(x) = 1 4 y4 3 2 x2 y 2 + C(x). Edelleen derivoimll muuttujn x suhteen sdn: Stiin siis C (x) = x 3, joten 2 u = x 3 3xy 2 = 1 v = 3xy 2 + C (x). C(x) = 1 4 x4 + C, missä C R on vkio. Hrmoniseksi konjugttifunktioksi kelpvt siis kikki funktiot v(x, y) = 1 4 y4 3 2 x2 y x4 + C, C R. Huomutus Myös funktiolle f = u + iv voidn määritellä osittisderivtt (kompleksilukuj) j sovelt C-R yhtälöitä (jos f nlyyttinen). Tällöin sdn 1 f = 1 u + i 1 v = 2 v i 2 u = i( 2 u + i 2 v) = i 2 f. Stiin siis C-R yhtälöille toinen muoto: 1 f + i 2 f = 0. Yhtälöstä 1.14 seur kääntäen C-R yhtälöt, sillä pätee 0 = 1 u + i 1 v + i( 2 u + i 2 v) = 1 u 2 v + i( 1 v + 2 u). Kosk yhtälön oiken puolen kompleksiluvun reli- j imginriost välttämättä häviävät, sdn C-R yhtälöt. Trkstelln vielä yhteyttä usemmn relimuuttujn tilnteeseen (L2). Olkoon f : R n R n, jolloin j:s osittisderivtt on muoto j f (x) = D f (x)e j, missä e j on j:s yksikkövektori. Nyt derivttkuvukselle D f (x) pätee (linerisuus) n n D f (x)( λ j e j ) = λ j j f (x). j=1 Kompleksinlyysin tilntess f : C C, joten yllä D f (z) = f (z), n = 2 j e 1 = 1, e 2 = i. Sdn siis esitys j=1 D f (z)(k + il) = 1 f (z)k + 2 f (z)l.

15 KOMPLEKSIANALYYSI 15 Johdetn vielä tärkeä yhteys nlyyttisen funktion f = u + iv derivtn j Jcobin determinntin J f välille. Tällöin f (z) = 1 u + i 1 v, joten pätee f 2 = ( 1 u) 2 + ( 1 v) 2 = 1 u 2 v 1 v 2 u = 1 u 1 v Anlyyttiselle funktiolle f : G C pätee siis (1.1) f (z) 2 = J f (z), kikill z G. 2 u 2 v = J f. Erityisesti tämä siis trkoitt, että kikill z G pätee J f (z) 0, joten nlyyttinen funktio säilyttää in suunnistuksen (L2). Ehdost 1.1 nähdään myös toinen nlyyttisen funktion perusominisuus. Olkoon λ 0 jokin linerikuvuksen f (z) ominisrvo, eli pätee f (z)h = λh jollkin h 0 j oletetn, että pätee h = 1. Tällöin ehdost 1.1 seur, että pätee λ 2 = J f (z), joten nlyyttisen funktion derivttkuvuksell on vin yksi ominisrvo. Loklisti nlyyttinen funktio kuv siis (infinitesimliset) ympyrät ympyröiksi. Huomutus Pisteissä z, joiss pätee f (z) = 0 (j erityisesti myös J f (z) = 0) rg f (z) ei ole määritelty. Täsmälleen näissä pisteissä nlyyttinen funktio voi muutt kulmi. Muistutetn vielä seurvst keskeisestä tuloksest (L2 ilmn todistust): Luse Jos f : G C on nlyyttinen funktio, f jtkuv j f (z 0 ) 0, niin on olemss pisteen z 0 ympäristö, jonk f kuv homeomorfisesti pisteen f (z 0 ) ympäristölle.

16 16 KIRSI PELTONEN 2. Alkeisfunktiot 2.1. Potenssi f (z) = z n. Olkoon n N, n 2 j f (z) = z n. Tällöin f : C C on nlyyttinen koko tsoss j f (z) = nz n 1. Tehtävä: nnettu C, rtkistv yhtälö z n = eli määrättävä lkukuvjoukko f 1 {} = {z C z n = }. 1. tpus: = 0 eli z n = 0 z n = z n = 0 z = 0 z = 0 ino juuri on z = tpus 0: Hetn z muodoss z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r 0. Tällöin pätee z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Olkoon = ϱ(cos ψ + i sin ψ), missä ρ =,ψ = rg. Nyt pätee z n = r n = ϱ, nϕ = ψ + k2π, k Z r = n ϱ, ϕ = ψ n + k 2π, k Z. n Tässä esiintyy n eri kulm k = 0,..., n 1. Stiin siis: Luse 2.1. Yhtälöllä z n = on 1. yksi juuri z = 0 jos = 0, 2. n juurt ( rg z = n (cos n jos 0, k = 0,..., n 1. + k ) ( rg n 2π + i sin + k )) n n 2π, Trkstelln vielä erikseen tpust = 1: z n = 1. Merkitään ɛ n = cos 2π + i sin 2π Juuret ovt n n tällöin 1, ɛ n, ɛn, 2..., ɛn n 1. Ne muodostvt säännöllisen n-kulmion kärjet. Esimerkiksi kun n = 8, ɛ 8 = cos π 4 + i sin π 4 = 1+i 2. Yleisen yhtälön z n = juuret sdn tämän vull: Jos tunnetn yksi juuri z 0, muut sdn kertomll kompleksiluvull ɛ n eli kiertämällä kulmn 2π verrn. n Huomutus 2.1. Luvut 1, ɛ n, ɛn, 2..., ɛn n 1 muodostvt kertolskun suhteen syklisen ryhmän (virittäjä ɛ n ), missä luvun ɛn k käänteislkio (ɛn) k 1 = ɛn n k, sillä pätee ɛn n k ɛn k = ɛn n = 1. Tutkitn vielä funktiot f : z z n = w geometrisesti. Ympyrä z = r kuvutuu ympyrälle w = r n. Säde rg z = α kuvutuu säteelle rg w = nα. Kulm 0 < rg z < 2π kuvutuu täydelle n kulmll 0 < rg w < 2π. Vstvsti jokinen kulm k 2π n < rg z < (k + 1)2π, k = 0, 1,..., n 1 n kuvutuu täydelle kulmlle. Kuvus on lokli injektio jokisen pisteen z 0 ympäristössä. Pisteen z = 0 missään ympäristössä f ei ole injektio, vn n eri pistettä kuvutuu smn pisteeseen. Alueess G 0 = {w C rg w 0} voidn määritellä käänteisfunktio w n w n:llä eri tvll.

17 KOMPLEKSIANALYYSI 17 Koko kompleksitsoss C ei void määritellä kuvust w n w jtkuvn funktion Polynomit. Polynomi on muoto P(z) = z + + n z n, n 0. Luku n on polynomin P ste=d(p). Lisäksi 0-polynomi P(z) = 0 kikill z C, jolle d(p) ei määritelty. Luse 2.2. (Algebrn perusluse) Olkoon P polynomi j d(p) 1. Tällöin P(z) = 0 jollkin z C. Todistus. Todistetn myöhemmin tällä kurssill. Luse 2.3. Olkoon P 0 polynomi j P(z 1 ) = 0 jollkin z 1 C. Tällöin P voidn esittää muodoss P(z) = (z z 1 )Q(z), missä Q on stett d(p) 1 olev polynomi. Todistus. L1 Tästä seur Luse 2.4. Olkoon P 0 polynomi j d(p) = n. Tällöin P voidn esittää muodoss P(z) = n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ), missä z j C, j = 1,..., n (voi oll z i = z j, joillkin i j). Kompleksiluvut z 1,..., z n ovt polynomin P 0-kohdt. Muit ei ole, sillä tulo = 0, jos j vin jos jokin tekijöistä = 0. Määritelmä 2.1. Jos pätee P(z) = (z z 0 ) p Q(z) j Q(z 0 ) 0, missä Q on polynomi, niin p on 0-kohdn z 0 kertluku. Esimerkki 2.1. P(z) = z n, z 0 = 0, p = n. Olkoon nyt P polynomi j z 1,..., z k sen eri nollkohdt. Tällöin pätee P(z) = n (z z 1 ) p 1 (z z 2 ) p2 (z z k ) p k, missä p j on z j :n kertlukku j p 1 + p p k = n. Luse 2.5. Astett n olevll polynomill on n nollkoht, jos jokinen lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Määritelmä 2.2. Olkoon C, P(z) =. Jos z 0 on polynomin P 0 (z) = P(z) p-kertinen nollkoht, niin z 0 on P:n p-kertinen -koht Luse 2.6. Astett n olev polynomi s jokisen rvon C n kert jos jokinen -koht lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Erityisesti sdn: Jos d(p) 1 niin P on surjektio eli pätee P(C) = C.

18 18 KIRSI PELTONEN 2.3. Piste. Trkstelln tässä yleisemmin vruutt R n, n 2. Lisätään vruuteen uusi lkio, jot merkitään symbolill j jot snotn äärettömyyspisteeksi. Sdn joukko Ṙ n = R n { } (ns. vruuden R n yhden pisteen kompktifiointi). Joukko R n on topologinen vruus jos pisteen ympäristöt määritellään joukkoin Ṙ n \A, missä joukko A R n on kompkti. Erityisesti siis joukko {x R n x > r} { } = Ṙ n \ B(0, r) on pisteen ympäristö. Jos x 1, x 2,... on jono vruuden R n pisteitä, niin x j x j ( L1 mielessä), eli kikill M > 0 löytyy indeksi j 0 N siten, että pätee x j M kun j j0. Huomutus 2.2. Avruudess R n on vin yksi, eikä esimerkiksi ± kuten vruudess R. Avruuden Ṙ n kikki lskutoimituksi ei määritellä: esim, 0 Määritelmä 2.3. Kikill R n setetn + = + = (ide: x j + x j ). Kikill 0 setetn 0 =. Kikill λ R, λ 0 setetn λ =. Jos n = 2 j siis R 2 = C, voidn lisäksi määritellä = = jos 0 j vielä = sekä = 0. Merkitään nlogisesti ljennettu tso symbolill Ċ = C { } Rtionlifunktiot. Rtionlifunktio R on muoto R(z) = P(z) Q(z), missä P j Q ovt polynomej siten, että P(z) = z + + m z m, m 0 j Q(z) = b 0 + b 1 z + + b n z n, b n 0. Voidn olett, ettei polynomeill P j Q ole yhteisiä juuri, jolloin voitisiin supist. Jos Q(z 0 ) = 0 setetn R(z 0 ) =. Oletetn z j kirjoitetn: Kosk pätee 0 + R(z) = z m n z m z m 1 m b 0. + b z n b z n 1 n 0 + z m z m 1 m b 0 + b z n b z n 1 n m b n,

19 KOMPLEKSIANALYYSI 19 niin voidn erott kolme tpust. Määritellään, jos m > n R( ) = m b n, jos m = n 0, jos m < n. Rtionlifunktio operoi siis ljennetult tsolt itselleen R : Ċ Ċ. Olkoon nyt polynomin P juuret α 1,..., α k j niiden kertluvut µ 1,..., µ k, jolloin Vstvsti polynomille Q sdn esitys jolloin rtionlifunktiolle R pätee P(z) = m (z α 1 ) µ1 (z α k ) µ k. Q(z) = b n (z β 1 ) ν1 (z β l ) ν l, β i α j, R(z) = m(z α 1 ) µ1 (z α k ) µ k. b n (z β 1 ) ν 1 (z βl ) ν l R on nlyyttinen funktio lueess C\{β 1,..., β l }. Luku r = mx(m, n) on rtionlifunktion R kertluku. Jos R on polynomi, niin r = d(r). Piste α i on R:n µ i -kertinen nollkoht: Piste β i on R:n ν i -kertinen -koht eli np: R(z) = (z α i ) µ i R 1 (z), R 1 (α i ) 0,. R(z) = (z β i ) ν i R 2 (z), R 2 (β i ) 0,. Lisäksi voi oll µ-kertinen nollkoht µ = n m > 0 ti ν-kertinen np, ν = m n > 0. Nollkohtien lukumäärä kertlukuineen: 1. m n: µ µ k = m = r, 2. m < n: µ µ k + µ = m + µ = n = r. Npojen lukumäärä kertlukuineen 1. m > n: ν ν l + ν = n + ν = m = r, 2. m n: ν ν l = n = r. Määritelmä 2.4. Olkoon C. Piste z 0 on rtionlifunktion R µ-kertinen -koht, jos z 0 on rtionlifunktion R µ-kertinen 0-koht. Luse 2.7. Olkoon R rtionlifunktio, jonk kertluku on r j Ċ. Tällöin R s rvon r kert, jos jokinen -koht lsketn mukn niin mont kert kuin sen kertluku osoitt. Todistus. Tpukset = 0, käsiteltiin edellä. Olkoon 0,. Jos R(z) = P(z), niin pätee Q(z) R(z) = P(z) Q(z) Q(z) = P 1(z) Q(z). Jos Q(z 0 ) = 0, niin P 1 (z 0 ) = P(z 0 ) 0, joten rtionlifunktion R(z) esitys on supistumttomss muodoss. Siten R :n kertluku r = mx(m, n) joten -kohti on r kpplett.

20 20 KIRSI PELTONEN Seurvss luvuss trkstelln rtionlifunktioden erikoistpust, muoto R(z) = z + b cz + d olevi Möbius-kuvuksi. Tällisell R on täsmälleen yksi kertluvun yksi nollkoht j np.

21 2.5. Möbius-kuvukset. Trkstelln funktiot M: KOMPLEKSIANALYYSI 21 M(z) = z + b,, b, c, d C. cz + d Oletetn, että pätee lisäksi d bc 0. (Jos d = bc, niin M on vkiokuvus.) Tällöin M on Möbius-kuvus. Merkitään D = b c d 0. Kuvus M on määritelty, kun cz+d 0. Jos c = 0, tämä pätee kikill z C (D 0 => d 0). Jos c 0 tämä pätee kun z d. Selvästi M on määrittelyjoukossn jtkuv funktio. c Kun z d, niin M(z). Siksi setetn M( d) =. Kun z, niin M(z) (jos c c c c 0). Määritellään siis M( ) = z+b. Jos c = 0, niin M(z) = kun z. Tällöin c d määritellään M( ) =. Stiin tulos: Jos, b, c, d C j D = b c d 0, niin M on ljennetun tson Ċ jtkuv kuvus M : Ċ Ċ. Möbius-kuvus M on nlyyttinen lueess C\{ d} j siellä c M (z) = on konforminen lueess C\{ d}. c Jos c = 0, niin M(z) = z + b on 1. steen polynomi j konformikuvus C C. d d D. Erityisesti siis M (cz+d) 2 Luse 2.8. Möbius-kuvus M : Ċ Ċ on homeomorfismi j sen käänteiskuvus M 1 on myös Möbius-kuvus. Todistus. HT Huomutus 2.3. Kuvus M ei määrää kertoimi, b, c, d C yksikäsitteisesti, vn ne voidn kerto kikki smll vkioll. Hlutess voidn normeert D = 1. Luse 2.9. Möbius-kuvukset M : Ċ Ċ muodostvt ryhmän kuvusten yhdistämisen suhteen. Todistus. HT Määritelmä 2.5. Piste z 0 C on kuvuksen M kiintopiste, jos pätee M(z 0 ) = z 0. Luse Möbius-kuvuksell M Id C on enintään 2 kiintopistettä. Todistus. HT Määritelmä 2.6. Olkoot α,, β, δ, C eri lukuj. Kksoissuhde on kompleksiluku (α, β,, δ) = (α β)( δ) (α )(β δ).

22 22 KIRSI PELTONEN Kksoissuhde määritellään myös kun jokin pisteistä on. Tällöin setetn (, β,, δ) = δ β δ, (α,,, δ) = δ α, (α, β,, δ) = α β β δ, (α, β,, ) = α β α. Huomutus 2.4. Kirjllisuudess järjestys vihtelee. Olkoon nyt z 1, z 2, z 3 C eri pisteitä. Muodostetn funktio M(z) = (z, z 1, z 2, z 3 ) = (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 2 )(z 1 z 3 ). Selvästi M on Möbius-kuvus. Lisäksi pätee: M(z 1 ) = 0, M(z 2 ) =, M(z 3 ) = 1. Annetut pisteet z 1, z 2, z 3 voidn siis in kuvt Möbius-kuvuksell pisteisiin 0, j 1. Tämä pätee myös, jos jokin pisteistä on. Olkoon se piste z 3. Asettmll M(z) = z z 1 z z 2 sdn M(z 1 ) = 0, M(z 2 ) =, M( ) = 1. Olkoon nyt w 1, w 2, w 3 Ċ eri pisteitä. Muodostetn Möbius-kuvus S settmll S (w) = (w, w 1, w 2, w 3 ). Nyt pätee: M(w 1 ) = 0, M(w 2 ) =, M(w 3 ) = 1. Kuvus T = S 1 M on nyt Möbius-kuvus, jolle pätee M(z 1 ) = w 1, M(z 2 ) = w 2, M(z 3 ) = w 3. Luse Olkoon z 1, z 2, z 3 Ċ eri pisteitä j smoin w 1, w 2, w 3 Ċ keskenään eri pisteitä. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Möbius-kuvus M, jolle pätee M(z 1 ) = w 1, M(z 2 ) = w 2, M(z 3 ) = w 3. Tämä määräytyy ehdost (M(z), w 1, w 2, w 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) Todistus. Olemssolo nähtiin jo yllä. Riittää siis todist yksikäsitteisyys. Olkoon M j S luseen ehdot toteuttvi Möbius-kuvuksi. Nyt pätee M(z j ) = S (z j ) kikill j = 1, 2, 3. Erityisesti siis S 1 M(z j ) = z j, joten pisteet z j ( j = 1, 2, 3) ovt Möbius-kuvuksen S 1 M kiintopisteitä. Luseen 2.10 perusteell kuvus S 1 M voi siis oll vin ljennetun tson identtinen kuvus. Tällöin M = S. Esimerkki 2.2. Etsi Möbius-kuvus, jok kuv pisteet 1, 1, i pisteiksi 0,, 2. Asettmll M(z) = w j ehdost (w, 0,, 2) = (z, 1, 1, i) sdn rtkisemll w = 2i z 1 z + 1. Luse Kksoissuhde säilyy Möbius-kuvuksess. Todistus. Olkoon M Möbius-kuvus j z 1, z 2, z 3, z 4 Ċ eri pisteitä. Merkitään M(z j ) = w j, j = 1, 2, 3, 4. Edellä stiin (M(z), w 2, w 3, w 4 ) = (z, z 2, z 3, z 4 ) kikill z Ċ\{z 2, z 3, z 4 }. Sijoittmll z = z 1 sdn väite.

23 KOMPLEKSIANALYYSI 23 Luse Möbius-kuvus M voidn esittää yhdisteenä M = T 2 H I T 1, missä T 1 : T 1 (z) = z + d j T c 2 : T 2 (z) = z + ovt trnsltioit, I : I(z) = 1 on geometrinen inversio j c z H(z) = (d bc) z on homoteti. c 2 Todistus. HT Kun tulkitn kompleksitson suort pisteen kutt kulkeviksi ympyröiksi (vrt. stereogrfinen projektio) sdn seuruksen: Luse Möbius-kuvus kuv ympyrät ympyröiksi.

24 24 KIRSI PELTONEN 2.6. Eksponenttikuvus. L1: Jos x R, niin e x = lim (1 + x ) n. n n Hlutn osoitt, että tämä rj-rvo on olemss myös kikill x C. Muistutus: z n c z n c 0. Luse Olkoon (z n ) jono kompleksilukuj joille pätee z n r j rg z n ϕ kun n. Tällöin pätee z n r(cos ϕ + i sin ϕ) = c Todistus. Olkoon h ϕ = cos ϕ + i sin ϕ j z n = r n h ϕn. Tällöin oletuksen mukn r n r j ϕ n ϕ kun n. Olkoon nyt w n = rh ϕn, jollon sdn kolmioepäyhtälöstä z n c z n w n + w n c r n r + r ϕ n ϕ 0. Luse Olkoon z = x + iy. Tällöin pätee lim n ( 1 + z n) n = e x (cos y + i sin y). Todistus. Merkitään ensin z n = (1 + z n )n. Nyt pätee z n = 1 + z n (( n = 1 + x ) 2 ( y ) 2 ) n 2 +, n n jost sdn log z n = n ( 2 log 1 + 2x ) n + x2 n + y2. 2 n 2 Sovelletn tähän funktion log(1 + ) Tylor-kehitelmää origoss: log(1 + ) = + ɛ(), (log 1 = 0 j log (1) = 1), missä ɛ() 0 kun 0 (oletetn > 1), jolloin sdn vlitsemll n niin suureksi, että pätee 2x n + x2 n + y2 2 n > 1 2 esitys log z n = n 2 = (x + x2 kun n j ɛ 1 (n) 0. Stiin siis Toislt pätee ( 2x n + x2 2n + y2 2n ) (1 + ɛ 1 (n)) n + y2 2 n ) 2 (1 + ɛ 1 (n)) x, z n e x, kun n. ( rg z n = n rg 1 + z ) = n rg(n + x + iy) = n rctn n = ny n + x rctn n + x y y n + x, y n + x

25 KOMPLEKSIANALYYSI 25 jost nähdään, että pätee rg z n y, kun n, sillä rctn 0 = 0 j rctn (0) = 1. Edellisen luseen perusteell z n e x h y, kun n. Määritelmä 2.7. Jos z = x + iy C, niin merkitään e z = exp z = e x (cos y + i sin y). Nyt pätee e z = e x j rg e z = y. Kun z R, niin e z yhtyy reliseen eksponenttifunktioon. Sijoittmll edelliseen z = iϕ, ϕ R, jolloin x = 0 j y = ϕ sdn Eulerin kv: Eulerin kvst sdn edelleen e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. cos ϕ = 1 2 (eiϕ + e iϕ ) = cosh iϕ j sin ϕ = 1 2i (eiϕ e iϕ ) = i sinh iϕ. Jos z = r j rg z = ϕ, niin sdn kompleksiluvun tuttu esitys Huomutus 2.5. e 2πni = 1, kun n Z. z = re iϕ. Luse Eksponenttifunktion ominisuuksi: 1. z f (z) = e z on nlyyttinen koko kompleksitsoss j f (z) = e z 2. e z 0 kikill z C 3. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 4. e z = 1 e z 5. (e z ) n = e nz, n Z Todistus. HT Huomutus 2.6. e ei määritellä. Syy: Jos z pitkin positiivist relikseli, niin e z. Jos z pitkin negtiivist relikseli, niin e z 0. Jos z pitkin imginrikseli, niin e z = e iϕ kiertää yksikköympyrää. Määritelmä 2.8. Luku ω on funktion f : C C jkso, jos pätee f (z + ω) = f (z), kikill z C. Huomutus 2.7. Ain ω = 0 on trivili jkso. Yleensä tätä ei hyväksytä jksoksi. Esimerkki 2.3. Rtionlifunktioll R ei ole jksoj (pitsi trivilijkso), sillä muuten pätisi R(z) = R(z + ω) = R(z + 2ω) =, j R sisi smn rvon äärettömän moness eri pisteessä.

26 26 KIRSI PELTONEN Oletetn, että eksponenttifunktioll z e z on jkso ω = α + iβ. Tällöin pätee Toislt ω = n2πi on jkso, sillä pätee Stiin siis e ω = e 0+ω = 1 e α = 1, β = n2π ω = n2πi, n Z. e z+2πni = e z e 2πni = e z. Luse Eksponenttifunktion z e z jksot ovt täsmälleen 2πni, n Z. Merkitään jksovöitä synbolill V n = {z C n2πi Im z < (n + 1)2πi}, n Z. Jos merkitään w = e z, niin vksuor y = y 0 kuvutuu puolisuorksi rg w = y 0. Erityisesti siis vksuort y = n2π, n Z kuvutuvt puolisuorksi rg w = 0. Pystysuor x = x 0 kuvutuu ympyräksi w = e x 0. Erityisesti siis imginrikseli kuvutuu yksikköympyräksi w = 1. Vsen puolitso kuvutuu näin lueeksi B(0, 1)\{0} j oike puolitso lueeksi C\ B(0, 1). (Piirrä kuv tilnteest!) Luse Eksponenttifunktio z e z kuv kunkin jksovyön V n, n Z bijektiivisesti lueeksi C\{0}. Todistus. Edellä todetun jksollisuuden perusteell riittää trkstell perusvyötä V Surjektiivisuus: Olkoon w C, w 0. Olkoon x = log w j y = rg w [0, 2π), jolloin e x+iy = e x (cos y + i sin y) = w j z = x + iy V Injektiivisyys: Olkoot z 1, z 2 V 0 siten, että pätee e z 1 = e z 2. Tällöin e z 1 z 2 = 1, joten pätee j lisäksi 1 = e z 1 z 2 = e x 1 x 2 x 1 x 2 = 0 x 1 = x 2 rg e z 1 z 2 = 0 + n2π y 1 y 2 = n2π. Kosk pisteet z 1, z 2 vlittiin perusjksovyöstä V 0, niin pätee y 1, y 2 [0, 2π), joten välttämättä y 1 = y 2 Näistä seur Luse e z 1 = e z 2 z 1 = z 2 + n2πi, n Z.

27 KOMPLEKSIANALYYSI Trigonometriset funktiot. Määritelmä 2.9. cos z = 1 2 (eiz + e iz ) sin z = 1 2i (eiz e iz ) tn z = sin z cos z Jos z R, niin nämä yhtyvät iemmin määriteltyihin funktioihin. Funktiot z cos z, z sin z ovt nlyyttisiä koko kompleksitsoss C. Tunnetut säännöt voimss: cos( π z) = sin z, 2 cos( z) = cos z, D cos z = sin z, sin 2 z + cos 2 z = 1 jne Logritmi. Määritelmä Luku z C on luvun w C logritmi jos e z = w. Todetn: 1. Nollll ei ole logritmi. 2. Jos w 0, niin w:llä on äärettömän mont logritmi, jotk ovt muoto z 0 + n2πi. Siispä funktiot w log w ei voi sellisenn määritellä. Pätee joten log w:lle sdn äärettömän mont rvo e x+iy = w x = log w, y = rg w [0, 2π), log w = log w + i rg w + i2πn. Vikeus on siinä, ettei funktiot w rg w voi määritellä yksikäsitteisesti. Eräissä lueiss sdn jtkuvi hroj. Esimerkki Olkoon G = C\{z = x x 0}. Tällöin voidn sopi 0 < rg w < 2π, j sdn jtkuv log : G C, log w = log w + i rg w. 2. Olkoon G = B(0, 2)\ B(0, 1) rengslue. Funktiot w log w ei void määritellä jtkuvn funktion lueess G. 3. Jtkuvn logritmifunktion voi määritellä myös spirlimisiss lueiss. Ilmn todistust esitetään vielä si trkentv luse: Luse Olkoon G C\{0} lue. Tällöin funktio w log w voidn määritellä jtkuvn G:ssä jos j vin jos origo j piste kuuluvt vruuden Ċ\G smn komponenttiin. Huomutus 2.8. Erityisesti logritmin jtkuv hr voidn määritellä jokisess kiekoss B(z, r) C\{0}. Jos f on logritmifunktion jtkuv hr, niin se on derivoituv j pätee f (z) = 1. Siis f on z nlyyttinen. Lskusääntö: Olkoot e z 1 = w 1 j e z 2 = w 2, jolloin pätee e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 = w 1 w 2 j sdn log(w 1 w 2 ) = log w 1 + log w 2 + n2πi.

28 28 KIRSI PELTONEN Huomutus 2.9. Kv ei päde ilmn termiä n2πi edes jtkuvlle hrlle. Esimerkiksi voidn vlit G = {z C 3π 2 < rg z < π 2 }, jolloin pätisi 0 = log 1 = log( 1)( 1) = log( 1) + log( 1) = πi πi = 2πi. Millinen on logritmifunktion Riemnnin pint? 2.9. Yleinen potenssifunktio. Olkoon α C. Mikä on z α? Ide: Kirjoitetn z α = e α log z, jok kuitenkin on monikäsitteinen, sillä log z = + n2πi, joten sdn z α = e α e αn2πi. Tässä yleensä äärettömän mont eri rvo. Arvoj on vin äärellinen määrä, jos pätee e αn2πi = 1. Tällöin yhtäpitävästi αn2πi = k2πi, missä k Z eli α = k on rtionliluku. n Esimerkki 2.5. He kompleksiluvun i i eri rvot. Sdn siis on relinen! i i = e i log i, missä log i = log i + i rg i + n2πi = 0 + i π 2 + n2πi. i log i = π n2π, joten 2 i i = e π 2 n2π, n Z

29 KOMPLEKSIANALYYSI Integrointi j srjt 3.1. Integrli Relisen funktion Riemnn-integrli. Oletetn tunnetuksi (L1) jtkuvn funktion f : [, b] R integrli b f (t)dt. Merkitään myös lyhyesti b f Kompleksirvoisen funktion integrli. Olkoon f : [, b] C jtkuv,, b R, < b, f = u + iv j funktiot u, v : [, b] R jtkuvi. Määritelmä 3.1. Luse 3.1. b f (t)dt = b b b u(t)dt + i ( f + g) = c f = c b b b f + v(t)dt = b f, c C g b f Todistus. Seur välittömsti vstvist relisist tuloksist. Luse 3.2. b b f f. Todistus. Jos b ϕ = rg b f. Kompleksiluvulle z 0 voidn in kirjoitt f = 0 väite selvä. Oletetn, että pätee b z = z e i rg z z = e i rg z z. Sovelletn tätä kompleksilukuun z = b f. Sdn b b b f = e iϕ f = Re(e iϕ f ) = b b e iϕ f b = e iϕ b f = f Viivintegrlit. Olkoon : [, b] C säännöllinen polku ts. f 0, jolloin voidn merkitä Re(e iϕ f ) 1. On olemss (t) C kikill t [, b] (päätepisteissä toispuoleiset derivtt). 2. : [, b] C jtkuv. 3. (t) 0 kikill t [, b]. Olkoon nyt f : [, b] C polun kuvjoukoss [, b] = {(t) t b} C määritelty kompleksilukurvoinen jtkuv funktio.

30 30 KIRSI PELTONEN Määritelmä 3.2. j merkitään lyhyesti f dz f (z)dz = b f ((t)) (t)dt Hjotetn nyt f, j reli- j imginriosiin kirjoittmll f = u + iv, = α + iβ, (t) = α (t) + iβ (t). Sdn joten pätee f dz = b Lyhyesti merkitään Huomutus 3.1. f = (u + iv)(α + iβ ) = uα vβ + i(uβ + vα ), ( u((t))α (t) v((t))β (t) ) dt + i f dz = b (udx vdy) + i (udy + vdx). 1. Oike puoli sdn formlill lskull (u + iv)(dx + idy) = udx vdy + i(udy + vdx). 2. Yllä esitetty pätee myös ploittin säännöllisille poluille. ( (u((t))β (t) + v((t))α (t) ) dt. Toinen tp määritellä f on käyttää Riemnnin summi. Jetn väli [, b] osiin pisteillä = t 0 < < t k = b. Vlitn ξ i [t i 1 ] j merkitään i z = (t i ) (t i 1 ). Nyt voidn sett f (z)dz = lim f ((ξ i )) i z, missä rj-rvo otetn jko tihentämällä. Luse 3.3. Integrlin perusominisuuksi: 1. ( f + g)dz = f dz + gdz 2. λ f dz = λ f dz, λ C 3. f dz = f dz, missä (t) = ( + b t) f dz = 1 f dz + 2 f dz 5. f dz ei riipu prmetrin vlinnst: Jos η : [, b ] [, b] idosti ksvv jtkuvsti differentioituv surjektio, niin tällöin pätee f dz = f dz. Todistus. (L2) Osoitetn viimeinen koht: b f dz = f ((η(t)))( η) (t)dt = η η b f ((η(t))) (η(t))η (t)dt

31 KOMPLEKSIANALYYSI 31 Sijoittmll tähän muuttuj u = η(t) sdn b f dz = f ((u)) (u)du = η f dz Viivintegrli krenpituuden suhteen. Olkoon : [, b] C säännöllinen polku j f : [, b] C jtkuv. Määritelmä 3.3. f (z) dz = b f ((t)) (t) dt Huomutus 3.2. Jos (t) = α(t) + iβ(t) niin (t) = α (t) 2 + β (t) 2 Luse 3.4. f dz f dz Todistus. Soveltmll luseen 3.2 epäyhtälöä sdn f dz = b f ((t)) (t)dt b f ((t)) (t) dt = f dz. Esimerkki Määrätään dz yli yksikköympyrän z = 1 positiiviseen kiertosuuntn. z (Yleensä merkitään integrli yli umpinisen polun.) Merkitään z = (t) = e it, missä 0 t 2π. Nyt pätee (t) = ie it j sdn I = 2π 0 ie it dt = i eit 2π 0 dt = 2πi 2. Vstvsti negtiiviseen kiertosuuntn (t) = e it, t [0, 2π] sdn integrlin rvoksi 2π ie it I = dt = 2πi. e it 0 3. [z 1,z 2 ] dz = z 2 z 1, missä integroidn yli jnpolun (t) = z 1 (1 t) + z 2 t, t [0, 1]. 4. dz = b (t) dt = l() = polun pituus. Huomutus Yllä määritellyn viivintegrlin 3.2 vstine khden relimuuttujn vektorirvoisen funktion f = (u, v) : R 2 R 2 integoinnille yli ploittin säännöllisen polun : [, b] R 2 on integrli (L2) b f = f ((t)) (t)dt

32 32 KIRSI PELTONEN b = (u((t)), v((t))) (t)dt = (udx + vdy), missä on tson pistetulo. 2. Yllä määritellyn viivintegrlin krenpituuden suhteen 3.3 vstine khden relimuuttujn relirvoiselle funktiolle f : R 2 R on integrli (L2) b f ds = f ((t)) (t) dt. Luseest 3.4 seur hyödyllinen epäyhtälö: Luse 3.5. Olkoon f kompleksimuuttujn funktio, jok on rjoitettu polun kuvjoukoss siten, että pätee f (z) M kikill z [, b], missä M on vkio. Jos L on polun pituus, niin pätee f (z)dz ML Todistus. Luseest 3.4 sdn f dz f dz M dz = ML Huomutus 3.4. Yleensä polun pituus l() jäljen [, b] pituus: Esimerkiksi polulle : [0, 4π] C, t e it pätee l( ) = 4π, vikk [, b] = [, b], missä on kuten esimerkissä yllä. Määritelmä 3.4. Olkoon G C lue j f : G C funktio. Funktio F : G C on f :n integrlifunktio, jos pätee F (z) = f (z), kikill z G Luse 3.6. Integrlifunktio on vkiot ville yksikäsitteisesti määrätty. Todistus. Olkoot F 1, F 2 funktion f integrlifunktioit. Merkitään g = F 1 F 2. Tällöin pätee g (z) = F 1 (z) F 2 (z) = f (z) f (z) = 0 kikill z G. Kosk funktio g on määritelty lueess G, niin pätee g(z) = C = vkio. Stiin siis F 1 = F 2 + C. Huomutus 3.5. Integrlifunktio on in jtkuv. (Derivoituvuus jtkuvuus) Esimerkki Funktioll f : z e z on integrlifunktio F : z e z koko kompleksitsoss C. 2. Potenssifunktioll f : z z n, n N on integrlifunktio F : z zn+1 koko kompleksitsoss C n+1 3. Potenssifunktioll f : z z n, n N, n 2 on integrlifunktio F : z z1 n lueess 1 n G = C\{0}. 4. Kiekoss G = B(z 0, r) C\{0} määritellylle potenssifunktiolle f : z z 1 voidn määritellä jtkuv logritmifunktio F : G C, jolle pätee F (z) = 1. Tällöin F on z funktion f integrlifunktio.

33 KOMPLEKSIANALYYSI Alueess G = C\{0} määritellylle potenssifunktiolle f : z z 1 ei ole integrlifunktiot, sillä kunkin pisteen ympäristössä tulee päteä F(z) = g(z) + C, missä g on jokin logritmin hr j sitä ei void määritellä jtkuvsti koko lueess G. Seurv keskeinen tulos krkterisoi integrlifunktion olemssolon. Luse 3.7. Olkoon f : G C jtkuv funktio. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä 1. Funktioll f on integrlifunktio F 2. f dz riippuu vin polun päätepisteistä z 0 j z 1 3. f dz = 0 umpinisell. Lisäksi pätee F(z 1 ) F(z 0 ) = f (z)dz, missä on mielivltinen ploittin säännöllinen polku pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Todistus. Osoitetn (1) (2) (3). (1) (2): Olkoon : [, b] G ploittin säännöllinen polku pisteestä z 0 pisteeseen z 1. Tällöin pätee b b f dz = F ((t)) (t)dt = (F ) (t)dt = F((b)) F(()) = F(z 1 ) F(z 0 ). (2) (1): Olkoon z 0 G kiinnitetty j z G. Vlitn jokin polku pisteestä z 0 pisteeseen z. Oletuksen perusteell voidn sett F(z) = z z 0 f (w)dw. Kuvus F on hyvin määritelty koko lueess G, sillä integrli on (oletuksen mukn) riippumton polun vlinnst. Nyt riittää osoitt, että pätee F (z) = f (z). Kosk G on lue, löytyy r > 0 siten, että pätee B(z, r) G. Olkoon nyt h C sellinen, että pätee h < r, jollin jn [z, z + h] G. Yhdistämällä tämä j sdn polku pisteestä z 0 pisteeseen z + h. Nyt voidn (oletuksen perusteell) kirjoitt z+h F(z + h) = f (w)dw + z (jn) f (w)dw. Tästä sdn edelleen joten pätee 1 h z+h z F = F(z + h) F(z) = z+h z f (w)dw, F h f (z) = 1 z+h f (w)dw f (z) h z = ( f (w) f (z)) dw 1 z+h f (w) f (z) dw, h z

34 34 KIRSI PELTONEN kun yllä sijoitettiin h = z+h z Kosk f on oletuksen mukn jtkuv niin pätee f (w) f (z) ɛ(h), missä ɛ(h) 0 kun h 0. Näistä sdn siten F h f (z) 1 ɛ(h) h = ɛ(h) 0, h kun h 0. Stiin siis F (z) = f (z) joten (1) pätee. (2) (3): Olkoon umpininen polku, eli pätee () = (b). Vlitn piste c (, b) j merkitään polun rjoittumpolkuj 1 = [,c], 2 = [c,b]. Nyt pätee f dz = f dz + f dz = f dz f dz = 0, missä viimeinen yhtälö seur oletuksest (2). Tästä seur väite (3). (3) (2): Olkoot nyt 1 j 2 polkuj, joill on sm lku- j loppupiste. Muodostetn umpininen polku = 1 2, jolloin sdn 0 = f dz = f dz + f dz = f dz f dz dw.

35 KOMPLEKSIANALYYSI Jonot j srjt. Jo iemmin trksteltiin kompleksitson C jonoj (z n ): Luse z n c C z n c 0. z n c Re z n Re c j Im z n Im c Todistus. Merkitään z n = x n + iy n j c = + ib. Nyt pätee Näistä epäyhtälöistä väite seur. Luse 3.9. Cuchyn kriteerio jonoille x n, y n b z n c x n + y n b. Olkoon (z n ) jono kompleksilukuj. Tällöin jono suppenee jos j vin jos jokisell ɛ > 0 löytyy luku n 0 N siten, että pätee z n z k ɛ kun n n 0 j k n 0 eli (z n ) on Cuchy-jono. Todistus. Osoitetn ensin, että suppenevt jonot ovt Cuchy-jonoj: Oletetn siis, että pätee z n c j vlitn mielivltinen ɛ > 0. Nyt löytyy n 0 N siten, että pätee z n c ɛ 2 kun n n 0. Jos nyt n n 0 j k n 0, niin sdn z n z k z n c + z k c ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Oletetn kääntäen, että luvut z n = x n + iy n muodostvt Cuchy-jonon. Nyt pätee x n x k = Re(z n z k ) z n z k, joten (x n ) on relinen Cuchy-jono. Olettmll Cuchyn kriteerio relisille jonoille tunnetuksi (L1) sdn x n R. Vstvsti y n b R. Edellisen luseen perusteell z n + ib. Trkstelln seurvksi srj c ν = c 0 + c 1 +, ν=0 joss c ν = ν + ib ν C. Merkitään ossumm n n S n = c ν = ν + i ν=0 ν=0 n b ν = σ n + iτ n. Määritelmä 3.5. Srj ν c ν suppenee jos ossummien jonoll S n on rj-rvo lim S n = c. Tällöin kirjoitetn c = c ν. Luseest 3.8 seur heti ν=0 ν=0

36 36 KIRSI PELTONEN Luse Srj ν c ν suppenee jos j vin jos srjt ν ν j ν b ν suppenevt. Tällöin pätee c ν = ν + i b ν. ν=0 Luse Jos srj ν=0 c ν suppenee, niin srjn yleiselle termille c ν pätee c ν 0. Todistus. Väite seur luseest 3.10 j vstvst relisrjojen tuloksest. Luse Cuchy srjoille ν=0 Srj ν c ν suppenee jos j vin jos jokist luku ɛ > 0 kohti löytyy luku n 0 N siten, että pätee n+p c ν < ɛ kun n n 0 j p > 0. ν=n ν=0 Todistus. Väite seur luseest 3.9. Määritelmä 3.6. Srj ν c ν suppenee itseisesti, jos srj ν c ν suppenee. Luse Jos srj ν c ν suppenee itseisesti niin srj ν c ν suppenee. lisäksi pätee c ν c ν. ν=0 ν=0 Todistus. Pätee n+p n+p c ν c ν, ν=n joten Cuchyn srjkriteerion perusteell srj ν c ν suppenee. Lisäksi kikill n N pätee n n c ν c ν, joten sm pätee myös rj-rvoille. ν=0 Määritelmä 3.7. Olkoon A mielivltinen joukko, f n : A C jono kuvuksi j f : A C. Funktiojono f n suppenee tsisesti joukoss A jos Srj ν f ν ν=n ν=0 sup f n (x) f (x) 0 kun n. x A suppenee tsisesti joukoss A, jos ossummien jono suppenee tsisesti. Luse (Weierstrss) Olkoon f ν : A C jono funktioit siten, että pätee f ν (x) M ν kikill x A j srj ν M ν suppenee. Tällöin srj ν f ν suppenee tsisesti joukoss A.

37 KOMPLEKSIANALYYSI 37 Todistus. Sovelletn kullkin x A mjornttiperitett j todetn, että srj ν=0 f ν (x) suppenee. Merkitään sen summ symbolill g(x). Nyt sdn soveltmll lusett 3.13 epäyhtälö n g(x) f ν (x) = f ν (x) f ν (x) M ν = R n ν=0 ν=n+1 ν=n+1 ν=n+1 kikill n N. Oletuksen perusteell R n 0, joten suppeneminen on tsist joukoss A. Luse Olkoon A C, f n : A C jono jtkuvi funktioit siten, että f n f tsisesti joukoss A. Tällöin rjfunktio f : A C on jtkuv. Todistus. Todistetn kuten relinen tpus: Olkon ɛ > 0. Nyt pätee f (z) f (z 0 ) f (z) f n (z) + f n (z) f n (z 0 ) + f n (z 0 ) f (z 0 ) < ɛ, kun vlitn n 0 siten, että yhtäik pätee f (z) f n (z), f n (z) f n (z 0 ), f n (z 0 ) f (z 0 ) < ɛ 3 kun z z 0 < δ j n n 0. (Luku δ > 0 löytyy funktion f n jtkuvuuden perusteell.) Huomutus 3.6. Ehto f n f tsisesti on välttämätön edellä. Esimerkiksi funktiojono f n : x x n välillä [0, 1] suppenee kohti rjfunktiot f : x 0 kun x [0, 1) j f (1) = 1. Luse Olkoot funktiot f ν : A C jtkuvi j f ν = g ν=0 tsisesti joukoss A. Tällöin funktio g on jtkuv Rjprosessien kommutointi Rj-rvo j integrointi. Luse Olkoon : [, b] C (ploittin) säännöllinen polku j jono f n : [, b] C jtkuvi funktioit siten, että f n f : [, b] C tsisesti joukoss [, b]. Tällöin pätee f n dz = f dz j lim n lim n f n dz = f dz. Todistus. Luseen 3.15 perusteell funktio f on jtkuv, joten integrointi on mielekäs. Merkitään δ n = sup f n (z) f (z) <. ([, b] on kompkti!) z [,b] Tsisen suppenemisen perusteell δ n 0, joten sdn f n dz f dz = ( f n f )dz f n f dz δ n dz = δ n l() 0. Toinen väite smoin.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot