3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali"

Arttu Auvinen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan heti, että vastaus ei voi olla yksikäsitteinen. Funktion f : S integraalifunktio (määräämätön integraali, primitiivi, antiderivaatta) on funktio F, jonka derivaatta on f: F ( x) f( x), jollakin välillä I funktion f määrittelyjoukossa S. Jos F on funktion f integraalifunktio, niin myös F(x) + C on sitä kaikilla vakioilla C (integroimisvakio). Integraalifunktiolle käytetään yleisesti merkintää F( x) f( x), jossa integraalimerkki tulee tyylitellystä S-kirjaimesta sanasta summa. Tämä yhteys selittyy tuonnempana ns. määrätyn integraalin kautta. Samoin symbolin sisältö tarkentuu silloin, nyt se voidaan katsoa lähinnä merkinnäksi, joka on joskus hyödyllinen, esim. sijoittamismenettelyssä.

2 5 Seuraavat perussäännöt oletetaan tunnetuksi lukion kursseilta tai muilta aikaisemmilta opinnoilta. (Ne on helppo myös todistaa derivoimissääntöjen pohjalta.) Merkintä F tarkoittaa funktion f integraalifunktiota: F( x) f( x). af x bg x a f x b g x (lineaarisuus). + + f xg x F x g x F x g x (osittaisintegrointi). f tdt f( g x) g ( x), t g( x) (sijoitus) 3. () ( ) f g x g x F g x 4. f ax + b F( ax + b) a 4a. 4b. f x ln f x f x 5a. f ( x ) pariton 5b. f ( x ) parillinen F x parillinen F x pariton (jos vakio C on valittu siten, että F 0 0)

3 5 Alkeisfunktioiden integrointikaavoista edellytetään tunnetuiksi seuraavat. Ne ovat kaikki vastaavien derivoimissääntöjen "käänteiskaavoja". (Oikealle puolelle aina lisättävä integroimisvakio C on jätetty kaavoissa merkitsemättä.) a+ x a + a 6. x ( a ) 7. ln x x e e 8. x x 9. sin x cosx 0. cos x sin x. cot x sin x. tan x cos x x 3. arctan ( a 0) a + x a a x a x a > 4. arcsin ( a 0) 5. ln x x a x + a sinh x cosh x 7. cosh x sinh x

4 53 Varsinaisia integroimistekniikkoja ei nykyisin symbolisten ohjelmistojen (Maple, Matlab Symbolic Mathematics Toolbox, Mathematica, MathCad, ) saatavuuden takia enää harjoitella rutiiniksi asti. Ohjelmistot eivät aina kuitenkaan selviä kaikista tilanteista ilman apua, joten perustapaukset on syytä tuntea. Ohessa on lueteltu tärkeimmät perusmenetelmät. Rationaalifunktioiden integrointi Rationaalifunktiot ovat polynomien osamääriä ja niillä on yhteyksiä moniin teknisiin sovelluksiin, mm. siirtofunktioiden ja integraalimuunnosten kautta. Jokainen rationaalifunktio on integroitavissa ja integraalifunktio esitettävissä alkeisfunktioiden avulla ("suljetussa muodossa"). (Näin ei ole asianlaita yleisesti funktioille. On paljon funktioita, joiden integraaleja ei voida esittää lausekkeina yksinkertaisimmista funktioista. Tällaisia ovat mm. useimmat fysiikan "erikoisfunktiot", kuten Besselin funktiot.) Rationaalifunktio f( x) Px Qx missä P ja Q ovat polynomeja, voidaan jakaa muotoon f( x) K( x) + R( x) Qx missä K(x) on polynomi ja rationaalifunktion R(x)/Q(x) osoittajana olevan polynomin R(x) aste on alempi kuin nimittäjän Q(x). 3 x 3x + 9x + 5 x 8 x + + x x+ x x+ Esim., mikä nähdään käsin laskien 3 3 esimerkiksi jakokulmaa käyttäen:

5 54 x x+ x 3 3 x 3x + 9x+ 5 3 (x x + 6 x) x + 3x+ 5 ( x + x 3) x + 8 Oletamme jatkossa, että näin on tarvittaessa tehty, ja siis polynomin R( x ) aste on pienempi kuin Qx:n eli deg R( x) < deg Q( x). R( x) Tällöin on hajotettavissa Q:n tekijöiden suhteen Qx osamurtokehitelmäksi. (partial fractions) Polynomi Q( x ) voidaan jakaa reaalisiin tekijöihin, joiden asteluku tyyliin m n ( ) ( )...( + + ) ( + + )..., ( a b, c d, ) Q x C x r x s x ax b x cx d < < p q missä rs,, ovat kertalukua m, n olevia reaalisia juuria, ja toisen asteen tekijät jaottomia, eli vastaavat kompleksijuuripareja. Silloin osamurtokehitelmän yleinen muoto on ( x r) ( ) R x R R R + m Q x x r + + m + x r S S S x s x s n n + + Ax+ B ( x s) ( ) A x+ B p p p + ( x + ax+ b ) ( x + ax+ b) Cx + + D Cx q + Dq + + q +, x + cx+ d x + cx+ d

6 55 Esim. A B Cx+ D x + ( x + )( x+ ) x ( x+ ) + ( x + )( x ) + B( x + ) + ( Cx + D)( x + ) ( x + ) ( x + ) A A + C 3 x + ( A + B + C + D) x + ( A + C + D) x + ( A + B + D) ( x + ) ( x + ) A + C 0, A + B + C + D 0, A + C + D 0, A + B + D A B C, D 0. x + x + x + x + x + x + Osamurtokehitelmässä olevat integraalit voidaan laskea seuraavasti: 8. A ( x a) n Aln x a, n A n, n ( n )( x a) 9. Ct n ( t + a ) dt C ln t + a, n C n, n ( n )( t + a ) 0. D D dt arctan t a a ( t + a )

7 56. I n I D n dt lasketaan rekursiivisesti: ( t + a ) Dt n + I na t a na ( + ) n+ n n ( n ). Ax+ B n ( a b) ( x + ax+ b) < palautetaan edellisiin täydentämällä nimittäjässä oleva toisen asteen polynomi neliöksi. Irrationaalifunktioiden integrointi Käsittelemme lyhyesti vain eräitä erityistapauksia. Jos funktio on rationaalinen lauseke R juurilausekkeesta, kyseisen juurilausekkeen sijoitus voi johtaa tulokseen. 3. R x, ax b n + n, sijoitus t ax + b n, x dt b cx d n + cx + d a ct integraalin rationaalifunktioksi muuttujan t suhteen. muuntaa Neliöksi täydentäminen ax + bx + c 4. ( a 0) b b ax bx c a x c b t x+ johtavat a ja sijoitus a 4a funktioihin arcsin tai logaritmi vakion a etumerkistä riippuen kaavojen 4 ja 5 mukaisesti.

8 57 Sijoittamalla sopiva trigonometrinen funktio voidaan neliöjuuresta päästä eroon: R x a x x asint, a, a x acost 5. (, ) R x x a adt x atant,, x + a cos t 6. (, + ) Vastaavasti merkeistä riippuen voidaan hyödyntää hyperbolisia funktioita sijoituksina: R x x a x acosht, asinhtdt, x a asinht 7. (, ) a cos t Eksponentti- ja logaritmifunktiot integroituvat myös joskus sopivalla sijoituksella tai osittaisintegroinnilla. ax ax dt 8. R ( e ) Sijoitus e t, x ln t, a at palauttaa rationaalifunktion integroinniksi. Rationaalifunktio lausekkeista sin ja cos palautuu sijoituksella rationaalifunktion integroinniksi R x x x t t dt tan t, sin x, cos x, + t + t + t 9. ( cos,sin )

9 58 Tehtäviä Laske oheisten funktioiden integraalit:. sin x. e ax 3. x/(x +) 4. x/(x 4 +) 5. x cosx 6. ln x 7. arctan x 8. x( x ) x 3x x x + x x + x x + Ratkaisuja. sin x sin t t dt (sij. x t, d( x)d(x ½ )½x -½ dt x ½ dt ) t sint dt (ositt. int. ut, v'sint, u', v-cost) (-tcost + cost dt) -t cost + sint - x cos x + sin x + C.. e ax /a a e ax /a e ax + C

10 59 3. x/(x +) ½ x/(x +) ½ ln(x +) + C 4. x/(x 4 +) ½/(t +) dt (sij. x t, x dt, x ½dt) ½arctan(t) ½arctan(x ) + C 5. x cosx xsinx - sinx (ositt. int. ux, v'cosx, u', vsinx ) x sinx +cosx + C 6. lnx x lnx -/x x (ositt. int. ulnx, v', u'/x, vx ) x lnx - x + C 7. arctanx x arctanx -/+x ) x (ositt. int. uarctanx, v', u'/(+x ), vx ) x arctanx -½ln(+x ) + C (Teht. 3) 8. I /(x(x -)) (A/x + B/(x+) + C/(x-)) /(x(x+)(x-)) (A/x + B/(x+) + C/(x-) A(x -) +Bx(x-) + Cx(x+) (A+B+C)x + (-B+C)x -A A-, BC½ I (-/x + ½/(x+) + ½/(x-)) -ln x +½ln x+ +½ln x- +C 9. I (x -3x+3)/(x 3 -x +x) (x -3x+3)/(x 3 -x +x) (x -3x+3)/(x(x-) ) A/x +B/(x-) + C/(x-) x -3x+3 A(x-) + Bx + Cx(x-) x -3x+3 (A+C)x + (-A+B-C)x +A A+C, -A+B-C-3, A3 A3, B, C- I(3/x + /(x-) - /(x-)) 3 ln x -/(x-) -ln x- +C

11 60 0. I (x+)/(x -x+) (nimittäjä jaoton) ½(x-)/(x -x+) + 3//(x -x+) I + I I ½ ln(x -x+) I 3//((x-½) +3/4) (nimittäjä täydennettiin neliöksi) (3/) (4/3) (muunnettiin arctan mielessä) x ½ + 3/ 3/ /(t +) dt, tehtiin sijoitus t(x-½)/( 3/), dt/( 3/) 3 arctan t II +I ½ ln (x x ½ -x+) + 3 arctan( 3/ + C

Samankaltaiset tiedostot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa