Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014"

Transkriptio

1 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4

2

3 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus Differentili- j integrlilskennn kehityksestä Relilukujen perusominisuuksist Rj-rvo Funktioiden ksvunopeuksist Jtkuvuus Suljetull välillä jtkuvien funktioiden ominisuuksi Tsinen jtkuvuus Derivtt Derivtn määritelmä Derivointisääntöjä Prmetrimuodoss olevn j implisiittifunktion derivointi Usempikertiset derivtt Antiderivtt j sen määrittäminen Rtionlifunktion ntiderivtt Differentililskennn välirvoluse Differentililskennn sovelluksi l Hospitlin sääntö Käyrän tngentti Funktion kulun tutkiminen Optimointitehtävät Muutoksen rviointi Yksinkertiset differentiliyhtälöt Suorviivinen tsisesti kiihtyvä liike Yhtälön likimääräinen rtkiseminen Tylorin polynomit Korkemmn steen pproksimtiot Ordo-merkintä Rj-rvojen määrittäminen Integrlit Riemnn-integrli Drboux n tvll Funktioiden integroituvuus Riemnn-summt Integrlien perusominisuuksi Anlyysin perusluse Integrlin rvon määrääminen

4 4 Sisältö 6 Integrlin sovelluksi Tylorin polynomit Pint-l xy-muotoinen käyrän yhtälö Npkoordinttimuotoinen käyrän yhtälö Prmetrimuotoinen käyrän yhtälö Krenpituus Prmetrimuoto xy-muoto Npkoordinttimuoto Tilvuus Summien rviointi Kompleksifunktioiden differentili- j integrlilskennst Kompleksifunktioiden derivointi Integrointi yli käyrän Integrlikäsitteen ljennuksi I ljin epäoleellinen integrli II ljin epäoleellinen integrli Yleinen epäoleellinen integrli Integrlin määrittelemistä funktioist

5 Luku Rj-rvo j jtkuvuus. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä Mtemtiikn historin tutkimus on osoittnut, että jo muiniset kreikkliset, ti inkin yksi heistä, Arkhimedes, tunsi integrlilskennn lähestulkoon siinä muodoss, joksi Newton j Leibnitz sen kehittivät noin khdeksntoist vuosist Arkhimeden ikojen jälkeen. Arkhimedes kykeni kehittämänsä integrlilskennn perusteell selvittämään määrittämään pint-loj j tilvuuksi jotk olivt iemmin olleet tvoittmttomiss. On hyvinkin mhdollist, että jotkut Arkhimedeen tieteellisistä svutuksist eivät ole säilynyt nykypäivään sti, mutt säilyneidenkin perusteell Arkhimedes oli selvästi ntiikin jn merkittävin j yksi kikkien ikojen merkittävimmistä tieteen j tekniikn kehittäjistä. Vikk Arkhimedes olikin todellinen urnuurtj mtemtiikn lll, on mtemtiikk hänekin ikojens jälkeen kehittynyt huomttvsti. Arkhimedeen tp lske integrlej oli vrsin työläs j prempi menetelmä stiin vst differentililskennn myötä. Miksi Arkhimedes, liki kksi vuosituhtt iklisin edellä olev mtemtikko ei sitten kehittänyt myös differentililskent? Vstus jäänee ikuisiksi joiksi lähestulkoon spekultion vrn, mutt yksi tärkeä syy lienee, että Arkhimedeen kulttuuripiirissä mtemtiikk perustui hyvin suurelt osin geometristen käsitteiden vrn, j täten negtiivisten suureiden käsite oli tuntemton. Differentililskent edellyttää yhtä lill negtiivisten kuin positiivistenkin suureiden hllint, j ilmeisesti tätä psykologist kynnystä ei edes Arkhimedeen kltinen mestri kyennyt murtmn. Differentililskent edelsi, j voisi lähestulkoon sno edellytti, René Descrtesin uruurtv lgebr j geometri yhdistävä työ. Muit minitsemisen rvoisi uuden jn mtemtiikn pioneerej olivt Blise Pscl j Pierre Fermt. Integrli-j differentililskent yhdessä muodostvt mtemttisen koneiston, joll voidn hyvin tehokksti kuvt luonnontieteissä, erityisesti fysiikss esiintyviä ilmiöitä. Jos tämän koneiston oleellisimmt piirteet pitäisi esittää erittäin tiiviisti, voisi sno että integrlilskent sllii suureen käsittelemisen pistemäisissä osiss j näiden osien yhdistämisen, kun ts differentililskent sllii suureen j sen muutoksen smnikisen käsittelyn. Kokonisuuten differentili- j integrlilskent syntyi 6-luvun jälkipuoliskoll Newtonin j Leibnizin töiden myötä. Newtonin motivtio uudenlisen mtemtiikn kehittämiseen lähti trpeest kuvill relimilmn ilmiöitä kuten tivnmekniikk j esittää täsmällisesti mekniikss tärkeää käsitettä suureen muutosnopeus. Leibniz ei teorins muodostessn korostnut fysiklist lähtökoht. Huolimtt erilisist filosofisist lähtökohdist Newtonin j Leibnizin työt johtivt smnlisiin mtemttisiin käsitteisiin j näiden myötä smnliseen teorin. Jälkikäteen rvioiden voidn todet, että kummnkn versio differentili- j integrlilskennst ei täytä nykypäivän vtimuksi loogisesti ukottomst mtemttisest teorist. Tämä johtuu siitä, että 6-luvun lopull reliluvun käsite ei ollut niin hyvin jäsentynyt kuin nykyisin. Newtonin j Leibnizin ikoin puhuttiin äärettömän pienistä suureist, ns. infinitesimleist, joiden vull perusteltiin sekä differentiliettä integrlilskennn tuloksi. Tällä lähestymistvll svutettiin merkittäviä tuloksi, mutt sen looginen htruus hvittiin jo vrhin: Relilukujen joukoss ei ole infinitesimlej, joihin Newtonin j Leibnizin ikinen differentili- j integrlilskent perustuu. Newton j Leibniz siis perustivt työnsä käsitteille, joist ei senikuisen tietämyksen mukn voitu puhu täsmällisesti. Loogisesti tyydyttävä teori differentili- j integrlilskennst stiin vst 8-luvull Cuchyn j Weierstrssin töiden myötä. 5

6 6 Rj-rvo j jtkuvuus On kuitenkin korostettv, että Newtonin j Leibnizin j heidän iklistens tp lähestyä differentili- j integrlilskent infinitesimlien vull on melko intuitiivinen j helposti ymmärrettävä. Lisäksi infinitesimlej käyttävän lähestymistvn kutt on stu merkittäviä tuloksi, jotk on myöhemmin voitu täsmällisemmän lähestymistvn puitteiss osoitt oikeiksi. Siksi on mhdollist jtell, että epätäsmällisen, infinitesimleihin tukeutuvn iden tkn olisi jokin loogisesti täsmällinen lähestymistp j tällinen tp löydettiinkin 96-luvull. Luomll ns. epästndrdin nlyysin Abrhm Robinson osoitti, miten infinitesimlej voidn käsitellä loogisesti tyydyttävällä tvll. Robinsonin tekniikk vtii kuitenkin huomttvsti vnkemmn lgebrllisen pohjn kuin Weierstrssin 8-lukulinen ε δ -tekniikk, eikä Robinsonin lähestymistp siksi käytetä yleensä. Myös tämän kurssin käsitteet esitetään Weierstrssin tvll. Leibnizin käyttöönottmi merkintöjä pidetään yleisesti selkeämpinä kuin Newtonin, mutt myös Newtonin merkintöjä käytetään edelleen etenkin fysiikss. Logiikn näkökulmst ktsoen differentililskennn kehittämiseksi trvitsee määritellä inostn yksi uusi käsite, nimittäin rj-rvo. Peritteess myös integrlilskent sellisess muodoss kuin tätä kurssikokonisuutt vrten trvitn, olisi mhdollist rkent tämän rj-rvokäsitteen päälle, mutt integrlien ominisuuksi on helpompi käsitellä, kun käytetään toisenlist rj-rvokäsitettä.. Relilukujen perusominisuuksist Differentili- j integrlilskennn klssisess esityksessä reliluvut j relifunktiot kuuluvt kikkein keskeisimpään käsitteistöön. Siinä missä kokonisluvut muodostvt selvästi toisistn eroteltviss olevn, diskreetin joukon, jtelln relilukujen täyttävän suorn ukottomsti vieläpä niin, että lukusuorn pisteet j reliluvut vstisivt toisin bijektiivisesti. Tästä juontkin yleinen tp kutsu relilukuj pisteiksi. Relilukujen ominisuuksist voidn oppi oleellisi piirteitä trkstelemll luksi tietyssä mielessä hiemn villinisemp osjoukko, nimittäin rtionlilukuj. Plutetn mieleen rtionlilukujen joukko Q = { b Z,b Z \ {}}. Smistmll murtoluvut kokonisluvun knss voidn ktso, että Q sisältää kikki kokonisluvut, mutt näiden lisäksi myös pljon muit lukuj. Kokonislukujen grfisess esityksessä lukusuorn setetn pisteet ykkösen välein, mutt rtionlilukujen esitys on mutkikkmpi, sillä rtionliluvut täyttävät lukusuorn tiheästi. Tämä voidn nähdä siitä, että khden rtionliluvun b j d c välissä on in näiden keskirvo b + c d d + bc = bd. Tämän vuoksi ei ole olemss esimerkiksi pienintä positiivist rtionliluku, sillä rtionliluvust q päästään in pienempään lukuun jkmll q = b khti: < q < q. Toislt ts olip q = b miten pieni positiivinen rtionliluku hyvänsä, sdn tästä kokonisluvull kertomll miten suuri luku hyvänsä: Nb q = Nb b = N N. Rtionlilukujen hyviin ominisuuksiin kuuluu äärellinen esitys: jokinen rtionliluku voidn esittää nimittäjän j osoittjn vull, jotk kumpikin puolestn voidn esittää äärellisenä numerojonon. Äärellisen esityksen vuoksi rtionliluvut ovt kuitenkin ominisuuksiltn rjoitettuj: ne eivät täytä lukusuor ukottomsti. Esimerkki. Todistetn, että yhtälöllä x = ei ole rtkisu rtionlilukujen joukoss Q. Tehdään vstoletus, jonk mukn olisi sellinen supistetuss muodoss olev rtionliluku m n, että ( m n ) =. Tästä seur että m = n, ts. kokonisluvun m neliö on prillinen. Tällöin myös m on prillinen, sillä prittomien lukujen neliöt ovt prittomi. Kosk m on prillinen, voidn kirjoitt m = m (m Z) j sijoittmll tämä yhtälöön m = n sdn 4m = n, ts. m = n. Smoin kuin edellä, voidn tästä päätellä, että n on prillinen, siis n = n. Tämä on vstoin oletust, jonk mukn m n oli supistetuss muodoss. Huomutus. Se, että yhtälöllä x = ei ole rtionlijuuri, seur myös siitä, että polynomin x kikki mhdolliset rtionlinollkohdt ovt joukoss {±,±} (vrt. Insinöörimtemtiikk A) Lukuj jotk eivät ole rtionlisi, snotn irrtionliluvuiksi, joten edellisen esimerkin snom voidn puke muotoon: on irrtionliluku. Relilukujen joukoss yhtälöllä x = on

7 . Relilukujen perusominisuuksist 7 jop kksi rtkisu, j positiivisest rtkisust käytetään tvlliseen tpn merkintää. Voidn kuitenkin perustellusti kysyä, miksi tällinen reliluku on olemss ti miksi vikkp luvut n ovt olemss positiivisille kokonisluvuille. Jott tähän kysymykseen olisi edes toivo sd vstus, tulee tietysti löytää vstus pljon perustvmp ltu olevn kysymykseen: mitä reliluvut ovt? Kysymykseen relilukujen olemuksest vsttn Insinöörimtemtiikk A:ss esitetyllä ksiomttisell menetelmällä: reliluvut ovt joukko, joss on määritelty yhteen- j kertolsku jotk toteuttvt relilukujen ksioomt. Tällä kurssill esitetään tuloksi, joiden todistus perustuu relilukujen täydellisyysksioomn j joist seur muun muuss juurten n olemssolo. On helppo todet, että Q toteutt relilukujen kunt- j järjestysksioomt. Tämän vuoksi voidn ktso, että Q R. Plutetn vielä mieleen relilukujen täydellisyysksioom: Jokisell epätyhjällä, ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll on pienin ylärj. Tätä ksioom rtionlilukujen joukko ei toteut, j siksi Q R. Määritelmä. Relilukujoukko A on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen luku M, että M pätee kikille A. Luku M kutsutn joukon M ylärjksi Määritelmä. Joukon A pienintä ylärj S merkitään S = supa j kutsutn supremumiksi. Luse. S = supa ( x)(x A x S) ( ε)(ε > ( x A)(x > S ε)) Huomutus. Luseen todistus on ilmeinen, sillä luse on luvun S = sup A luonnehdint. Se ilmisee, että ensinnäkin jokinen A:n lkio on korkeintn S:n suuruinen. Toiseksi, jos S:stä vähennetään mikä hyvänsä positiiviluku ε, niin S ε ei ole joukon A ylärj, siis löytyy x A, jok ylittää luvun S ε. Huomutus 3. Jos relilukujoukoss A on suurin lkio M = mxa, on smll myös M = supa. Kikiss relilukujoukoiss ei kuitenkn ole suurint (eikä pienintä) lkiot. Jos esimerkiksi A = (,), ei A:ll ole mksimi eikä minimiä. Esimerkki. Joukoll [, ] Q = {q Q q q } ei ole pienintä ylärj rtionlilukujen joukoss. Sen sijn relilukujen joukoss sillä on pienin ylärj. Täydellisyysksioomn nojll jokisell epätyhjällä, ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll on olemss pienin ylärj. Pienimmän ylärjn olemssolo on juuri se ominisuus, jok täydentää rtionlilukujoukon ukottomksi relilukujoukoksi. Kääntämällä setelm nurinpäin, siis trkstelemll joukko A = { A} joukon A sijn voidn pienimmän ylärjn sijn puhu suurimmst lrjst. Muunnost A A hyväksi käyttäen voidn todet, että täydellisyysksioom tk suurimmn lrjn olemssolon, jos A on lhlt rjoitettu epätyhjä relilukujoukko. Määritelmä 3. Relilukujoukon A suurint lrj kutsutn nimellä infimum j siitä käytetään merkintää infa. Huomutus 4. Jos joukoss A on pienin lkio mina, on mina = infa. Huomutus 5. Jos A B on epätyhjä sekä B ylhäältä rjoitettu, on myös B epätyhjä j A ylhäältä rjoitettu sekä sup A sup B. Anloginen tulos pätee infimumille: inf B inf A. Reliluvuille pätee moni rtionliluvuille tuttuj tuloksi, kuten esimerkiksi khden eri reliluvun välissä j b on in mm. näiden keskirvo ( + b). Erityisesti ei ole olemss pienintä positiiviluku, vn mitä thns positiiviluku ε kohti voidn löytää pienempi positiiviluku ε. Relilukujen täydellisyysksioomst seur merkittäviä relilukujen ominisuuksi koskevi tuloksi, joist muutmi esitellään seurvksi.

8 8 Rj-rvo j jtkuvuus Luse (Arkhimedeen ksioom). Jos M j ε ovt positiivisi relilukuj, on olemss sellinen kokonisluku N, että Nε > M. Todistus. Tehdään vstoletus, jonk mukn väitettyä luku N ei ole olemss, siis nε M kikille luonnollisille luvuille n. Tällöin siis joukko A = {nε n N} on ylhäältä rjoitettu. Joukko on A selvästi epätyhjä, joten sillä on täydellisyysksioomn nojll pienin ylärj S = sup A. Kosk ε oletettiin positiiviseksi j S joukon A pienimmäksi ylärjksi, ei S ε voi oll joukon A ylärj. Tämän vuoksi joukoss A on lkio mε, jok ylittää luvun S ε, siis mikä on yhtäpitävä epäyhtälön mε > S ε, (m + )ε > S knss. Nyt kuitenkin (m+)ε A, joten S ei olekn joukon A ylärj. Ristiriidst voidn päätellä vstoletus vääräksi. Huomutus 6. Lusett kutsutn Arkhimedeen ksioomksi, sillä vstv tulos Arkhimedeen (n. 87 ekr) käyttämänä geometrisess yhteydessä käsitettiin iknn ksioomn. Määritelmä 4. Luku ε > on infinitesimli (äärettömän pieni), jos nε = ε ε } {{ } n kpl kikill n N. Luseen snom voidn siis ilmoitt siten, että relilukujen joukoss ei ole infinitesimlej. Luseen mukn ei myöskään ole äärettömän suuri relilukuj, vn jokisen reliluvun M ylittää in jokin kokonisluku: N = N > M. Symbolej j käytetään tällä kurssill vin rj-rvomerkintöjen yhteydessä, jolloin ne eivät viitt ktuliseen (todell olemss olevn) äärettömyyteen, vn toimivt vin merkintöinä, jotk viittvt siihen, että muuttuj voidn vlit miten suureksi ( ) ti miten pieneksi ( ) thns. Seurus. Jos < b, on välillä (,b) rtionliluku. Todistus. Trkstelln ensin tpust b j merkitään d = b. Luseen mukn on olemss sellinen kokonisluku N, että N > d, mikä merkitsee, että d > N. Luseen perusteell on myös olemss sellinen kokonisluku n, että n Nb. Olkoon M pienin tällisist kokonisluvuist, jolloin siis M < Nb M. Tämä merkitsee sitä, että M N < b M N. Lisäksi M N = M N > b d = b (b ) =, N mikä osoitt, että M N voidn vlit väitteessä minituksi rtionliluvuksi. Jos b <, voidn väittämä todist oikeksi soveltmll edellistä päättelyä väliin ( b, ). Seurus. Jos x (,b) = A, on olemss selliset rtionliluvut q j q, että x [q,q ] A. Seurus 3. Jos α R, j n N, niin on olemss sellinen rtionliluku q = b, että α q < n. Todistus. Edellisen seuruksen mukn relilukuvälillä (α n,α + n ) on olemss rtionliluku q, siis α n < q < α + n, mistä seur n < q α < n. Viimeisin epäyhtälöketju merkitsee sitä, että q α < n.

9 . Relilukujen perusominisuuksist 9 Huomutus 7. Edellinen seurus ilmisee sen, että minkä hyvänsä reliluvun α miten pienestä läheisyydestä thns voidn in löytää rtionliluku. Toisin ilmistun: mitä hyvänsä reliluku voidn pproksimoid mielivltisen trksti rtionliluvuill. Käyttämällä tieto että / Q on mhdollist muokt edellisen luseen todistust sen toteennäyttämiseksi, että kikill relilukuväleillä on myös in irrtionliluku. Seurv tulost käytetään usess eri yhteydessä myöhemmin, mutt sitä vrten tulee hiemn ljent terminologi. Insinöörimtemtiikk A:ss on määritelty unioni äärettömän monelle joukolle {A i i I} seurvll tvll: x i I A i ( i I)(x A i ). Joukkojen joukko nimitetään usein kokoelmksi, vikk käsitteellistä ero kokoelmn j joukon välillä ei olekn; kyseessä on lähinnä pyrkimys välttää toisto suomen kielessä. Määritelmä 5. Relilukujoukkojen {A i i I} kokoelm peittää relilukujoukon B, jos B i I A i Luse 3 (Suljetun välin kompktisuus, Heinen-Borelin peittoluse). Jos jokin kokoelm A i (i I) voimi välejä A i = ( i,b i ) peittää suljetun välin B = [,b], niin on olemss sellinen äärellinen oskokoelm {A i i I } (I I äärellinen), jok myös peittää suljetun välin B = [,b]. Todistus. Tehdään vstoletus, jonk mukn väliä [, b] ei void peittää äärellisellä määrällä voimi välejä. Kosk kokoelm A i peittää koko välin [,b], on kokoelmss joukko A = (,b ), jok peittää pisteen. Tämä merkitsee sitä, että (,b ) j kosk kyseessä on voin joukko, on välttämättä < b. Tämä merkitsee sitä, että yksi ino joukko A peittää välin [,b] epätyhjän lkuosn [, b ]. Olkoon nyt X = {x [, b] väli [, x] voidn peittää äärellisellä oskokoelmll} Aiemmin todetun mukn X, sillä [, ] = {} voidn peittää yhdellä inoll voimell välillä. Siksi X ei ole tyhjä joukko. Jok tpuksess X [,b], joten b on joukon X ylärj. Täydellisyysksioomn nojll X:llä on pienin ylärj M = sup X. Kosk M b, peittää jokin kokoelmn joukko I = (α,β) myös pisteen M, siis M (,b). Jos merkitään δ = min{ M }, on [M δ,m +δ] I = (α,β). Kosk M δ < M, voidn, b M väli [,M δ] peittää äärellisellä oskokoelmll. Mutt kosk yksi ino väli I = (α,β) peittää välin [M δ,m + δ], voidn itse siss väli [,M + δ] peittää myös äärellisellä oskokoelmll. Tämä on ristiriidss luvun M vlinnn knss. Luseess 3 minitn tärkeä suljetun relilukuvälin ominisuus: Suljetun välin jokinen peitto voimill väleillä on mhdollist plutt äärelliseksi peitoksi. Tätä ominisuutt snotn kompktiudeksi. Kompktiuden tärkeys johtuu siitä, että ensinnäkin differentili-j integrlilskennn moni tärkeitä ominisuuksi vrten tulee trkstell pisteiden voimi ympäristöjä, äärelliset kokoelmt voimi joukkoj ovt monin suhtein helpommin hllittviss kuin äärettömät. Esimerkki 3. Määritellään jokist n N kohti voin väli I n = (, n ). Tällöin kikki välit I n yhdessä peittävät voimen välin (,), mutt mikään äärellinen joukko välejä I n ei tee niin. Avoimet relilukuvälit eivät siis ole kompktej kuten suljetut.

10 Rj-rvo j jtkuvuus.3 Rj-rvo Jos relifunktio f on määritelty jollkin välillä [,b] pistettä x [,b] lukuunottmtt, voidn kuitenkin trkstell miten f :n rvot käyttäytyvät luvun x lähellä. Jos f (x) käyttäytyy siten, että sen rvot trkkenevt kohti luku y kun x trkkenee kohti luku x, snotn, että f :llä on rj-rvo y pisteessä x. Esimerkki 4. Selvitetään lusekkeen sinx x käyttäytyminen, kun x lähestyy noll. Kun < x < π, on geometrisen kuvion (piirrä) perusteell sinx < x < tnx, mistä sinx:llä jkmll sdn < sinx x < cosx sinx j edelleen cosx < x <. Kosk kosinifunktion rvot näyttävät lähestyvän ykköstä kun x, on uskottv, että sinx x lähestyy luku kun x lähestyy noll Käsittelemättä jäivät vielä rvot x <, mutt kosk sin( x) x johtopäätöstä. = sinx x, nämä eivät muut edellistä Differentililskent voidn vrsin yksiselitteisesti rkent rj-rvon käsitteen pohjlle. Käsitteen rj-rvo nykyikisen perustn puolestn toimii relilukujen j -funktioiden etäisyyksien rviointi. Moni rviointien perustn toimii kolmioepäyhtälö, jost esitetään seurvksi kksi eri muunnelm. Luse 4 (Kolmioepäyhtälö). b + b + b Todistus. Näytetään ensin toteen jälkimmäinen epäyhtälö. Itseisrvon määritelmän mukn (smoin b b b ), mistä seur, että ( + b ) + b + b. Kosk + b on lukujen ( + b ) j + b välissä, on välttämättä + b + b. Ensimmäinen epäyhtälö seur tästä, sillä = + b b + b + b, mistä b + b. Smoin nähdään, että b + b, toisin snoen kumpikin luvuist b j ( b ) = b on korkeintn + b, jolloin siis myös itseisrvo (jok on toinen minituist luvuist) b on korkeintn + b. Määritelmä 6. Relilukujen j b etäisyys määritellään lusekkeell d(,b) = b Luse 5. Relilukujen välinen etäisyys d(,b) = b toteutt seurvt ehdot:. d(, b) in, j d(, b) = trklleen silloin kun = b.. d(, b) = d(b, ) kikille reliluvuille, b. 3. d(,b) d(,c) + d(c,b) kikille reliluvuille, b j c (kolmioepäyhtälö,. versio). Todistus. Ehdot j ovt suorviivisi. Ehto 3 seur luseest 4; tällöin nimittäin d(, b) = b = c + c b c + c b = d(,c) + d(c,b). Huomutus 8. Voidn todist, että edelliset luseet pätevät myös kompleksilukujen etäisyydelle d(z,z ) = z z. Tästä seur, että tässä luvuss esitettävät käsitteet rj-rvo j jtkuvuus yleistyvät myös kompleksimuuttujn funktioille.

11 .3 Rj-rvo Ennen seurv määritelmää muistutetn, että R:n lkioit (relilukuj), kutsutn myös pisteiksi. Myös usempiulotteisten rkenteiden (vektorivruuksien) R n lkioit kutsutn pisteiksi; nimityksen tustll on geometrinen esitys. Usein myös minkä hyvänsä joukon lkiot kutsutn pisteeksi nlogin nojutuen. Määritelmä 7. Pisteen x R voin ympäristö on voin väli (,b), jok sisältää pisteen x. Ellei toisin minit, pisteen ympäristöllä trkoitetn in voint ympäristöä. Annetun relifunktion f (x) rj-rvo (limes) pisteessä x määritellään seurvsti: Määritelmä 8 (Rj-rvo). Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x voimess ympäristössä mhdollisesti pistettä x lukuunottmtt. Tällöin lim f (x) = y ( ε > )( δ ε > )( < d(x,x ) < δ ε d( f (x),y) < ε). x x j snotn, että relifunktion f rj-rvo pisteessä x on y R. Rj-rvo lim x x f (x) = y voidn merkitä myös f (x) x x y. Tusttieto Augustin-Louis Cuchy ( ) oli rnsklinen mtemtikko, jok svutti merkittäviä tuloksi muun muuss kompleksifunktioiden integrlilskennn lll. Cuchy loitti nlyysin modernisoinnin esittämällä erikoistpuksiss nykyisen kltisen rj-rvon määritelmän. (kuv: Wikimedi Commons) Tusttieto Krl Theodor Wilhelm Weierstrss (Weierstrß) (85 897) oli skslinen mtemtikko, jok modernisoi differentili- j integrlilskennn nykyiseen suuns. Muun muuss nykyisin käytetyt eksktit rj-rvon, jtkuvuuden j derivtn käsitteet ovt häneltä peräisin. Ennen Weierstrssin töitä minitut käsitteet oli yleisesti perustettu intuitiiviselle pohjlle. (kuv: Wikimedi Commons)

12 Rj-rvo j jtkuvuus Rj-rvon määritelmä merkitsee siis sitä, että relifunktion f rj-rvo pisteessä x on y R, jos vlitsemll x riittävän pienestä x :n ympäristöstä (niin pienestä että d(x,x ) < δ) funktion f rvo sdn miten pieneen pisteen y ympäristöön thns (siis d( f (x), y) pienemmäksi kuin mikä hyvänsä positiiviluku ε). Jos hlutn funktion f rvo in vin y:n pienempään ympäristöön, on yleensä x vlittv in vin pienemmästä x :n ympäristöstä, mikä merkitsee siis sitä, että luku δ = δ ε yleensä riippuu luvust ε. Sen lisäksi on huomttv, että δ riippuu yleensä myös pisteestä x. Huomutus 9. Rj-rvon määritelmässä x toteutt ehdon < d(x,x ) < δ. Tällöin siis in d(x,x ), joten x x. Tästä seur, että rj-rvo lim f (x) = y ei riipu rvost f (x ), x x vn rvoist f (x), missä x x on pisteen x ympäristössä. On myös huomioitv, että rjrvo pisteessä x ei void määritellä lisinkn, ellei f on määritelty josskin pisteen x ympäristössä (x mhdollisesti poislukien). Huomutus. Kosk f (x) ei voi smnikisesti oll mielivltisen lähellä kht eri luku y j y, on rj-rvo (mikäli olemss) välttämättä yksikäsitteinen. Muodollisesti päättely voidn tehdä vikkp seurvsti: Tehdään vstoletus, jonk mukn funktioll f on pisteessä x kksi eri rjrvo y j y. Merkitään ε = d(y,y ) >. Kosk y on rj-rvo, on d( f (x),y ) < ε, kunhn d(x,x ) < δ ε. Smnikisesti myös d( f (x),y ) < ε. Tämä ei kuitenkn voi pitää pikkns, sillä tällöin olisi kolmioepäyhtälön mukn mikä on ristiriit (ε < ε). ε = d(y,y ) (d(y, f (x)) + d( f (x),y )) < (ε + ε) = ε, Esimerkki 5. lim x (3x + ) = 7, mikä voidn muodollisesti todist oikeksi seurvsti: d(3x +,7) = 3x + 7 = 3x 6 = 3 x = 3d(x,). Tällöin siis etäisyys d(3x +,7) sdn pienemmäksi kuin ε, kun x vlitn niin läheltä :st, että d(x,) on pienempi kuin δ = ε 3. Esimerkki 6. Funktio f (x) = x x x on määritelty kikkill muull pitsi pisteessä x =. rjrvo pisteessä x = on 3, mikä nähdään oikeksi seurvll lskelmll: Kosk x x = (x + )(x ), voidn tpuksess x supist, jolloin sdn d( f (x),3) = x x 3 x = (x + )(x ) 3 x = x + 3 = x = x = d(x,) < ε, kun d(x,) < ε = δ. Toisin snoen, rvo f (x) sdn miten lähelle kolmost thns, kun x vlitn riittävän läheltä luku (ei kuitenkn vlit x = ). Esimerkki 7. lim x 3 (x x + ) = 5. Tämä voidn osoitt oikeksi seurvsti: d(x x +,5) = x x + 5 = x x 3 = (x + )(x 3) = x + d(x,3). Jos x on vlittu niin läheltä luku 3, että d(x,3) <, on tällöin x + = x x < 5 j siis d(x x +,5) < 5d(x,3). Tällöin siis d(x x +,5) < ε, kunhn d(x,3) < min{, ε 5 } = δ. 3x x + 4 Esimerkki 8. lim = 9, mikä osoitetn oikeksi seurvsti: x x 3 4

13 .3 Rj-rvo 3 d( 3x x + 4, 9 x 3 4 ) = 3x x + 4 ( 9 x 3 4 ) = x + x 4(x 3) = (x + )(x ) 4(x 3) x = d(x, ). 4 x 3 Jos nyt x on vlittu niin läheltä luku, että x + = d(x, ) <, on x = x + 3 x = x < + 3 = 35 j x 3 = 4 + x + 4 x + > 4 = 3. Tällöin d( 3x x + 4, 9 x 3 4 ) < d(x, ) = 4 3 d(x, ) j siis d( 3x x+4 x 3, 4 9 ) < ε, kun d(x, ) < min{ 35ε,} = δ. Huomutus. Rj-rvon määritelmä ei yleensä sovellu rj-rvon y löytämiseen, inostn sen todistmiseen, että löydetty luku y on etsitty rj-rvo. Esimerkeissä 5, 6, 7 j 8 rj-rvot on löydetty käyttämällä mielekkään tuntuist päättelyä: x:n olless lähellä luku on luseke 3x x+4 x 3 lähellä luku 3 ( ) ( )+4 3 = 4 9. Tämän päättelyn oikeellisuus perustelln myöhemmin luseess 8. Esimerkki 9. Funktio f (x) = x on määritelty kikkill muull pitsi pisteessä x =. Tässä pisteessä funktioll ei kuitenkn ole rj-rvo, mikä nähdään seurvsti: Tehdään vstoletus, jonk mukn M = lim f (x) olisi olemss. Tällöin x x M pitäisi sd pienemmäksi kuin mikä hyvänsä positiiviluku, kunhn x vlitn riittävän läheltä luku. Erityisesti x M <, kun x on kyllin pieni, snotn x δ j siksi x M <, kun x < min{δ, + M } Kolmioepäyhtälöä j vstoletust käyttämällä x M x M <, mistä seur, että x < + M, kun x on kyllin pieni. Mutt edellisestä epäyhtälöstä seur x > + M, mikä on ristiriidss epäyhtälön x < min{δ, + M } knss. Tästä päätellään että vstoletus on väärä eikä rj-rvo M ole olemss. Os edellisen esimerkin kltisist tpuksist kuuluu seurvn määritelmän piiriin: Määritelmä 9. Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x ympäristössä mhdollisesti pistettä x lukuunottmtt. lim f (x) = ( M > )( δ M )( < d(x,x ) < δ M f (x) > M) x x Tällöin snotn, että funktion f rj-rvo pisteessä x on ääretön. Rj-rvo määritellään smoin kuin yllä, vihtmll epäyhtälö f (x) > M epäyhtälöksi f (x) < M. Tällöin merkitään lim x x f (x) =. Vpmmin ilmistun funktion rj-rvo pisteessä x on ääretön, jos vlitsemll x riittävän läheltä pistettä x sdn funktion f rvo kuink suureksi hyvänsä. Jätetään hrjoitustehtäväksi rj-rvojen lim f (x) = y j lim f (x) = x x sekä vstvien symbolien sisältävien rj-rvojen määrittely.

14 4 Rj-rvo j jtkuvuus Huomutus. Symbolit j eivät vst mitään reliluku, vn niitä käytetään inostn pumerkintöinä puhuttess äärettömistä rj-rvoist, jotk on täsmällisesti määritelty yllä. Erityisesti ei void määritellä sellisi summi, tuloj ti osmääriä, joiss symboli ti esiintyy. Esimerkki. Funktio f (x) = on määritelty in kun x. Sillä on pisteessä x = rj-rvo, x kosk > M kun x < x M, mikä toteutuu in, kun d(x,) = x = x < M. Toisin snoen, f (x) > M, kun x vlitn niin läheltä noll, että d(x,) < M = δ M. Esimerkin 9 tpuksess ei funktioll pisteessä x = kuitenkn ole ääretöntäkään rj-rvo, mikä johtuu siitä, että tpuksess x > luseke x on positiivinen, kun ts tpuksess x < luseke x on negtiivinen. Kummsskin tpuksess luseke voi itseisrvoltn oll kuitenkin miten suuri thns. Määritelmä. Olkoon relifunktio f määritelty jollkin voimell välillä (x,b). lim f (x) = y ( ε > )( δ ε > )(( < d(x,x ) < δ) (x > x ) d( f (x),y) < ε). x x + Tällöin snotn, että funktion f oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x on y R. Tätä merkitään myös symbolill f (x +) Oikenpuoleisen rj-rvon määritelmä poikke siis rj-rvon määritelmäst vin siinä, että pisteen x ympäristössä trkstelln vin sellisi funktion f (x) rvoj, joiss x sijitsee x :st ktsoen oikelle, siis x > x. Anlogisesti määritellään vsemmnpuoleinen rj-rvo lim f (x) = y x x j merkitään f (x ). Oiken- j vsemmnpuoleiset äärettömät rj-rvot määritellään ilmeisellä tvll. Esimerkki. Osoitetn, että f (x) = x oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x = on j että vsemmnpuoleinen rj-rvo smss pisteessä on. Vlitn tätä vrten positiiviluku M. Oikenpuoleisen rj-rvon määrittämistä vrten trkstelln lukuj x >, jolloin x = x. Tällöin epäyhtälö x > M pätee trklleen silloin, kun x = x = d(x,) < M, joten rj-rvon määritelmässä esiintyväksi luvuksi voidn vlit δ M = M. Näin ollen lim x + x =. Vsemmnpuoleist rj-rvo oikeksi osoitettess on näytettävä toteen, että lusekkeen x rvo voidn sd pienemmäksi kuin mikä hyvänsä luku M, missä M on kuink suuri positiiviluku hyvänsä, kunhn x vlitn riittävän läheltä luku, siten, että x <. Oletetn siis, että x <, jolloin d(x,) = x = x j epäyhtälö x < M on yhtäpitävä epäyhtälön (x ) < M knss, mikä puolestn voidn kirjoitt muotoon d(x,) < M. Luseke x tulee siis pienemmäksi kuin M, jos x < vlitn siten, että d(x,) < M. Trkstelln seurvksi rj-rvojen lskusääntöjä. Määritelmä. Funktio f on rjoitettu joukoss I jos on olemss sellinen positiiviluku M, että f (x) M in, kun x I.

15 .3 Rj-rvo 5 Luse 6. Jos funktioll f on äärellinen rj-rvo A pisteessä x, siis lim x x f (x) = A, niin silloin funktio f on rjoitettu josskin pisteen x ympäristössä. Todistus. Rj-rvon määritelmän mukn d( f (x), A) sdn miten pieneksi thns, kunhn x vlitn riittävän läheltä x :. Erityisesti etäisyys d( f (x),a) <, kun d(x,x ) < δ. Jos siis d(x,x ) < δ, on f (x) A = d( f (x),a). Kolmioepäyhtälön mukn f (x) A f (x) A, joten siis f (x) A f (x) A <, kunhn d(x,x ) < δ. Näin ollen f (x) < A + kun x on x:n sellisess ympäristössä, että d(x,x ) < δ. Luse 7. Jos lim f (x) = A >, on olemss sellinen x :n ympäristö I, että f (x) > A x x > in kun x I. Todistus. Rj-rvon määritelmän perusteell on olemss sellinen δ >, että f (x) A < A in, kun x (x δ,x + δ). Nyt väli (x δ,x + δ) voidn vlit kysytyksi ympäristöksi, sillä f (x) A < A A < f (x) A < A f (x) > A. Luse 8. Olkoon lim f (x) = A, lim g(x) = B j c R. Seurvt rj-rvojen lskusäännöt x x x x pätevät:. lim x x x = x.. lim x x c f (x) = ca. 3. lim x x ( f (x) + g(x)) = A + B. 4. lim x x ( f (x)g(x)) = AB. f (x) 5. Jos B, niin lim x x g(x) = A B. 6. Jos lim f (x) = y j lim g(x) = z, niin lim g( f (x)) = z. x x x y x x Todistetn näistä esimerkin vuoksi 4 j jätetään loput hrjoitustehtäviksi. Todistus. d( f (x)g(x),ab) = f (x)g(x) AB = f (x)g(x) B f (x) + B f (x) AB f (x)g(x) B f (x) + B f (x) AB = f (x) g(x) B + B f (x) A = f (x) d(g(x),b) + B d( f (x),a). Kosk lim f (x) = A, tulee d( f (x),a) miten pieneksi thns, kunhn x vlitn kyllin läheltä x :, x x erityisesti d( f (x),a) < ε B kun d(x,x ) < δ ε,b, joten jälkimmäinen yhteenlskettv sdn miten pieneksi hyvänsä vlitsemll x riittävän läheltä x :. Edellisen luseen mukn f (x) < A +, kunhn d(x,x ) < δ. Kosk lim g(x) = B, tulee d(g(x),b) miten pieneksi thns, kunhn x vlitn kyllin läheltä x x x :, erityisesti d(g(x),b) < ε ( A +) kun d(x,x ) < δ ε,a. Jos siis d(x,x ) < δ = min{δ ε,b,δ,δ ε,a }, niin

16 6 Rj-rvo j jtkuvuus d( f (x)g(x),ab) f (x) d(g(x),b) + B d( f (x),a) ε < ( A + ) ( A + ) + B ε B = ε. Edellinen luse perustelee sen, että rtionlifunktioiden rj-rvo on sm kuin funktion rvo sellisiss pisteissä, missä nimittäjä ei tule nollksi. Äärettömien rj-rvojen kohdll ei välttämättä sd yleisiä lskusääntöjä. Esimerkki. lim =, lim x =, lim x x x x x =, lim x 3 =, mutt rj-rvo lim x x x x = lim x x ei ole olemss, lim x x x = lim = j lim x x x x3 = lim x =. x.4 Funktioiden ksvunopeuksist Verrtess funktioiden rvoj suurill muuttujien rvoill ovt osmäärien rj-rvot keskeisessä semss. Määritelmä. Olkoot f j g määriteltyjä, ksvvi j positiivisi jollkin välillä [M, ). Tällöin snotn, että f (x). f on ksv nopemmin kuin g, jos lim x g(x) = f (x). f on ksv hitmmin kuin g, jos lim x g(x) =. f (x) 3. f j g ovt symptoottisesti sm suuruusluokk, jos lim = A, missä A >. x g(x) f (x) 4. f j g ovt symptoottisesti yhtäsuuret, jos lim x g(x) =. f (x) g(x) Huomutus 3. Jos lim =, niin selvästikin x g(x) f (x) = f (x) g(x) lähestyy noll kun x. Täten f (x) siis määritelmän kohdt j ovt keskenään yhteensopivt. Jos lisäksi lim = A, on x g(x) g(x) lim x f (x) = A, joten kohdt 3 j 4 ovt symmetriset funktioiden f j g suhteen. Verrtn seurvksi logritmifunktioiden, potenssifunktioiden j eksponenttifunktioiden ksvunopeuksi. Aluksi todistetn rvio binomikertoimelle. Luse 9. Jos N k >, on ( N) k N k k k k!. Todistus. Helposti todetn, että epäyhtälö N k + k N pitää pikkns, kun N k >. Tämän epäyhtälön j luseen 5 j mukn ( ) N k = N! N(N )... (N k + ) = k!(n k)! k! (N k + )k k! ( k N)k k! = Nk k k k!.

17 .4 Funktioiden ksvunopeuksist 7 Luse. Jos > j k N, niin x lim x x k = Todistus. Trkstelln ensin millisi rvoj luseke N N k s, kun N > k on suuri kokonisluku. Tätä vrten merkitään b = >, jolloin = + b j Newtonin binomikv j edellistä lusett käyttäen sdn N N k = N k ( + b)n = N k N i= ( ) N b i ( ) N i N k b k+ k + N k N k+ (k + ) k+ (k + )! bk+ = C N, b missä on merkitty C = k+ N. Täten siis luseke sdn suuremmksi kuin M vlitsemll N suuremmksi kuin mx{k, (k+) k+ (k+)! N k C M}. Tilnne, joss x ei ole kokonisluku, plutuu edelliseen, sillä jos N < x < N, on N N k = N N k < x x k. Huomutus 4. Edellinen luse kertoo siis sen, että eksponenttifunktio x ( > ) ksv nopemmin kuin polynomifunktio x k. Rj-rvojen lskusäännöissä koht 6 on toisinn käyttökelpoinen ksvunopeuden selvittämiseksi: Jos g(x) jollkin välillä [M, ) määritelty funktio, jolle lim x g(x) =, niin lim f (x) = lim f (g(x)). x x Tämän perusteell voidn helposti verrt logritmifunktion j potenssifunktion ksvunopeutt. Luse. Jos ε >, on x ε lim x lnx =. Todistus. Ylläolevn perusteell kosk e ε >. lim x x ε lnx = lim (e x ) ε x lne x = lim (e ε ) x =, x x Huomutus 5. Yhtälön log x = ln lnx vull yllä olev luse voidn todist myös muille kuin luonnolliselle logritmille. Huomutus 6. Vlitsemll edellisessä luseess ε = k sdn k x lim x lnx =, siis myös kikki juurifunktiot ksvvt nopemmin kuin logritmifunktio. Huomutus 7. Osmäärän rj-rvon trkstelu voidn toisinn logritmi käyttämällä muunt erotuksen rj-rvon selvittämiseksi j päinvstoin:

18 8 Rj-rvo j jtkuvuus ln f (x) = ln f (x) lng(x). g(x) f (x) Jos nyt lim (ln f (x) lng(x)) =, on myös lim x x g(x) f (x) kertoo sen, että lim x g(x) =. Esimerkki 3. Selvitetään rj-rvo lim x e x. Tätä vrten lsketn logritmi osmäärästä: joten Esimerkki 4. Selvitetään rj-rvo Tätä vrten lsketn logritmi ln x x e x ln xx x = xlnx x = x(lnx ), ex x x x x lim x e x =. x x lim x e x. =, kun ts lim (ln f (x) lng(x)) = x = lnx x lne x = xlnx x = x( lnx x ) x. Näin ollen x x lim x e x =. Mtlbiin on ohjelmoitu työkluj myös rj-rvojen määrittämiseen. Tällöin tulee huolehti siitä, että trvittvt symbolit määritellään syms-komennoll >> syms x >> limit(sin(x)/x,x,) ns = limit-komennoss ensimmäinen pikk on vrttu funktiolle, toinen muuttujlle jok lähestyy kolmnness pikss ilmistu rvo. Rj-rvot äärettömyydessä j toispuoleiset rjrvot lsketn seurvien esimerkkien mukn. x lim x e x : >> limit(x^/exp(x),x,inf) ns = >> lim x >> limit(/(x-),x,, left ) x :

19 .5 Jtkuvuus 9 ns = -inf >>.5 Jtkuvuus Määritelmän mukn funktion rj-rvo pisteessä x ei riipu millään tvoin funktion rvost tässä pisteessä, vn määräytyy funktion rvoist pisteen x ympäristössä. Aiemmin kuitenkin jo nähtiin, että esimerkiksi rtionlifunktioiden rj-rvo on sm kuin funktion rvo trkstelupisteessä, mikäli funktio on kyseisessä pisteessä määritelty. Yleisesti funktiot snotn jtkuvksi pisteessä x, mikäli sen rj-rvo yhtyy funktion rvoon. Määritelmä 3. Olkoon relifunktio f määritelty josskin pisteen x ympäristössä. f on jtkuv pisteessä x, jos lim x x f (x) = f (x ). Rj-rvon määritelmän mukn funktion jtkuvuus pistessä x voidn kirjoitt seurvn muotoon: Funktio f on jtkuv pisteessä x, jos jokist positiiviluku ε kohti on olemss sellinen positiiviluku δ = δ ε, että d( f (x), f (x )) < ε, kun d(x,x ) < δ. Relifunktion jtkuvuus pisteessä x pitää siis sisällään seurvt sit: ) funktion tulee oll määritelty pisteessä x j josskin sen ympäristössä j ) funktioll tulee oll rj-rvo pisteessä x j 3) rj-rvon pisteessä x tulee yhtyä funktion rvoon tässä pisteessä. Näin ollen jtkuvuus pisteessä x merkitsee intuitiivisesti jtellen sitä, että rvo f (x) tulee miten lähelle thns rvo f (x ), kun vin x vlitn kyllin läheltä x :. Esimerkki 5. Määritellään relifunktio f : R R seurvsti: { f (x) = x, jos x, jos x =. Näin määriteltynä f on koko R:ssä määritelty relifunktio, mutt kuten esimerkissä 9 nähtiin, ei funktioll f ole rj-rvo pisteessä x =. Täten funktio f ei myöskään voi oll jtkuv pisteessä x =, eikä tilnne muutu miksikään, vikk f määriteltäisiin toisin pisteessä x =. Esimerkki 6. Pltn esimerkin 6 funktioon j ljennetn sen määritelmää settmll { x x f (x) = x, jos x 3, jos x =. Näin stu funktio on jtkuv pisteessä x =, sillä lim x f (x) = 3 = f (). Itse siss sm funktio olisi stu määrittelemällä f (x) = x +, mistä voidn todet että f on jtkuv kikiss muisskin pisteissä. Määritelmä 4. Funktio f on jtkuv välillä I, jos f on jtkuv jokisess I:n pisteessä.

20 Rj-rvo j jtkuvuus Esimerkki 7. Olkoon f : R {, } määritelty seurvsti: {, jos x Q, f (x) = muulloin Funktio f ei ole jtkuv missään pisteessä x, sillä jos x Q, on f (x ) = j d( f (x ), f (x)) = in, kun x / Q, j tällisi pisteitä x löytyy miten läheltä pistettä x hyvänsä. Siis edes d( f (x ), f (x)) < ei voi toteutu, vikk d(x,x) olisi miten pieni hyvänsä. Smoin todetn, että f ei voi oll jtkuv missään pisteessä x R \ Q. Tunnetusti esimerkiksi polynomifunktiot ovt jtkuvi koko R:ssä. Jtkuvist funktioist sdn uusi jtkuvi funktioit esimerkiksi rtionlisin opertioin. Luse. Olkoot f (x) j g(x) jtkuvi joukoss I. Tällöin myös f ± g, j f g ovt jtkuvi joukoss I j f g on jtkuv joukoss I \ {x g(x) = }. Lisäksi f g on jtkuv määrittelyjoukossn. Todistus. Seur luseest 8. Itse siss voimss on myös huomttvsti ljempikin tulos (jonk todistus myös sivuutetn). Luse 3. Kikki lkeisfunktiot (ktso määritelmä insinöörimtemtiikk A:st) ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Anlogisesti toispuoleisten rj-rvojen knss voidn määritellä toispuoleinen jtkuvuus Määritelmä 5. Olkoon f määritelty jollkin välillä [x,b) j lim x x + f (x) = f (x ). Tällöin snotn, että f on oikelt jtkuv pisteessä x. Määritelmä 6. Olkoon f määritelty jollkin välillä (,x ] j lim x x f (x) = f (x ). Tällöin snotn, että f on vsemmlt jtkuv pisteessä x. Esimerkki 8. Määritellään f ploittin seurvsti (kuv 9): { x f (x) =, jos x <, x +, jos x. Tällöin f () =, lim x + f (x) = j lim jtkuv mutt vsemmlt epäjtkuv. x f (x) =, joten funktio f on pisteessä x = oikelt Mtlbiss voidn itse määritellyt funktiot kirjoitt ns. M-tiedostoiksi (vlikoist file new M-file). Esimerkin 8 funktio (kutsutn sitä nimellä esim) voidn määritellä seurvsti: function y = esim(x) % ESIM on ploittin määritelty funktio, % linerinen, kun x> j neliöllinen muutoin. if (x>) y=x+ else y=x^ end;

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

2.2 Monotoniset jonot

2.2 Monotoniset jonot Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot