Riemannin integraali

Transkriptio

1 LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu funktio. Tällöin f on iemnn-integroituv, jos j vin jos f on jtkuv melkein kikkill. Kun f : [, b] on iemnn-integroituv, on f on Lebesgue-integroituv j b - f() d = f() dm(). Muist, että f on jtkuv melkein kikkill trkoitt, että joukko on nollmittinen. [,b] { [, b] f on epäjtkuv pisteessä } Todistus. Jtketn funktio f koko relikselille setmll f() =, kun < ti > b. Olkoon P n välin [, b] jko 2 n yhtäpitkään osväliin [ j 1, j ], 1 j 2 n. Asetetn (vrt. Drbou n l- j yläsummt) m j := inf{f() [ j 1, j ]} j M j := sup{f() [ j 1, j ]}. Määritellään jkoon P n liittyvät porrsfunktiot g n j h n settmll g n () = h n () =, kun < ti > b, j välillä [, b] g n () := m j, kun j 1 < j, j g n () := m 1, sekä h n () := M j, kun j 1 < j, j h n () := M 1. Tällöin välillä [, b] on g n f h n ; välin [, b] ulkopuolell on g n = h n = f. Lisäksi porrsfunktion g n+1 (vst. h n+1 ) jkovälit sdn puolittmll porrsfunktion g n (vst. h n ) jkovälit, joten jono (g n ) n=1 on ksvv (vst. jono (h n ) n=1 on vähenevä). Jokiselle δ > j setetn m δ () := inf{f() [ δ, + δ]} M δ () := sup{f() [ δ, + δ]} sekä m() := lim m δ() j M() := lim M δ(). δ + δ + Tällöin m f M. Lisäksi funktioiden m j M vull ilmistun funktio f on jtkuv pisteessä, jos j vin jos m() = M() (todistus jätetään hrjoitustehtäväksi). 1 Viimeksi muutettu j

2 *5.1. TÄYDENTÄVÄ TULOKSA 24 ( ) Osoitetn, että lim h n () = M() j lim g n () = m() melkein kikille. Väite ( ) on tosi, kun < ti > b, kosk yhtälöiden molemmt puolet ovt nolli. Olkoon A n jon P n jkopisteiden j, j 2 n, muodostm joukko. Olkoon [, b] \ n=1 A n. Olkoon ε >. Vlitn δ > siten, että m δ () > m() ε j M δ () < M() ε. Seurvksi vlitn n siten, että P n < δ, kun n > n. Kun n > n, vlitn jon P n suljettu jkoväli n = [ j 1, j ] siten, että ( j 1, j ). Tällöin n [ δ, + δ] j m() ε < m δ () inf{f() n } = g n (). Toislt, g n () m(), kosk riittävän pienelle δ > on [ δ, + δ] n. Siis m() ε < g n () m(). Vstvsti sdn M() h n () < M()+ε, kun n > n. Siis väite ( ) pitää pikkns pisteelle. Kosk joukko n=1 A n on numeroituvn joukkon nollmittinen, on väite ( ) todistettu. Olkoon α = sup{ f() [, b]}. Tällöin b b g n α d = α (b ) j h n ( α) d = α (b ). Monotonisen konvergenssin luseen seuruksen funktiot m j M ovt integroituvi, j lim h n = M j lim g n = m. b Jos f on iemnn-integroituv, on lim h b n = lim g n = - b f, joten vähentämällä edellisessä integrlit puolittin, sdn = lim h n lim g n = (M m). Kosk M m, on M m = melkein kikkill, joten f on jtkuv melkein kikkill. Kosk m f M, on f = m melkein kikkill j b b f = m = lim g n = f = - f. b Toislt, jos f on jtkuv melkein kikkill, on M m = melkein kikkill, joten lim hn lim gn =. Tällöin f on iemnn-integroituv. *5.1. Täydentäviä tuloksi On syytä pitää mielessä, että kun puhutn iemnnin integrlist trkoitetn kompktill välillä [, b] määritellyn rjoitetun funktion ito iemnnin integrli. iemnnin integrlin yhteydessä rjoittmttomn välin yli integrointi ti rjoittmttomn funktion käsitely hoidetn epäoleellisill iemnnin integrleill. Esimerkiksi, olkoon f : [, ) iemnn-integroituv jokisell välillä [, b], b >. Jos äärellinen rj-rvo b lim - f() d =: b

3 *5.1. TÄYDENTÄVÄ TULOKSA 25 on olemss, snotn, että epäoleellinen iemnnin integrli f() d suppenee, j sen rvoksi määritellään rj-rvo. Edellisen nojll tällinen funktio on Lebesgue-integroituv jokisell välillä [, b], b >, j b f() dm() = - f() d, kun b. [,b] Mutt onko tällinen f Lebesgue-integroituv välillä [, )? Jos näin olisi, niin Luseen 3.12 (koht e) nojll myös f olisi Lebesgue-integroituv välillä [, ). iemnnin integrleist muistettkoon, että kun f on iemnn-integroituv välillä [, b], niin myös f on iemnn-integroituv välillä [, b]. Monotonisen konvergenssin luseest seur helposti, että n > f() dm() = lim f() dm() = lim - f() d. [, ) [,n] Tästä seur, että tällöin myös epäoleellinen iemnnin integrli f() d EO- EO- suppenee, t.s. epäoleellinen iemnnin integrli EO- f() d suppenee itseisesti. Epäoleellisist iemnnin integrleist muistetn kuitenkin, että on olemss epäoleellisi iemnnin integrlej, jotk suppenevt, mutt eivät itseisesti. Nämä ovt ehdollisesti suppenevi epäoleellisi iemnnin integrlej. Lukij kehotetn käymään läpi seurvn väitteen todistus yksityiskohtisesti: Olkoon väli j f : iemnn-integroituv jokisell kompktill osvälillä [, b]. Jos epäoleellinen iemnnin integrli EO- f() d suppenee itseisesti, niin f on Lebesgue-integroituv välillä j f() dm() = EO- f() d. Jos ts epäoleellinen iemnnin integrli EO- f() d suppenee ehdollisesti, niin f ei ole Lebesgue-integroituv välillä. Yksinkertinen esimerkki funktiost f : [, ), jolle epäoleellinen iemnnin integrli EO- f() d suppenee ehdollisesti, on f() := sin, kun >, j f() :=.

4 *5.1. TÄYDENTÄVÄ TULOKSA 26 ntegrlin suppenevuus on helppo todet Leibnizin luseen vull (vuorottelevn srjn suppenevuus). Lskemisen suhteen helpompi esimerkki on ( 1) n 1 f = χ [n 1,n). n n=1 Lebeguen integrli on monesti hyödyllinen puväline trksteltess prmetrist riippuvi epäoleellisi iemnnin integrlej. Näillä trkoitetn muoto F (y) = f(, y) d olevi integrlej, missä f : J on nnettu funktio j joukot j J ovt relikselin välejä. Perinteiset, pelkästään iemnnin integrleihin tukeutuvt menetelmät kipvt usein jonkinlist tsist suppenemist, jott funktio F voitisiin osoitt esimerkiksi jtkuvksi, kun f on jtkuv. Kurssill ntegrlilskent 1 [29] stetn käsitellä tpus, missä on kompkti, jolloin jokiselle y J esiintyvä integrli on ito iemnnin integrli. Kun ei ole kompkti ti esiintyvä integrli on muust syystä epäoleellinen, on tilnne hnklmpi. Ktso esimerkiksi [7, vol. /1, 2.12]. Luse *5.2. Olkoot, J välejä j f : J on nnettu funktio. Oletetn, että ) jokiselle y J funktio f(, y) on Lebesgue-integroituv välillä ; b) kikille funktio y f(, y) on jtkuv; c) on olemss Lebesgue-integroituv funktio g L 1 () siten, että f(, y) g() melkein kikille j kikille y J. Tällöin funktio F : J, F (y) = on jtkuv. f(, y) dm(), Todistuside. Olkoot y J j (y n ) n=1 jono välin J pisteitä siten, että y n y, kun n. Osoitetn, että F (y n ) F (y). Asetetn f n () = f(, y n ). Tällöin jokinen f n L 1 (). Jtkuvuuden nojll f n () f(, y), kun n. Kolmnnen oletuksen nojll f n () = f(, y n ) g(). Lebesguen dominoidun konvergenssin lusett voidn nyt sovelt, j sen nojll rjfunktio f(, y) on integroituv j lim f n () dm() = lim f n() dm(), eli lim F (y n) = f(, y) dm() = F (y). Tästä seur, että F on jtkuv pisteessä y.

5 Esimerkki *5.3. Trkstelln integrli *5.1. TÄYDENTÄVÄ TULOKSA 27 F (y) = y sin e d, kun y (, ). Tässä osmäärä sin tulkitn rj-rvokseen, kun. Edellisen luseen ehto b) toteutuu tällöin. y sin Olkoon f(, y) = e, kun > j y >. Kosk (sin )/ 1, on f(, y) e y. Kiinteälle y > on funktio f(, y) iemnn-integroituv jokisell välillä [, b], b >, j b y sin b e d e y d = 1 y (1 e by ). Tästä seur, että f(, y) on Lebesgue-integroituv välillä [, ). Lisäksi, kun > on kiinnitetty j y [, ), on f(, y) e y e =: g(). Tässä g L 1 ([, )). Edellistä lusett voidn nyt sovelt, j sen nojll F on jtkuv välillä [, ). Tästä seur, että F on jtkuv välillä (, ). Luse *5.4. Olkoot, J välejä j f : J on nnettu funktio. Oletetn, että ) jokiselle y J funktio f(, y) on Lebesgue-integroituv välillä ; b) kikille funktio y f(, y) on derivoituv; c) on olemss Lebesgue-integroituv funktio g L 1 () siten, että f y (, y) g() melkein kikille j kikille y J. Tällöin funktio F : J, F (y) = f(, y) dm(), on derivoituv. Lisäksi F f (y) = (, y) dm(). y Todistuside. Todistus noudtt sm kv kuin edellisen luseen todistus. Nyt trkstelln kuitenkin erotusosmääräjono f n () := f(, y + h n) f(, y), h n missä h n on jono siten, että h n, kun n, j h n kikille n Z + (sekä y + h n J kikille n Z + ). Yksityiskohdt jätetään lukijn täydennettäväksi. Esimerkki *5.5. Lukijll jätetään tehtäväksi todet, että edellisessä esimerkissä esiintynyt integrli y sin F (y) = e d on derivoituv, j että (viimeisessä viheess osittisintegrointi utt) F ( y sin ) (y) = e d = e y sin d = 1 y 1 + y. 2