Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
|
|
- Veikko Mikkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona n n lim lim n n n n + n + n Vastaus: 89. n + + (n) (n ) lim lim n n + n n + 9 n n n 9 n 9 lim lim lim lim n n n n n n n n n Vastaus: 5
2 9. n a) lim lim n n + n + n n+ b) lim lim( ) n n n n n+ ( ) n n c) lim lim[( ) ] lim[( ) ] n n n n ( n + ) n n + n + n Vastaus: a) b) c) 9. n n lim lim n n + n + n Vastaus:. Erilaisia raja-arvoja 9. lim lim lim lim ( ) lim lim lim + + Vastaus: ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. 8 a) lim 7 ( 7) 8 lim 7 ( 7) 8 lim + 7 ( 7) 5
3 5 b) lim ( + 6) 5 lim 6 ( + 6) 5 + lim 6 ( + 6) Vastaus: a) b) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja 9. a) lim + lim ei raja-arvoa b) lim lg ei määritelty lim lg + c) lim ( sin ) lim ( sin ) + raja-arvo Vastaus: a) ei raja-arvoa, toispuoleiset raja-arvot ja b) vasemmanpuoleista raja-arvoa ei ole c) lim lg, lim lim + + lim + sijoitus t, t, kun 5
4 t lim + t t e e Vastaus: e 96. sin 9 sin 9 lim lim sin9 lim sijoitetaan t 9, jolloin t, kun 6 9 sint lim t t Vastaus: 97. ln lim Koska lim(ln ) lim, voidaan käyttää l'hospitalin sääntöä ln lim lim lim Vastaus:. Sarjat 98. ( ) n n geometrinen sarja n+ ( ) q n ( ) suppenevuusehto 5
5 < < < < :( ) < < Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli on voimassa kaikilla Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < nollakohdat Koska kuvaajana on ylöspäin aukeava paraabeli on suppenevuusehdon yhteenveto < <, S ( ) <, kun < < Vastaus: < <, ja 99. n e b e g + j n geometrinen sarja ( + ) n+ ( e ) ( + ) q e ( + ) n ( e ) suppenevuusehto ( ) < e + < Tarkastellaan funktiota f( ) e + ( + ) ( + ) derivaatta f '( ) e e derivaatan nollakohdat ( + ) ( + ) e e ( + ) e ( ) Kulkukaavio f () f () ( ) f () > f () < 55
6 ( + ) Funktion suurin arvo f() e, < e Joten suppenevuusehdon oikeapuoli toteutuu kaikilla. Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli e ( ) + ( ) + > e + > nollakohdat e ( ) e e + Koska funktio on aidosti kasvava, kun <, ei yhtälöllä ole muita juuria tällä välillä ja ( + ) koska lim e lim + e ei juuria ole myöskään välillä >. Ja suppenevuusehto on >. ( + ) e + S e ( + ) + e e + e Vastaus: > ja e +. geometrinen sarja cos cos cos cos cos sin sin q tan sin sin sin cos sin cos cos suppenevuusehto < tan < π π + nπ < < + nπ sin S tan 56
7 sin π cos + sin : cos, n tan sin sin + cos ( tan ) cos tan π + tan (tan ), + nπ tan tan tan tan tan + sijoitus t tan t + t ± ( ) t ± 5 t 5 t,6 ei käy t tan > + 5 t,6 sijoitus t tan + 5 tan,55 + nπ Vastaus:,55 + nπ. geometrinen sarja q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli 57
8 < < + < < nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > > nollakohdat merkkikaavio merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > 58
9 S 5 [ ( )] + + ( ) ( ) ( ) ( ) S5 5 ( ) S5 S 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 ( ) Tarkastellaan nimittäjän funktiota f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tai ( ) ( 5 ) 5 f ( ) ( ) 59
10 Kulkukaavio f () f () 5 ( ) > f 6 f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio lauseke ( ) Virhe ( ) 8 8 f ( ) ( ) on aidosti kasvava, kun on vähenevä ja virheen suurin arvo saadaan arvolla. Vastaus: < tai > ja virhe on enintään. f () e sin '( ) f e cos e sin e cos e sin e (cos sin ) cos sin π + nπ Kulkukaavio 8 ja f () f () π ma 5π min 9π ma π min π f ( ) > π f ( ) < 6π f ( ) > π ( ) < ( ) > f f 5π 6
11 π Kulkukaaviosta nähdään, että peräkkäiset maksimikohdat ovat + nπ ja peräkkäiset 5π minimikohdat ovat + nπ maksimiarvot ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e minimiarvot ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) 5π ( π + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e sin( + n π) e ( ) peräkkäisten maksimiarvojen suhde π [ + ( n+ ) π ] π e sin[ + ( n+ ) π ] q π ( + n π ) π e sin( + n π ) 9π sin[ + n π ] π e π sin( + n π ) π e Koska peräkkäisten termien suhde on vakio, on jono geometrinen. Vastaus: minimiarvot e 5π ( + n π ) ( ), maksimiarvot e π ( + n π ). Funktioiden jatkuvuus ja derivoituvuus. Osoitetaan, että funktio + + 5, kun f( ) on jatkuva kaikkialla. 9, kun 5, kun Funktio f( ) 9, kun Funktio on jatkuva, kun. Tutkitaan jatkuvuutta kohdassa. Funktion arvo f() 9 Suoritetaan jakolasku 6
12 5+ ± ± + ± Funktion raja-arvo 5+ ( ) ( + + ) lim f( ) lim lim Koska funktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kohdassa, on funktio jatkuva tässä kohdassa. Täten funktio on jatkuva kaikkialla.. a) Funktio + <, kun f( ), kun 6, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () lim f( + h) f( ) ( + h) + ( ) lim h h h h 6h 6h + h h(6 8 h+ h ) lim lim h h h h lim h h 6 f( + h) f( ) ( + h) ( + h) 5 lim h h + + h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa 6, kun < Derivaatta f () ei ole olemassa, kun, kun > 6
13 + 6, kun < b) Funktio f() 6 6, kun, kun < Derivaatta f (), kun > Toispuoleiset derivaatat kohdassa f () f + () f( + h) f( ) ( + h) + 6 h lim lim lim h h h h h f( + h) f() ( + h) 6 h lim lim lim + h + h + h h h h h 6h+ h h( 6 + h) lim lim + h + h 6 h h Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuret, niin f () ei ole olemassa Derivaatta f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > Vastaus: a) f () < 6, kun ei ole olemassa, kun, kun > b) f (), kun < ei ole olemassa, kun, kun > +, kun < 5. Funktio f( ) a + b, kun Derivoituva funktio on jatkuva. Funktio on jatkuva, kun funktion arvo on sama kuin funktion raja-arvo. f () lim f ( ) lim f ( ) + a+ b a+ b + a+ b Funktio on derivoituva, kun toispuoleiset derivaatat kohdassa ovat yhtä suuret. f( + h) f( ) ( + h) + ( + h) f () lim lim h h h h h h 5h+ h h(5 + h) lim lim h h 5 6
14 f + () h h h f( + h) f() a( + h) + b ( a+ b) h( a+ ah) lim lim lim a + h + h + h Merkitsemällä toispuoleiset derivaatat kohdassa yhtä suuriksi saadaan a 5, josta a 5. Sijoittamalla tämä jatkuvuusehtoon saadaan a + b a b b Vastaus: Vakiot ovat a 5 ja b. + +, kun < 6. Funktio f() +, kun Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdissa tai kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa. Välin päätepisteet f( ) ( ) ( ) f() Derivaatan nollakohdat +, kun < Derivaatta f (), kun > Derivaatan nollakohdat Kun > tai Ei käy Funktion arvo f() Kohdat, joissa derivaatta ei mahdollisesti ole olemassa f 8 7 Vastaus: Suurin arvo on ja pienin. 6
15 7. Osoitetaan, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f() < f() > Koska funktion arvot välin [,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], [ ainakin yksi nollakohta. Funktio f() on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () 5 + > Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() on korkeintaan yksi nollakohta. Kohdista ja seuraa, että funktiolla f() on täsmälleen yksi nollakohta. 8. a) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. b) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit + + Koska ja, kun, on vino + asymptootti y. + c) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla 9 + ± Koska + ja, kun, niin vino
16 asymptootti on y. + d) Funktion f( ) pystysuorat asymptootit ± ( 5) Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± ± 6 ± ± Koska ja , niin vino asymptootti on y , kun Vastaus: Asymptootit ovat a) ja y b) ja y c), ja y d) 5, ja y Funktion f( ) pystysuorat asymptootit tai Vino asymptootti saadaan jakolaskulla ± 66
17 Koska + ja, kun, niin vino asymptootti on y. Funktio f( ), ± Funktion f( ) nollakohta f() ( ) Derivaatta f () f( ) ( ) ( ) Nollakohdat f () ( ) tai ± Kulkukaavio f () f () ma min Funktion f( ) maksimi ( ) f ( ) ( ) 8 Minimi ( ) f ( ) 8 ( ) Raja-arvot lim f( ) lim lim f( ) lim + + lim f( ) lim 67
18 lim f( ) lim + + Piirretään kuvaaja y Vastaus: Asymptootit ovat, ja y., kun <. Funktio f( ) +, kun + Koska f() lim f( ) + ja lim f( ) lim ( ), niin funktio on jatkuva kaikkialla. Funktion suurin ja pienin arvo välillä Jatkuva funktio saa suurimmen ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä, derivaatan nollakohdassa tai kohdassa, jossa derivaattaa ei ole olemassa. Välin päätepisteet f() () 8 f() + Derivaatan nollakohdat, kun < Derivaatta f () 8, kun > Derivaatalla ei ole nollakohtia, kun < Kun > f () 8 ( 8) 68
19 tai 8 Ei käy Ei käy Kohdat, joissa derivaattaa ei ole olemassa f() Funktion suurin arvo on ja pienin 8. Kulkukaavio f () f() min ma min Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä. Piirrä funktion kuvaaja. y Vastaus: Funktion suurin arvo on ja pienin Korkeammat derivaatat. Laske f ( ), f ( ) ja f ( ), kun f() 5 5. Funktio f() 5 5. derivaatta f () 5 Derivaatan arvo f ( ) 5 ( ) ( ) 5. derivaatta f () Derivaatan arvo f ( ) ( ). derivaatta f () 6 Derivaatan arvo f ( ) 6 ( ) 6 Vastaus: f ( ) 5, f ( ) ja f ( ) 6 69
20 . Ratkaise yhtälö f () ( ), kun f() + sin. Funktio f() + sin. derivaatta f () + cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () 8cos. derivaatta f () () 6sin Yhtälö f () ( ) 6sin :6 sin sin sin + n π tai π + n π n π π + n π, n π Yhdistämällä lausekkeet saadaan n, n π Vastaus: n, n. a) Funktio f(). derivaatta f (). derivaatta f () ( ). derivaatta f () 6 ( ) ( ) ( )! derivaatta f () () ( ) ( ) ( ) ( )! n:s derivaatta f (n) n n () ( ) n! b) Funktio f() cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () cos. derivaatta f () sin. derivaatta f () () cos 5. derivaatta f (5) () sin 6. derivaatta f (6) () cos 7. derivaatta f (7) () sin 8. derivaatta f (8) () cos 9. derivaatta f (9) () sin 7
21 sin, kun n k+ n:s derivaatta f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + c) Funktio f() e. derivaatta f () e. derivaatta f () e. derivaatta f () e n:s derivaatta f (n) () ( ) n e kun k,,, Vastaus: a) f (n) () ( )! n n n sin, kun n k+ b) f (n) cos, kun n k + () sin, kun n k + cos, kun n k + kun k,,, c) f (n) () ( ) n e. Käyrä y 5. derivaatta y () 9. derivaatta y () 8 Kuperuus a) y ( ) ( ) ( ) 8 ( ) < kupera ylöspäin b) y () 8 käännepiste c) y () 8 > kupera alaspäin Vastaus: a) kupera ylöspäin b) käännepiste c) kupera alaspäin 5. a) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y () + 9 () 8 () 8 7
22 Käännepiste on (, 8). b) Funktio f() derivaatta f () derivaatta f () derivaatan nollakohdat f () : ( 5) ± ( 5) Kuperuuskaavio f () f () Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Kohdassa on käännepiste. Pisteen y-koordinaatti y Käännepisteet ovat (, 68) ja (,). Vastaus: Käännepisteet ovat a) (,8) b) (, 68) ja (,). 6. Määritetään funktion paikalliset ääriarvokohdat. a) Funktio f() ( ) 9. derivaatta f () ( ) ( ). derivaatan nollakohdat f () 9 ( 9) tai 9 ± ( 8 )( ) ( 9 ) ( ). derivaatta f () ( ) 7
23 ( ) [( 8 )( ) ( 9 )] ( ) derivaatan arvot. derivaatan nollakohdissa 6() + 5() f ( ) 5 ( ) maksimikohta f () 5 minimikohta f () Koska f () <, kun < <, Funktio on aidosti vähenevä, kun < < ja funktiolla ei ole käännepistettä kohdassa. b) Funktio g() 7. derivaatta g () 7 6. derivaatan nollakohdat g () 7 6 : derivaatta g () 5. derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa g () 5 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio g () g() Funktiolla g ei ole ääriarvokohtia. c) Funktio h() 8. derivaatta h () 8 7. derivaatan nollakohdat h () 8 7 :
24 . derivaatta h () derivaatan arvot. derivaatan nollakohdassa h () 56 7 Koska. derivaatan arvo on nolla, joudutaan ääriarvon laatu tutkimaan kulkukaavion avulla. Kulkukaavio h () h() min Funktiolla on minimikohta, kun. Vastaus: a) Maksimikohta on ja minimikohta. b) Ääriarvokohtia ei ole. c) Minimikohta on. 6. Analyysin peruslause 7. Käyrän y ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Osavälin pituus Δ 5 5 a) Koska funktion y derivaatta y (), on funktio aidosti kasvava ja osavälin pienin korkeus saadaan alarajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. Funktion Osaväli Osavälin alaraja arvo alarajalla Osavälin ala,,,,,8,6,,6,,6,8,6,8,6,6,,8,,8,5, Ala,6 b) Koska funktio aidosti kasvava ja osavälin suurin korkeus saadaan ylärajasta. Taulukoidaan osavälien pinta-alojen arvot. 7
25 Osaväli Osavälin yläraja Funktion arvo ylärajalla Osavälin ala,,,8,6,,,,6,8,,6,6,6,,6,8,8,5,,8,, Ala,6 Vastaus: Ala on a),6 b),6 8. Käyrän y + ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala Jaetaan väli [,] n:ään yhtä leveään osaväliin. Osavälin pituus Δ n n Osaväli Muuttujan arvo välin alarajalla Muuttujan arvo välin ylärajalla n n n i i ( i ) n n n n i i n n a) Koska funktion f() + derivaatta f () on ei-negatiivinen, funktio f() + on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin pienin arvo saadaan välin alarajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin alarajoja. i i i + n Suorakulmion korkeus osavälin alarajalla f + n n n i i n i n Osavälin pinta-ala f + + Δ n n n n Koko alueen ala 75
26 n n n i i + n i sn f Δ + i n i n i n n n n n n n nn ( + ) i + Taulukkokirjasta i n n n i i i i nn ( + ) n+ n n n n nn ( + ) + n n n + n + +, kun n n n b) Funktio on aidosti kasvava ja jokaisen osavälin suurin arvo saadaan välin ylärajalla. Lasketaan pinta-alan raja-arvo käyttäen osavälin ylärajoja. i i i+ n Suorakulmion korkeus osavälin ylärajalla f + n n n i i+ n i+ n Osavälin pinta-ala f Δ n n n n Koko alueen ala n n n i i+ n i Sn f Δ + i n i n i n n n n n nn ( + ) i Taulukkokirjasta i + n n i i i nn ( + ) + n n n nn ( + ) + n n + n + +, kun n n Vastaus: Alueen raja-arvo on sekä osavälin suurimman että pienimmän arvon perusteella laskettuna. 9. a) Funktio f( ) (sint + sin t) dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F () d() sin + sin 76
27 b) Funktio ( ) + ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) sin + + sin b). a) Funktio f ( ) ( t + ) dt F( ) F( ) +. Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) F () d() d() ( + ) ( + ) 5 + b) Funktio ( ) ( + ) ( ) ( ) f t t dt F F Olkoon d() funktion F() integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) [ F ( )] d( ) + d( ) ( 9 + ) + [( ) + ( )] ( 8 ) Vastaus: Funktion derivaatta on a) 5 + b) Funktio ( ) ( 8) ( ) () f t dt F F Olkoon d() funktion F() eräs integraalifunktio Derivaatta f () F ( ) d( ) ( 8) Derivaatan nollakohdat f () ( 8) tai 8 tai ± Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat, ja.. Ratkaistaan yhtälö f () e, kun t Funktio f ( ) e dt F( ) F() Olkoon d() funktion F() integraalifunktio t f ( ) e dt. 77
28 Derivaatta f () F () d() Yhtälön ratkaisu f () e e e : e e Kantaluvut samat, eksponentit samat : ± ( ) e e Vastaus: Yhtälön ratkaisu on ±. +. d 5+ 6 Käytetään osamurtoihinjakoa. Nimittäjän tekijöihinjako 5+ 6 ( 5) ± ( 5) 6 5± Osamurtoihin jako ) ) + A B A A + B B 5+ 6 ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B A+ B + A B 5 Lasketaan A sijoittamalla B 78
29 Integroiminen A + B A + 5 A + 5 d + d ln + 5ln + C 5+ 6 Vastaus: ln + 5ln + C. d Suoritetaan jakolasku jakokulmassa d d ± Käytetään osamurtoihin jakoa jälkimmäiseen yhteenlaskettavaan. Nimittäjän tekijöihin jako ( ) ( )( + ) tai tai Osamurtoihin jako ) + ) ) A B C ( A+ B+ C) + ( BC) A ( )( + ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B+ C B C A B C B + C B B 79
30 Saadaan A, B, C Integraali d d [ ( + )] d + ( + ) d + ln + ln + + C Vastaus: ln + ln + + C 5. d ( ) Käytetään osamurtoihin jakoa ( ) ) ) ) A B C + + ( ) ( ) ( A + B ) + ( A B+ C ) + A ( ) ( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A+ B A B + C A Alimmasta yhtälöstä saadaan A, sijoitetaan tämä kahteen ylempään yhtälöön. Saadaan A, B, C Integraali ( ) ln ln ( ) d + ( ) d + C Vastaus: ln ln + C 8
31 6. a) cos d sin + C b) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) sin Integrointi cos d sin cos ( sin ) d + C sin cos Ratkaistaan yhtälöstä d + d+ C cos sin cos ( cos ) cos d sin cos + cos d+ C cos d cos d sin cos + cos d + C cos sin cos d + + C cos d sin cos + + C c) cos d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) cos g( ) cos f ( ) sin g'( ) ( sin )cos sin cos Integrointi cos d sin cos ( cos sin ) d+ C d C sin cos + cos (sin ) + sin cos + sin + C Vastaus: a) sin + C b) cos d sin cos + + C c) cos d sin cos + sin + C 7. e e ln d Käytetään osittaisintegrointia Integrointi 8
32 e e e e e e ln d / ( ln ) d / ( ln ) / ( e ln e e ln e) ( e e ) e e e e e e Vastaus: e e 8. y y e Pinta-ala A e d Käytetään osittaisintegrointia f '( ) e g( ) f ( ) e g'( ) Integrointi /( e) /( e e) A e / e e teht. 6 perusteella e d /( e e ) ( e e ) [ ee( e e )] e Vastaus: e 8
33 8. Epäoleellinen integraali ja jatkuvat jakaumat 9. Epäoleellinen integraali + a a a / ln [ ln( ) ln ], kun + +, kun a d d d + a + a Vastaus: Integraali hajaantuu.. y y Pinta-ala 5 A 5 d on epäoleellinen integraali a d d / ( 5 a ) 5, kun a a a + Pinta-ala 5 A d 5 Vastaus: 5 8
34 . Epäoleellinen integraali e ln d lim ln d ln d ln + C + a a lim[/( ln )] + a a eln ee[ lim ( aln aa)] + a e e + a ln a lim + lim a l'hospital + + a a a lim a + + a a lim ( a) Vastaus:, kun <. a) Funktio f( ) asin, kun π, kun > π tiheysfunktio, jos f( ), kun ja f ( d ). asin π, joten sin a π f( ) d d + asin d + d π asin d π a/cos a(cosπ cos ) a a π on satunnaismuuttujan X 8
35 b) Kertymäfunktio F( ) f( t) dt Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun π kertymäfunktio on sin tdt / cos t (cos cos ) cos + Kun π, kertymäfunktion arvo on, koska tiheysfunktion ja -akselin rajaaman alueen pinta-ala on, kun π. Tiheysfunktio, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π c) Odotusarvo EX ( ) f( d ) d+ sin d+ d sin d π Käytetään osittaisintegrointia f '( ) sin g( ) f( ) cos g'( ) π π π EX ( ) sin d / cos+ cosd Odotusarvo π π / cos + /sin ( π cosπ cos ) + (sinπ sin ) π d) Todennäköisyys π π π PX ( ) F( ) cos + Vastaus: a) c) odotusarvo π a b) kertymäfunktio d),5 π, kun < F( ) cos +, kun π, kun > π π 85
36 . Tiheysfunktio f ( d ). a, kun f( ), kun f( ), kun ja, muulloin a a a d f( ) d d + asin d + d a / [ ( ) a ] a a Odotusarvo 8 EX ( ) μ f( d ) d+ d+ d / [ ( ) ] Keskihajonta DX ( ) [( μ) f( d ) ] d+ ( ) d+ d / [ ( ) ],6,77 Vastaus: Keskihajonta on,77 86
37 Harjoituskoe. + n + n a) lim lim n n n 6n 9 n n b) lim( n n n + n) lim n n lim n lim n lim n lim n ( n n n + n)( n n + n + n) n n n + n n n n n n n n n n n + n + n ( ) + + n + + n n n n + + n n n n + + n n Vastaus: a) 6 b). f() f() f() () () + () + 6 Joten funktiolla on vähintään yksi nollakohta välillä [,]. f '() + + () ± () ± 6 ei juuria Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa vain positiivisia arvoja ja f() on aidosti kasvava. Joten funktiolla f() on tasan nollakohta. 87
38 . a) e d Osittaisintegrointi b b a f '( gd ) ( ) /[ f( g ) ( )] f( g ) '( d ) f '( ) e g( ) a f e g ( ) '( ) e d e d /( e ) ( e ) d ( e ) ( e ) d e ( e e ) e + b a b) 6+ d ( ) Suoritetaan ensin osamurtoihin jako ( ) ) ( )) 6+ A B C + + ( ) ( ) ( ) 6+ A A+ A+ B B+ C ( ) ( )( )( ) 6+ A + ( A+ B) + A B+ C ( ) ( )( )( ) Saadaan yhtälöryhmä A sijoitetaan alempiin A + B 6 A B + C 88
39 + B 6 B + C B C B C 5 Integrointi 6+ 5 d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 ln + ( ) + ( ) + C 5 ln C ( ) d d d Vastaus: a) 5 + C + ( ) + e + b) ln q suppenevuusehto < < Kaksoisepäyhtälön oikeapuoli < < + < < nollakohdat 89
40 merkkikaavio merkkikaavion perusteella <, kun < tai > Kaksoisepäyhtälön vasenpuoli > + > + > + > nollakohdat + merkkikaavio + + merkkikaavion perusteella >, kun < tai > suppenevuusehdon yhteenveto < tai > S Vastaus: < tai > ja y 6 5 S() 5 6 9
41 5.,t X e dt P( ), b,t lim(, e dt) b b,t lim[ / ( e )] b,b, e e b, b lim[ (( e ) e )] b lim[ ( )] e,68 6. Olkoon F funktion g(t) t integraalifunktio. Esitetään funktio f() integraalifunktion F() avulla. f ( ) t dt / t ( ) 9 Derivaatta f () 7 Tangentin kulmakerroin kohdassa f () 7 7 Sivuamispiste f () 9 9 sivuamispiste (,9) Tangentin yhtälö y 9 7( ) y 78 Vastaus: y f( ) + Määrittelyjoukko >. Koska osoittaja ja nimittäjä ovat ei-negatiivisia kaikilla, on funktion pienin arvo on kohdassa. lim + 9
42 lim lim lim Joten funktion arvot kasvavat rajatta, kun lähestyy lukua tai :n kasvaessa rajatta. Derivaatta f( ) ( + ) + ( + ) + f '( ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + Derivaatan nollakohdat + (+ ) tai ei käy > Kulkukaavio f () f () min f ( ) < f () > Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on vähenevä, kun ja kasvava, kun ja funktion ainoa ääriarvo on minimi, kohdassa. Vastaus: pienin arvo ja suurinta ei ole y y
43 8. ( ), kun < f(), kun, kun <, kun Derivaatta, kun, kun < f (), kun > Kun käytetään derivaatan määritelmää ja toispuoleisia derivaattoja. Vasemmanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( ) lim, f() h h f( + h) f() f '() lim h h h ( ) lim h h lim ( h) h Oikeanpuoleinen derivaatta f( + h) f( ) f '( + ) lim, f() h h f( + h) f() f '() + lim h h h lim h h lim h h Koska f ' () f ' (), niin funktiolla on derivaatta kohdassa. + Vastaus: Derivaatta on f (), kun <, kun >., kun 9
44 Harjoituskoe 5. Funktio f() derivaatta f () + +. derivaatta f () derivaatta f () Yhtälö f () :6 + ± ( ) Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat 5 ja.. Lasketaan raja-arvot. ) tan sin sin a) lim lim lim cos cos n n n n b) lim lim lim e n n n n n n e Vastaus: Raja-arvot ovat a) b) e.. Integroidaan funktiot. a) Funktio f() e Integraali e d f () e g() f() e d e g () Osittaisintegrointi f '( gd ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) '( d ) e d e e d e + e d e + e + C b) Funktio f() + Nimittäjän nollakohdat 9
45 + ( ) ( ) ± + Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ BB Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari A+ B A B Alemmasta yhtälöstä saadaan B A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. A A A Vakio B A Integrointi d d + d d + d ln + ln + C + Vastaus: a) e + e + C b) ln + ln + C. Osoitetaan, että funktiolla f() e + 5 on ainakin yksi nollakohta. Funktio f() e + 5 on jatkuva. f() e > f( ) e ( ) + 5 e,9 < Koska funktio on jatkuva ja sen arvot kohdissa ja ovat erimerkkiset, funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä < <. d 5. Lasketaan määrätty integraali. Osamurtoihin jako ) ) A B A A+ B + ( ) Vertaamalla kertoimia saadaan yhtälöpari 95
46 A+ B A Alemmasta yhtälöstä saadaan A. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. + B B Integrointi a a d d a lim lim d lim /( ln ln ) a + + a a a a a lim / ln lim ln ln lim ln ln a a a a a lim ln a ln ln ln ln ln a Vastaus: Integraalin arvo on ln 6. Tiheysfunktio f() a + b välillä ; muualla f() Funktio on jatkuvan jakauman tiheysfunktio, kun f() kaikilla a + b, joten a ja b f ( d ) 9 9 ( ) ( + ) / f d a b d a b a b a b Saadaan yhtälö 9 a+ b Odotusarvo E(X) ( ) ( + ) ( + ) f d a b d a b d 9 9 / a + b 9a+ b 9a+ b 9 Odotusarvo on E(X) eli 9a+ b Saadaan yhtälöpari 9 a+ b 9 9a b + Alemmasta yhtälöstä saadaan 96
47 9 9a+ b 9 9 b 9 a : b a 9 Sijoitetaan ylempään yhtälöön 9 a+ a 9 9 a+ 6 a a 9 Vakio b a Jakauman varianssi D (X) f ( ) ( E( X) ) d + ( ) d + ( + ) d d + + d / Jakauman keskihajonta D(X) D( X ) Vastaus: Vakiot ovat a ja b 9. Keskihajonta on Funktio f(), ± Funktion nollakohdat f() + + Ei nollakohtia ( ) ( + ) Derivaatta f () ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f () 97
48 Kulkukaavio ( ) f () f () Funktion f() ma + + maksimi f() Pystysuoraa asymptootti ± Vino asymptootti saadaan jakolaskulla + ± Koska +, ja 5, kun niin vino asymptootti on y. Raja-arvot äärettömyydessä + + lim lim + + lim lim Piirretään kuvaaja. 98
49 y Geometrinen sarja Ensimmäinen termi a Toinen termi a a Termien suhde a Sarja suppenee, kun < q < < < > ja < > ja < Epäyhtälön > ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio 99
50 Epäyhtälö >, kun < tai >. Epäyhtälön < ratkaisu Osoittajan nollakohta Nimittäjän nollakohta Merkkikaavio Epäyhtälö <, kun < tai >. Sarja suppenee, kun < tai >. a Sarjan summa S q Viiden ensimmäisen termin summa a ( q ) ( ) ( ) S 5 5 q ( ) ( ) ( ) Virhe ) ( ) ) S5 S + ( ) ( ) ( ) ( ) Suurin virhe, kun. Jakolasku on suurimmillaan, kun jakaja on pienimmillään. S 5 S ( ) ( ) Vastaus: Sarja suppenee, kun < tai >. Suurin virhe on 8.
51 Harjoituskoe. a) Epätosi, sillä geometrisen sarjan summan kaavaa, voidaan käyttää vain, jos suhdeluku q täyttää ehdon q <. π + π + n b) Tosi. Koska lim an lim lim n, niin lukujono suppenee. n n n n π + π + n c) Epätosi, koska lim an lim lim n `. n n n n Vastaus: a) Epätosi b) Tosi c) Epätosi n. Raja-arvo lim an lim lim n n n+ n n + n Poikkeaminen raja-arvosta 9 < n n+ n a n n n+ n < n < n+ n 9 n + ( ) n > Nollakohdat 9 n + ( ) n Merkkikaavio 9 < n > 9 9 nn+ 9 ( ) n n 9 tai n Merkkikaavion perusteella 9 n > Vastaus: Raja-arvo on. Lähtien arvosta n
52 . Integraali d Osamurtoihin jako + ) ) A B + + ( A + B ) + ( AB) ( )( + ) Yhtälöpari A+ B A B A A Saadaan A, B Integrointi d d (ln ln + ) + C ln + C + + Vastaus: ln + C +, <. Tiheysfunktio f( ), Kertymäfunktio Kun <, kertymäfunktion arvo on. Kun kertymäfunktio on dt / ( ) t t, kun < Kertymäfunktio F( ), kun, kun < Vastaus: F( ), kun
53 5. Funktio g( ) f( ) on jatkuva kahden jatkuvan funktion erotuksena. g() f() 6 > ja g() f() < Jos jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, niin funktiolla on ainakin yksi nollakohta vastaavalla avoimella välillä. Kohtien ja perusteella funktiolla g() on ainakin yksi nollakohta, kun ], [ 6. Funktio f( ) Funktio on määritelty, kun eli kun ± Funktion nollakohdat f( ) Funktio on rationaalifunktiona jatkuva ja derivoituva, kun ±. Derivaatta ( ) ( ) f '( ), ± ( ) ( ) Derivaatan nollakohdat f '( ) Funktion kulku ja ääriarvot Kulkukaavio f '( ) ( ) f () f '( ) < f '(,5) < f () f '(,5) > min f '() >. Funktio on aidosti vähenevä, kun < ja <. Funktio on aidosti kasvava, kun < ja >. Kulkukaavion perusteella funktiolla on minimi kohdassa, minimiarvo f (). Asymptootit Pystysuorat asymptootit saadaan nimittäjän nollakohdista, eli ja. Muut saadaan jakolaskun avulla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa f( )
54 + ± ± f( ) + Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin lähenee nollaa, joten y on asymptootti. Kun rajatta kasvaa tai vähenee, niin on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen, näin myös on negatiivinen. Täten funktion f( ) + arvot lähenevät asymptoottia y alapuolelta. Tarkastellaan funktion käyttäytymistä pystysuorien asymptoottien läheisyydessä. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen suuremmalta puolelta, on suurempi kuin, joten nimittäjä on negatiivinen. Tällöin funktion arvot pienenevät rajatta. Kun lähenee rajatta lukua sen pienemmältä puolelta, on pienempi kuin, joten nimittäjä on positiivinen. Tällöin funktion arvot kasvavat rajatta. Lasketaan funktion arvoja y,5,,5,8,8,778,,9,,9,8,778,5,8,5 y 5 5 5
55 7. y y ln Lasketaan käyrän y ln ja -akselin leikkauspiste. ln Käyrä y ln kulkee -akselin alapuolella, kun <. Pinta-ala A ln d Kyseessä on epäoleellinen, alaraja on epäoleellinen A ln d lim ( ln d) + a a lim(/ ln ) lim[ln ( aln aa)] + a a + a + lim ( aln a) lim a + lim ( aln a) a a a Tarkastellaan raja-arvoa ln a ln( ) ln lim ( aln a). Käytetään logaritmin laskukaavaa + a a a a ln lim ( aln a) lim a lim a lim a a a a a a a l'hospital Kysytty pinta-ala A ln d + lim ( aln a) Vastaus: + a 5
56 8. Kaikki tasasivuiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Mittakaava k on vastin sivujen suhde. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Mittakaava k k ± k > k Olkoon ensimmäisen kolmion kanta a. Tällöin. kolmion kanta on a ja. kolmion a ( ) a. Edellinen mitta kerrotaan aina suhdeluvulla. Kantojen muodostaman janan pituus l a+ a+ ( ) a+... Kyseessä on suppeneva geometrinen sarja, sillä q <. Summa saadaan kaavalla a S q a a Janan pituus l a+ a+ ( ) a+... on äärellinen, koska a on äärellinen. 6
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotMatematiikkaa kauppatieteilijöille
Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin
Lisätiedot3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotHarjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.
Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätiedotk-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMatriisit ja optimointi kauppatieteilijöille
Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotHuippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot