Riemannin integraalista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Riemannin integraalista"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010

2 2

3 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin integrlist Pro grdu -tutkielm, 46 s. Mtemtiikk Syyskuu 2010 Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko, jok kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. Hän omksui iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä j ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Tutkielmn luksi perehdytään l- j yläsummn käsitteisiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Tutkielmss käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuusominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnnintegroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Asisnt: Riemnnin integrli, lsumm, yläsumm, lintegrli, yläintegrli. 3

4 4

5 Sisältö 1 Johdnto 7 2 Vlmistelevi trksteluj 8 3 Riemnnin integrli Alsumm j yläsumm Ylä- j lintegrlit Riemnnin integrlin määritelmä Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist Riemnnin kriteeri integroituvuudelle Riemnnin integrlin ominisuuksi Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus Integrlin olemssolost Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi Viitteet 46 5

6 6

7 1 Johdnto Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko (ks. [2, s. 763]). Hän kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. (Ks. [2, s. 774]) luvull Bernhrd Riemnn omksui uudenlisen j iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä. Hän ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Bernhrd Riemnnin esimerkkiä seursivt uset muut mtemtikot, jolloin syntyi useit erilisi integrliteorioit. Näistä minittkoon Riemnn-Stieltjesin integrli j Lebesquen integrli, vrt. [1, s. 234,239]. Luvuss 2 käydään läpi tutkielmn iheen knnlt keskeisimmät käsitteet, kuten infimum j supremum. Lisäksi esitetään rj-rvon j jtkuvuuden määritelmät j eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettyjen luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Luvuss 3 käsitellään Riemnn-integroituvuutt. Aluksi perehdytään lj yläsummn käsitteisiin j keskeisimpiin l- j yläsummn ominisuuksiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit. Lopuksi esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuus-ominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että integroituvn positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnn-integroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Lukijlt edellytetään rj-rvon perusominisuuksien j ε-δ -tekniikn hllint. Lisäksi lukijlt edellytetään nlyysin peruskurssien sisällön tun- 7

8 temust j erityisesti infimumin j supremumin käsitteiden ymmärtämistä. Lähdeteoksen käytetään pääsiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teost Introduction to Rel Anlysis. Willim F. Trenchin teost Introduction to Rel Anlysis on käytetty eräissä kohdiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teoksen rinnll. 2 Vlmistelevi trksteluj Tässä luvuss esitellään Riemnnin integrlin määrittelemisessä trvittvi keskeisiä käsitteitä. Lisäksi esitetään eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettävien luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Määritellään ensin, mitä trkoitetn rjoitetull funktioll j rjoitetull välillä. Tämän jälkeen määritellään käsitteet infimum j supremum. Määritelmä 2.1. [1, s. 59] Piste x R on joukon S R ksutumispiste, jos pisteen x jokinen ε -ympäristö V ε = (x ε,x + ε) sisältää vähintään yhden pisteestä x erovn pisteen. Määritelmä 2.2. [1, s. 120] Olkoon A R. Olkoon f : A R funktio j olkoon c R joukon A ksutumispiste. Funktion f snotn olevn rjoitettu pisteen c ympäristössä, jos on olemss sellinen pisteen c ympäristö U j sellinen vkio M > 0, että f(x) M kikill x A U. Määritelmä 2.3. [1, s. 46] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Luvun u R snotn olevn joukon S ylärj, jos s u kikill luvuill s S. 2. Luvun w R snotn olevn joukon S lrj, jos w s kikill luvuill s S. Huomutus 2.1. [1, s. 46] Jos joukoll S on yksi ylärj, niin sillä on äärettömän mont ylärj. Nimittäin, jos u on joukon S ylärj j v > u, niin tällöin myös v on joukon S ylärj. Smoin voidn todet, että mikäli joukoll S on yksi lrj, niin tällöin sillä on äärettömän mont lrj. 8

9 Huomutus 2.2. [1, s. 47] Snotn, että joukko S R on ylhäältä rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin ylärj. Smoin, joukko S R on lhlt rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin lrj. Mikäli joukoll S on sekä ylärj että lrj, snotn, että joukko S on rjoitettu. Mikäli joukoll ei ole ylä- ti lrj, snotn, että joukko on rjoittmton. Määritelmä 2.4. [1, s. 47] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Jos joukko S on ylhäältä rjoitettu, sen ylärjn u snotn olevn joukon S supremum eli joukon S pienin ylärj, mikäli u on pienempi kuin mikään muu joukon S ylärj. 2. Jos joukko S on lhlt rjoitettu, sen lrjn w snotn olevn joukon S infimum eli joukon S suurin lrj, mikäli w on suurempi kuin mikään muu joukon S lrj. Huomutus 2.3. Supremumin määritelmä voidn muotoill myös seurvsti [1, s. 47]: Luku u R on joukon S R supremum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että s u. 2. Jos s v kikill s S, niin u v. Infimumin määritelmä voidn muotoill vstvll tvll. Luku w R on joukon S R infimum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että w s. 2. Jos x s kikill s S, niin x w. Määritelmä 2.5. [1, s. 166] Olkoon A R j olkoon funktio f : A R. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä A, jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ(ε) > 0, että kikill x,u A, kun x u < δ(ε), niin f(x) f(u) < ε. Luse 2.1. [1, s. 167]Olkoon I suljettu j rjoitettu väli j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. 9

10 Todistus. Ks. [1, s. 167]. Osoitetn seurvksi kksi luonnollisten lukujen ominisuutt, joit tulln trvitsemn myöhemmin esimerkeissä 3.3 j 3.4, joiss esitellään joitin Riemnn-integroituvi funktioit. Apuluse 2.2. Vrt. [1, s. 20] Kikill luvuill m N pätee, että m = m(m + 1). 2 Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä 1(1 + 1)/2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että k = k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, eli k + (k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-oletuksen perusteell sdn, että k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1). Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: k(k + 1) 2 + (k + 1) = = = = k(k + 1) 2(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) 2 (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. Apuluse 2.3. Vrt. [1, s. 22, t ] Kikill luvuill m N pätee, että m 3 = [ ] 2 1 m(m + 1). 2 10

11 Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä [ 1 2 1(1+1)]2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että k 3 = [ ] 2 1 k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, j tällöin { k 3 + (k + 1) 3 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Induktio-oletuksen perusteell sdn, että [ ] k 3 + (k + 1) 3 = k(k + 1) + (k + 1) 3. 2 Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: [ ] 2 1 k(k + 1) + (k + 1) 3 = k2 (k + 1) 2 + (k + 1)(k + 1) 2 [ ] 1 = (k + 1) 2 4 k2 + (k + 1) = 1 4 (k + 1)2 (k 2 + 4k + 4) = 1 4 (k + 1)2 (k + 2) 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. = 1 4 (k + 1)2[ (k + 1) + 1 ] 2 { 1 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Luse 2.4. [1, s. 20] Jos luku R on sellinen, että 0 < ε jokisell ε R, niin = 0. Todistus. Ks. [1, s. 36] Apuluse 2.5. [1, s. 54, t ] Olkoon joukko S R rjoitettu j epätyhjä. 1. Olkoon > 0 j olkoon S = {s s S}. Tällöin () inf(s) = inf S j 11

12 (b) sup(s) = sup S. 2. Olkoon b < 0 j olkoon bs = {bs s S}. Tällöin () inf(bs) = b sup S j (b) sup(bs) = b inf S. Todistus. 1. () Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että x w kikill x S. Näin ollen luku w on joukon S lrj j siis inf(s) w. Olkoon p mikä thns joukon S lrj. Tällöin x p kikill x S. Tästä seur, että x p/ kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w p/ j siis w p. On siis osoitettu, että inf(s) = w = inf S. (b) Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että x u kikill x S. Näin ollen luku u on joukon S ylärj j siis sup(s) u. Olkoon v mikä thns joukon S ylärj. Tällöin x v kikill x S. Tästä seur, että x v/ kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u v/ j siis u v. On siis osoitettu, että sup(s) = u = sup S. 2. () Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että bx bu kikill x S. Näin ollen luku bu on joukon bs lrj j siis inf(bs) bu. Olkoon w mikä thns joukon bs lrj. Tällöin bx w kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x w/b kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u w/b j siis bu w. On siis osoitettu, että inf(bs) = bu = b sup S. (b) Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että bx bw kikill x S. Näin ollen luku bw on joukon bs ylärj j siis sup(bs) bw. Olkoon u mikä thns joukon bs ylärj. Tällöin bx u kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x u/b kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w u/b j siis bw u. On siis osoitettu, että sup(bs) = bw = b inf S. 12

13 Apuluse 2.6. [1, s. 54, t ] Olkoon joukko X epätyhjä j olkoot f j g funktioit joukolt X joukkoon R. Tällöin 1. sup{f(x) + g(x) x X} sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X} j 2. inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X} inf{f(x) + g(x) x X}. Todistus. 1. Olkoon sup{f(x) x X} = u j olkoon sup{g(x) x X} = v. Tällöin f(x) u j g(x) v kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) u + v kikill x X. Näin ollen luku u + v on joukon {f(x) + g(x) x X} ylärj j siis sup{f(x) + g(x) x X} u + v = sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X}. 2. Olkoon inf{f(x) x X} = p j olkoon inf{g(x) x X} = q. Tällöin f(x) p j g(x) q kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) p+q kikill x X. Näin ollen luku p+q on joukon {f(x)+g(x) x X} lrj j siis inf{f(x) + g(x) x X} p + q = inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X}. 3 Riemnnin integrli Tässä luvussss määritellään lintegrli j yläintegrli rjoitetulle funktiolle, rjoitetull j suljetull välillä. Al- j yläintegrlin käsitteet ovt keskeisiä Riemnnin integrlin knnlt, sillä funktiot, jonk l- j yläintegrlien rvot ovt smt, kutsutn Riemnn-integroituvksi j ylä- j lintegrlin rvo funktion Riemnnin integrliksi. Riemnnin integrlin määritelmä esitetään luvuss 3.3. Alintegrlin j yläintegrlin määrittelemisen knnlt on tärkeää tunte l- j yläsummn käsitteet. Tämän vuoksi luvuss 3.1 perehdytään ensin trvittviin merkintöihin j käytössä oleviin nimityksiin j sitten l- j yläsummn käsitteisiin j niiden tärkeimpiin ominisuuksiin. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi muutmi Riemnn-integroituvi funktioit. Esimerkeissä osoitetn, että funktiot f(x) = c, f(x) = x j f(x) = x 3 ovt integroituvi välillä [0, 1]. 13

14 Luvuss 3.5 esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Tämän kriteerin perusteell voidn perehtyä trkemmin siihen, milloin Riemnnin integrli on olemss. 3.1 Alsumm j yläsumm Alsummn j yläsummn määrittämiseksi suljettu j rjoitettu väli jetn osväleihin. Aloitetn perehtymällä siihen, mitä välin joll trkoitetn. Trkstelln suljettu j rjoitettu väliä I = [,b] R. Välin I jko on äärellinen j järjestetty joukko P = (x 0,x 1,...,x n ), missä x 0,x 1,...,x n ovt välin I pisteitä siten, että = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Jon P vull väli I voidn siis jk osväleihin [x 0,x 1 ], [x 1,x 2 ],...,[x n 1,x n ], jotk eivät ole päällekäisiä. Olkoon nyt funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin, kun k = 1, 2,..., n, määritellään m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}. Tämän jälkeen voidn esittää kvt l- j yläsummn lskemiseen. Funktion f jko P vstv lsumm L(P; f) määritellään kvll L(P;f) = m k (x k x k 1 ) j funktion f jko P vstv yläsumm U(P; f) määritellään kvll U(P;f) = M k (x k x k 1 ). Huomutus 3.1. Mikäli funktio f on positiivinen, lsumm L(P;f) voidn kuvt geometrisesti sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on m k. Vstvsti yläsumm U(P;f) voidn kuvt sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on M k. Tätä hvinnollistetn esimerkissä

15 Esimerkki 3.1. Olkoon I = [0.5, 3] j olkoon P = (0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0) välin I jko. Trkstelln funktiot f(x) = 1/x, jok on välillä I = [0.5, 3] jtkuv j s positiivisi rvoj. Alsumm voidn kuvt geometrisesti kuten kuvss 1. y 2 y = 1 x x Kuv 1. Alsumm L(P;f). Funktion f yläsumm hvinnollist kuv 2. y 2 y = 1 x x Kuv 2. Yläsumm U(P;f). Esimerkin 3.1 perusteell näyttäisi vhvsti siltä, että lsumm on pienempi ti yhtäsuuri kuin yläsumm. Osoitetn seurvksi, että näin todell on. Luse 3.1. Vrt. [1, s. 236] Jos funktio f : I R on rjoitettu j P on välin I mikä thns jko, niin silloin L(P;f) U(P;f). 15

16 Todistus. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P := (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin luonnollisesti x k x k 1 > 0, kun k = 1, 2,...,n. Toislt termien m k j M k määrittelyn j määritelmän 2.4 perusteell m k M k, kun k = 1, 2,...,n. Tästä seur, että L(P;f) = m k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ) = U(P;f). Seurvksi perehdytään siihen, mitä trkoitetn jon tihennyksellä. Olkoot P = (x 0,x 1,...,x n ) j Q = (y 0,y 1,...,y m ) välin I jkoj. Jko Q on jon P tihennys, jos jokinen jon P piste x k P, kun k = 1, 2,...,n kuuluu myös jkoon Q, eli P Q. Jon P tihennys Q sdn siis lisäämällä äärellinen määrä pisteitä jkoon P. Tällöin voidn jokinen jon P muodostmist osväleistä [x k 1,x k ] kirjoitt sellisten välien yhdisteenä, joiden päätepisteet ovt jon Q pisteitä, eli [x k 1,x k ] = [y j 1,y j ] [y j,y j+1 ] [y h 1,y h ]. Osoitetn seurvksi, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Luse 3.2. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P on välin I jko j jos Q on jon P tihennys, niin silloin L(P;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P;f). Todistus. Vrt. [1, s. 237] Osoitetn ensin, että lsumm ksv, kun jko tihennetään. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ). Lisätään jkoon P yksi piste z I siten, että x k 1 < z < x k. Tällöin sdn jko P = (x 0,x 1,...,x k 1,z,x k,...,x n ). Olkoon m k = inf{f(x) x [x k 1,z]} j m k = inf{f(x) x [z,x k ]}. 16

17 Tällöin, kosk m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell m k m k j m k m k. Tästä seur, että m k (x k x k 1 ) = m k (z x k 1 ) + m k (x k z) m k(z x k 1 ) + m k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit m j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn L(P;f) = m k (x k x k 1 ) m 1 (x 1 x 0 ) + + m k(z x k 1 ) + m k(x k z) + + m n (x n x n 1 ) = L(P ;f). Jon P tihennys Q sdn lisäämällä jkoon P äärellinen määrä pisteitä, yksi piste kerrlln. Kun toistetn edellä esitettyä menettelyä, päädytään tulokseen L(P;f) L(Q;f). Osoitetn seurvksi, että yläsumm pienenee, kun jko tihennetään. Oletetn ensin, että P on kuten edellä. Olkoot M k = sup{f(x) x [x k 1,z]} j M k = sup{f(x) x [z,x k ]}. Tällöin, kosk M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell M k M k j M k M k. Tästä seur, että M k (x k x k 1 ) = M k (z x k 1 ) + M k (x k z) M k(z x k 1 ) + M k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit M j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) M 1 (x 1 x 0 ) + + M k(z x k 1 ) + M k(x k z) + + M n (x n x n 1 ) = U(P ;f). Lisätään jkoon P jälleen yksitellen pisteitä siten, että sdn muodostettu tihennys Q j toistetn edellistä menettelyä yläsummn suhteen. Tällöin päädytään tulokseen U(Q;f) U(P;f). 17

18 Edellä on siis osoitettu, että lsumm on pienempi kuin yläsumm, kun summt on muodostettu käyttäen sm jko. Lisäksi on osoitettu, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Osoitetn seurvksi, että lsumm on pienempi kuin yläsumm myös silloin, kun lj yläsumm on muodostettu käyttämällä eri jkoj. Luse 3.3. Vrt. [1, s. 238] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P 1 j P 2 ovt kksi välin I mielivltisesti vlittu jko, niin L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Todistus. Vrt. [1, s. 238] Olkoon Q = P 1 P 2, eli sellinen jko, jok sdn yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Tällöin Q on siis sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys. Luseest 3.2 seur, että L(P 1 ;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P 2 ;f). Luseen 3.1 perusteell L(Q; f) U(Q; f). Näin ollen L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). 3.2 Ylä- j lintegrlit Tässä luvuss tutustutn käsitteisiin lintegrli j yläintegrli. Merkinnällä P(I) trkoitetn joukko, johon kuuluvt kikki välin I jot. Jos funktio f : I R on rjoitettu, niin jokinen jko P P(I) määrää kksi luku: lsummn L(P;f) j yläsummn U(P;f). Tästä seur, että joukko P(I) määrää kksi lukujoukko: Toinen lukujoukoist muodostuu lsummist L(P;f), kun P P(I), j sitä merkitään {L(P;f) P P(I)}. Toinen lukujoukko vstvsti muodostuu yläsummist U(P; f), kun P P(I), j sitä merkitään {U(P;f) P P(I)}. Luseen 3.3 tuloksest seur, että mikä thns yläsumm on ylärj lsummien joukolle {L(P;f) P P(I)} j mikä thns lsumm on lrj yläsummien joukolle {U(P;f) P P(I)}. Tämä joht seurvn määritelmään. 18

19 Määritelmä 3.1. [1, s. 238] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Funktion f lintegrli välillä I on luku L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, j funktion f yläintegrli on luku U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}. Huomutus 3.2. [1, s. 238] Trkstelln seurvksi välin I = [, b] trivili jko, jok muodostuu vin pisteistä j b. Olkoot m I = inf{f(x) x I} j M I = sup{f(x) x I}. Kosk funktio f on rjoitettu, luvut m I j M I ovt vrmsti olemss. Trivili jko vstv lsumm on m I (b ) j yläsumm on M I (b ). Luseiden 3.2 j 3.3 perusteell kikill joill P P(I) pätee, että m I (b ) L(P;f) U(P;f) M I (b ). Trkstelemll trivili jko voidn todet, että l- j yläintegrlit ovt olemss j lisäksi huomtn, että m I (b ) L(f) M I (b ) j m I (b ) U(f) M I (b ). Luse 3.4. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin funktioll f on olemss lintegrli L(f) j yläintegrli U(f) välillä I j L(f) U(f). Todistus. [1, s. 239] Olkoot P 1 j P 2 välin I mielivltisi jkoj. Luseest 3.3 seur, että L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Tällöin U(P 2 ;f) on siis joukon {L(P;f) P P(I)} ylärj. Kosk L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, se toteutt ehdon L(f) U(P 2 ;f). Kosk P 2 on välin I mielivltinen jko, voidn todet, että L(f) on joukon {U(P;f) P P(I)} lrj. Nyt, kosk U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}, niin myös sen täytyy totutt ehto L(f) U(f). 19

20 3.3 Riemnnin integrlin määritelmä Luseess 3.4 osoitettiin, että yläintegrli U(f) j lintegrli L(f) ovt in olemss, jos I on suljettu j rjoitettu väli j funktio f : I R on rjoitettu. Lisäksi osoitettiin, että L(f) U(f). Tässä luvuss perehdytään sellisten funktioiden luokkn, joille L(f) = U(f). Tällisi funktioit kutsutn Riemnn-integroituviksi j lintegrlin L(f) j yläintegrlin U(f) rvo funktion f Riemnnin integrliksi välillä I. Toislt huomtn, että on olemss myös sellisi funktioit, joille L(f) < U(f). Tälliset funktiot eivät ole Riemnn-integroituvi. Määritelmä 3.2. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R rjoitettu funktio. Funktion f snotn olevn Riemnn-integroituv välillä I, jos L(f) = U(f). Tällöin l- j yläsummn rvo L(f) = U(f) kutsutn funktion f Riemnnin integrliksi välillä I j sitä merkitään f ti f(x)dx. Lisäksi määritellään, että f = b f j f = 0. Huomutus 3.3. [1, s. 239] Määritelmän 3.2 perusteell voidn siis todet, että mikäli funktion Riemnn-integrli on olemss jollin välillä I, sen rvo on yksikäsitteinen reliluku ylä- j lsummien välissä. Huomutus 3.4. Relisess nlyysissä on useit eri integrliteorioit, joist Riemnnin integrliteori on vin yksi. Kosk tämä tutkielm keskittyy vin Riemnnin integrliteorin, jtkoss termeillä integrli j integroituvuus viittn Riemnnin integrliin j Riemnnin integroituvuuteen, lähdeteoksen tp noudtten. Huomutus 3.5. Ks. [4, s. 120] Funktion f lintegrlist välillä [, b] voidn myös käyttää merkintää 20 f.

21 Vstvsti, funktion f yläintegrlist välillä [, b] voidn käyttää merkintää 3.4 Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist Seurvksi perehdytään esimerkkien vull erilisiin integroituviin funktioihin. Esimerkki 3.2. [1, s. 240] Osoitetn, että vkiofunktio on integroituv. Olkoon f(x) = c, kikill x I = [,b]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, missä x 0 = j x n = b. Tällöin m k = M k = c, kikill k = 1, 2,...,n. Funktion f jko P vstvksi lsummksi sdn f. L(P;f) = m k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Funktion f jko P vstvksi yläsummksi sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Näin ollen, kosk L(P; f) = U(P; f), funktio f on integroituv välillä I j f(x)dx = c dx = c(b ). Esimerkki 3.3. [1, s. 240] Osoitetn, että funktio f(x) = x on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] sellinen jko, että P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, joten m k = k 1 n j M k = k n. 21

22 Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = n n n 1 n 2 = ( (n 1))/n 2. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = M k (x k x k 1 ) = 1 n n n n 2 = ( n) /n 2. Apuluseess 2.2 osoitettiin, että m = m(m + 1)/2, kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi ( ) (n 1)(n 1 + 1) 1 L(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 n = n 2 2 j yläsummksi ( ) n(n + 1) 1 U(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 + n = n 2 2 ( 1 1 ) n ( ). n Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 2 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 2. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = x dx = 1 2.

23 Esimerkki 3.4. [1, s. 244, t.6.1.5] Osoitetn, että funktio f(x) = x 3 on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] jko kuten esimerkissä 3.3, eli P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, eli m k = ( k 1 n )3 j M k = ( k n )3. Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = 0 + ( ) n n + ( ) n n + + = [ (n 1) 3] /n 4. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = = M k (x k x k 1 ) ( 1 n ) 3 1 n + ( ) n n + + = [ n 3] /n 4. ( n 1 n ( ) 3 n 1 n n Apuluseess 2.3 osoitettiin, että m 3 = kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi [ ] L(P n ;f) = (n 1)[(n 1) + 1] 2 n 4 = 1 4n 4(n 1)2 (n) 2 = 1 2n + 1) 4n 2(n2 = n + 1 4n ) 3 1 n [ 1 2 m(m + 1) ] 2,

24 Yläsummksi sdn [ ] U(P n ;f) = (n)(n + 1)] 2 n 4 = 1 (n + 1) 2 4n 4(n)2 = 1 + 2n + 1) 4n 2(n2 = n + 1 4n 2. Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 4 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 4. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = 1 0 x 3 dx = 1 4. Esitetään seurvksi esimerkki funktiost, jok ei ole integroituv. Tämä sm esimerkki löytyy useist nlyysi käsittelevistä teoksist (ks. myös [4, s. 122]). Esimerkki 3.5. [1, s. 241] Olkoon väli I = [0, 1] j olkoon funktio f : I R Dirichlet n funktio, jok määritellään seurvsti: { 1, jos x on rtionlinen, f(x) = 0, jos x on irrtionlinen. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I mikä thns jko. Kosk mikä thns trivilist välistä poikkev väli sisältää sekä rtionli- että irrtionlilukuj (ks. [1, s. 53]), sdn, että m k = 0 j M k = 1, jolloin L(P;f) = 0 j U(P;f) = 1. Tästä seur, että L(f) = 0 j U(f) = 1. Kosk L(f) U(f), niin funktio f ei ole integroituv välillä [0, 1]. 24

25 3.5 Riemnnin kriteeri integroituvuudelle Luvun 3.4 esimerkkien perusteell huomtn, että integroituvuutt käsitellessä nousee esille kksi merkittävää kysymystä. Ensimmäiseksi herää kysymys, onko jollekin funktiolle olemss integrlifunktio j toiseksi, kuink integrlin rvo voidn määrittää. Perehdytään seurvksi lisää kysymykseen integrlin olemssolost j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luse 3.5. [1, s. 242] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Todistus. [1, s. 242] Oletetn ensin, että funktio f on integroituv, j osoitetn, että tällöin on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Integroituvuudest seur, että L(f) = U(f). Olkoon ε > 0. Määritelmän 3.1 perusteell on olemss sellinen välin I jko P 1 että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f). Smoin on olemss sellinen välin I jko P 2 että U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Olkoon jko P ε = P 1 P 2. Tällöin P ε on sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys j luseen 3.2 perusteell L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) j U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Luseen 3.3 perusteell L(P ε ;f) U(P ε ;f), jolloin sdn, että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. 25

26 Kosk L(f) = U(f), niin vrmsti U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Oletetn sitten, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε, j osoitetn, että tällöin funktio f on integroituv välillä I. Huomioidn ensin, että millä thns välin I joll P pätee, että L(P;f) L(f) j siis L(f) L(P;f). Smoin millä thns välin I joll P pätee, että U(f) U(P;f). Tällöin U(f) L(f) U(P;f) L(P;f). Oletetn, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε siten, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Tällöin U(f) L(f) U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Kosk ε > 0 on vlittu mielivltisesti, niin luseen 2.4 perusteell voidn päätellä, että U(f) L(f). Toislt, luseen 3.4 perusteell L(f) U(f). Täytyy siis oll, että L(f) = U(f). Tällöin funktio f on integroituv. Seurus 3.6. [1, s. 243] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Jos joukko {P n n N} on välin I jkojen joukko siten, että niin funktio f on integroituv j lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = 0, n lim L(P n;f) = n Todistus. Seur suorn luseest 3.5. f = lim n U(P n ;f). Esimerkki 3.6. [1, s. 244] Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.3 lskelmien perusteell lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n 1 = lim n n = [ ( ) 1 ( 1 1 ) ] 2 n 2 n

27 Tällöin sdn, että xdx = lim U(P n ;f) = lim n n 2 ( ) = 1 n 2. Esimerkki 3.7. Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x 3. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.4 lskelmien perusteell [ 1 lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n n + 1 4n ( n + 1 ] 4n 2) 1 = lim n n = 0. Tällöin sdn, että 1 [ 1 x 3 dx = lim U(P n ;f) = lim n n n + 1 ] = 1 4n Riemnnin integrlin ominisuuksi Tässä luvuss käsitellään Riemnnin integrlin ominisuuksi, kuten linerisuutt j positiivisuutt. Lisäksi osoitetn, että monotoniset j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Tämän perusteell voidn todet, että Riemnnin integrli voidn määrittää suurelle luoklle rjoitettuj funktioit. 4.1 Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus Riemnnin integrlin linerisuudell viittn usein luseen 4.1 ntmiin ominisuuksiin. Luse 4.1. [1, s. 245] Olkoon I = [,b] j olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I. Jos k R, niin funktiot kf j f + g ovt integroituvi välillä I j (1) (2) kf = k (f + g) = f f + g. 27

28 Todistus. 1. Jos k = 0, niin kf = 0 j väite on trivilisti tosi. Trkstelln tpust k < 0. Vrt.[1, s. 244]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j = k M j seur, että L(P,kf) = m j (x j x j 1 ) = = k j=1 k M j (x j x j 1 ) j=1 M j (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = ku(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j. Muodostetn seurvksi funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j = k m j seur, että U(P,kf) = M j (x j x j 1 ) = = k j=1 k m j (x j x j 1 ) j=1 m j (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 28

29 On siis osoitettu, että U(P,kf) = kl(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{kl(p;f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = ku(f) = kl(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k Trkstelln sitten tpust k > 0. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, kuten edellä. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j,kf = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j,f. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j,kf = k m j,f seur, että L(P,kf) = = = k f. m j,kf (x j x j 1 ) j=1 k m j,f (x j x j 1 ) j=1 m j,f (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = kl(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{kl(p,f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). 29

30 Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j,kf = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j,f Muodostetn funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j,kf = k M j,f seur, että U(P,kf) = = = k M j,kf (x j x j 1 ) j=1 k M j,f (x j x j 1 ) j=1 M j,f (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että U(P,kf) = ku(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = kl(f) = ku(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k 2. [1, s. 246] Luseen 2.6 perusteell inf{f(x) x [x j 1,x j ]} + inf{g(x) x [x j 1,x j ]} inf{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]} j sup{f(x) x [x j 1,x j ]} + sup{g(x) x [x j 1,x j ]} sup{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]}. f. 30

31 Tällöin lsummn j yläsummn määrittelystä seur, että millä thns välin I joll P P(I) pätee, että L(P,f) + L(P,g) L(P,f + g) j U(P,f + g) U(P,f) + U(P,g). Vlitn nyt mielivltinen ε > 0. Kosk funktio f on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 1,ε, että U(P 1,ε,f) L(P 1,ε,f) ε. Smoin, kosk funktio g on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 2,ε, että U(P 2,ε,g) L(P 2,ε,g) ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε. Tällöin, kosk jko P ε on sekä jon P 1,ε että jon P 2,ε tihennys, on luseen 3.2 perusteell U(P ε,f) U(P 1,ε,f), U(P ε,g) U(P 2,ε,g),L(P ε,f) L(P 1,ε,f) j L(P ε,g) L(P 2,ε,g). Tällöin sdn, että U(P ε,f + g) U(P ε,f) + U(P ε,g) U(P 1,ε,f) + U(P 2,ε,g) L(P 1,ε,f) ε + L(P 2,ε,g) ε L(P ε,f) + L(P ε,g) + ε L(P ε,f + g) + ε. Näin ollen, luseen 3.5 perusteell funktio f + g on integroituv j (f + g) = f + g. Seurus 4.2. [1, s. 247] Oletetn, että funktio f i : I R on integroituv välillä I = [,b], j oletetn, että k i R, kun i = 1, 2,...,n. Silloin n k if i on integroituv välillä I j k i f i = k i f i. 31

32 Todistus. Tulos seur luseest 4.1. Summn kirjoittminen vttuun muotoon hvinnollist si, vrt. [4, s. 136]. Tällöin sdn, että k i f i = (k 1 f 1 + k 2 f k n f n )dx = k 1 f 1 + k 2 f k n f n. Trkstelln seurvksi funktiot f, jok s välillä I vin positiivisi rvoj. Todistetn, että tällöin myös f on positiivinen välillä I. Luse 4.3. [1, s. 247] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R integroituv funktio välillä I. Jos f(x) 0 kikill x I, niin f 0. Todistus. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Silloin m j = inf{f(x) x [x j 1,x j ]} 0, kun j = 1,...,n. Tällöin jko P vstv lsumm L(P,f) = m j (x j x j 1 ) 0. j=1 Funktion f integrliksi välillä I sdn f = sup{l(p,f) P P(I)} 0. Seurus 4.4. [1, s. 247] Olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I = [,b] j olkoon f(x) g(x) kikill x I. Silloin f Todistus. Luseen 4.1 nojll funktio g f on integroituv välillä I j (g f) = g. g 32 f.

33 Kosk oletuksen perusteell f(x) g(x) kikill x I, niin g(x) f(x) 0. Näin ollen luseen 4.3 nojll (g f) = g f 0, jolloin f g. Seurus 4.5. [1, s. 248] Olkoon funktio f : I R integroituv välillä I = [,b] j olkoon m f(x) M kikill x I. Tällöin m(b ) Todistus. Esimerkin 3.2 perusteell f M(b ). m dx = m(b ) Luseest 4.4 seur, että j M dx = M(b ). m dx f(x)dx M dx, eli m(b ) f M(b ). Osoitetn seurvksi, että tietyin ehdoin integrlej voidn lske yhteen. Tämä ominisuus on käytännön sovelluksiss hyvin trpeellinen. Luse 4.6. [1, s. 248] Olkoon I = [,b] j olkoon c välin [,b] piste siten, että < c < b. Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos se on integroituv molemmill väleillä I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin f = c f + c f. 33

34 Luseen 4.6 todistmiseen trvitn kksi putulost, jotk todistetn ensin. (Vihtoehtoinen tp todist tämä luse löytyy teoksest Elementry Rel Anlysis [3, s. 355]). Apuluse 4.7. [1, s. 248] Olkoon L j (f) funktion f lintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin L(f) = L 1 (f) + L 2 (f). Todistus. [1, s. 248] Osoitetn ensin, että L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon L j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn lsummien L 1 (P 1,f) j L 2 (P 2,f) summ p L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + m l (z l z l 1 ). l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1,x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + n+p = m k (x k x k 1 ) = L(P,f). p m l (z l z l 1 ) l=1 Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että L 1 (P 1,f) L 1 (f) j L 2 (P 2,f) L 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P L(P,f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) = sup{l(p,f) P P(I)} L 1 (f) + L 2 (f). Osoitetn sitten, että L(f) L 1 (f)+l 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että L 1 (f) L 1 (P 1,ε,f) ε j L 2(f) L 2 (P 2,ε,f) ε. 34

35 Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin L 1 (f) + L 2 (f) L 1 (P 1,ε,f) ε + L 2(P 2,ε,f) ε = L(P ε,f) + ε L(f) + ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) L 1 (f)+l 2 (f) j L(f) L 1 (f)+l 2 (f), joten L(f) = L 1 (f)+ L 2 (f). Apuluse 4.8. Olkoon U j (f) funktion f yläintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistus. Osoitetn ensin, että U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon U j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn yläsummien U 1 (P 1,f) j U 2 (P 2,f) summ p U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + M l (z l z l 1 ) l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1, x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + n+p = M k (x k x k 1 ) p M l (z l z l 1 ) = U(P,f). Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että U 1 (P 1,f) U 1 (f) j U 2 (P 2,f) U 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P U(P,f) U 1 (f) + U 2 (f). 35 l=1

36 Nyt U(f) = inf{u(p,f) P P(I)} U 1 (f) + U 2 (f). Osoitetn sitten, että U(f) U 1 (f)+u 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että U 1 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε j U 2(f) U 2 (P 2,ε,f) 1 2 ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin U 1 (f) + U 2 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε + U 2(P 2,ε,f) 1 2 ε = U(P ε,f) ε U(f) ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, sdn U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Nyt U(f) U 1 (f) + U 2 (f) j U(f) U 1 (f) + U 2 (f), joten U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistetn nyt luse 4.6 edellä stujen tulosten vull. Todistus. Oletetn ensin, että funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2. Silloin L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f). Apuluseiden 4.7 j 4.8 perusteell U(f) = U 1 (f) + U 2 (f) = L 1 (f) + L 2 (f) = L(f). Näin ollen funktio f on integroituv välillä I j f = c f + c Oletetn sitten, että funktio f on integroituv välillä I. Tämän oletuksen j puluseiden 4.7 j 4.8 perusteell L 1 (f) + L 2 (f) = L(f) = U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Luseen 3.4 mukn L 1 (f) U 1 (f) j L 2 (f) U 2 (f). Jos L 1 (f) < U 1 (f), niin L 2 (f) > U 2 (f), mikä on ristiriidss luseen 3.4 knss. (Smoin jos L 2 (f) < U 2 (f), syntyy ristiriit.) Näin ollen L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f), joten funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2 j f = c f + c f. f. 36

37 Seurus 4.9. Olkoon P = (x 1,x 2,...,x n ) välin I = [,b] jko j olkoon funktio f integroituv välillä I. Silloin f = xk x k 1 f. Todistus. Tulos seur luseen 4.6 tuloksest. 4.2 Integrlin olemssolost Pltn nyt käsittelemään kysymystä integrlin olomssolost. Jott Riemnnin integrliteorist sdn käyttökelpoinen, trvitn sellinen lj j helposti tunnistettviss olev funktioiden luokk, jolle integroituvuus on tttu. Tärkein työklu tämän osoittmisess on Riemnnin kriteeri integroituvuudelle (ks. luse 3.5). Muotoilln tätä kriteeriä ensin hiemn, jott sen käyttö on mukvmp. Jos funktio f : I R on rjoitettu välillä I = [,b] j P = (x 0,x 1,...,x n ) on välin I jko, niin käytetään jo edellä tutuksi tulleit merkintöjä m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. Vrt. [1, s. 247]. Luse [1, s. 250] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin seurvt kohdt ovt yhtäpitäviä: 1. Funktio f on integroituv välillä I. 2. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että (M k m k )(x k x k 1 ) < ε. 3. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että w k (x k x k 1 ) < ε, missä w k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. 37

38 Todistus. [1, s. 250] Osoitetn ensin, että (1) (2). Kun m k j M k on määritelty kuten edellä, sdn, että U(P ε,f) L(P ε,f) = = M k (x k x k 1 ) m k (x k x k 1 ) (M k m k )(x k x k 1 ), jost voimme päätellä, että (1) (2). Osoitetn sitten, että (2) (3). Huomtn, että M k m k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]} inf{f(x) x [x k 1,x k ]} = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} = w k. 4.3 Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus Osoitetn seurvksi monotonisten funktioiden integroituvuus. Luse [1, s. 251]Olkoon I = [, b] j olkoon funktio f : I R monotoninen välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. Vrt. [1, s. 251]. Oletetn ensin, että funktio f on ksvv välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) välin I sellinen jko, jok jk välin I siten, että jokinen väleistä on yhtäsuuri, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on ksvv välillä [x k 1,x k ], on f(x k 1 ) < f(x k ). Näin ollen m k = f(x k 1 ) j M k = f(x k ). Tällöin (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k ) f(x k 1 ))( b n ) (f(x k ) f(x k 1 )) = b n (f(x 1) f(x 0 ) + f(x 2 ) f(x 1 ) + + f(x n ) f(x n 1 )) = b n (f(x n) f(x 0 )) = b (f(b) f()). n 38

39 Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f(b) f())/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f(b) f()) ε (f(b) f()) (f(b) f()) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell ksvv funktio f on integroituv välillä I. Oletetn sitten, että f on vähenevä välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) jälleen välin I sellinen jko, jok jk välin I n:ään yhtä suureen osn, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on vähenevä välillä [x k 1,x k ], on f(x k ) < f(x k 1 ). Näin ollen m k = f(x k ) j M k = f(x k 1 ). Tällöin sdn (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k 1 ) f(x k ))( b n ) (f(x k 1 ) f(x k )) = b n (f(x 0) f(x 1 ) + f(x 1 ) f(x 2 ) + + f(x n 1 ) f(x n )) = b n (f(x 0) f(x n )) = b (f() f(b)) n Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f() f(b))/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f() f(b)) ε (f() f(b)) (f() f(b)) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell vähenevä funktio f on integroituv välillä I. Osoitetn seurvksi jtkuvien funktioiden integroituvuus. 39

40 Luse [1, s. 251] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 251] Luseen 2.1 perusteell funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. Oletetn, että x, y I. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss sellinen δ(ε) > 0, että mikäli x y < δ, niin f(x) f(y) < ε/(b ). Olkoon n N sellinen, että n > (b )/δ(ε) > 0, j olkoon P n = (x 0,...,x n ) välin I sellinen jko, että x k x k 1 = (b )/n < δ(ε). Nyt Tällöin, kun k = 1, 2,...n, sdn, että w k = M k m k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} ε/(b ). ε (b ) w k (x k x k 1 ) n (b ) n = ε. Luseen 4.10 kohdn 3 perusteell funktio f on integroituv välillä I. 4.4 Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi Luse [1, s. 252] Olkoon I = [,b] j olkoon J = [c,d]. Oletetn, että funktio f : I R on integroituv välillä I. Oletetn lisäksi, että ϕ : J R on jtkuv j että f(i) J. Tällöin yhdistetty funktio ϕ f : I R on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 252] Olkoon ε > 0, olkoon K = sup{ ϕ(t) : t J} j olkoon ε = ε/(b + 2K). Funktio ϕ on tsisesti jtkuv välillä J. Tällöin on olemss sellinen δ > 0, jolle pätee, että δ < ε j jos s,t J j s t < δ niin ϕ(s) ϕ(t) < ε. Kosk funktio f on integroituv välillä I j δ 2 > 0, niin on olemss sellinen välin I jko P = (x 0,x 1,...,x n ), että U(P;f) L(P;f) < δ 2. Osoitetn seurvksi, että jolle P pätee, että U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) ε. 40

41 Vlitun ε > 0 mielivltisuudest seur tällöin, että luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Olkoon m k = inf{f(x) : x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) : x [x k 1,x k ]}. Erotetn sitten jon P indeksien joukko {0, 1,...,n} joukko khdeksi osjoukoksi siten, että A = {k : M k m k < δ} j B = {k : M k m k δ}. Olkoon nyt m k = inf{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]} j Mk = sup{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]}. Tällöin huomtn, että M k m k = sup{ϕ f(x) ϕ f(y) : x,y [x k 1,x k ]}. (Vrt. luseen 4.10 kohdn 3 todistus.) Trkstelln ensin tpust, joss k A j x,y [x k 1,x k ]. Tällöin f(x) f(y) < δ, mistä seur oletusten nojll, että ϕ f(x) ϕ f(y) < ε. Siis myös M k m k ε. Näin ollen, ( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ). k A Toislt, jos k B, voidn oletusten perusteell päätellä vin, että M k m k 2K. Näin ollen k B( M k m k )(x k x k 1 ) 2K k B (x k x k 1 ). Kuitenkin, kosk k B, tiedetään, että δ M k m k, joten k x k 1 ) k B(x 1 δ (M k m k )(x k x k 1 ) k B 1 (M k m k )(x k x k 1 ) δ k B 1 δ (U(P;f) L(P;f)) 1 δ δ2 = δ < ε. 41

42 Tällöin sdn, että ( M k m k )(x k x k 1 ) 2Kε. k B Yhdistämällä sdut rviot, sdn U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) = ( M k m k )(x k x k 1 ) + k A k B( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ) + 2Kε = ε (b + 2K) = ε. Näin ollen luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Käyttämällä pun edellä sdun luseen 4.13 tulost hyväksi, voidn nyt osoitt funktioiden f, f n j 1 integroituvuus. Smoin voidn osoitt, f että khden integroituvn funktion f j g tulofunktio fg on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että on olemss sellinen K > 0, että f(x) K jokisell lkioll x I. Määritellään funktio ϕ 1 (t) = t, kun t J = [ K,K]. Funktio ϕ 1 on jtkuv välillä J j voidn muodost yhdistetty funktio ϕ 1 f = f. Näin ollen luseen 4.13 perusteell f on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R on integroituv välillä I. Jos n N, niin funktio f n on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254]Olkoon f(x) K, kun x I, j olkoon ϕ 2 (t) = t n, kun t J = [ K,K]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 2 f = f n j luseen 4.13 perusteell f n on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos on olemss sellinen δ > 0, että f(x) δ kikill x I, niin 1/f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Olkoon δ f(x) K, kun t I, j olkoon ϕ 3 (t) = 1/t, kun t J = [δ,k]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 3 f = 1/f j luseen 4.13 perusteell 1/f on integroituv. 42

43 Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoot funktiot f,g : I R integroituvi välillä I. Tällöin niiden tulo fg on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Luseiden 4.1 j 4.15 perusteell funktiot f +g, (f +g) 2, f 2 j g 2 ovt integroituvi välillä I. Kosk (f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2, niin fg = 1 2 (f + g)2 f 2 g 2. Luseen 4.1 perusteell funktio fg on siis integroituv välillä I. Edellä sdut tulokset tkvt, että on olemss sellinen lj luokk funktioit, joille integrlifunktion olemssolo on tttu. Seurv esimerkki osoitt, että oletust funktion ϕ jtkuvuudest ei kuitenkn void korvt integroituvuudell, sillä khden integroituvn funktion yhdistetty funktio ei välttämättä ole integroituv. Esimerkki 4.1. [1, s. 254] Osoitetn, että khden integroituvn funktion yhdiste ei välttämättä ole integroituv. Olkoon I = [0, 1]. Määritellään funktio f : I R siten, että f(0) = 1, f(x) = 0, jos x I on irrtionlinen, j f(m/n) = 1/n, jos m,n N j luvuill m j n ei ole yhteisiä tekijöitä. Osoitetn, että funktio f on integroituv. (Vrt. [4, s. 122]) Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I = [0, 1] mielivltinen jko. Nyt m j = 0, kun 1 j n, joten L(P;f) = 0 j täten myös L(f) = 0. Kosk U(P;f) > 0, niin määritelmästä 3.1 seur, että myös U(f) 0. Tulee vielä siis osoitt, että U(f) 0, jott sdn osoitettu, että L(f) = U(f) = 0. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss vin äärellinen määrä sellisi rvoj x I, joille f(x) ε/2. Olkoon k tämä äärellisten lukujen määrä. Olkoon P 0 välin I sellinen jko, että P 0 = mx 1 i n (x i x i 1 ) < ε/(2k). Muodostetn yläsumm U(P;f) = n j=1 M j(x j x j 1 ). Nyt sellisi j:n rvoj, joille M j ε/2 on enintään k kpplett, j näillekin pätee, että M j 1. Näiden termien vikutus summn, on vähemmän kuin k(ε/(2k)) = ε/2. Kosk kikill muill j:n rvoill M j < ε/2, näiden muiden termien summ on pienempi kuin ε (x j x j 1 ) = ε 2 2 (x n x 0 ) = ε 2 (1 0) = ε 2. j=1 43

44 Näin ollen U(f) < ε. Luvun ε mielivltisest vlinnst seur, että U(f) = 0. Määritellään funktio g : I R siten, että g(0) = 0 j g(x) = 1, kun x (0, 1]. Tällöin g on integroituv välillä I j jtkuv kikkill muull pitsi pitsi pisteessä 0. Nyt yhdiste g f(x) = 0, kun x I on irrtionlinen j g f(x) = 1, kun x I on rtionlinen. Näin ollen funktio g f on Dirichlet n funktio, jok ei ole integroituv, kuten esimerkissä 3.5 osoitettiin. Apuluse [1, s. 256] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos f(x) K kikill x I, niin Todistus. [1, s. 257] f f K(b ). Luseeen 4.14 perusteell funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktio f on integroituv välillä I. Kosk f f f, niin luseen 4.4 perusteell Tästä sdn, että Luseest 4.5 seur, että f f f f. f K(b ). f. Trkstelln nyt funktiot f : I R, jok on integroituv välillä I = [,b]. Olkoon x b. Kun funktio f rjoitetn välille [,x], on luseen 4.6 perusteell funktio f vrmsti integroituv myös välillä [, x]. Määritellään nyt funktio F : I R funktion f vull seurvsti: F (x) = x f, kun x I. Näin määriteltyä funktiot F kutsutn funktion f määräämättömäksi integrliksi välillä I. 44

45 Integroituvn funktion f ei välttämättä trvitse oll jtkuv. Määräämätön integrlifunktio F on kuitenkin in jtkuv, kuten seurvksi osoitetn. Luse [1, s. 257] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio F : I R, F (x) = on tsisesti jtkuv välillä I. x f, kun x I, Todistus. [1, s. 257] Vlitn x,y I siten, että x < y. Tällöin luseen 4.6 nojll voidn päätellä, että F (y) F (x) = = = y x y x f f + x y x Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktioll f on olemss sellinen rj K, että luseen 4.18 perusteell sdn F (y) F (x) f. y x f f x f f K(y x). Vlitn nyt ε > 0 j olkoon δ(ε) = ε/k. Tällöin jos x, y I j x y < δ, niin F (y) F (x) < ε. Näin ollen funktio F on tsisesti jtkuv välillä I. 45

46 Viitteet [1] Brtle, Robert G., Sherbert, Donld R.,Introduction to Rel Anlysis. New York: John Wiley nd Sons, Inc [2] Boyer, Crl, suom. Pietiläinen, Kimmo. Tieteiden kuningtr Mtemtiikn histori, os 2. Kolms Pinos. John Wiley nd Sons, Inc [3] Thomson, Brin S., Bruckner, Judith B., Bruckner Andrew M., Elementry Rel Anlysis. New Jersey: Perentice-Hll, Inc [4] Trench, Willim F., Introduction to Rel Anlysis. New Jersey: Person Eduction, Inc

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk d Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A1 Muotoilun milm j muotoilusuunnistus Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Etsitään j löydetään muotoilu ympäristöstä.

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE

SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS-SAIRAANHOITOALUEEN LAUTAKUNTA 33 09.06.2015 SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella

Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok OHJ-2600 Tilkoneet 204 6. Tämän tehtävän tvoite on kuvn LTS:ää vstesimerkkinä käyttäen osoitt, että nnetun LTS:n knss minimlinen CFFD-smnlinen LTS ei in ole yksikäsitteinen. P Q AG(P) = AG(Q) f, {{}} f,

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus

SALAINEN KIRJASTO. Harjoitusvihkon. Eija Lehtiniemi OPETTAJAN OHJEET. Erityisopetus E i j L e h t i n i e m i M e r v i Wä r e S L I N E N P I N E N H R J O I T U S V I H K O SLINEN KIRJSTO Hrjoitusvihkon Eij Lehtiniemi OPETTJN OHJEET Erityisopetus HRJOITUSVIHKON SISÄLTÖ Vlmiushrjoitukset

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light)

33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nature and Propagation of Light) 68 33 VALON LUONNE JA ETENEMINEN (The Nture nd Propgtion of Light) Toinen ihmiselle tärkeä luonnon ltoliike, meknisten ääniltojen lisäksi, liittyy näkemiseen j on tietysti vlo. Vlo on sähkömgneettist ltoliikettä

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT) Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä Kttoeristeet - nyt entistä prempi kokonisrtkisuj Entistä suurempi Kuormituskestävyys j Jtkuv Keymrk- Lunvlvontjärjestelmä Rockwool-ekolvll kttoeristeet seisovt omill jloilln Ekolvoj käytettäessä työ on

Lisätiedot