i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
|
|
- Juha-Pekka Tuominen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes ( e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton ( ) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy ( ) ε, δ Riemnn ( ) Riemnnin integrli Lebesgue (875 94) mitt j integrli-kurssi I.. Eräs pint-l Olkoon > j A = {(x, y) R 2 x, y x 2 }. Olkoon n N. Jos joukolle A voidn määritellä pint-l S(), niin k n S() K n, missä (kuvion mukn) K n = ulkomonikulmion l j k n = sisämonikulmion l. ( ) 2 ( 2 ) 2 K n = n n + n ( n n n = 3 n 3 ( n 2 ) = 3 n 3 i= i 2 ) 2 n k n = 2 ( ) 2 n + ( (n ) ) 2 n n n n = 3 n n 3 Merkitään S k (n) = k + 2 k n k = S 3 (n + ) = + i= i k, kun n, k N. Tällöin i= (i + ) 3 = + i= i i= = S 3 (n) + (n + ) 3 = + S 3 (n) + 3S 2 (n) + 3S (n) + n i 2 i i= i + i= = 3S 2 (n) = (n + ) 3 (n + ) 3S (n) = (n + )(n 2 + 2n) 3 2n(n + ) = (n + )n(n + 2 ) = 2n(n + )(2n + ) = S 2 (n) = n(n + )(2n + ) 6 i= Siis K n = 3 n 3 6 n(n + )(2n + ) = 6 3( + n k n = 3 n 3 6 (n )n(2n ) = 6 3( n )( 2 + ) n )( 2 ) n n n 3 3, 3 3. Nyt k n S() K n kikill n N = S() = 3 3. Huom. S (x) = x 2 kikill x >.
2 I.2. Riemnnin integrli Olkoon < b,, b R. Välin = [, b] jko on äärellinen joukko D = {x,..., x n }, missä = x < x <... < x n = b (x k on jkopiste). Merkitään: k = [x k, x k ] D:n jkoväli j l( k ) = x k x k k :n pituus (k =, 2,..., n). Jko D on D:n lijko (eli tihennys), jos D D. 2.. Huom. ) D = {, b} D jokisell :n joll D. 2) Jos D j D 2 ovt :n jkoj, niin niillä on yhteisiä lijkoj eli sellisi jkoj D, että D D, D 2 D (esim. D = D D 2 ). Olkoon f: R rjoitettu funktio j D = {x,..., x n } välin jko. Merkitään G k = G k (f) = sup{f(x) x k } j g k = g k (f) = inf{f(x) x k } (k =,..., n) (f rjoitettu = G k, g k R kikill k) sekä yläsumm S D = S D (f) = G k l( k ) j lsumm s D = s D (f) = 2.2. Huom. ) g k G k = s D S D. 2) Jos f(x) x, S D j s D ovt eräiden monikulmioiden pint-loj. g k l( k ) Lemm. D D = S D S D j s D s D. Tod. Olkoon D = D {y}, missä x k < y < x k. Tällöin väliä k = [x k, x k ] vstvt D :n jkovälit k = [x k, y] j k = [y, x k], j G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k, G k = sup{f(x) x k} sup{f(x) x k } = G k. Nyt S D S D = G k l( k ) + G k l( k ) G kl( k ) G k [l( k ) + l( k ) l( k)] = ts. S D S D. Yleinen tpus seur tästä induktioll. Vstvsti todetn s D s D Lemm. D, D 2 :n jkoj = s D S D2. Tod. Kosk D = D D 2 on yhteinen lijko, niin Lemmn 2.3 mukn on s D s D S D S D2. Jos D on välin jko, niin D D = {, b}, joten S D s D = inf f(x) (b ) j x s D S D = sup f(x) (b ). Siis joukko {S D D on välin jko} on lhlt rjoitettu j x joukko {s D D on välin jko} on ylhäältä rjoitettu, joten voidn määritellä Snotn j merkitään: I = I(f) = inf S D R j I = I(f) = sup s D R. D D f:n yläintegrli I = I(f) = I M = f = f(x)dx, f:n lintegrli I = I(f) = I m = b f = f(x)dx. 2
3 Lemm 2.4 = I = inf D S D s D jokisell joll D = I = sup D s D I. Täten sdn 2.5. Lemm. s D (f) I(f) I(f) S D (f) kikill D. Määritelmä. Rjoitettu funktio f: [, b] R on (Riemnn-)integroituv, jos I(f) = I(f). Tällöin luku on f:n integrli yli välin [, b]. f = f(x) dx = I(f) = I(f) 2.6. Esim. ) f vkio, f(x) = C kikill x [, b] =. Olkoon D välin jko kuten edellä, jolloin G k = C = g k kikill k. Kosk S D = k G k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), s D = k g k l( k ) = C k l( k ) = C(b ) = I = C(b ), niin f on integroituv j C dx = C(b ). 2) Olkoon f: [, ] R, f(x) = Olkoon < ε <. Jolle D ε = {,, ε, } on {, kun x 2, kun < x. { SDε = ( ( )) + ε + ( 2)( ε) = + 3ε, = ( ( )) + ( 2) ε + ( 2)( ε) = s Dε = = s Dε I I S Dε = + 3ε ε ], [, joten täytyy oll I = I =. Siis f on integroituv j f =. {, kun x Q [, ] 3) Olkoon f: [, ] R, f(x) =, kun x (R Q) [, ]. Olkoon D jko. Kosk jokisell välillä on rtionli- j irrtionlilukuj, niin G k = j g k = kikill k. Nyt S D = k l( k) = j s D =, joten I = j I =. Siis f ei ole integroituv. (Lisätieto: f on integroituv Lebesguen mielessä, mitt j integrli-kurssi.) 2.7. Riemnnin ehto. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. Tällöin f integroituv ε > jko D = D ε s.e. S D s D < ε. Tod. () = : Ol. f integroituv. Olkoon ε >. Merkitään I = f(x)dx. I = I = inf S D j I = I = sup s D, niin on olemss välin [, b] jot D, D 2 s.e. D D Kosk S D < I + ε 2 = I + ε 2 j s D2 > I ε 2 = I ε 2. Olkoon D = D D 2 yhteinen lijko. Lemmn 2.3 mukn S D s D S D s D2 < I + ε 2 I + ε 2 = ε. 3
4 (2) = : Ol. ehto. Olkoon ε >. Tällöin on olemss sellinen välin [, b] jko D, että S D s D < ε. Siis I I S D s D < ε ε > = I I = Esim. (Myrberg, hrj ) Monotoninen funktio f: [, b] R on integroituv. Tod. Olkoon esim. f ksvv. Silloin f() f(x) f(b) kikill x [, b], joten f on rjoitettu. Olkoon ε > mielivltinen. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko, joss jkovälit ovt k = [x k, x k ] (k =,..., n) j suurimmn jkovälin pituudelle pätee: D = mx{l( k ) k =,..., n} < (tässä nimittäjässä on vin tpuksen f(b) = f() tähden). Kosk f on ksvv, niin Tällöin ε f(b) f() + G k = sup f(x) = f(x k ) j g k = inf f(x) = f(x k ). S D s D = (G k g k )l( k ) = D [f(x k ) f(x k )] D [f(x k ) f(x k )] = D (f(b) f()) < ε. Siis Riemnnin ehdon 2.7 mukn f on integroituv välillä [, b]. Olkoon f: [, b] R integroituv j ε >. Riemnnin ehdon mukn S D s D < ε jollkin [, b]:n joll. Itse siss S D s D < ε kikill riittävän tiheillä joill D, kun tiheyden mittn on jon D normi D = mx{l( k ) k =,..., n} eli pisimmän jkovälin pituus Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu, niin jokist ε > kohti on olemss δ = δ ε > siten, että S D < I + ε j s D > I ε jokisell joll D, joll D < δ. Tod. f rjoitettu = M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Yläintegrlin määritelmän mukn on olemss jko D = {x, x,..., x m} (jkovälien lukumäärä = m) siten, että S D < I + ε 2. Merkitään δ = min{x k x k k =,..., m} j vlitn < δ < min(δ, ε/(6mm)). Olkoon D = {y,..., y n } jko siten, että D < δ, j muodostetn jko D = D D. Nyt S D S D < I + ε 2. Trkstelln D:n väliä = [y k, y k ]. On 2 mhdollisuutt: 4
5 () on myös D :n väli, ts. ]y k, y k [ D =. (2) ]y k, y k [ D. Nyt ]y k, y k [ D on yksi piste, kosk muutoin pisteiden etäisyys < y k y k < δ δ. Siis on D :ss jkutunut khdeksi väliksi j näitä D:n välejä on enintään m kpl (pisteet x,..., x m ) sekä vstvi D :n välejä enintään 2m kpl. Erotuksess S D S D kumoutuvt tyypin () termit. Siis S D S D on summ, joss on enintään m + 2m = 3m termiä j näistä kunkin itseisrvo on Mδ. Täten S D S D 3m Mδ < 3mM Kosk D D, niin S D S D < ε/2, joten ε 6mM = ε 2. S D = S D + (S D S D ) < I + ε 2 + ε 2 = I + ε. Smoin δ > siten, että s D > I ε in, kun D < δ. Nyt δ = min(δ, δ ) on vdittu. Olkoon edelleen f: [, b] R rjoitettu j D = {x,..., x n } jko. Olkoon jokisell k {,..., n} vlittu piste ξ k k = [x k, x k ], j merkitään ξ = (ξ,..., ξ n ). Summ S D (f, ξ) = f(ξ k )l( k ) R on funktion f jkoon D j jonoon ξ liittyvä Riemnnin summ. Suor hvinto: s D S D (f, ξ) S D. Määritellään uudentyyppinen rj-rvo: Luku I R on funktion f Riemnnin summien rj-rvo, merk. lim S D(f, ξ) = I, jos D ε > kohti δ > s.e. S D (f, ξ) I < ε, kun D on jko, joll D < δ, j ξ on mieliv. D:hen liittyvä jono. Huom. Kyseessä ei ole lukujonon ti funktion rj-rvo. 2.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j I R. Tällöin f on integroituv j f(x)dx = I lim S D(f, ξ) = I. D Tod. () = : Oletetn, että f on integroituv j f = I. Olkoon ε >. Lemm 2.9 = δ > s.e. S D < I + ε j s D > I ε, kun D < δ. Olkoon D jko, joll D < δ, j ξ jokin jkoon D liittyvä jono. Silloin } S D (f, ξ) S D < I + ε = S D (f, ξ) I < ε = lim S D (f, ξ) s D < I ε S D(f, ξ) = I. D 5
6 (2) = : Ol. lim D S D(f, ξ) = I R. Olkoon ε >. Siis on olemss sellinen jko D, jonk jkoväleinä ovt,..., n j jolle S D (f, ξ) I < ε/2 jokisell jonoll ξ. Vlitn erityisesti jonon ξ = (ξ,..., ξ n ) pisteet ξ k k (k =,..., n) siten, että S D (f, ξ) = f(ξ k ) > G k f(ξ k )l( k ) > ε 2(b ), missä G k = sup f(x). ε G k l( k ) 2(b ) = I < S D (f, ξ) + ε 2 < I + ε 2 + ε 2 = I + ε ε >. l( k ) = S D (f) ε 2 I ε 2 Näin ollen I I. Vstvsti osoitetn, että I I. Siten I I I I = I = I = I eli f on integroituv j f = I. 2.. Esim. Olkoon n = n + + n , n =, 2,.... Määritä lim n + n n. n Olkoon f: [, 2] R, f(x) = /x, j muodostetn välin [, 2] jko D n = {, + n, + 2 n,..., + n } n ξ n = (ξ,n, ξ 2,n,..., ξ n,n ) = n = = j merk. ξ k,n = + k [ n + k n, + k ], n (n N ; k =, 2,..., n). n + k = n n n + k n = n ( f + k ) n n = S D n (f, ξ n ) ( n + k ) f n n n 2 f(x) dx, sillä f on monotoninen j siis integroituv j D n = /n, kun n. Myöhemmin nähdään, että 2 2 / 2 f(x) dx = x dx = ln x = ln 2. I.3. Tsinen jtkuvuus j jtkuvn funktion integroituvuus Olkoon A R. Määritelmän mukn funktio f: A R on jtkuv A:ss f on jtkuv jokisess pisteessä x A ε >, x A δ ε,x > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun y A j x y < δ ε,x. Yleensä tällöin ei ole olemss sellist δ ε >, että δ ε δ ε,x kikill x A (vn inf{δ ε,x x A} = ). Jos tällinen δ ε > on olemss, f toteutt vhvemmn ehdon. Määritelmä. Funktio f: A R on tsisesti jtkuv A:ss, jos ε > kohti δ ε > s.e. f(x) f(y) < ε in, kun x, y A j x y < δ ε. (Tässä δ ε ei s riippu pisteiden pikst.) 6
7 3.. Huom. ) Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss, ei pisteessä. 2) f ts. jtkuv A:ss = f jtkuv A:ss. (Käänteinen ei tietenkään päde, ks. esimerkit.) 3.2. Esim. ) f: [, [ R, f(x) = x 2, ei ole tsisesti jtkuv väl. [, [. Vstoletus: f on ts. jtkuv väl. [, [. Olkoon ε =. Tällöin δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y. Olkoon x < y, jolloin f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y 2x x y. Vlitn x > /δ j y = x + 2 δ. Tällöin x y = 2δ < δ j f(x) f(y) 2x 2δ >, joten sdn RISTIRIITA. 2) f: ], ] R, f(x) = os(/x), ei ole tsisesti jtkuv väl. ], ]. Jos olisi, niin (vl. ts ε = ) δ > s.e. f(x) f(y) < in, kun x y < δ j x, y ], ]. Voidn olett, että δ <. Vlitn sellinen n N, että 2nπ > δ sekä x = 2nπ ], ], y = (2n + )π ], ]. Nyt < y < x < δ j siis x y < δ, mutt f(x) f(y) = os(2nπ) os((2n + )π) = 2. RISTIRIITA Luse. Olkoon R mikä hyvänsä väli (voi oll myös rjoittmton) j olkoon = {päätepisteet} eli on :n sisäpisteiden joukko j nyt myös väli. Jos f: R on jtkuv sekä f on olemss j rjoitettu välillä, niin f on tsisesti jtkuv välillä. Tod. Olkoon M > s.e. f (x) < M, kun x. Olkoon ε >. Kun x, y, x < y, niin differentililskennn välirvoluseen (DVAL, Diff.I.) mukn = ξ x,y ]x, y[ s.e. f(x) f(y) = f (ξ x,y )(x y). Nyt f(x) f(y) = f (ξ x,y ) x y < M x y < ε in, kun x y < ε/m Esim. x x on tsisesti jtkuv välillä [, [. (Jos x >, niin D x = 2 x /2 = /(2 x), jok ei ole rjoitettu.) Todetn luksi: jos x y j A >, niin ( ) x y A + (x y). A Jos x A, niin x y x A. Muuten x > A, jolloin x y = Siis ( ) pätee molemmiss tpuksiss. x y x y x + y x x y A = (x y). A Olkoon ε >, x, y. Tällöin ( ):n nojll x y A + x y, A >. Vlitn A A = ε/2 j δ = A 2 = ε 2 /4. Jos nyt x y < δ, niin x y < ε 2 + A A2 = ε 2 + ε 2 = ε. 7
8 3.5. Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tod. Vstoletus: f ei ole tsisesti jtkuv. Tällöin ε >, jot kohti ei ole määritelmässä vdittu luku δ ε > ts. kikill δ > pätee: jos u, v [, b] j u v < δ, niin f(u) f(v) ε. Vlitn tässä δ = /n, jolloin n x n, y n [, b] s.e. x n y n < /n, mutt f(x n ) f(y n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten osjonoluseen (DI., Bolzno Weierstrss) mukn sillä on osjono (x nk ) s.e. x nk x R, kun k ; nyt x nk b kikill k N, joten x [, b]. Lisäksi y nk x y nk x nk + x nk x < n k + x nk x k + x n k x k, joten lim y n k = x. Kosk f on jtkuv x :ss, niin lim f(x n k ) = f(x ) = lim f(y n k ). Nyt k k k < ε f(x nk ) f(y nk ) k f(x ) f(x ) = nt RISTIRIIDAN Luse. Suljetull välillä [, b] (, b R, < b) jtkuv funktio f on integroituv. Tod. Diff.I. = f on rjoitettu. Osoitetn Riemnnin ehdon voimssolo. Olkoon ε >. Luseen 3.5 mukn on olemss tsisen jtkuvuuden δ > s.e. f(x) f(y) < ε b in, kun x y < δ, x, y [, b]. Vlitn jokin välin [, b] jko D, jolle D < δ j jkovälit,..., n. = u k, v k k s.e. Diff.I. (Weierstrss) f(u k ) = mx f(x) = sup f(x) = G k j f(v k ) = min f(x) = inf f(x) = g k (k =,..., n). Nyt u k v k l( k ) D < δ = G k g k = f(u k ) f(v k ) < ε/(b ) kikill k =,..., n, joten S D s D = (G k g k )l( k ) < ε b l( k) = ε b l( k ) = ε (b ) = ε. b I.4. Integrlin perusominisuuksi 4.. Luse. Olkoot f,..., f p : [, b] R integroituvi j α,..., α p R vkioit. Tällöin α f α p f p on integroituv j (α f α p f p ) = α f α p f p. 8
9 Tod. Tpus p = 2. Trkstelln Riemnnin summi: S D (α f + α 2 f 2, ξ) = [α f (ξ k ) + α 2 f 2 (ξ k )]l( k ) n = α f (ξ k )l( k ) + α 2 n f 2 (ξ k )l( k ) = α S D (f, ξ) + α 2 S D (f 2, ξ). Olkoon ε >. Merkitään I j = f j, j =, 2. Integroituvuuden perusteell löydetään δ, δ 2 > s.e. α j S D (f j, ξ) I j < 2 ε, kun D < δ j, j =, 2. Kun D < min(δ, δ 2 ), on Siis S D (α f + α 2 f 2, ξ) (α I + α 2 I 2 ) = α S D (f, ξ) α I + α 2 S D (f 2, ξ) α 2 I 2 α S D (f, ξ) I + α 2 S D (f 2, ξ) I 2 < 2 ε + 2 ε = ε. lim S D(α f + α 2 f 2, ξ) = α I + α 2 I 2. D Yleinen tpus induktioll Luse. Jos f, h: [, b] R ovt integroituvi j f(x) h(x) kikill x [, b], niin f(x) dx h(x) dx. Tod. Trkstelln [, b]:n jkoj D, jkovälit,..., n. kikill x k, niin G k (f) G k (h) (k =,..., n). Siis Kosk f(x) h(x) G k (h) f = I(f) S D (f) S D (h) jok. D = f I(h) = h Seurus. Jos f: [, b] R on integroituv j m f(x) M kikill x [, b] (m, M R), niin m(b ) Liitetään jokiseen f: R funktiot f + j f : f + (x) = mx(f(x), ) f (x) = min(f(x), ) Pätee: ) f + (x), f (x), 2) f(x) = f + (x) f (x), 3) f(x) = f + (x) + f (x), 4) f = ( f) +, 5) kikill x on f + (x) = ti f (x) =. f(x) dx M(b ) Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin myös f + j f ovt integroituvi välillä [, b]. 9
10 Tod. ) Olkoon D välin [, b] jko, jkovälit,..., n. g k = inf f(x), G + k = sup f + (x) j g + k Merkitään G k = sup f(x), = inf f + (x). Nyt on kolme tpust: ) g k = G + k = G k, g + k = g k. 2) g k G k = G + k = G k, g + k = g k. 3) G k = G + k = = g+ k. Kikiss tpuksiss on G + k g+ k G k g k. Täten S D (f + ) s D (f + ) S D (f) s D (f) jokisell joll D, joten f + on integroituv Riemnnin ehdon nojll. b) Toinen tpus seur kvst f = ( f) Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f, j f(x) dx f(x) dx. Tod. Integroituvuus seur kvst f = f + + f j ed. luseest. Kosk f(x) f(x) f(x) kikill x [, b], niin L 4. 2 mukn f = ( f ) f f = f f Luse. Jos f on integroituv välillä [, b], niin smoin on f 2. Tod. Kosk f on rjoitettu, niin on olemss M > s.e. f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon D jko, jkovälit,..., n. Merkitään G k ( f ) = sup f(x), G k (f 2 ) = sup f(x) 2. Jos x k, niin f(x) G k ( f ) = f(x) 2 = f(x) 2 [G k ( f )] 2. Siis G k (f 2 ) [G k ( f )] 2 j vstvsti g k (f 2 ) [g k ( f )] 2, joten G k (f 2 ) g k (f 2 ) [G k ( f )] 2 [g k ( f )] 2 = [G k ( f ) + g k ( f )][G k ( f ) g k ( f )] 2M[G k ( f ) g k ( f )]. Olkoon ε >. Kosk f on integroituv (L 4.5), niin on olemss sellinen jko D, että S D ( f ) s D ( f ) < Tälle jolle sdn edelläolevn rvion mukn ε 2M. S D (f 2 ) s D (f 2 ) 2M[S D ( f ) s D ( f )] < ε Seurus. Jos f j g ovt integroituvi välillä [, b], niin myös fg on. Tod. fg = 4 [(f + g)2 (f g) 2 ]. Huom. Yleensä on fg ( f)( g) Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv. Jos on olemss m > s.e. f(x) m > kikill x [, b], niin funktio /f, x /f(x), on integroituv välillä [, b]. Tod. Hrj.-teht.
11 4.9. Seurus. Olkoot f, g: [, b] R integroituvi. Oletetn, että on olemss m > s.e. g(x) m kikill x [, b]. Tällöin funktio f/g, x f(x)/g(x), on integroituv välillä [, b]. Perustelu. Kosk g(x) 2 m 2 > kikill x [, b], niin /g 2 on integroituv väl. [, b] (L 4.8). Kosk myös fg on integroituv, niin näiden tulo f/g on integroituv. 4.. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu. ) Jos f on integroituv välillä [, b] j [, d] [, b], niin f on integroituv välillä [, d]. b) Olkoon < < b. Silloin f on integroituv välillä [, b] f on integroituv väleillä [, ] j [, b]. Lisäksi tällöin f = Tod. ) Olkoon ε >. On olemss välin [, b] jko D s.e. S D s D < ε. Merkitään D = D {, d} D j D = D [, d]. Tällöin D on [, d]:n jko j f + f. S D s D S D s D S D s D < ε. b) = : seur )-kohdst. = : Olkoon ε >. Kosk f on integroituv väleillä [, ] j [, b], niin määritelmän mukn on olemss välin [, ] jko D sekä välin [, b] jko D 2 siten, että S D < f + ε 2 j s D > f ε 2 sekä S D2 < f + ε 2 j s D 2 > f ε 2. Nyt D = D D 2 on välin [, b] jko j ( f + ) f ε < s D + s D2 = s D ( = S D + S D2 < f + b f b ) f + ε. f S D Kosk tämä pätee ε >, niin b f = f = f + f. Täydennys integrlin määritelmään. Jos f: [, b] R ( < b) on integroituv, merkitään b f = f j f = ( [, b]). Olkoon f integroituv suljetull välillä j, b,. L 4.b) = kv f = pätee, kun < b <. Itse siss tämä kv on voimss riippumtt lukujen, b, suuruusjärjestyksestä. Todistuksess useit tpuksi: jos esim. b < <, niin f + b f L 4.b) = f = f + b b f = f = f + f = f + b b b f.
12 Seurvksi muutmi jtkuvien funktioiden integrlien erityisominisuuksi: 4.. Luse. Olkoot f, g: [, b] R jtkuvi. Jos f(x) g(x) kikill x [, b] j f(y) < g(y) jollkin y [, b], niin f < Tod. Merkitään α = g(y) f(y) >. Kosk g f on jtkuv pisteessä y, niin on olemss osväli [, d] ], b[ ( < d) s.e. g(x) f(x) 2α kikill x [, d]. Siten g f = (g f) = d + 2 α + g. (g f) + d d (g f) + = 2α(d ) >. d (g f) 4.2. Seuruksi. ) Jos f: [, b] R on jtkuv, f(x) kikill x [, b] j f(y) > jollkin y [, b], niin f >. 2) Jos f: [, b] R on jtkuv funktio, jok ei ole vkiofunktio, niin m(b ) < f < M(b ), M = mx f(x), m = min f(x). x [,b] x [,b] 4.3. Esim. ) Osoit, että < π/2 sin n+ x dx < π/2 sin n x dx. Tod. x [, 2 π] = sinn+ x ei-vkio, jtkuv = π/2 sin n+ x dx >. Lisäksi π/2 sin n x dx π/2 sin n+ x dx = kosk x sin n x( sin x) ei-vkio, jtkuv. +k π/2 sin n x( sin x) dx >, e x 2) Osoit, että dx > ke kikill k >. x Tod. Olkoon f(x) = e x /x, jolloin f on derivoituv (j siis jtkuv), kun x, j f (x) = ex x e x x 2 = e x x x 2 x Siis f (x) > kikill x >, joten f on idosti ksvv välillä [, [. Olkoon k >. Kosk eo. mukn min{f(x) x [, + k]} = f() = e j f ei ole vkio välillä [, + k], niin +k f(x)dx > e( + k ) = ke. 2
13 Kysymys: Kuink moness pisteessä integroituv funktio voi oll epäjtkuv? Etsitään vstust viheittin Lemm. Jos f: [, b] R on rjoitettu j jtkuv voimell välillä ], b[, niin f on integroituv suljetull välillä [, b]. Tod. Olkoon M > sellinen, että f(x) < M kikill x [, b]. Olkoon ε >. Vlitn, d siten, että < < d < b, < ε/(6m) j b d < ε/(6m). Kosk f on jtkuv väl. [, d], niin f on integroituv väl. [, d], joten on olemss [, d]:n jko D siten, että S D s D < ε/3. Nyt D = D {, b} on välin [, b] jko. Merkitään = [, ] j 2 = [d, b], jolloin sup f(x) M j x i inf f(x) M = x i sup f(x) inf f(x) 2M (i =, 2). x i x i Täten sdn [ ] [ ] S D s D = sup f(x) inf f(x) ( ) + S D s D + sup f(x) inf f(x) (b d) x x x 2 x 2 2M ( ) + S D s D + 2M(b d) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Esim. Siis funktio f: [, ] R, f(x) = 4.5. Luse. Olkoon f: [, b] R rjoitettu j joukko { os(/x), kun < x, on integroituv., kun x = E = { [, b] : f epäjtkuv pisteessä } äärellinen. Tällöin f on integroituv välillä [, b]. Tod. Kirjoitetn E {, b} = {,,..., n }, = < <... < n = b. Lemmn 4.4 mukn f on integroituv jokisell välillä [ k, k ], k =,..., n, kosk f on jtkuv voimill väleillä ] k, k [. Luseen 4.b) mukn (yleistys induktioll) f on integroituv väl. [, b] Seurus. Ploittin jtkuv funktio f: [, b] R (Myrberg, määr ) on integroituv Huom. Integroituvll funktioll stt oll ääretön määrä epäjtkuvuuskohti (esimerkki hrjoituksiss). Integrli integroimisrjn funktion. Ol. väli, j f: R integroituv :n jokisell suljetull osvälillä (esim. f jtkuv :ss). Tällöin f(t) dt R x eli sdn funktio F : R, F (x) = f(t) dt Luse. ) Eo. tilnteess F on jtkuv välillä. b) Jos lisäksi f on jtkuv pisteessä x, niin F on derivoituv x :ss j F (x ) = f(x ) (toispuolinen derivtt, jos x on :n päätepiste). 3
14 Tod. ) Olkoon x, x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Osoitetn, että lim ). x x + Ol. [x, ]. Kosk f on integroituv välillä [x, ], niin on olemss M > siten, että f(t) < M kikill t [x, ]. Jos x [x, ], niin F (x) F (x ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt = f(t)dt x x = F (x) F (x ) = f(t)dt f(t) dt M(x x ). x x Siis F (x) F (x ), kun x x +. Jos x ei ole vsen päätepiste, niin smoin lim F (x) = F (x ). x x b) Ol. x ei ole :n oikenpuol. päätepiste. Olkoon ε >. Kosk f on jtkuv pisteessä x, niin on olemss δ > s.e. f(t) f(x ) < ε, kun t j t x < δ. Voi olett, että x + δ. Olk. x < x < x + δ. Kuten )-kohdss F (x) F (x ) = Nyt f(x ) ε < f(t) < f(x ) + ε t [x, x] = (f(x ) ε)(x x ) = f(x ) ε x f(t)dt (f(x ) + ε)(x x ) x x [F (x) F (x )] f(x ) + ε x f(t)dt. Siis = ε F (x) F (x ) f(x ) ε x x = F (x) F (x ) f(x ) ε. x x F (x) F (x ) lim = f(x ) eli F x x + x x +(x ) = f(x ). Jos x ei ole :n vsen päätepiste, niin smoin F (x ) = f(x ). Huom. Jos f on jtkuv koko välillä, niin D f(t) dt = f(x) Seurus. Oletetn, että o f: R jtkuv välillä, 2 o, b: derivoituvi välillä, 3 o G(x) = (x) (x) f(t) dt kikill x. Tällöin G on derivoituv välillä j G (x) = f(b(x))b (x) f((x)) (x) kikill x. 4
15 Tod. Olkoon t j F (x) = G(x) = (x) (x) f(t) dt = t (x) t f(t) dt. Tällöin F (x) = f(x) j (x) f(t) dt f(t) dt = (F b)(x) (F )(x), t joten L 4.8b) j ketjusääntö ntvt väitteen Esim. ) Määritä funktion F : R R, F (x) = Kosk t e t sin t on jtkuv, niin F (x) = e x sin x x R. F (x) = sin x = x = kπ, k Z F (x) > k 2π < x < π + k 2π F (x) < π + k 2π < x < 2π + k 2π Vst. Minimikohdt x = k 2π j mksimikohdt x = π + k 2π. e t sin t dt, äärirvokohdt. 2) Ol. f: R R jksollinen jtkuv funktio jkson ω (ts. f(x + ω) = f(x) x R). Väite. +ω Tod. Määritellään G() = f(t) dt ei riipu luvust R. G () = f( + ω) +ω f(t) dt, jolloin d d ( + ω) f() d = f( + ω) f() = R. d Integrlilskennn perusluseen mukn G() = vkio Integrlilskennn välirvoluse. ) (yleistetty muoto) Olkoon, b R, f: [, b] R jtkuv, g: [, b] R integroituv j g(x) kikill x [, b] (ti g(x) kikill x [, b]). Tällöin on olemss ξ ], b[ s.e. fg = f(ξ) b) (perusmuoto, IVAL) Jos f: [, b] R on jtkuv, niin on olemss ξ ], b[ s.e. g. f = f(ξ)(b ). Tod. Olkoon < b (tulokset voimss myös, jos > b). ) Trkstelln tpus g(x) x [, b]. Merkitään M = mx f(x) j m = min f(x), x [,b] x [,b] jolloin m f(x) M kikill x [, b] j ( ) m mg(x) f(x)g(x) Mg(x) x [, b] = g(x) dx f(x)g(x) dx M g(x) dx. Jos I = g(x) dx =, on siis myös fg = j mikä thns ξ ], b[ kelp. 5
16 Oletetn, että I >, j merkitään µ = ( fg)/i. Tällöin ( ) = m µ M, joten on olemss ξ [, b] s.e. f(ξ) = µ (Bolzno, f jtkuv). Väite: ξ voidn vlit voimelt väliltä ], b[. Vstol. f(x) µ kikill x ], b[. Kosk f on jtkuv, niin joko f(x) > µ x ], b[ ti f(x) < µ x ], b[. Olkoon esim. f(x) > µ x ], b[. Kosk I >, on olemss lsumm s D (g) >, jolloin on olemss sellinen suljettu väli [, b], että inf{g(x) x } >. Tällöin löydetään pisteet, d s.e. < < d < b j inf{g(x) x d} >, jolloin d g dx >. Merkitään m = min{f(x) x [, d]}. Nyt m > µ j µ g = µi = = µ g µ fg = d fg + d fg + d g + m g = µ mikä on RISTIRIITA. b) Vlitn )-kohdss g(x) = kikill x. d fg µg + g + (m µ) d d m g + g > µ Huom. Olkoon f: [, b] R integroituv ( < b). Funktion f keskirvo välillä [, b] on suure f = f(x) dx ; siis inf b f(x) f sup f(x). x [,b] x [,b] Jos f on jtkuv välillä [, b], niin IVAL = ξ ], b[ s.e. f = f(ξ). 2 Esim. lim e t2 dt =? x 2 x 2 4 Kuvus t e t2 on jtkuv kikkill. Olkoon x 2. IVAL = on olemss ξ x ]4, x 2 [ ti ξ x ]x 2, 4[ s.e. d g, µg x e t2 dt = 2 x 2 eξ x (x 2 4) = (x + 2)(x 2) e ξ2 x = (x + 2)e ξ 2 x. x 2 Kosk ξ x 4 < x 2 4, niin ξ x 4, kun x 2, joten lim x 2 x e t2 dt = lim x 2 (x + 2)e ξ2 x = (2 + 2)e 4 2 = 4e 6. I.5. Integrlifunktiot j integrlien lskeminen Määr. Olkoon R väli. Funktio F : R on funktion f: R integrlifunktio välillä, jos F on derivoituv j F (x) = f(x) kikill x. 5.. Huom. ) Integrlifunktio liittyy in johonkin väliin. 2) Integrlifunktio on in derivoituv j siis jtkuv. 6
17 3) Välin mhdollisess päätepisteessä F (x) trkoitt toispuoleist derivtt. Jos esim. = [, b], niin on oltv F +() = f() j F (b) = f(b). 5.. Luse. Olkoon F jokin funktion f: R integrlifunktio välillä, j F : R funktio. Tällöin F on funktion f integrlifunktio välillä, jos j vin jos on olemss sellinen vkio C R, että F (x) = F (x) + C kikill x. Tod. =: Jos F = F + C, niin F = F = f. = : Olkoon F = f välillä. Tällöin (F F ) = f f = välillä, joten Integrlilskennn perusluseen (DI.) mukn on olemss vkio C R s.e. F F = C välillä. Perinteinen (epätäsmällinen) merkintätp: f(x)dx = f:n jokin integrlifunktio. ( määräämätön integrli, ts. ei integroimisrjoj; Riemnnin integrli = määrätty integrli) 5.2. Esim. ) pätee koko R:ssä) 2) e x dx = e x + C R:ssä 3) os x dx = sin x + C R:ssä. x µ dx = xµ+ + C välillä ], [, kun µ vkio (jos esim. µ N, tämä µ + { dx ln x + C välillä ], [ x dx = x = ln( x) + C välillä ], [ 5.3. Luse. Jos f:llä j g:llä on integrlifunktioit, niin [f(x) + g(x)]dx = f(x) dx + g(x) dx j [f(x)]dx = f(x) dx ( R vkio), kunhn integroimisvkiot vlitn sopivsti. Luseen 4.8 b)-kohdst seur 5.4. Luse. Jos f: R on jtkuv, niin f:llä on välillä integrlifunktioit. Jos x, niin jokinen f:n integrlifunktio F on muoto F (x) = x f(t) dt + C x (C R vkio) Huom. ) Integrlifunktio F ei yleensä ole lkeisfunktio, vikk f olisi, esim. e x x4 sin x x dx, e x2 dx, + dx, x dx. 2) Epäjtkuvllkin funktioll voi oll { integrlifunktioit. Jos nimittäin F on derivoituv, x niin F voi oll epäjtkuv; esim. F (x) = 2 sin(/x), kun x, kun x =. Merkintä: F (b) F () = / b F (x), 7 sijoitus :st b:hen funktioon F (x).
