Riemannin integraalista

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Riemannin integraalista"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010

2 2

3 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin integrlist Pro grdu -tutkielm, 46 s. Mtemtiikk Syyskuu 2010 Tiivistelmä Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko, jok kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. Hän omksui iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä j ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Tutkielmn luksi perehdytään l- j yläsummn käsitteisiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Tutkielmss käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuusominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnnintegroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Asisnt: Riemnnin integrli, lsumm, yläsumm, lintegrli, yläintegrli. 3

4 4

5 Sisältö 1 Johdnto 7 2 Vlmistelevi trksteluj 8 3 Riemnnin integrli Alsumm j yläsumm Ylä- j lintegrlit Riemnnin integrlin määritelmä Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist Riemnnin kriteeri integroituvuudelle Riemnnin integrlin ominisuuksi Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus Integrlin olemssolost Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi Viitteet 46 5

6 6

7 1 Johdnto Tämän tutkielmn iheen on Riemnnin integrli. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) oli skslinen mtemtikko j fyysikko (ks. [2, s. 763]). Hän kehitti nlyysin lisäksi geometri j lukuteori. (Ks. [2, s. 774]) luvull Bernhrd Riemnn omksui uudenlisen j iemmst poikkevn tvn lähestyä integrlin käsitettä. Hän ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnist j lähestyi sitä summn j rj-rvon käsitteiden vull. Bernhrd Riemnnin esimerkkiä seursivt uset muut mtemtikot, jolloin syntyi useit erilisi integrliteorioit. Näistä minittkoon Riemnn-Stieltjesin integrli j Lebesquen integrli, vrt. [1, s. 234,239]. Luvuss 2 käydään läpi tutkielmn iheen knnlt keskeisimmät käsitteet, kuten infimum j supremum. Lisäksi esitetään rj-rvon j jtkuvuuden määritelmät j eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettyjen luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Luvuss 3 käsitellään Riemnn-integroituvuutt. Aluksi perehdytään lj yläsummn käsitteisiin j keskeisimpiin l- j yläsummn ominisuuksiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- j lintegrli rjoitetulle funktiolle suljetull j rjoitetull välillä. Luvuss 3.3 esitetään Riemnnin integrlin määritelmä. Funktion snotn olevn Riemnn-integroituv silloin, kun lintegrlin j yläintegrlin rvot ovt yhtäsuuret. Tätä l- j yläintegrlin rvo kutsutn funktion Riemnnin integrliksi. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi eräitä Riemnn-integroituvi funktioit. Lopuksi esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luvuss 4 osoitetn ensin Riemnnin integrlin nk. linerisuus-ominisuus. Tämän jälkeen osoitetn, että integroituvn positiivisen funktion Riemnnin integrlifunktio on myös positiivinen. Luvuss 4.3 osoitetn, että monotoniset funktiot j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Luvuss 4.4 osoitetn, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisrvofunktio j käänteisfunktio ovt Riemnn-integroituvi. Lisäksi osoitetn, että integroituvn funktion potenssifunktio on myös integroituv. Tutkielmn lopuksi osoitetn, että määräämätön integrlifunktio on in jtkuv. Lukijlt edellytetään rj-rvon perusominisuuksien j ε-δ -tekniikn hllint. Lisäksi lukijlt edellytetään nlyysin peruskurssien sisällön tun- 7

8 temust j erityisesti infimumin j supremumin käsitteiden ymmärtämistä. Lähdeteoksen käytetään pääsiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teost Introduction to Rel Anlysis. Willim F. Trenchin teost Introduction to Rel Anlysis on käytetty eräissä kohdiss Robert G. Brtlen j Donld R. Sherbertin teoksen rinnll. 2 Vlmistelevi trksteluj Tässä luvuss esitellään Riemnnin integrlin määrittelemisessä trvittvi keskeisiä käsitteitä. Lisäksi esitetään eräitä tuloksi, joit trvitn pun myöhemmin tutkielmss esitettävien luseiden todistuksiss j esimerkeissä. Määritellään ensin, mitä trkoitetn rjoitetull funktioll j rjoitetull välillä. Tämän jälkeen määritellään käsitteet infimum j supremum. Määritelmä 2.1. [1, s. 59] Piste x R on joukon S R ksutumispiste, jos pisteen x jokinen ε -ympäristö V ε = (x ε,x + ε) sisältää vähintään yhden pisteestä x erovn pisteen. Määritelmä 2.2. [1, s. 120] Olkoon A R. Olkoon f : A R funktio j olkoon c R joukon A ksutumispiste. Funktion f snotn olevn rjoitettu pisteen c ympäristössä, jos on olemss sellinen pisteen c ympäristö U j sellinen vkio M > 0, että f(x) M kikill x A U. Määritelmä 2.3. [1, s. 46] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Luvun u R snotn olevn joukon S ylärj, jos s u kikill luvuill s S. 2. Luvun w R snotn olevn joukon S lrj, jos w s kikill luvuill s S. Huomutus 2.1. [1, s. 46] Jos joukoll S on yksi ylärj, niin sillä on äärettömän mont ylärj. Nimittäin, jos u on joukon S ylärj j v > u, niin tällöin myös v on joukon S ylärj. Smoin voidn todet, että mikäli joukoll S on yksi lrj, niin tällöin sillä on äärettömän mont lrj. 8

9 Huomutus 2.2. [1, s. 47] Snotn, että joukko S R on ylhäältä rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin ylärj. Smoin, joukko S R on lhlt rjoitettu, jos joukoll S on olemss jokin lrj. Mikäli joukoll S on sekä ylärj että lrj, snotn, että joukko S on rjoitettu. Mikäli joukoll ei ole ylä- ti lrj, snotn, että joukko on rjoittmton. Määritelmä 2.4. [1, s. 47] Olkoon joukko S joukon R osjoukko. 1. Jos joukko S on ylhäältä rjoitettu, sen ylärjn u snotn olevn joukon S supremum eli joukon S pienin ylärj, mikäli u on pienempi kuin mikään muu joukon S ylärj. 2. Jos joukko S on lhlt rjoitettu, sen lrjn w snotn olevn joukon S infimum eli joukon S suurin lrj, mikäli w on suurempi kuin mikään muu joukon S lrj. Huomutus 2.3. Supremumin määritelmä voidn muotoill myös seurvsti [1, s. 47]: Luku u R on joukon S R supremum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että s u. 2. Jos s v kikill s S, niin u v. Infimumin määritelmä voidn muotoill vstvll tvll. Luku w R on joukon S R infimum, jos se toteutt seurvt ehdot: 1. Kikill s S pätee, että w s. 2. Jos x s kikill s S, niin x w. Määritelmä 2.5. [1, s. 166] Olkoon A R j olkoon funktio f : A R. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä A, jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen δ(ε) > 0, että kikill x,u A, kun x u < δ(ε), niin f(x) f(u) < ε. Luse 2.1. [1, s. 167]Olkoon I suljettu j rjoitettu väli j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. 9

10 Todistus. Ks. [1, s. 167]. Osoitetn seurvksi kksi luonnollisten lukujen ominisuutt, joit tulln trvitsemn myöhemmin esimerkeissä 3.3 j 3.4, joiss esitellään joitin Riemnn-integroituvi funktioit. Apuluse 2.2. Vrt. [1, s. 20] Kikill luvuill m N pätee, että m = m(m + 1). 2 Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä 1(1 + 1)/2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että k = k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, eli k + (k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-oletuksen perusteell sdn, että k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1). Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: k(k + 1) 2 + (k + 1) = = = = k(k + 1) 2(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) 2 (k + 1)[(k + 1) + 1]. 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. Apuluse 2.3. Vrt. [1, s. 22, t ] Kikill luvuill m N pätee, että m 3 = [ ] 2 1 m(m + 1). 2 10

11 Todistus. Todistetn induktioll luvun m suhteen. Väite pätee, kun m = 1, sillä [ 1 2 1(1+1)]2 = 1. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee, kun m = k. Oletetn siis, että k 3 = [ ] 2 1 k(k + 1). 2 Osoitetn, että väite pätee, kun m = k + 1, j tällöin { k 3 + (k + 1) 3 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Induktio-oletuksen perusteell sdn, että [ ] k 3 + (k + 1) 3 = k(k + 1) + (k + 1) 3. 2 Muoktn nyt yhtäsuuruusmerkin oikell puolell olev lusekett: [ ] 2 1 k(k + 1) + (k + 1) 3 = k2 (k + 1) 2 + (k + 1)(k + 1) 2 [ ] 1 = (k + 1) 2 4 k2 + (k + 1) = 1 4 (k + 1)2 (k 2 + 4k + 4) = 1 4 (k + 1)2 (k + 2) 2 Induktio-peritteen nojll väite on siis tosi. = 1 4 (k + 1)2[ (k + 1) + 1 ] 2 { 1 = 2 (k + 1)[ (k + 1) + 1 ] } 2. Luse 2.4. [1, s. 20] Jos luku R on sellinen, että 0 < ε jokisell ε R, niin = 0. Todistus. Ks. [1, s. 36] Apuluse 2.5. [1, s. 54, t ] Olkoon joukko S R rjoitettu j epätyhjä. 1. Olkoon > 0 j olkoon S = {s s S}. Tällöin () inf(s) = inf S j 11

12 (b) sup(s) = sup S. 2. Olkoon b < 0 j olkoon bs = {bs s S}. Tällöin () inf(bs) = b sup S j (b) sup(bs) = b inf S. Todistus. 1. () Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että x w kikill x S. Näin ollen luku w on joukon S lrj j siis inf(s) w. Olkoon p mikä thns joukon S lrj. Tällöin x p kikill x S. Tästä seur, että x p/ kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w p/ j siis w p. On siis osoitettu, että inf(s) = w = inf S. (b) Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että x u kikill x S. Näin ollen luku u on joukon S ylärj j siis sup(s) u. Olkoon v mikä thns joukon S ylärj. Tällöin x v kikill x S. Tästä seur, että x v/ kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u v/ j siis u v. On siis osoitettu, että sup(s) = u = sup S. 2. () Olkoon u = sups. Tällöin x u kikill x S j sdn, että bx bu kikill x S. Näin ollen luku bu on joukon bs lrj j siis inf(bs) bu. Olkoon w mikä thns joukon bs lrj. Tällöin bx w kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x w/b kikill x S. Nyt, kosk u = sups, sdn, että u w/b j siis bu w. On siis osoitettu, että inf(bs) = bu = b sup S. (b) Olkoon w = inf S. Tällöin x w kikill x S j sdn, että bx bw kikill x S. Näin ollen luku bw on joukon bs ylärj j siis sup(bs) bw. Olkoon u mikä thns joukon bs ylärj. Tällöin bx u kikill x S. Tästä seur, (kosk b < 0), että x u/b kikill x S. Nyt, kosk w = inf S, sdn, että w u/b j siis bw u. On siis osoitettu, että sup(bs) = bw = b inf S. 12

13 Apuluse 2.6. [1, s. 54, t ] Olkoon joukko X epätyhjä j olkoot f j g funktioit joukolt X joukkoon R. Tällöin 1. sup{f(x) + g(x) x X} sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X} j 2. inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X} inf{f(x) + g(x) x X}. Todistus. 1. Olkoon sup{f(x) x X} = u j olkoon sup{g(x) x X} = v. Tällöin f(x) u j g(x) v kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) u + v kikill x X. Näin ollen luku u + v on joukon {f(x) + g(x) x X} ylärj j siis sup{f(x) + g(x) x X} u + v = sup{f(x) x X} + sup{g(x) x X}. 2. Olkoon inf{f(x) x X} = p j olkoon inf{g(x) x X} = q. Tällöin f(x) p j g(x) q kikill x X. Nyt sdn, että f(x) + g(x) p+q kikill x X. Näin ollen luku p+q on joukon {f(x)+g(x) x X} lrj j siis inf{f(x) + g(x) x X} p + q = inf{f(x) x X} + inf{g(x) x X}. 3 Riemnnin integrli Tässä luvussss määritellään lintegrli j yläintegrli rjoitetulle funktiolle, rjoitetull j suljetull välillä. Al- j yläintegrlin käsitteet ovt keskeisiä Riemnnin integrlin knnlt, sillä funktiot, jonk l- j yläintegrlien rvot ovt smt, kutsutn Riemnn-integroituvksi j ylä- j lintegrlin rvo funktion Riemnnin integrliksi. Riemnnin integrlin määritelmä esitetään luvuss 3.3. Alintegrlin j yläintegrlin määrittelemisen knnlt on tärkeää tunte l- j yläsummn käsitteet. Tämän vuoksi luvuss 3.1 perehdytään ensin trvittviin merkintöihin j käytössä oleviin nimityksiin j sitten l- j yläsummn käsitteisiin j niiden tärkeimpiin ominisuuksiin. Luvuss 3.4 käydään esimerkkien vull läpi muutmi Riemnn-integroituvi funktioit. Esimerkeissä osoitetn, että funktiot f(x) = c, f(x) = x j f(x) = x 3 ovt integroituvi välillä [0, 1]. 13

14 Luvuss 3.5 esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Tämän kriteerin perusteell voidn perehtyä trkemmin siihen, milloin Riemnnin integrli on olemss. 3.1 Alsumm j yläsumm Alsummn j yläsummn määrittämiseksi suljettu j rjoitettu väli jetn osväleihin. Aloitetn perehtymällä siihen, mitä välin joll trkoitetn. Trkstelln suljettu j rjoitettu väliä I = [,b] R. Välin I jko on äärellinen j järjestetty joukko P = (x 0,x 1,...,x n ), missä x 0,x 1,...,x n ovt välin I pisteitä siten, että = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Jon P vull väli I voidn siis jk osväleihin [x 0,x 1 ], [x 1,x 2 ],...,[x n 1,x n ], jotk eivät ole päällekäisiä. Olkoon nyt funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin, kun k = 1, 2,..., n, määritellään m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}. Tämän jälkeen voidn esittää kvt l- j yläsummn lskemiseen. Funktion f jko P vstv lsumm L(P; f) määritellään kvll L(P;f) = m k (x k x k 1 ) j funktion f jko P vstv yläsumm U(P; f) määritellään kvll U(P;f) = M k (x k x k 1 ). Huomutus 3.1. Mikäli funktio f on positiivinen, lsumm L(P;f) voidn kuvt geometrisesti sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on m k. Vstvsti yläsumm U(P;f) voidn kuvt sellisten suorkulmioiden pint-ln, joiden knt on [x k 1,x k ] j korkeus on M k. Tätä hvinnollistetn esimerkissä

15 Esimerkki 3.1. Olkoon I = [0.5, 3] j olkoon P = (0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0) välin I jko. Trkstelln funktiot f(x) = 1/x, jok on välillä I = [0.5, 3] jtkuv j s positiivisi rvoj. Alsumm voidn kuvt geometrisesti kuten kuvss 1. y 2 y = 1 x x Kuv 1. Alsumm L(P;f). Funktion f yläsumm hvinnollist kuv 2. y 2 y = 1 x x Kuv 2. Yläsumm U(P;f). Esimerkin 3.1 perusteell näyttäisi vhvsti siltä, että lsumm on pienempi ti yhtäsuuri kuin yläsumm. Osoitetn seurvksi, että näin todell on. Luse 3.1. Vrt. [1, s. 236] Jos funktio f : I R on rjoitettu j P on välin I mikä thns jko, niin silloin L(P;f) U(P;f). 15

16 Todistus. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I j olkoon P := (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Tällöin luonnollisesti x k x k 1 > 0, kun k = 1, 2,...,n. Toislt termien m k j M k määrittelyn j määritelmän 2.4 perusteell m k M k, kun k = 1, 2,...,n. Tästä seur, että L(P;f) = m k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ) = U(P;f). Seurvksi perehdytään siihen, mitä trkoitetn jon tihennyksellä. Olkoot P = (x 0,x 1,...,x n ) j Q = (y 0,y 1,...,y m ) välin I jkoj. Jko Q on jon P tihennys, jos jokinen jon P piste x k P, kun k = 1, 2,...,n kuuluu myös jkoon Q, eli P Q. Jon P tihennys Q sdn siis lisäämällä äärellinen määrä pisteitä jkoon P. Tällöin voidn jokinen jon P muodostmist osväleistä [x k 1,x k ] kirjoitt sellisten välien yhdisteenä, joiden päätepisteet ovt jon Q pisteitä, eli [x k 1,x k ] = [y j 1,y j ] [y j,y j+1 ] [y h 1,y h ]. Osoitetn seurvksi, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Luse 3.2. Vrt. [1, s. 236] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P on välin I jko j jos Q on jon P tihennys, niin silloin L(P;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P;f). Todistus. Vrt. [1, s. 237] Osoitetn ensin, että lsumm ksv, kun jko tihennetään. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ). Lisätään jkoon P yksi piste z I siten, että x k 1 < z < x k. Tällöin sdn jko P = (x 0,x 1,...,x k 1,z,x k,...,x n ). Olkoon m k = inf{f(x) x [x k 1,z]} j m k = inf{f(x) x [z,x k ]}. 16

17 Tällöin, kosk m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell m k m k j m k m k. Tästä seur, että m k (x k x k 1 ) = m k (z x k 1 ) + m k (x k z) m k(z x k 1 ) + m k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit m j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn L(P;f) = m k (x k x k 1 ) m 1 (x 1 x 0 ) + + m k(z x k 1 ) + m k(x k z) + + m n (x n x n 1 ) = L(P ;f). Jon P tihennys Q sdn lisäämällä jkoon P äärellinen määrä pisteitä, yksi piste kerrlln. Kun toistetn edellä esitettyä menettelyä, päädytään tulokseen L(P;f) L(Q;f). Osoitetn seurvksi, että yläsumm pienenee, kun jko tihennetään. Oletetn ensin, että P on kuten edellä. Olkoot M k = sup{f(x) x [x k 1,z]} j M k = sup{f(x) x [z,x k ]}. Tällöin, kosk M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, on määritelmän 2.4 perusteell M k M k j M k M k. Tästä seur, että M k (x k x k 1 ) = M k (z x k 1 ) + M k (x k z) M k(z x k 1 ) + M k(x k z). Lisätään epäyhtälön molemmille puolille termit M j (x j x j 1 ), kun j k j j = 0,...,n, jolloin sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) M 1 (x 1 x 0 ) + + M k(z x k 1 ) + M k(x k z) + + M n (x n x n 1 ) = U(P ;f). Lisätään jkoon P jälleen yksitellen pisteitä siten, että sdn muodostettu tihennys Q j toistetn edellistä menettelyä yläsummn suhteen. Tällöin päädytään tulokseen U(Q;f) U(P;f). 17

18 Edellä on siis osoitettu, että lsumm on pienempi kuin yläsumm, kun summt on muodostettu käyttäen sm jko. Lisäksi on osoitettu, että jon tihentäminen ksvtt lsumm j pienentää yläsumm. Osoitetn seurvksi, että lsumm on pienempi kuin yläsumm myös silloin, kun lj yläsumm on muodostettu käyttämällä eri jkoj. Luse 3.3. Vrt. [1, s. 238] Olkoon funktio f : I R rjoitettu. Jos P 1 j P 2 ovt kksi välin I mielivltisesti vlittu jko, niin L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Todistus. Vrt. [1, s. 238] Olkoon Q = P 1 P 2, eli sellinen jko, jok sdn yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Tällöin Q on siis sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys. Luseest 3.2 seur, että L(P 1 ;f) L(Q;f) j U(Q;f) U(P 2 ;f). Luseen 3.1 perusteell L(Q; f) U(Q; f). Näin ollen L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). 3.2 Ylä- j lintegrlit Tässä luvuss tutustutn käsitteisiin lintegrli j yläintegrli. Merkinnällä P(I) trkoitetn joukko, johon kuuluvt kikki välin I jot. Jos funktio f : I R on rjoitettu, niin jokinen jko P P(I) määrää kksi luku: lsummn L(P;f) j yläsummn U(P;f). Tästä seur, että joukko P(I) määrää kksi lukujoukko: Toinen lukujoukoist muodostuu lsummist L(P;f), kun P P(I), j sitä merkitään {L(P;f) P P(I)}. Toinen lukujoukko vstvsti muodostuu yläsummist U(P; f), kun P P(I), j sitä merkitään {U(P;f) P P(I)}. Luseen 3.3 tuloksest seur, että mikä thns yläsumm on ylärj lsummien joukolle {L(P;f) P P(I)} j mikä thns lsumm on lrj yläsummien joukolle {U(P;f) P P(I)}. Tämä joht seurvn määritelmään. 18

19 Määritelmä 3.1. [1, s. 238] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Funktion f lintegrli välillä I on luku L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, j funktion f yläintegrli on luku U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}. Huomutus 3.2. [1, s. 238] Trkstelln seurvksi välin I = [, b] trivili jko, jok muodostuu vin pisteistä j b. Olkoot m I = inf{f(x) x I} j M I = sup{f(x) x I}. Kosk funktio f on rjoitettu, luvut m I j M I ovt vrmsti olemss. Trivili jko vstv lsumm on m I (b ) j yläsumm on M I (b ). Luseiden 3.2 j 3.3 perusteell kikill joill P P(I) pätee, että m I (b ) L(P;f) U(P;f) M I (b ). Trkstelemll trivili jko voidn todet, että l- j yläintegrlit ovt olemss j lisäksi huomtn, että m I (b ) L(f) M I (b ) j m I (b ) U(f) M I (b ). Luse 3.4. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin funktioll f on olemss lintegrli L(f) j yläintegrli U(f) välillä I j L(f) U(f). Todistus. [1, s. 239] Olkoot P 1 j P 2 välin I mielivltisi jkoj. Luseest 3.3 seur, että L(P 1 ;f) U(P 2 ;f). Tällöin U(P 2 ;f) on siis joukon {L(P;f) P P(I)} ylärj. Kosk L(f) = sup{l(p;f) P P(I)}, se toteutt ehdon L(f) U(P 2 ;f). Kosk P 2 on välin I mielivltinen jko, voidn todet, että L(f) on joukon {U(P;f) P P(I)} lrj. Nyt, kosk U(f) = inf{u(p;f) P P(I)}, niin myös sen täytyy totutt ehto L(f) U(f). 19

20 3.3 Riemnnin integrlin määritelmä Luseess 3.4 osoitettiin, että yläintegrli U(f) j lintegrli L(f) ovt in olemss, jos I on suljettu j rjoitettu väli j funktio f : I R on rjoitettu. Lisäksi osoitettiin, että L(f) U(f). Tässä luvuss perehdytään sellisten funktioiden luokkn, joille L(f) = U(f). Tällisi funktioit kutsutn Riemnn-integroituviksi j lintegrlin L(f) j yläintegrlin U(f) rvo funktion f Riemnnin integrliksi välillä I. Toislt huomtn, että on olemss myös sellisi funktioit, joille L(f) < U(f). Tälliset funktiot eivät ole Riemnn-integroituvi. Määritelmä 3.2. [1, s. 239] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R rjoitettu funktio. Funktion f snotn olevn Riemnn-integroituv välillä I, jos L(f) = U(f). Tällöin l- j yläsummn rvo L(f) = U(f) kutsutn funktion f Riemnnin integrliksi välillä I j sitä merkitään f ti f(x)dx. Lisäksi määritellään, että f = b f j f = 0. Huomutus 3.3. [1, s. 239] Määritelmän 3.2 perusteell voidn siis todet, että mikäli funktion Riemnn-integrli on olemss jollin välillä I, sen rvo on yksikäsitteinen reliluku ylä- j lsummien välissä. Huomutus 3.4. Relisess nlyysissä on useit eri integrliteorioit, joist Riemnnin integrliteori on vin yksi. Kosk tämä tutkielm keskittyy vin Riemnnin integrliteorin, jtkoss termeillä integrli j integroituvuus viittn Riemnnin integrliin j Riemnnin integroituvuuteen, lähdeteoksen tp noudtten. Huomutus 3.5. Ks. [4, s. 120] Funktion f lintegrlist välillä [, b] voidn myös käyttää merkintää 20 f.

21 Vstvsti, funktion f yläintegrlist välillä [, b] voidn käyttää merkintää 3.4 Esimerkkejä Riemnn-integroituvist funktioist Seurvksi perehdytään esimerkkien vull erilisiin integroituviin funktioihin. Esimerkki 3.2. [1, s. 240] Osoitetn, että vkiofunktio on integroituv. Olkoon f(x) = c, kikill x I = [,b]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, missä x 0 = j x n = b. Tällöin m k = M k = c, kikill k = 1, 2,...,n. Funktion f jko P vstvksi lsummksi sdn f. L(P;f) = m k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Funktion f jko P vstvksi yläsummksi sdn U(P;f) = M k (x k x k 1 ) = c (x k x k 1 ) = c(b ). Näin ollen, kosk L(P; f) = U(P; f), funktio f on integroituv välillä I j f(x)dx = c dx = c(b ). Esimerkki 3.3. [1, s. 240] Osoitetn, että funktio f(x) = x on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] sellinen jko, että P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, joten m k = k 1 n j M k = k n. 21

22 Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = n n n 1 n 2 = ( (n 1))/n 2. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = M k (x k x k 1 ) = 1 n n n n 2 = ( n) /n 2. Apuluseess 2.2 osoitettiin, että m = m(m + 1)/2, kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi ( ) (n 1)(n 1 + 1) 1 L(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 n = n 2 2 j yläsummksi ( ) n(n + 1) 1 U(P n ;f) = 2 n = 1 ( ) n 2 + n = n 2 2 ( 1 1 ) n ( ). n Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 2 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 2. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = x dx = 1 2.

23 Esimerkki 3.4. [1, s. 244, t.6.1.5] Osoitetn, että funktio f(x) = x 3 on integroituv välillä [0,1]. Olkoon P n välin I = [0, 1] jko kuten esimerkissä 3.3, eli P n = ( 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1 Funktio f on ksvv funktio, joten jokisell osvälillä [(k 1)/n, k/n] se s infimumins osvälin vsemmss päätepisteessä j supremumins osvälin oikess päätepisteessä, eli m k = ( k 1 n )3 j M k = ( k n )3. Lisäksi, kosk jokisen osvälin pituus x k x k 1 = 1/n, sdn jko P n vstvksi lsummksi L(P n ;f) = m k (x k x k 1 ) = 0 + ( ) n n + ( ) n n + + = [ (n 1) 3] /n 4. Jko P n vstvksi yläsummksi sdn U(P n ;f) = = M k (x k x k 1 ) ( 1 n ) 3 1 n + ( ) n n + + = [ n 3] /n 4. ( n 1 n ( ) 3 n 1 n n Apuluseess 2.3 osoitettiin, että m 3 = kikill m N. Tämän perusteell sdn lsummksi [ ] L(P n ;f) = (n 1)[(n 1) + 1] 2 n 4 = 1 4n 4(n 1)2 (n) 2 = 1 2n + 1) 4n 2(n2 = n + 1 4n ) 3 1 n [ 1 2 m(m + 1) ] 2,

24 Yläsummksi sdn [ ] U(P n ;f) = (n)(n + 1)] 2 n 4 = 1 (n + 1) 2 4n 4(n)2 = 1 + 2n + 1) 4n 2(n2 = n + 1 4n 2. Joukko {P n n N} on välin I kikkien jkojen joukon P(I) osjoukko, joten määritelmän 3.1 j luseen 3.2 perusteell sdn, että L(f) = sup{l(p;f) P P(I)} sup{l(p n ;f) n N} = 1 4 j U(f) = inf{u(p;f) P P(I)} inf{u(p n ;f) n N} = 1 4. Nyt 1 L(f) U(f) 1, eli L(f) = U(f) = 1. Täten f on integroituv välillä I = [0, 1] j 1 0 f(x)dx = 1 0 x 3 dx = 1 4. Esitetään seurvksi esimerkki funktiost, jok ei ole integroituv. Tämä sm esimerkki löytyy useist nlyysi käsittelevistä teoksist (ks. myös [4, s. 122]). Esimerkki 3.5. [1, s. 241] Olkoon väli I = [0, 1] j olkoon funktio f : I R Dirichlet n funktio, jok määritellään seurvsti: { 1, jos x on rtionlinen, f(x) = 0, jos x on irrtionlinen. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I mikä thns jko. Kosk mikä thns trivilist välistä poikkev väli sisältää sekä rtionli- että irrtionlilukuj (ks. [1, s. 53]), sdn, että m k = 0 j M k = 1, jolloin L(P;f) = 0 j U(P;f) = 1. Tästä seur, että L(f) = 0 j U(f) = 1. Kosk L(f) U(f), niin funktio f ei ole integroituv välillä [0, 1]. 24

25 3.5 Riemnnin kriteeri integroituvuudelle Luvun 3.4 esimerkkien perusteell huomtn, että integroituvuutt käsitellessä nousee esille kksi merkittävää kysymystä. Ensimmäiseksi herää kysymys, onko jollekin funktiolle olemss integrlifunktio j toiseksi, kuink integrlin rvo voidn määrittää. Perehdytään seurvksi lisää kysymykseen integrlin olemssolost j esitetään Riemnnin kriteeri integroituvuudelle. Luse 3.5. [1, s. 242] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos jokisell ε > 0 on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Todistus. [1, s. 242] Oletetn ensin, että funktio f on integroituv, j osoitetn, että tällöin on olemss sellinen välin I jko P ε, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Integroituvuudest seur, että L(f) = U(f). Olkoon ε > 0. Määritelmän 3.1 perusteell on olemss sellinen välin I jko P 1 että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f). Smoin on olemss sellinen välin I jko P 2 että U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Olkoon jko P ε = P 1 P 2. Tällöin P ε on sekä jon P 1 että jon P 2 tihennys j luseen 3.2 perusteell L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) j U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. Luseen 3.3 perusteell L(P ε ;f) U(P ε ;f), jolloin sdn, että L(f) ε/2 < L(P 1 ;f) L(P ε ;f) U(P ε ;f) U(P 2 ;f) < U(f) + ε/2. 25

26 Kosk L(f) = U(f), niin vrmsti U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Oletetn sitten, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε, j osoitetn, että tällöin funktio f on integroituv välillä I. Huomioidn ensin, että millä thns välin I joll P pätee, että L(P;f) L(f) j siis L(f) L(P;f). Smoin millä thns välin I joll P pätee, että U(f) U(P;f). Tällöin U(f) L(f) U(P;f) L(P;f). Oletetn, että jokisell ε > 0 on olemss välin I jko P ε siten, että U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Tällöin U(f) L(f) U(P ε ;f) L(P ε ;f) < ε. Kosk ε > 0 on vlittu mielivltisesti, niin luseen 2.4 perusteell voidn päätellä, että U(f) L(f). Toislt, luseen 3.4 perusteell L(f) U(f). Täytyy siis oll, että L(f) = U(f). Tällöin funktio f on integroituv. Seurus 3.6. [1, s. 243] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Jos joukko {P n n N} on välin I jkojen joukko siten, että niin funktio f on integroituv j lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = 0, n lim L(P n;f) = n Todistus. Seur suorn luseest 3.5. f = lim n U(P n ;f). Esimerkki 3.6. [1, s. 244] Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.3 lskelmien perusteell lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n 1 = lim n n = [ ( ) 1 ( 1 1 ) ] 2 n 2 n

27 Tällöin sdn, että xdx = lim U(P n ;f) = lim n n 2 ( ) = 1 n 2. Esimerkki 3.7. Olkoon funktio f välillä I = [0, 1] määritelty siten, että f(x) = x 3. Olkoon P n välin I sellinen jko, että ( P n = 0, 1 n, 2 n,, n 1 n, n ) n = 1. Esimerkin 3.4 lskelmien perusteell [ 1 lim (U(P n;f) L(P n ;f)) = lim n n n + 1 4n ( n + 1 ] 4n 2) 1 = lim n n = 0. Tällöin sdn, että 1 [ 1 x 3 dx = lim U(P n ;f) = lim n n n + 1 ] = 1 4n Riemnnin integrlin ominisuuksi Tässä luvuss käsitellään Riemnnin integrlin ominisuuksi, kuten linerisuutt j positiivisuutt. Lisäksi osoitetn, että monotoniset j jtkuvt funktiot ovt integroituvi. Tämän perusteell voidn todet, että Riemnnin integrli voidn määrittää suurelle luoklle rjoitettuj funktioit. 4.1 Riemnnin integrlin linerisuus j positiivisuus Riemnnin integrlin linerisuudell viittn usein luseen 4.1 ntmiin ominisuuksiin. Luse 4.1. [1, s. 245] Olkoon I = [,b] j olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I. Jos k R, niin funktiot kf j f + g ovt integroituvi välillä I j (1) (2) kf = k (f + g) = f f + g. 27

28 Todistus. 1. Jos k = 0, niin kf = 0 j väite on trivilisti tosi. Trkstelln tpust k < 0. Vrt.[1, s. 244]. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j = k M j seur, että L(P,kf) = m j (x j x j 1 ) = = k j=1 k M j (x j x j 1 ) j=1 M j (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = ku(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j. Muodostetn seurvksi funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j = k m j seur, että U(P,kf) = M j (x j x j 1 ) = = k j=1 k m j (x j x j 1 ) j=1 m j (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 28

29 On siis osoitettu, että U(P,kf) = kl(p,f). Kosk k < 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{kl(p;f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = ku(f) = kl(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k Trkstelln sitten tpust k > 0. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko, kuten edellä. Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että m j,kf = inf{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k inf{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k m j,f. Muodostetn funktion kf lsummn L(P,kf) luseke, jolloin tuloksest m j,kf = k m j,f seur, että L(P,kf) = = = k f. m j,kf (x j x j 1 ) j=1 k m j,f (x j x j 1 ) j=1 m j,f (x j x j 1 ) = kl(p,f). j=1 Huomttiin siis, että L(P,kf) = kl(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että L(kf) = sup{l(p;kf) P P(I)} = sup{kl(p,f) P P(I)} = k sup{l(p;f) P P(I)} = kl(f). 29

30 Luseen 2.5 perusteell, kun j = 1, 2,...,n, sdn, että M j,kf = sup{kf(x) x [x j 1,x j ]} = k sup{f(x) : x [x j 1,x j ]} = k M j,f Muodostetn funktion kf yläsummn U(P, kf) luseke, jolloin tuloksest M j,kf = k M j,f seur, että U(P,kf) = = = k M j,kf (x j x j 1 ) j=1 k M j,f (x j x j 1 ) j=1 M j,f (x j x j 1 ) = ku(p,f). j=1 Huomttiin siis, että U(P,kf) = ku(p,f). Kosk k > 0, sdn tämän perusteell, että U(kf) = inf{u(p;kf) P P(I)} = inf{ku(p,f) P P(I)} = k inf{u(p;f) P P(I)} = ku(f). Kosk funktio f on integroituv, niin U(f) = L(f), jolloin L(kf) = kl(f) = ku(f) = U(kf). Näin ollen funktio kf on integroituv välillä I j kf = k 2. [1, s. 246] Luseen 2.6 perusteell inf{f(x) x [x j 1,x j ]} + inf{g(x) x [x j 1,x j ]} inf{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]} j sup{f(x) x [x j 1,x j ]} + sup{g(x) x [x j 1,x j ]} sup{(f + g)(x) x [x j 1,x j ]}. f. 30

31 Tällöin lsummn j yläsummn määrittelystä seur, että millä thns välin I joll P P(I) pätee, että L(P,f) + L(P,g) L(P,f + g) j U(P,f + g) U(P,f) + U(P,g). Vlitn nyt mielivltinen ε > 0. Kosk funktio f on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 1,ε, että U(P 1,ε,f) L(P 1,ε,f) ε. Smoin, kosk funktio g on integroituv, on olemss sellinen välin I jko P 2,ε, että U(P 2,ε,g) L(P 2,ε,g) ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε. Tällöin, kosk jko P ε on sekä jon P 1,ε että jon P 2,ε tihennys, on luseen 3.2 perusteell U(P ε,f) U(P 1,ε,f), U(P ε,g) U(P 2,ε,g),L(P ε,f) L(P 1,ε,f) j L(P ε,g) L(P 2,ε,g). Tällöin sdn, että U(P ε,f + g) U(P ε,f) + U(P ε,g) U(P 1,ε,f) + U(P 2,ε,g) L(P 1,ε,f) ε + L(P 2,ε,g) ε L(P ε,f) + L(P ε,g) + ε L(P ε,f + g) + ε. Näin ollen, luseen 3.5 perusteell funktio f + g on integroituv j (f + g) = f + g. Seurus 4.2. [1, s. 247] Oletetn, että funktio f i : I R on integroituv välillä I = [,b], j oletetn, että k i R, kun i = 1, 2,...,n. Silloin n k if i on integroituv välillä I j k i f i = k i f i. 31

32 Todistus. Tulos seur luseest 4.1. Summn kirjoittminen vttuun muotoon hvinnollist si, vrt. [4, s. 136]. Tällöin sdn, että k i f i = (k 1 f 1 + k 2 f k n f n )dx = k 1 f 1 + k 2 f k n f n. Trkstelln seurvksi funktiot f, jok s välillä I vin positiivisi rvoj. Todistetn, että tällöin myös f on positiivinen välillä I. Luse 4.3. [1, s. 247] Olkoon I = [,b] j olkoon f : I R integroituv funktio välillä I. Jos f(x) 0 kikill x I, niin f 0. Todistus. Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I jko. Silloin m j = inf{f(x) x [x j 1,x j ]} 0, kun j = 1,...,n. Tällöin jko P vstv lsumm L(P,f) = m j (x j x j 1 ) 0. j=1 Funktion f integrliksi välillä I sdn f = sup{l(p,f) P P(I)} 0. Seurus 4.4. [1, s. 247] Olkoot f,g : I R integroituvi funktioit välillä I = [,b] j olkoon f(x) g(x) kikill x I. Silloin f Todistus. Luseen 4.1 nojll funktio g f on integroituv välillä I j (g f) = g. g 32 f.

33 Kosk oletuksen perusteell f(x) g(x) kikill x I, niin g(x) f(x) 0. Näin ollen luseen 4.3 nojll (g f) = g f 0, jolloin f g. Seurus 4.5. [1, s. 248] Olkoon funktio f : I R integroituv välillä I = [,b] j olkoon m f(x) M kikill x I. Tällöin m(b ) Todistus. Esimerkin 3.2 perusteell f M(b ). m dx = m(b ) Luseest 4.4 seur, että j M dx = M(b ). m dx f(x)dx M dx, eli m(b ) f M(b ). Osoitetn seurvksi, että tietyin ehdoin integrlej voidn lske yhteen. Tämä ominisuus on käytännön sovelluksiss hyvin trpeellinen. Luse 4.6. [1, s. 248] Olkoon I = [,b] j olkoon c välin [,b] piste siten, että < c < b. Olkoon funktio f : I R rjoitettu välillä I. Funktio f on integroituv välillä I, jos j vin jos se on integroituv molemmill väleillä I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin f = c f + c f. 33

34 Luseen 4.6 todistmiseen trvitn kksi putulost, jotk todistetn ensin. (Vihtoehtoinen tp todist tämä luse löytyy teoksest Elementry Rel Anlysis [3, s. 355]). Apuluse 4.7. [1, s. 248] Olkoon L j (f) funktion f lintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin L(f) = L 1 (f) + L 2 (f). Todistus. [1, s. 248] Osoitetn ensin, että L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon L j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn lsummien L 1 (P 1,f) j L 2 (P 2,f) summ p L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + m l (z l z l 1 ). l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1,x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että L 1 (P 1,f) + L 2 (P 2,f) = m k (x k x k 1 ) + n+p = m k (x k x k 1 ) = L(P,f). p m l (z l z l 1 ) l=1 Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että L 1 (P 1,f) L 1 (f) j L 2 (P 2,f) L 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P L(P,f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) = sup{l(p,f) P P(I)} L 1 (f) + L 2 (f). Osoitetn sitten, että L(f) L 1 (f)+l 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että L 1 (f) L 1 (P 1,ε,f) ε j L 2(f) L 2 (P 2,ε,f) ε. 34

35 Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin L 1 (f) + L 2 (f) L 1 (P 1,ε,f) ε + L 2(P 2,ε,f) ε = L(P ε,f) + ε L(f) + ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, L(f) L 1 (f) + L 2 (f). Nyt L(f) L 1 (f)+l 2 (f) j L(f) L 1 (f)+l 2 (f), joten L(f) = L 1 (f)+ L 2 (f). Apuluse 4.8. Olkoon U j (f) funktion f yläintegrli välillä I j kun j = 1, 2. Silloin U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistus. Osoitetn ensin, että U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Olkoon P j välin I j jko j olkoon U j (P j,f) välin I j jko P j vstv funktion f lsumm. Olkoon P välin I = I 1 I 2 sellinen jko, jok muodostuu yhdistämällä jkojen P 1 j P 2 pisteet. Muodostetn yläsummien U 1 (P 1,f) j U 2 (P 2,f) summ p U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + M l (z l z l 1 ) l=1 Välit I 1 j I 2 on määritelty siten, että I 1 = [,c] j I 2 = [c,b]. Tällöin x 0 =, x n = z 0 = c j z p = b. Merkitään, että x n+1 = z 1, x n+2 = z 2,..., x n+p = z p = b. Tällöin voidn kirjoitt,että U 1 (P 1,f) + U 2 (P 2,f) = M k (x k x k 1 ) + n+p = M k (x k x k 1 ) p M l (z l z l 1 ) = U(P,f). Välin I j kikill joill P j pätee luseen 3.2 perusteell, että U 1 (P 1,f) U 1 (f) j U 2 (P 2,f) U 2 (f). Tällöin välin I, jok sisältää pisteen c, jokisell joll P U(P,f) U 1 (f) + U 2 (f). 35 l=1

36 Nyt U(f) = inf{u(p,f) P P(I)} U 1 (f) + U 2 (f). Osoitetn sitten, että U(f) U 1 (f)+u 2 (f). Olkoon ε > 0 j olkoot P 1,ε j P 1,ε välien I 1 j I 2 selliset jot, että U 1 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε j U 2(f) U 2 (P 2,ε,f) 1 2 ε. Olkoon P ε = P 1,ε P 2,ε välin I = I 1 I 2 jko. Tällöin U 1 (f) + U 2 (f) U 1 (P 1,ε,f) 1 2 ε + U 2(P 2,ε,f) 1 2 ε = U(P ε,f) ε U(f) ε. Kosk ε > 0 vlittiin mielivltisesti, sdn U(f) U 1 (f) + U 2 (f). Nyt U(f) U 1 (f) + U 2 (f) j U(f) U 1 (f) + U 2 (f), joten U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Todistetn nyt luse 4.6 edellä stujen tulosten vull. Todistus. Oletetn ensin, että funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2. Silloin L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f). Apuluseiden 4.7 j 4.8 perusteell U(f) = U 1 (f) + U 2 (f) = L 1 (f) + L 2 (f) = L(f). Näin ollen funktio f on integroituv välillä I j f = c f + c Oletetn sitten, että funktio f on integroituv välillä I. Tämän oletuksen j puluseiden 4.7 j 4.8 perusteell L 1 (f) + L 2 (f) = L(f) = U(f) = U 1 (f) + U 2 (f). Luseen 3.4 mukn L 1 (f) U 1 (f) j L 2 (f) U 2 (f). Jos L 1 (f) < U 1 (f), niin L 2 (f) > U 2 (f), mikä on ristiriidss luseen 3.4 knss. (Smoin jos L 2 (f) < U 2 (f), syntyy ristiriit.) Näin ollen L 1 (f) = U 1 (f) j L 2 (f) = U 2 (f), joten funktio f on integroituv väleillä I 1 j I 2 j f = c f + c f. f. 36

37 Seurus 4.9. Olkoon P = (x 1,x 2,...,x n ) välin I = [,b] jko j olkoon funktio f integroituv välillä I. Silloin f = xk x k 1 f. Todistus. Tulos seur luseen 4.6 tuloksest. 4.2 Integrlin olemssolost Pltn nyt käsittelemään kysymystä integrlin olomssolost. Jott Riemnnin integrliteorist sdn käyttökelpoinen, trvitn sellinen lj j helposti tunnistettviss olev funktioiden luokk, jolle integroituvuus on tttu. Tärkein työklu tämän osoittmisess on Riemnnin kriteeri integroituvuudelle (ks. luse 3.5). Muotoilln tätä kriteeriä ensin hiemn, jott sen käyttö on mukvmp. Jos funktio f : I R on rjoitettu välillä I = [,b] j P = (x 0,x 1,...,x n ) on välin I jko, niin käytetään jo edellä tutuksi tulleit merkintöjä m k = inf{f(x) x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. Vrt. [1, s. 247]. Luse [1, s. 250] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R rjoitettu. Tällöin seurvt kohdt ovt yhtäpitäviä: 1. Funktio f on integroituv välillä I. 2. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että (M k m k )(x k x k 1 ) < ε. 3. Jokiselle ε > 0 on olemss välin I jko P ε = (x 0,x 1,...,x n ) siten, että w k (x k x k 1 ) < ε, missä w k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]}, kun k = 1, 2,...,n. 37

38 Todistus. [1, s. 250] Osoitetn ensin, että (1) (2). Kun m k j M k on määritelty kuten edellä, sdn, että U(P ε,f) L(P ε,f) = = M k (x k x k 1 ) m k (x k x k 1 ) (M k m k )(x k x k 1 ), jost voimme päätellä, että (1) (2). Osoitetn sitten, että (2) (3). Huomtn, että M k m k = sup{f(x) x [x k 1,x k ]} inf{f(x) x [x k 1,x k ]} = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} = w k. 4.3 Monotonisten j jtkuvien funktioiden integroituvuus Osoitetn seurvksi monotonisten funktioiden integroituvuus. Luse [1, s. 251]Olkoon I = [, b] j olkoon funktio f : I R monotoninen välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. Vrt. [1, s. 251]. Oletetn ensin, että funktio f on ksvv välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) välin I sellinen jko, jok jk välin I siten, että jokinen väleistä on yhtäsuuri, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on ksvv välillä [x k 1,x k ], on f(x k 1 ) < f(x k ). Näin ollen m k = f(x k 1 ) j M k = f(x k ). Tällöin (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k ) f(x k 1 ))( b n ) (f(x k ) f(x k 1 )) = b n (f(x 1) f(x 0 ) + f(x 2 ) f(x 1 ) + + f(x n ) f(x n 1 )) = b n (f(x n) f(x 0 )) = b (f(b) f()). n 38

39 Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f(b) f())/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f(b) f()) ε (f(b) f()) (f(b) f()) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell ksvv funktio f on integroituv välillä I. Oletetn sitten, että f on vähenevä välillä I. Olkoon P n = (x 0,x 1,...,x n ) jälleen välin I sellinen jko, jok jk välin I n:ään yhtä suureen osn, eli [x k x k 1 ] = (b )/n, kun k = 1, 2,...,n. Kosk funktio f on vähenevä välillä [x k 1,x k ], on f(x k ) < f(x k 1 ). Näin ollen m k = f(x k ) j M k = f(x k 1 ). Tällöin sdn (M k m k )(x k x k 1 ) = = b n (f(x k 1 ) f(x k ))( b n ) (f(x k 1 ) f(x k )) = b n (f(x 0) f(x 1 ) + f(x 1 ) f(x 2 ) + + f(x n 1 ) f(x n )) = b n (f(x 0) f(x n )) = b (f() f(b)) n Vlitn ε > 0 j vlitn n N siten, että n > (b )(f() f(b))/ε. Nyt sdn, että (M k m k )(x k x k 1 ) = b n < b (b )(f() f(b)) ε (f() f(b)) (f() f(b)) = ε. Nyt luseen 4.10 kohdn 2 perusteell vähenevä funktio f on integroituv välillä I. Osoitetn seurvksi jtkuvien funktioiden integroituvuus. 39

40 Luse [1, s. 251] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R jtkuv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 251] Luseen 2.1 perusteell funktio f on tsisesti jtkuv välillä I. Oletetn, että x, y I. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss sellinen δ(ε) > 0, että mikäli x y < δ, niin f(x) f(y) < ε/(b ). Olkoon n N sellinen, että n > (b )/δ(ε) > 0, j olkoon P n = (x 0,...,x n ) välin I sellinen jko, että x k x k 1 = (b )/n < δ(ε). Nyt Tällöin, kun k = 1, 2,...n, sdn, että w k = M k m k = sup{f(x) f(y) x,y [x k 1,x k ]} ε/(b ). ε (b ) w k (x k x k 1 ) n (b ) n = ε. Luseen 4.10 kohdn 3 perusteell funktio f on integroituv välillä I. 4.4 Joitkin integroituvien funktioiden luokn keskeisiä ominisuuksi Luse [1, s. 252] Olkoon I = [,b] j olkoon J = [c,d]. Oletetn, että funktio f : I R on integroituv välillä I. Oletetn lisäksi, että ϕ : J R on jtkuv j että f(i) J. Tällöin yhdistetty funktio ϕ f : I R on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 252] Olkoon ε > 0, olkoon K = sup{ ϕ(t) : t J} j olkoon ε = ε/(b + 2K). Funktio ϕ on tsisesti jtkuv välillä J. Tällöin on olemss sellinen δ > 0, jolle pätee, että δ < ε j jos s,t J j s t < δ niin ϕ(s) ϕ(t) < ε. Kosk funktio f on integroituv välillä I j δ 2 > 0, niin on olemss sellinen välin I jko P = (x 0,x 1,...,x n ), että U(P;f) L(P;f) < δ 2. Osoitetn seurvksi, että jolle P pätee, että U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) ε. 40

41 Vlitun ε > 0 mielivltisuudest seur tällöin, että luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Olkoon m k = inf{f(x) : x [x k 1,x k ]} j M k = sup{f(x) : x [x k 1,x k ]}. Erotetn sitten jon P indeksien joukko {0, 1,...,n} joukko khdeksi osjoukoksi siten, että A = {k : M k m k < δ} j B = {k : M k m k δ}. Olkoon nyt m k = inf{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]} j Mk = sup{ϕ f(x) : x [x k 1,x k ]}. Tällöin huomtn, että M k m k = sup{ϕ f(x) ϕ f(y) : x,y [x k 1,x k ]}. (Vrt. luseen 4.10 kohdn 3 todistus.) Trkstelln ensin tpust, joss k A j x,y [x k 1,x k ]. Tällöin f(x) f(y) < δ, mistä seur oletusten nojll, että ϕ f(x) ϕ f(y) < ε. Siis myös M k m k ε. Näin ollen, ( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ). k A Toislt, jos k B, voidn oletusten perusteell päätellä vin, että M k m k 2K. Näin ollen k B( M k m k )(x k x k 1 ) 2K k B (x k x k 1 ). Kuitenkin, kosk k B, tiedetään, että δ M k m k, joten k x k 1 ) k B(x 1 δ (M k m k )(x k x k 1 ) k B 1 (M k m k )(x k x k 1 ) δ k B 1 δ (U(P;f) L(P;f)) 1 δ δ2 = δ < ε. 41

42 Tällöin sdn, että ( M k m k )(x k x k 1 ) 2Kε. k B Yhdistämällä sdut rviot, sdn U(P;ϕ f) L(P;ϕ f) = ( M k m k )(x k x k 1 ) + k A k B( M k m k )(x k x k 1 ) ε (b ) + 2Kε = ε (b + 2K) = ε. Näin ollen luseen 3.5 perusteell funktio ϕ f on integroituv. Käyttämällä pun edellä sdun luseen 4.13 tulost hyväksi, voidn nyt osoitt funktioiden f, f n j 1 integroituvuus. Smoin voidn osoitt, f että khden integroituvn funktion f j g tulofunktio fg on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että on olemss sellinen K > 0, että f(x) K jokisell lkioll x I. Määritellään funktio ϕ 1 (t) = t, kun t J = [ K,K]. Funktio ϕ 1 on jtkuv välillä J j voidn muodost yhdistetty funktio ϕ 1 f = f. Näin ollen luseen 4.13 perusteell f on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R on integroituv välillä I. Jos n N, niin funktio f n on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254]Olkoon f(x) K, kun x I, j olkoon ϕ 2 (t) = t n, kun t J = [ K,K]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 2 f = f n j luseen 4.13 perusteell f n on integroituv. Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos on olemss sellinen δ > 0, että f(x) δ kikill x I, niin 1/f on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Olkoon δ f(x) K, kun t I, j olkoon ϕ 3 (t) = 1/t, kun t J = [δ,k]. Tällöin yhdistetty funktio ϕ 3 f = 1/f j luseen 4.13 perusteell 1/f on integroituv. 42

43 Luse [1, s. 254] Olkoon I = [,b] j olkoot funktiot f,g : I R integroituvi välillä I. Tällöin niiden tulo fg on integroituv välillä I. Todistus. [1, s. 254] Luseiden 4.1 j 4.15 perusteell funktiot f +g, (f +g) 2, f 2 j g 2 ovt integroituvi välillä I. Kosk (f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2, niin fg = 1 2 (f + g)2 f 2 g 2. Luseen 4.1 perusteell funktio fg on siis integroituv välillä I. Edellä sdut tulokset tkvt, että on olemss sellinen lj luokk funktioit, joille integrlifunktion olemssolo on tttu. Seurv esimerkki osoitt, että oletust funktion ϕ jtkuvuudest ei kuitenkn void korvt integroituvuudell, sillä khden integroituvn funktion yhdistetty funktio ei välttämättä ole integroituv. Esimerkki 4.1. [1, s. 254] Osoitetn, että khden integroituvn funktion yhdiste ei välttämättä ole integroituv. Olkoon I = [0, 1]. Määritellään funktio f : I R siten, että f(0) = 1, f(x) = 0, jos x I on irrtionlinen, j f(m/n) = 1/n, jos m,n N j luvuill m j n ei ole yhteisiä tekijöitä. Osoitetn, että funktio f on integroituv. (Vrt. [4, s. 122]) Olkoon P = (x 0,x 1,...,x n ) välin I = [0, 1] mielivltinen jko. Nyt m j = 0, kun 1 j n, joten L(P;f) = 0 j täten myös L(f) = 0. Kosk U(P;f) > 0, niin määritelmästä 3.1 seur, että myös U(f) 0. Tulee vielä siis osoitt, että U(f) 0, jott sdn osoitettu, että L(f) = U(f) = 0. Vlitn mielivltinen ε > 0. Tällöin on olemss vin äärellinen määrä sellisi rvoj x I, joille f(x) ε/2. Olkoon k tämä äärellisten lukujen määrä. Olkoon P 0 välin I sellinen jko, että P 0 = mx 1 i n (x i x i 1 ) < ε/(2k). Muodostetn yläsumm U(P;f) = n j=1 M j(x j x j 1 ). Nyt sellisi j:n rvoj, joille M j ε/2 on enintään k kpplett, j näillekin pätee, että M j 1. Näiden termien vikutus summn, on vähemmän kuin k(ε/(2k)) = ε/2. Kosk kikill muill j:n rvoill M j < ε/2, näiden muiden termien summ on pienempi kuin ε (x j x j 1 ) = ε 2 2 (x n x 0 ) = ε 2 (1 0) = ε 2. j=1 43

44 Näin ollen U(f) < ε. Luvun ε mielivltisest vlinnst seur, että U(f) = 0. Määritellään funktio g : I R siten, että g(0) = 0 j g(x) = 1, kun x (0, 1]. Tällöin g on integroituv välillä I j jtkuv kikkill muull pitsi pitsi pisteessä 0. Nyt yhdiste g f(x) = 0, kun x I on irrtionlinen j g f(x) = 1, kun x I on rtionlinen. Näin ollen funktio g f on Dirichlet n funktio, jok ei ole integroituv, kuten esimerkissä 3.5 osoitettiin. Apuluse [1, s. 256] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Jos f(x) K kikill x I, niin Todistus. [1, s. 257] f f K(b ). Luseeen 4.14 perusteell funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktio f on integroituv välillä I. Kosk f f f, niin luseen 4.4 perusteell Tästä sdn, että Luseest 4.5 seur, että f f f f. f K(b ). f. Trkstelln nyt funktiot f : I R, jok on integroituv välillä I = [,b]. Olkoon x b. Kun funktio f rjoitetn välille [,x], on luseen 4.6 perusteell funktio f vrmsti integroituv myös välillä [, x]. Määritellään nyt funktio F : I R funktion f vull seurvsti: F (x) = x f, kun x I. Näin määriteltyä funktiot F kutsutn funktion f määräämättömäksi integrliksi välillä I. 44

45 Integroituvn funktion f ei välttämättä trvitse oll jtkuv. Määräämätön integrlifunktio F on kuitenkin in jtkuv, kuten seurvksi osoitetn. Luse [1, s. 257] Olkoon I = [,b] j olkoon funktio f : I R integroituv välillä I. Tällöin funktio F : I R, F (x) = on tsisesti jtkuv välillä I. x f, kun x I, Todistus. [1, s. 257] Vlitn x,y I siten, että x < y. Tällöin luseen 4.6 nojll voidn päätellä, että F (y) F (x) = = = y x y x f f + x y x Funktion f integroituvuudest välillä I seur, että funktioll f on olemss sellinen rj K, että luseen 4.18 perusteell sdn F (y) F (x) f. y x f f x f f K(y x). Vlitn nyt ε > 0 j olkoon δ(ε) = ε/k. Tällöin jos x, y I j x y < δ, niin F (y) F (x) < ε. Näin ollen funktio F on tsisesti jtkuv välillä I. 45

46 Viitteet [1] Brtle, Robert G., Sherbert, Donld R.,Introduction to Rel Anlysis. New York: John Wiley nd Sons, Inc [2] Boyer, Crl, suom. Pietiläinen, Kimmo. Tieteiden kuningtr Mtemtiikn histori, os 2. Kolms Pinos. John Wiley nd Sons, Inc [3] Thomson, Brin S., Bruckner, Judith B., Bruckner Andrew M., Elementry Rel Anlysis. New Jersey: Perentice-Hll, Inc [4] Trench, Willim F., Introduction to Rel Anlysis. New Jersey: Person Eduction, Inc

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot