10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

Transkriptio

1 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion f kuvjn väliin jäävän tsolueen ln, mikäli > j tällä välillä toteutuu ehto f(x) > 0. Luonnollisesti on pljonkin tilnteit, joiss funktion kuvj kulkee jollkin välillä osittin, ehkä kokonnkin pelkästään x-kselin lpuolell j voi tällöin khden y-kselin suuntisen suorn knss rjoitt äärellisen tsolueen. Kuinks sellisen l? x y = f(x) Kun pltn määrättyyn integrliin sellisen summn rj-rvon, joss on yhteenlskettvn äärettömän mont äärettömän pientä tulo, j nämä tulot ovt sellisi, joiss tekijöinä ovt funktion rvo j erään osvälin pituus (ktso yllä olev kuviot), niin nämä tulot ovt kikki nyt negtiivisi. Ovthn kikki funktion f rvot negtiivisi. Tällöin f (x)dx nt kyseisen pint-ln vstluvun! Kun nyt jotin tämäntpist proleem lsketn, j on selvitetty, että koko integroimisvälillä rjkäyrä on sellinen, ettei s inkn positiivist rvo, niin pint-l on ilmeisesti integrlin vstluku: A = f (x)dx, missä miinusmerkin voi viedä integrlimerkin sisään ti hukt siihen, että viht integroimisrjt. Tvllist on, että pint-llskuiss joutuu määrittämään khden käyrän väliin jäävän tsolueen ln. Tällöinkin pitämällä mielessä sen, että määrätty integrli on eräs rj-rvo, missä on kyseessä summ, joss on pljon, pljon pieniä yhteenlskettvi, ymmärtää pinkin, että rjkäyrien keskinäisellä sijinnill on melko rtkisev merkitys. Kun integroimisväli jetn osiin, niin (8)

2 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess pint-l- sovellutuksiss tämä summ vst tsen sitä, että lsketn yhteen hyvin kpeiden suorkulmioit muistuttvien kuvioiden lt. Olkoon khden rjkäyrän yhtälöt y = f(x) j y = g(x) vielä niin, että suorien x = j x = välillä jokisess pisteessä f(x) > g(x). Välin [, ] joss sdn jälleen suorkulmioit muistuttvi os-lueit, joit on pljon, kun jko on tiheä. Kun funktion f kuvj koko välillä [, ] kulkee g kuvjn yläpuolell, niin erotus f(x) g(x) on in ei-negtiivinen j tulo [f(x) g(x)] x on niin ikään in ei - negtiivinen j sellisenn ilmoitt sitten ll olevn kuvnkin hhmotellun hyvin kpen lueen ln. Kikkien näiden soirojen lojen summ nt sitten snottujen käyrien j suorien x =, x = jäävän lueen pint-ln, kun jko tihenee eli osvälin pituus x lähenee rjttomsti noll. y = f(x) y = g(x) **************************************************************** Luse 7. Jos tsolueen projektio x-kselill on väli [, ] j luett rjoitt ylhäältä funktion f j lhlt funktion g kuvj, j sinomisen välin jokisess pisteessä f(x) > g(x), niin kyseisen tsolueen pintl A = [ f (x) g(x) ] **************************************************************** Huomutetn vielä kerrn siitä, että luseen käyttöedellytykset on trkoin selvitettävä j mielessä pidettävä. Suoritukseen on perusteltv, missä pintlns määritystä kipv lue sijitsee, j miten on sen rjkäyrien keskinäinen sijinti. Seurvss on kuvttu erilisi tilnteit vlmiin. Näiden dx (8)

3 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess piirtäminen on sttnut käytännön lskutehtävässä vti huomttvnkin työmäärän, j melkein in on kyseessä epäyhtälön rtkiseminen. Kun näen rjkäyrien yhtälöt y = f(x) j y = g(x) on nnettu, niin epäyhtälön f(x) > g(x) f (x) g(x) 0 rtkisu nt ne x:n rvot, joill f:n kuvj kulkee g:n kuvjn yläpuolell, ehkäpä sivuvtkin jossin toisin. y x y = f(x) A = f (x)dx = f (x)dx = A = [ f (x) g(x) ] dx (8)

4 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess c A = [f (x) g(x)]dx + [ g(x) f (x)] dx c Opiskelijoiden keskuudess on joskus esiintynyt vikeuksi suoritt tehtäviä, joss khden käyrän väliin jäävä lue osin on sijinnut x-kselin l- j osin yläpuolell, ti kokonn x-kselin lpuolell. Tällä sill ei kuitenkn ole mitään merkitystä, sillä inut rtkisev tekijä on käyrien keskinäinen sijinti, mikä määrää erotuksen f(x) g(x) etumerkin, j määrättyä integrli kuvvss summss kunkin yhteenlskettvn etumerkin, jonk pintlsovellutuksiss tulee oll ei-negtiivinen. Asi on niinkin, että jos puhutn käyrän y = f(x), suorien x =, x = sekä x-kselin rjoittmn lueen lst, niin x-kseli voidn pitää toisen rjkäyränä: g(x) = 0. Jos funktion f kuvj sijitsee x-kselin yläpuolell, niin A = [ f (x) 0] dx = f (x)dx, kuten on jo monesti todettu. Tilnne esiintyi jo pint-lfunktion käsittelyn yhteydessä. Erityistä trkkuutt vditn limmn kuvn esittämässä tpuksess, joiss rjkäyrät menevät integroimisvälillä ristiin. KÄYRIEN KESKINÄINEN SIJAINTI ON SELVITETTÄVÄ! Esim. 9. Lske suorien y = x, y = x +, x = j x = rjoittmn tsolueen (puolisuunnikkn l). Kysytään, millä x:n rvoill suor y = x kulkee suorn y = x + yläpuolell: x > x + x > 4. Integroimisväli on < x <. Koko tällä välillä loivemmin nousev suor on yläkäyränä j siten A = [ (x + ) (x ) ] dx = [ x + x + ] dx = (4 x)dx = /(4x = 4 9 (4 ) = = 4 x ) = Vstus: Al on neljä pinnn yksikköä. 4(8)

5 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess Esim. 0. Käyrät y = cosx j y = cos(x/) rjoittvt välillä [0,π] jonkinlisen tsolueen. Selvitä millinen se on j määritä sen l. Trigonometrisi epäyhtälöitä ei ole käsitelty, mutt yhtälön vull sdn kuitenkin selville, missä käyrät leikkvt. Riittää toki etsiä käyrien yhteiset pisteet integroimisväliltä, mutt ensin trvitn täydellinen rtkisu, jost sitten poimitn trvittvt leikkuspisteet. x n tikk x x = π cosx = cos x = ± + nπ x = nπ 4nπ x = 4nπ tikk x = Jos nyt lähdetään kulkemn origost ksvvn x:n suuntn, niin käyrät leikkvt origoss (n = 0). Seurv 8π leikkuspiste on (n = ) j sitä seurv (n = ) onkin jo integroimisvälin ulkopuolell. Kosk funktio y = cos(kx) on jtkuv, käyrillä y = cos x j y = cos(x/) ei voi integroimisvälillä oll muit yhteisiä pisteitä. Mikä on keskinäinen sijinti? Esimerkiksi piste x = π kuuluu välille 0,. Lsketn kummnkin funktion rvo tässä pisteessä: π x cos π = j cos = 0, joten välillä 0, käyrä y = cos kulkee käyrän y = cos x yläpuolell. Menevätkö käyrät ristiin tässä pisteessä vi sivuvtko ne vin toisin? 8π Seurv käyrien leikkuspiste on j vikk se ei kuulukn integroimisvälille, niin lskemll näiden funktioiden rvot välille 8π, kuuluvss pisteessä x = π voidn päätellä käyrien keskinäinen sijinti integroimisvälin loppuosss: π cosπ = j cos =, joten välillä kulkee käyrän y = cos x lpuolell., π käyrä y = cos x 5(8)

6 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess,5 0,5 0-0, ,5 A = = 0 / 0 π π = sin( ) sin( ) sin 0 + sin 0 + sin π sin π sin( ) + sin( ) = = x cos( ) cosx dx + x sin( ) sin x + ( π / ) + 0 ( π x cosx cos( ) dx = x sin x sin( ) = ) + Näyttäisi kumm kyllä siltä, että kksiosisen lueen ost ovt keskenään smnkokoiset erilisest muodostn huolimtt. Al on siis suuruudeltn eli noin 5. pinnn yksikköä. Huomutus: Jos trigonometrisiä funktioit sisältävissä integrleiss toinen rj on noll, sen sijoittmtt jättäminen voi oll kohtlokst. Esim.. Määritä suorn x + y = j prelin x = y + rjoittmn lueen pint-l. = 6(8)

7 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess Preli y = x uke joko ylös- ti lspäin riippuen siitä, onko > 0 vi onko < 0. Jos käyrän yhtälö on muoto x = y, niin kyseessä on preli, jok uke oikelle, jos > 0. Aukemissuunt on vsempn, mikäli < 0. Kummsskin tpuksess prelin huippu on origoss. Vkiotermin lisäys vin siirtää prelin x = y huippu pitkin x-kseli. Kuvio on siten pääpiirteissään ll olevn näköinen: y x Hetn ensiksi kuvjien leikkuspisteet: x + y = x = y sijoitetn x: x = y + x = y + ± y = y + y + y = 0 y = 4 ( ) y = ti y = Vstvt x:n rvot ovt j 5. Leikkuspisteet ovt siis (,) j (5,-). Jos nyt integroitisiin pitkin x-kseli, niin välillä [, ] olisi yläkäyränä y = x j lkäyränä y = x. Välillä [,5] ts olisi yläkäyränä suor y = x j lkäyränä edelleen y = x. Pitäisi lske khden eri integrlin summ. Voidn myös menetellä niin (j päästään vähemmällä), että integroidnkin pitkin y-kseli. Lusutn siis kumpikin rjkäyrä niin, että niissä on esitetty x muuttujn y funktion. 7(8)

8 MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess Käyrien rjoittmn pint voidn jtell kstuksi hyvin kpeist suorkulmioist, joiden knt on dy, j korkeus suorn x - koordintin j prelin x-koordintin erotus (in suurempi pienempi). Käytäessä kikki nämä suorkulmiot läpi muuttuj y juoksee välin [, ] j [( y) ( y + ) ] dy = [ y y + ] A = dy = ( y y y = / ( + y) = + ( ) ( + ) = = Kysytty l on 4½ pinnn yksikköä + y ) dy = 8(8)