18 5.6. Anlyysin perusluse. Jos f: [, b] R on jtkuv j F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b], niin f(x) dx = / b F (x) = F (b) F (). Tod. L 5.4 mukn on olemss C R s.e. F (x) = f(t) dt + C kikill x [, b], joten 5.7. Esim. ) 2) 2 F (b) F () = e x + dx = dx + x 2 = ( f(t) dt + C / e x+ dx + ) f(t) dt + C = r tn x = r tn r tn = π 4. 2 e x+ dx = = e + e 2 + e 3 e = e 3 + e 2 2e. 3 x 3) dx = 3 2x(6 + x 2 ) /2 dx = 6 + x 2 2 / e x Esim. Etsi funktion f: R R integrlifunktiot, kun / 3 / 2 e x+ = f(t) dt. (6 + x 2 ) /2 = 25 6 =. ) f(x) = { x, kun x <,, kun x, b) f(x) = { x, kun x <,, kun x, Rtk. ) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = D( 2 x2 ) = C R s.e. F (x) = 2 x2 + C kikill x <. Välillä ], [ on F (x) = = D(x) = C R s.e. F (x) = x + C kikill x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = + C = C = C 2. Siis { ( ) F (x) = 2 x2 + C, kun x <, x 2 + C, kun x, Kosk f on jtkuv, niin sillä on integrlifunktioit (L 5.4), joten ne kikki ovt kohdss ( ). Tämän voi myös todet suorn: Selvästi F (x) = f(x) kikill x, j } F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D(x 2 + C) = F () = = f(). x= = b) Ol. F : R R, F (x) = f(x) x R. Välillä ], [ on F (x) = x = F (x) = 2 x2 + C x <. Välillä ], [ on F (x) = = F (x) = C x >. F jtkuv :ssä = 2 + C = C. Siis { F (x) = 2 x2 + C, kun x <, 2 + C, kun x. 8
19 } F () = D( 2 x2 + C) x= = F +() = D( 2 + C) = F (). x= = RISTIRIITA. Siis f:llä ei ole integrlifunktioit R:ssä Huom. Edell. esim. b)-koht osoitt, että kikill funktioill ei ole integrlifunktioit. 5.. Luse. Oletetn, että funktioll f: R on välillä integrlifunktio. Jos, b j f() < y < f(b), niin :n j b:n välissä on olemss luku s.e. f() = y. (Vrt. Bolznon luse) Tod. Olkoon esim. < b. Olkoon F : R, F (x) = f(x) kikill x. Määritellään G: R, G(x) = F (x) yx, jolloin G (x) = F (x) y = f(x) y kikill x. Nyt oletuksen mukn on G () = f() y < j G (b) = f(b) y >. Weierstrssin luseen mukn on olemss [, b] s.e. G() = min{g(x) x [, b]}. Kosk G () <, niin on olemss sellinen r >, r < b, että G(x) < G(), kun < x < + r. Siis G() ei ole G:n pienin rvo (= G()) välillä [, b], joten. Vstvsti G (b) > = b. Nyt ], b[ j on G:n lokli äärirvokoht, joten G () = eli f() = y. Anlyysin perusluse 5.6 pätee hiemn yleisemmässä muodoss: 5.. Luse. Olkoon f: [, b] R integroituv funktio j olkoon F jokin f:n integrlifunktio välillä [, b]. Tällöin f(x) dx = F (b) F (). Tod. Olkoon D : = x < x <... < x n = b välin [, b] jko. DVAL = ξ k ]x k, x k [ s.e. F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ) (k =,..., n). Siis F (b) F () = F (x n ) F (x ) = [F (x k ) F (x k )] = f(ξ k )(x k x k ) = S D (f, ξ) on eräs f:n Riemnnin summ. Kosk s D (f) F (b) F () S D (f) kikill joill D, niin f(x) dx = sup s D (f) F (b) F () inf S D(f) = D = D f(x) dx = F (b) F () Huom. ) Edellisen luseen perusteell siis f (x) dx = f(b) f(), f(x) dx jos f on integroituv, mikä ei kuitenkn välttämättä ole in voimss. Jos esim. { ( ) { ( ) f(x) = x 2 sin x 2, kun x, niin f (x) = 2x sin x 2 2 ( ) x os x 2, kun x, kun x =,, kun x =. Kosk f ei ole rjoitettu missään :n ympäristössä, niin se ei ole integroituv välillä [, b], jos [, b]. 2) Esim. 5.8.b) funktio on integroituv välillä [, 2], mutt sillä ei ole integrlifunktioit. Integroituvll funktioll ei siis välttämättä ole integrlifunktioit. 9
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotSarjojen tasainen suppeneminen
Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotAnalyysi III S
Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotLebesguen integraali
LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotAnalyyttinen lukuteoria
Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista
Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotIntegraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa
Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotTasaväli-integraali. Mikko Rautiainen. matematiikan Pro Gradu-tutkielma
Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006 Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]
1. Yhtälöiden rtkisemisest Olkoon f välillä [, b] jtkuv funktio, jolle f() f(b)
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
Lisätiedot6 Integraali ja derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 6 Inegrli j deriv 6. Inegrli ylärjns funkion. Olkoon Määriä kun () [, ], (b) ], 3]., kun [, ],, kun ], 3]. f() d, [, 3],. Osoi, eä jos funkio f on Riemnn-inegroiuv
Lisätiedot