Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt"

Transkriptio

1 8. marraskuuta 216

2 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom

3 Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja. Muunnos muuntaa funktio f t-avaruudesta u-avaruuteen. Esimerkkejä integraalimuunnoksista: K(t, u) = e ut Fourier-muunnos K(t, u) = e iut Mellinin muunnos K(t, u) = t u 1

4 Integraalimuunnoksien sovellukset Integraalimuunnoksia käytetään eityisesti differentiaali-, osittaisdifferentiaali- ja integraaliyhtälöiden ratkaisemiseen Muunnoksien avulla voidaan monesti edellä mainitut yhtälöt ratkaista kätevämmin kuin perinteisillä menetelmillä Ratkaisu (vaikea) Ongelma t-avaruudessa Ratkaisu t-avaruudessa Muunnos Käänteismuunnos Ongelma u-avaruudessa Ratkaisu u-avaruudessa Ratkaisu (helppo)

5 Olkoon f (t) kompleksi- tai reaaliarvoinen funktio. Funktion f määritellään kaavalla F(s) = e st f (t)dt edellyttäen, että integraali on olemassa. Tässä s voi olla kompleksinen Funktio F(s) on funktion f (t). Muunnoksesta käytetään myös merkintää L(f ) Muunnettavaa funktiota on tapana merkitä pienellä kirjaimella ja muunnettua funktiota isolla kirjaimella Funktion f ei riipu funktion saamista arvoista kun t <.

6 Vakiofunktion ESIMERKKI. Vakiofunktion f (t)=1 (t ) Laplace-muunnoksen määritelmän mukaan L(1) = = lim R = lim R e st 1 dt = lim / R R 1 s e st 1 s (1 e sr ) = 1 s R e st dt (s > )

7 Eksponenttifunktion ESIMERKKI. Eksponenttifunktion f (t) = e at (t ) Laplace-muunnoksen määritelmän mukaan L(e at ) = = = / e st e at dt = 1 s a e (s a)t 1 (s > a) s a e (s a)t dt

8 Lineaarisuus Lause Olkoon funktioiden f ja g Laplace-muunnokset olemassa ja a, b mielivaltaisia vakioita. Tällöin Todistus. L(af (t) + bg(t)) = L(af (t) + bg(t)) = al(f ) + bl(g) = a t t e st (af (t) + bg(t))dt t e st f (t)dt + b e st g(t)dtdt = al(f ) + bl(g)

9 Hyperbolisen kosinin ESIMERKKI. Hyperbolisen kosinin f (t) = cosh at Laplace-muunnoksen lineaarisuuden perusteella ( ) 1 L(cosh at) = L 2 (eat + e at ) = 1 2 L(eat ) L(e at ) = s a s + a s = s 2 a 2 (s > a )

10 Sinin ja kosinin ESIMERKKI. Sinin ja kosinin Laplace-muunnokset Laplace-muunnoksen lineaarisuuden perusteella ( ) 1 L(cos ωt) = L 2 (eiωt + e iωt ) = 1 2 L(eiωt ) L(e iωt ) = s iω s + iωt s = s 2 + ω 2 Samalla tavalla saadaan sinin Laplace-muunnokseksi L(sin ωt) = ω s 2 + ω 2

11 Ensimmäinen translaatiolause. Siirto muuttujan s suhteen Lause Olkoon F(s) funktion f (t), joka on määritelty kun s > k. Tällöin funktion e at f (t) on L(e at f (t)) = F(s a), s a > k missä a on mielivaltainen reaaliluku. Todistus. F(s a) = e (s a)t f (t)dt = e t (e at f (t))dt = L(e at f (t)) Ensimmäinen integraali on olemassa kun s a > k, koska funktion f on määritelty kun s > k.

12 Muunnoksen laskeminen translaatiolauseen avulla ESIMERKKI. Funktion e at cos ωt Aiemman perusteella tiedetään, että funktion f (t) = cos ωt on s F(s) = s 2 + ω 2 Täten translaatiolauseen perusteella L(e at cos ωt) = S S 2 + ω 2 S=s a = s a (s a) 2 + ω 2

13 Taulukko Laplace-muunnoksista f (t) L(f (t)) f (t) L(f (t)) 1 1/s sin ωt ω s 2 +ω 2 t 1/s 2 cosh at s s 2 a 2 t n n!/s n+1 sinh at a s 2 a 2 e at 1 s a e at cos ωt s a (s a) 2 +ω 2 cos ωt s e at ω sin ωt s 2 +ω 2 (s a) 2 +ω 2 n =, 1,...

14 Potenssifunktion ESIMERKKI. Todistetaan, että L(t n ) = n!/s n+1 kun n =, 1,... Todistetaan induktion avulla. Nyt jo tiedämme, että kaava pätee kun n =. Oletetaan, että kaava pätee ja todistetaan, että se pätee silloin myös arvolla n + 1. Osittaisintegroinnin avulla L(t n+1 ) = = / e st t n+1 dt 1 s e st t n+1 + n + 1 s = n + 1 s = n + 1 L(t n ) = s e st t n dt (n + 1)! s (n+1)+1 e st t n dt

15 Laplace-muunnoksen olemassaolo Muunnos on olemassa jos integraali suppenee, t.s mikäli raja-arvo τ lim e st f (t)dt τ on olemassa (äärellisenä). Integraali suppenee itsenäisesti, jos lim τ τ e st f (t) dt suppenee Jos integraali suppenee itsenäisesti, niin silloin se myös suppenee tavallisessa mielessä Muunnos on olemassa jos e st f (t) riittävän nopeasti kun t Jotta muunnos olisi olemassa niin f :n ei tarvitse olla jatkuva. Paloittain jatkuvuus riittää

16 Eksponentiaalinen kertaluku Määritelmä Funktion f sanotaan olevan eksponentiaalista kertalukua k, jos on olemassa sellaiset vakiot M > ja k, että aina, kun t t pätee f (t) Me kt Rajoitettujen funktioiden (esim. sin t, cos t) eksponentiaalinen kertaluku on nolla. Funktion e t eksponentiaalinen kertaluku on -1. Funktiolla e t2 ei ole eksponentiaalista kertaluku jollain vakiolla k.

17 Laplace-muunnoksen olemassaolo Lause Olkoon funktion f paloittain jatkuva välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua k. Tällöin sen on olemassa kun s > k ja muunnos suppenee itsenäisesti Todistus Koska f on eksponentiaalista kertalukua k, niin f (t) M 1 e kt, t t Koska f on paloittain jatkuva, niin se on rajoitettu välillä [, t ]. Täten f (t) M 2, < t < t

18 Laplace-muunnoksen olemassaolo (Jatkoa) Koska e kt on positiivinen aidosti monotoninen funktio, niin sillä on positiivinen minimiarvo välillä [, t ]. Täten on olemassa vakio M siten, että f (t) Me kt, t > Siksi τ ja täten kun s > k e st f (t) dt M τ e (s k)t dt = M s k (1 e (s k)τ ) τ lim e st f (t) dt M τ s k

19 Yksikäsitteisyys Jos funktion on olemassa, niin se on yksikäsitteisesti määritelty Jos kahdella funktiolla (määritelty positiivisella reaaliakselilla) on sama, niin funktiot ovat samat lukuun ottamatta mahdollisesti äärellistä määrää irrallisia pisteitä Jos kahdella jatkuvalla funktiolla on sama muunnos, niin funktiot ovat identtisiä

20 Laplace-käänteismuunnos Jos L(f (t)) = F(s), niin käänteismuunnosta merkitään Esim: L 1 (F(s)) = f (t), t ( ) L 1 ω s 2 + ω 2 = sin ωt, t Käänteismuunnos määritellään kaavalla f (t) = 1 2πi σ i σ+i missä σ > on riittävän suuri vakio. F(s)e st ds Käytännössä käänteismuunnos löydetään osamurtokehitelmän ja taulukkojen avulla tai residy-menetelmän avulla Käänteismuunnos on lineaarinen

21 Laplace-käänteismuunnos. Ensimmäinen translaatiolause ESIMERKKI. Lasketaan funktion 1 (s+1) 2 Translaatiolauseen perusteella Nyt missä F(s) = 1/s 2. Täten e at f (t) = L 1 (F(s a)) 1 = F(s + 1) (s + 1) 2 käänteismuunnos L 1 (F(s + 1)) = L 1 (F(s))e t = te t

22 Osamurtokehitelmä Olkoon F(s) = P(s)/Q(s), missä P(s) ja Q(s) ovat polynomeja ja deg(q) > deg(p). Oletetaan lisäksi, että polynomeilla ei ole yhteisiä tekijöitä. Nimittäjän tekijää as + b vastaa murtokehitelmä missä A on vakio A as + b Nimittäjän tekijää (as + b) n vastaa murtokehitelmä missä A 1,..., A n ovat vakiota A 1 as + b A n (as + b) n

23 Osamurtokehitelmä Nimittäjän tekijää as 2 + bs + c vastaa murtokehitelmä missä A on vakio As + B as 2 + bs + c Nimittäjän tekijää (as 2 + bs + c) n vastaa murtokehitelmä A 1 s + B 1 as 2 + bs + c A n s + B n (as 2 + bs + c) n missä A 1,..., A n ovat vakiota

24 Osamurtokehitelmän muodostaminen ESIMERKKI. Muodostetaan funktiolle s+1 s 2 (s 1) osamurtokehitelmä Etsitään funktiolle kehitelmää muodossa s + 1 s 2 (s 1) = A s + B s 2 + C s 1, Kertomalla yhtälö termillä s 2 (s 1), saadaan A, B, C vakioita (s+1) = As(s 1)+B(s 1)+Cs 2 = (A + C) s 2 +( A + B) s+( B) }{{}}{{}}{{} = =1 =1 Ratkaisemalla yhtälöt, saadaan A = 2, B = 1 ja C = 2. Täten s + 1 s 2 (s 1) = 2 s 1 s s 1

25 Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen osamurtokehitelmän avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion s+1 s 2 (s 1) käänteismuunnos Osamurtokehitelmän avulla, saadaan Täten ( ) s + 1 L 1 s 2 (s 1) s + 1 s 2 (s 1) = s s s 1 = L 1 ( 2 s ( 1 = 2L 1 s = 2 t + 2e t + 1 s ) s 1 ) ( 1 L 1 s 2 ) + 2L 1 ( 1 s 1 )

26 Residy-menetelmä käänteismuunnoksen laskemiseksi Lause Olkoon muotoa F(s) = P(s)/Q(s), missä P(s) ja Q(s) ovat polynomeja ja deg(q(s)) > deg(p(s)). Olkoon lisäksi funktiolla F(s) navat pisteissä s 1, s 2,..., s n. Tällöin Laplace-käänteismuunnos saadaan laskettua yhtälöstä n f (t) = L 1 (F(s)) = Res[F(s)e st, s i ] i=1

27 Laplace-käänteismuunnoksen laskeminen residy-menetelmän avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion F(s) = s+1 s 2 (s 1) käänteismuunnos residy-menetelmällä Funktiolla on navat pisteissä s = (kertaluku 2) ja s = 1 (kertaluku 1). Lasketaan funktion e st F(s) residyt napapisteissä: Res[e st d F(s), ] = lim s ds (s2 e st d F(s)) = lim s ds ( e st ) (s + 1) s 1 e st [(ts + t + 1)(s 1) (s + 1)] = lim s (s 1) 2 = t 2 Res[e st F(s), 1] = lim((s 1)e st e st (s + 1) F(s)) = lim s 1 s 1 s 2 = 2e t Täten L 1 (F(s)) = t 2 + 2e t

28 Differentiaaliyhtälöt

29 Differentiaaliyhtälöt on erittäin hyödyllinen ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä Funktion derivointi t-avaruudessa vastaa muunnoksen kertomista s :llä s-avaruudessa Laplace-muunnoksen avulla voidaan ratkaista alkuarvo- ja reuna-arvotehtäviä sekä differentiaaliyhtälöryhmiä

30 Derivaatan Lause Olkoon funktio f jatkuva välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua k ja funktio f paloittain jatkuva välillä [, ). Tällöin L(f (t)) = sl(f (t)) f (), s > k Todistus. Todistetaan lause kun f on jatkuva. Osittaisintegroimalla saadaan L(f (t)) = = f () + s e st f (t)dt = / e st f (t) }{{} = f () kun s>k +s e st f (t)dt = f () + sl(f ), e st f (t)dt s > k

31 Laplace-muunnoksen laskeminen derivoinnin avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion f (t) = sin 2 t Nyt f () = ja f (t) = 2 sin t cos t = sin 2t L(f ) = 2 s Koska saadaan L(f ) = sl(f ) f () = sl(f ) L(f ) = 1 s L(f ) = 2 s(s 2 + 4)

32 Funktion toisen ja n:nnen derivaatan Funktion toisen derivaatan : L(f ) = sl(f ) f () = s[sl(f ) f ()] f () Täten L(f ) = s 2 L(f ) sf () f () Yleisemmin L(f (n) ) = s n L(f ) s n 1 f () s n 2 f ()... f n 1 () kun f (t), f (t),..., f (n 1) (t) jatkuvia välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua k ja funktio f (n) paloittain jatkuva välillä [, ).

