VEKTOREILLA LASKEMINEN

Transkriptio

1 ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin loppupiste kuvt! c Vektori lk vektorin loppupisteestä Summ + snotn resultntiksi j vektoreit j summn + komponenteiksi. c VÄHENNYSLSKU Sm geometrinen ide, nyt vektorin loppupisteestä lähtee vektorin vstvektori j sdn erotusvektori = +. Muist, vähentäminen on negtiivisen luvun summmist j vektoreiden erotus on vstvektorin summmist. Vektori lk vektorin loppupisteestä MUISTISUUNNIKS

2 ..07 Huom, että summ + on määritelty kikill vektoreill j. Lisäksi se (siis summ) on hyvin määritelty, eli summ ei riipu yhteenlskettvien edustjist. VEKTOREIDEN LSKULKEJ YHTEENLSKULLE Vektoreiden yhteenlskulle pätee relilukujen lskuleist tutut vihdntlki: + = +, liitäntälki: + + c = + + c, neutrlilkio: + 0 = j 0 + = kikill vektoreill, vektorin j vstvektorin summ: + = 0. Liitäntälin kutt voidn sulkeet unoht, eli + + c. Esimerkki Lentokoneen on trkoitus lentää suorn pohjoiseen. Mihin suuntn on nopeudell 8 km/h lentävää konett ohjttv, kun tuuli puhlt lännestä nopeudell 4 km/h. Mikä on tällöin lentokoneen nopeus mhn nähden? Merkitään lentokoneen nopeutt vektorill v l, jolloin v l = 8 km/h j tuulen nopeutt vektorill v t jolloin v t = 4 km/h. Kosk koneen on trkoitus lentää suorn pohjoiseen j koneeseen vikutt länsituuli, niin tällöin summvektorin v l + v t suunt on setettv suorn pohjoiseen. Huom siis, että koneen suunt ei ole pohjoiseen! Ktso kuv ll. Näin ollen muodostuu suorkulminen kolmio, jost voidn sinin vull rtkist kulm α, kuv. Sdn sin α = v t = 4km/h v l 8km/h = 9 = 0,688 0,7 77 α = 6,7 6,7. v l α v t v lentokone m N

3 ..07 Lentokonett on ohjttv noin 6,7 stett pohjoisen suunnst länteen, jott kone lentäisi pohjoiseen. Koneen nopeus mhn nähden on v l.kone m = v l + v t = v l v t = 8 km h 4 km h = 4600 km h = 8,6 km h 8, km h. v l α v t v lentokone m N VEKTORIN KERTOMINEN LUVULL (SKLRILL) Määritelmä Olkoon 0 j t R. Tällöin tulo t on vektori, jolle - pituus t = t, missä t on normli itseisrvo t, jos t > 0 - suunt t, jos t < 0. Jos t = 0, niin t = 0. Lisäksi t 0 = 0 kikill t R. Huom, että t in kun t 0 (0-vektorin suunt ei ole määritelty, jos olisi = 0). Toislt, jos tiedetään, että = t, niin j ovt yhdensuuntisi eli (kosk = t). ätee tärkeä tulos. Luse, vektoreiden yhdensuuntisuusluse (-ehto): Kun, 0, niin täsmälleen silloin, kun = t, t R. Eli = t, t R,, 0.

4 ..07 VEKTORIN JKMINEN LUVULL (SKLRILL) ivn kuten vähennyslsku on negtiivisen luvun summmist, voidn vektorin jkminen reliluvull t R ymmärtää murtoluvull q 0, kertomiseksi (jolloin siis q = ). Esimerkiksi t = = = 0,. Eli vektorin jkminen luvull trkoitt vektorin kertomist luvun käänteisluvull ½ jne. Määritelmä, yksikkövektori Vektori, jonk pituus on yksi, snotn yksikkövektoriksi. Luse, vektorin suuntinen yksikkövektori: Vektorin 0 knss smnsuuntinen yksikkövektori on =, missä on vektorin pituus. Jkmll siis mikä thns nollvektorist poikkev vektori 0 omll pituudelln sdn vektorin suuntinen yksikkövektori. Esim. Olkoon =, = 7 j. Tällöin yhdensuuntisuudest seur, että =, joten 7 7 = Esim. eli = = 7 = 7. Oletetn, että =, = j. Tällöin =, eli =, jost sdn = =. 7 = = 4

5 ..07 Esim. Olkoot j nollvektorist erovi vektoreit j olkoon r = r r. Millä luvun r rvoll j ovt vstkkissuuntiset? Yhtälön oike puoli sievenee muotoon joten sdn r r = r r, r = r r + r =. Siis, vektorit ovt vstkkissuuntiset, kun + r < 0 eli kun r <. Esim. 4 Osoit, että vektorit, 0 ovt vstkkissuuntiset, kun = +. Lske vektorien j pituuksien suhde. Yhtälö sievenee muotoon = + = 8, jost sdn = 8. Kerroin 8 < 0, eli vektorit j ovt vstkkissuuntiset. ituuksien suhde on = 8. Vektorin kertominen luvull noudtt seurvi lskulkej. Olkoot j vektoreit sekä t j s relilukuj. Tällöin on voimss LSKULKI SELITYS ESIMERKKI vihdntlki: t = t = liitäntälki: s t = st 0 4 = 0 4 = 40 osittelulit: t + s = t + s = = t + = t + t 4 6 = = 4 8 Suomeksi snottun: Summn j tulon lskulkien myötä vektoreill voidn lske kuin polynomeill.

6 ..07 VEKTORIT, M4 Jnn jkosuhde j jkosuhdevektori Kertust iste jk jnn B suhteess. Eli = B, B = B B Yleisesti: jnll B olev piste jk jnn B sisäpuolisesti suhteess m n, jos B = m n, eli = m. Huom, että tällöin piste jk jnn B suhteess n B n m. m n B Luvut m j n ovt jnojen j B pituuksien suhdeluvut merkitään sulkeisiin. Jos piste on jnn B jtkeell j B = p q, niin piste jk jnn B p B q ulkopuolisesti suhteess p q. Esim. Olkoon piste jnn B jtkeell siten, että B = 7 4. Tällöin piste B jk jnn sisäpuolisesti suhteess 4 sekä jnn sisäpuolisesti suhteess 4. Edelleen piste jk jnn B ulkopuolisesti suhteess 7 B j jnn B ulkopuolisesti suh- 4 teess 7. Vstvsti vektoreille. iste jk vektorin B suhteess. Eli Huomutus niin B = B. = B, B = B ) Kosk B, niin = B j kosk B B, ) iste jk vektorin B suhteess. B Suhteet sulkuihin! 6