Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Transkriptio

1 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä R + :lla määritellyn, riittävän säännöllisen funktion f Laplace-muunnos on F(s = L(f(s = e st f(tdt, s > s ja sen Laplace-käänteismuunnos L : L (F = f(t. Lause Laplace muunnos on lineaarinen operaatio: L(αf +βg = αl(f+βl(g, α,β R. Tod.: Integrointi on lineaarinen operaatio. QED

2 Laplace-muunnos, s-siirros (Kr. 6. Lause Laplace-muunnoksen s-siirros: L(e at f(t = F(s a, s > s +a. Tod.: L ( e at f(t = e st ( e at f(t dt = e (s at f(tdt = F(s a. F(s:n ehto s > s, implikoi olemassaoloehdon s > s +a. Esimerkkejä: L( = e st dt = s, s >. L(t n = ( s e st t n + n s e st t n dt = n s L(tn, joten induktiolla tästä L(t n = n! s n L( = n! s n+,s >. QED L(e at = e st e at dt = e (s at dt =, s > a (tai edellisen kohdan ja s a ylläolevan Lauseen avulla. ( L(cosh(at = L( 2 (eat +e at = 2 s a + = s s+a s 2 a 2, s > a. L(sinh(at = L( 2 (eat e at = 2 ( s a s+a = a s 2 a 2, s > a.

3 Laplace-muunnos, olemassaolo (Kr. 6. Lause Jos f on paloittain jatkuva ja toteuttaa ehdon f(t Ce ct, t R + joillekin positiivisille vakioille, c ja C, on Laplace-muunnos L(f olemassa kaikille s > c. Tod. L(f = e st f(tdt e st Ce ct dt = C s c. e st f(t dt Ehto s > c takaa viimeisen integraalin olemassaolon. Tämä on vain riittävä ehto olemassaololle. Esimerkki: L( t on olemassa, sillä sijoituksella ( st = x, s > saadaan QED t e st dt ( = s x e x dx (2 = s π e u2 du = s, jossa (2:ssa on käytössä sijoitus x = u 2 ja symmetria origon suhteen.

4 Laplace-muunnos, t-siirros (Kr. 6.3 Heavisiden porrasfunktio on b (t = {, t b, t > b. Nyt b >. Lause Laplace-muunnoksen t-siirros: L( b (tf(t b = e sb F(s. Tod.: Muuttujanvaihdolla u = t b saadaan L( b (tf(t b = = b e st f(t bdt e s(u+b f(udu = e sb F(s. Esimerkki: Pulssifunktion b (t b2 (t, b 2 > b > Laplace-muunnos on QED L( b (t b2 (t = (e sb e sb 2 L( = s (e sb e sb 2. Tämä, kuten Heavisiden funktiokin, on kätevä säätöteoriassa tärkeän bang-bang ohjauksen formuloinnissa.

5 Laplace-muunnos, derivointi (Kr. 6.6 Derivoimalla ja integroimalla (analyysin standardirajoituksin Laplace-muunnosta saadaan käyttökelpoisia tuloksia: Lause F (s = L(tf(t ja s ( f(t F(udu = L. t Esimerkki: L(te at = ( (s a 2,...,L (n! tn e at = (s a n iteroimalla Lausetta. Samaan tapaan voidaan johtaa esimerkiksi L(tsin(ωt = 2ωs (s 2 +ω 2 2. Tällaiset tulokset ovat hyödyllisiä esimerkiksi lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen värähtelymoodien karakterisoinnissa.

6 Laplace-muunnos, konvoluutio (Kr. 6.5 Määritelmä Funktioiden f,g : R + R konvoluutio määritellään kun t (f g(t = t f(ug(t udu. Konvoluutio on (eksoottisemman näköinen funktioiden tulo kuten tavanomainen pisteettäinen tulo f(tg(t. Se voidaan määritellä myös muilla tavoin, esimerkiksi Fourier-analyysissä reaaliakselilla käyttökelpoisin muoto on (f g(t = f(ug(t udu, t R. Konvoluutiolla on erinomainen ominaisuus, joka paljastuu sitä vastaavassa integralimuunnoksessa, nyt Laplace-muunnoksessa.

7 Laplace-muunnos, konvoluutio 2 (Kr. 6.5 Lause Tod.: L(f g(s = L(f g(s = L(f(sL(g(s = F(sG(s. = = = = t t e st f(ug(t ududt e st f(ug(t ududt (Fubinin lause e st f(ug(t udtdu u { } f(u e st g(t udt du (t u = w u { } f(ue su e sw g(wdw du = F(sG(s. QED

8 Laplace-muunnos, delta (Kr. 6.4 Konvoluutio on siis tulo funktioavaruudessa, jolle pätee assosiatiivisuus, f (g h = (f g h ja vaihdannaisuus: f g = g f, on olemassa yksikköalkio δ: f δ = f. Edeltävän Lauseen nojalla siis L(δ =. Tämä Diracin delta, impulssifunktio, on ns. distribuutio eli yleistetty funktio. Se määritellään { jos t = a δ(t a = jos t a lisävaatimuksella, että δ(t adt = kaikille a R. Delta on siis yksikkömassa keskittyneenä yhteen pisteeseen. Esimerkki: L(δ(t a = e st δ(t adt = e as δ(t adt = e as ja L( a(t = e as, a >. Formaalisti L( s a = sl(a a( = e as, joten nähdään, että Diracin delta käyttäytyy kuten Heavisiden derivaatta, ainakin integraaleissa.

9 Laplace-muunnos, derivaatan (Kr. 6.2 Lause Funktion f derivaatan muunnos: L(f = sl(f f(. Yleisesti L(f (n = s n L(f s n f( s n 2 f ( f (n (. ( t Määrätyn integraalin muunnos: L f(udu = s L(f Tod.: Osittaisintegroimalla e st f (tdt = lim u e su f(u u ( se st f(tdt = lim u e su f(u e s f(+sl(f. lim u e su f(u = kun s > ja f integroituva. Iteroimalla argumenttia n kertaa saadaan yleinen kaava. Integraalikaava seuraa, kun määrittelee g(t = t f(udu, jolle pätee L(f = L(g = sl(g g( = sl(g. QED

10 Laplace-muunnos, derivaatan 2 (Kr. 6.2 Esimerkki: Olkoon f(t = cos(ωt. Siten f (t = ωsin(ωt ja f (t = ω 2 cos(ωt. Toisaalta edellisen nojalla ω 2 L(cos(ωt = L(f = s 2 L(f sf( f ( = s 2 L(cos(ωt scos(ω +ωsin(ω = s 2 L(cos(ωt s +. Tästä voidaan välittömästi ratkaista L(cos(ωt = s s 2 +ω 2. Identtisellä argumentilla ω L(sin(ωt = s 2 +ω 2. Laplace-muunnoksella voidaan siis vaihtaa vaikea operaatio, derivointi, yksinkertaiseksi, kertomiseksi s:llä! Tällä on useita tärkeitä sovellutuksia.

11 Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälön (Kr. 6.2 Esimerkki : Lineaarinen, vakiokertoiminen, epähomogeeninen toisen asteen yhtälö Laplace-muuntuu y (t+ay (t+by(t = g(t, a,b R s 2 Y(s sy( y (+a(sy(s y(+by(s = G(s, josta edelleen merkinnällä Q(s = s 2 +as+b ja R(s = G(s+(s +ay(+y ( Y(s = Q(sR(s. ( Huomaa, että y( ja y ( ovat tällaisen yhtälön normaali alkuarvodata. Menetelmän menestyksellisyys kulminoituu siis tulolausekkeen ( Laplace-käänteismuuntamisen mahdolliseen hankaluuteen. Funktio Q(s yllä on esimerkki siirtofunktiosta. Siihen tiivistyy informaatio systeemin rakenteesta, joka on siis riippumaton alkudatasta ja ohjauksesta. Yhtälön ratkaisu on sen ja vain alkudatasta ja ohjauksesta riippuvan funktion L (R konvoluutio.

12 Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälön 2 Esimerkki 2: Joskus käänteismuuntaminen sujuu hyvin helposti. Tarkastellaan seuraavaksi systeemiä {, t < x +2x = r(t =, t alkuarvoilla x( = x ( =. Laplace-muunnettuna ja ratkaistuna tämä on X(s = Q(rR(s = s 2 +2 R(s, ( joten ratkaisu on funktioiden q(t = L s 2 +2 konvoluutio. Siten kun t < x(t =(q r(t = t 2 = 2 ( ( cos 2t, = 2 sin( 2t ja r(t:n ( sin 2(t u du kun taas välillä t (huomaa integraalin yläraja, johtuu r:stä! x(t = ( sin 2(t u du 2 = ( ( ( cos 2(t cos 2t. 2

13 Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälön 3 Esimerkki 3: Ratkaistaan positiivisella reaaliakselilla yhtälö alkuarvoilla x( = ja x ( = 2. x +5x +6x = f(t = { 3, t < 6, 6 t Tehtävän voi selvittää kuten edellä konvoluutiolla tai paloittain; ratkaista ensin välillä t 6 ja sen jälkeen ratkaista toistamiseen, ottamalla x(6 ja x (6 uusiksi alkuarvoiksi välille 6 t. Vaihtoehtoisesti voi huomata, että f(t = 3( (t 6 (t, joka muuntuu F(s = 3 s ( e 6s. Laplace-muunnettuna yhtälö saa muodon josta (s 2 +5s +6X(s = 2+F(s, 2s +3 3 X(s = s(s +2(s +3 e 6s s(s +2(s +3 ( = 2s + 2(s +2 ( e 6s s +3 2s 3 2(s +2 + s +3.

14 Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälön 4 Kääntämällä tämä saadaan ratkaisuksi ( x(t = 2 + ( 2 e 2t e 3t e 2(t 6 +e 3(t 6 6 (t eli e 2t e 3t, t < 6 x(t = ( ( 3 2 e 2t e 3t + 2 e 2(t 6 e 3(t 6, 6 t Out[7]=.5 Out[6]= Ohjausfunktion f(t ja differentiaaliyhtälön ratkaisun x(t kuvaajat.

15 Osamurtokehitelmistä (Kr. 6.4 Mikäli ohjausfunktion muunnos on polynomi, on ratkaisussa käänteismuunnettavana rationaalifunktio (polynomien osamäärä. Tällaisten kääntämiselle on oma tekniikkansa. Osamurtokehitelmässä rationaalilauseke esitetään nimittäjän tekijöiden mukaan summamuodossa. Jos nimittäjässä kaikki juuret ovat reaalisia ja yksinkertaisia, on sen kehitelmä muotoa n (s a (a a 2 (s a n = A i, A i R. s a i Moninkertaista juurta vastaten kehitelmään lisätään termejä: i= (s a i n i n i k= A k (s a i k.

16 Osamurtokehitelmistä 2 (Kr. 6.4 Mikäli kehitettävänä on lauseke, jossa on muotoa s 2 +a 2 olevia termejä, on ne esitettävä joko kuten edellä, mutta kompleksijuurten avulla, C s ia + C 2 s +ia, C j C tai muodossa As +B s 2 +a2, A,B R. Esimerkkejä: s 3 4s 2 +4 s 2 (s 2(s = A s + A 2 s 2 + A 3 s 2 + A 4 s Kertomalla tämä auki ja vertaamalla s k termien kertoimia, k =,...,3, saadaan algebralliset yhtälöt, joista helposti: A = 3,A 2 = 2 ja A 3 = A 4 =. Vastaavalla tavalla s:n potenssit erottamalla voidaan yritteen (s + 2 (s 2 +4 = B s + + B 2 (s B 3s +B 4 s 2 +4 kertoimet ratkaista: B = 2 25, B 2 = 5, B 3 = 2 25 ja B 4 = 3 25.

17 Differentiaaliyhtälöryhmän Laplace-muunnos (Kr. 6.7 Jokainen n:nnen kertaluvun lineaarinen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö voidaan sijoituksilla palauttaa n:n lineaaristen, vakiokertoimisten differentiaaliyhtälön ryhmäksi. Esimerkiksi edeltävät toisen asteen yhtälöt palautuvat kahden yhtälön ryhmiksi. Esimerkki: Tutkitaan epähomogeenista systeemiä { y = a y +a 2 y 2 +g y 2 = a 2y +a 22 y 2 +g 2 y = Ay +g, joka on Laplace-muunnettuna (Y i = Y i (s = L(y i (s, G i (s = L(g i, i =,2 { sy y ( = a Y +a 2 Y 2 +G sy 2 y 2 ( = a 2 Y +a 22 Y 2 +G 2 ( ( Y = (si A Y y (+G. 2 y 2 (+G 2 Differentiaaliyhtälöryhmä on siis muuttunut algebralliseksi yhtälöryhmäksi, joka ratkeaa, kun siirtofunktio on olemassa eli si A ei ole singulaari (eli s ei ole A:n ominaisarvo.

18 Differentiaaliyhtälöryhmän Laplace-muunnos 2 (Kr. 6.7 Esimerkki: Tarkastellaan uudelleen systeemiä { y = y +y 2 y 2 = y y 2, joka Laplace-muunnettuna saa muodon { sy y ( = Y +Y 2 sy 2 y 2 ( = Y Y 2. Tämä on matriisimuodossa A(sY(s = y(, jossa ( s + A(s = s + ( Y (s, Y(s = Y 2 (s ( y ( ja y( = y 2 (. Koska A (s = ( s + deta s + saadaan ratkaisut muunnokset: ( Y (s Y 2 (s ( s + = (s s +, deta = (s + 2 +, ( y ( y 2 ( = y ((s++y 2 ( (s+ 2 + y 2 ((s+ y ( (s+ 2 +.

19 Differentiaaliyhtälöryhmän Laplace-muunnos 3 (Kr.6.7 Esimerkki, jatkuu: Käänteismuuntaminen on nyt normaalia skalaarifunktioilla operoimista. Laplace-muunnoksen s-siirros säännösta nähdään, että (s+-tekijä merkitsee käänteismuunnoksessa tekijää e t. Toisaalta on jo aiemmin laskettu, että ( ( s L s 2 = cost ja L + s 2 = sint. + Siten lopullinen ratkaisu: ( y y 2 = e t ( y (cost +y 2 (sint y 2 (cost y (sint. Vertaa näitä (ja menetelmää! aiemmin matriisieksponentilla johdettuihin ratkaisuihin.