Johdatusta variaatiolaskentaan

Transkriptio

1 LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm ], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus, U E voin j f : [, b] U F jtkuv kuvus. Asetetn g : U F, gx) := ft, x) dt. Tällöin g on jtkuv. Todistus. Olkoot x 0 U j ε > 0. Jokiselle t [, b] on olemss voin väli I t [, b] voin livruustopologiss) j luku r t > 0 siten, että t I t j kun s I t j x x 0 r t, niin fs, x) ft, x 0 ) ε. Kosk [, b] on kompkti, voidn peitteestä {I t t [, b]} vlit äärellinen ospeite {I t1,..., I tk }. Olkoon r := min{r t1,..., r tk }. Tällöin ft, x) ft, x 0 ) ε kikille t [, b], kun x x 0 r. Siis kun x x 0 r. gx) gx 0 ) ft, x) ft, x 0 ) dt ε b ), Luse 6.2 Leibnizin sääntö). Edellisen luseen oletusten lisäksi oletetn, että kikille t [, b] kuvus x ft, x) on differentioituv j D 2 f : [, b] U LE; F ) on jtkuv. Tällöin g on jtkuvsti differentioituv j Dgx) = D 2 ft, x) dt. Todistus. Vstvn tpn kuin edellisen luseen todistuksess on olemss r > 0 siten, että D 2 ft, x) D 2 ft, x 0 ) ε kikille t [, b], kun x x 0 r. Välirvoepäyhtälön 3.1 nojll kikille t [, b], kun h r. Tällöin gx 0 + h) gx 0 ) ft, x 0 + h) ft, x 0 ) D 2 ft, x 0 )h ε h D 2 ft, x 0 )h dt ft, x 0 + h) ft, x 0 ) D 2 ft, x 0 )h dt ε h b ). Toislt D 2ft, x 0 )h dt = D 2ft, x 0 ) dt ) h. Derivtn jtkuvuus seur edellisestä luseest. 1 Viimeksi muutettu

2 6.2. VAPAAT VARIAATIOTEHTÄVÄT Vpt vritiotehtävät [2, Ch. 2] Prit E, ), F, ),... ovt Bnchin vruuksi, ellei toisin minit. Esimerkki 6.3. Olkoot V R G voin j f : V R jtkuv funktio, jolle D 2 f on olemss j jtkuv. Asetetn E := C[, b]; G), U := {x E t, xt)) V kikille t [, b]} j gx) := ft, xt)) dt, kun x U. Oletetn, että U. Avruus E on Bnchin vruus, kun normin on x := x := sup{ xt) t [, b]}.) Tällöin U on voin, g on C 1 -funktio j Dgx)u = D 2 ft, xt)) ut) dt kikille u E. Todetn luksi, että U on voin. Olkoon x 0 U. Olkoon K funktion t t, x 0 t)) kuvjoukko. Kosk x 0 on jtkuv, on K kompkti. Tällöin on olemss r > 0 siten, että jos t, ξ) R G j ξ x 0 t) r, niin t, ξ) V muist: kompktin joukon K V etäisyys joukon V komplementist on positiivinen). Nyt, jos x E j x x 0 r, niin xt) x 0 t) r kikille t [, b], joten t, xt)) V kikille t [, b]. Määritellään h: [, b] U R, ht, x) := ft, xt)). Tällöin gx) = ht, x) dt, joten funktion g jtkuv differentioivuus seur Leibnizin säännöstä 6.2. Nimittäin, funktio h voidn esittää yhdistettynä funktion I U V, t, x) t, xt)) j f : V R. Ensimmäisen funktion koordinttifunktiot ovt differentioituvi kuvus x xt)) on jtkuv linerikuvus). Nyt joten väite seur. D 2 ht, x)u = D 2 ft, xt)) ut), Esimerkki 6.4 Jtko). Olkoot V R F F voin j f : V R jtkuv funktio siten, että D 2 f j D 3 f ovt olemss j jtkuvi. Asetetn E := C 1 [, b]; F ), U := {y E t, yt), y t)) V kikille t [, b]} Iy) := ft, yt), y t)) dt, kun y U. Oletetn, että U. Avruus E on Bnchin vruus, kun normin on y := y + y.) Tällöin U on voin, I on C 1 -funktio j DIy)h = D2 ft, yt), y t)) ht) + D 3 ft, yt), y t)) h t) ) dt kikille h E. Jos setetn G := F F, g kuten edellisessä esimerkissä j L: C 1 [, b]; F ) C[, b]; F ) C[, b]; F ) = C[, b]; F F ), Ly) := y, y ), j

3 niin L on jtkuv linerikuvus j Iy) = gly)). Siis DIy) = DgLy))DLy) = DgLy))L, t.s. DIy)h = 6.2. VAPAAT VARIAATIOTEHTÄVÄT 39 D2 ft, yt), y t)) ht) + D 3 ft, yt), y t)) h t) ) dt. Esimerkki 6.5 Jtko). Klssisen vritiolskennn perustehtävä on määrättävä y 0 C 1 [, b]; F ) = E siten, että { y0 ) = α, y 0 b) = β, j 6.1) Iy 0 ) Iy) kikille y C 1 [, b]; F ), joille y) = α j yb) = β, missä Iy) = ft, yt), y t)) dt, j α, β F ovt nnettuj. 2 Kyse on siis funktion I minimoinnist. Joukko, jost minimipistettä etsitään ei kuitenkn ole vruuden E = C 1 [, b]; F ) voin osjoukko. Mutt, jos kiinnitetään z E siten, että z) = α j zb) = β, j trkstelln erotuksi y z, niin tehtävä voidn esittää muodoss: on määrättävä y 1 E siten, että { y1 ) = 0, y 1 b) = 0, j Iy 1 + z) Iy + z) kikille y E, joille y) = 0 j yb) = 0. Tässä joukko E 0 := {y E y) = 0 j yb) = 0} on vruuden E suljettu livruus, j siten Bnchin vruus onhn kuvus E R 2, y y), yb)), jtkuv linerikuvus, j trksteltv livruus tämän kuvuksen ydin). Joukko U 0 := {y E 0 y + z U} = U z) E 0 on voin Bnchin vruudess E 0 j kuvus J : U 0 R, y Iy + z), on differentioituv. Jos funktio J svutt minimin pisteessä y 1 U 0, on DJy 1 + z) = 0, t.s. pisteessä y 0 := y 1 + z on DIy 0 )h = 0 kikille h E, joille h) = 0 j hb) = 0. Siis DIy 0 )h = D2 ft, y 0 t), y 0t)) ht) + D 3 ft, y 0 t), y 0t)) h t) ) dt = 0 kikille h E, joille h) = 0 j hb) = 0. Funktion J kriittistä pistettä y 0 U 0 kutsutn vritiointegrlin Iy) ti minimointitehtävän 6.1)) ekstremliksi. Esimerkki 6.6 Jtko). Merkitään At) := D 2 ft, y 0 t), y 0t)) j Bt) := D 3 ft, y 0 t), y 0t)). Huom, että At), Bt) LF ; R) = F. Siis, funktio y 0 on minimointitehtävän 6.1) ekstremli, jos j vin jos y 0 C 1 [, b]; F ), y 0 ) = α j y 0 b) = β j 6.2) At) ht) + Bt) h t) ) dt = 0 kikille h C 1 [, b]; F ), joille h) = 0 j hb) = 0. Osoitetn, että tälle yhtäpitävää on, että B on derivoituv j B t) = At), t.s. 2 Vrtitiolskennn historist ktso Dirk J. Struik toim.): A Source Book in Mthemtics, Princeton University Press, 1969; nidottu 1986) luku V, 20 Bernoullit), 21 Euler) j 22 Lgrnge).

4 6.2. VAPAAT VARIAATIOTEHTÄVÄT 40 Luse 6.7. Funktio y 0 on minimointitehtävän 6.1) ekstremliksi, jos j vin jos y 0 C 1 [, b]; F ), y 0 ) = α j y 0 b) = β j y 0 toteutt Eulerin j Lgrngen differentiliyhtälön D 2 ft, y 0 t), y 0t)) d dt D 3ft, y 0 t), y 0t)) = 0. Jos B on derivoituv j B t) = At), niin At) ht) + Bt) h t) ) dt = B t) ht) + Bt) h t) ) dt = d dt Bt) ht)) dt = b Bt) ht)) = 0, kun h) = 0 j hb) = 0. Eulerin j Lgrngen differentiliyhtälön rtkisut ovt siis vritiointegrlin Iy) ekstremlej. Osoitetn kääntäen, että vritiointegrlin Iy) ekstremlit toteuttvt Eulerin j Lgrngen differentiliyhtälön. Oletetn luksi, että B on jtkuvsti derivoituv. Osittisintegroinnill sdn At) ht) + Bt) h t) ) dt = b b ht) + At) ht) B Bt) t) ht) ) dt. Kosk h) = 0 j hb) = 0, on At) ht) + Bt) h t) ) dt = At) ht) B t) ht) ) dt. Antiteesi: On olemss t 0, b) siten, että Ct 0 ) 0, kun Ct) := B t) At). Tällöin on olemss u 0 F siten, että Ct 0 )u 0 0. Trvittess vihtmll u 0 vstvektorikseen voidn olett, että Ct 0 )u 0 > 0. Kosk C on jtkuv, on olemss δ > 0 siten, että Ct)u 0 > 0, kun t t 0 δ. Olkoon λ: R R C 1 -funktio siten, että λt) = 0, kun t t 0 δ, j λt) > 0, kun t t 0 < δ. Tällöin funktiolle h: [, b] F, ht) := λt)u 0, on Ct)ht) = 0, kun t t 0 δ, j Ct)ht) > 0, kun t t 0 < δ. Tällöin At) ht) + Bt) h t) ) dt = Ct) ht) dt = Tämä on ristiriit ehdon 6.2) knss. t0 +δ t 0 δ Ct) ht) dt > 0 > 0. Luovutn nyt oletuksest, että B on jtkuvsti derivoituv. Olkoon A 1 t) := t At) dt. Tällöin At)ht) = A 1t)ht) = d A dt 1t)ht)) At)h t), joten At) ht) + Bt) h t) ) dt = b b 1 t) ht) + A1 t) h A t) + Bt) h t) ) dt. Ekstremliehdon 6.2) nojll tämän lusekkeen pitäisi hävitä kikille h C 1 [, b]; F ), joille h) = 0 j hb) = 0. Derivtll u := h tämä trkoitt, että u on jtkuv j ut) dt = 0.

5 6.3. ISOPERIMETRINEN ONGELMA 41 Lemm 6.8. Olkoon D : [, b] LF ; R) jtkuv kuvus siten, että Dt) ut) dt = 0 Tällöin D on vkio. kikille u C[, b]; F ), joille ut) dt = 0. Lemmn nojll A 1 t) + Bt) = vkio. Kosk A 1 on jtkuvn kuvuksen integrlifunktion jtkuvsti derivoituv, on B jtkuvsti derivoituv j B t) = A 1t) = At). Luse 6.7 on näin todistettu. Lemmn todistus. Antiteesi: On olemss t 1, t 2, b) siten, että t 1 < t 2 j Dt 1 ) Dt 2 ). Olkoon u 0 F siten, että Dt 1 )u 0 Dt 2 )u 0. Voidn olett, että Dt 1 )u 0 > Dt 2 )u 0. Vlitn d 1, d 2 R siten, että Dt 1 )u 0 > d 1 > d 2 > Dt 2 )u 0. Seurvksi vlitn δ > 0 siten, että Dt)u 0 > d 1, kun t t 1 δ, j d 2 > Dt)u 0, kun t t 2 δ. Lisäksi voidn olett, että t 1 δ < t 1 + δ t 2 δ < t 2 + δ b. Olkoon λ: R R jtkuv funktio siten, että λt) = 0, kun t δ, j λt) > 0, kun t < δ. Tällöin funktiolle µ: [, b] R, µt) := λt t 1 ) λt t 2 ), on µt) > 0, kun t t 1 < δ, µt) < 0, kun t t 2 < δ, j µt) = 0 muuten. Lisäksi µt) dt = 0. Funktiolle u: [, b] F, ut) := µt)u 0, on ut) dt = 0 j Dt) ut) dt = > t1 +δ t 1 δ t1 +δ t 1 δ = d 1 d 2 ) λt t 1 ) Dt) u 0 dt λt t 1 ) d 1 dt δ δ Tämä on ristiriidss oletuksen knss. λt) dt > 0. t2 +δ t 2 δ t2 +δ t 2 δ 6.3. Isoperimetrinen ongelm λt t 2 ) Dt) u 0 dt λt t 2 ) d 2 dt Alkuperäisessä isoperimetriss ongelmss 3 on määrättävä umpininen polku, joll on nnettu pituus, j jonk rjoittm lue on pint-lltn mhdollisimmn suuri. Jos tyydytään trkstelemn läheistä ongelm funktion kuvjille, niin sdn seurvt vritiointegrlit: välillä [, b] määritellyille jtkuvsti derivoituville funktioille y setetn fy) := yx) dx j gy) := 1 + y x)) 2 dx. Kun trkstelln ylemmässä puolitsoss y > 0 sijitsevi kuvji, päädytään tehtävään 3 Ks. esim. Richrd Cournt j Dvid Hilbert: Methoden der Mthemtischen Physik Bnd I kolms litos, Heidelberger Tschenbücher 30, Springer-Verlg, 1968) luku IV, 1 j 7.

6 6.3. ISOPERIMETRINEN ONGELMA 42 on määrättävä funktio y : [, b] R, jok mksimoi funktion f side-ehdoll gy) = l = vkio. Näin muotoiltun tehtävä vikutt klssiselt sidotult äärirvotehtävältä, jollisten rtkisemiseen käytetään Lgrngen kertojien menetelmää [DL2, luse 7.2]. Olkoon M := g 1 l). Oletetn, että funktion f rjoittumll joukkoon M on lokli äärirvo pisteessä y 0. Jäljempänä osoitetn, että jos pisteessä y 0 on Dgy 0 ) 0 luonnollinen vtimus, kun side-ehtoj on yksi), niin y 0 on funktion f λ g vp) ekstremli, t.s. Dfy 0 ) λ Dgy 0 ) = 0. Tätä yhtälöä vstv Eulerin j Lgrngen differentiliyhtälö s muodon λ y x) = y x) 2 3/2 ) Tsokäyrien differentiligeometri tuntev tunnist tästä yhtälöstä ehdon: funktion y kuvjn krevuus on vkio = 1/λ. Etsitty käyrä on siis ympyrän kri. Yleisemmässä muodossn isoperimetriseksi ongelmksi voidn kutsu seurvn tilnteen mukist äärirvo-ongelm: Olkoot F, G: [, b] R n R n R C 1 - funktioit j fy) := F t, yt), y t)) dt, gy) := Trkstelln C 1 -funktioit y : [, b] R n, joille y) = α, yb) = β j gy) = c. Gt, yt), y t)) dt. Olkoon M := g 1 c). Jos f M svutt äärirvon pisteessä y 0 M j Dgy 0 ) 0, niin on olemss λ R siten, että y 0 on vritiointegrlin f λ g ekstremli. Luku λ määrätään ehdon gy 0 ) = c vull Lgrngen kerroin. [2, Ch. 2, HT 6 7]: Olkoot U E voin j g : U R C 1 -funktio. Olkoon M := g 1 c). Oletetn, että pisteessä M on Dg) 0. Olkoot N := ker Dg) j v N. Tällöin jokinen w W on muoto w = u + ϱ v, missä u N j ϱ = Dg)w/Dg)v. Alivruuden N kodimensio on siis yksi. Jos C 1 -polulle γ : δ, δ) E on γ0) = j γt) M kikille t δ, δ), niin gγt)) c, joten Dg)γ 0) = 0. Siis γ 0) N. Kääntäen, olkoon u N, u 0. Sopivss pisteen 0, 0) R 2 ympäristössä B0, 0); r) määritellään Gt, s) := g + t u + s v), Tällöin G0, 0) = g) = c j t, s) B0, 0); r). G G 0, 0) = Dg)u = 0, 0, 0) = Dg)v 0. t s Implisiittifunktioluseen [DL2, luse 3.4] nojll on olemss jtkuvsti differentioituv funktio ϕ: δ, δ) R siten, että g + t u + ϕt) v) = c kikille t δ, δ). Siis polulle γ : δ, δ) E, γt) := + t u + ϕt) v on γt) M kikille t δ, δ) j

7 6.4. GEODEETTISET KÄYRÄT 43 Dg+t u+ϕt) v)u+ϕ t) v) = 0. Erityisesti 0 = Dg)u+ϕ 0) v) = ϕ 0) Dg)v. Kosk Dg)v 0, on ϕ 0) = 0. Siis γ 0) = u. Siis livruus N koostuu kikist sellisten C 1 -polkujen γ : δ, δ) E tngenttivektoreist γ 0) = u, joille γ0) = j γt) M kikille t δ, δ). Snotn, että M on pisteessä sileä Bnchin vruuden E limonisto j sen tngenttivruus pisteessä on T M) = ker Dg). Olkoon myös f : U R C 1 -funktio. Oletetn rjoittumll f M on lokli äärirvo pisteessä. Olkoot u T M) j γ : δ, δ) M C 1 -polku, jolle γ0) = j γ 0) = u. Tällöin funktioll f γ on lokli äärirvo pisteessä t = 0, joten f γ) 0) = 0, t.s. 0 = Dfγ0))γ 0) = Df)u = 0. Siis T M) ker Df). Osoitetn, että jos linerimuodoille Df), Dg) LE; R) on ker Dg) ker Df), niin on olemss λ R siten, että Df) = λ Dg). Olkoon w E. Tällöin w = u+ϱ v, missä u N = ker Dg) j ϱ = Dg)w/Dg)v. Siis Df)u = 0 j Df)w = Df)u + ϱ Df)v = ϱ Df)v = Df)v Dg)v Dg)w, joten Df) = λ Dg), kun λ := Df)v/Dg)v. Yhteenveton: Luse 6.9. Olkoot U E voin j f, g : U R C 1 -funktioit. Oletetn, että i) piste U, c := g), M := g 1 c); ii) pisteessä M on Dg) 0; iii) funktion f rjoittumll f M on pisteessä lokli äärirvo. Tällöin on olemss λ R Lgrngen kerroin) siten, että Df) = λ Dg) Geodeettiset käyrät [2, Ch. 2, 2.6; HT 13], [14, Ch. VII, 7; Ch. VIII, 4; ym] Olkoot H j H Hilbertin vruuksi, U H voin sekä ϕ: U H jolle i) ϕ: U ϕu) =: M on homeomorfismi; ii) Dϕx): H H on injektio kikille x U; iii) livruus M ϕx) := Dϕx)H) H on suljettu kikille x U. C 3 -kuvus, Kuvjoukko M = ϕu) on Hilbertin vruuden H limonisto j kuvus ϕ: U M sen prmetriesitys vrt. [DL2, määr. 4.1], lkeispint). Alivruus M p = Dϕx)H) H on limoniston M tngenttivruus pisteessä p = ϕx). C 1 -polun γ : [, b] H pituus on lγ) := γ t) dt. Jokinen polku γ : [, b] M voidn esittää muodoss γ = ϕ u, missä u: [, b] U. Olkoon nyt u: [, b] U C 2 -polku. Polun γ := ϕ u: [, b] M pituus on lγ) = Dϕut)) u t) dt. Kuvus H H R, v 1, v 2 ) Dϕx) v 1 Dϕx) v 2 ), on symmetrinen jtkuv bilinerikuvus, joten Fréchet n j Rieszin esitysluseen nojll on olemss symmetrinen jtkuv linerikuvus gx): H H siten, että gx)v 1 v 2 ) = Dϕx) v 1 Dϕx) v2 ), x U, v 1, v 2 H.

8 6.4. GEODEETTISET KÄYRÄT 44 Kosk ϕ on C 3 -kuvus, on g C 2 -kuvus äärellisulotteisess tpuksess tämä on helppo nähdä). Kuvus g on limoniston metriikk ti äärellisulotteisess tpuksess vnhhtvlt nimeltään metrinen perustensori). Polun γ = ϕ u pituus on lγ) = gut)) u t) u t)) dt. Kun merkitään fx, y) := gx) y y), on lϕ u) = fut), u t)) dt. Olkoot p, q M, j oletetn, että polku u minimoi krenpituuden lϕ u) kikkien sellisten C 2 -polkujen u: [, b] U joukoss, missä u) = p j ub) = q. Tällöin u toteutt Eulerin j Lgrngen differentiliyhtälön t.s. d f dt y ut), u t)) f x ut), u t)) = 0, EL := 2 f y 2 ut), u t))u t) + 2 f x y ut), u t))u t) f x ut), u t)) = 0. Huom, että tämä on vruuden LH; R) kuvuksi koskev yhtälö. Vsemmn puolen linerikuvuksen EL tulee siis toteutt ELη) = 0 kikille η H. Tässä f f x, y)ξ = Dgx)ξ)y y), x 2 f x, y)ξ, η) = 2Dgx)ξ)y η), x y x, y)η = 2gx)y η) y 2 f x, y)ξ, η) = 2gx)ξ η). y2 Kun Eulerin j Lgrngen yhtälö kerrotn puolittin vektorill η H = lsketn ELη)), sdn yhtälö 6.3) 2 gut))u t) η ) + 2 Dgut))u t))u t) η ) Dgut))η)u t) u t) ) = 0. Yhtälö on muoto 2gx)ξ η) + 2Dgx)y)y η) Dgx)η)y y) = 0, missä x = ut), y = u t) j ξ = u t). Fréchet n j Rieszin esitysluseen nojll on olemss c x y) H siten, että c x y) η) = Dgx)η)y y) kikille η H. Eulerin j Lgrngen yhtälö on siis yhtäpitävä yhtälön gx)ξ + Dgx)y)y 1 2 c xy) = 0, knss, missä x = ut), y = u t) j ξ = u t). Kuvuksen y c x y) määrittelevän yhtälön nojll y c x y) on homogeeninen toisen steen polynomi. Smoin on y Dgx)y)y. Siis on olemss symmetrinen bilinerikuvus C x : H H H siten, että 4 C x y, y) = Dgx)y)y 1 2 c xy). Yhtälö 6.3) voidn nyt esittää muodoss gut))u t) + C ut) u t), u t)) = 0. 4 Jos c x y, z) määritellään yhtälön c x y, z) η) = Dgx)η)y z), η H, vull, niin kuvuksen gx) symmetrin nojll on c x y, z) = c x z, y). Siis c x y) = ) c x y, y). Kuvus y Dgx)y)y symmetrisoituu helpommin: y, z) 1 2 Dgx)y)z + Dgx)z)y.

9 6.4. GEODEETTISET KÄYRÄT 45 Kosk derivtn Dϕx) kuvjoukko Dϕx)H) H on suljettu, on gx): H H isomorfismi, joten yhtälö 6.3) voidn esittää muodoss 6.4) u t) = gut))) 1 C ut) u t), u t)) = Γ ut) u t), u t)), kun Γ x y, z) := gx)) 1 C x y, z), x U, y, z H. Yhtälön 6.4) rtkisujen eli krenpituusintegrlin lϕ u) ekstremlien) määräämiä käyriä γ = ϕ u kutsutn limoniston M geodeettisiksi poluiksi ti geodeeseiksi). Tvllisten differentiliyhtälöiden rtkisuteori tk, että yhtälöllä 6.4) on yksi j vin yksi rtkisu, jok toteutt nnetut lkuehdot u0) = u 0, u 0) = u 0. Tähän trvitn oletust ϕ on C 3 -kuvus; kuvus x Γ x on tällöin C 1 -kuvus.) Siirrettynä limonistolle M tämä trkoitt, että limoniston M jokisen pisteen p kutt kulkee yksi j vin yksi geodeettinen polku, joll lkuhetkellä on nnettu lkunopeus. Huomttvsti vikempi ongelm on osoitt, että kksi riittävän lähellä toisin olev pistettä voidn yhdistää geodeettisell polull puhumttkn sen selvittämisestä, milloin pitkin geodeettist polku on kuljettu liin pitkälle ). Ktsotn vielä, miltä yhtälö 6.3) näyttää, kun H = R n. Olkoon linerikuvuksen gx) mtriisi g i,j x)) n i,j=1. Tällöin g i,j x) = j ϕx) i ϕx)) j Dgx)ξ on mtriisi, jonk lkio pikss i, j) on n k=1 kg i,j x)ξ k. Kun vlitn η = e i, s yhtälö 6.3) muodon muuttujt jätetään yksinkertisuuden vuoksi merkitsemättä) 2 j g i,j u j + 2 k,j k g i,j u k u j k,j i g k,j u j u k = 0. Tässä keskimmäinen summ voidn esittää muodoss k,j kg i,j u k u j+ k,j jg i,k u j u k, joten päädytään yhtälöön ) 6.5) g i,j u j + 1 k g 2 i,j + j g i,k i g k,j u j u k = 0. j k,j Jos vielä mtriisin g i,j x)) i,j käänteismtriisi merkitään g l,k x)) l,k j Γ l k,j := 1 g ) l,i 2 k g i,j + j g i,k i g k,j, niin sdn 6.6) u l + k,j i Γ l k,j u j u k = 0. Funktioit Γ l k,j kutsutn metriikn g j,k) j,k Christoffelin toisen ljin symboleiksi j funktioit [k j, i] := k g i,j + j g i,k i g k,j Christoffelin ensimmäisen ljin symboleiksi it turns out tht the exposition gins considerbly from the systemtic elimintion of the indiscriminte use of locl coordintes x 1,..., x n nd dx 1,..., dx n.... nothing is lost, nd much is gined, by expressing one s geometric thoughts without hiding them under n irrelevnt formlism. [14, esipuhe].