Numeerinen integrointi.

Transkriptio

1 Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti

2 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun integrlej ei ost lske suljetuss muodoss. Esimerkiksi stelliitin kulkem mtk elliptisellä kiertordll on integrli muoto missä funktioll θ π/2 0 1 k 2 sin 2 (θ) dθ, 1 k 2 sin 2 (θ) ei ole ntiderivtt. Trpetsoidi- j Simpsonin menetelmä (verkkoluento 49). Käyttökelpoisi silloin, kun käytössä on mittusdt teoreettisten lusekkeiden semest.

3 Tylor-srjn pluu Anlyysin perusluse (F.T.I.C): toisin snoen f (x) f () = x f (t) dt, x f (x) = f () + f (t) dt. (1)

4 Tylor-srjn pluu Käytetään osittisintegrointi termiin x f (t) dt: setetn u = f (t), dv = dt, jost du = f (t) dt, v = t j sdn x f t=x [ (t) dt = tf (t) ] x tf (t) dt t= = xf (x) f () x tf (t) dt. (2)

5 Tylor-srjn pluu Anlyysin perusluse uudelleen nt f (x) = f () + x j sijoittmll tämä yhtälöön (2) sdn x f (t) dt = f ()(x ) + Siten yhtälö (1) s muodon f (x) = f () + f ()(x ) + f (t) dt, x x (x t)f (t) dt. (x t)f (t) dt. (3)

6 Sm termille x Tylor-srjn pluu (x t)f (t) dt: setetn u = f (t), dv = (x t) dt, jost j x (x t)f (t) dt = du = f (3) (x t)2 (t) dt, v = 2 t=x t= [ (x t) 2 2 = f () 2 (x )2 + f (t) ] x + x (x t) 2 f (3) (t) dt 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. 2

7 Tylor-srjn pluu Siten yhtälö (3) s muodon f (x) = f ()+f ()(x )+ f () x 2 (x (x t) 2 )2 + f (3) (t) dt. 2 (4) x (x t) 2 Osittisintegrointi termille f (3) (t) dt: 2 u = f (3) (t), dv = (x t)2 2 dt, du = f (4) (t) dt, v = (x t)3 3!

8 Tylor-srjn pluu nt x (x t) 2 2 f (3) (t) dt = f (3) () x (x ) 3 + 3! (x t) 3 f (4) (t) dt, 3! j jtkmll osittisintegrointi (köyhän miehen induktio) yhtälö (4) s muodon f (x) = f () + n k=1 mielivltiselle n N. f (k) () x (x ) k + k! (x t) n f (n+1) (t) dt n!

9 Yhteenveto Tylor-srjn pluu Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on integroituv pisteen ympäristössä, niin pätee missä f (x) = P n f P n f (x; ) = f () + n n (x; ) + Ef (x; ), k=1 f (k) () (x ) k k! on funktion f steen n Tylor-polynomi pisteen ympäristössä, j E n f (x; ) = x (x t) n f (n+1) (t) dt n! on steen n Tylor-pproksimtion virhe.

10 Tylor-srjn pluu Virhetermin toinen muoto Integrlilskennn välirvoluse (men vlue theorem of integrl clculus): jos g on jtkuv välillä [, b], niin b g(x) dx = g(c)(b ) jollekin c (, b). Soveltmll tätä virhetermiin Ef n (x; ) sdn E n f jollekin c (, x). (x c)n (x; ) = f (n+1) (c)(x ) n!

11 Tylor-srjn pluu Virhetermin kolms muoto (käyttökelpoinen) Edellä x c x, joten Ef n (x; ) f (n+1) (c) x n+1 n! jollekin c (, x).

12 Tylor-srjn pluu Esimerkki Lske 1 0 e x2 dx siten, että virhe on pienempi kuin Funktion e x potenssisrjesitys origon ympäristössä on missä e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 E n (x) 3! x n n! + E n(x), e c (n + 1)! x n+1 jollekin 0 < c < x. (Oikell puolell ei trvit itseisrvoj, kosk x > 0 j e c > 0.)

13 Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) Kun edellä sijoitetn x:n piklle x 2, sdn missä j 0 < c < x 2. Edelleen = 1 0 e x2 = 1 + x 2 + x 4 2! + x 6 1 e x2 0 dx E n (x 2 ) 3! x 2n n! + E n(x 2 ), e c (n + 1)! x 2(n+1) (1 + x 2 + x 4 2! + x 6 3! x 2n ) dx + n! 1 0 E n (x 2 ) dx.

14 Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) Ensimmäinen os on helppo integroid, j kysymys kuuluukin: miten suuri on luvun n oltv, jott jälkimmäinen integrli on itseisrvoltn korkeintn 10 4? Tässä 1 0 E n (x 2 ) dx e c (n + 1)! 1 0 x 2(n+1) dx = e c (n + 1)!(2n + 3). Kosk 0 x 1, kosk 0 < c < x 2 1 j kosk eksponenttifunktio on ksvv, pätee e c e 1 3. Siten 1 E n (x 2 ) dx 3 (n + 1)!(2n + 3), 0

15 Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) jok (kokeilemll) on pienempi kuin 10 4 silloin, kun n 6. Siispä 1 0 e x2 dx 1 0 =... 1, hlutun virherjn sisällä. (1 + x 2 + x 4 2! + x 6 3! + x 8 4! + x 10 5! + x 12 ) 6! dx

16 Trpezoid & Simpson Huomio Tässä jetn integroimisväli [, b] osväleihin tsisesti (tilnteen vtiess tästä voitisiin luopu). Jos väli [, b] jetn tsisesti n:ään osväliin [x k 1, x k ], k = 1,..., n, missä x 0 = j x n = b, niin kunkin osvälin pituus on h = 1/n. Jtkoss siis osvälien (tsiset) lukumäärää merkitään n:llä, j yhden osvälin pituutt merkitään h:ll.

17 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Integrliss säilyy in yhtäsuuruus, kun integroimisväli [, b] jetn osväleihin [x k 1, x k ] j summtn: b f (x) dx = n k=1 xk x k 1 f (x) dx. Trpetsoidimenetelmässä pproksimoidn trpetsoidill välillä [x k 1, x k ] (kuv pdill): xk f (x) dx h f (x k 1) + f (x k ) x k 1 2 = h 2 ( yk 1 + y k ), missä y k = f (x k ).

18 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Yhteensä: b f (x) dx h 2 = h =: T n. ( (y0 + y 1 ) + (y 1 + y 2 ) (y n 1 + y n ) ) ( 1 2 y 0 + y y n ) 2 y n

19 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Jos f on jtkuv j f K välillä [, b], niin virheelle sdn ylärj b K(b )3 f (x) dx T n 12n 2. Kiinnostuneet voivt kiv todistuksen esimerkiksi Admsin Clculus-kirjst (7th Ed: 6.6. Thm. 4). Huomio Virhervioinniss yllä j seurvss esimerkissä oletetn, että trpetsoidimenetelmällä integroidn numeerisesti nnetun funktion f lusekett eikä mittusdt.

20 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki Tiedetään, että x dx = ln 2 = 0, Lsketn MATLABill T 4, T 8 j T 16 j verrtn teoreettisiin virhervioihin.

21 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Kirjoitetn seurv MATLAB-koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä trpez.m. function Int=trpez(f,,b,n) h=(b-)/n; y=0;x=; for i=1:(n-1) x=x+h; y=y+f(x); end Int=h*((f()+f(b))/2+y);

22 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) MATLAB-skripti tllennetn in smll nimellä kuin funktion määrittely; edellä tllennus trpez.m j määrittely trpez(f,,b,n). Kun skripti on tllennettu (selliseen hkemistoon, jost MATLAB sen löytää; ks. MATLAB-komento pth), niin skriptiä voidn kutsu MATLABin komentoriviltä. Määritellään komentorivillä nonyymi funktio (google: nonymous function mtlb) f (x) = 1/x komentmll f = (x) 1./x

23 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Edellä pistettä trvitn erottmn pisteittäinen jkolsku mtriisijkolskust, jonk MATLAB ilmn pistettä olett. (Tämä on yleinen filosofi: MATLAB olett, että kikki on mtriisi, ellei toisin minit. Pistettä trvitn usein vstvsti.) Nyt voidn koment esimerkiksi trpez(f,1,2,8) kun hlutn lske integrli trpetsoidimenetelmällä (n = 8 osväliä).

24 Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Huomtn, että n:ää ksvttmll trpetsoidimenetelmä trkentuu verrten hitsti, joskin virhe pysyy teoreettisten virherjojen sisällä niinkuin pitääkin.

25 Simpsonin menetelmä Vditn, että toisen steen polynomi integroituu oikein kikill joill. Käyrä y = A + Bx + Cx 2 kulkee pisteiden y 0, y 1 j y 2 kutt, kun (kuv pdill) y 0 = A Bh + Ch 2 y 1 = A (5) y 2 = A + Bh + Ch 2. Toislt h h (A + Bx + Cx 2 ) dx = 2Ah Ch3 j toislt yhtälöistä (5) sdn A = y 1 j 2Ch 2 = y 0 2y 1 + y 2.

26 Simpsonin menetelmä Siten h h (A + Bx + Cx 2 ) dx = h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ). Kun osvälien lukumäärä n on prillinen, niin b x2 x4 xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx f (x) dx x 0 x 2 x n 2 h ( ) (y 0 + 4y 1 + y 2 ) + (y 2 + 4y 3 + y 4 ) (y n 2 + 4y n 1 + y n ) 3 = h ) (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 2 + 4y n 1 + y n 3 =: S n. Menetelmässä käytetäänkin in prillist määrää jkopisteitä.

27 Simpsonin menetelmä Jos f (4) on jtkuv j f (4) K välillä [, b], niin virheelle sdn ylärj b f (x) dx S n K(b )5 180n 4. (Todistus esim. Adms 7th Ed, 6.7. Thm. 5.) Huomio Virhervioinniss yllä j seurvss esimerkissä oletetn, että Simpsonin menetelmällä integroidn numeerisesti nnetun funktion f lusekett eikä mittusdt.

28 Simpsonin menetelmä Esimerkki Tiedetään, että x dx = ln 2 = 0, Lsketn MATLABill S 4, S 8 j S 16 j verrtn teoreettisiin virhervioihin.

29 Esimerkki (jtkuu) Simpsonin menetelmä Kirjoitetn seurv MATLAB-koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä simpson.m. function Int = simpson(f,,b,n) h=(b-)/n; k=:h:b; Int= h/3*(f()+2*sum(f(k(3:2:end-2)))+4*sum(f(k(2:2:end)))+f(b)); Nyt voidn koment esimerkiksi simpson(f,1,2,8) kuten trpetsoidiesimerkissä (mutt Simpsonin menetelmä on merkittävästi nopempi kuin trpetsoidimenetelmä).

30

31

32