Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä"

Transkriptio

1 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio, kun x R \ Q f(x) =, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä [, b] Tehtävä 3. Käytä osittisintegrointi j lske integrlit.. ln x. x sin x 3. x rctn x 4. e x cos x Tehtävä 4. Lske sopiv sijoitust käyttäen.. 9. ln x+ x e x e x Tehtävä 5. Integroi.. (x 4 + 5x 3 x + x 3). e 3x 3. sin x cos x 4. sin x 5. sin (ln x) Tehtävä 6. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, ] Osoit, että i jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f(x).

2 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 ii jos funktio f on priton, niin f(x) =. Tehtävä 7. Missä seurvss päättelyssä on vikn? x = / ln x = = Mikä on oike tp lske tämä epäoleellinen integrli? Tehtävä 8. Esitä j todist integrlilskennn perusluse. Tehtävä 9. Lske integrlit x (4x +) x 4x + 4x + Tehtävä. Tutki epäoleellisten integrlien suppenemist x+sin x x 3 +x cos x e x Tehtävä. Lske rj-rvo lim sin x. Mitä voit sno tämän lskun perusteell epäoleellisen integrlin suppenemisest? sin x

3 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 Tehtävä. Integroi.. x+ x x. x (x 3) x(x+)(x +) 3

4 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Vtivmpi tehtäviä Tehtävä 3. Osoit, että jos f on jtkuv ei-negtiivinen funktio välillä [, b] j b f(x) =, niin f(x) = kikill x [, b]. Päteekö tulos ilmn funktion f jtkuvuutt? Tehtävä 4. Osoit, että jos funktiot f j g ovt jtkuvi välillä [, b] b j f(x) = b g(x), niin on olemss sellinen piste t [, b], että f(t) = g(t). Päteekö tämä tulos ilmn oletust funktioiden jtkuvuudest? Tehtävä 5. Integroi. x 9 x. 9 x 3. x x 9 + x 5. 9 x 6. 9+x Tehtävä 6. Osoit, että funktio kun x f(x) = kun x = on integroituv välillä [, ]. Miksi kertymäfunktio G(x) = x f(x). ei ole funktion f integrlifunktio tällä välillä? Osoit, että funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Tutki funktion x sin kun x x F (x) = kun x = 4

5 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 derivttfunktiot F (x) = f(x) kiinnittäen erityishuomiot pisteeseen x =. Onko tällöin F on funktion f integrlifunktio? Onko f integroituv välillä, jok sisältää pisteen x =? Tehtävä 8.. Olet, että funktio f on jtkuv välillä [, b].. Olet, että funktio f on integroituv välillä [, b]. Osoit molemmiss tpuksiss, että jos m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) b f(x) M(b ). Tehtävä 9. Esitä j todist yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Tehtävä. Todist seurv suhdetestin ljennus. Olkoon f(x) j g(x) positiivisi j integroituvi funktioit kikill väleillä [, ], missä < <, j Jos epäoleellinen integrli f(x) suppenee. f(x) lim x + g(x) =. g(x) suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 5

6 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 Vinkkejä perustehtäviin Tehtävä. Osoit, että ylä- j lsummien rvot ovt smt riippumtt välin [, b] jost. Tehtävä. Käytä pun tieto siitä, että jokisell relivälillä on rtionlij irrtionlilukuj. Tehtävä 3.. Sovell osittisintegrointi kerrn j yritä päästä eroon logritmifunktiost.. Sovell osittisintegrointi khdesti. 3. Huom, että D rctn x = +x. 4. Sovell osittisintegrointi khdesti. Tehtävä 4.. Tee sijoitus t = x.. Tee sijoitus t = e x. Tehtävä 5.. Integroi suorn.. Käytä esimerkiksi sijoitust t = 3x ti lske suorn. 3. Huom, että D sin x = cos x. 4. Käytä trigonometrist kv cos(x) = sin x. 5. Käytä sijoitust t = ln x j osittisintegrointi. Tehtävä 6. J integrointi khteen osn j käytä sijoitust t = x sopivsti. Tehtävä 7. Mieti toteutuuko määrätyn integrlin määritelmän oletukset. Tehtävä 8. Sovell välirvolusett. Tehtävä 9.. Suor lsku.. Suor lsku. 3. Huomioi, että integrndi on prillinen funktio. J integrndi khteen osn. Tehtävä.. Todist rvio x > sin x sopivll välillä j käytä sitä.. J integrli khteen osn j käytä mjornttiperitett. 3. Suor lsku. 4. J integrointi kolmeen osn sopivsti, jolloin rviointi käy helpommksi j käytä mjornttiperitett. 6

7 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Tehtävä. Rj-rvo on suor lsku. Mieti miten epäoleellinen integrli on määritelty. Tehtävä. Osmurtokehitelmän tekemisen jälkeen jäljellä on vin suor lsku. Luentomonisteess on ohjeet erityyppisten osmurtojen integroimiseen. 7

8 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Vinkkejä vtivmpiin tehtäviin Tehtävä 3. Tee vstoletus j osoit, että tällöin yläsummien täytyy oll jotkin positiivist vkiot suurempi. Tehtävä 4. Sovell edellistä tehtävää funktioon f g. Tehtävä 5.. Huomioi sisäfunktion derivtt.. Käytä sijoitust x = 3 sin t. 3. Tee sijoitus t = x + x Käytä sopiv sijoitust ti lske ensimmäisen kohdn tpn. 5. Käytä sopiv sijoitust. 6. Käytä sopiv sijoitust. Tehtävä 6. Osoit integroituvuus näyttämällä, että jokist luku ɛ > kohti on olemss välin jko, jonk yläsummn rvo on pienempi kuin tämä luku. Olet, että funktiolle olisi olemss integrlifunktio j tutki mitä siitä seur. Tehtävä 7. Lske derivttfunktio j sovell pisteeseen x = määritelmää sellisenn. Tehtävä 8.. Käytä integrlilskennn välirvolusett.. Käytä tehtävää pun. Tehtävä 9. Käytä pun sitä, että jtkuv funktio svutt suljetull välillä kikki rvot mksimins j miniminsä välistä. Arvioi tällä tvoin funktiot f(x)g(x) j niiden integrli. Tehtävä. Käytä rj-rvon määritelmää j mjornttiperitett. 8

9 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Perustehtävien rtkisut Tehtävä. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk funktio f oli vkiofunktio, niin f(x) = c kikill x b. Täten l- j yläsummn rvot ovt smt, sillä c = sup f(x) = inf f(x) kikill x b. Lisäksi (x x ) + (x x ) (x n x n ) = x n x = b. Täten n s D = c(x i+ x i ) = c(b ) = S D. i= Täten funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f(x) = c(b ). Tehtävä. Olkoon luvut < b mielivltisi. Olkoon lisäksi D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk kikill väleillä [x i, x i+ ], i =,,..., n on sekä rtionli- että irrtionlipisteitä, niin inf f(x) = j sup f(x) =. x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] Kosk jko D oli mielivltinen, niin jokinen lsumm s D =. Lisäksi jokinen yläsumm on S D = b. Täten sup s D = = inf S D, joten funktio f ei ole Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tehtävä 3. Sovelletn osittisintegroinnin kv f g = fg fg.. Vlitn f(x) = x j g(x) = ln x. Tällöin f (x) = j g (x) = x. Siis ln x = x ln x x = x ln x x + C. x Derivoimll tulos sdn vhvistuttu oikeksi. 9

10 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9. Sovelletn osittisintegrointi khdesti. Ensiksi x sin x = x cos x + x cos x, missä vlittiin f(x) = cos x j g(x) = x. Lisäksi x cos x = x sin x sin x = x sin x + cos x + C, vlinnoill f(x) = sin x j g(x) = x. Täten x sin x = x sin x + cos x x cos x + C. Kvn sijoitettiin uusi vkio C = C puhtsti esteettisistä syistä. 3. Vlitn g(x) = rctn x j f(x) = x. Tällöin x rctn x = x rctn x x + x Nyt x = +x =, joten +x +x +x x + x = + x = x rctn x + C. Siis x rctn x = x rctn x x + rctn x + C, missä C = C. 4. Vlitsemll f(x) = e x j g(x) = cos x sdn, että e x cos x = e x cos x e x sin x. Nyt vstvsti e x sin x = e x sin x + e x cos x. Siis e x cos x = e x cos x + 4 e x sin x 4 e x cos x.

11 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Siirtämällä termi sdn, että e x cos x vsemmlle puolelle j kertomll luvull e x cos x = 5 e x sin x 5 e x cos x + C. Vikk tulos näyttää ik monimutkiselt, niin sen oikeellisuuden voi todet derivoimll. Tehtävä 4.. Tehdään sijoitus t = x. Tällöin integoimisvälillä [, 9] on x = t j siten = tdt. Alrj on edelleen j ylärj muuttuu luvuksi 3. Täten 9 3 x + x = = = 3 tdt t + t dt t + 3/ ln(t + ) = (ln 4 ln ) = ln.. Tehdään sijoitus t = e x. Tällöin dt = e x eli = dt t. Integroimisrjt muuttuvt, niin että ylärj on e = e j lrj on e ln = e ln = 4. Täten ln e e x e = x = = 4 e 4 e 4 dt t(t ) t dt t dt (t )(t + ). Lskemll osmurtokehitelmä integoitvlle sdn, että (t )(t + ) = A t + B t + t(a + B) + A B =, (t )(t + )

12 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 missä A = j B =. Siis e 4 dt (t )(t + ) = e ( dt e 4 t dt 4 t + ) = / e / e ln(t ) ln(t + ) 4 4 = ( ln(e ) ln 3 ln(e + ) + ln 5 ) = ( ) 5(e ln ). 3(e + ) Täten ln e x e = ( ) 5(e x 4 ln ). 3(e + ) Tehtävä 5.. Suorn integroimissääntöjä soveltmll sdn, että (x 4 + 5x 3 x + x 3) = x x 3 x + = 5 x x4 3 x3 + x 3x + C. x 3. Sijoitus t = 3x on dierentioituv bijektio, joten se ei tuot mitään ongelmi. Nyt x = t 3 j = dt. Siis 3 e 3x = 3 et dt = 3 et + C = 3 e 3x + C. 3. Kosk D sin x = cos x, niin integrointi on muoto f(x)f (x) = f (x)+ C. Siis sin x cos x = sin x + C. 4. Kosk sin x = ( cos x), niin sin x = ( cos x) = x sin(x) + C. 4

13 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 5. Tehdään sijoitus t = ln x, jok on derivoituv bijektio, joten sijoitus on luvllinen. Tällöin x = e t j = e t dt. Näin integointi sdn muotoon sin (ln x) = e t sin t dt. Käytetään osittisintegrointi j sdn, että e t sin t dt = e t sin t e t cos t dt j vstvsti e t cos t dt = e t cos t + e t sin t dt. Siten e t sin t dt = e t sin t e t cos t e t sin tdt eli e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ). Pltn sijoituksell lkuperäiseen muuttujn j tulokseksi sdn sin (ln x) = e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ) + C = ( e ln x sin(ln x) e ln x cos(ln x) ) + C = x (sin(ln x) cos(ln x)) + C, missä trvittv integroimisvkio C on lisätty yhtälöön vst tässä viimeisessä viheess Tehtävä 6.. Jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f( x). Kosk integrointi voidn suoritt osiss, niin f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) 3

14 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Tehdään vsemmnpuoliseen integrliin sijoitus t = x. f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Kosk integoinniss integroitvll muuttujll ei ole käytännön merkitystä, niin korvtn edellisessä tuloksest muuttuj t muuttujll x j tehdään sijoitus j sdn väite f(x) = f(x). Jos funktio f on priton, niin f(x) = f( x). Jkmll integrointi ts osiin sdn, että f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) Sijoittmll t = x vsemmnpuoleinen integrli muuttuu muotoon f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Täten f(x) =. Nämä tulokset ovt voimss myös silloin, kun f on vin integroituv. Tällöin todistus voidn suoritt trkstelemll Riemnnin summi. Tässä todistuksess jtkuvuutt trvitn vrmistss sijoitusten oikeellisuus. Tehtävä 7. Funktio f(x) = x j lim x x ei ole integroituv välillä [, ], sillä lim = x + x =. Siten funktio f ei ole rjoitettu välillä [, ]. Täten x on epäoleellinen integrli. Oike tp on kirjoitt x = x + x, missä molemmt ost ovt hjntuvi epäoleellisi integrlej. 4

15 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 Tehtävä 8. Integrlilskennn perusluse snoo, että välillä [, b] jtkuv, välillä ], b[ derivoituv funktio f, jolle f (x) = kikill x ], b[, on vkiofunktio välillä [, b]. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b], derivoituv välillä ], b[ j f (x) = kikill x ], b[. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Välirvolusett voidn sovelt tälle välille j täten on olemss sellinen piste x ], x[, että f(x) f() = f (x )(x ) = (x ) = Täten f(x) = f() kikill x ], b[. Jtkuvuuden perusteell myös f() = lim x b = f(b). Siis f on vkiofunktio välillä [, b]. Tehtävä 9.. Integroitv funktio x (4x +) on rjoitettu välillä [, [, joten integrlin knnlt ino ongelm on käyttäytyminen äärettömyydessä. Nyt kun. x (4x + ) = 8. Vstvsti kuten edellä x 4x + = 8 8x (4x + ) = / ( 4x + ) 8 = ( ) ( ) = 8, = 8 = 8 8x 4x + / ln 4x +, ( ln(4 + ) ) 5

16 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 kun. Siis integrli hjntuu. 3. Integrndi on prillinen funktio, joten 4x + = 4x +, mikäli se suppenee. Lsketn tämä epäoleellinen integrli tekemällä sijoitus t = x. Tällöin t = 4x j dt =, mutt integroimisrjt vin puolittuvt. Siis kun. Siis Tehtävä. 4x + = = t + dt / rctn t π = π 4, 4x + = π.. Tutkitn funktiot f(x) = x sin x. Se on jtkuv j derivoituv sekä f (x) = cos x. Kun < x, niin funktio f on idosti ksvv j positiivinen. Täten x > sin x, kun x eli x + sin x > x + x = x kun x ], [. Kosk epäoleellinen integrli hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli x hjntuu. x + sin x 6

17 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9. Jetn epäoleellisen integrlin trksteleminen khteen osn merkitsemällä x3 + x = x3 + x + x3 + x. Osoitetn, että molemmt osintegrlit suppenevt jolloin myös koko integrli suppenee. Oletetn, että < x. Nyt x + x 3 = x + x > x + = x eli <, x + x 3 x kun < x. Kosk integrli x suppenee, niin myös integrli x + x 3 suppenee mjornttiperitteen nojll. Oletetn, että x. Tällöin x + x 3 x 3 j mjornttiperitteen nojll integrlin integrlin suppeneminen. x + x 3 x 3 suppenemisest seur 3. Nyt ongelmi iheutt vin äärettömät integroimisrjt. Jetn integrli khteen osn. Tällöin cos x + b cos x = / b/ sin x + sin x = sin(b) sin(). Kosk funktioll f(x) = sin x ei ole rj-rvoj kummsskn äärettömyydessä, niin integrli hjntuu. 7

18 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 4. Jetn integroimisväli ], [ osväleihin ], ], [, ] j [, [, joiss trkstelu suoritetn. Kun x, niin x x j. Kosk e x e x / e = e x = e e x e kun, niin epäoleelliset integrlit e x j e x suppenevt mjornttiperitteen nojll. Kosk e x = e x + e x + e x j jokisell osintegrlill on äärellinen rvo, niin integrli suppenee. Tässähän keskimmäinen integrli ei ole epäoleellinen, joten se utomttisesti suppenee. Tehtävä. Nyt kyseessä ei ole epäoleellinen integrli, vn integrlin vull määritelty rj-rvo. Suorn lskemll huomtn, että / lim sin x = lim cos x = lim ( cos + cos( )) = lim =. Epäoleellisesti integrlist sin x edellinen lsku ei sno mitään, kosk nyt rjnkäynnit äärettömyydessä pitää ott erikseen. Siis sin x = sin x + sin x Kumpikin osintegrli hjntuu, kosk funktioll cos x ei ole rj-rvo äärettömyydessä. 8

19 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Tehtävä.. Kosk x x = x(x ), niin lsketn osmurtokehitelmä x + x(x ) = A x + B x Ax A + Bx =. x(x ) Kertomll puolittin termillä x(x ) j settmll x:n yhtäsuurien potenssien kertoimet smoiksi, sdn rtkistvksi yhtälöt A + B = j A =. Rtkisut ovt A = j B =. Siis x + x x = x + x = ln x + ln x + C = ln (x ) x + C.. Ensinnäkin supistetn yhteinen tekijä pois eli x (x 3) x(x + )(x + ) = x(x 3) (x + )(x + ). Kosk x + ei hjo enää relisiin tekijöihin, niin osmurtokehitelmä on muoto x 3x (x + )(x + ) = A x + + Bx + C x + = Ax + A + Bx + Bx + Cx + C (x + )(x + ) Rtkistv epäyhtälö on siis = A + B 3 = B + C = A + C. jonk rtkisut ovt A = 9, B = 9 ( x (x 3) x(x + )(x + ) = 9 = 9 j C = 5 9. Siten x + + x + 9 x + 5 ) 9 9 x + x x + 9 x +. 9

20 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Selvästi x + = ln x + + C. Kosk x = 4 4x = 4 D(x + ), niin x x + = 4 ln x + + C. Hnklin integrointi on viimeinen. Tehdään sijoitus t = x, jolloin t = x j dt =. Siis x + = dt t + = rctn t + C 3 = rctn x + C 3. Lopult sdn siis (yhdistetään vkiot suorn yhdeksi vkioksi C) x (x 3) = ln x + x(x + )(x + ) ln x + 9 = 9 rctn x + C ln x + 8 ln x rctn x + C.

21 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Vtivmpien tehtävien rtkisut Tehtävä 3. Oletuksen perusteell f(x) kikill x [, b]. Tehdään vstoletus, että olisi sellinen x [, b], että f(x ) >. Vlitn ɛ = f(x ) >. Funktion f jtkuvuuden perusteell on olemss sellinen δ >, että f(x) f(x ) < ɛ in, kun x x δ j x [, b]. Merkitään I δ = [x δ, x + δ] [, b]. Lisäksi luku δ > voidn vlit niin pieneksi, että välin I δ pituus on vähintään δ, kosk x [, b]. Jos x I δ, niin ɛ 3ɛ < f(x) <. Nyt voidn tehdä rvio b = f(x) f(x) I δ I δ ɛ ɛ δ >, mikä on ristiriit. Epäyhtälön ensimmäisessä rvioss integroimisväliä pienennetään, jolloin integrlin rvo tietenkin pienenee. Toisess rvioss käytetetään funktion f lrj välillä I δ. Kolmnness käytetään hyväksi tieto, että välin I δ pituus on vähintään δ lskettess vkiofunktion integrli. Näiden rvioiden täsmällinen perustelu voidn suoritt Riemnnin summien vull, mutt yksinkertisuuden vuoksi sivutetn nämä päättelyt selvinä. Merkintä I δ f(x) trkoitt funktion f integroimist yli välin I δ. Tulos ei päde ilmn jtkuvuuden oletust. Vstesimerkiksi käy funktio, kun x = f(x) =, kun x. Tällöin f(x) =, mutt f(x) integroimisvälillä. Tehtävä 4. Oletuksen perusteell b (f(x) g(x)) = b f(x) b g(x) =.

22 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Kosk funktiot f j g ovt jtkuvi j integroituvi, niin myös funktio f g jtkuv j integroituv välillä [, b]. Mikäli funktio f g viht merkkiään pisteessä x [, b], niin (f g)(x) = eli f(x) = g(x), joten väite on todistettu. Voidn siis olett, että f g ei vhd merkkiään välillä [, b]. Tällöin jompi kumpi funktioist f g ti g f on positiivinen j edellistä tehtävää voidn sovelt tähän funktioon. Siis f(x) g(x) = kikill x [, b], mistä väite seur. Tskn väite ei päde ilmn jtkuvuutt. Vstesimerkiksi voidn ott funktiot f(x) j, kun x g(x) =, kun x >. Nyt f(x) = Tehtävä 5. g(x) =, mutt f(x) g(x) kikill x [, ].. Kosk D(9 x ) = x, niin integrndiin sdn muotoiltu sisäfunktion derivtt. Siis x 9 x = x 9 x = 3 (9 x ) 3 + C = 3 9 x 3 + C. Tehdään sijoitus x = 3 sin t, missä π t π. Nyt t = rcsin x 3 j = 3 cos tdt. Lisäksi sin t = cos t = cos t = cos t, kosk välillä

23 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 [ π, π ] kosini on ei-negtiivinen. Siis 9 x = 9 9 sin t 3 cos t dt = 9 sin t cos t dt = 9 cos t dt = 9 ( + cos t)dt, missä viimeisin rivi sdn kvst cos t = cos t. Täten 9 x = 9 dt + 9 cos t dt 4 = 9 t + 9 sin t + C 4 = 9 rcsin x sin t cos t + C = 9 rcsin x x cos t + C = 9 rcsin x ( x ) x + C, 3 kosk cos t = sin t = x. Tuloksen oikeellisuuden voi trkist 9 suorittmll derivoinnin. Sijoituksess ei kuitenkn tehty mitään luvtont, kosk 3 sin t on derivoituv bijektio, kun π t π. 3. Tehdään sijoitus t = x+ x + 9. Nyt korottmll yhtälö t x = x + 9 toiseen sdn sievennyksen jälkeen x = t 9. t Tästä derivoimll puolittin ts sdn = t t (t 9) dt = t +9dt. (t) t 3

24 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Siis x + 9 = (t x) t + 9 dt t ( ) = t t 9 t + 9 dt t t ( ) t + 9 = t4 9 dt t 4t 3 t 9 = dt + t dt t 4 dt + = 4 t + 9 ln t 8 t 8 8t + C 8 4t 3 dt = 8 (x + x + 9) + 9 x ln + x (x + x + 9) + C. Lventmll smnnimisiksi j neliöt lskemll sdn, että 8 (x+ x + 9) 8 8(x+ x +9) = x x + 9, joten x + 9 = x x x ln + x C. Sijoitus t = x + x + 9 on derivoituv bijektio j myös derivoimll voidn trkist, että tulos on todellkin oike. 4. Vstvsti kuin ensimmäinenkin tehtävä ti vihtoehtoisesti sijoituksell t = 9 + x j dt = x x 9 + x = t dt = 3 t 3 + C = 3 ( t) 3 + C = 3 ( 9 + x ) 3 + C. Vikk sijoitus t = 9 + x ei ollutkn bijektio, niin lopputulos on oike. Vstuksen stu funktio on todellkin hluttu integrlifunktio, kosk sen derivtt on integrndi. 4

25 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 5. Käytetään sm sijoitust x = sin t kuin tämän tehtävän toisess kohdss. Täten 3 cos t = 9 x 3 cos t dt = dt = t + C = rcsin x 3 + C. 6. Käytetään sijoitust t = x + x + 9 kuten kolmnness kohdess. Nyt = t x t (t x) dt t + 9 = t (t t 9) dt t t + 9 = t 3 t 3 9t dt t + 9 = t 3 9t dt t + 9 = t(t 9) dt dt = t = ln t + C = ln x + x C. Tehtävä 6. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, ] jko, missä x =, x n = j x < x <... < x n. Jos väli [x i, x i+ ], missä i =,,..., n, sisältää origon x =, niin sup f(x) =, x [x i,x i+ ] muutoin pienin ylärj funktion rvolle on selvästi. Lisäksi inf f(x) = kikill välin [, ] osväleillä. Siis funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ], jos 5

26 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 inf S D =. Luku on selvästi eräs lrj yläsummien joukolle. Osoitetn, että se on suurin lrj. Olkoon ɛ > mielivltinen. Nyt on olemss sellinen jko D, että ɛ > x i+ x i j ]x i, x i+ [ eräällä i Z +. Siis < S D = (x i+ x i ) = x i+ x i < ɛ. Täten inf S D = j funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ] j Nyt funktio G(x) = f(x) =. x f(x), kun x [, ]. Lisäksi se on derivoituv välillä ], [, mutt se ei ole funktion f integrlifunktio, sillä G () = = f(). Oletetn, että funktio F on funktio f integrlifunktio. Täten F (x) = f(x) kikill x ], [. Erityisesti F () = f() = j F (x) = f(x) =, kun. Derivoituvn funktion F on jtkuv. Integrlilskennn perusluseen nojll c, kun < x < F (x) = d, kun < x <. Jtkuvuuden perusteell F () = lim F (x) = lim F (x) eli F () = c = d. Tällöin x + F () = lim h F (h) F () h x = = f(), mikä on ristiriit. Täten funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Kun x, niin D x sin x = x sin x + x cos x D x = x sin x x 3 x cos x = x sin x x cos x. 6

27 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Kun x =, niin F () = lim h F (h) F () h = lim h h sin h h = lim h h sin h =, sillä h sin h h, kun h. Siis x sin F x (x) = f(x) = cos kun x x x kun x = Siis funktion f integrlifunktio on F. Kuitenkn funktio f ei ole integroituv millään välillä, jok sisältää pisteen x =, sillä funktio f ei ole tällöin rjoitettu. Esimerkiksi jos x n = πn, niin eli cos( ) = πn x n x n f(x n ) = πn, kun n. Siis funktio f tulee svuttmn mielivltisen pieniä rvoj lähestyttäessä pistettä x = Siis funktioll voi oll integrlifunktio, vikk se ei olisikn integroituv. Tehtävä 8.. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen t [, b], että b f(x) = f(t)(b ). Kosk m f(t) M oletuksen nojll, niin väite sdn tätä soveltmll yllä olevn yhtälöön.. Nyt todistus on hiemn hnklmpi, kosk joudutn turvutumn Riemnnin summiin. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin b f(x) = sup s D = inf S D. 7

28 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Tehtävän perusteell vkiofunktiot m(x) m j M(x) M ovt integroituvi välillä [, b] sekä b m(x) = m(b ) j b M(x) = M(b ). Olkoon D mielivltinen välin [, b] jko. Oletuksen perusteell m f(x i ) M j m f(x i+ ) M, kikill jon D jkopisteissä x i j x i+, joten funktion m välin [, b] jokinen yläsumm ovt pienempiä ti yhtä suuri kuin funktion f vstv lsumm j funktion M jokinen lsumm ovt suurempi ti yhtäsuuri kuin funktion f vstv yläsumm. Täten m(b ) = b m(x) sup s D = b f(x) = inf S D b Tehtävä 9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on M(x) = M(b ). integroituv välillä [, b]. Oletetn lisäksi joko g(x) ti g(x) kikill x [, b]. Tällöin on olemss sellinen t [, b], että b f(x)g(x) = f(t) b g(x). Tehdään luseen vtimt oletukset j trkstelln tpust g(x) kikill x [, b]. Kosk funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b], niin sillä on mksimirvo M j mininirvo m tällä välillä. Täten mg(x) f(x)g(x) Mg(x) kikill x [, b] eli Jos b m b g(x) b f(x)g(x) M b g(x) =, niin edellisen rvion nojll myös b g(x). f(x)g(x) =. Näin väite olisi tosi mielivltisell t [, b]. Kosk g(x), niin voidn olett 8

29 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 jtkoss, että b g(x) >. Siis m b f(x)g(x) b g(x) M. Kosk f oli jtkuv välillä [, b], niin se s kikki rvot suurimmn rvons M j pienimmän rvons m väliltä. Siis on olemss sellinen t [, b], että f(t) = b f(x)g(x) b, g(x) jost väite seur. Vstvsti todistetn tpus g(x) kikill x [, b]. Tehtävä. Rj-rvon f(x) lim x + g(x) = määritelmän perusteell kiinnitettyä luku > ɛ > kohti on olemss sellinen luku δ >, että jos x < δ, niin f(x) g(x) < ɛ. Tällöin ɛ < f(x) g(x) < ɛ j kosk f(x), g(x) > kikill > x >, niin Siis jos epäoleellinen integrli < f(x) < ɛg(x). δ g(x) suppenee, niin mjornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli δ f(x) suppenee, kosk luku > ɛ > oli kiinnitetty j sillä kertominen ei vikut suppenemiseen. Siis epäoleellinen integrli f(x) = δ f(x) + δ f(x), suppenee, kosk oletuksen perusteell funktio f on integroituv välillä [δ, ]. 9

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST), Tentti

S Fysiikka III (EST), Tentti S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali MAT-3430 Lj mtemtiikk 3 TTY 00 Risto Silvennoinen Luku 5. Integrli 5.. Relifunktioien määräämätön integrli Integrlifunktio Derivoinnin käänteistoimituksen on vstt kysymykseen "Mikä on se funktio, jonk

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot