7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen"

Transkriptio

1 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn funktioist u k : I R, k N, muodostettu srj. Srj on tietenkin määritelty välillä I. Srjn ossummst käytetään merkintää S n (x) n. Ossumm S n (x) vstvst jäännöstermistä käytetään merkintää R n (x) kn+. Numeeristen srjojen tpn nytkään ei ole oleellist, millä kirjimell srjn indeksiä merkitään ti loitetnko srjn indeksointi nollst, ykkösestä ti jostkin muust kokonisluvust. Ei myöskään ole oleellist, käytetäänkö jäännöstermistä merkinnän R n (x) sijst esimerkiksi merkintää R n+ (x) kn+ kn+. Jos piste x kuuluu srjn määrittelyväliin j srjn indeksointi loitetn nollst, törmätään toisinn epämääräiseen muotoon. Tällöin noudtetn sopimust, että srjn terminä. Määritelmä 7.. Funktioist u k : I R muodostettu srj suppenee (eli suppenee pisteittäin ti tvllisess mielessä) välillä I kohti summfunktiot S : I R, jos S(x) jokiselle yksittäiselle pisteelle x I. 54

2 Huomutus 7.. Srj suppenee kohti summfunktiot S(x) välillä I täsmälleen silloin, kun kikill x I. lim S n(x) S(x) n Huomutus 7.2. Kvnttoreit käyttäen srjn suppeneminen välillä I trkoitt, että x I : ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε n > n ε. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin yllä olev ehto voidn ilmist myös muodoss x I : ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε n > n ε. Esimerkki 7.. Esimerkissä 6.8 (s. 89) osoitettiin, että geometrinen srj x k suppenee välillä I ], [. Srjn supetess x k x. Jos x, niin geometrinen srj ei suppene vn hjntuu. Esimerkki 7.2. Esimerkissä 6.29 (s. ) osoitettiin, että srj suppenee kikill x R. Srjn summ määritetään esimerkissä 7.5 (s. 73). x k k! 55

3 Esimerkki 7.3. Olkoon c R. Tutkitn, milloin srj (x c) n n suppenee. Kun x c j n, niin (x c) n+ /(n + ) n x c n+ (x c) n /n (n + ) x c n n x c n + x c. Täten suppenemisen trkstelu voidn nyt jk seurviin tpuksiin. n : Jos x c, niin (x c) n n joten srj suppenee. 2 : Jos < x c <, niin srj n, n (x c) n n suppenee osmäärätrkstimen nojll. 3 : Jos x c >, niin srj n (x c) n n hjntuu osmäärätrkstimen nojll. 4 : Jos x c, niin (x c) n n joten srj hjntuu (esimerkki 6.5, s. 94). n n n n, 5 : Jos x c, niin kyseessä on vuorottelev srj n ( ) n n, jok suppenee Leibnizin luseen nojll (esimerkki 6.33, s. 3). Kohdist 5 seur, että srj (x c) n suppenee täsmälleen silloin, kun x c [, [ eli x [c, c + [. n n 56

4 Esimerkki 7.4. Vstvll tvll kuin esimerkissä 7.3 voidn osoitt, että srj (x 2) n n 2 2 2n suppenee täsmälleen silloin, kun x [ 2, 6] (hrjoitustehtävä). n Todistetn vielä luvun lopuksi pri sinänsä ilmeistä myöhemmissä todistuksiss trvittv putulost. Luse 7.3. Jos srjt S(x) suppenevt välillä I j j T (x) w k (x) niin S(x) T (x) kikill x I. Todistus. Luseen oletusten perusteell w k (x) x I, k N, S n (x) n n w k (x) T n (x) kikill x I j kikill n N. Kosk srjt suppenevt välillä I, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll S(x) n lim S n (x) n lim T n (x) T (x) x I. Seurus 7.4. Jos srjt S(x) j T (x) suppenevt välillä I, niin S(x) T (x) kikill x I. Todistus. Kosk kikill x I j kikill k N, niin luseen 7.3 (j srjn suppenemisen perusominisuuksien) nojll T (x) S(x) T (x) kikill x I. Täten väite seur itseisrvon perusominisuuksist. 57

5 Huomutus 7.5. Luseen 7.3 j seuruksen 7.4 tulokset ovt tietysti voimss myös, jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust kuin noll. 58

6 7.2 Srjojen tsinen suppeneminen Olisi mukv, jos funktiosrjn termien ominisuudet (esimerkiksi jtkuvuus, derivoituvuus j integroituvuus) periytyisivät srjn supetess srjn summfunktiolle. Yleisesti näin ei kuitenkn välttämättä tphdu (ks. esimerkki 7.8, s. 63). Siksi on trpeen tutki srjn pisteittäistä suppenemist vhvemp ominisuutt. Määritelmä 7.2. Srj suppenee tsisesti välillä I, jos ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε x I, n > n ε, missä R n (x) on srjn jäännöstermi (ks. s. 54). Huomutus 7.6. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin määritelmän 7.2 ehto voidn ilmist myös muodoss ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε x I, n > n ε. Huomutus 7.7. Srj ei suppene tsisesti välillä I, jos ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että R n (x) ε eli jos ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että S n (x) S(x) ε, missä S n (x) on srjn ossumm j S(x) srjn summ. Huomutus 7.8. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee tsisesti myös jokisell välin I osvälillä. Huomutus 7.9. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee myös pisteittäin välillä I. Huomutus 7.. Jos funktiosrj ei suppene josskin välin I pisteessä, srj ei tietenkään suppene tsisesti (eikä myöskään pisteittäin) välillä I. 59

7 Huomutus 7.. Olkoon c R. Jos srjt j suppenevt tsisesti välillä I, myös srjt w k (x) c j ( + w k (x)) suppenevt tsisesti välillä I (hrjoitustehtävä). Esimerkki 7.5. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 7., s. 55) x k x suppenee tsisesti jokisell välin ], [ suljetull osvälillä [, b]. Vlitn (mielivltinen) ε >. Merkitään c mx{, b }, jolloin < c <. Hyödyntämällä geometrisen srjn summkv sdn jäännöstermille rvio R n (x) kn+ kikill x ], [. Täten x n+ R n (x) x kikill x [, b]. Lisäksi x k x n+ x k x n+ x lim n joten on olemss sellinen n ε N, että Täten Siis srj suppenee tsisesti välillä [, b]. x x n+ c cn+ c cn+, c cn+ < ε n > n ε. R n (x) < ε x [, b], n > n ε. x k 6

8 Esimerkki 7.6. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 7., s. 55) x k ei suppene tsisesti välillä I ], [. x Vlitn ε. Olkoon n ε N mielivltinen j n > n ε jokin joukon Z + lkio. Olkoon lisäksi x ( ) n+ n Tällöin x I sekä Täten esimerkin 7.5 nojll x n+ R n (x ) x x n+ 2 j x 2. x x n Siis srj ei suppene tsisesti välillä I. x k Esimerkki 7.7. Olkoon >. Tällöin srj ( ) k k suppenee tsisesti välillä I [, [ (hrjoitustehtävä). Huom. Jos, niin piste x kuuluu väliin I. Tällöin ( ) k k, k x joten tsist suppenemist ei voi osoitt Weierstrssin M-testiä (ks. luse 7.4, s. 64) käyttäen. Tehtävä on siis rtkistv suorn määritelmää käyttäen eli rvioimll srjn jäännöstermiä. k x Huomutus. Esimerkistä 7.7 nähdään, että srjn tsinen suppeneminen ei tk, että srj suppenisi itseisesti. Seurvksi osoitetn, että vikk srjn termien jtkuvuus jollkin välillä ei srjn supetess välttämättä periydy srjn summfunktiolle, näin tphtuu, jos srjn suppeneminen on tsist. 6

9 Luse 7.2. Jos välillä I tsisesti suppenevn srjn termit ovt jtkuvi välillä I, myös srjn summfunktio on jtkuv välillä I. Todistus. Todistetn jtkuvuus tpuksess, joss trksteltv piste on välin I sisäpiste. Tpukset, joiss kyseessä on (esimerkiksi suljetun) välin päätepiste, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Vlitn (mielivltinen) ε >, j oletetn nyt, että I on välin I sisäpiste. Olkoon lisäksi S n (x) tsisesti suppenevn srjn ossumm j S(x) summ (välillä I). Kosk srj suppenee tsisesti välillä I, on huomutuksen 7.6 nojll olemss sellinen n ε N, että S n (x) S(x) < ε 3 x I, n > n ε. Olkoon nyt n > n ε. Kosk srjn termit ovt jtkuvi välillä I, srjn (äärellinen) ossumm S n (x) on jtkuv pisteessä x. Täten jtkuvuuden määritelmän nojll on olemss sellinen δ >, että 2 S n (x) S n () < ε 3 in, kun x < δ. Jos siis x < δ (j x I), niin S(x) S() S(x) S n (x) + S n (x) S n () + S n () S() -ey S(x) S n (x) }{{} < ε 3 + S n (x) S n () }{{} < ε 3 + S n () S() }{{} < ε 3 < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. Siis funktio S(x) on jtkuv pisteessä x. Kosk oli mielivltinen välin I piste, niin S on jtkuv välillä I. Huomutus. Srjn summfunktio voi tietenkin oll jtkuv välillä I, vikk srjn suppeneminen ei olisikn tsist välillä I (ks. esimerkki 7.6, s. 6). Tällöin on trksteltv vsemmlt ti oikelt jtkuvuutt. 2 Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett luvun δ olevn niin pieni, että jos x < δ, niin x I. 62

10 Seurus 7.3. Jos srjn termit ovt jtkuvi välillä I, mutt srjn summfunktio ei ole jtkuv välillä I, niin srj ei suppene tsisesti välillä I. Esimerkki 7.8. Tutkitn srjn tsist suppenemist välillä [, ]. Kosk ( x 2 )x k ( x 2 )x k ( x 2 ) x k, niin geometrisen srjn suppenemisen nojll trksteltv srj suppenee (pisteittäin) j ( x 2 )x k ( x 2 ) x + x kikill x ], [. Lisäksi srj suppenee, kun x ±, sillä tällöin ( x 2 )x k. Siis srj suppenee välillä [, ] j ( x 2 )x k x +, kun x <,, kun x. Nyt srjn termit ovt jtkuvi välillä [, ]. Srjn summfunktio sen sijn ei ole (vsemmlt) jtkuv pisteessä x. Täten seuruksen 7.3 nojll srj ei suppene tsisesti välillä [, ]. ( x 2 )x k Srjn tsisen suppenemisen tutkiminen suorn määritelmään perustuen on melko hnkl. Seurvksi esitettävä Weierstrssin M-testi trjo joskus helpon tvn osoitt, että srj suppenee tsisesti. Testiä ei kuitenkn voi käyttää sen osoittmiseen, että srj ei suppene tsisesti. 63

11 Luse 7.4 (Weierstrssin M-testi). Olkoot M, M, M 2,... ei-negtiivisi relilukuj j I jokin relilukuväli. Jos (i) k N siten, että M k x I, k > k, (ii) srj M k suppenee, niin srj suppenee tsisesti välillä I. Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j oletetn, että n > k. Luseen oletusten j mjornttiperitteen nojll srjt kn+, kn+ j M k kn+ suppenevt kikill x I. Käyttämällä seurust 7.4 (s. 57) sekä oletust (i) j lusett 7.3 (s. 57) sdn täten kikill x I. R n (x) kn+ Lisäksi oletuksen (ii) perusteell lim n kn+ kn+ M k, M k kn+ joten rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen n N, että kn+ M k < ε n > n. Täten R n (x) M k kn+ < ε in, kun n > n ε mx{k, n } j x I. Siis srj suppenee tsisesti välillä I. 64

12 Huomutus 7.5. Weierstrssin M-testin nojll myös srj suppenee tsisesti välillä I. Weierstrssin M-testissä trksteltvn srjn termejä mjoroidn jonkin suppenevn numeerisen srjn termeillä. Tällöin myös trksteltvn srjn jäännöstermiä voidn rvioid koko välillä tämän yhden suppenevn numeerisen srjn jäännöstermillä. Kosk numeerisen srjn jäännöstermi lähestyy suppenemisen vuoksi noll termien lukumäärän ksvess, sdn riittävä rvio myös trksteltvn funktiosrjn jäännöstermille (vrt. esimerkki 7.5, s. 6). Esimerkki 7.9. Osoitetn, että jos s >, niin srjt k sin(kx) k s j k cos(kx) k s suppenevt tsisesti joukoss R. Olkoon siis s >. Tällöin : sin(kx) k s j k s cos(kx) k s x R, k Z k s +, 2 : srj k suppenee (esimerkki 6.5, s. 94). ks Siis srjt k sin(kx) k s j k cos(kx) k s suppenevt Weierstrssin M-testin nojll tsisesti joukoss R. Esimerkki 7.. Käyttämällä Weierstrssin M-testiä voidn osoitt, että srj ( x)x k k k suppenee tsisesti välillä [, ] (hrjoitustehtävä). 65

13 Esimerkki 7.. Osoitetn, että srj x k k! suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Käytetään mjornttisrjn välin [, b] päätepisteessä stv srj. Olkoon siis c mx{, b }. Tällöin x k : k! ck k! x [, b], k N, 2 : srj Täten srj c k k! suppenee (esimerkki 6.29, s.). suppenee tsisesti välillä [, b] Weierstrssin M-testin nojll. x k k! Esimerkki 7.2. Vstvsti kuin esimerkissä 7. voidn osoitt, että srjt ( ) k x 2k (2k)! j ( ) k x 2k+ (2k + )! suppenevt tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b] (hrjoitustehtävä). 66

14 7.3 Srjojen integrointi j derivointi Osoitetn ensin, että funktiosrj voidn integroid termeittäin, jos srj suppenee tsisesti j srjn termit ovt jtkuvi. Luse 7.6. Oletetn, että (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä [, b] (kikill k N), (ii) srj S(x) suppenee tsisesti välillä [, b]. Tällöin termit integroimll muodostettu srj suppenee j b ( ) } {{ } S(x) dx b dx. Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j merkitään n S n (x), n N. Kosk funktiot u k ovt jtkuvi j srjn suppeneminen on tsist välillä [, b], niin luseen 7.2 (s. 62) nojll summfunktio S on jtkuv j siten myös integroituv välillä [, b]. Myös srjn yksittäiset termit j ossummfunktiot S n (n N) ovt jtkuvin funktioin integroituvi välillä [, b]. Kosk srj suppenee tsisesti välillä [, b], on huomutuksen 7.6 (s. 59) nojll olemss sellinen n ε N, että S n (x) S(x) < ε x [, b], n > n ε. b Jos siis n > n ε, niin b b b S n (x) dx S(x) dx (S n (x) S(x)) dx < b b S n (x) S(x) dx ε b dx 67 ε.

15 Siis b (7.) lim S n (x) dx n b S(x) dx j edelleen b dx lim n n b dx b ( n ) n lim dx b lim S n (x) dx n (7.) b S(x) dx b ( ) dx. Seurus 7.7. Oletetn, että c I j (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj S(t) u k (t) suppenee tsisesti välillä I. Tällöin yhtälön (7.2) oikell puolell olev srj suppenee j (7.2) kikill x I. x c S(t) dt x ( c u k (t) ) dt x c u k (t) dt Huomutus. Yhtälö (7.2) ei välttämättä päde (mutt voi päteä), jos srjn suppeneminen ei ole tsist. 68

16 Esimerkki 7.3. Osoitetn, että log( + x) ( ) k x k k k x ], [. Otetn lähtökohdksi geometrinen srj ( t) n, t ], [, n + t j integroidn srj termeittäin. Srj suppenee trksteltvll välillä, mutt suppeneminen ei ole tsist koko välillä (esimerkki 7.6, s. 6). Sen sijn välillä [, ], missä < <, suppeneminen on tsist (esimerkki 7.5, s. 6). Olkoon nyt x [, ]. Kosk trksteltvn geometrisen srjn termit ovt jtkuvi välillä ], [, niin seuruksen 7.7 nojll x + t dt x ( n ( t) )dt n n x ( t) n dt ( ) n n / x t n+ n + ( ) n xn+ n n +. Toislt x + t dt / x log( + t) log( + x) log log( + x), joten (7.3) log( + x) ( ) n xn+ n n + k ( ) k x k. k Kosk < < j x [, ] olivt mielivltisi, yhtälö (7.3) pätee kikill x ], [. 69

17 Esimerkki 7.4. Lsketn srjn k k2 k summ. Aluksi hvitn, että k2 ( ) k k k 2 / 2 k xk 2 x k dx. Edelleen srj x k k x k suppenee tsisesti välillä [, ] (esimerkki 7.5, s. 6) j termit 2 xk (k Z + ) ovt jtkuvi välillä [, ]. Täten luseen 7.6 perusteell 2 k k2 k k / 2 2 ( x k dx ) x k dx k ( ) x k dx x dx log( x) log 2 + log log 2. 7

18 Trkstelln sitten srjn derivointi termeittäin jollkin välillä. Nyt srjn tsinen suppeneminen ei voi oll srjn suppenemiselt vdittv (riittävä) ehto, sillä esimerkiksi srj sin(kx) k 2 k suppenee tsisesti joukoss R (esimerkki 7.9, s. 65), mutt srjn termit derivoimll muodostettu srj cos(kx) k k hjntuu hrmonisen srjn esimerkiksi pisteessä x. Riittävä ehto onkin nyt derivoimll sdun srjn tsinen suppeneminen. Itse srjst riittää olett tsisen suppenemisen sijst suppeneminen pelkästään yhdessä trksteltvn välin pisteessä. Luse 7.8. Oletetn, että (i) funktiot u k j u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj u k (c) suppenee inkin yhdessä pisteessä c I, (iii) srj u k(x) suppenee tsisesti välillä I. Tällöin srj S(x) suppenee (pisteittäin) kikill x I j srjn summfunktio S on derivoituv välillä I sekä S (x) d u dx k(x) x I. Todistus. Luseen 7.2 (s. 62) nojll funktio f(x) u k(x) on jtkuv j siten integroituv välillä I. Olkoon nyt x I. Merkitään F (x) x c f(t) dt. 7

19 Tällöin seuruksen 7.7 nojll F (x) x c f(t) dt x ( c u k(t) x c ) u k(t) dt dt / x c u k (t) ( u k (c)). Siis srj ( u k (c)) suppenee (sen summfunktio on F (x)). Täten myös srj ( u k (c) + u k (c)) ( u k (c)) + u k (c) suppenee khden suppenevn srjn summn (seurus 6., s. 9). Lisäksi S(x) F (x) + S(c). Kosk f on luseen 7.2 (s. 62) nojll jtkuv välillä I, niin F on luseen 3.2 (s. 46) nojll derivoituv välillä I j F (x) d x f(t) dt f(x) dx c u k(x) kikill x I. Täten myös S on derivoituv välillä I j S (x) d dx (F (x) + S(c)) F (x) u k(x) kikill x I. 72

20 Esimerkki 7.5. Srj f(x) x k k! + x + x2 2! + x3 3! + suppenee kikill x R (esimerkki 7.2, s. 55). Määritetään srjn summfunktio f. Merkitään Kosk u (x) j xk k! (k N). niin u k(x) k xk k! u k(x) + k xk (k )! x k (k )! x k k! k Z +, kikill x R. Siis srj j siitä termit derivoimll stu srj ovt sm srj. Esimerkin 7. (s. 66) nojll tämä srj suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Kosk lisäksi termit j u k(x) ovt jtkuvi kikill x R j kikill k N, niin luseen 7.8 nojll f (x) d dx u k(x) f(x) jokisell äärellisellä välillä [, b]. Täten Kosk f (x) f(x) x R. d {}}{ dx (f(x)e x ) ( f (x) f(x)) e x x R, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen C R, että Siis Kosk f(), niin C. Täten f(x)e x C x R. f(x) C e x x R. f(x) x k k! e x x R. 73

21 Huomutus. Siis e x + x + x2 2! + x3 + x R. 3! 74

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus......................

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä.

Koska sarjat ovat summien jonoja, kertaamme ensin jonojen teoriasta joitakin kohtia syksyltä. 29 Luusrjt Kos srjt ovt summien jonoj, ertmme ensin jonojen teorist joitin ohti sysyltä. Jonot Jono on mtemtiin iein perustvimpi äsitteitä j sen vull ohdtn äärettömyys ensimmäistä ert. Luulueit muodostettess

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot