k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

Transkriptio

1 LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja Simpsonin saanto voidaan tulkita painotetuiksi keskiarvoiksi sopivissa pisteissa lasketuista funktion arvoista. Painojen summa on integroimisvalin pituus. Kaavat ovat siten periaatteessa muotoa Q(f) = w k f(x k ) missa kertoimet w k ovat painot ja funktion arvot lasketaan tukipisteissa x k. Puolisuunnikassaantointegroi tarkasti jokaisen ensimmaisen asteen polynomin, Simpsonin saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu tasavalisesti. Voidaan kysya, onko mahdollista paasta parempaan tulokseen ts. siihen etta korkeampaa astetta oleva polynomi integroituu tarkasti jos luovutaan tukipisteiden tasavalisyydesta. Talloin tukipisteet valittaisiin tarkan integroitumisen kannalta optimaalisella tavalla. Tarkastelu rajoitetaan seuraavassa koskemaan integroimisvalia [ 1]. Tama ei ole oleellinen rajoitus, silla minka tahansa valin [a b] yli otettu integraali voidaan muuntaa sijoituksella jolloin Z b a x = b ; a f(x) dx = b ; a f t + a + b b ; a t + a + b dt: Olkoon aluksi tarkasteltavana kahteen tukipisteeseen x 0 ja x 1 perustuva kvadratuurikaava Q 1 (f) =w 0 f(x 0 )+w 1 f(x 1 ): Painot w 0, w 1 ja tukipisteet x 0, x 1 pyritaan maaraamaan siten, etta mahdollisimman korkea-asteiset polynomit integroituvat tarkasti yli valin [ 1]. Tarkkaa integraalia merkitaan I(f) = f(x) dx: 01

2 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Kivela, Reaalimuuttujan analyysi Koska tuntemattomia on nelja, voidaan yrittaa vaatia potenssien x j, j =0 1 tarkka integroituminen: 8 >< >: Q 1 (1) = I(1) eli w 0 + w 1 = Q 1 (x) =I(x) eli w 0 x 0 + w 1 x 1 =0 Q 1 (x )=I(x ) eli w 0 x 0 + w 1x 1 = Q 1 (x )=I(x ) eli w 0 x 0 + w 1x 1 =0: Kyseessa onepalineaarinen yhtaloryhma, jonka ratkaisu kuitenkin on helposti loydettavissa: w 0 = w 1 =1 ;x 0 = x 1 = p 1 =0:5775 :::: Saadut tukipisteet sijaitsevat integroimisvalilla ja painojen summa on valin pituus, kuten on luonnollista odottaa. Tuloksena on kertalukua 1 oleva Gaussin kvadratuuri (eli numeerisen integroinnin kaava) Q 1 (f) =f(; 1 p )+f( 1 p ): Voidaan osoittaa, etta integrointivirheelle patee ji(f) ; Q 1 (f)j 1 15 max jf (4) (x)j: x[ 1] Vastaavalla tavalla voidaan johtaa korkeampien kertalukujen kvadratuurikaavoja. Toisen kertaluvun kvadratuurissa Q (f) =w 0 f(x 0 )+w 1 f(x 1 )+w f(x ) tukipisteita on kolme ja voidaan vaatia potenssien x j, j integroituminen: 8 >< >: Q (1) = I(1) eli w 0 + w 1 + w = Q (x) =I(x) eli w 0 x 0 + w 1 x 1 + w x =0 Q (x )=I(x ) eli w 0 x 0 + w 1 x 1 + w x = Q (x )=I(x ) eli w 0 x 0 + w 1 x 1 + w x =0 Q (x 4 )=I(x 4 ) eli w 0 x w 1 x w x 4 = 5 Q (x 5 )=I(x 5 ) eli w 0 x w 1 x w x 5 =0: = , tarkka Syntyva epalineaarinen yhtaloryhma on hieman vaikeammin, mutta kuitenkin algebrallisesti ratkaistavissa: 0 w 0 = w = 5 =0:55555 ::: 9 q w 1 = 8 =0:88888 ::: 9 ;x 0 = x = 5 ::: x 1 =0:

3 Kivela, Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Kertalukua oleva Gaussin kvadratuuri on siten Q (f) 0:5556 f(;0:7746) + 0:8889 f(0) + 0:5556 f(0:7746): Integrointivirheelle voidaan laskea arvio ji(f) ; Q (f)j max jf (6) (x)j: x[ 1] Kertaluvun n tapauksessa kvadratuurikaava on Q n (f) = w k f(x k ): Painoja ja tukipisteita onyhteensa n +, jolloin voidaan vaatia potenssien x j, j =0 1 ::: n + 1, tarkka integroituminen. Syntyvan epalineaarisen yhtaloryhman ratkaiseminen kay kuitenkin vaikeaksi kertaluvun kasvaessa. Tukipisteet voidaankin loytaa helpommin eraan polynomin nollakohtina: Olkoon p(x) astetta n + 1 oleva polynomi, joka toteuttaa integraaliehdot x j p(x) dx =0 j =0 1 ::: n: Nama voidaan ilmeisestikin lausua myos muodossa p(x)q(x) dx =0 kaikilla polynomeilla q, deg q n: Polynomia p kutsutaan potenssien x j ortogonaalipolynomiksi. Ajatuksena on tulkita lauseke (p j q) = p(x)q(x) dx sisatuloksi silla nimittain on luonteenomaiset sisatulon ominaisuudet (vrt. AG, lause 5.7.). Jos kahden vektorin tai polynomin sisatulo on = 0, niita on tapana kutsua ortogonaalisiksi, mista nimitys ortogonaalipolynomi. Muunlaista, esimerkiksi polynomien kuvaajiin liittyvaa kohtisuoruutta eivat integraaliehdot tarkoita. Lause Integraaliehdot x j p(x) dx =0 j =0 1 ::: n 0

4 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Kivela, Reaalimuuttujan analyysi tayttava astetta n + 1 oleva polynomi p on olemassa. astetta n + 1 olevan termin kertoimeksi kiinnitetaan 1. Se on yksikasitteinen, kun P n+1 Todistus. Merkitaan p(x) = a kx k. Kun tama sijoitetaan integraaliehtoihin, saadaan kertoimille a k homogeeninen (ts. yhtaloryhman vakiotermit ovat = 0) lineaarinen yhtaloryhma, jossa on n + 1yhtaloa jan + tuntematonta. Tallaisella yhtaloryhmallaonaarettoman monta ratkaisua siis myos muita kuin nollien muodostama ratkaisu. Yhtaloryhmalla on ratkaisu, jossa korkeimman potenssin kerroin a n+1 on 6= 0. Jos nain ei olisi, olisi polynomi p enintaan astetta n R ja integraaliehtojen perusteella olisi 1 p(x)p(x) dx =0. Talloin olisi p(x) =0kaikilla x ja yhtaloryhmalla olisikin vain yksi ratkaisu: a 0 = a 1 = = a n+1 =0. Polynomi p voidaan jakaa korkeimman potenssin kertoimella, jolloin saadaan polynomi, jossa korkeimman potenssin kerroin on 1. Jakaminen ei vaikuta integraaliehtojen toteutumiseen. Jos olisi olemassa kaksi erilaista tallaista polynomia, p 1 ja p, olisi [p 1 (x) ; p (x)]q(x) dx =0 kaikilla enintaan asetta n olevilla polynomeilla q. Erotus p 1 ; p on itse enintaan astetta n, jolloin siis on [p 1 (x) ; p (x)] dx =0: Tasta seuraa, etta polynomit ovat samat: p 1 = p. Lause Jos astetta n + 1 olevalle polynomille p(x) patee x j p(x) dx =0 j =0 1 ::: n niin sen nollakohdat x k, k =0 1 ::: n ovat eri suuret, reaaliset ja sijaitsevat valilla [ 1]. Todistus. Olkoot x 1 x ::: x r sellaiset polynomin p valilla [ 1] sijaitsevat nollakohdat, joissa p(x) vaihtaa merkkinsa. Jos kaikki nollakohdat eivat ole eri suuria, reaalisia ja sijaitse valilla [ 1], on r<n+1. Polynomi q(x) =(x ; x 1 )(x ; x ) :::(x ; x r ) on talloin enintaan astetta n ja integraaliehtojen perusteella on siis 04 p(x)q(x) dx =0:

5 Kivela, Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Koska seka p etta q vaihtavat merkkiaan pisteissa x 1 x ::: x r, tulo p(x)q(x) ei vaihda niissa merkkiaan, vaan on koko integrointivalilla maaratynmerkkinen (joko positiivinen tai negatiivinen). Talloin integraali ei voi olla = 0. p(x)q(x) dx Ainoa mahdollisuus on, etta r = n + 1, ts. polynomin p kaikki nollakohdat sijaitsevat valilla [ 1], ovat reaalisia ja eri suuria. Lause Kertalukua n olevan Gaussin kvadratuurin Q n (f) = w k f(x k ) tukipisteet x k, k =0 1 ::: n,ovat potenssien x j, j =0 1 ::: n, ortogonaalipolynomin p(x) nollakohdat. Vastaavat painot w k, k =0 1 ::: n, saadaan integroimalla tukipisteisiin liittyvat Lagrangen interpolaation apufunktiot L k (x), k =0 1 ::: n: w k = L k (x) dx k =0 1 ::: n: Todistus. On osoitettava, etta kvadratuurikaava integroi tarkasti potenssit x j, j = 0 1 ::: n +1, valilla [ 1], kun tukipisteet ja painot valitaan em. tavalla. Jakamalla potenssi x j, missa j =0 1 ::: n + 1, astetta n + 1 olevalla polynomilla p saadaan osamaaraksi polynomi q ja jakojaannokseksi polynomi r. Nama ovat kumpikin enintaan astetta n. On siis x j = pq + r ja integroimalla yli valin [ 1] saadaan I(x j )=I(pq + r) =I(pq)+I(r): Koska I(x j p)=0,kunj =0 1 ::: n,jaq on enintaan astetta n, oni(pq) =0. Koska r on enintaan astetta n, se yhtyy astetta n olevaan Lagrangen interpolaatiopolynomiinsa ja I(r) = r(x) dx = r(x k )L k (x) dx = r(x k ) L k (x) dx = w k r(x k ): 05

6 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Kivela, Reaalimuuttujan analyysi Koska p(x k )=0,onx j k = p(x k)q(x k )+r(x k )=r(x k )jokaisessa tukipisteessa x k. Yhdistamalla tulokset saadaan I(x j )=I(pq)+I(r) =I(r) = w k r(x k )= w k x j k = Q n(x j ) jokaiselle eksponentille j = 0 1 ::: n +1. Nama potenssit siis integroituvat tarkasti. Kertalukua n olevan Gaussin kvadratuurin virhe voidaan myos lausua vastaavan ortogonaalipolynomin p n+1 avulla oletetaan, etta tassa onkorkeimman potenssin kerroin normeerattu arvoon 1. Virheen ylarajaksi saadaan ji(f) ; Q n (f)j 1 (n + )! p n+1 (x) dx max jf (n+) (x)j: x[ 1] Taman todistaminen edellyttaa tassa kasiteltya laajempia interpolaatiotarkasteluja (ns. Hermiten interpolaatiota) ja sivuutetaan. Esimerkki Kertalukua olevan Gaussin kvadratuurin johtamiseksi on muodostettava polynomi p(x) = a 4 x 4 + a x + a x + a 1 x + a 0, joka toteuttaa integraaliehdot p(x) dx = xp(x) dx = Nama johtavat lineaariseen yhtaloryhmaan 8 >< >: a 4 x p(x) dx = 5 + a + a 0 =0 a 5 + a 1 =0 a a 5 + a 0 =0 a 7 + a 1 5 =0 x p(x) dx =0: jonka ratkaisu on a 0 = 5 a 4, a 1 =0,a = ; 6 7 a 4, a = 0. Ortogonaalipolynomi, jonka korkeimman asteen termin kerroin on = 1, on siten x 4 ; 6 7 x + 5 : Taman nollakohdat ovat kvadratuurin tukipisteet 06 x 0 ;0:86116 x 1 ;0:9981 x 0:9981 x 0:86116:

7 Kivela, Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Muodostamalla tukipisteisiin liittyvat Lagrangen interpolaation apufunktiot L 0 (x) = (x ; x 1)(x ; x )(x ; x ) (x 0 ; x 1 )(x 0 ; x )(x 0 ; x ) L 1(x) = (x ; x 0)(x ; x )(x ; x ) (x 1 ; x 0 )(x 1 ; x )(x 1 ; x ) L (x) = (x ; x 0)(x ; x 1 )(x ; x ) (x ; x 0 )(x ; x 1 )(x ; x ) L (x) = (x ; x 0)(x ; x 1 )(x ; x ) (x ; x 0 )(x ; x 1 )(x ; x ) ja integroimalla nama valin [ 1] yli saadaan vastaavat painot: Kvadratuuri on siten w 0 = w =0:47855 w 1 = w =0:65145: Q (f) 0:47855 f(;0:86116) + 0:65145 f(;0:9981) + 0:65145 f(0:9981) + 0:47855 f(0:86116): Integrointivirheen ylarajaksi saadaan ji(f) ; Q (f)j 1 8! (x 4 ; 6 7 x + 5 ) dx max jf (8) (x)j x[ 1] = max jf (8) (x)j: x[ 1] Esimerkki Olkoon laskettavana integraali (vrt. esimerkkiin 1.5.1) 0 dx 1+x : Tekemalla sijoitus x = 1 t + 1 tama saadaan muotoon 4+(t +1) dt: Soveltamalla eri kertalukujen Gaussin kvadratuureja saadaan integraalille seuraavat numeeriset approksimaatiot: Integraalin tarkka arvo on 4 0: kertaluku integr. arvo