Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Transkriptio

1 Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin. Mth -ruutu sisältää kikki smt lskutoiminnot kuin lskinsovelluskin. Mth -ruutujen lskuj j lusekkeit voi jälkikäteen muokt j ovt siten dnmisi, mikä helpott rtkisun hhmottelu j muokkmist. - Mth -ruutu listätään Lisää -vlikon kutt ti piknäppäimellä CTRL + M - Mth -ruutu nättää tältä:f := b j tämän derivtt ' f b b- ' - Lskutoimitus lsketn pinmll Enter. Söte on sininen j tulos on vihreä. - Kun kirjoitetn vin kv, siirretään kursori ruudun ulkopuolelle j kv säil mustn. - Mth -ruudun määritksiä voidn muutt vlitsemll :Mth-ruudun setukset ti klikkmll hiiren kkkospinikett ruudun päällä. Näiden mllirtkisujen tvoitteen on hvinnolist TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmn kättöä sähköisen koesisällön tuottmisess. Lisätietoj Tehtävä ) Sijoitetn htälön juuri = 0 htälöön j rtkistn vkio htälön vull = 0+ 0 = = 0 :04 = 0 04 ti suorn solvell solve =0+, =0 = cm b) Olkoon neliön sivu. Pthgorn luseen mukn + = 6, jost solve + =6, >0 =3. Tällöin kstt piiri on. = 4.4 cm c) Suurin luku on = j pienin -. MAA_S- Sivu ihe: 9

2 Tehtävä ) Suorn vkiotermi on 0 j kulmkerroin 4/3, joten suorn htälö on = 4 3. = b) Ymprän on pisteen 3,4 etäiss 3,4 = 4 3 origost, eli 3 +4, eli mprän htälö on + =. c) Mhdollisen prbelin htälö on muoto 8 8 =. Prbeli kulkee pisteen 3,4 kutt, jost solve 4= 3, = 4, eli htälö on 9 = = Trkistus piirtämällä ensin jokin mprä, suor j prbeli, j settmll ne kulkemn kseisen pisteen kutt trttumll kuvjiin Tehtävä 3 ) Mittkv on krttpituuden suhde todelliseen, joten 0000 = 7._cm, jost on 7. _cm solve =, =300. _m 0000 b) Olkoon kuution sivu s j kstt pint-l. Tällöin tilvuus on s 3 = 7.0 l j thkon pint-l = s solve s 3 =7. _l nd =s,,s = _m nd s=0.993 _m _m _cm _cm Vstus ) 300 m j b) 366 cm MAA_S- Sivu ihe: 9

3 Tehtävä 4 Olkoon OB =,. Tällöin AB = -,-. Kosk vektorin AB pituus on 3 j se on kohtisuorss vektorin 3,4 knss, sdn htälöt dotp - -, 3 4 =0 solve,, norm - - =3.94 B₁.4,3.79 A = 7 nd = 9 or = 7 nd = 3. B₂ 3.44, Vstus Sdn kksi vihtoehto - 7, 9 j 7,..94 Tehtävä. Tp I Olkoon puolet kstn jänteen pituudest. Kuvss on sm kuin pisteen, etäiss origost, eli +. Pthgorn luseest sdn r = +, jost solvell.06 solve 4 = +, >0 = Vstus: 6.63 u Tp II Lsketn suorn j mprän leikkuspisteet: solve -= - + =6-0 =,, + nd = or = +0 - nd = 4.6, 4.6 r j lsketn näiden pisteiden välimtk =.06 MAA_S- Sivu 3 ihe: 9

4 Tehtävä 6 Kseessä on toistokoe, joss ksittäisen onnistumisen todennäköiss on p = 90 %. ) Yksi epäonnistuu=kolme onnistuu, joten binompdf 4,90%, b) Odotusrvo onnistuneille on toistojen määrä n kert ksittäisen onnistumisen todennäköiss, eli 4 90% 3.6 c) Jott odotusrvo olisi 0, on oltv n 90% = 0, eli n= 0 90%. Vstus ) Noin 9 % b) Noin 3.6 j c) Vähintään kert Tehtävä 7 Ison kolmion korkeus h on Pthgorn luseen mukn solve h +h =,h h>0 nd >0 h= Pienen kolmion pint-l on tällöin nd >0 l := -, joss voi oll välillä 0 Rtkistn ln derivttfunktio j sen nollkohdt. A B I l -, zeros I l, I I 4 Jtkuvn funktion suurin rvo on derivtn nollkohdss ti päätepisteissä. Tässä tilnteess derivtn nollkoht ino on mhdollinen, j siinä rvo on l 4 8 Vstus 8 MAA_S- Sivu 4 ihe: 9

5 Tehtävä 8 Olkoon thti luss (tonni/vuosi). 0-vuoden ikn hiiltä louhitn tällöin 0 thdin olless vkio. Mikäli määrä ksv.% vuodess, n: ssä vuodess hiiltä louhitn n- +. % i. Vuosien määrä voi oll mksimissn i= solve n- +. % i =0,n n=3.84 i= 0 Vstus Kivihiili loppuisi vuonn 047. Tehtävä 9 Koko omenn tilvuus V = 4 π r3 3 v%&'():= 4 3 π 3 = 00 π 3 Pthgorn luseest = - = 4. Poisleiktun osn tilvuus sdn kärän f := -, < 4, 4 4 -, > 4 Tilvuudeksi sdn v*'+,)--.:=π f d Prosenteiss v*'+,) v%&'() Vstus:.9 % pörähtäessä f = MAA_S- Sivu ihe: 9

6 Tehtävä 0 ) Kosk jono on geometrinen b = q j c = q. Pthgorn luseest c = +b j edelleen solve q = q + +,q q>0 q= b) Olkoon termien välinen erotus d, jolloin b = +d, c = +d. Pthgorn luseest solve + d = + +d, d>0 nd >0 =3 d nd d>0. Tällöin sivut ovt 3d, 4d j d. Kstt suhde on täten 3:4:. Vstus ) q= + b) 3:4: Tehtävä ) Luku on jollinen luvull kolme, mikäli numeroiden summ on kolmell jollinen. Numeroiden summ on ++n+3+4+n++6+7+n+8+9+n 4 n+4. 4 on jollinen kolmell. 4n on jollinen kolmell, mikäli n on 0, 3, 6 ti 9. b) Luku on jollinen kuudell, mikäli se on jollinen kolmell j khdell. Luku on jollinen khdell, mikäli sen viimeinen numero on prillinen. Molemmt ehdot tättävät n = 0 j n = 6 c) Numeroiden summn 4 n+4 tät oll hdeksällä jollinen. 4 on hdeksällä jollinen. 4n on hdeksällä jollinen, mikäli n on 9 ti 0. Vstus ) 0, 3, 6 ti 9. b) 0 ti 6 c) 0 ti 9 MAA_S- Sivu 6 ihe: 9

7 Tehtävä Tp I p := b sen kksi nollkoht ovt j -3, joten p =0 +b-=0 p 3 =0 9 +b-4=0 Muodostetn näistä htälöpri, jost rtkistn j b: solve +b-=0,,b = nd b= 3 9 +b-4= b = nd b= solve =0, = 3 or = or = Tp II Polnomi on muoto P = c +d - +3 j sen kksi nollkoht ovt j -3 Avtn sulut epnd c +d - +3 c 3 + c +d -3 c + d -3 d Hvitn, että on oltv c = j d =. Polnomin kolms nollkoht on tekijän c +d = + nollkoht, eli + = 0 = -/. Vstus: Polnomin nollkohdt ovt, -3 j -. Tehtävä 3 ) Esimerkiksi lukujono U = - n on rjoitettu, sillä U =, mutt jono ei suppene sillä V+₁ - V = kikill i N. b) Esimerkiksi U =-n. Jono on vähenevä, kosk V+₁ - V = - i+ - -i = -. Jono ei ole hjntuv, kosk lim U =-. n c) Ehto toteutuu, kun p on esimerkiksi, eli f :=. Integrlifunktiot ovt f d = +C j rj-rvo f d >0 = ln +D. Rj-rvo lim lim nnetut ehdot. f d = lim f ln -ln d = lim - =, mutt =. Vlint p = toteutt siis MAA_S- Sivu 7 ihe: 9

8 Tehtävä 4 ) Kseisen suorn suuntvektori on,3,7 j pituus norm Tällöin cos α = cos β = cos γ =,3,7,0,0 6,3,7 0,,0 6,3,7 0,,0 6 b) Edellisten neliöiden summ c) α = cos^ 6 = = = , β = cos^ = 67.6 j γ = cos^ d) Ehdot toteuttvn suorn eräs suuntvektori on,b,c j sen pituus on norm b c +b +c. Suuntkosinien neliö on cos α +cos β +cos γ b c = + + +b +c +b +c +b +c = +b +c +b +c = MAA_S- Sivu 8 ihe: 9

9 Tehtävä ) Mikäli = b, kolmio on tsklkinen. Kosk kolmio on tsklkinen, =. Pthgorn luseest sdn k = - = b-. C α b k B D A b) Olkoon kulmnpuolittjn α kosini c. Sdn kksi kosinilusett, joist = k +b - c b k =k +, joist -k -b - c k b -k -b = b -k - = -k - b. Kulmnpuolittjluseen mukn /=b/, joten -k -b = -k - -k -b = - k - - k = b, sijoitetn = b k = b - k = b- = - b - + b - = - b MAA_S- Sivu 9 ihe: 9