Korkeamman kertaluvut derivaatat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Korkeamman kertaluvut derivaatat"

Transkriptio

1 LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid vstvll tvll. Siis f(x + u + v f(x + v + Df(x + vu f(x + Df(xv + ( Df(x + D 2 f(xv u = f(x + Df(xv + Df(xu + ( D 2 f(xv u. Kun toinen derivtt määäritellään derivtn derivttn, on tässä Df(x: E F on jtkuv linerikuvus, Df : U L(E; F differentioituv j D 2 f(x: E L(E; F on jtkuv linerikuvus, t.s. D 2 f(x L(E; L(E; F. Siis D 2 f(xv L(E; F j (D 2 f(xvu F. Kosk edellisessä kvss kikki muu on prin (u, v suhteen symmetristä, on otksuttviss, että myös toinen derivtt on symmetrinen, t.s. (D 2 f(xvu = (D 2 f(xuv kikille u, v E. Toinen derivtt ei kuitenkn määritelmänsä puolest tule olemn symmetrinen esiintyvien muuttujien u j v suhteen, joten trkstelln tämänkltisten kuvusten luonnett luksi yleisesti Bilinerikuvukset [4, IV, 1], [1, ], [3, V.5, V.7], [15, Ch. V, 3], [5, 2.2.9] Prit (E,, (F,,... ovt (vin normivruuksi, ellei toisin minit. Plutetn mieleen: Kuvus B : E F G bilinerinen, jos kikille x E j y F kuvukset E G, u B(u, y j F G, v B(x, v ovt linerisi. Vstvll tvll määritellään n-linerinen kuvus B : E 1 E n G. Kikkien jtkuvien bilinerikuvusten E F G joukko merkitään L(E, F ; G. Vstvsti, jtkuvien n-lineristen kuvusten E 1 E n G joukko merkitään L(E 1,..., E n ; G. Lisäksi merkitään L 2 (E; G := L(E, E; G j L n (E; G = L(E,..., E; G. }{{} n 1 Viimeksi muutettu

2 4.1. BILINEAARIKUVAUKSET 24 Osoitetn seurvksi, että normivruudet L(E, F ; G j L(E; L(F ; G ovt luonnollisell tvll isometrisesti isomorfiset. 2 Erityisesti siis L 2 (E; G j L(E; L(E; G ovt isometrisesti isomorfiset. Määritellään luksi kuvus L(E, F ; G L(E; L(F ; G. Jokiselle B L(E, F ; G j x E olkoon B x : F G, B x (y := B(x, y. Tällöin B x L(F ; G j B x (y = B(x, y B x y, joten B x B x. Lisäksi B : E L(F ; G, x Bx, on linerinen j Bx = B x B x, joten B L(E; L(F ; G. Kosk B = sup{ B(x, y x 1, y 1} = sup{ B x x 1} = B, on kuvus B B, L(E, F ; G L(E; L(F ; G, isometri. Kuvus B B on tällöin injektio. Kuvus B B on myös surjektio, sillä jos A L(E; L(F ; G, niin kuvukselle B : E F G, on B L(E, F ; G j Bx = B x = A(x. Siis B(x, y := (A(x(y, (4.1 L(E, F ; G = L(E; L(F ; G, B B, B(x, y = ( Bx(y. Jtkoss vruudet L(E, F ; G j L(E; L(F ; G usein smistetn tämän isometrisen isomorfismin B B mukisesti. Vstvll tvll vruudet L(E 1,..., E n ; G j L(E 1 ;... L(E n ; G ovt isometrisesti isomorfiset. Erikoistpus: L 2 (E; R = L(E, E; R = L(E; L(E; R = L(E; E Huom, että Hilbertin vruuden H duli L(H; R = H voidn smist isometrisesti vruuden H knss: H f H, f (x := ( x, jolloin f H = H (Fréchet n j Rieszin luse. Tämä smistus ei kuitenkn ole luonnollinen; se riippuu vruuden H sisätulon vlinnst. 3 Erikoistpuksen erikoistpus: Jokinen bilinerimuoto B : R n R n R voidn esittää mtriisiin (b j,k n j,k=1 vull: n B(x, y = b j,k x j y k, j,k=1 missä b j,k = B(e j, e k. Jos setetn b(x := n j,k=1 b j,k x j e k, niin b L(R n ; R n j B(x, y = (b(x y. Edellä ollut kuvus B : R n (R n on nyt ( B(x(y = (b(x y, t.s. B(x = (b(x. 2 Normivruudet (E, E j (F, F ovt isomorfiset, jos on olemss jtkuv linerinen bijektio A: E F, jolle myös käänteiskuvus on jtkuv. Normivruuksien E j F isomorfisuutt merkitään jtkoss E = F. Isomorfismi A: E F on isometri, jos Ax F = x E kikille x E. 3 Oikestn Hilbertin vruudelle on in nnettu tietty sisätulo. Trkoitus on sno, että jos Hilbertin vruuden sisätulo muutetn niin, että vstvt normit ovt ekvivlenttej, niin tällöin myös isomorfismi H = H muuttuu.

3 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT Korkemmn kertluvun derivtt [4, XIII, 5], [1, Ch. 1, 5.1], [3, VIII.12], [15, Ch. V, 3, 8], [5, ] Määritelmä 4.1. Olkoon U E voin j f : U F differentioituv kuvus. Jos kuvus Df : U L(E; F on differentioituv pistessä x U, niin f on kksi kert differentioituv pisteessä x U (ti kuvuksell f on toinen derivtt pisteessä x U. Kuvuksen f toist derivtt pisteessä x U merkitään D 2 f(x. Toinen derivtt pisteessä x U on siis jtkuv linerikuvus D 2 f(x : E L(E; F, t.s. kikille u E on D 2 f(x u jtkuv linerikuvus E F. Edellisen mukn linerikuvus D 2 f(x : E L(E; F voidn smist bilinerikuvuksen E E F knss settmll ( D 2 f(x u (v =: D 2 f(x (u, v. Kuvus f : U F on kksi kert jtkuvsti differentioituv, jos f on kksi kert differentioituv jokisess pisteessä x U j kuvus D 2 f : U L(E; L(E; F on jtkuv. Euklidisten vruuksien tilnteess, E = R n, F = R m, derivtt Df voidn smist mtriisirvoisen kuvuksen ( D j f k k,j knss. Luseen 2.11 nojll kuvus Df on differentioituv pisteessä x, jos j vin jos jokinen koordinttifunktio D j f k on differentioituv pisteessä x. Lemm 4.2. Olkoot U E voin j f : U F jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot u E j g : U F, g(x := Df(xu. Jos kuvuksell f on toinen derivtt pisteessä x U, niin g on differentioituv pisteessä x j Dg(xv = D 2 f(x(v, u kikille v E. Todistus. Olkoon L: L(E; F F, L(A := Au. Tällöin L on jtkuv linerikuvus j g(x = L(Df(x. Siis Dg(x = DL(Df(x D(Df(x = L D 2 f(x, t.s. Dg(xv = L(D 2 f(xv = (D 2 f(xv(u = D 2 f(x(v, u. Huomutus 4.3. Jos E on äärellisulotteinen, niin edellisen luseen tulos voidn kääntää: Jos g u : U F, g u (x := Df(xu, differentioituv pisteessä x kikille u E, niin kuvuksell f on toinen derivtt D 2 f(x pisteessä x U. Jos E ei ole äärellisulotteinen, ei tämä käänteinen tulos päde. Vstesimerkiksi käy seurv: Olkoon c kikist noll kohti suppenevist relilukujonoist x = (x k k=1 muodostuv Bnchin vruus (lskutoimitukset komponenteittin, normin x = sup k x k. Olkoot g k : R R, g k (t := t/(1 + k t, f k (t := t g k(s ds j f : c c, f(x := ( f k (x k. Tällöin f on jtkuvsti differentioituv, kikille u c k=1 kuvus x Df(xu on differentioituv pisteessä x =, mutt Df ei ole differentioituv pisteessä x =. Vrt. [3, luku VIII: 12, HT 7; 9, HT 2; 6, HT 3; 4, HT 4 5]. cos(k t, kelvnnee k 2 Kuvus f : c c, f(x := ( f k (x k, missä f k=1 k(t := 1 myös. (Kuvus h: c c, h(x := ( h k (x k, missä h k=1 k(t := 1 sin(k t, ei ole k differentioituv missään. [9, luku VII, Beispiel 24.4]

4 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 26 Luse 4.4 (L. Euler, H. A. Schwrz; helppo 4. Olkoot F Bnchin vruus, U E voin j f : U F kksi kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt on symmetrinen, D 2 f(x(u, v = D 2 f(x(v, u kikille x U, u, v E. Todistus. Kiinnitetään x U, u, v E. Olkoon ϕ F = L(F ; R. Määritellään g : B 2 (; r R, g(s, t := ϕ(f(x + s u + t v, missä r > vlitn niin pieneksi, että x + s u + t v U kikille (s, t B 2 (; r. Kuvus B 2 (; r U, (s, t x+s u+t v U, on C 2 -kuvus, smoin ϕ: E R. Siis g on C 2 -funktio. Kosk D 1 g(s, t = ϕ(df(x + s u + t vu, D 2 g(s, t = ϕ(df(x + s u + t vv, D 2 D 1 g(s, t = ϕ(d 2 f(x + s u + t v(v, u, D 1 D 2 g(s, t = ϕ(d 2 f(x + s u + t v(u, v, sdn kurssill Differentililskent 1 todistetust luseest [DL1, Luse 7.3] ϕ(d 2 f(x(u, v = D 1 D 2 g(, = D 2 D 1 g(, = ϕ(d 2 f(x(v, u. Kosk ϕ F on mielivltinen, seur väite Hhnin j Bnchin luseest. Ilmn Hhnin j Bnchin lusett j kurssin Differentililskent 1 vuj (mutt nlyysin peruslusett käyttäen; [4, XIII, 5]: Luse 4.5 (Euler, Schwrz. Olkoot F Bnchin vruus, U E voin j f : U F kksi kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt on symmetrinen, D 2 f(x(u, v = D 2 f(x(v, u kikille x U j kikille u, v E. Todistus. Olkoon u < r/2 j v < r/2, missä r > vlitn niin, että B(x; r U. Olkoon g(z := f(z + u f(z, z B(x; r/2. Tällöin nlyysin perusluseen nojll x (u, v := f(x + u + v f(x + v f(x + u + f(x = g(x + v g(x = = Dg(x + t vv dt = ( D 2 f(x + s u + t vu ds v dt. (Df(x + u + t v Df(x + t vv dt 4 Krl Hermnn Amndus Schwrz ( ; Schwrz tunnetn premmin Cuchyn, Bunjkovskin j Schwrzin epäyhtälöstä, sekä monist kompleksinlyysin Schwrzin... -nimisistä tuloksist. Tulos löytyy myös, tosin vrsin heuristisin perusteluin, Eulerin kirjst Institutiones clculi differentilis, 1755.

5 Tässä 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 27 Olkoon ψ(u, v := D 2 f(x + u + v D 2 f(x. Tällöin (käyttäen smistust (4.1 ( x (u, v = (ψ(s u, t v + D 2 f(xu ds v dt ( = ( ψ(s u, t v(u, v ds dt ψ(s u, t v(u, v ds dt + D 2 f(x(u, v. sup s,t 1 ψ(s u, t v u v. Kun vstv lsku tehdään lähtemällä esityksestä x (u, v = h(x + u h(x, missä h(z := f(z + v f(z, sdn ( x (u, v = ψ(s u, t v(v, u dt ds + D 2 f(x(v, u, missä integrlile sdn sm ylärj kuin edellä. Edellä erotukselle x (u, v stujen kvojen vull sdn R(u, v := D 2 f(x(u, v D 2 f(x(v, u ( = ψ(s u, t v(v, u dt ds ( ψ(s u, t v(u, v ds dt Tässä R: E E F on jtkuv bilinerikuvus, j kosk kuvuksen f toinen derivtt on jtkuv pisteessä x, on R(u, v u v, kun (u, v (,. Väite seur nyt seurvst lemmst. Lemm 4.6. Olkoon R: E E F on jtkuv bilinerikuvus. Jos R(u, v u v, kun (u, v (,, niin R =. Todistus. Olkoon Q(u, v := R(u,v. Kiinnitetään u j v. Tällöin riittävän pienelle s R u v on s 2 R(u, v = R(s u, s v = Q(s u, s v s u s v = s 2 Q(s u, s v u v. Jkmll puolittin luvull s 2 j ntmll s, sdn väite. Huom, että lemmn tulos on bilinerikuvuksille vstv kuin linerikuvuksille olisi: Jos L: E F on jtkuv linerikuvus, jolle on voimss Lu/ u, kun u, niin L =. [1, Ch. 1, 5.1], [3, VIII.12], [15, Ch. V, Thm. 8.2]: Luse 4.7 (Euler, Schwrz; oike. Olkoon U E voin, x U j f : U F pisteessä x kksi kert differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt D 2 f(x on symmetrinen, D 2 f(x (u, v = D 2 f(x (v, u kikille u, v E.

6 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 28 Todistus. Olkoot r > siten, että B(; 2r U, j (u, v := f(x + u + v f(x + u f(x + v + f(x, kun u r j v r. Osoitetn, että josskin origon ympäristössä B(; r B(; r on voimss (4.2 (u, v (D 2 f(x vu ε u (2 u + 3 v. Tässä (u, v on symmetrinen muuttujien u j v suhteen, joten vihtmll edellisessä u j v keskenään, sdn (D 2 f(x vu (D 2 f(x uv ε u (2 u + 3 v + ε v (2 v + 3 u 2 ε ( u + v 2. Väite seur nyt edellisestä lemmst 4.6. Epäyhtälön (4.2 todistus: Kosk toinen derivtt D 2 f(x on olemss, on jokiselle ε > olemss r (, 2r siten, että Df(x + w Df(x D 2 f(x w ε w, kun w 2r. Erityisesti, kun u r j v r, on (4.3 (4.4 Df(x + u + v Df(x D 2 f(x (u + v ε u + v Df(x + u Df(x D 2 f(x (u ε u. Jokiselle v B(; r olkoon g v : B(; r F, Kuvuksen g v derivtlle on g v (u := f(x + u + v f(x + u. Dg v (u = Df(x + u + v Df(x + u = (Df(x + u + v Df(x (Df(x + u Df(x. Erityisesti Dg v ( = Df(x + v Df(x. Epäyhtälön (4.4 nojll on Dg v ( D 2 f(x v ε v. Vstvsti epäyhtälöiden (4.3 j (4.4 nojll sdn (4.5 Dg v (u D 2 f(x v = (Df(x + u + v Df(x D 2 f(x (u + v (Df(x + u Df(x D 2 f(x u ε u + v + ε u. Kosk g v (u g v ( = (u, v, sdn välirvoepäyhtälön (seurus 3.11 vull (u, v (D 2 f(x vu = (g v (u g v ( Dg v (u + (Dg v (u (D 2 f(x vu sup z J,u Dg v (z Dg v ( u + Dg v ( D 2 f(x v u. Tässä epäyhtälöiden (4.5 j (4.4 nojll kikille z J,u sdn Dg v (z Dg v ( Dg v (z D 2 f(x v + D 2 f(x v Dg v ( ε z + v + ε z + ε v ε (2 u + 2 v. j

7 4.2. KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 29 Siis (u, v (D 2 f(x vu ε (2 u + 2 v u + ε v u. Tämä on hluttu epäyhtälö (4.2. Olkoon U E voin j f : U F kksi kert differentioituv kuvus. Tällöin toinen derivtt D 2 f(x on symmetrinen, joten derivtlle ω := Df : U L(E; F on voimss (ks. lemm 4.2 (Dω(xuv = D 2 f(x(v, u = D 2 f(x(u, v = (Dω(xvu kikille x U, u, v E. Primitiiviongelm: Kun on nnettun kuvus ω : U L(E; F, millä ehdoll on olemss kuvus f : U F siten, että ω = Df? Jos ω on differentioituv, on edellisen perusteell siis välttämättä (4.6 (Dω(xuv = (Dω(xvu kikille x U, u, v E Differentilimuodoist. Kun lue U on riittävän yksinkertinen (esimerkiksi tähtimäinen 5 j ω on differentioituv, niin tällöin ehto (4.6 on myös riittävä ( klssinen todistus: ks. esim. [9, 24.3]. Ongelm on erikoistpus yleisemmästä differentilimuotoihin liittyvästä ongelmst. Differentilinen 1-muoto on kuvus ω : U L(E; F j differentilinen 2-muoto on kuvus η : U L 2 (E; F siten, että η(x(u, v = η(x(v, u kikille x U, u, v E. Tämä ilmistn myös snomll, että η(x on lternoiv bilinerikuvus kikille x U. Yleisemmin, differentilinen n-muoto on kuvus η : U L n (E; F siten, että η(x on lternoiv n-linerikuvus kikille x U. Tämä trkoitt, että η(x(v 1,..., v i,..., v j,..., v n = η(x(v 1,..., v j,..., v i,..., v n kikille v 1,..., v n E j kikille indekseille i, j {1,..., n}, i j. Merkitään lternoiven n-linerikuvusten joukko A n (E; F. Joukko A n (E; F on vruuden L n (E; F suljettu livruus, joten A n (E; F on Bnchin vruus, silloin kun F on. Siis differentilinen n-muoto on kuvus η : U A n (E; F. Differentiliselle n-muodolle η : U A n (E; F määritellään ulkoinen derivtt dη settmll n (dη(x(v,..., v j,..., v n := ( 1 j (Dη(xv j (v,..., ˆv j,..., v n j= kikille v,..., v n E. Tässä ˆv j trkoitt, että kyseinen termi jätetään pois. Huom, että Dη(x on jtkuv linerikuvus E A n (E; F, joten (v,..., v j,..., v n (Dη(xv j (v,..., ˆv j,..., v n on jtkuv (n + 1-linerikuvus. On helppo osoitt, että dη(x on lternoiv, joten differentilisen n-muodon ulkoinen derivtt on differentilinen (n + 1-muoto, dη : U A n+1 (E; F. (Huom, että kuvuksen η(x lternoivuudest seur, että (v 1,..., v n (Dη(xu(v 1,..., v n on lternoiv jokiselle u E. 5 Alue U E on tähtimäinen, jos on olemss p U siten, että jokiselle x U jn J p,x U.

8 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 3 Erityisesti, funktiolle f : U F (=differentiliselle -muodolle j differentiliselle 1-muodolle ω : U L(E; F on (df(x(v = Df(xv, (dω(x(u, v = (Dω(xuv (Dω(xvu. Siis ehto (4.6 on yhtäpitävä ehdon dω = knss. Snotn, että differentilinen n-muoto η : U A n (E; F on suljettu, jos dη =, j η on ekskti, jos on olemss differentilinen (n 1-muoto ω : U A n 1 (E; F siten, että η = dω. Voidn osoitt, että in d(dω =, t.s. ekskti muoto on in suljettu. (Tämä on itse siss seurust toisen derivtn symmetrisyydestä; hiemn lskemist tosin trvitn. Primitiiviongelm hiemn yleisempi ongelm on: milloin suljettu muoto on ekskti? Yksinkertisen myönteisen vstuksen kysymykseen nt Poincrén lemm: Jos F on Bnchin vruus, U E on tähtimäinen j η on lueess U suljettu differentilinen n-muoto, niin tällöin η on ekskti. Tpus n = 1 on melko helppo. Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että U on tähtimäinen origon suhteen. Olkoon ω lueess U suljettu (jtkuvsti differentioituv differentilinen 1-muoto. Asetetn f(x := ω(t xx dt. Huom: differentilinen 1-muoto on kuvus ω : U L(E; F, joten ω(t xx F kikille x U j t [, 1]. Suorviivisell lskull (prmetrist riippuvn integrlin derivointi; todistetn myöhemmin luseen 6.2 sdn Df(xu = ( t (Dω(t xux + ω(t xu dt. Kosk ω on suljettu, on (Dω(xuv (Dω(xvu = kikille x U, u, v E. Siis Df(xu = = ( t (Dω(t xxu + ω(t xu dt = 1 (t ω(t xu = ω(xu, d(t ω(t x u dt dt joten Df = df = ω. Poincrén lemm: [14, Ch. V, 4], [2, Ch. 1, ], [5, Supplement 6.4A] 4.3. Tylorin polynomit [4, XIII, 6], [14, Ch. I, 4], [1, Ch. 1, ], [3, VIII.14], [8, Ch. I, 3.2], [15, Ch. V, 9], [5, ] Tässä esitettävät Tylorin kvn/luseen vektorirvoiset versiot lienevät peräisin Grvesilt [1]. Prit (E,, (F,,... ovt Bnchin vruuksi, ellei toisin minit.

9 n kert jtkuvsti derivoi- Luse 4.8 (Tylorin kv I. Olkoon f : [, b] F tuv kuvus. Tällöin 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 31 f(b = f( + f ((b + 1 f ((b f (n 1 ((b n 1 + R 2! (n 1! n, missä jäännöstermi R n on R n = b 1 f (n (t(b t n 1 dt. (n 1! Todistus. Todistetn väite induktioll luvun n suhteen. Tpuksess n = 1 on Anlyysin perusluseen nojll R 1 = b f (t dt = f(b f(. Olkoon nyt n = 2. Osittisintegroinnill (u(t := f (t j v(t := (b t sdn b b f(b f( = f (t dt = u(t v (t dt = b b f (t( (b t + f (t(b t dt. Tylorin kv tpuksess n = 2 seur tästä. Yleinen tpus: Oletetn, että väite pätee, kun oiken puolen summss on k termiä sekä jäännöstermi R k = b 1 f (k (t(b t k 1 dt. (k 1! Osittisintegrointikvn mukn (u(t := f (k (t j v(t := (b tk on k! R k = b Induktio-oletuksen mukn on u(t v (t dt = 1 k! f (k ((b k + b 1 f (k+1 (t(b t k dt. k! f(b = f( + f ((b + 1 f ((b f (k 1 ((b n 1 + R 2! (k 1! k. Sijoittmll tähän R k edellisestä kvst j järjestämällä termit uudestn, sdn Tylorin kv tpuksess k + 1. Kurssill Anlyysi 3 käytetty menetelmä Tylorin kvn todistmiseksi (ks. [A3, luse 2.3] ei ole erityisen hyvä, kosk se perustuu relirvoisen funktion välirvoluseeseen, joten tämä menetelmä ei yleisty vektorirvoisille kuvuksille. Kuten edeltä ilmenee integrlijäännösterminen muoto sen sijn voidn todist kivuttomsti vektorirvoisillekin kuvuksille, j siitä on helppo joht edellä minittu kurssin Anlyysi 3 lusett vstv tulos; vrt. jäljempänä olevn seurukseen Seurvss Tylorin luseess funktion derivoituvuusvtimust on lievennetty huomttvsti; tulos seur nätisti välirvoepäyhtälöstä 3.2. [8, Ch. I, 3.2]: Luse 4.9 (Tylorin luse I. Olkoot (F, normivruus j f : [, b] F kuvus, joll pisteessä c [, b] on derivtt f (n (c. Tällöin f(x = f(c + f (c(x c + 1 2! f (c(x c n! f (n (c(x c n + R n (x, missä jäännöstermille R n (x on R n (x, kun x c. (x c n

10 Todistus. Derivtn määritemän nojll 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 32 f(x f(c f (c(x c x c Tpuksess n = 1 väite on siis tosi. Asetetn, kun x c. F (x := f(x f(c f (c(x c 1 2! f (c(x c 2 1 n! f (n (c(x c n. Tällöin F = R n j F (x = f (x f (c f (c(x c 1 (n 1! f (n (c(x c n 1 on derivtn f stett n 1 olev Tylorin polynomi vstv jäännöstemi. Oletetn, että väite pitää pikkns funktiolle f j kertluvulle n 1. Tällöin jokiselle ε > on olemss δ > siten, että vstvlle jäännöstermille F (x pätee F (x ε x c n 1, kun x c δ. Kun sovelletn lusett 3.2 kuvukseen F j funktioon g(x := { ε x n c n, kun x > c, j ε x n c n, kun x < c, sdn F (x ε n x c n, kun x c δ. Vektorimuuttujn kuvuksille sdn: Luse 4.1 (Tylorin kv II. Olkoot U E voin j f : U F n kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot x, y U siten, että J x,y U. Tällöin f(y = f(x+df(x(y x+ 1 2! D2 f(x(y x ( (n 1! Dn 1 f(x(y x (n 1 +R n, missä jäännöstermi R n on R n = (1 t n 1 (n 1! j (y x (k := (y x,..., y x (k kpl. D n f((1 t x + t y(y x (n dt Todistus. Sovelletn lusett 4.8 välillä [, 1] määriteltyyn kuvukseen t f((1 t x + t y. Seurus 4.11 (Tylorin luse II. Edellisen luseen oletuksin j merkinnöin: f(y = f(x + Df(x(y x + 1 2! D2 f(x(y x ( n! Dn f(x(y x (n + R n (y, missä jäännöstermille R n (y on voimss R n (y, kun y x. y x n

11 Todistus. Kosk R n (y = (1 t n 1 (n 1! (1 t n 1 (n 1! 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 33 dt = 1 n!, sdn ( D n f((1 t x + t y D n f(x (y x (n dt. Siis R n (y 1 y x (1 t n 1 n (n 1! D n f((1 t x + t y D n f(x dt. Väite seur derivtn D n f jtkuvuudest. Huomutus Anlogin vuoksi kuvust E F, h D k f(xh (k, kutsutn muuttujn h polynomiksi. Trkemmin: Homogeeninen, stett k olev polynomi on kuvus E F, h Bh (k = B(h,..., h, missä B L }{{} k (E; F ; stett k kpl noll olev homogeeninen polynomi on vkio. Kuvus p: E F on enintään stett n olev polynomi, jos on olemss homogeeniset, stett k olevt polynomit B k, k n, siten, että p(h = B + B 1 h + B 2 h ( B n h (n. Homogeenisen, stett k olevn polynomin B k h (k = B(h,..., h esityksessä käytetty k-linerinen kuvus B k L k (E; F voidn olett muuttujiensä symmetriseksi kuvukseksi, B k (h σ(1,..., h σ(k = B k (h 1,..., h k kikille h 1,..., h k E j kikille permuttioille σ : {1,..., k} {1,..., k}. Vstvnlinen yksikäsitteisyysominisuus kuin euklidisen vruuden kuvuksille [DL2, Luse 2.6] pätee myös Bnchin vruuden tpuksess: Olkoot U E voin j f : U F n kert jtkuvsti differentioituv kuvus. Olkoot x U j r > siten, että B(x; r U. Oletetn, että on olemss enintään stett n olev polynomi p siten, että kikille y B(x; r on voimss kehitelmä missä jäännöstermille ϱ(y on Tällöin f(y = p(y + ϱ(y, ϱ(y, kun y x. y x n p(y = f(x + Df(x(y x + 1 2! D2 f(x(y x ( n! Dn f(x(y x (n. Huom, että kun B k : E F on homogeeninen, stett k olev polynomi j x E, niin y B k (y+x on muuttujn y suhteen enintään stett k olev polynomi. Polynomi p(y voidn siis esittää muodoss p(y = B + B 1 (y x + B 2 (y x ( B n (y x (n, missä B k, k n, ovt homogeenisi, stett k olevi polynomej. Polynomeist: [1, Ch. 1, 6 7], [5, 2.2B]. Huomutus Tylorin luse 4.11 voidn kääntää seurvsti ([5, Thm ; Supplement 2.4B]: Merkitään kikkien jtkuvien, symmetristen n-linerikuvusten joukko L n,s (E; F. Oletetn, että on olemss (i voin joukko Ũ E E, (ii jtkuvt kuvukset ϕ j : U L j,s (E; F, 1 j n, j (iii jtkuv kuvus R n : Ũ L n,s(e; F

12 4.3. TAYLORIN POLYNOMIT 34 siten, että joukoll Ũ on ominisuudet U {} Ũ, x + th U, kun (x, h Ũ j t [, 1], j jos (x, h Ũ, niin x U, j kuvuksille ϕ j j R n on voimss f(x + h = f(x + ϕ 1 (xh + 1 2! ϕ 2(xh ( n! ϕ n(xh (n + R n (x, hh (n, missä jäännöstermille R n (x, h on voimss R n (x, h, kun h. Tällöin f on n kert jtkuvsti differentioituv, j ϕ j (x = D j f(x j R n (x, h = (1 t n 1 (n 1! ( D n f((1 t x + t h D n f(x dt.

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Johdatusta variaatiolaskentaan

Johdatusta variaatiolaskentaan LUKU 6 Johdtust vritiolskentn 6.1. Prmetrist riippuvt integrlit [4, Ch. XIII, 8], [2, Ch. 1. Lemm 2.12.2], [3, Ch. VIII, 11], [15, Ch. XI, 7], [8, Ch. II, 3] Luse 6.1. Olkoot E normivruus, F Bnchin vruus,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)

1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z) 1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia

Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Luri Kumpulinen Vritiolskent j sen sovelluksi Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Lokkuu 2016 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö KUMPULAINEN, LAURI: Vritiolskent

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Greenin ja Stokesin lauseet

Greenin ja Stokesin lauseet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYSI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Sisältö Alkusnt Suosituksi opiskelutvoist iii iii Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu

ANALYYSI II A Matemaattisten tieteiden laitos Luentomoniste työn alla: viimeksi muutettu ANALYYI II 800322A Mtemttisten tieteiden litos Luentomoniste työn ll: viimeksi muutettu 13.11.2006 Alkusnt isältö Luku 1. Usen muuttujn funktioist: jtkuvuus 1 1. Merkinnät y.m. 1 2. j-rvoist 2 3. Kuvuksen

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010

Reaalianalyysi I 1. Ilkka Holopainen 2. March 31, 2010 Relinlyysi I 1 Ilkk Holopinen 2 Mrch 31, 2010 1 Perustuvt pääosin luentomonisteisiin Mrtio: Relinlyysi I (1999), Rickmn: Relinlyysi (1996) j Tylli: Relinlyysi I (2000) 2 Ilmoit pinovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot