IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n"

Transkriptio

1 IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee jokaisessa pisteessä x A, ts. fx = lim f nx R x A, niin sanotaan, että funktiojono f n suppenee pisteittäin joukossa A kohti rajafunktiota f: A R, ja merkitään Raja-arvon määritelmän mukaan lim f n = f tai f n f tai f n f. lim f n = f A:ssa jokaista ε > ja x A kohti n ε,x N s.e. f n x fx < ε n > n ε,x. Tässä n ε,x riippuu yleensä, paitsi luvusta ε, myös pisteestä x eikä löydy sellaista n ε N, että n ε,x n ε kaikilla x A vaan sup{n ε,x x A} =... Esim. Tarkastellaan funktioita f n : ], [ R, f n x = x n, n N. Koska lim f nx = kaikilla x ], [ Myrberg I, Esim , niin lim f n = välillä ], [. Olkoon < ε <. Kiinteällä x ], [, x, on f n x = x n < ε n ln x }{{} < < ln ε }{{} < n > ln ε ln x. x Tässä siis on sup{n ε,x x ], [} =..2. Määritelmä. Funktiojono f n suppenee tasaisesti A:ssa kohti funktiota f, jos jokaista ε > kohti on olemassa sellainen n ε N, että aina, kun n > n ε. f n x fx < ε kaikilla x A Huom. Tasaisessa suppenemisessa n ε ei saa riippua x:stä. 2 Geometrisesti ehto merkitsee sitä, että arvoilla n > n ε kuvaajat y = f n x, x A, sijaitsevat kuvaajien y = fx ± ε, x A, välissä. 3 f n f tasaisesti A:ssa = f n f pisteittäin A:ssa voi valita n ε,x = n ε x A. Olkoot f n, f: A R funktioita n N, A. Merkitään σ n = sup{ f n x fx : x A} = sup f n x fx, x A kun n N. Tällöin σ n ja voi olla σ n =. 77

2 .3. Lause. f n f tasaisesti joukossa A n N s.e. σ n < kaikilla n > n, ja lim σ n =. Tod. = : Olkoon ε >. Koska f n f tasaisesti joukossa A, niin on olemassa n ε N s.e. f n x fx < ε/2 kaikilla x A aina, kun n > n ε. Siis σ n ε/2 < ε aina, kun n > n ε, joten lim σ n =. =: Olkoon ε >. Koska lim σ n =, niin n ε N s.e. σ n < ε kaikilla n > n ε. Siis f n x fx σ n < ε kaikilla x A aina, kun n > n ε, joten f n f tasaisesti A:ssa. Huom. Jos B A ja f n f tasaisesti A:ssa, niin f n f tasaisesti B:ssä, koska tällöin sup{ f n x fx : x B} sup{ f n x fx : x A}..4. Esimerkkejä. jatkoa E.:een f n : ], [ R, f n x = x n = f n pisteittäin välillä ], [. Koska σ n = sup{ f n x : x ], [} = sup{ x n : x < } = kaikilla n N, niin ei ole σ n, joten suppeneminen ei ole tasaista välillä ], [. Olkoon sitten < a < siis a kiinteä. Koska sup{ f n x : x [ a, a]} = sup{ x n : x a} = a n, kun n, niin f n tasaisesti välillä [ a, a]. 2 Olkoon f n x = sinnx, kun x R, n N. n f n x n x R = sup f n x x R n = f n tasaisesti R:ssä. 3 Olkoon f n x = nx2 + nx, kun x [, ]. Tällöin f n = n ja f n x = x 2 /n + x x 2 x joten fx = lim f nx = x x [, ]. Koska nyt niin σ n = f n x fx = nx 2 + nx x = = x, kun x, x + nx n x [, ], sup f n x fx, joten lim x [,] n σ n =. Siis f n f tasaisesti välillä [, ]. IV.2. Tasaisesti suppenevan jonon ominaisuuksia Jos f n f joukossa A vain pisteittäin, funktioiden f n ominaisuudet kuten jatkuvuus eivät yleensä siirry rajafunktiolle f. Esim. Jos f n x = x n, kun x [, ], niin pisteittäin välillä [, ] rajafunktioksi saadaan fx = {, kun x <,, kun x =. Tässä siis f ei ole jatkuva välillä [, ], vaikka f n :t ovat. 78

3 2.. Lause. Oletetaan, että A R, funktiot f n : A R ovat jatkuvia pisteessä x A tai koko A:ssa ja f n f tasaisesti joukossa A. Tällöin rajafunktio f: A R on jatkuva pisteessä x tai vastaavasti koko A:ssa. Tod. Olkoon ε >, ja merkitään σ n = sup f n x fx. Tasaisen suppenemisen mukaan x A n ε N s.e. σ nε < ε/4. Koska f nε on jatkuva x :ssa, niin δ > s.e. f nε x f nε x < ε/2, kun x x < δ ja x A. Kun x Ux, δ A ts. x A ja x x < δ, on siis fx fx = fx f nε x + f nε x f nε x + f nε x fx fx f nε x + f nε x f nε x + f nε x fx < σ nε + ε/2 + σ nε < ε. Siten f on jatkuva pisteessä x. Jos f n :t ovat jatkuvia jokaisessa pisteessä x A, on myös f jatkuva jokaisessa pisteessä x A. Huom. Jos A on väli ja x A sisäpiste, niin Lauseen 2. johtopäätös f jatkuva x :ssa merkitsee sitä, että lim fx = fx = lim f nx eli lim x x x x lim f nx = lim lim f n x. x x Tällainen kaava ei yleensä päde ilman suppenemisen tasaisuutta. 2 Lause 2. on erityisen hyödyllinen, jos fx:n lauseketta ei osata muodostaa esim. sarjojen yhteydessä. 3 Kääntäen, rajafunktion jatkuvuus ei tietenkään takaa suppenemisen tasaisuutta esim. x n välillä ], [. 4 Lauseen 2. mukaan suppeneminen ei voi olla tasaista, jos f n :t ovat jatkuvia, f n f, mutta f ei ole jatkuva. Esim. Olkoon f n x = nx2 nx 2 +, kun x R, n N. Nyt f n = kaikilla n N ja x : f n x = /nx2 + /nx 2 Siis saadaan fx = lim f nx = lim nx2 =. {, kun x,, kun x =. Koska f n :t ovat jatkuvia R:ssä, mutta f ei ole jatkuva kohdassa x =, niin suppeneminen ei ole tasaista R:ssä Lause. Olkoon R rajoitettu väli, x ja f n : R jatkuva. Oletetaan, että f n f tasaisesti välillä, ja asetetaan F n x = Erityisesti F n F tasaisesti välillä, missä F x = lim f n t dt = x x lim f nt dt, x f n t dt kaikilla x. Tällöin x ft dt kaikilla x. ts. tässä integroinnin ja raja-arvon muodostamisen järjestys voidaan vaihtaa. 79

4 Tod. Lauseen 2. mukaan f on jatkuva, joten F on määritelty. Merkitään L = l = välin pituus, < L <. Olkoon ε >. Koska f n f tasaisesti välillä, niin n ε N s.e. f n t ft < ε/l kaikilla t aina, kun n > n ε. Olkoon nyt n > n ε. Kun x, x x, on F n x F x = f n t dt x kun x, x < x, on samoin x f n t ft dt F n x F x = fn t ft dt x ft dt = fn t ft dt x x x x ε L dt = ε L x x ε L L = ε ; f n t ft dt x ε L dt ε. Siis F n x F x ε kaikilla x aina, kun n > n ε, ts. F n F tasaisesti välillä. Huom. Yleisemmin pätee: Jos f n : [a, b] R on integroituva jokaisella n ja f n f tasaisesti välillä [a, b], niin f on integroituva ja b a fx dx = lim b a f n x dx Esimerkkejä. f n x = nx2 + nx = x x + nx, kun x [, ]. Koska f nx x = fx tasaisesti välillä [, ] katso E.4.3, niin L 2.2 mukaan lim f n x dx = Tarkistetaan saatu tulos vielä suoralla laskulla: x dx = n 2 +n f n x dx = t x dx = 2. x +n + nx dx = t n 2 t dt / dt = +n n 2 t ln t = n koska n : ln + n < n = ln + n n 2 ln + n n 2 < n. 2 Olkoon f n x = n 2 x n x, kun x [, ], n N. Kaikilla n N on f n = f n =. Jos taas < x <, niin f n+ x f n x = n + 2 x n+ x n 2 x n x Suhdetestin mukaan positiiviterminen sarja Siis = Sij. t = + nx, dx = n dt =, + n 2 x x <. f n x suppenee, joten termi f n x, kun n. fx = lim f nx = x [, ], 8 ja fx dx =.

5 Tässä ei päde lim f n x dx =, sillä / x f n x dx = n 2 x n x n+ dx = n 2 n+ n + xn+2 n + 2 = n 2 n + n + 2 = n 2 n + n + 2. Siis L 2.2 mukaan f n ei voinut supeta tasaisesti. Suppenemisen epätasaisuus näkyy suoraankin esim. seuraavasti: sup f n x f n = n 2 n x [,] 2n 2n kohdassa on käytetty Bernoullin epäyhtälöä. 2n n 2 n 2n 2n = n 4 3 Olkoon f n x = nx x n, x [, ]. Osoita, että lim f nx = kaikilla x [, ]. Osoita lisäksi, että suppeneminen ei ole tasaista tällä välillä, mutta on tasaista välillä [a, ], kun < a <. Osoita vielä, että kuitenkin on lim f n x dx = = Ratk. Jos < x <, niin f n x on positiiviterminen ja f n+ x n + x x n+ lim = lim f n x nx x n = lim lim f nx dx. n + n x = x <. Siis f n x suppenee, joten lim f nx =. Lisäksi f n = = f n kaikilla n, joten fx = lim f nx = x [, ]. Koska f nx = n x n n 2 x x n = n x n [ n + x], niin f nx = x = tai x = jos n > n + ja Täten max{ f n x x } = f n ja n + σ n = < x < n + = f nx >, n + < x < = f nx <. n sup f n x fx = f n = n = x n + n + n n. n n eli suppeneminen ei ole tasaista välillä [, ]. Siis lim σ n = e Olkoon < a <. Jos n > a, niin < a, joten n + sup kun n, ja täten suppeneminen on tasaista välillä [a, ]. Välillä [, ] suppeneminen ei ollut tasaista, joten integraalit on laskettava suoraan: 8 f n x fx = f n a, a x

6 Koska fx = lim f nx = x [, ], niin f n x dx = nx x n dx = n [/ = os.int. n x n + xn+ + [ = n n + n + 2 / lim f nx dx = x n+2] = x x n dx ] n + xn+ dx n n + n + 2. dx =. Toisaalta Oletetaan, että f n f tasaisesti välillä ja että f n :t ovat derivoituvia välillä. Kysymys: Onko f x = lim f nx kaikilla x? Vastaus: Yleensä ei; f ei välttämättä ole edes derivoituva eikä jono f n suppeneva Esimerkkejä. Olkoon f n x = x 2 + /n, kun x R, n N. Tällöin fx = lim f nx = x 2 = x kaikilla x R ja suppeneminen on tasaista R:ssä, sillä kaikilla x R on < x 2 + n x 2 = /n x2 + /n + x /n =. 2 /n n Tässä f n :t ovat derivoituvia koko R:ssä, mutta f ei ole derivoituva kohdassa x =. 2 Olkoon f n x = sinnx, kun x R, n N. Esim..4.2 mukaan lim n f nx = = fx kaikilla x R ja f n f = tasaisesti R:ssä. Tässä f n :t ovat derivoituvia ja f nx = cosnx kaikilla x R, n N, mutta jono f nx hajaantuu esim. arvolla x = 2 π. 3 Olkoon f n x = xe nx2, x R. Funktiot f n ovat derivoituvia ja f nx = 2nx 2 e nx2 kaikilla x R. Koska lim f nx =, niin f n:n merkkitarkastelun perusteella x ± sup f n x = f n = e /2, x R 2n 2n joten f n = f tasaisesti R:ssä rajafunktiona fx = kaikilla x R. Kuitenkin todetaan: f n = n N = lim f n = = f lim f nx =, kun x. Jos halutaan tulos lim f n = lim f n, täytyy olettaa, että jono f n suppenee tasaisesti: 2.5. Lause. Olkoon R rajoitettu väli ja funktiot f n : A R derivoituvia välillä. Oletetaan, että jono f n suppenee tasaisesti välillä, jono f n x suppenee eräällä x ja f n:t ovat jatkuvia välillä. Tällöin - jono f n suppenee tasaisesti välillä, - rajafunktio f = lim f n on derivoituva välillä ja f x = lim f nx kaikilla x. 82

7 Tod. Merkitään A = lim f nx R ja gt = lim f nt kaikilla t. Oletuksen perusteella f n g tasaisesti välillä. Analyysin peruslauseen I.5.6 mukaan kaikilla x ja n N on f n x = x f nt dt + f n x f n jatkuva!. L 2.2 mukaan f nt dt gt dt tasaisesti arvoilla x ja triviaalisti f n x A x x tasaisesti jono vakiofunktioita, joten f n suppenee tasaisesti välillä ja fx = gt dt + A kaikilla x. x L 2. nojalla g on jatkuva, joten f on derivoituva ja f x = gx = lim f nx kaikilla x. Huom. Lause 2.5 pätee ilman oletusta f n:t jatkuvia :ssa, mutta todistus on huomattavasti vaikeampi. IV.3. Sarjan tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f k : A R funktio, k =, 2, 3,.... Tarkastellaan osasummafunktioita S n : A R, n S n x = f k x = f x + f 2 x f n x. 3.. Määritelmä. Funktioterminen sarja f k suppenee pisteittäin vastaavasti tasaisesti joukossa A, jos jono S n suppenee pisteittäin vast. tasaisesti A:ssa. summafunktio S = f k : A R saadaan kaavasta Jos Sx = f k x = lim S nx R kaikilla x A. Tällöin sarjan f k suppenee pisteittäin joukossa A, niin voidaan muodostaa jäännöstermifunktiot R n = S S n : A R, R n x = Sx S n x = k=n+ f k x, jolloin R n pisteittäin A:ssa. Edelleen f k suppenee tasaisesti joukossa A S n S tasaisesti joukossa A R n = S S n tasaisesti A:ssa n N s.e. sup{ R n x : x A} < n > n ja sup R n x. x A 3.2. Esimerkki. Geometrinen sarja x k suppenee pisteittäin välillä ], [ ja sen jäännöstermi on R n x = x k = k=n k= xn, kun x ], [. Nyt x 83

8 x n sup R n x = sup = n N, x ],[ x ],[ x joten suppeneminen ei ole tasaista välillä ], [. Olkoon < a <. Tällöin x a = x n a n ja x a joten suppeneminen on tasaista välillä [ a, a]. x n sup R n x = sup x [ a,a] x a x = an a, Koska yleensä sarjan summaa ja jäännöstermiä ei osata laskea, niin sarjan tasaisen suppenemisen tutkiminen suoraan määritelmään vedoten on hankalaa. Käytännössä on usein hyötyä seuraavasta tuloksesta: 3.3. Weierstrassin testi. Olkoot f k : A R funktioita ja a k R vakioita k N siten, että f k x a k kaikilla x A ja kaikilla k N ja vakiomajoranttisarja a k suppenee. Tällöin f k ja f k suppenee tasaisesti joukossa A. Tod. Majoranttiperiaatteen mukaan f k x suppenee jokaisella x A, joten f k suppenevat ainakin pisteittäin joukossa A. Kun n, p N, on n+p k=n+ Kun p, niin tässä Siis R n x k=n+ = sup R n x x A f k x n+p k=n+ n+p k=n+ f k x f k x k=n+ n+p k=n+ a k kaikilla x A ja kaikilla n N k=n+ a k f k suppenee tasaisesti joukossa A. a k k=n+ f k x = R n x, joten a k x A. suppenevan sarjan jäännöstermi Funktiot g k = f k toteuttavat myös epäyhtälöt g k x a k kaikilla x A, joten suppenee myös tasaisesti A:ssa Esimerkkejä. Sarja x [, ] ja yliharmoninen sarja x k f k k 2 suppenee tasaisesti välillä [, ], sillä x k k 2 k 2 kaikilla k 2 suppenee. 84 ja g k

9 2 Olkoon f k x = x k + k 2 x 2, kun x R, k N. f kx = k2 x 2 k + k 2 x 2 2 x R = f kx f k = k 2k 2 x R, k N Koska 2 k 2 suppenee, niin Weierstrassin testin mukaan f k suppenee tasaisesti R:ssä. 3 Tarkastellaan sarjaa k 2 x k. Jos x <, niin k + 2 x k+ k 2 x k = + 2 x x <, k k joten suhdetestin raja-arvomuoto 2.7 mukaan sarja suppenee välillä ], [. Suppeneminen ei ole tasaista tällä välillä, sillä sup x ],[ k=n+ k 2 x k sup x< k=n+ k 2 x k sup x< k=n+ x k = x n+ sup x< x = n N. Olkoon < a <. Tällöin k 2 x k k 2 a k kaikilla x [ a, a], k N, ja sarja alkuosan mukaan, joten k 2 x k suppenee tasaisesti välillä [ a, a]. k 2 a k suppenee Sarja voi tietenkin supeta tasaisesti, vaikka se ei toteuttaisikaan Weierstrassin testiä. Tasaisesti suppeneva sarja ei esim. välttämättä suppene itseisesti. k Esim. Vuorotteleva sarja suppenee tasaisesti välillä [a, [, kun a >, sillä Leibnizin lauseen mukaan katso s. 69, Esim. ja k=n+ k x k k x < n + x n + a x a, n + a. Tämä sarja ei suppene itseisesti, jos a x Lause. Jos A R, funktiot f k : A R ovat jatkuvia joukossa A tai eräässä pisteessä x A ja sarja f k suppenee tasaisesti A:ssa, niin summafunktio on jatkuva A:ssa tai vast. pisteessä x. Tod. Koska osasummat n f k ovat jatkuvia, niin väite seuraa heti Lauseesta

10 Esim. Sarja f k x, f k x = x 2 x k, suppenee pisteittäin kaikilla x [, ], koska k= x = ± = termit = ja tapauksessa x < sarja on geometrinen. Olkoon Sx tällöin sarjan summa. Siis S± = ja x < = Sx = x2 x = + x x 2 = S. Koska f k :t ovat jatkuvia, mutta summafunktio ei ole jatkuva pisteessä, niin suppeneminen ei ole tasaista välillä [, ]. Sarjan termeittäistä integrointia koskee seuraava tulos: 3.6. Lause. Olkoon R rajoitettu väli ja x. Jos funktiot f k : R ovat jatkuvia välillä k N ja sarja f k suppenee tasaisesti :ssa, niin x f k t dt = ja oikeanpuoleinen sarja suppenee tasaisesti arvoilla x. Tod. Lauseen 2.2 perusteella x f k t dt x, x lim n f k t dt = lim x n f k t dt = lim n x f k t dt Esimerkki. Geometrinen sarja x k suppenee x <, jolloin sen summa on k= fx = + x. Funktiot f k, f k x = x k, ja f ovat jatkuvia välillä ], [. Jos < a < ja jos x a, niin f k x = x k a k. Koska a k suppenee, niin f k x suppenee tasaisesti välillä [ a, a]. Olkoon x ], [, jolloin x <. Valitaan sellainen a, että x < a <. Tällöin sarja f k suppenee tasaisesti välillä [ a, a], joten dt + t = k= = ln + x = t k dt = k xk k= k xk+ k + = Tämä kaava pätee myös arvolla x = : Kun x, sarja suppenee Leibniz. Lisäksi jäännöstermille pätee R n x xn+ x [, ] = n + sup k xk k = x x2 2 + x3... x ], [ k k xk R n x x [,] n +, k on vuorotteleva ja

11 joten siis sarja suppenee tasaisesti välillä [, ]. Tällöin sarjan summa S on jatkuva välillä [, ]. Koska on Sx = ln + x, kun x [, [, ja S on vasemmalta jatkuva pisteessä, niin ln 2 = lim ln + x = lim Sx = S = k x x k. Pisteessä x = sarja on eivät, joten sarja hajaantuu., joten se hajaantuu. Jos taas x >, sarjan termit k Lauseesta 2.5 saadaan sarjojen termeittäistä derivointia koskeva tulos: 3.8. Lause. Olkoon R rajoitettu väli. Oletetaan, että funktiot f k : R ovat jatkuvasti derivoituvia :ssa, sarja f k suppenee tasaisesti :ssa ja sarja f k x suppenee eräällä x. Tällöin sarja f k suppenee tasaisesti välillä, summafunktio S = f k on derivoituva :ssa ja S x = f kx kaikilla x Esimerkkejä. Tarkastellaan geometrisen sarjan summafunktiota Sx = + x + x =, x ], [. x Derivoimalla yo. geometrinen sarja termeittäin saadaan sarja +2x+3x Suhdetestin mukaan tämä suppenee itseisesti, kun x ], [, ja Weierstrassin testin nojalla suppeneminen on tasaista välillä [ a, a], kun < a < k + x k k + a k kaikilla x [ a, a], k N {}. Olkoon x ], [. Valitaan a s.e. x < a <. L 3.8 mukaan + 2x + 3x = S x = d = kaikilla x [ a, a] dx x x 2 toispuoleinen derivaatta, jos x = ±a. Erityisesti tämä pätee, kun x = x. Siis + 2x + 3x = kaikilla x ], [ vrt. Esim. s. 76. x 2 x k 2 S. 66 Esim. mukaan sarja suppenee itseisesti kaikilla x R. Merkitään k! k= x k Sx =, kun x R, ja osoitetaan aluksi, että funktio S: R R on derivoituva ja k! k= S x = Sx kaikilla x R. Tod. Olkoon x R. Valitaan M R s.e. x < M. Kun sarja derivoidaan termeittäin, saadaan sama sarja, koska D xk k! = kxk k! k= x k k! = xk, k =, 2, 3,.... Nyt k! 87

12 xk M k M k kaikilla x [ M, M] ja suppenee k! k! k! k= x k = derivaattasarja suppenee tasaisesti välillä [ M, M]. k! k= Lause 3.8 = S x k x = kaikilla x [ M, M]. k! k= Sijoitetaan x = x : S x k x = k! = Sx. k= Tämän jälkeen todetaan, että De x Sx = e x S x Sx = kaikilla x R, jolloin e x Sx = C = vakio kaikilla x R. Sijoittamalla x = tulee C = e S = =, joten Sx = e x eli Erityisesti e x = k= x k k! = + x + x2 2! + x3 3! +... x R e = e = + + 2! + 3! + 4!... e = e = + 2! 3! + 4!... Arvioidaan e:n jäännöstermiä: e = S n + R n, missä { sopimus : =! =. Siis S n = + + 2! + 3! n! [ R n = n +! + n + 2! +... = + ] n +! n n + 2n [ < + ] n +! n + + n = geom.sarja n +! n + = n + n +! n = n! n. < R n < n! n 3.. Lause. Luku e on irrationaaliluku. Tod. Vastaoletus: e on rationaalinen eli e = p, p, q N. Nyt q < R q < q! q = < q! R q < q ja toisaalta p q! R q = q! e S q = q! q 2! q!... Z = kokonaisluvut. RISTIRIITA. 88

13 IV.4. Eräs jatkuva, ei-derivoituva funktio Konstruimme funktion f: R R, joka on jatkuva koko R:ssä, mutta ei ole derivoituva yhdessäkään pisteessä ns. Weierstrassin funktio. Määritellään ensin d: R R siten, että dx = x:n etäisyys lähimmästä kokonaisluvusta = x p, kun p Z, p 2 < x p + 2. Tällöin d on jatkuva R:ssä, d on lineaarinen muotoa ±x p väleillä [p 2, p] ja [p, p + 2 ] p Z, dx + p = dx kaikilla x R, p Z, dx dy x y kaikilla x, y R. sahanterä Valitaan a, q siten, että < q <, a N, a 4 ja aq > 2 esim. a = 4, q = 3/4. Koska q k da k x 2 qk kaikilla x R ja kaikilla k N {}, ja geometrinen sarja 2 qk suppenee, niin Weierstrassin testin mukaan sarja q k da k x suppenee tasaisesti R:ssä. k= Määritellään fx = k= q k da k x x R. k= Funktiot x q k da k x ovat jatkuvia ja suppeneminen on tasaista, joten f: R R on jatkuva koko R:ssä. Huom: Kuvaajat y = q k da k x, k >, ovat tiheämpiä sahanteriä. Olkoon x R. Väite. f ei ole derivoituva pisteessä x. Tod. Olkoon n N. Koska a n x ± a n+ = a n x ± a, < a 4, niin d on lineaarinen ainakin toisella väleistä [a n x, a n x + a n+ ] ja [a n x a n+, a n x]. Valitaan h n {a n+, a n+ } siten, että d on lineaarinen a n x + h n :n ja a n x:n välissä. Tarkastellaan erotusosamäärää δ n = fx + h n fx h n = k= 89 q k dak x + h n da k x h n.

14 Kun k > n, da k x + h n = da k x ± a k n = da k x, sillä a k n Z. Kun k < n, on da k x + h n da k x a k h n = a k h n. = δ n = q n dan x + h n da n n x + q k dak x + h n da k x, h n h n k= missä qn dan x + h n da n x = qn an h n = aq n h n h n ja n q k dak x + h n da k x h n k= Kolmioepäyhtälön mukaan :stä saadaan n k= q k ak h n h n n = aq k = aqn aq k= < aqn aq = ηaqn, < η = aq <. δ n aq n ηaq n = ηaq n. Jos f olisi derivoituva pisteessä x, niin lim δ n = f x R, koska h n, kun n. Siis f ei ole derivoituva x:ssä. 9

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

Osa 5. lukujonot ja sarjat.

Osa 5. lukujonot ja sarjat. Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan approbatur 2B

Matematiikan approbatur 2B Matematiikan approbatur 2B Kurssin sisältö yleisesti. Sarjateoriaa ja monen (kahden ja kolmen) muuttujan differentiaalilaskentaa. Sarjateoriassa esitellään potenssisarjat ja Taylorin kehitelmä sekä niiden

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot