Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Transkriptio

1 . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona n n lim lim n n n n + n + n Vastaus: 89. n + + (n) (n ) lim lim n n + n n + 9 n n n 9 n 9 lim lim lim lim n n n n n n n n n Vastaus: 5

2 9. n a) lim lim n n + n + n n+ b) lim lim( ) n n n n n+ ( ) n n c) lim lim[( ) ] lim[( ) ] n n n n ( n + ) n n + n + n Vastaus: a) b) c) 9. n n lim lim n n + n + n Vastaus:. Erilaisia raja-arvoja 9. lim lim lim lim ( ) lim lim lim + + Vastaus: ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. 8 a) lim 7 ( 7) 8 lim 7 ( 7) 8 lim + 7 ( 7) 5

3 5 b) lim ( + 6) 5 lim 6 ( + 6) 5 + lim 6 ( + 6) Vastaus: a) b) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. a) lim + lim ei raja-arvoa b) lim lg ei määritelty lim lg + c) lim ( sin ) lim ( sin ) + raja-arvo Vastaus: a) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja b) vasemmanpuoleista raja-arvoa ei ole c) lim lg, lim lim + + lim + sijoitus t, t, kun 5

4 t lim + t t e e Vastaus: e 96. sin 9 sin 9 lim lim sin9 lim sijoitetaan t 9, jolloin t, kun 6 9 sint lim t t Vastaus: 97. ln lim Koska lim(ln ) lim, voidaan käyttää l'hospitalin sääntöä ln lim lim lim Vastaus:. Sarjat 98. ( ) n n geometrinen sarja n+ ( ) q n ( ) suppenevuusehto 5

5 < < < < :( ) < < Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli on voimassa kaikilla Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < nollakohdat Koska kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli on suppenevuusehdon yhteenveto < <, S ( ) <, kun < < Vastaus: < <, ja 99. n e b e g + j n geometrinen sarja ( + ) n+ ( e ) ( + ) q e ( + ) n ( e ) suppenevuusehto ( ) < e + < Tarkastellaan funktiota f( ) e + ( + ) ( + ) derivaatta f '( ) e e derivaatan nollakohdat ( + ) ( + ) e e ( + ) e ( ) Kulkukaavio f () f () ( ) f () > f () < 55

6 ( + ) Funktion suurin arvo f() e, < e Joten suppenevuusehdon oikeapuoli toteutuu kaikilla. Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli e ( ) + ( ) + > e + > nollakohdat e ( ) e e + Koska funktio on aidosti kasvava, kun <, ei yhtälöllä ole muita juuria tällä välillä ja ( + ) koska lim e lim + e ei juuria ole myöskään välillä >. Ja suppenevuusehto on >. ( + ) e + S e ( + ) + e e + e Vastaus: > ja e +. geometrinen sarja cos cos cos cos cos sin sin q tan sin sin sin cos sin cos cos suppenevuusehto < tan < π π + nπ < < + nπ sin S tan 56

7 sin π cos + sin : cos, n tan sin sin + cos ( tan ) cos tan π + tan (tan ), + nπ tan tan tan tan tan + sijoitus t tan t + t ± ( ) t ± 5 t 5 t,6 ei käy t tan > + 5 t,6 sijoitus t tan + 5 tan,55 + nπ Vastaus:,55 + nπ. geometrinen sarja q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli 57

8 < < + < < nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > > nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > 58

9 S 5 [ ( )] + + ( ) ( ) ( ) ( ) S5 5 ( ) S5 S 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 ( ) Tarkastellaan nimittäjän funktiota f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tai ( ) ( 5 ) 5 f ( ) ( ) 59

10 Kulkukaavio f () f () 5 ( ) > f 6 f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio lauseke ( ) Virhe ( ) 8 8 f ( ) ( ) on aidosti kasvava, kun on vähenevä ja virheen suurin arvo saadaan arvolla. Vastaus: < tai > ja virhe on enintään. f () e sin '( ) f e cos e sin e cos e sin e (cos sin ) cos sin π + nπ Kulkukaavio 8 ja f () f () π ma 5π min 9π ma π min π f ( ) > π f ( ) < 6π f ( ) > π ( ) < ( ) > f f 5π 6

11 π Kulkukaaviosta nähdään, että peräkkäiset maksimikohdat ovat + nπ ja peräkkäiset 5π minimikohdat ovat + nπ maksimiarvot ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e minimiarvot ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e ( ) peräkkäisten maksimiarvojen suhde π [ + ( n+ ) π ] π e sin[ + ( n+ ) π ] q π ( + n π ) π e sin( + n π ) 9π sin[ + n π ] π e π sin( + n π ) π e Koska peräkkäisten termien suhde on vakio, on jono geometrinen. Vastaus: minimiarvot e 5π ( + n π ) ( ), maksimiarvot e π ( + n π ). Funktioiden jatkuvuus ja derivoituvuus. Osoitetaan, että funktio + + 5, kun f( ) on jatkuva kaikkialla. 9, kun 5, kun Funktio f( ) 9, kun Funktio on jatkuva, kun. Tutkitaan jatkuvuutta kohdassa. Funktion arvo f() 9 Suoritetaan jakolasku 6

12 5+ ± ± + ± Funktion raja-arvo 5+ ( ) ( + + ) lim f( ) lim lim Koska funktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kohdassa, on funktio jatkuva tässä kohdassa. Täten funktio on jatkuva kaikkialla.. a) Funktio + <, kun f( ), kun 6, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () lim f( + h) f( ) ( + h) + ( ) lim h h h h 6h 6h + h h(6 8 h+ h ) lim lim h h h h lim h h 6 f( + h) f( ) ( + h) ( + h) 5 lim h h + + h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa 6, kun < Derivaatta f () ei ole olemassa, kun, kun > 6

13 + 6, kun < b) Funktio f() 6 6, kun, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + 6 h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) 6 h lim lim lim + h + h + h h h h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa Derivaatta f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > Vastaus: a) f () < 6, kun ei ole olemassa, kun, kun > b) f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > +, kun < 5. Funktio f( ) a + b, kun Derivoituva funktio on jatkuva. Funktio on jatkuva, kun funktion arvo on sama kuin funktion raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + a+ b a+ b + a+ b Funktio on derivoituva, kun toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) f () lim lim h h h h h h 5h+ h h(5 + h) lim lim h h 5 6

14 f + () h h h f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) h( a+ ah) lim lim lim a + h + h + h Merkitsemällä toispuoleiset derivaatat kohdassa yhtä suuriksi saadaan a 5, josta a 5. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoon saadaan a + b a b b Vastaus: Vakiot ovat a 5 ja b. + +, kun < 6. Funktio f() +, kun Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdissa tai kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa. Välin päätepisteet f( ) ( ) ( ) f() Derivaatan nollakohdat +, kun < Derivaatta f (), kun > Derivaatan nollakohdat Kun > tai Ei käy Funktion arvo f() Kohdat, joissa derivaatta ei mahdollisesti ole olemassa f 8 7 Vastaus: Suurin arvo on ja pienin. 6

15 7. Osoitetaan, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f() < f() > Koska funktion arvot välin [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ ainakin yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () 5 + > Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() on korkeintaan yksi nollakohta. Kohdista ja seuraa, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. 8. a) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. b) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit + + Koska ja, kun, on vino + asymptootti y. + c) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla 9 + ± Koska + ja, kun, niin vino

16 asymptootti on y. + d) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit ± ( 5) Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± ± 6 ± ± Koska ja , niin vino asymptootti on y , kun Vastaus: Asymptootit ovat a) ja y b) ja y c), ja y d) 5, ja y Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± 66

17 Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. Funktio f( ), ± Funktion f( ) nollakohta f() ( ) Derivaatta f () f( ) ( ) ( ) Nollakohdat f () ( ) tai ± Kulkukaavio f () f () ma min Funktion f( ) maksimi ( ) f ( ) ( ) 8 Minimi ( ) f ( ) 8 ( ) Raja-arvot lim f( ) lim lim f( ) lim + + lim f( ) lim 67

18 lim f( ) lim + + Piirretään kuvaaja y Vastaus: Asymptootit ovat, ja y., kun <. Funktio f( ) +, kun + Koska f() lim f( ) + ja lim f( ) lim ( ), niin funktio on jatkuva kaikkialla. Funktion suurin ja pienin arvo välillä Jatkuva funktio saa suurimmen ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Välin päätepisteet f() () 8 f() + Derivaatan nollakohdat, kun < Derivaatta f () 8, kun > Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun < Kun > f () 8 ( 8) 68

19 tai 8 Ei käy Ei käy Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f() Funktion suurin arvo on ja pienin 8. Kulkukaavio f () f() min ma min Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä. Piirrä funktion kuvaaja. y Vastaus: Funktion suurin arvo on ja pienin Korkeammat derivaatat. Laske f ( ), f ( ) ja f ( ), kun f() 5 5. Funktio f() 5 5. derivaatta f () 5 Derivaatan arvo f ( ) 5 ( ) ( ) 5. derivaatta f () Derivaatan arvo f ( ) ( ). derivaatta f () 6 Derivaatan arvo f ( ) 6 ( ) 6 Vastaus: f ( ) 5, f ( ) ja f ( ) 6 69

20 . Ratkaise yhtälö f () ( ), kun f() + sin. Funktio f() + sin. derivaatta f () + cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () 8cos. derivaatta f () () 6sin Yhtälö f () ( ) 6sin :6 sin sin sin + n π tai π + n π n π π + n π, n π Yhdistämällä lausekkeet saadaan n, n π Vastaus: n, n. a) Funktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () 6 ( ) ( ) ( )! derivaatta f () () ( ) ( ) ( ) ( )! n:s derivaatta f (n) n n () ( ) n! b) Funktio f() cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () () cos 5. derivaatta f (5) () sin 6. derivaatta f (6) () cos 7. derivaatta f (7) () sin 8. derivaatta f (8) () cos 9. derivaatta f (9) () sin 7

21 sin, kun n k+ n:s derivaatta f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + c) Funktio f() e. derivaatta f () e. derivaatta f () e. derivaatta f () e n:s derivaatta f (n) () ( ) n e kun k,,, Vastaus: a) f (n) () ( )! n n n sin, kun n k+ b) f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + kun k,,, c) f (n) () ( ) n e. Käyrä y 5. derivaatta y () 9. derivaatta y () 8 Kuperuus a) y ( ) ( ) ( ) 8 ( ) < kupera ylöspäin b) y () 8 käännepiste c) y () 8 > kupera alaspäin Vastaus: a) kupera ylöspäin b) käännepiste c) kupera alaspäin 5. a) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y () + 9 () 8 () 8 7

22 Käännepiste on (, 8). b) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () : ( 5) ± ( 5) Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Käännepisteet ovat (, 68) ja (,). Vastaus: Käännepisteet ovat a) (,8) b) (, 68) ja (,). 6. Määritetään funktion paikalliset ääriarvokohdat. a) Funktio f() ( ) 9. derivaatta f () ( ) ( ). derivaatan nollakohdat f () 9 ( 9) tai 9 ± ( 8 )( ) ( 9 ) ( ). derivaatta f () ( ) 7

23 ( ) [( 8 )( ) ( 9 )] ( ) derivaatan arvot. derivaatan nollakohdissa 6() + 5() f ( ) 5 ( ) maksimikohta f () 5 minimikohta f () Koska f () <, kun < <, Funktio on aidosti vähenevä, kun < < ja funktiolla ei ole käännepistettä kohdassa. b) Funktio g() 7. derivaatta g () 7 6. derivaatan nollakohdat g () 7 6 : derivaatta g () 5. derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa g () 5 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio g () g() Funktiolla g ei ole ääriarvokohtia. c) Funktio h() 8. derivaatta h () 8 7. derivaatan nollakohdat h () 8 7 :

24 . derivaatta h () derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa h () 56 7 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio h () h() min Funktiolla on minimikohta, kun. Vastaus: a) Maksimikohta on ja minimikohta. b) Ääriarvokohtia ei ole. c) Minimikohta on. 6. Analyysin peruslause 7. Käyrän y ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Osavälin pituus Δ 5 5 a) Koska funktion y derivaatta y (), on funktio aidosti kasvava ja osavälin pienin korkeus saadaan alarajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. Funktion Osaväli Osavälin alaraja arvo alarajalla Osavälin ala,,,,,8,6,,6,,6,8,6,8,6,6,,8,,8,5, Ala,6 b) Koska funktio aidosti kasvava ja osavälin suurin korkeus saadaan ylärajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. 7

25 Osaväli Osavälin yläraja Funktion arvo ylärajalla Osavälin ala,,,8,6,,,,6,8,,6,6,6,,6,8,8,5,,8,, Ala,6 Vastaus: Ala on a),6 b),6 8. Käyrän y + ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Jaetaan väli [,] n:ään yhtä leveään osaväliin. Osavälin pituus Δ n n Osaväli Muuttujan arvo välin alarajalla Muuttujan arvo välin ylärajalla n n n i i ( i ) n n n n i i n n a) Koska funktion f() + derivaatta f () on ei-negatiivinen, funktio f() + on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin pienin arvo saadaan välin alarajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin alarajoja. i i i + n Suorakulmion korkeus osavälin alarajalla f + n n n i i n i n Osavälin pinta-ala f + + Δ n n n n Koko alueen ala 75

26 n n n i i + n i sn f Δ + i n i n i n n n n n n n nn ( + ) i + Taulukkokirjasta i n n n i i i i nn ( + ) n+ n n n n nn ( + ) + n n n + n + +, kun n n n b) Funktio on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin suurin arvo saadaan välin ylärajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin ylärajoja. i i i+ n Suorakulmion korkeus osavälin ylärajalla f + n n n i i+ n i+ n Osavälin pinta-ala f Δ n n n n Koko alueen ala n n n i i+ n i Sn f Δ + i n i n i n n n n n nn ( + ) i Taulukkokirjasta i + n n i i i nn ( + ) + n n n nn ( + ) + n n + n + +, kun n n Vastaus: Alueen raja-arvo on sekä osavälin suurimman että pienimmän arvon perusteella laskettuna. 9. a) Funktio f( ) (sint + sin t) dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F () d() sin + sin 76

27 b) Funktio ( ) + ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) sin + + sin b). a) Funktio f ( ) ( t + ) dt F( ) F( ) +. Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) F () d() d() ( + ) ( + ) 5 + b) Funktio ( ) ( + ) ( ) ( ) f t t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) [ F ( )] d( ) + d( ) ( 9 + ) + [( ) + ( )] ( 8 ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) 5 + b) Funktio ( ) ( 8) ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() eräs integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) ( 8) Derivaatan nollakohdat f () ( 8) tai 8 tai ± Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat, ja.. Ratkaistaan yhtälö f () e, kun t Funktio f ( ) e dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio t f ( ) e dt. 77

28 Derivaatta f () F () d() Yhtälön ratkaisu f () e e e : e e Kantaluvut samat, eksponentit samat : ± ( ) e e Vastaus: Yhtälön ratkaisu on ±. +. d 5+ 6 Käytetään osamurtoihinjakoa. Nimittäjän tekijöihinjako 5+ 6 ( 5) ± ( 5) 6 5± Osamurtoihin jako ) ) + A B A A + B B 5+ 6 ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B A+ B + A B 5 Lasketaan A sijoittamalla B 78

29 Integroiminen A + B A + 5 A + 5 d + d ln + 5ln + C 5+ 6 Vastaus: ln + 5ln + C. d Suoritetaan jakolasku jakokulmassa d d ± Käytetään osamurtoihin jakoa jälkimmäiseen yhteenlaskettavaan. Nimittäjän tekijöihin jako ( ) ( )( + ) tai tai Osamurtoihin jako ) + ) ) A B C ( A+ B+ C) + ( BC) A ( )( + ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B+ C B C A B C B + C B B 79

30 Saadaan A, B, C Integraali d d [ ( + )] d + ( + ) d + ln + ln + + C Vastaus: ln + ln + + C 5. d ( ) Käytetään osamurtoihin jakoa ( ) ) ) ) A B C + + ( ) ( ) ( A + B ) + ( A B+ C ) + A ( ) ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B + C A Alimmasta yhtälöstä saadaan A, sijoitetaan tämä kahteen ylempään yhtälöön. Saadaan A, B, C Integraali ( ) ln ln ( ) d + ( ) d + C Vastaus: ln ln + C 8

31 6. a) cos d sin + C b) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) sin Integrointi cos d sin cos ( sin ) d + C sin cos Ratkaistaan yhtälöstä d + d+ C cos sin cos ( cos ) cos d sin cos + cos d+ C cos d cos d sin cos + cos d + C cos sin cos d + + C cos d sin cos + + C c) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) ( sin )cos sin cos Integrointi cos d sin cos ( cos sin ) d+ C d C sin cos + cos (sin ) + sin cos + sin + C Vastaus: a) sin + C b) cos d sin cos + + C c) cos d sin cos + sin + C 7. e e ln d Käytetään osittaisintegrointia Integrointi 8

32 e e e e e e ln d / ( ln ) d / ( ln ) / ( e ln e e ln e) ( e e ) e e e e e e Vastaus: e e 8. y y e Pinta-ala A e d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) e g( ) f ( ) e g'( ) Integrointi /( e) /( e e) A e / e e teht. 6 perusteella e d /( e e ) ( e e ) [ ee( e e )] e Vastaus: e 8

33 8. Epäoleellinen integraali ja jatkuvat jakaumat 9. Epäoleellinen integraali + a a a / ln [ ln( ) ln ], kun + +, kun a d d d + a + a Vastaus: Integraali hajaantuu.. y y Pinta-ala 5 A 5 d on epäoleellinen integraali a d d / ( 5 a ) 5, kun a a a + Pinta-ala 5 A d 5 Vastaus: 5 8

34 . Epäoleellinen integraali e ln d lim ln d ln d ln + C + a a lim[/( ln )] + a a eln ee[ lim ( aln aa)] + a e e + a ln a lim + lim a l'hospital + + a a a lim a + + a a lim ( a) Vastaus:, kun <. a) Funktio f( ) asin, kun π, kun > π tiheysfunktio, jos f( ), kun ja f ( d ). asin π, joten sin a π f( ) d d + asin d + d π asin d π a/cos a(cosπ cos ) a a π on satunnaismuuttujan X 8

35 b) Kertymäfunktio F( ) f( t) dt Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun π kertymäfunktio on sin tdt / cos t (cos cos ) cos + Kun π, kertymäfunktion arvo on, koska tiheysfunktion ja -akselin rajaaman alueen pinta-ala on, kun π. Tiheysfunktio, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π c) Odotusarvo EX ( ) f( d ) d+ sin d+ d sin d π Käytetään osittaisintegrointia f '( ) sin g( ) f( ) cos g'( ) π π π EX ( ) sin d / cos+ cosd Odotusarvo π π / cos + /sin ( π cosπ cos ) + (sinπ sin ) π d) Todennäköisyys π π π PX ( ) F( ) cos + Vastaus: a) c) odotusarvo π a b) kertymäfunktio d),5 π, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π π 85

36 . Tiheysfunktio f ( d ). a, kun f( ), kun f( ), kun ja, muulloin a a a d f( ) d d + asin d + d a / [ ( ) a ] a a Odotusarvo 8 EX ( ) μ f( d ) d+ d+ d / [ ( ) ] Keskihajonta DX ( ) [( μ) f( d ) ] d+ ( ) d+ d / [ ( ) ],6,77 Vastaus: Keskihajonta on,77 86

37 Harjoituskoe. + n + n a) lim lim n n n 6n 9 n n b) lim( n n n + n) lim n n lim n lim n lim n lim n ( n n n + n)( n n + n + n) n n n + n n n n n n n n n n n + n + n ( ) + + n + + n n n n + + n n n n + + n n Vastaus: a) 6 b). f() f() f() () () + () + 6 Joten funktiolla on vähintään yksi nollakohta välillä [,]. f '() + + () ± () ± 6 ei juuria Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa vain positiivisia arvoja ja f() on aidosti kasvava. Joten funktiolla f() on tasan nollakohta. 87

38 . a) e d Osittaisintegrointi b b a f '( gd ) ( ) /[ f( g ) ( )] f( g ) '( d ) f '( ) e g( ) a f e g ( ) '( ) e d e d /( e ) ( e ) d ( e ) ( e ) d e ( e e ) e + b a b) 6+ d ( ) Suoritetaan ensin osamurtoihin jako ( ) ) ( )) 6+ A B C + + ( ) ( ) ( ) 6+ A A+ A+ B B+ C ( ) ( )( )( ) 6+ A + ( A+ B) + A B+ C ( ) ( )( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A sijoitetaan alempiin A + B 6 A B + C 88

39 + B 6 B + C B C B C 5 Integrointi 6+ 5 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 ln + ( ) + ( ) + C 5 ln C ( ) d d d Vastaus: a) 5 + C + ( ) + e + b) ln q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < + < < nollakohdat 89

40 merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > + > nollakohdat + merkkikaavio + + merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > S Vastaus: < tai > ja y 6 5 S() 5 6 9

41 5.,t X e dt P( ), b,t lim(, e dt) b b,t lim[ / ( e )] b,b, e e b, b lim[ (( e ) e )] b lim[ ( )] e,68 6. Olkoon F funktion g(t) t integraalifunktio. Esitetään funktio f() integraalifunktion F() avulla. f ( ) t dt / t ( ) 9 Derivaatta f () 7 Tangentin kulmakerroin kohdassa f () 7 7 Sivuamispiste f () 9 9 sivuamispiste (,9) Tangentin yhtälö y 9 7( ) y 78 Vastaus: y f( ) + Määrittelyjoukko >. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat ei-negatiivisia kaikilla, on funktion pienin arvo on kohdassa. lim + 9

42 lim lim lim Joten funktion arvot kasvavat rajatta, kun lähestyy lukua tai :n kasvaessa rajatta. Derivaatta f( ) ( + ) + ( + ) + f '( ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + Derivaatan nollakohdat + (+ ) tai ei käy > Kulkukaavio f () f () min f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on vähenevä, kun ja kasvava, kun ja funktion ainoa ääriarvo on minimi, kohdassa. Vastaus: pienin arvo ja suurinta ei ole y y

43 8. ( ), kun < f(), kun, kun <, kun Derivaatta, kun, kun < f (), kun > Kun käytetään derivaatan määritelmää ja toispuoleisia derivaattoja. Vasemmanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( ) lim, f() h h f( + h) f() f '() lim h h h ( ) lim h h lim ( h) h Oikeanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( + ) lim, f() h h f( + h) f() f '() + lim h h h lim h h lim h h Koska f ' () f ' (), niin funktiolla on derivaatta kohdassa. + Vastaus: Derivaatta on f (), kun <, kun >., kun 9

44 Harjoituskoe 5. Funktio f() derivaatta f () + +. derivaatta f () derivaatta f () Yhtälö f () :6 + ± ( ) Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat 5 ja.. Lasketaan raja-arvot. ) tan sin sin a) lim lim lim cos cos n n n n b) lim lim lim e n n n n n n e Vastaus: Raja-arvot ovat a) b) e.. Integroidaan funktiot. a) Funktio f() e Integraali e d f () e g() f() e d e g () Osittaisintegrointi f '( gd ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) '( d ) e d e e d e + e d e + e + C b) Funktio f() + Nimittäjän nollakohdat 9

45 + ( ) ( ) ± + Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ BB Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari A+ B A B Alemmasta yhtälöstä saadaan B A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. A A A Vakio B A Integrointi d d + d d + d ln + ln + C + Vastaus: a) e + e + C b) ln + ln + C. Osoitetaan, että funktiolla f() e + 5 on ainakin yksi nollakohta. Funktio f() e + 5 on jatkuva. f() e > f( ) e ( ) + 5 e,9 < Koska funktio on jatkuva ja sen arvot kohdissa ja ovat erimerkkiset, funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä < <. d 5. Lasketaan määrätty integraali. Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ B + ( ) Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari 95

46 A+ B A Alemmasta yhtälöstä saadaan A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. + B B Integrointi a a d d a lim lim d lim /( ln ln ) a + + a a a a a lim / ln lim ln ln lim ln ln a a a a a lim ln a ln ln ln ln ln a Vastaus: Integraalin arvo on ln 6. Tiheysfunktio f() a + b välillä ; muualla f() Funktio on jatkuvan jakauman tiheysfunktio, kun f() kaikilla a + b, joten a ja b f ( d ) 9 9 ( ) ( + ) / f d a b d a b a b a b Saadaan yhtälö 9 a+ b Odotusarvo E(X) ( ) ( + ) ( + ) f d a b d a b d 9 9 / a + b 9a+ b 9a+ b 9 Odotusarvo on E(X) eli 9a+ b Saadaan yhtälöpari 9 a+ b 9 9a b + Alemmasta yhtälöstä saadaan 96

47 9 9a+ b 9 9 b 9 a : b a 9 Sijoitetaan ylempään yhtälöön 9 a+ a 9 9 a+ 6 a a 9 Vakio b a Jakauman varianssi D (X) f ( ) ( E( X) ) d + ( ) d + ( + ) d d + + d / Jakauman keskihajonta D(X) D( X ) Vastaus: Vakiot ovat a ja b 9. Keskihajonta on Funktio f(), ± Funktion nollakohdat f() + + Ei nollakohtia ( ) ( + ) Derivaatta f () ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f () 97

48 Kulkukaavio ( ) f () f () Funktion f() ma + + maksimi f() Pystysuoraa asymptootti ± Vino asymptootti saadaan jakolaskulla + ± Koska +, ja 5, kun niin vino asymptootti on y. Raja-arvot äärettömyydessä + + lim lim + + lim lim Piirretään kuvaaja. 98

49 y Geometrinen sarja Ensimmäinen termi a Toinen termi a a Termien suhde a Sarja suppenee, kun < q < < < > ja < > ja < Epäyhtälön > ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio 99

50 Epäyhtälö >, kun < tai >. Epäyhtälön < ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio Epäyhtälö <, kun < tai >. Sarja suppenee, kun < tai >. a Sarjan summa S q Viiden ensimmäisen termin summa a ( q ) ( ) ( ) S 5 5 q ( ) ( ) ( ) Virhe ) ( ) ) S5 S + ( ) ( ) ( ) ( ) Suurin virhe, kun. Jakolasku on suurimmillaan, kun jakaja on pienimmillään. S 5 S ( ) ( ) Vastaus: Sarja suppenee, kun < tai >. Suurin virhe on 8.

51 Harjoituskoe. a) Epätosi, sillä geometrisen sarjan summan kaavaa, voidaan käyttää vain, jos suhdeluku q täyttää ehdon q <. π + π + n b) Tosi. Koska lim an lim lim n, niin lukujono suppenee. n n n n π + π + n c) Epätosi, koska lim an lim lim n `. n n n n Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Epätosi n. Raja-arvo lim an lim lim n n n+ n n + n Poikkeaminen raja-arvosta 9 < n n+ n a n n n+ n < n < n+ n 9 n + ( ) n > Nollakohdat 9 n + ( ) n Merkkikaavio 9 < n > 9 9 nn+ 9 ( ) n n 9 tai n Merkkikaavion perusteella 9 n > Vastaus: Raja-arvo on. Lähtien arvosta n

52 . Integraali d Osamurtoihin jako + ) ) A B + + ( A + B ) + ( AB) ( )( + ) Yhtälöpari A+ B A B A A Saadaan A, B Integrointi d d (ln ln + ) + C ln + C + + Vastaus: ln + C +, <. Tiheysfunktio f( ), Kertymäfunktio Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun kertymäfunktio on dt / ( ) t t, kun < Kertymäfunktio F( ), kun, kun < Vastaus: F( ), kun

53 5. Funktio g( ) f( ) on jatkuva kahden jatkuvan funktion erotuksena. g() f() 6 > ja g() f() < Jos jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, niin funktiolla on ainakin yksi nollakohta vastaavalla avoimella välillä. Kohtien ja perusteella funktiolla g() on ainakin yksi nollakohta, kun ], [ 6. Funktio f( ) Funktio on määritelty, kun eli kun ± Funktion nollakohdat f( ) Funktio on rationaalifunktiona jatkuva ja derivoituva, kun ±. Derivaatta ( ) ( ) f '( ), ± ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f '( ) Funktion kulku ja ääriarvot Kulkukaavio f '( ) ( ) f () f '( ) < f '(,5) < f () f '(,5) > min f '() >. Funktio on aidosti vähenevä, kun < ja <. Funktio on aidosti kasvava, kun < ja >. Kulkukaavion perusteella funktiolla on minimi kohdassa, minimiarvo f (). Asymptootit Pystysuorat asymptootit saadaan nimittäjän nollakohdista, eli ja. Muut saadaan jakolaskun avulla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa f( )

54 + ± ± f( ) + Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin lähenee nollaa, joten y on asymptootti. Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen, näin myös on negatiivinen. Täten funktion f( ) + arvot lähenevät asymptoottia y alapuolelta. Tarkastellaan funktion käyttäytymistä pystysuorien asymptoottien läheisyydessä. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Lasketaan funktion arvoja y,5,,5,8,8,778,,9,,9,8,778,5,8,5 y 5 5 5

55 7. y y ln Lasketaan käyrän y ln ja -akselin leikkauspiste. ln Käyrä y ln kulkee -akselin alapuolella, kun <. Pinta-ala A ln d Kyseessä on epäoleellinen, alaraja on epäoleellinen A ln d lim ( ln d) + a a lim(/ ln ) lim[ln ( aln aa)] + a a + a + lim ( aln a) lim a + lim ( aln a) a a a Tarkastellaan raja-arvoa ln a ln( ) ln lim ( aln a). Käytetään logaritmin laskukaavaa + a a a a ln lim ( aln a) lim a lim a lim a a a a a a a l'hospital Kysytty pinta-ala A ln d + lim ( aln a) Vastaus: + a 5

56 8. Kaikki tasasivuiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Mittakaava k on vastin sivujen suhde. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Mittakaava k k ± k > k Olkoon ensimmäisen kolmion kanta a. Tällöin. kolmion kanta on a ja. kolmion a ( ) a. Edellinen mitta kerrotaan aina suhdeluvulla. Kantojen muodostaman janan pituus l a+ a+ ( ) a+... Kyseessä on suppeneva geometrinen sarja, sillä q <. Summa saadaan kaavalla a S q a a Janan pituus l a+ a+ ( ) a+... on äärellinen, koska a on äärellinen. 6