Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:"

Transkriptio

1 . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona n n lim lim n n n n + n + n Vastaus: 89. n + + (n) (n ) lim lim n n + n n + 9 n n n 9 n 9 lim lim lim lim n n n n n n n n n Vastaus: 5

2 9. n a) lim lim n n + n + n n+ b) lim lim( ) n n n n n+ ( ) n n c) lim lim[( ) ] lim[( ) ] n n n n ( n + ) n n + n + n Vastaus: a) b) c) 9. n n lim lim n n + n + n Vastaus:. Erilaisia raja-arvoja 9. lim lim lim lim ( ) lim lim lim + + Vastaus: ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. 8 a) lim 7 ( 7) 8 lim 7 ( 7) 8 lim + 7 ( 7) 5

3 5 b) lim ( + 6) 5 lim 6 ( + 6) 5 + lim 6 ( + 6) Vastaus: a) b) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. a) lim + lim ei raja-arvoa b) lim lg ei määritelty lim lg + c) lim ( sin ) lim ( sin ) + raja-arvo Vastaus: a) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja b) vasemmanpuoleista raja-arvoa ei ole c) lim lg, lim lim + + lim + sijoitus t, t, kun 5

4 t lim + t t e e Vastaus: e 96. sin 9 sin 9 lim lim sin9 lim sijoitetaan t 9, jolloin t, kun 6 9 sint lim t t Vastaus: 97. ln lim Koska lim(ln ) lim, voidaan käyttää l'hospitalin sääntöä ln lim lim lim Vastaus:. Sarjat 98. ( ) n n geometrinen sarja n+ ( ) q n ( ) suppenevuusehto 5

5 < < < < :( ) < < Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli on voimassa kaikilla Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < nollakohdat Koska kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli on suppenevuusehdon yhteenveto < <, S ( ) <, kun < < Vastaus: < <, ja 99. n e b e g + j n geometrinen sarja ( + ) n+ ( e ) ( + ) q e ( + ) n ( e ) suppenevuusehto ( ) < e + < Tarkastellaan funktiota f( ) e + ( + ) ( + ) derivaatta f '( ) e e derivaatan nollakohdat ( + ) ( + ) e e ( + ) e ( ) Kulkukaavio f () f () ( ) f () > f () < 55

6 ( + ) Funktion suurin arvo f() e, < e Joten suppenevuusehdon oikeapuoli toteutuu kaikilla. Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli e ( ) + ( ) + > e + > nollakohdat e ( ) e e + Koska funktio on aidosti kasvava, kun <, ei yhtälöllä ole muita juuria tällä välillä ja ( + ) koska lim e lim + e ei juuria ole myöskään välillä >. Ja suppenevuusehto on >. ( + ) e + S e ( + ) + e e + e Vastaus: > ja e +. geometrinen sarja cos cos cos cos cos sin sin q tan sin sin sin cos sin cos cos suppenevuusehto < tan < π π + nπ < < + nπ sin S tan 56

7 sin π cos + sin : cos, n tan sin sin + cos ( tan ) cos tan π + tan (tan ), + nπ tan tan tan tan tan + sijoitus t tan t + t ± ( ) t ± 5 t 5 t,6 ei käy t tan > + 5 t,6 sijoitus t tan + 5 tan,55 + nπ Vastaus:,55 + nπ. geometrinen sarja q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli 57

8 < < + < < nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > > nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > 58

9 S 5 [ ( )] + + ( ) ( ) ( ) ( ) S5 5 ( ) S5 S 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 ( ) Tarkastellaan nimittäjän funktiota f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tai ( ) ( 5 ) 5 f ( ) ( ) 59

10 Kulkukaavio f () f () 5 ( ) > f 6 f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio lauseke ( ) Virhe ( ) 8 8 f ( ) ( ) on aidosti kasvava, kun on vähenevä ja virheen suurin arvo saadaan arvolla. Vastaus: < tai > ja virhe on enintään. f () e sin '( ) f e cos e sin e cos e sin e (cos sin ) cos sin π + nπ Kulkukaavio 8 ja f () f () π ma 5π min 9π ma π min π f ( ) > π f ( ) < 6π f ( ) > π ( ) < ( ) > f f 5π 6

11 π Kulkukaaviosta nähdään, että peräkkäiset maksimikohdat ovat + nπ ja peräkkäiset 5π minimikohdat ovat + nπ maksimiarvot ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e minimiarvot ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e ( ) peräkkäisten maksimiarvojen suhde π [ + ( n+ ) π ] π e sin[ + ( n+ ) π ] q π ( + n π ) π e sin( + n π ) 9π sin[ + n π ] π e π sin( + n π ) π e Koska peräkkäisten termien suhde on vakio, on jono geometrinen. Vastaus: minimiarvot e 5π ( + n π ) ( ), maksimiarvot e π ( + n π ). Funktioiden jatkuvuus ja derivoituvuus. Osoitetaan, että funktio + + 5, kun f( ) on jatkuva kaikkialla. 9, kun 5, kun Funktio f( ) 9, kun Funktio on jatkuva, kun. Tutkitaan jatkuvuutta kohdassa. Funktion arvo f() 9 Suoritetaan jakolasku 6

12 5+ ± ± + ± Funktion raja-arvo 5+ ( ) ( + + ) lim f( ) lim lim Koska funktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kohdassa, on funktio jatkuva tässä kohdassa. Täten funktio on jatkuva kaikkialla.. a) Funktio + <, kun f( ), kun 6, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () lim f( + h) f( ) ( + h) + ( ) lim h h h h 6h 6h + h h(6 8 h+ h ) lim lim h h h h lim h h 6 f( + h) f( ) ( + h) ( + h) 5 lim h h + + h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa 6, kun < Derivaatta f () ei ole olemassa, kun, kun > 6

13 + 6, kun < b) Funktio f() 6 6, kun, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + 6 h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) 6 h lim lim lim + h + h + h h h h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa Derivaatta f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > Vastaus: a) f () < 6, kun ei ole olemassa, kun, kun > b) f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > +, kun < 5. Funktio f( ) a + b, kun Derivoituva funktio on jatkuva. Funktio on jatkuva, kun funktion arvo on sama kuin funktion raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + a+ b a+ b + a+ b Funktio on derivoituva, kun toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) f () lim lim h h h h h h 5h+ h h(5 + h) lim lim h h 5 6

14 f + () h h h f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) h( a+ ah) lim lim lim a + h + h + h Merkitsemällä toispuoleiset derivaatat kohdassa yhtä suuriksi saadaan a 5, josta a 5. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoon saadaan a + b a b b Vastaus: Vakiot ovat a 5 ja b. + +, kun < 6. Funktio f() +, kun Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdissa tai kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa. Välin päätepisteet f( ) ( ) ( ) f() Derivaatan nollakohdat +, kun < Derivaatta f (), kun > Derivaatan nollakohdat Kun > tai Ei käy Funktion arvo f() Kohdat, joissa derivaatta ei mahdollisesti ole olemassa f 8 7 Vastaus: Suurin arvo on ja pienin. 6

15 7. Osoitetaan, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f() < f() > Koska funktion arvot välin [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ ainakin yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () 5 + > Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() on korkeintaan yksi nollakohta. Kohdista ja seuraa, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. 8. a) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. b) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit + + Koska ja, kun, on vino + asymptootti y. + c) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla 9 + ± Koska + ja, kun, niin vino

16 asymptootti on y. + d) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit ± ( 5) Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± ± 6 ± ± Koska ja , niin vino asymptootti on y , kun Vastaus: Asymptootit ovat a) ja y b) ja y c), ja y d) 5, ja y Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± 66

17 Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. Funktio f( ), ± Funktion f( ) nollakohta f() ( ) Derivaatta f () f( ) ( ) ( ) Nollakohdat f () ( ) tai ± Kulkukaavio f () f () ma min Funktion f( ) maksimi ( ) f ( ) ( ) 8 Minimi ( ) f ( ) 8 ( ) Raja-arvot lim f( ) lim lim f( ) lim + + lim f( ) lim 67

18 lim f( ) lim + + Piirretään kuvaaja y Vastaus: Asymptootit ovat, ja y., kun <. Funktio f( ) +, kun + Koska f() lim f( ) + ja lim f( ) lim ( ), niin funktio on jatkuva kaikkialla. Funktion suurin ja pienin arvo välillä Jatkuva funktio saa suurimmen ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Välin päätepisteet f() () 8 f() + Derivaatan nollakohdat, kun < Derivaatta f () 8, kun > Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun < Kun > f () 8 ( 8) 68

19 tai 8 Ei käy Ei käy Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f() Funktion suurin arvo on ja pienin 8. Kulkukaavio f () f() min ma min Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä. Piirrä funktion kuvaaja. y Vastaus: Funktion suurin arvo on ja pienin Korkeammat derivaatat. Laske f ( ), f ( ) ja f ( ), kun f() 5 5. Funktio f() 5 5. derivaatta f () 5 Derivaatan arvo f ( ) 5 ( ) ( ) 5. derivaatta f () Derivaatan arvo f ( ) ( ). derivaatta f () 6 Derivaatan arvo f ( ) 6 ( ) 6 Vastaus: f ( ) 5, f ( ) ja f ( ) 6 69

20 . Ratkaise yhtälö f () ( ), kun f() + sin. Funktio f() + sin. derivaatta f () + cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () 8cos. derivaatta f () () 6sin Yhtälö f () ( ) 6sin :6 sin sin sin + n π tai π + n π n π π + n π, n π Yhdistämällä lausekkeet saadaan n, n π Vastaus: n, n. a) Funktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () 6 ( ) ( ) ( )! derivaatta f () () ( ) ( ) ( ) ( )! n:s derivaatta f (n) n n () ( ) n! b) Funktio f() cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () () cos 5. derivaatta f (5) () sin 6. derivaatta f (6) () cos 7. derivaatta f (7) () sin 8. derivaatta f (8) () cos 9. derivaatta f (9) () sin 7

21 sin, kun n k+ n:s derivaatta f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + c) Funktio f() e. derivaatta f () e. derivaatta f () e. derivaatta f () e n:s derivaatta f (n) () ( ) n e kun k,,, Vastaus: a) f (n) () ( )! n n n sin, kun n k+ b) f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + kun k,,, c) f (n) () ( ) n e. Käyrä y 5. derivaatta y () 9. derivaatta y () 8 Kuperuus a) y ( ) ( ) ( ) 8 ( ) < kupera ylöspäin b) y () 8 käännepiste c) y () 8 > kupera alaspäin Vastaus: a) kupera ylöspäin b) käännepiste c) kupera alaspäin 5. a) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y () + 9 () 8 () 8 7

22 Käännepiste on (, 8). b) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () : ( 5) ± ( 5) Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Käännepisteet ovat (, 68) ja (,). Vastaus: Käännepisteet ovat a) (,8) b) (, 68) ja (,). 6. Määritetään funktion paikalliset ääriarvokohdat. a) Funktio f() ( ) 9. derivaatta f () ( ) ( ). derivaatan nollakohdat f () 9 ( 9) tai 9 ± ( 8 )( ) ( 9 ) ( ). derivaatta f () ( ) 7

23 ( ) [( 8 )( ) ( 9 )] ( ) derivaatan arvot. derivaatan nollakohdissa 6() + 5() f ( ) 5 ( ) maksimikohta f () 5 minimikohta f () Koska f () <, kun < <, Funktio on aidosti vähenevä, kun < < ja funktiolla ei ole käännepistettä kohdassa. b) Funktio g() 7. derivaatta g () 7 6. derivaatan nollakohdat g () 7 6 : derivaatta g () 5. derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa g () 5 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio g () g() Funktiolla g ei ole ääriarvokohtia. c) Funktio h() 8. derivaatta h () 8 7. derivaatan nollakohdat h () 8 7 :

24 . derivaatta h () derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa h () 56 7 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio h () h() min Funktiolla on minimikohta, kun. Vastaus: a) Maksimikohta on ja minimikohta. b) Ääriarvokohtia ei ole. c) Minimikohta on. 6. Analyysin peruslause 7. Käyrän y ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Osavälin pituus Δ 5 5 a) Koska funktion y derivaatta y (), on funktio aidosti kasvava ja osavälin pienin korkeus saadaan alarajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. Funktion Osaväli Osavälin alaraja arvo alarajalla Osavälin ala,,,,,8,6,,6,,6,8,6,8,6,6,,8,,8,5, Ala,6 b) Koska funktio aidosti kasvava ja osavälin suurin korkeus saadaan ylärajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. 7

25 Osaväli Osavälin yläraja Funktion arvo ylärajalla Osavälin ala,,,8,6,,,,6,8,,6,6,6,,6,8,8,5,,8,, Ala,6 Vastaus: Ala on a),6 b),6 8. Käyrän y + ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Jaetaan väli [,] n:ään yhtä leveään osaväliin. Osavälin pituus Δ n n Osaväli Muuttujan arvo välin alarajalla Muuttujan arvo välin ylärajalla n n n i i ( i ) n n n n i i n n a) Koska funktion f() + derivaatta f () on ei-negatiivinen, funktio f() + on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin pienin arvo saadaan välin alarajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin alarajoja. i i i + n Suorakulmion korkeus osavälin alarajalla f + n n n i i n i n Osavälin pinta-ala f + + Δ n n n n Koko alueen ala 75

26 n n n i i + n i sn f Δ + i n i n i n n n n n n n nn ( + ) i + Taulukkokirjasta i n n n i i i i nn ( + ) n+ n n n n nn ( + ) + n n n + n + +, kun n n n b) Funktio on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin suurin arvo saadaan välin ylärajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin ylärajoja. i i i+ n Suorakulmion korkeus osavälin ylärajalla f + n n n i i+ n i+ n Osavälin pinta-ala f Δ n n n n Koko alueen ala n n n i i+ n i Sn f Δ + i n i n i n n n n n nn ( + ) i Taulukkokirjasta i + n n i i i nn ( + ) + n n n nn ( + ) + n n + n + +, kun n n Vastaus: Alueen raja-arvo on sekä osavälin suurimman että pienimmän arvon perusteella laskettuna. 9. a) Funktio f( ) (sint + sin t) dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F () d() sin + sin 76

27 b) Funktio ( ) + ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) sin + + sin b). a) Funktio f ( ) ( t + ) dt F( ) F( ) +. Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) F () d() d() ( + ) ( + ) 5 + b) Funktio ( ) ( + ) ( ) ( ) f t t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) [ F ( )] d( ) + d( ) ( 9 + ) + [( ) + ( )] ( 8 ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) 5 + b) Funktio ( ) ( 8) ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() eräs integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) ( 8) Derivaatan nollakohdat f () ( 8) tai 8 tai ± Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat, ja.. Ratkaistaan yhtälö f () e, kun t Funktio f ( ) e dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio t f ( ) e dt. 77

28 Derivaatta f () F () d() Yhtälön ratkaisu f () e e e : e e Kantaluvut samat, eksponentit samat : ± ( ) e e Vastaus: Yhtälön ratkaisu on ±. +. d 5+ 6 Käytetään osamurtoihinjakoa. Nimittäjän tekijöihinjako 5+ 6 ( 5) ± ( 5) 6 5± Osamurtoihin jako ) ) + A B A A + B B 5+ 6 ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B A+ B + A B 5 Lasketaan A sijoittamalla B 78

29 Integroiminen A + B A + 5 A + 5 d + d ln + 5ln + C 5+ 6 Vastaus: ln + 5ln + C. d Suoritetaan jakolasku jakokulmassa d d ± Käytetään osamurtoihin jakoa jälkimmäiseen yhteenlaskettavaan. Nimittäjän tekijöihin jako ( ) ( )( + ) tai tai Osamurtoihin jako ) + ) ) A B C ( A+ B+ C) + ( BC) A ( )( + ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B+ C B C A B C B + C B B 79

30 Saadaan A, B, C Integraali d d [ ( + )] d + ( + ) d + ln + ln + + C Vastaus: ln + ln + + C 5. d ( ) Käytetään osamurtoihin jakoa ( ) ) ) ) A B C + + ( ) ( ) ( A + B ) + ( A B+ C ) + A ( ) ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B + C A Alimmasta yhtälöstä saadaan A, sijoitetaan tämä kahteen ylempään yhtälöön. Saadaan A, B, C Integraali ( ) ln ln ( ) d + ( ) d + C Vastaus: ln ln + C 8

31 6. a) cos d sin + C b) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) sin Integrointi cos d sin cos ( sin ) d + C sin cos Ratkaistaan yhtälöstä d + d+ C cos sin cos ( cos ) cos d sin cos + cos d+ C cos d cos d sin cos + cos d + C cos sin cos d + + C cos d sin cos + + C c) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) ( sin )cos sin cos Integrointi cos d sin cos ( cos sin ) d+ C d C sin cos + cos (sin ) + sin cos + sin + C Vastaus: a) sin + C b) cos d sin cos + + C c) cos d sin cos + sin + C 7. e e ln d Käytetään osittaisintegrointia Integrointi 8

32 e e e e e e ln d / ( ln ) d / ( ln ) / ( e ln e e ln e) ( e e ) e e e e e e Vastaus: e e 8. y y e Pinta-ala A e d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) e g( ) f ( ) e g'( ) Integrointi /( e) /( e e) A e / e e teht. 6 perusteella e d /( e e ) ( e e ) [ ee( e e )] e Vastaus: e 8

33 8. Epäoleellinen integraali ja jatkuvat jakaumat 9. Epäoleellinen integraali + a a a / ln [ ln( ) ln ], kun + +, kun a d d d + a + a Vastaus: Integraali hajaantuu.. y y Pinta-ala 5 A 5 d on epäoleellinen integraali a d d / ( 5 a ) 5, kun a a a + Pinta-ala 5 A d 5 Vastaus: 5 8

34 . Epäoleellinen integraali e ln d lim ln d ln d ln + C + a a lim[/( ln )] + a a eln ee[ lim ( aln aa)] + a e e + a ln a lim + lim a l'hospital + + a a a lim a + + a a lim ( a) Vastaus:, kun <. a) Funktio f( ) asin, kun π, kun > π tiheysfunktio, jos f( ), kun ja f ( d ). asin π, joten sin a π f( ) d d + asin d + d π asin d π a/cos a(cosπ cos ) a a π on satunnaismuuttujan X 8

35 b) Kertymäfunktio F( ) f( t) dt Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun π kertymäfunktio on sin tdt / cos t (cos cos ) cos + Kun π, kertymäfunktion arvo on, koska tiheysfunktion ja -akselin rajaaman alueen pinta-ala on, kun π. Tiheysfunktio, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π c) Odotusarvo EX ( ) f( d ) d+ sin d+ d sin d π Käytetään osittaisintegrointia f '( ) sin g( ) f( ) cos g'( ) π π π EX ( ) sin d / cos+ cosd Odotusarvo π π / cos + /sin ( π cosπ cos ) + (sinπ sin ) π d) Todennäköisyys π π π PX ( ) F( ) cos + Vastaus: a) c) odotusarvo π a b) kertymäfunktio d),5 π, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π π 85

36 . Tiheysfunktio f ( d ). a, kun f( ), kun f( ), kun ja, muulloin a a a d f( ) d d + asin d + d a / [ ( ) a ] a a Odotusarvo 8 EX ( ) μ f( d ) d+ d+ d / [ ( ) ] Keskihajonta DX ( ) [( μ) f( d ) ] d+ ( ) d+ d / [ ( ) ],6,77 Vastaus: Keskihajonta on,77 86

37 Harjoituskoe. + n + n a) lim lim n n n 6n 9 n n b) lim( n n n + n) lim n n lim n lim n lim n lim n ( n n n + n)( n n + n + n) n n n + n n n n n n n n n n n + n + n ( ) + + n + + n n n n + + n n n n + + n n Vastaus: a) 6 b). f() f() f() () () + () + 6 Joten funktiolla on vähintään yksi nollakohta välillä [,]. f '() + + () ± () ± 6 ei juuria Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa vain positiivisia arvoja ja f() on aidosti kasvava. Joten funktiolla f() on tasan nollakohta. 87

38 . a) e d Osittaisintegrointi b b a f '( gd ) ( ) /[ f( g ) ( )] f( g ) '( d ) f '( ) e g( ) a f e g ( ) '( ) e d e d /( e ) ( e ) d ( e ) ( e ) d e ( e e ) e + b a b) 6+ d ( ) Suoritetaan ensin osamurtoihin jako ( ) ) ( )) 6+ A B C + + ( ) ( ) ( ) 6+ A A+ A+ B B+ C ( ) ( )( )( ) 6+ A + ( A+ B) + A B+ C ( ) ( )( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A sijoitetaan alempiin A + B 6 A B + C 88

39 + B 6 B + C B C B C 5 Integrointi 6+ 5 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 ln + ( ) + ( ) + C 5 ln C ( ) d d d Vastaus: a) 5 + C + ( ) + e + b) ln q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < + < < nollakohdat 89

40 merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > + > nollakohdat + merkkikaavio + + merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > S Vastaus: < tai > ja y 6 5 S() 5 6 9

41 5.,t X e dt P( ), b,t lim(, e dt) b b,t lim[ / ( e )] b,b, e e b, b lim[ (( e ) e )] b lim[ ( )] e,68 6. Olkoon F funktion g(t) t integraalifunktio. Esitetään funktio f() integraalifunktion F() avulla. f ( ) t dt / t ( ) 9 Derivaatta f () 7 Tangentin kulmakerroin kohdassa f () 7 7 Sivuamispiste f () 9 9 sivuamispiste (,9) Tangentin yhtälö y 9 7( ) y 78 Vastaus: y f( ) + Määrittelyjoukko >. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat ei-negatiivisia kaikilla, on funktion pienin arvo on kohdassa. lim + 9

42 lim lim lim Joten funktion arvot kasvavat rajatta, kun lähestyy lukua tai :n kasvaessa rajatta. Derivaatta f( ) ( + ) + ( + ) + f '( ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + Derivaatan nollakohdat + (+ ) tai ei käy > Kulkukaavio f () f () min f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on vähenevä, kun ja kasvava, kun ja funktion ainoa ääriarvo on minimi, kohdassa. Vastaus: pienin arvo ja suurinta ei ole y y

43 8. ( ), kun < f(), kun, kun <, kun Derivaatta, kun, kun < f (), kun > Kun käytetään derivaatan määritelmää ja toispuoleisia derivaattoja. Vasemmanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( ) lim, f() h h f( + h) f() f '() lim h h h ( ) lim h h lim ( h) h Oikeanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( + ) lim, f() h h f( + h) f() f '() + lim h h h lim h h lim h h Koska f ' () f ' (), niin funktiolla on derivaatta kohdassa. + Vastaus: Derivaatta on f (), kun <, kun >., kun 9

44 Harjoituskoe 5. Funktio f() derivaatta f () + +. derivaatta f () derivaatta f () Yhtälö f () :6 + ± ( ) Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat 5 ja.. Lasketaan raja-arvot. ) tan sin sin a) lim lim lim cos cos n n n n b) lim lim lim e n n n n n n e Vastaus: Raja-arvot ovat a) b) e.. Integroidaan funktiot. a) Funktio f() e Integraali e d f () e g() f() e d e g () Osittaisintegrointi f '( gd ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) '( d ) e d e e d e + e d e + e + C b) Funktio f() + Nimittäjän nollakohdat 9

45 + ( ) ( ) ± + Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ BB Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari A+ B A B Alemmasta yhtälöstä saadaan B A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. A A A Vakio B A Integrointi d d + d d + d ln + ln + C + Vastaus: a) e + e + C b) ln + ln + C. Osoitetaan, että funktiolla f() e + 5 on ainakin yksi nollakohta. Funktio f() e + 5 on jatkuva. f() e > f( ) e ( ) + 5 e,9 < Koska funktio on jatkuva ja sen arvot kohdissa ja ovat erimerkkiset, funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä < <. d 5. Lasketaan määrätty integraali. Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ B + ( ) Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari 95

46 A+ B A Alemmasta yhtälöstä saadaan A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. + B B Integrointi a a d d a lim lim d lim /( ln ln ) a + + a a a a a lim / ln lim ln ln lim ln ln a a a a a lim ln a ln ln ln ln ln a Vastaus: Integraalin arvo on ln 6. Tiheysfunktio f() a + b välillä ; muualla f() Funktio on jatkuvan jakauman tiheysfunktio, kun f() kaikilla a + b, joten a ja b f ( d ) 9 9 ( ) ( + ) / f d a b d a b a b a b Saadaan yhtälö 9 a+ b Odotusarvo E(X) ( ) ( + ) ( + ) f d a b d a b d 9 9 / a + b 9a+ b 9a+ b 9 Odotusarvo on E(X) eli 9a+ b Saadaan yhtälöpari 9 a+ b 9 9a b + Alemmasta yhtälöstä saadaan 96

47 9 9a+ b 9 9 b 9 a : b a 9 Sijoitetaan ylempään yhtälöön 9 a+ a 9 9 a+ 6 a a 9 Vakio b a Jakauman varianssi D (X) f ( ) ( E( X) ) d + ( ) d + ( + ) d d + + d / Jakauman keskihajonta D(X) D( X ) Vastaus: Vakiot ovat a ja b 9. Keskihajonta on Funktio f(), ± Funktion nollakohdat f() + + Ei nollakohtia ( ) ( + ) Derivaatta f () ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f () 97

48 Kulkukaavio ( ) f () f () Funktion f() ma + + maksimi f() Pystysuoraa asymptootti ± Vino asymptootti saadaan jakolaskulla + ± Koska +, ja 5, kun niin vino asymptootti on y. Raja-arvot äärettömyydessä + + lim lim + + lim lim Piirretään kuvaaja. 98

49 y Geometrinen sarja Ensimmäinen termi a Toinen termi a a Termien suhde a Sarja suppenee, kun < q < < < > ja < > ja < Epäyhtälön > ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio 99

50 Epäyhtälö >, kun < tai >. Epäyhtälön < ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio Epäyhtälö <, kun < tai >. Sarja suppenee, kun < tai >. a Sarjan summa S q Viiden ensimmäisen termin summa a ( q ) ( ) ( ) S 5 5 q ( ) ( ) ( ) Virhe ) ( ) ) S5 S + ( ) ( ) ( ) ( ) Suurin virhe, kun. Jakolasku on suurimmillaan, kun jakaja on pienimmillään. S 5 S ( ) ( ) Vastaus: Sarja suppenee, kun < tai >. Suurin virhe on 8.

51 Harjoituskoe. a) Epätosi, sillä geometrisen sarjan summan kaavaa, voidaan käyttää vain, jos suhdeluku q täyttää ehdon q <. π + π + n b) Tosi. Koska lim an lim lim n, niin lukujono suppenee. n n n n π + π + n c) Epätosi, koska lim an lim lim n `. n n n n Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Epätosi n. Raja-arvo lim an lim lim n n n+ n n + n Poikkeaminen raja-arvosta 9 < n n+ n a n n n+ n < n < n+ n 9 n + ( ) n > Nollakohdat 9 n + ( ) n Merkkikaavio 9 < n > 9 9 nn+ 9 ( ) n n 9 tai n Merkkikaavion perusteella 9 n > Vastaus: Raja-arvo on. Lähtien arvosta n

52 . Integraali d Osamurtoihin jako + ) ) A B + + ( A + B ) + ( AB) ( )( + ) Yhtälöpari A+ B A B A A Saadaan A, B Integrointi d d (ln ln + ) + C ln + C + + Vastaus: ln + C +, <. Tiheysfunktio f( ), Kertymäfunktio Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun kertymäfunktio on dt / ( ) t t, kun < Kertymäfunktio F( ), kun, kun < Vastaus: F( ), kun

53 5. Funktio g( ) f( ) on jatkuva kahden jatkuvan funktion erotuksena. g() f() 6 > ja g() f() < Jos jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, niin funktiolla on ainakin yksi nollakohta vastaavalla avoimella välillä. Kohtien ja perusteella funktiolla g() on ainakin yksi nollakohta, kun ], [ 6. Funktio f( ) Funktio on määritelty, kun eli kun ± Funktion nollakohdat f( ) Funktio on rationaalifunktiona jatkuva ja derivoituva, kun ±. Derivaatta ( ) ( ) f '( ), ± ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f '( ) Funktion kulku ja ääriarvot Kulkukaavio f '( ) ( ) f () f '( ) < f '(,5) < f () f '(,5) > min f '() >. Funktio on aidosti vähenevä, kun < ja <. Funktio on aidosti kasvava, kun < ja >. Kulkukaavion perusteella funktiolla on minimi kohdassa, minimiarvo f (). Asymptootit Pystysuorat asymptootit saadaan nimittäjän nollakohdista, eli ja. Muut saadaan jakolaskun avulla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa f( )

54 + ± ± f( ) + Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin lähenee nollaa, joten y on asymptootti. Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen, näin myös on negatiivinen. Täten funktion f( ) + arvot lähenevät asymptoottia y alapuolelta. Tarkastellaan funktion käyttäytymistä pystysuorien asymptoottien läheisyydessä. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Lasketaan funktion arvoja y,5,,5,8,8,778,,9,,9,8,778,5,8,5 y 5 5 5

55 7. y y ln Lasketaan käyrän y ln ja -akselin leikkauspiste. ln Käyrä y ln kulkee -akselin alapuolella, kun <. Pinta-ala A ln d Kyseessä on epäoleellinen, alaraja on epäoleellinen A ln d lim ( ln d) + a a lim(/ ln ) lim[ln ( aln aa)] + a a + a + lim ( aln a) lim a + lim ( aln a) a a a Tarkastellaan raja-arvoa ln a ln( ) ln lim ( aln a). Käytetään logaritmin laskukaavaa + a a a a ln lim ( aln a) lim a lim a lim a a a a a a a l'hospital Kysytty pinta-ala A ln d + lim ( aln a) Vastaus: + a 5

56 8. Kaikki tasasivuiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Mittakaava k on vastin sivujen suhde. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Mittakaava k k ± k > k Olkoon ensimmäisen kolmion kanta a. Tällöin. kolmion kanta on a ja. kolmion a ( ) a. Edellinen mitta kerrotaan aina suhdeluvulla. Kantojen muodostaman janan pituus l a+ a+ ( ) a+... Kyseessä on suppeneva geometrinen sarja, sillä q <. Summa saadaan kaavalla a S q a a Janan pituus l a+ a+ ( ) a+... on äärellinen, koska a on äärellinen. 6

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot