i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +"

Transkriptio

1 I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes ( e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton ( ) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy ( ) ε, δ Riemnn ( ) Riemnnin integrli Lebesgue (875 94) mitt j integrli-kurssi I.. Eräs pint-l Olkoon > j A = {(x, y) R 2 x, y x 2 }. Olkoon n N. Jos joukolle A voidn määritellä pint-l S(), niin k n S() K n, missä (kuvion mukn) K n = ulkomonikulmion l j k n = sisämonikulmion l. ( ) 2 ( 2 ) 2 K n = n n + n ( n n n = 3 n 3 ( n 2 ) = 3 n 3 i= i 2 ) 2 n k n = 2 ( ) 2 n + ( (n ) ) 2 n n n n = 3 n n 3 Merkitään S k (n) = k + 2 k n k = S 3 (n + ) = + i= i k, kun n, k N. Tällöin i= (i + ) 3 = + i= i i= = S 3 (n) + (n + ) 3 = + S 3 (n) + 3S 2 (n) + 3S (n) + n i 2 i i= i + i= = 3S 2 (n) = (n + ) 3 (n + ) 3S (n) = (n + )(n 2 + 2n) 3 2n(n + ) = (n + )n(n + 2 ) = 2n(n + )(2n + ) = S 2 (n) = n(n + )(2n + ) 6 i= Siis K n = 3 n 3 6 n(n + )(2n + ) = 6 3( + n k n = 3 n 3 6 (n )n(2n ) = 6 3( n )( 2 + ) n )( 2 ) n n n 3 3, 3 3. Nyt k n S() K n kikill n N = S() = 3 3. Huom. S (x) = x 2 kikill x >.

2 I.2. Riemnnin integrli Olkoon < b,, b R. Välin = [, b] jko on äärellinen joukko D = {x,..., x n }, missä = x < x <... < x n = b (x k on jkopiste). Merkitään: k = [x k, x k ] D:n jkoväli j l( k ) = x k x k k :n pituus (k =, 2,..., n). Jko D on D:n lijko (eli tihennys), jos D D. 2.. Huom. ) D = {, b} D jokisell :n joll D. 2) Jos D j D 2 ovt :n jkoj, niin niillä on yhteisiä lijkoj eli sellisi jkoj D, että D D, D 2 D (esim. D = D D 2 ). Olkoon f: R rjoitettu funktio j D = {x,..., x n } välin jko. Merkitään G k = G k (f) = sup{f(x) x k } j g k = g k (f) = inf{f(x) x k } (k =,..., n) (f rjoitettu = G k, g k R kikill k) sekä yläsumm S D = S D (f) = G k l( k ) j lsumm s D = s D (f) = 2.2. Huom. ) g k G k = s D S D. 2) Jos f(x) x, S D j s D ovt eräiden monikulmioiden pint-loj. g k l( k ) Lemm. D D = S D S D j s D s D. Tod. Olkoon D = D {y}, missä x k < y < x k. Tällöin väliä k = [x k, x k ] vstvt D :n jkovälit k = [x k, y] j k = [y, x k], j G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k, G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k. Nyt S D S D = G k l( k ) + G k l( k ) G kl( k ) G k [l( k ) + l( k ) l( k)] = ts. S D S D. Yleinen tpus seur tästä induktioll. Vstvsti todetn s D s D Lemm. D, D 2 :n jkoj = s D S D2. Tod. Kosk D = D D 2 on yhteinen lijko, niin Lemmn 2.3 mukn on s D s D S D S D2. Jos D on välin jko, niin D D = {, b}, joten S D s D = inf f(x) (b ) j x s D S D = sup f(x) (b ). Siis joukko {S D D on välin jko} on lhlt rjoitettu j x joukko {s D D on välin jko} on ylhäältä rjoitettu, joten voidn määritellä Snotn j merkitään: I = I(f) = inf S D R j I = I(f) = sup s D R. D D f:n yläintegrli I = I(f) = I M = f = f(x)dx, f:n lintegrli I = I(f) = I m = b f = f(x)dx. 2

3 Lemm 2.4 = I = inf D S D s D jokisell joll D = I = sup D s D I. Täten sdn 2.5. Lemm. s D (f) I(f) I(f) S D (f) kikill D. Määritelmä. Rjoitettu funktio f: [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos I(f) = I(f). Tällöin luku on f:n integrli yli välin [, b]. f = f(x) dx = I(f) = I(f) 2.6. Esim. ) f vkio, f(x) = C kikill x [, b] =. Olkoon D välin jko kuten edellä, jolloin G k = C = g k kikill k. Kosk S D = k G k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), s D = k g k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), niin f on integroituv j C dx = C(b ). 2) Olkoon f: [, ] R, f(x) = Olkoon < ε <. Jolle D ε = {,, ε, } on {, kun x 2, kun < x. { SDε = ( ( )) + ε + ( 2)( ε) = + 3ε, = ( ( )) + ( 2) ε + ( 2)( ε) = s Dε = = s Dε I I S Dε = + 3ε ε ], [, joten täytyy oll I = I =. Siis f on integroituv j f =. {, kun x Q [, ] 3) Olkoon f: [, ] R, f(x) =, kun x (R Q) [, ]. Olkoon D jko. Kosk jokisell välillä on rtionli- j irrtionlilukuj, niin G k = j g k = kikill k. Nyt S D = k l( k) = j s D =, joten I = j I =. Siis f ei ole integroituv. (Lisätieto: f on integroituv Lebesguen mielessä, mitt j integrli-kurssi.) 2.7. Riemnnin ehto. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. Tällöin f integroituv ε > jko D = D ε s.e. S D s D < ε. Tod. () = : Ol. f integroituv. Olkoon ε >. Merkitään I = f(x)dx. I = I = inf S D j I = I = sup s D, niin on olemss välin [, b] jot D, D 2 s.e. D D Kosk S D < I + ε 2 = I + ε 2 j s D2 > I ε 2 = I ε 2. Olkoon D = D D 2 yhteinen lijko. Lemmn 2.3 mukn S D s D S D s D2 < I + ε 2 I + ε 2 = ε. 3

4 (2) = : Ol. ehto. Olkoon ε >. Tällöin on olemss sellinen välin [, b] jko D, että S D s D < ε. Siis I I S D s D < ε ε > = I I = Esim. (Myrberg, hrj ) Monotoninen funktio f: [, b] R on integroituv. Tod. Olkoon esim. f ksvv. Silloin f() f(x) f(b) kikill x [, b], joten f on rjoitettu. Olkoon ε > mielivltinen. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko, joss jkovälit ovt k = [x k, x k ] (k =,..., n) j suurimmn jkovälin pituudelle pätee: D = mx{l( k ) k =,..., n} < (tässä nimittäjässä on vin tpuksen f(b) = f() tähden). Kosk f on ksvv, niin Tällöin ε f(b) f() + G k = sup f(x) = f(x k ) j g k = inf f(x) = f(x k ). S D s D = (G k g k )l( k ) = D [f(x k ) f(x k )] D [f(x k ) f(x k )] = D (f(b) f()) < ε. Siis Riemnnin ehdon 2.7 mukn f on integroituv välillä [, b]. Olkoon f: [, b] R integroituv j ε >. Riemnnin ehdon mukn S D s D < ε jollkin [, b]:n joll. Itse siss S D s D < ε kikill riittävän tiheillä joill D, kun tiheyden mittn on jon D normi D = mx{l( k ) k =,..., n} eli pisimmän jkovälin pituus Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu, niin jokist ε > kohti on olemss δ = δ ε > siten, että S D < I + ε j s D > I ε jokisell joll D, joll D < δ. Tod. f rjoitettu = M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Yläintegrlin määritelmän mukn on olemss jko D = {x, x,..., x m} (jkovälien lukumäärä = m) siten, että S D < I + ε 2. Merkitään δ = min{x k x k k =,..., m} j vlitn < δ < min(δ, ε/(6mm)). Olkoon D = {y,..., y n } jko siten, että D < δ, j muodostetn jko D = D D. Nyt S D S D < I + ε 2. Trkstelln D:n väliä = [y k, y k ]. On 2 mhdollisuutt: 4

5 () on myös D :n väli, ts. ]y k, y k [ D =. (2) ]y k, y k [ D. Nyt ]y k, y k [ D on yksi piste, kosk muutoin pisteiden etäisyys < y k y k < δ δ. Siis on D :ss jkutunut khdeksi väliksi j näitä D:n välejä on enintään m kpl (pisteet x,..., x m ) sekä vstvi D :n välejä enintään 2m kpl. Erotuksess S D S D kumoutuvt tyypin () termit. Siis S D S D on summ, joss on enintään m + 2m = 3m termiä j näistä kunkin itseisrvo on Mδ. Täten S D S D 3m Mδ < 3mM Kosk D D, niin S D S D < ε/2, joten ε 6mM = ε 2. S D = S D + (S D S D ) < I + ε 2 + ε 2 = I + ε. Smoin δ > siten, että s D > I ε in, kun D < δ. Nyt δ = min(δ, δ ) on vdittu. Olkoon edelleen f: [, b] R rjoitettu j D = {x,..., x n } jko. Olkoon jokisell k {,..., n} vlittu piste ξ k k = [x k, x k ], j merkitään ξ = (ξ,..., ξ n ). Summ S D (f, ξ) = f(ξ k )l( k ) R on funktion f jkoon D j jonoon ξ liittyvä Riemnnin summ. Suor hvinto: s D S D (f, ξ) S D. Määritellään uudentyyppinen rj-rvo: Luku I R on funktion f Riemnnin summien rj-rvo, merk. lim S D(f, ξ) = I, jos D ε > kohti δ > s.e. S D (f, ξ) I < ε, kun D on jko, joll D < δ, j ξ on mieliv. D:hen liittyvä jono. Huom. Kyseessä ei ole lukujonon ti funktion rj-rvo. 2.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j I R. Tällöin f on integroituv j f(x)dx = I lim S D(f, ξ) = I. D Tod. () = : Oletetn, että f on integroituv j f = I. Olkoon ε >. Lemm 2.9 = δ > s.e. S D < I + ε j s D > I ε, kun D < δ. Olkoon D jko, joll D < δ, j ξ jokin jkoon D liittyvä jono. Silloin } S D (f, ξ) S D < I + ε = S D (f, ξ) I < ε = lim S D (f, ξ) s D < I ε S D(f, ξ) = I. D 5

6 (2) = : Ol. lim D S D(f, ξ) = I R. Olkoon ε >. Siis on olemss sellinen jko D, jonk jkoväleinä ovt,..., n j jolle S D (f, ξ) I < ε/2 jokisell jonoll ξ. Vlitn erityisesti jonon ξ = (ξ,..., ξ n ) pisteet ξ k k (k =,..., n) siten, että S D (f, ξ) = f(ξ k ) > G k f(ξ k )l( k ) > ε 2(b ), missä G k = sup f(x). ε G k l( k ) 2(b ) = I < S D (f, ξ) + ε 2 < I + ε 2 + ε 2 = I + ε ε >. l( k ) = S D (f) ε 2 I ε 2 Näin ollen I I. Vstvsti osoitetn, että I I. Siten I I I I = I = I = I eli f on integroituv j f = I. 2.. Esim. Olkoon n = n + + n , n =, 2,.... Määritä lim n + n n. n Olkoon f: [, 2] R, f(x) = /x, j muodostetn välin [, 2] jko D n = {, + n, + 2 n,..., + n } n ξ n = (ξ,n, ξ 2,n,..., ξ n,n ) = n = = j merk. ξ k,n = + k [ n + k n, + k ], n (n N ; k =, 2,..., n). n + k = n n n + k n = n ( f + k ) n n = S D n (f, ξ n ) ( n + k ) f n n n 2 f(x) dx, sillä f on monotoninen j siis integroituv j D n = /n, kun n. Myöhemmin nähdään, että 2 2 / 2 f(x) dx = x dx = ln x = ln 2. I.3. Tsinen jtkuvuus j jtkuvn funktion integroituvuus Olkoon A R. Määritelmän mukn funktio f: A R on jtkuv A:ss f on jtkuv jokisess pisteessä x A ε >, x A δ ε,x > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun y A j x y < δ ε,x. Yleensä tällöin ei ole olemss sellist δ ε >, että δ ε δ ε,x kikill x A (vn inf{δ ε,x x A} = ). Jos tällinen δ ε > on olemss, f toteutt vhvemmn ehdon. Määritelmä. Funktio f: A R on tsisesti jtkuv A:ss, jos ε > kohti δ ε > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun x, y A j x y < δ ε. (Tässä δ ε ei s riippu pisteiden pikst.) 6

7 3.. Huom. ) Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss, ei pisteessä. 2) f ts. jtkuv A:ss = f jtkuv A:ss. (Käänteinen ei tietenkään päde, ks. esimerkit.) 3.2. Esim. ) f: [, [ R, f(x) = x 2, ei ole tsisesti jtkuv väl. [, [. Vstoletus: f on ts. jtkuv väl. [, [. Olkoon ε =. Tällöin δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y. Olkoon x < y, jolloin f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y 2x x y. Vlitn x > /δ j y = x + 2 δ. Tällöin x y = 2δ < δ j f(x) f(y) 2x 2δ >, joten sdn RISTIRIITA. 2) f: ], ] R, f(x) = os(/x), ei ole tsisesti jtkuv väl. ], ]. Jos olisi, niin (vl. ts ε = ) δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y ], ]. Voidn olett, että δ <. Vlitn sellinen n N, että 2nπ > δ sekä x = 2nπ ], ], y = (2n + )π ], ]. Nyt < y < x < δ j siis x y < δ, mutt f(x) f(y) = os(2nπ) os((2n + )π) = 2. RISTIRIITA Luse. Olkoon R mikä hyvänsä väli (voi oll myös rjoittmton) j olkoon = {päätepisteet} eli on :n sisäpisteiden joukko j nyt myös väli. Jos f: R on jtkuv sekä f on olemss j rjoitettu välillä, niin f on tsisesti jtkuv välillä. Tod. Olkoon M > s.e. f (x) < M, kun x. Olkoon ε >. Kun x, y, x < y, niin differentililskennn välirvoluseen (DVAL, Diff.I.) mukn = ξ x,y ]x, y[ s.e. f(x) f(y) = f (ξ x,y )(x y). Nyt f(x) f(y) = f (ξ x,y ) x y < M x y < ε in, kun x y < ε/m Esim. x x on tsisesti jtkuv välillä [, [. (Jos x >, niin D x = 2 x /2 = /(2 x), jok ei ole rjoitettu.) Todetn luksi: jos x y j A >, niin ( ) x y A + (x y). A Jos x A, niin x y x A. Muuten x > A, jolloin x y = Siis ( ) pätee molemmiss tpuksiss. x y x y x + y x x y A = (x y). A Olkoon ε >, x, y. Tällöin ( ):n nojll x y A + x y, A >. Vlitn A A = ε/2 j δ = A 2 = ε 2 /4. Jos nyt x y < δ, niin x y < ε 2 + A A2 = ε 2 + ε 2 = ε. 7

8 3.5. Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tod. Vstoletus: f ei ole tsisesti jtkuv. Tällöin ε >, jot kohti ei ole määritelmässä vdittu luku δ ε > ts. kikill δ > pätee: jos u, v [, b] j u v < δ, niin f(u) f(v) ε. Vlitn tässä δ = /n, jolloin n x n, y n [, b] s.e. x n y n < /n, mutt f(x n ) f(y n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten osjonoluseen (DI., Bolzno Weierstrss) mukn sillä on osjono (x nk ) s.e. x nk x R, kun k ; nyt x nk b kikill k N, joten x [, b]. Lisäksi y nk x y nk x nk + x nk x < n k + x nk x k + x n k x k, joten lim y n k = x. Kosk f on jtkuv x :ss, niin lim f(x n k ) = f(x ) = lim f(y n k ). Nyt k k k < ε f(x nk ) f(y nk ) k f(x ) f(x ) = nt RISTIRIIDAN Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on integroituv. Tod. Diff.I. = f on rjoitettu. Osoitetn Riemnnin ehdon voimssolo. Olkoon ε >. Luseen 3.5 mukn on olemss tsisen jtkuvuuden δ > s.e. f(x) f(y) < ε b in, kun x y < δ, x, y [, b]. Vlitn jokin välin [, b] jko D, jolle D < δ j jkovälit,..., n. = u k, v k k s.e. Diff.I. (Weierstrss) f(u k ) = mx f(x) = sup f(x) = G k j f(v k ) = min f(x) = inf f(x) = g k (k =,..., n). Nyt u k v k l( k ) D < δ = G k g k = f(u k ) f(v k ) < ε/(b ) kikill k =,..., n, joten S D s D = (G k g k )l( k ) < ε b l( k) = ε b l( k ) = ε (b ) = ε. b I.4. Integrlin perusominisuuksi 4.. Luse. Olkoot f,..., f p : [, b] R integroituvi j α,..., α p R vkioit. Tällöin α f α p f p on integroituv j (α f α p f p ) = α f α p f p. 8

9 Tod. Tpus p = 2. Trkstelln Riemnnin summi: S D (α f + α 2 f 2, ξ) = [α f (ξ k ) + α 2 f 2 (ξ k )]l( k ) n = α f (ξ k )l( k ) + α 2 n f 2 (ξ k )l( k ) = α S D (f, ξ) + α 2 S D (f 2, ξ). Olkoon ε >. Merkitään I j = f j, j =, 2. Integroituvuuden perusteell löydetään δ, δ 2 > s.e. α j S D (f j, ξ) I j < 2 ε, kun D < δ j, j =, 2. Kun D < min(δ, δ 2 ), on Siis S D (α f + α 2 f 2, ξ) (α I + α 2 I 2 ) = α S D (f, ξ) α I + α 2 S D (f 2, ξ) α 2 I 2 α S D (f, ξ) I + α 2 S D (f 2, ξ) I 2 < 2 ε + 2 ε = ε. lim S D(α f + α 2 f 2, ξ) = α I + α 2 I 2. D Yleinen tpus induktioll Luse. Jos f, h: [, b] R ovt integroituvi j f(x) h(x) kikill x [, b], niin f(x) dx h(x) dx. Tod. Trkstelln [, b]:n jkoj D, jkovälit,..., n. kikill x k, niin G k (f) G k (h) (k =,..., n). Siis Kosk f(x) h(x) G k (h) f = I(f) S D (f) S D (h) jok. D = f I(h) = h Seurus. Jos f: [, b] R on integroituv j m f(x) M kikill x [, b] (m, M R), niin m(b ) Liitetään jokiseen f: R funktiot f + j f : f + (x) = mx(f(x), ) f (x) = min(f(x), ) Pätee: ) f + (x), f (x), 2) f(x) = f + (x) f (x), 3) f(x) = f + (x) + f (x), 4) f = ( f) +, 5) kikill x on f + (x) = ti f (x) =. f(x) dx M(b ) Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin myös f + j f ovt integroituvi välillä [, b]. 9

10 Tod. ) Olkoon D välin [, b] jko, jkovälit,..., n. g k = inf f(x), G + k = sup f + (x) j g + k Merkitään G k = sup f(x), = inf f + (x). Nyt on kolme tpust: ) g k = G + k = G k, g + k = g k. 2) g k G k = G + k = G k, g + k = g k. 3) G k = G + k = = g+ k. Kikiss tpuksiss on G + k g+ k G k g k. Täten S D (f + ) s D (f + ) S D (f) s D (f) jokisell joll D, joten f + on integroituv Riemnnin ehdon nojll. b) Toinen tpus seur kvst f = ( f) Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f, j f(x) dx f(x) dx. Tod. Integroituvuus seur kvst f = f + + f j ed. luseest. Kosk f(x) f(x) f(x) kikill x [, b], niin L 4. 2 mukn f = ( f ) f f = f f Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f 2. Tod. Kosk f on rjoitettu, niin on olemss M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon D jko, jkovälit,..., n. Merkitään G k ( f ) = sup f(x), G k (f 2 ) = sup f(x) 2. Jos x k, niin f(x) G k ( f ) = f(x) 2 = f(x) 2 [G k ( f )] 2. Siis G k (f 2 ) [G k ( f )] 2 j vstvsti g k (f 2 ) [g k ( f )] 2, joten G k (f 2 ) g k (f 2 ) [G k ( f )] 2 [g k ( f )] 2 = [G k ( f ) + g k ( f )][G k ( f ) g k ( f )] 2M[G k ( f ) g k ( f )]. Olkoon ε >. Kosk f on integroituv (L 4.5), niin on olemss sellinen jko D, että S D ( f ) s D ( f ) < Tälle jolle sdn edelläolevn rvion mukn ε 2M. S D (f 2 ) s D (f 2 ) 2M[S D ( f ) s D ( f )] < ε Seurus. Jos f j g ovt integroituvi välillä [, b], niin myös fg on. Tod. fg = 4 [(f + g)2 (f g) 2 ]. Huom. Yleensä on fg ( f)( g) Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv. Jos on olemss m > s.e. f(x) m > kikill x [, b], niin funktio /f, x /f(x), on integroituv välillä [, b]. Tod. Hrj.-teht.

11 4.9. Seurus. Olkoot f, g: [, b] R integroituvi. Oletetn, että on olemss m > s.e. g(x) m kikill x [, b]. Tällöin funktio f/g, x f(x)/g(x), on integroituv välillä [, b]. Perustelu. Kosk g(x) 2 m 2 > kikill x [, b], niin /g 2 on integroituv väl. [, b] (L 4.8). Kosk myös fg on integroituv, niin näiden tulo f/g on integroituv. 4.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. ) Jos f on integroituv välillä [, b] j [, d] [, b], niin f on integroituv välillä [, d]. b) Olkoon < < b. Silloin f on integroituv välillä [, b] f on integroituv väleillä [, ] j [, b]. Lisäksi tällöin f = Tod. ) Olkoon ε >. On olemss välin [, b] jko D s.e. S D s D < ε. Merkitään D = D {, d} D j D = D [, d]. Tällöin D on [, d]:n jko j f + f. S D s D S D s D S D s D < ε. b) = : seur )-kohdst. = : Olkoon ε >. Kosk f on integroituv väleillä [, ] j [, b], niin määritelmän mukn on olemss välin [, ] jko D sekä välin [, b] jko D 2 siten, että S D < f + ε 2 j s D > f ε 2 sekä S D2 < f + ε 2 j s D 2 > f ε 2. Nyt D = D D 2 on välin [, b] jko j ( f + ) f ε < s D + s D2 = s D ( = S D + S D2 < f + b f b ) f + ε. f S D Kosk tämä pätee ε >, niin b f = f = f + f. Täydennys integrlin määritelmään. Jos f: [, b] R ( < b) on integroituv, merkitään b f = f j f = ( [, b]). Olkoon f integroituv suljetull välillä j, b,. L 4.b) = kv f = pätee, kun < b <. Itse siss tämä kv on voimss riippumtt lukujen, b, suuruusjärjestyksestä. Todistuksess useit tpuksi: jos esim. b < <, niin f + b f L 4.b) = f = f + b b f = f = f + f = f + b b b f.

12 Seurvksi muutmi jtkuvien funktioiden integrlien erityisominisuuksi: 4.. Luse. Olkoot f, g: [, b] R jtkuvi. Jos f(x) g(x) kikill x [, b] j f(y) < g(y) jollkin y [, b], niin f < Tod. Merkitään α = g(y) f(y) >. Kosk g f on jtkuv pisteessä y, niin on olemss osväli [, d] ], b[ ( < d) s.e. g(x) f(x) 2α kikill x [, d]. Siten g f = (g f) = d + 2 α + g. (g f) + d d (g f) + = 2α(d ) >. d (g f) 4.2. Seuruksi. ) Jos f: [, b] R on jtkuv, f(x) kikill x [, b] j f(y) > jollkin y [, b], niin f >. 2) Jos f: [, b] R on jtkuv funktio, jok ei ole vkiofunktio, niin m(b ) < f < M(b ), M = mx f(x), m = min f(x). x [,b] x [,b] 4.3. Esim. ) Osoit, että < π/2 sin n+ x dx < π/2 sin n x dx. Tod. x [, 2 π] = sinn+ x ei-vkio, jtkuv = π/2 sin n+ x dx >. Lisäksi π/2 sin n x dx π/2 sin n+ x dx = kosk x sin n x( sin x) ei-vkio, jtkuv. +k π/2 sin n x( sin x) dx >, e x 2) Osoit, että dx > ke kikill k >. x Tod. Olkoon f(x) = e x /x, jolloin f on derivoituv (j siis jtkuv), kun x, j f (x) = ex x e x x 2 = e x x x 2 x Siis f (x) > kikill x >, joten f on idosti ksvv välillä [, [. Olkoon k >. Kosk eo. mukn min{f(x) x [, + k]} = f() = e j f ei ole vkio välillä [, + k], niin +k f(x)dx > e( + k ) = ke. 2

13 Kysymys: Kuink moness pisteessä integroituv funktio voi oll epäjtkuv? Etsitään vstust viheittin Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu j jtkuv voimell välillä ], b[, niin f on integroituv suljetull välillä [, b]. Tod. Olkoon M > sellinen, että f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Vlitn, d siten, että < < d < b, < ε/(6m) j b d < ε/(6m). Kosk f on jtkuv väl. [, d], niin f on integroituv väl. [, d], joten on olemss [, d]:n jko D siten, että S D s D < ε/3. Nyt D = D {, b} on välin [, b] jko. Merkitään = [, ] j 2 = [d, b], jolloin sup f(x) M j x i inf f(x) M = x i sup f(x) inf f(x) 2M (i =, 2). x i x i Täten sdn [ ] [ ] S D s D = sup f(x) inf f(x) ( ) + S D s D + sup f(x) inf f(x) (b d) x x x 2 x 2 2M ( ) + S D s D + 2M(b d) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Esim. Siis funktio f: [, ] R, f(x) = 4.5. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j joukko { os(/x), kun < x, on integroituv., kun x = E = { [, b] : f epäjtkuv pisteessä } äärellinen. Tällöin f on integroituv välillä [, b]. Tod. Kirjoitetn E {, b} = {,,..., n }, = < <... < n = b. Lemmn 4.4 mukn f on integroituv jokisell välillä [ k, k ], k =,..., n, kosk f on jtkuv voimill väleillä ] k, k [. Luseen 4.b) mukn (yleistys induktioll) f on integroituv väl. [, b] Seurus. Ploittin jtkuv funktio f: [, b] R (Myrberg, määr ) on integroituv Huom. Integroituvll funktioll stt oll ääretön määrä epäjtkuvuuskohti (esimerkki hrjoituksiss). Integrli integroimisrjn funktion. Ol. väli, j f: R integroituv :n jokisell suljetull osvälillä (esim. f jtkuv :ss). Tällöin f(t) dt R x eli sdn funktio F : R, F (x) = f(t) dt Luse. ) Eo. tilnteess F on jtkuv välillä. b) Jos lisäksi f on jtkuv pisteessä x, niin F on derivoituv x :ss j F (x ) = f(x ) (toispuolinen derivtt, jos x on :n päätepiste). 3

14 Tod. ) Olkoon x, x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Osoitetn, että lim ). x x + Ol. [x, ]. Kosk f on integroituv välillä [x, ], niin on olemss M > siten, että f(t) < M kikill t [x, ]. Jos x [x, ], niin F (x) F (x ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt = f(t)dt x x = F (x) F (x ) = f(t)dt f(t) dt M(x x ). x x Siis F (x) F (x ), kun x x +. Jos x ei ole vsen päätepiste, niin smoin lim F (x) = F (x ). x x b) Ol. x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Olkoon ε >. Kosk f on jtkuv pisteessä x, niin on olemss δ > s.e. f(t) f(x ) < ε, kun t j t x < δ. Voi olett, että x + δ. Olk. x < x < x + δ. Kuten )-kohdss F (x) F (x ) = Nyt f(x ) ε < f(t) < f(x ) + ε t [x, x] = (f(x ) ε)(x x ) = f(x ) ε x f(t)dt (f(x ) + ε)(x x ) x x [F (x) F (x )] f(x ) + ε x f(t)dt. Siis = ε F (x) F (x ) f(x ) ε x x = F (x) F (x ) f(x ) ε. x x F (x) F (x ) lim = f(x ) eli F x x + x x +(x ) = f(x ). Jos x ei ole :n vsen päätepiste, niin smoin F (x ) = f(x ). Huom. Jos f on jtkuv koko välillä, niin D f(t) dt = f(x) Seurus. Oletetn, että o f: R jtkuv välillä, 2 o, b: derivoituvi välillä, 3 o G(x) = (x) (x) f(t) dt kikill x. Tällöin G on derivoituv välillä j G (x) = f(b(x))b (x) f((x)) (x) kikill x. 4

15 Tod. Olkoon t j F (x) = G(x) = (x) (x) f(t) dt = t (x) t f(t) dt. Tällöin F (x) = f(x) j (x) f(t) dt f(t) dt = (F b)(x) (F )(x), t joten L 4.8b) j ketjusääntö ntvt väitteen Esim. ) Määritä funktion F : R R, F (x) = Kosk t e t sin t on jtkuv, niin F (x) = e x sin x x R. F (x) = sin x = x = kπ, k Z F (x) > k 2π < x < π + k 2π F (x) < π + k 2π < x < 2π + k 2π Vst. Minimikohdt x = k 2π j mksimikohdt x = π + k 2π. e t sin t dt, äärirvokohdt. 2) Ol. f: R R jksollinen jtkuv funktio jkson ω (ts. f(x + ω) = f(x) x R). Väite. +ω Tod. Määritellään G() = f(t) dt ei riipu luvust R. G () = f( + ω) +ω f(t) dt, jolloin d d ( + ω) f() d = f( + ω) f() = R. d Integrlilskennn perusluseen mukn G() = vkio Integrlilskennn välirvoluse. ) (yleistetty muoto) Olkoon, b R, f: [, b] R jtkuv, g: [, b] R integroituv j g(x) kikill x [, b] (ti g(x) kikill x [, b]). Tällöin on olemss ξ ], b[ s.e. fg = f(ξ) b) (perusmuoto, IVAL) Jos f: [, b] R on jtkuv, niin on olemss ξ ], b[ s.e. g. f = f(ξ)(b ). Tod. Olkoon < b (tulokset voimss myös, jos > b). ) Trkstelln tpus g(x) x [, b]. Merkitään M = mx f(x) j m = min f(x), x [,b] x [,b] jolloin m f(x) M kikill x [, b] j ( ) m mg(x) f(x)g(x) Mg(x) x [, b] = g(x) dx f(x)g(x) dx M g(x) dx. Jos I = g(x) dx =, on siis myös fg = j mikä thns ξ ], b[ kelp. 5

16 Oletetn, että I >, j merkitään µ = ( fg)/i. Tällöin ( ) = m µ M, joten on olemss ξ [, b] s.e. f(ξ) = µ (Bolzno, f jtkuv). Väite: ξ voidn vlit voimelt väliltä ], b[. Vstol. f(x) µ kikill x ], b[. Kosk f on jtkuv, niin joko f(x) > µ x ], b[ ti f(x) < µ x ], b[. Olkoon esim. f(x) > µ x ], b[. Kosk I >, on olemss lsumm s D (g) >, jolloin on olemss sellinen suljettu väli [, b], että inf{g(x) x } >. Tällöin löydetään pisteet, d s.e. < < d < b j inf{g(x) x d} >, jolloin d g dx >. Merkitään m = min{f(x) x [, d]}. Nyt m > µ j µ g = µi = = µ g µ fg = d fg + d fg + d g + m g = µ mikä on RISTIRIITA. b) Vlitn )-kohdss g(x) = kikill x. d fg µg + g + (m µ) d d m g + g > µ Huom. Olkoon f: [, b] R integroituv ( < b). Funktion f keskirvo välillä [, b] on suure f = f(x) dx ; siis inf b f(x) f sup f(x). x [,b] x [,b] Jos f on jtkuv välillä [, b], niin IVAL = ξ ], b[ s.e. f = f(ξ). 2 Esim. lim e t2 dt =? x 2 x 2 4 Kuvus t e t2 on jtkuv kikkill. Olkoon x 2. IVAL = on olemss ξ x ]4, x 2 [ ti ξ x ]x 2, 4[ s.e. d g, µg x e t2 dt = 2 x 2 eξ x (x 2 4) = (x + 2)(x 2) e ξ2 x = (x + 2)e ξ 2 x. x 2 Kosk ξ x 4 < x 2 4, niin ξ x 4, kun x 2, joten lim x 2 x e t2 dt = lim x 2 (x + 2)e ξ2 x = (2 + 2)e 4 2 = 4e 6. I.5. Integrlifunktiot j integrlien lskeminen Määr. Olkoon R väli. Funktio F : R on funktion f: R integrlifunktio välillä, jos F on derivoituv j F (x) = f(x) kikill x. 5.. Huom. ) Integrlifunktio liittyy in johonkin väliin. 2) Integrlifunktio on in derivoituv j siis jtkuv. 6

17 3) Välin mhdollisess päätepisteessä F (x) trkoitt toispuoleist derivtt. Jos esim. = [, b], niin on oltv F +() = f() j F (b) = f(b). 5.. Luse. Olkoon F jokin funktion f: R integrlifunktio välillä, j F : R funktio. Tällöin F on funktion f integrlifunktio välillä, jos j vin jos on olemss sellinen vkio C R, että F (x) = F (x) + C kikill x. Tod. =: Jos F = F + C, niin F = F = f. = : Olkoon F = f välillä. Tällöin (F F ) = f f = välillä, joten Integrlilskennn perusluseen (DI.) mukn on olemss vkio C R s.e. F F = C välillä. Perinteinen (epätäsmällinen) merkintätp: f(x)dx = f:n jokin integrlifunktio. ( määräämätön integrli, ts. ei integroimisrjoj; Riemnnin integrli = määrätty integrli) 5.2. Esim. ) pätee koko R:ssä) 2) e x dx = e x + C R:ssä 3) os x dx = sin x + C R:ssä. x µ dx = xµ+ + C välillä ], [, kun µ vkio (jos esim. µ N, tämä µ + { dx ln x + C välillä ], [ x dx = x = ln( x) + C välillä ], [ 5.3. Luse. Jos f:llä j g:llä on integrlifunktioit, niin [f(x) + g(x)]dx = f(x) dx + g(x) dx j [f(x)]dx = f(x) dx ( R vkio), kunhn integroimisvkiot vlitn sopivsti. Luseen 4.8 b)-kohdst seur 5.4. Luse. Jos f: R on jtkuv, niin f:llä on välillä integrlifunktioit. Jos x, niin jokinen f:n integrlifunktio F on muoto F (x) = x f(t) dt + C x (C R vkio) Huom. ) Integrlifunktio F ei yleensä ole lkeisfunktio, vikk f olisi, esim. e x x4 sin x x dx, e x2 dx, + dx, x dx. 2) Epäjtkuvllkin funktioll voi oll { integrlifunktioit. Jos nimittäin F on derivoituv, x niin F voi oll epäjtkuv; esim. F (x) = 2 sin(/x), kun x, kun x =. Merkintä: F (b) F () = / b F (x), 7 sijoitus :st b:hen funktioon F (x).

18 5.6. Anlyysin perusluse. Jos f: [, b] R on jtkuv j F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b], niin f(x) dx = / b F (x) = F (b) F (). Tod. L 5.4 mukn on olemss C R s.e. F (x) = f(t) dt + C kikill x [, b], joten 5.7. Esim. ) 2) 2 F (b) F () = e x + dx = dx + x 2 = ( f(t) dt + C / e x+ dx + ) f(t) dt + C = r tn x = r tn r tn = π 4. 2 e x+ dx = = e + e 2 + e 3 e = e 3 + e 2 2e. 3 x 3) dx = 3 2x(6 + x 2 ) /2 dx = 6 + x 2 2 / e x Esim. Etsi funktion f: R R integrlifunktiot, kun / 3 / 2 e x+ = f(t) dt. (6 + x 2 ) /2 = 25 6 =. ) f(x) = { x, kun x <,, kun x, b) f(x) = { x, kun x <,, kun x, Rtk. ) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = D( 2 x2 ) = C R s.e. F (x) = 2 x2 + C kikill x <. Välillä ], [ on F (x) = = D(x) = C R s.e. F (x) = x + C kikill x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = + C = C = C 2. Siis { ( ) F (x) = 2 x2 + C, kun x <, x 2 + C, kun x, Kosk f on jtkuv, niin sillä on integrlifunktioit (L 5.4), joten ne kikki ovt kohdss ( ). Tämän voi myös todet suorn: Selvästi F (x) = f(x) kikill x, j } F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D(x 2 + C) = F () = = f(). x= = b) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = F (x) = 2 x2 + C x <. Välillä ], [ on F (x) = = F (x) = C x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = C. Siis { F (x) = 2 x2 + C, kun x <, 2 + C, kun x. 8

19 } F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D( 2 + C) = F (). x= = RISTIRIITA. Siis f:llä ei ole integrlifunktioit R:ssä Huom. Edell. esim. b)-koht osoitt, että kikill funktioill ei ole integrlifunktioit. 5.. Luse. Oletetn, että funktioll f: R on välillä integrlifunktio. Jos, b j f() < y < f(b), niin :n j b:n välissä on olemss luku s.e. f() = y. (Vrt. Bolznon luse) Tod. Olkoon esim. < b. Olkoon F : R, F (x) = f(x) kikill x. Määritellään G: R, G(x) = F (x) yx, jolloin G (x) = F (x) y = f(x) y kikill x. Nyt oletuksen mukn on G () = f() y < j G (b) = f(b) y >. Weierstrssin luseen mukn on olemss [, b] s.e. G() = min{g(x) x [, b]}. Kosk G () <, niin on olemss sellinen r >, r < b, että G(x) < G(), kun < x < + r. Siis G() ei ole G:n pienin rvo (= G()) välillä [, b], joten. Vstvsti G (b) > = b. Nyt ], b[ j on G:n lokli äärirvokoht, joten G () = eli f() = y. Anlyysin perusluse 5.6 pätee hiemn yleisemmässä muodoss: 5.. Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv funktio j olkoon F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin f(x) dx = F (b) F (). Tod. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko. DVAL = ξ k ]x k, x k [ s.e. F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ) (k =,..., n). Siis F (b) F () = F (x n ) F (x ) = [F (x k ) F (x k )] = f(ξ k )(x k x k ) = S D (f, ξ) on eräs f:n Riemnnin summ. Kosk s D (f) F (b) F () S D (f) kikill joill D, niin f(x) dx = sup s D (f) F (b) F () inf S D(f) = D = D f(x) dx = F (b) F () Huom. ) Edellisen luseen perusteell siis f (x) dx = f(b) f(), f(x) dx jos f on integroituv, mikä ei kuitenkn välttämättä ole in voimss. Jos esim. { ( ) { ( ) f(x) = x 2 sin x 2, kun x, niin f (x) = 2x sin x 2 2 ( ) x os x 2, kun x, kun x =,, kun x =. Kosk f ei ole rjoitettu missään :n ympäristössä, niin se ei ole integroituv välillä [, b], jos [, b]. 2) Esim. 5.8.b) funktio on integroituv välillä [, 2], mutt sillä ei ole integrlifunktioit. Integroituvll funktioll ei siis välttämättä ole integrlifunktioit. 9

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma

Tasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot