H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Transkriptio

1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa edessämme on integraali dx ax + b jonka saa helposti laskettua muuttujan vaihdolla: u = ax + b. x n differentiaali saadaan muotoon: dx = a = dx a ja uusi helpommin käsiteltävä integraali näyttää siis tältä: u / a Nyt voimme integroida alkeisfunktion ja sijoittaa takaisin u = ax + b. u / = a 3a u3/ + C b) Integraali tällä kertaa on 3a (ax + b)3/ + C x sin(ax + b)dx ja kuten edellisessä kohdassa, sen laskeminen onnistuu selvästi muuttujan vaihdolla u = ax + b. Lasketaan ensin mikä on: dx = ax

2 ax = dx Ja tästä saadaan triviaali integraali u n suhteen: a sin(u) = a cos(u) + C a cos(ax + b) + C

3 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat integraalit sopivalla muuttujanvaihdolla: dx dx a) b) x + x(x c) dx tan x + ) a) Sopiva muuttujanvaihto voisi olla esimerkiksi u = x. Kokeillaan: u = x x dx =d dx dx = x = dx x dx = x = u Nyt saadaan: dx = x + u u + Tämä osataan ratkaista: u u + = = = u + u + ( u + u + u + ( ) u + = ( u ln(u + ) ) + C = x ln( x + ) + C )

4 b) Kokeillaan muuttujanvaihtona u = x. Nyt: u =x dx =dx dx dx =x =xdx dx = x Sijoitetaan muuttujanvaihto alkuperäiseen integraaliin: dx x(x + ) = = = = = = ln(u) = ln(x ) x (x + ) u(u + ) (u + u) u(u + ) ( u + u(u + ) ( u u + ln(u + ) ln(x + ) = ln(x) ln(x + ) u ) u(u + ) ) + C + C + C

5 c) Aluksi kannattaa ilmaista tan x sinin ja kosinin avulla: dx tan x = dx sin x cos x Nyt kokeillaan muuttujanvaihtoa u = cos x: u = cos x cos x =d dx dx dx = sin x dx = sin x Sijoitetaan muuttujanvaihto: dx sin x cos x = = = sin x sin x cos x cos x u = ln(u) + C = ln(cos x) + C 3

6 Mapu I Laskuharjoitus 5, tehtävä 3 3. Laske osittaisintegroimalla seuraavat integraalit: a. dx(x sinx) Ratkaisu b. c. a. xsin(x) (x )cos(x) + C b. ex sin(x)+e x cos(x) + C c. arctan(x)x ln( + x ) + C dx(e x cosx) dx(arctanx) a. Osittaisintegroitaessa käytetään kaavaa f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Tässä kannattaa valita f(x) = x ja g (x) = sinx, sillä x derivoituu tehtävän kannalta mukavasti, ja sin(x) ei tuota haastavaa integrointia. Eli f(x) = x, f (x) = x, g (x) = sinx ja g(x) = cosx x sin(x)dx = x ( cos(x)) x( cosx)dx Koska tämäkään integraali ei ratkea kovin helposti, käytetään uudestaan osittaisintegrointia. Nyt f(x) = x, f (x) = g (x) = cosx ja g(x) = sinx x( cosx)dx = x( sinx) ( sinx) = x(sinx) cos(x) Saadaan siis x sin(x)dx = x cos(x) ( x(sinx) cos(x)) = x cos(x)+xsin(x)+cos(x)+c joka saadaan sievennettyä muotoon xsin(x) (x )cos(x) + C

7 Mapu I Laskuharjoitus 5, tehtävä 3 b. e x cos(x)dx valitaan f(x) = e x, f (x) = e x, g (x) = cos(x), g(x) = sin(x) e x cos(x)dx = e x sin(x) e x sin(x) Seuraavaksi lasketaan integraali e x sin(x)dx valitaan f(x) = e x, f (x) = e x, g (x) = sin(x), g(x) = cos(x) e x sin(x)dx = e x cos(x) e x cos(x)dx Kun tämä sijoitetaan alkuperäiseen lausekkeesseen saadaan e x cos(x)dx = e x sin(x) + e x cos(x) + e x cos(x)dx Huomataan, että molemmilla puolilla on sama integraali e x cos(x)dx. Siirretään nämä samalle puolelle, jolloin saadaan e x cos(x)dx = e x sin(x) + e x cos(x) ja ratkaisuksi saadaan e x cos(x)dx = ex sin(x) + e x cos(x) + C c. arctan(x)dx Integraali voidaan kirjoittaa muotoon arctan(x)dx = arctan(x)dx Valitaan f(x) = arctan(x), f (x) = (+x ), g (x) = ja g(x) = x arctan(x)dx = arctan(x)x x dx = arctan(x)x + x x + x Mikä saadaan muotoon

8 Mapu I Laskuharjoitus 5, tehtävä 3 Eli arctan(x)x x + x = arctan(x)x ln( + x ) + C arctan(x)dx = arctan(x)x ln( + x ) + C 3

9 Tehtävä 4 Tarkastellaan rationaali funktion P (x) Q(x) jakamista osamurtoihin. Jos nimittäjän funktiosta muodostetulla yhtälöllä Q(x) = 0 on vain yksinkertaisia juuria (eli jokainen yhtälön toteuttava x esiintyy vain kerran), voidaan osamurtoihin jako tehdä seuraavasti n P (x) Q(x) = A n () i= x x i missä x i vastaa yhtälön Q(x) = 0 ratkaisuja, n on Q(x):n asteluku ja A i ovat vakioita. Tehtävässä integroitava funktio on muotoa x a () Nyt siis P (x) = ja Q(x) = x a. Yhtälön Q(x) = 0 ratkaisut ovat nyt siis x a = 0 x = ±a Sijoitetaan nyt saat arvot yhtälön mukaiseen summa lausekkeeseen x a = A x a + B x + a Toisaalta Q(x) voidaan esittää juuriensa avulla muodossa x a = (x a)(x + a) (x a)(x + a) = A x a + B x + a Seuraavaksi haluamme ratkaista vakiot A ja B. Kerrotaan yhtälön 4 molemmat puolet (x a)(x + a) lausekkeella (3) (4) = A(x + ) + B(x a) = Ax + Bx + Aa Ba = (A + B)x + Aa Ba Yhtälö pätee vain jos x:llä kerrottavat termit ja ei-x:llä kerrottavat termit ovat yhtä suuret yhtälön molemmilla puolilla. Saadaan yhtälöryhmä = Aa Ba () 0 = A + B () Yhtälöstä () voidaan ratkaista A = B. Sijoittamalla tämä yhtälöön () saadaan = Aa + Aa = Aa A = a B = a

10 Tarvittaessa voitaisiin tarkistaa onko osamurtoihin jako onnistunut sijoittamalla A ja B yhtälöön 3 ja katsomalla päästäänkö laventamalla takaisin alkuperäiseen muotoon. Lasketaan nyt integraali, joka voidaan kirjoitaa osamurtojen avulla seuraavasti x a dx = a x a a x + a dx = a x a dx a x + a dx Huomaamme, että nyt integraali on muodossa, jonka pystymme suoraan integroimaan a x a dx a x + a dx = ln x a ln x + a + C a a (ln x a ln x + a ) + C = a a ln x a x + a + C x a dx = a ln x a x + a + C

11 Tehtävä 5. Laske rationaalifunktion integraali Vastaus: x Ratkaisu: 4 ln(x + ) + 5 ln(x + ) + C x3 + 3x + 3x 3 x dx + 3x + Tehtävänannon integraali ei sellaisenaan ole tavallisen tallaajan laskettavissa. Tavoitteenamme on siis muokata integrandi summaksi, jonka termit osaamme integroida termi kerrallaan. Aloitetaan jakamalla integrandi jakokulmassa: x x + 3x + x 3 + 3x + 3x 3 x 3 3x x x 3 Integrandi voidaan nyt ilmoittaa osamäärän ja jakojäännöksen summana: x 3 + 3x + 3x 3 x + 3x + = x + x 3 x + 3x + Jaetaan vielä jäljelle jäänyt jakojäännös osamurtokehitelmällä. Selvitään ensin nimittäjän nollakohdat yhtälöstä x + 3x + = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla : x = 3 ± 3 4 = 3 ± 9 8 = 3 ± = Nimittäjä voidaan nyt kirjoittaa nollakohtien avulla tulona ja koko jakojäännös saadaan muotoon: x 3 x + 3x + = x 3 (x + )(x + ) Osamurtokehitelmän avulla haluamme vielä kirjoittaa jakojäännöksen muodossa: A x + + B x + missä A ja B ovat reaalilukuja. Merkitään jakojäännös yhtä suureksi kuin yllä oleva osamurtokehitelmä, ja yhdistetään oikea puoli yhdeksi rationaalilausekkeeksi: x 3 (x + )(x + ) = A x + + B x + x 3 A(x + ) + B(x + ) = (x + )(x + ) (x + )(x + )

12 Koska nimittäjät yhtälön molemmilla puolilla ovat samat, täytyy olla: x 3 = A(x + ) + B(x + ) x 3 = (A + B)x + A + B Muodostetaan yhtälöpari mätsäämällä samanasteisten termien kertoimet: A + B = A + B = 3 B = A A + B = 3 Sijoitetaan B alempaan yhtälöön: A + A = 3 A = 4 Sijoitetaan A ylempään yhtälöön: B = ( 4) = 5 Osamurtokehitelmästä saadaan tulokseksi siis: x 3 x + 3x + = 4 x x + Alkuperäinen integraali voidaan nyt kirjoittaa useamman termin summana ja se tulee muotoon: x3 + 3x + 3x 3 x dx = (x 4 + 3x + x x + ) dx = x 4 ln(x + ) + 5 ln(x + ) + C [ ] Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava: x ± = b ± b 4ac a josta saadaan polynomin P (x) = ax + bx + c nollakohdat x ja x. [ ] Polynomin jakaminen tekijöihin nollakohtiensa avulla: P (x) = ax + bx + c = a(x x )(x x ) missä x ja x ovat polynomin P (x) = ax + bx + c nollakohdat.

13 Mapu. Laskuharjoitus 5, Tehtävä S a) Osoita osittaisintegroimalla, että: Osittaisintegrointi: f gdx = fg fg dx I n (x) = x n e x dx = x n e x ni n (x) Osittaisintegroinnin määritelmä muistuttaa heti kysyttyä rekursiokaavaa, ja rekursiokaavassa x n nähdään oikean puolen ensimmäisessä termissä sellaisenaan. Valitaan tämän perusteella: f = e x f = e x ja g = x n g = nx n jolloin I n (x) saadaan kirjoitettua osittaisintegraalin avulla muotoon: I n (x) = e x x n e x nx n dx = x n e x n x n e x dx = x n e x ni n (x) joka on tehtävänannossa esitetty muoto. b) Laske I 0 (x) I 0 (x) saadaan helpoiten ratkaistua sijoittamalla n = 0 suoraan alkuperäiseen yhtälöön: I 0 (x) = x 0 e x dx = e x + C c) Johda I 3 (x) käyttämällä rekursiokaavaa: I n (x) = x n e x ni n (x) I (x) = x e x I 0 (x) = xe x e x + C I (x) = x e x I (x) = x e x xe x + e x + C I 3 (x) = x 3 e x 3 I (x) = x 3 e x 3x e x + 6xe x 6e x + C 3 = e x (x 3 3x + 6x 6) + C Vastaus voidaan tarkistaa derivoimalla: d dx I 3(x) = d dx (ex (x 3 3x + 6x 6) + C) = e x (x 3 3x + 6x 6) + e x (3x 6x + 6) = e x x 3 e x (3x 6x + 6) + e x (3x 6x + 6) = e x x 3 I 3 (x) = x 3 e x dx

14