33 Laplace-muunnoksen laskeminen derivoinnin avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion f (t) = t sin ωt Derivoimalla: Täten f (t) = sin ωt + ωt cos ωt f () = f (t) = 2ω cos ωt ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt ω 2 f (t) L(f s ) = 2ω s 2 + ω 2 ω2 L(f ) Toisaalta L(f ) = s 2 L(f ) sf () f () = s 2 L(f ), joten s 2 s L(f ) = 2ω s 2 + ω 2 ω2 L(f ) L(f ) = 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2

34 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Laplace-muunnoksen avulla Tarkastellaan alkuarvo-ongelmaa y + ay + by = r(t), y() = y, y () = y missä a ja b ovat vakioita. Ottamalla, saadaan [s 2 Y sy y ] + a[sy y ] + by = R(s) missä Y = L(y) ja R = L(r). Ratkaisemlla Y, saadaan Y (s) = [(s + a)y + y ]Q(s) + R(s)Q(s) missä Q(s) = (s 2 + as + b) 1. Ottamalla yhtälöstä Laplace-käänteismuunnos saadaan ratkaisuksi y(t) = L 1 (Y )

35 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen, alkuarvotehtävä ESIMERKKI. Ratkaistaan y y = t alkuarvoilla y() = 1, y () = 1 Ottamalla differentiaaliyhtälöstä, saadaan (s 2 Y s 1) Y = 1 s 2 (s 2 1)Y = s s 2 Ratkaisemalla Y = s + 1 s s 2 (s 2 1) = 1 s s s 2 Täten ( ) ( ) ( ) y(t) = L 1 +L 1 s 1 s 2 L 1 1 s 2 = e t +sinh t t

36 Reuna-arvotehtävän ratkaiseminen ESIMERKKI. Ratkaistaan y + y = cos t reuna-arvoilla y() = 1, y(π/2) = 1 Ottamalla differentiaaliyhtälöstä, saadaan Ratkaisemlla Y, saadaan s 2 Y s y () + Y = Y (s) = s s s (s 2 + 1) 2 + s s y () s Täten y(t) = 1 2 t sin t + cos t + y () sin t

37 Reuna-arvotehtävän ratkaiseminen ESIMERKKI. Jatkoa Nyt 1 = y(π/2) = π/4 + y () joten y () = ( 1 π ) 4 Ratkaisuksi saadaan y(t) = 1 ( 2 t sin t + cos t + 1 π ) sin t 4

38 Differentiaaliyhtälösysteemin ratkaiseminen ESIMERKKI. Ratkaistaan systeemi y + z + y + z = 1, y + z = e t alkuarvoilla y() = 1, z() = 2 Ottamalla yhtälöistä, saadaan sy sz 2 + Y + Z = 1 s ja sy Z = 1 s 1 Systeemi voidaan kirjoittaa matriisimuotoon ( ) ( ) s + 1 s + 1 Y = s 1 Z ( s+1 s 2 s s 1 )

39 Differentiaaliyhtälösysteemin ratkaiseminen ESIMERKKI. Jatkoa Ratkaisuksi saadaan ( ) Y Z josta saadaan = 1 1 s 2 ( 1 s 1 s s + 1 ) ( s+1 s 2 s s 1 Y (s) = s2 + s + 1 s(s 1) 2 = 1 s 2 s (s 1) 2 ) ja Z(s) = 2s 3 (s 1) 2 = 2 s 1 1 (s 1) 2

40 Differentiaaliyhtälösysteemin ratkaiseminen ESIMERKKI. Jatkoa Ottamalla Laplace-käänteismuunnos, saadaan systeemin ratkaisuksi y(t) = 1 2e t + te t, z(t) = 2e t te t

41 Askelfunktio Yksikköaskelfunktio (Heaviside funktio) määritellään seuraavasti u(t a) = { kun t < a 1 kun t > a Funktiolla on epäjatkuvuuskohta pisteessä t = a, jossa funktion arvo muuttuu nollasta yhteen u(t a) 1 a t

42 Askelfunktion sovellukset Askelfunktio on käyttökelpoinen fysikaalisissa sovelluksissa, joissa halutaan kuvata äkillisiä muutoksia systeemiin vaikuttavissa "voimissa" 1 sin(t 2)[u(t 2) u(t 2 π)] 2 π +2 t

43 Toinen translaatiolause. Siirto muuttujan t suhteen Lause Olkoon F(s) = L(f (t)), silloin L(u(t a)f (t a)) = e as F(s), a Todistus. L(u(t a)f (t a)) = = = a e st u(t a)f (t a)dt e st f (t a)dt e s(τ+a) f (τ)dτ = e as e sτ f (τ)dτ = e as F(s)

44 Toinen translaatiolause. Seurauksia Ottamalla Laplace-käänteismuunnos translaatiolauseesta, saadaan L 1 (e as F(s)) = f (t a)u(t a) Kun f = 1 niin F(s) = 1/s ja silloin saadaan L(u(t a)) = e as s Translaatiolauseen voi ilmaista myös muodossa L(f (t)u(t a)) = e as L(f (t + a))

45 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen ja translaatiolause ESIMERKKI. Ratkaistaan y + 3y + 2y = u(t 1) u(t 2) alkuarvoilla y() = y () = Ottamalla yhtälöstä, saadaan Ratkaisemalla Y, saadaan missä F(s) = s 2 Y + 3sY + 2Y = 1 s (e s e 2s ) Y (s) = F(s)(e s e 2s ) 1 s(s 2 + 3s + 2) = 1/2 1 s s /2 s + 2

46 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen ja translaatiolause ESIMERKKI. Jatkoa Täten f (t) = L 1 (F(s)) = 1 2 e t e 2t Translaatiolauseen perusteella y(t) = L 1 (F(s)e s F(s)e 2s ) = f (t 1)u(t 1) f (t 2)u(t 2) Täten, < t < 1 1 y(t) = 2 e (t 1) e 2(t 1), 1 < t < 2 e (t 1) + e (t 2) e 2(t 1) 1 2 e 2(t 2), t > 2

47 Diracin deltafunktio Tarkastellaan voiman f (t a) = impulssia (h > ). Koska I = { 1/h, a t a + h, muulloin f (t a)dt = a+h a 1 h dt = 1 kyseessä on yksikköimpulssi. Voimme ilmaista voiman yksikköaskelfunktioiden avulla: jonka on f (t) = 1 [u(t a) u(t a h)] h F(s) = 1 hs (e as e (a+h)s as 1 e hs ) = e hs

48 Diracin deltafunktio Kun h, saamme Diracin deltafunktion (yksikköimpulssifunktio) δ(t a) = lim f (t a) = h + {, t = a, muulloin ja koska niin 1 e hs lim e as h hs = e as L(δ(t a)) = e as Deltafunktiolle pätee erityisesti g(t)δ(t a)dt = g(a) kaikilla jatkuvilla g(t)

49 Differentiaaliyhtälö ja deltafunktio ESIMERKKI. Tarkastellaan jousisysteemiä my + ky = f (t), johon kohdistuu impulssi A hetkellä t = π/2. Ajan hetkellä t = systeemi on levossa ja pisteessä 1. Olkoon m = 1 ja k = 1. Tällöin ratkaistavana on differentiaaliyhtälö y + y = Aδ(t π/2), y() = 1, y () = Muodostamalla yhtälöstä, saadaan Ratkaisemalla Y, saadaan s 2 Y s + Y = Ae π 2 s Y = s s A s e π 2 s

50 Differentiaaliyhtälö ja deltafunktio ESIMERKKI. Jatkoa Ottamalla Laplace-käänteismuunnos, saadaan y(t) = cos t + Au(t π/2) sin(t π/2) = (1 Au(t π/2)) cos t Tarkemmin y(t) = { cos t, t < π/2 (1 A) cos t, t > π/2 Nyt jos A = 1 impulssi pysäyttää jousisysteemin liikkeen.

51 Integraaliyhtälöt

52 Integraaliyhtälöt Funktion derivointi t-avaruudessa vastaa muunnoksen kertomista s :llä s-avaruudessa Funktion integrointi t-avaruudessa vastaa muunnoksen jakamista s:llä s-avaruudessa Laplace-muunnoksen avulla voidaan ratkaista erilaisia integraaliyhtälöitä

53 Integraalin Lause Olkoon funktio f paloittain jatkuva välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua k. Tällöin Todistus Merkitään ( t ) L f (u)du = 1 L(f ), s > k s g(t) = t f (u)du jolloin g (t) = f (t) lukuun ottamatta funktion epäjatkuvuuskohtia. Osittaisintegroimalla integraalin, saadaan e st g(t)dt = / e st g(t) s + 1 s e st f (t)dt

54 Integraalin (Jatkoa) Nyt g() = ja t t e st g(t) e st f (u) du Me st e ku du Täten kun s > k eli = M k e st (e kt 1) = M k (e (s k)t e st ) kun t (s > k) e st g(t)dt = 1 s e st f (t)dt L ( t f (u)du ) = 1 s L(f ), s > k

55 Integraalin Käänteismuuntamalla integraalin, saadaan ( ) 1 t L 1 s F(s) = f (u)du Jos nyt funktion F(s) Laplace-käänteismuunnos tiedetään niin kaavan avulla voidaan etsiä funktioiden käänteismuunnoksia ESIM: ( ) 1 L 1 s 2 missä nyt F(s) = 1/s ja f (t) = 1 ( 1 = L 1 s 1 ) t = du = t s

56 Käänteismuunnos integraalin Laplace-muunnoksen avulla ESIMERKKI. Määritetään funktion 1 s(s 2 4) Laplace-käänteismuunnos Merkitään F(s) = 1 s 2 4 jolloin f (t) = 1 2 sinh 2t. Täten ( ) ( ) L s(s 2 = L 1 + 4) s F(s) = Saadaan ( ) L 1 1 s(s 2 = 1 + 4) 2 t t f (u)du sinh 2udu = 1 (cosh 2t 1) 4

57 Integro-differentiaaliyhtälön ratkaiseminen ESIMERKKI. Ratkaistaan yhtälö 2y (t) + 2 t y(u)du = 1 kun y() = Ottamalla yhtälöstä, saadaan 2sY s Y = 1 s Ratkaisemalla Y Y = s Käänteismuuntamalla ratkaisuksi saadaan y(t) = 1 2 sin t

58 Konvoluutio Funktioiden f (t) ja g(t) välinen konvoluutio on integraali (f g)(t) = t Konvoluutio on vaihdannainen (f g)(t) = = t t f (τ)g(t τ)dτ f (τ)g(t τ)dτ g(u)f (t u)du = (g f )(t) Muita ominaisuuksia c(f g) = cf g = f cg missä c on vakio f (g h) = (f g) h f (g + h) = (f g) + (f h)

59 Konvoluutio ESIMERKKI. Lasketaan konvoluution 1 t Merkitään f (t) = 1 ja g(t) = t. Nyt (f g)(t) = = = t t / t = 1 2 t2 f (τ)g(t τ)dτ 1 (t τ)dτ (tτ 1 ) 2 τ 2

60 Konvoluutio ja Jos tiedämme funktioiden F(s) ja G(s) Laplace-käänteismuunnokset f (t) ja g(t), niin voimmeko silloin määrittää funktioiden tulon F(s)G(s) Laplace-käänteismuunnoksen? Tämä on mahdollista konvoluution avulla Lause Jos funktiot f ja g ovat paloittain jatkuvia ja eksponentiaalista kertalukua k, niin silloin L[(f g)(t)] = L(f )L(g), s > k ts. (f g)(t) = L 1 (L(f )L(g))

61 Konvoluutio ja Jos tiedämme funktioiden F(s) ja G(s) Laplace-käänteismuunnokset f (t) ja g(t), niin voimmeko silloin määrittää funktioiden tulon F(s)G(s) Laplace-käänteismuunnoksen? Tämä on mahdollista konvoluution avulla Lause Jos funktiot f ja g ovat paloittain jatkuvia ja eksponentiaalista kertalukua k, niin silloin L[(f g)(t)] = L(f )L(g), s > k ts. (f g)(t) = L 1 (L(f )L(g))

62 Konvoluutio ja Todistus ( ) ( ) L(f (t))l(g(t)) = e sτ f (τ)dτ e su g(u)du ( ) = e s(τ+u) f (τ)g(u)du dτ Sijoittamalla t = τ + u ja huomioimalla, että τ on vakio sisemmässä integraalissa ja siten dt = du, saamme ( ) L(f (t))l(g(t)) = e st f (τ)g(t τ)dt dτ Jos g(t) = kun t < niin g(t τ) = kun t < τ ja siksi L(f (t))l(g(t)) = τ e st f (τ)g(t τ)dtdτ

63 Konvoluutio ja (Jatkoa) Koska funktiot ovat paloittain jatkuvia ja eksponentiaalista kertalukua niin voimme vaihtaa interointijärjestyksen L(f (t))l(g(t)) = = = ( t ( t e st = L[(f g)(t)] e st f (τ)g(t τ)dτdt ) e st f (τ)g(t τ)dτ dt ) f (τ)g(t τ)dτ dt

64 Laplace-käänteismuunnos konvoluution avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktioiden F(s) = 1/s 2 ja G(s) = 1/(s 1) tulon käänteismuunnos Nyt f (t) = t ja g(t) = e t. Täten ( ) L 1 1 s 2 = (s 1) = = t t / t = t + f (τ)g(t τ)dτ τe t τ dτ τ( et τ ) + / t t e t τ dτ ( et τ ) = t 1 + e t

65 Integraaliyhtälöt Yhtälöitä, jotka ovat muotoa t t f (t) = g(t) + k(t, τ)f (τ)dτ, g(t) = k(t, τ)f (τ)dτ missä funktio f (t) on tuntematon, kutsutaan integraaliyhtälöiksi Jos integraalin ydin on muotoa k(t, τ) = k(t τ) niin voimme ratkaista yhtälöt Laplace-muunnoksen avulla

66 Integraaliyhtälön ratkaiseminen Laplace-muunnoksen avulla ESIMERKKI. Ratkaistaan integraaliyhtälö y(t) = e t + t sin(t τ)y(τ)dτ Ottamalla yhtälöstä, saadaan joten L(y(t)) = L(e t ) + L(sin t)l(y(t)) L(y(t)) = L(e t ) 1 L(sin t) = s2 + 1 s 2 (s + 1) = 2 s s 2 1 s Laplace-käänteismuunnoksen avulla, saadaan ratkaisuksi y(t) = 2e t + t 1

67 Differentiaaliyhtälöt ja konvoluutio Tarkastellaan toisen asteen lineaarista differentiaaliyhtälöä y (t) + ay (t) + by(t) = f (t) a, b vakioita Jos y() = y () = niin yhtälön on missä [s 2 + as + b]y (s) = F(s) Y (s) = Q(s)F(s) Q(s) = 1 s 2 + as + b Jos q(t) = L 1 (Q(s)), niin yhtälön ratkaisu voidaan ilmaista konvoluution avulla y(t) = t q(t τ)f (τ)dτ

68 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen käyttäen konvoluutiota ESIMERKKI. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y + 3y + 2y = f (t), missä f (t) = 1 kun 1 < t < 2 ja f (t) = muulloin. Alkuarvot y() = y () = Ottamalla yhtälöstä ja ratkaisemalla Y (s), saadaan Y = Q(s)F(s) missä Q(s) = 1 s 2 + 3s + 2 = 1 s s + 2 Täten ratkaisuksi saadaan y(t) = t q(t τ)f (τ)dτ q(t) = e t e 2t

69 Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen käyttäen konvoluutiota ESIMERKKI. Jatkoa Kun t < 1 niin f (t) = ja siten y(t) =. Kun 1 < t < 2, saamme y(t) = t Kun t > 2, saamme y(t) = q(t τ)f (τ)dτ = t = 1 2 e (t 1) e 2(t 1) t q(t τ)f (τ)dτ = (e (t τ) e 2(t τ) )dτ (e (t τ) e 2(t τ) )dτ = e (t 2) e (t 1) 1 2 e 2(t 2) e 2(t 1)

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä

Lisätiedot

Kompleksinen Laplace-muunnos

Kompleksinen Laplace-muunnos TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

järjestelmät Luento 8

järjestelmät Luento 8 DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot

Lisätiedot

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla 4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 7

Kompleksianalyysi, viikko 7 Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö

Differentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö Differentiaaliyhtälön ratkaisu ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio Systeemin ymmärtämisen ja hallinnan kannalta on olennaista tietää, miten

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit

Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit : Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit Janne Korvenpää Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Lokaali ja lineaarinen:

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot