Korkeamman kertaluvut derivaatat

Transkriptio

1 LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid vstvll tvll. Siis f(x + u + v f(x + v + Df(x + vu f(x + Df(xv + ( Df(x + D 2 f(xv u = f(x + Df(xv + Df(xu + ( D 2 f(xv u. Kun toinen derivtt määäritellään derivtn derivttn, on tässä Df(x: E F on jtkuv linerikuvus, Df : U L(E; F differentioituv j D 2 f(x: E L(E; F on jtkuv linerikuvus, t.s. D 2 f(x L(E; L(E; F. Siis D 2 f(xv L(E; F j (D 2 f(xvu F. Kosk edellisessä kvss kikki muu on prin (u, v suhteen symmetristä, on otksuttviss, että myös toinen derivtt on symmetrinen, t.s. (D 2 f(xvu = (D 2 f(xuv kikille u, v E. Toinen derivtt ei kuitenkn määritelmänsä puolest tule olemn symmetrinen esiintyvien muuttujien u j v suhteen, joten trkstelln tämänkltisten kuvusten luonnett luksi yleisesti Bilinerikuvukset [4, IV, 1], [1, ], [3, V.5, V.7], [15, Ch. V, 3], [5, 2.2.9] Prit (E,, (F,,... ovt (vin normivruuksi, ellei toisin minit. Plutetn mieleen: Kuvus B : E F G bilinerinen, jos kikille x E j y F kuvukset E G, u B(u, y j F G, v B(x, v ovt linerisi. Vstvll tvll määritellään n-linerinen kuvus B : E 1 E n G. Kikkien jtkuvien bilinerikuvusten E F G joukko merkitään L(E, F ; G. Vstvsti, jtkuvien n-lineristen kuvusten E 1 E n G joukko merkitään L(E 1,..., E n ; G. Lisäksi merkitään L 2 (E; G := L(E, E; G j L n (E; G = L(E,..., E; G. }{{} n 1 Viimeksi muutettu

2 4.1. BILINEAARIKUVAUKSET 24 Osoitetn seurvksi, että normivruudet L(E, F ; G j L(E; L(F ; G ovt luonnollisell tvll isometrisesti isomorfiset. 2 Erityisesti siis L 2 (E; G j L(E; L(E; G ovt isometrisesti isomorfiset. Määritellään luksi kuvus L(E, F ; G L(E; L(F ; G. Jokiselle B L(E, F ; G j x E olkoon B x : F G, B x (y := B(x, y. Tällöin B x L(F ; G j B x (y = B(x, y B x y, joten B x B x. Lisäksi B : E L(F ; G, x Bx, on linerinen j Bx = B x B x, joten B L(E; L(F ; G. Kosk B = sup{ B(x, y x 1, y 1} = sup{ B x x 1} = B, on kuvus B B, L(E, F ; G L(E; L(F ; G, isometri. Kuvus B B on tällöin injektio. Kuvus B B on myös surjektio, sillä jos A L(E; L(F ; G, niin kuvukselle B : E F G, on B L(E, F ; G j Bx = B x = A(x. Siis B(x, y := (A(x(y, (4.1 L(E, F ; G = L(E; L(F ; G, B B, B(x, y = ( Bx(y. Jtkoss vruudet L(E, F ; G j L(E; L(F ; G usein smistetn tämän isometrisen isomorfismin B B mukisesti. Vstvll tvll vruudet L(E 1,..., E n ; G j L(E 1 ;... L(E n ; G ovt isometrisesti isomorfiset. Erikoistpus: L 2 (E; R = L(E, E; R = L(E; L(E; R = L(E; E Huom, että Hilbertin vruuden H duli L(H; R = H voidn smist isometrisesti vruuden H knss: H f H, f (x := ( x, jolloin f H = H (Fréchet n j Rieszin luse. Tämä smistus ei kuitenkn ole luonnollinen; se riippuu vruuden H sisätulon vlinnst. 3 Erikoistpuksen erikoistpus: Jokinen bilinerimuoto B : R n R n R voidn esittää mtriisiin (b j,k n j,k=1 vull: n B(x, y = b j,k x j y k, j,k=1 missä b j,k = B(e j, e k. Jos setetn b(x := n j,k=1 b j,k x j e k, niin b L(R n ; R n j B(x, y = (b(x y. Edellä ollut kuvus B : R n (R n on nyt ( B(x(y = (b(x y, t.s. B(x = (b(x. 2 Normivruudet (E, E j (F, F ovt isomorfiset, jos on olemss jtkuv linerinen bijektio A: E F, jolle myös käänteiskuvus on jtkuv. Normivruuksien E j F isomorfisuutt merkitään jtkoss E = F. Isomorfismi A: E F on isometri, jos Ax F = x E kikille x E. 3 Oikestn Hilbertin vruudelle on in nnettu tietty sisätulo. Trkoitus on sno, että jos Hilbertin vruuden sisätulo muutetn niin, että vstvt normit ovt ekvivlenttej, niin tällöin myös isomorfismi H = H muuttuu.

3 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT Korkemmn kertluvun derivtt [4, XIII, 5], [1, Ch. 1, 5.1], [3, VIII.12], [15, Ch. V, 3, 8], [5, ] Määritelmä 4.1. Olkoon U E voin j f : U F differentioituv kuvus. Jos kuvus Df : U L(E; F on differentioituv pistessä x U, niin f on kksi kert differentioituv pisteessä x U (ti kuvuksell f on toinen derivtt pisteessä x U. Kuvuksen f toist derivtt pisteessä x U merkitään D 2 f(x. Toinen derivtt pisteessä x U on siis jtkuv linerikuvus D 2 f(x : E L(E; F, t.s. kikille u E on D 2 f(x u jtkuv linerikuvus E F. Edellisen mukn linerikuvus D 2 f(x : E L(E; F voidn smist bilinerikuvuksen E E F knss settmll ( D 2 f(x u (v =: D 2 f(x (u, v. Kuvus f : U F on kksi kert jtkuvsti differentioituv, jos f on kksi kert differentioituv jokisess pisteessä x U j kuvus D 2 f : U L(E; L(E; F on jtkuv. Euklidisten vruuksien tilnteess, E = R n, F = R m, derivtt Df voidn smist mtriisirvoisen kuvuksen ( D j f k k,j knss. Luseen 2.11 nojll kuvus Df on differentioituv pisteessä x, jos j vin jos jokinen koordinttifunktio D j f k on differentioituv pisteessä x. Lemm 4.2. Olkoot U E voin j f : U F jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot u E j g : U F, g(x := Df(xu. Jos kuvuksell f on toinen derivtt pisteessä x U, niin g on differentioituv pisteessä x j Dg(xv = D 2 f(x(v, u kikille v E. Todistus. Olkoon L: L(E; F F, L(A := Au. Tällöin L on jtkuv linerikuvus j g(x = L(Df(x. Siis Dg(x = DL(Df(x D(Df(x = L D 2 f(x, t.s. Dg(xv = L(D 2 f(xv = (D 2 f(xv(u = D 2 f(x(v, u. Huomutus 4.3. Jos E on äärellisulotteinen, niin edellisen luseen tulos voidn kääntää: Jos g u : U F, g u (x := Df(xu, differentioituv pisteessä x kikille u E, niin kuvuksell f on toinen derivtt D 2 f(x pisteessä x U. Jos E ei ole äärellisulotteinen, ei tämä käänteinen tulos päde. Vstesimerkiksi käy seurv: Olkoon c kikist noll kohti suppenevist relilukujonoist x = (x k k=1 muodostuv Bnchin vruus (lskutoimitukset komponenteittin, normin x = sup k x k. Olkoot g k : R R, g k (t := t/(1 + k t, f k (t := t g k(s ds j f : c c, f(x := ( f k (x k. Tällöin f on jtkuvsti differentioituv, kikille u c k=1 kuvus x Df(xu on differentioituv pisteessä x =, mutt Df ei ole differentioituv pisteessä x =. Vrt. [3, luku VIII: 12, HT 7; 9, HT 2; 6, HT 3; 4, HT 4 5]. cos(k t, kelvnnee k 2 Kuvus f : c c, f(x := ( f k (x k, missä f k=1 k(t := 1 myös. (Kuvus h: c c, h(x := ( h k (x k, missä h k=1 k(t := 1 sin(k t, ei ole k differentioituv missään. [9, luku VII, Beispiel 24.4]

4 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 26 Luse 4.4 (L. Euler, H. A. Schwrz; helppo 4. Olkoot F Bnchin vruus, U E voin j f : U F kksi kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt on symmetrinen, D 2 f(x(u, v = D 2 f(x(v, u kikille x U, u, v E. Todistus. Kiinnitetään x U, u, v E. Olkoon ϕ F = L(F ; R. Määritellään g : B 2 (; r R, g(s, t := ϕ(f(x + s u + t v, missä r > vlitn niin pieneksi, että x + s u + t v U kikille (s, t B 2 (; r. Kuvus B 2 (; r U, (s, t x+s u+t v U, on C 2 -kuvus, smoin ϕ: E R. Siis g on C 2 -funktio. Kosk D 1 g(s, t = ϕ(df(x + s u + t vu, D 2 g(s, t = ϕ(df(x + s u + t vv, D 2 D 1 g(s, t = ϕ(d 2 f(x + s u + t v(v, u, D 1 D 2 g(s, t = ϕ(d 2 f(x + s u + t v(u, v, sdn kurssill Differentililskent 1 todistetust luseest [DL1, Luse 7.3] ϕ(d 2 f(x(u, v = D 1 D 2 g(, = D 2 D 1 g(, = ϕ(d 2 f(x(v, u. Kosk ϕ F on mielivltinen, seur väite Hhnin j Bnchin luseest. Ilmn Hhnin j Bnchin lusett j kurssin Differentililskent 1 vuj (mutt nlyysin peruslusett käyttäen; [4, XIII, 5]: Luse 4.5 (Euler, Schwrz. Olkoot F Bnchin vruus, U E voin j f : U F kksi kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt on symmetrinen, D 2 f(x(u, v = D 2 f(x(v, u kikille x U j kikille u, v E. Todistus. Olkoon u < r/2 j v < r/2, missä r > vlitn niin, että B(x; r U. Olkoon g(z := f(z + u f(z, z B(x; r/2. Tällöin nlyysin perusluseen nojll x (u, v := f(x + u + v f(x + v f(x + u + f(x = g(x + v g(x = = Dg(x + t vv dt = ( D 2 f(x + s u + t vu ds v dt. (Df(x + u + t v Df(x + t vv dt 4 Krl Hermnn Amndus Schwrz ( ; Schwrz tunnetn premmin Cuchyn, Bunjkovskin j Schwrzin epäyhtälöstä, sekä monist kompleksinlyysin Schwrzin... -nimisistä tuloksist. Tulos löytyy myös, tosin vrsin heuristisin perusteluin, Eulerin kirjst Institutiones clculi differentilis, 1755.

5 Tässä 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 27 Olkoon ψ(u, v := D 2 f(x + u + v D 2 f(x. Tällöin (käyttäen smistust (4.1 ( x (u, v = (ψ(s u, t v + D 2 f(xu ds v dt ( = ( ψ(s u, t v(u, v ds dt ψ(s u, t v(u, v ds dt + D 2 f(x(u, v. sup s,t 1 ψ(s u, t v u v. Kun vstv lsku tehdään lähtemällä esityksestä x (u, v = h(x + u h(x, missä h(z := f(z + v f(z, sdn ( x (u, v = ψ(s u, t v(v, u dt ds + D 2 f(x(v, u, missä integrlile sdn sm ylärj kuin edellä. Edellä erotukselle x (u, v stujen kvojen vull sdn R(u, v := D 2 f(x(u, v D 2 f(x(v, u ( = ψ(s u, t v(v, u dt ds ( ψ(s u, t v(u, v ds dt Tässä R: E E F on jtkuv bilinerikuvus, j kosk kuvuksen f toinen derivtt on jtkuv pisteessä x, on R(u, v u v, kun (u, v (,. Väite seur nyt seurvst lemmst. Lemm 4.6. Olkoon R: E E F on jtkuv bilinerikuvus. Jos R(u, v u v, kun (u, v (,, niin R =. Todistus. Olkoon Q(u, v := R(u,v. Kiinnitetään u j v. Tällöin riittävän pienelle s R u v on s 2 R(u, v = R(s u, s v = Q(s u, s v s u s v = s 2 Q(s u, s v u v. Jkmll puolittin luvull s 2 j ntmll s, sdn väite. Huom, että lemmn tulos on bilinerikuvuksille vstv kuin linerikuvuksille olisi: Jos L: E F on jtkuv linerikuvus, jolle on voimss Lu/ u, kun u, niin L =. [1, Ch. 1, 5.1], [3, VIII.12], [15, Ch. V, Thm. 8.2]: Luse 4.7 (Euler, Schwrz; oike. Olkoon U E voin, x U j f : U F pisteessä x kksi kert differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt D 2 f(x on symmetrinen, D 2 f(x (u, v = D 2 f(x (v, u kikille u, v E.

6 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 28 Todistus. Olkoot r > siten, että B(; 2r U, j (u, v := f(x + u + v f(x + u f(x + v + f(x, kun u r j v r. Osoitetn, että josskin origon ympäristössä B(; r B(; r on voimss (4.2 (u, v (D 2 f(x vu ε u (2 u + 3 v. Tässä (u, v on symmetrinen muuttujien u j v suhteen, joten vihtmll edellisessä u j v keskenään, sdn (D 2 f(x vu (D 2 f(x uv ε u (2 u + 3 v + ε v (2 v + 3 u 2 ε ( u + v 2. Väite seur nyt edellisestä lemmst 4.6. Epäyhtälön (4.2 todistus: Kosk toinen derivtt D 2 f(x on olemss, on jokiselle ε > olemss r (, 2r siten, että Df(x + w Df(x D 2 f(x w ε w, kun w 2r. Erityisesti, kun u r j v r, on (4.3 (4.4 Df(x + u + v Df(x D 2 f(x (u + v ε u + v Df(x + u Df(x D 2 f(x (u ε u. Jokiselle v B(; r olkoon g v : B(; r F, Kuvuksen g v derivtlle on g v (u := f(x + u + v f(x + u. Dg v (u = Df(x + u + v Df(x + u = (Df(x + u + v Df(x (Df(x + u Df(x. Erityisesti Dg v ( = Df(x + v Df(x. Epäyhtälön (4.4 nojll on Dg v ( D 2 f(x v ε v. Vstvsti epäyhtälöiden (4.3 j (4.4 nojll sdn (4.5 Dg v (u D 2 f(x v = (Df(x + u + v Df(x D 2 f(x (u + v (Df(x + u Df(x D 2 f(x u ε u + v + ε u. Kosk g v (u g v ( = (u, v, sdn välirvoepäyhtälön (seurus 3.11 vull (u, v (D 2 f(x vu = (g v (u g v ( Dg v (u + (Dg v (u (D 2 f(x vu sup z J,u Dg v (z Dg v ( u + Dg v ( D 2 f(x v u. Tässä epäyhtälöiden (4.5 j (4.4 nojll kikille z J,u sdn Dg v (z Dg v ( Dg v (z D 2 f(x v + D 2 f(x v Dg v ( ε z + v + ε z + ε v ε (2 u + 2 v. j

7 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 29 Siis (u, v (D 2 f(x vu ε (2 u + 2 v u + ε v u. Tämä on hluttu epäyhtälö (4.2. Olkoon U E voin j f : U F kksi kert differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt D 2 f(x on symmetrinen, joten derivtlle ω := Df : U L(E; F on voimss (ks. lemm 4.2 (Dω(xuv = D 2 f(x(v, u = D 2 f(x(u, v = (Dω(xvu kikille x U, u, v E. Primitiiviongelm: Kun on nnettun kuvus ω : U L(E; F, millä ehdoll on olemss kuvus f : U F siten, että ω = Df? Jos ω on differentioituv, on edellisen perusteell siis välttämättä (4.6 (Dω(xuv = (Dω(xvu kikille x U, u, v E Differentilimuodoist. Kun lue U on riittävän yksinkertinen (esimerkiksi tähtimäinen 5 j ω on differentioituv, niin tällöin ehto (4.6 on myös riittävä ( klssinen todistus: ks. esim. [9, 24.3]. Ongelm on erikoistpus yleisemmästä differentilimuotoihin liittyvästä ongelmst. Differentilinen 1-muoto on kuvus ω : U L(E; F j differentilinen 2-muoto on kuvus η : U L 2 (E; F siten, että η(x(u, v = η(x(v, u kikille x U, u, v E. Tämä ilmistn myös snomll, että η(x on lternoiv bilinerikuvus kikille x U. Yleisemmin, differentilinen n-muoto on kuvus η : U L n (E; F siten, että η(x on lternoiv n-linerikuvus kikille x U. Tämä trkoitt, että η(x(v 1,..., v i,..., v j,..., v n = η(x(v 1,..., v j,..., v i,..., v n kikille v 1,..., v n E j kikille indekseille i, j {1,..., n}, i j. Merkitään lternoiven n-linerikuvusten joukko A n (E; F. Joukko A n (E; F on vruuden L n (E; F suljettu livruus, joten A n (E; F on Bnchin vruus, silloin kun F on. Siis differentilinen n-muoto on kuvus η : U A n (E; F. Differentiliselle n-muodolle η : U A n (E; F määritellään ulkoinen derivtt dη settmll n (dη(x(v,..., v j,..., v n := ( 1 j (Dη(xv j (v,..., ˆv j,..., v n j= kikille v,..., v n E. Tässä ˆv j trkoitt, että kyseinen termi jätetään pois. Huom, että Dη(x on jtkuv linerikuvus E A n (E; F, joten (v,..., v j,..., v n (Dη(xv j (v,..., ˆv j,..., v n on jtkuv (n + 1-linerikuvus. On helppo osoitt, että dη(x on lternoiv, joten differentilisen n-muodon ulkoinen derivtt on differentilinen (n + 1-muoto, dη : U A n+1 (E; F. (Huom, että kuvuksen η(x lternoivuudest seur, että (v 1,..., v n (Dη(xu(v 1,..., v n on lternoiv jokiselle u E. 5 Alue U E on tähtimäinen, jos on olemss p U siten, että jokiselle x U jn J p,x U.

8 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 3 Erityisesti, funktiolle f : U F (=differentiliselle -muodolle j differentiliselle 1-muodolle ω : U L(E; F on (df(x(v = Df(xv, (dω(x(u, v = (Dω(xuv (Dω(xvu. Siis ehto (4.6 on yhtäpitävä ehdon dω = knss. Snotn, että differentilinen n-muoto η : U A n (E; F on suljettu, jos dη =, j η on ekskti, jos on olemss differentilinen (n 1-muoto ω : U A n 1 (E; F siten, että η = dω. Voidn osoitt, että in d(dω =, t.s. ekskti muoto on in suljettu. (Tämä on itse siss seurust toisen derivtn symmetrisyydestä; hiemn lskemist tosin trvitn. Primitiiviongelm hiemn yleisempi ongelm on: milloin suljettu muoto on ekskti? Yksinkertisen myönteisen vstuksen kysymykseen nt Poincrén lemm: Jos F on Bnchin vruus, U E on tähtimäinen j η on lueess U suljettu differentilinen n-muoto, niin tällöin η on ekskti. Tpus n = 1 on melko helppo. Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että U on tähtimäinen origon suhteen. Olkoon ω lueess U suljettu (jtkuvsti differentioituv differentilinen 1-muoto. Asetetn f(x := ω(t xx dt. Huom: differentilinen 1-muoto on kuvus ω : U L(E; F, joten ω(t xx F kikille x U j t [, 1]. Suorviivisell lskull (prmetrist riippuvn integrlin derivointi; todistetn myöhemmin luseen 6.2 sdn Df(xu = ( t (Dω(t xux + ω(t xu dt. Kosk ω on suljettu, on (Dω(xuv (Dω(xvu = kikille x U, u, v E. Siis Df(xu = = ( t (Dω(t xxu + ω(t xu dt = 1 (t ω(t xu = ω(xu, d(t ω(t x u dt dt joten Df = df = ω. Poincrén lemm: [14, Ch. V, 4], [2, Ch. 1, ], [5, Supplement 6.4A] 4.3. Tylorin polynomit [4, XIII, 6], [14, Ch. I, 4], [1, Ch. 1, ], [3, VIII.14], [8, Ch. I, 3.2], [15, Ch. V, 9], [5, ] Tässä esitettävät Tylorin kvn/luseen vektorirvoiset versiot lienevät peräisin Grvesilt [1]. Prit (E,, (F,,... ovt Bnchin vruuksi, ellei toisin minit.

9 n kert jtkuvsti derivoi- Luse 4.8 (Tylorin kv I. Olkoon f : [, b] F tuv kuvus. Tällöin 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 31 f(b = f( + f ((b + 1 f ((b f (n 1 ((b n 1 + R 2! (n 1! n, missä jäännöstermi R n on R n = b 1 f (n (t(b t n 1 dt. (n 1! Todistus. Todistetn väite induktioll luvun n suhteen. Tpuksess n = 1 on Anlyysin perusluseen nojll R 1 = b f (t dt = f(b f(. Olkoon nyt n = 2. Osittisintegroinnill (u(t := f (t j v(t := (b t sdn b b f(b f( = f (t dt = u(t v (t dt = b b f (t( (b t + f (t(b t dt. Tylorin kv tpuksess n = 2 seur tästä. Yleinen tpus: Oletetn, että väite pätee, kun oiken puolen summss on k termiä sekä jäännöstermi R k = b 1 f (k (t(b t k 1 dt. (k 1! Osittisintegrointikvn mukn (u(t := f (k (t j v(t := (b tk on k! R k = b Induktio-oletuksen mukn on u(t v (t dt = 1 k! f (k ((b k + b 1 f (k+1 (t(b t k dt. k! f(b = f( + f ((b + 1 f ((b f (k 1 ((b n 1 + R 2! (k 1! k. Sijoittmll tähän R k edellisestä kvst j järjestämällä termit uudestn, sdn Tylorin kv tpuksess k + 1. Kurssill Anlyysi 3 käytetty menetelmä Tylorin kvn todistmiseksi (ks. [A3, luse 2.3] ei ole erityisen hyvä, kosk se perustuu relirvoisen funktion välirvoluseeseen, joten tämä menetelmä ei yleisty vektorirvoisille kuvuksille. Kuten edeltä ilmenee integrlijäännösterminen muoto sen sijn voidn todist kivuttomsti vektorirvoisillekin kuvuksille, j siitä on helppo joht edellä minittu kurssin Anlyysi 3 lusett vstv tulos; vrt. jäljempänä olevn seurukseen Seurvss Tylorin luseess funktion derivoituvuusvtimust on lievennetty huomttvsti; tulos seur nätisti välirvoepäyhtälöstä 3.2. [8, Ch. I, 3.2]: Luse 4.9 (Tylorin luse I. Olkoot (F, normivruus j f : [, b] F kuvus, joll pisteessä c [, b] on derivtt f (n (c. Tällöin f(x = f(c + f (c(x c + 1 2! f (c(x c n! f (n (c(x c n + R n (x, missä jäännöstermille R n (x on R n (x, kun x c. (x c n

10 Todistus. Derivtn määritemän nojll 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 32 f(x f(c f (c(x c x c Tpuksess n = 1 väite on siis tosi. Asetetn, kun x c. F (x := f(x f(c f (c(x c 1 2! f (c(x c 2 1 n! f (n (c(x c n. Tällöin F = R n j F (x = f (x f (c f (c(x c 1 (n 1! f (n (c(x c n 1 on derivtn f stett n 1 olev Tylorin polynomi vstv jäännöstemi. Oletetn, että väite pitää pikkns funktiolle f j kertluvulle n 1. Tällöin jokiselle ε > on olemss δ > siten, että vstvlle jäännöstermille F (x pätee F (x ε x c n 1, kun x c δ. Kun sovelletn lusett 3.2 kuvukseen F j funktioon g(x := { ε x n c n, kun x > c, j ε x n c n, kun x < c, sdn F (x ε n x c n, kun x c δ. Vektorimuuttujn kuvuksille sdn: Luse 4.1 (Tylorin kv II. Olkoot U E voin j f : U F n kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot x, y U siten, että J x,y U. Tällöin f(y = f(x+df(x(y x+ 1 2! D2 f(x(y x ( (n 1! Dn 1 f(x(y x (n 1 +R n, missä jäännöstermi R n on R n = (1 t n 1 (n 1! j (y x (k := (y x,..., y x (k kpl. D n f((1 t x + t y(y x (n dt Todistus. Sovelletn lusett 4.8 välillä [, 1] määriteltyyn kuvukseen t f((1 t x + t y. Seurus 4.11 (Tylorin luse II. Edellisen luseen oletuksin j merkinnöin: f(y = f(x + Df(x(y x + 1 2! D2 f(x(y x ( n! Dn f(x(y x (n + R n (y, missä jäännöstermille R n (y on voimss R n (y, kun y x. y x n

11 Todistus. Kosk R n (y = (1 t n 1 (n 1! (1 t n 1 (n 1! 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 33 dt = 1 n!, sdn ( D n f((1 t x + t y D n f(x (y x (n dt. Siis R n (y 1 y x (1 t n 1 n (n 1! D n f((1 t x + t y D n f(x dt. Väite seur derivtn D n f jtkuvuudest. Huomutus Anlogin vuoksi kuvust E F, h D k f(xh (k, kutsutn muuttujn h polynomiksi. Trkemmin: Homogeeninen, stett k olev polynomi on kuvus E F, h Bh (k = B(h,..., h, missä B L }{{} k (E; F ; stett k kpl noll olev homogeeninen polynomi on vkio. Kuvus p: E F on enintään stett n olev polynomi, jos on olemss homogeeniset, stett k olevt polynomit B k, k n, siten, että p(h = B + B 1 h + B 2 h ( B n h (n. Homogeenisen, stett k olevn polynomin B k h (k = B(h,..., h esityksessä käytetty k-linerinen kuvus B k L k (E; F voidn olett muuttujiensä symmetriseksi kuvukseksi, B k (h σ(1,..., h σ(k = B k (h 1,..., h k kikille h 1,..., h k E j kikille permuttioille σ : {1,..., k} {1,..., k}. Vstvnlinen yksikäsitteisyysominisuus kuin euklidisen vruuden kuvuksille [DL2, Luse 2.6] pätee myös Bnchin vruuden tpuksess: Olkoot U E voin j f : U F n kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot x U j r > siten, että B(x; r U. Oletetn, että on olemss enintään stett n olev polynomi p siten, että kikille y B(x; r on voimss kehitelmä missä jäännöstermille ϱ(y on Tällöin f(y = p(y + ϱ(y, ϱ(y, kun y x. y x n p(y = f(x + Df(x(y x + 1 2! D2 f(x(y x ( n! Dn f(x(y x (n. Huom, että kun B k : E F on homogeeninen, stett k olev polynomi j x E, niin y B k (y+x on muuttujn y suhteen enintään stett k olev polynomi. Polynomi p(y voidn siis esittää muodoss p(y = B + B 1 (y x + B 2 (y x ( B n (y x (n, missä B k, k n, ovt homogeenisi, stett k olevi polynomej. Polynomeist: [1, Ch. 1, 6 7], [5, 2.2B]. Huomutus Tylorin luse 4.11 voidn kääntää seurvsti ([5, Thm ; Supplement 2.4B]: Merkitään kikkien jtkuvien, symmetristen n-linerikuvusten joukko L n,s (E; F. Oletetn, että on olemss (i voin joukko Ũ E E, (ii jtkuvt kuvukset ϕ j : U L j,s (E; F, 1 j n, j (iii jtkuv kuvus R n : Ũ L n,s(e; F

12 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 34 siten, että joukoll Ũ on ominisuudet U {} Ũ, x + th U, kun (x, h Ũ j t [, 1], j jos (x, h Ũ, niin x U, j kuvuksille ϕ j j R n on voimss f(x + h = f(x + ϕ 1 (xh + 1 2! ϕ 2(xh ( n! ϕ n(xh (n + R n (x, hh (n, missä jäännöstermille R n (x, h on voimss R n (x, h, kun h. Tällöin f on n kert jtkuvsti differentioituv, j ϕ j (x = D j f(x j R n (x, h = (1 t n 1 (n 1! ( D n f((1 t x + t h D n f(x dt.