Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Transkriptio

1 . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri arvoilla. Yhteinen derivaatta /; erotus ln; b) yhteinen derivaatta /(+ 2 ); tapauksessa k > erotus on arctank, jos < /k, ja π arctank, jos > /k; tapauksessa k = erotus on ; tapauksessa k < erotus on π arctank, jos < /k, ja arctank, jos > /k; c) yhteinen derivaatta / 2 a; erotus lna Sievennä lauseke arcsin(2 2 ) muodostamalla ensin sen derivaatta. 39. Määritä se funktion 2 3 integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa + y = Käyrä y = f () kulkee pisteen (3,) kautta ja jokaisessa pisteessä (, f ()) tangentin kulmakerroin on Määritä käyrän yhtälö. y = Onko funktiolla integraalifunktiota, joka on määritelty kaikilla R? On; 2 +C Määritä se funktion f () = + integraalifunktio F, joka toteuttaa ehdon F() = 2. Todenna, että F () = f (). Laske F( 2). F() = 2 ( + ) + ; F( 2) = m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

2 Määritä seuraavien funktioiden integraalifunktiot käsin laskulla, b) jotakin tietokoneohjelmaa käyttäen: 3 3, b) (2 ) 3 3 2, c) , 2 5, e) (3 7) 43, f) ( )(4 5), g) 2 5( + ) ( + 3 ) 4, h) , i) sinsin2, j) sin cos 3, cos k) sin 4, ln l), m) ln, n) e + e, o) e, p) e 3 + e, e q) + e, r) e + e 2, 5 + s) 2 +, t) , u), 4 2 v) y), w) , etan ) cos 2, sin 2 (2 + ), z) 2 cos 2 (5 3 2), å) sinh2, ä) cosh 2, ö) arsinh Etsi seuraaville funktioille f annetun ehdon täyttävä integraalifunktio F: f () = 4sincos cos 2, F() = 2, b) f () = 2 3 4, F(3 e 4 ) =, c) f () = π 2 cos π, F() = Laske seuraavat määrätyt integraalit: , b) 2 3a, c) a (a ). 4a.2. Sijoitusmenettely 397. Suorita jokin sopivalta tuntuva sijoitus, kun integroitava on muotoa f (ln), b) f (cos)sin, c) f (tan)cos 2, f (ae + b)e (a, b vakioit. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

3 Miten integraali muuntuu kussakin tapauksessa? 398. Laske seuraavat integraalit sijoitusta käyttäen: 399. Laske integraali ( 2 + ) 3, b) ( + tan 2 ) tan, e) g) 6 2, h) 2 (a 3 + b) a 3 + b, c) (arcsin) 2, f) a 2 sijoituksella = /t, b) sijoituksella = a tant, c) sijoituksella = a sinht. 4. cos 3 sin 2, (arctan)( + 2 ), Etsi funktion /cosh integraalifunktio sijoituksella t = e, b) sijoituksella t = tanh 2. Vertaa saatuja integraalifunktioita. 4. Määritä ne funktion e 4 + (e + ) 2 integraalifunktiot, joiden kuvaajilla on asymptoottina -akseli. 2 (arctan e + 2 arctan 2 ), 2 arctan e + 2 π Muodosta sijoitusmenettelyä käyttäen seuraavista integraaleista kustakin kolme uutta integraalia, jotka eivät ole integroitavissa alkeisfunktioiden avulla: e sin, b) e 2, c) + 4,, ln. 43. Laske seuraavat määrätyt integraalit sijoitusta käyttäen: e 3, b) + + ln. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

4 52/5; b) Osoita, että jos f on jatkuva funktio ja a < b, niin integraali b a f () voidaan muuntaa muotoa = At +B olevalla sijoituksella integraaliksi, jonka rajat ovat α ja β. Suorita muuntaminen. A = b a aβ bα, B = β α β α ; 45. Osoita, että jos f on jatkuva funktio, niin b Sijoitus = a + b t. 46. A β α f (At + B)dt. a b f () = f (a + b ). a Todista, että jos f jatkuva funktio, jolla on jaksona ω, niin a+ω f () = a ω f (). 47. Määritä lim n n k= 4n 2 k. 2 π/6..3. Osittaisintegrointi 48. Laske osittaisintegroinnilla g) arctan, b) 2 cos, c) 3 e, cosh, e) ln 2, f) a + b, arcsin cos 2, h), i) + arctan. 49. Laske osittaisintegroinnilla e, b) sin 3, c) arctan. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

5 4. Laske arsinh, b) arcosh, c) artanh. 4. Laske cos 2 osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. 42. Määritä α ln kaikilla arvoilla α R. 43. Muodosta osittaisintegroinnilla seuraavista integraaleista uusi integraali, joka ei ole laskettavissa alkeisfunktioiden avulla: e sin, b) e 2, c) + 4,, e) ln. 44. Laske seuraavat määrätyt integraalit: g) π/2 /3 2 cos 2, b) arctan(3), e) ( ) 2 ln, h) π/4 /2 2 cos 2, arcsin, f) ln 2, i) 2π c) sin, ln2 2 e 3, ln( + e ) e. 45. Johda palautuskaava integraalille e I n = (ln) n (n N). 46. Johda palautuskaava integraalille I n = ( 2 ) n (n N). m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

6 47. Johda osittaisintegroinnilla palautuskaava määrätylle integraalille I = π/2, I = ; I n = n n I n 2, n π/2 I n = sin n (n =,,2,...). Mitkä rajat saadaan luvulle f (), kun tiedetään, että f ja sen derivaatta ovat jatkuvia integroimisvälillä, f () = ja f () e 2 integroimisvälillä? Integraalin arvo on välillä [ 3 e 2, +e 2 ]..4. Rationaalifunktioiden integrointi; osamurtokehitelmä 49. Integroi seuraavat rationaalifunktiot: ( + 2) 3, b) , c) 24 ( 2 )( 2 4), ( ) 2 ( + ), e) ( 2 ) 3, f) , g) , h) , i) ( 2 + ) 3, j) m) , k) ( 2 + 2) 2, l) ( 2 + )( 2 + 2), Laske integraalit 5 ( 2 + 2) 2, b) 4 ( 3 + ) 2, c) 3 + ( 3 8). 42. Jaa polynomi enintään toista astetta oleviin reaalisiin tekijöihin ja laske tätä hyväksi käyttäen integraali m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

7 422. Laske integraali Muodosta osamurtokehitelmä ja laske integraalifunktio lausekkeelle 4 + ( )( 3 + ) Muodosta osamurtokehitelmä rationaalifunktiolle ja laske integraalifunktio ( )( ) Laske integraali + ( 2. + ) 426. Muodosta osamurtokehitelmä lausekkeelle Lisää tämän jälkeen lausekkeen nimittäjään ja muodosta osamurtokehitelmä uudelleen Laske ( 3 + 8) muodostamalla osamurtokehitelmä, b) suorittamalla ensin sopiva sijoitus Olkoon a < b. Määritä se funktion b a ( (b ) m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

8 integraalifunktio, joka kohdassa 2 (a + b) saa arvon. ln a b Laske kaikilla arvoilla a R integraali ( 2 )(..5. Esimerkkejä integroinnista 43. Johda osittaisintegroinnilla palautuskaava integraalille C n = cos n, n =,,2,... Laske myös C ja C. 43. Olkoon C n = cos n. Johda kaavat C n = n cosn sin + n n C n 2, n, C n 2 = n cosn sin + Miten näiden avulla saadaan integraalit C n, n Z, lasketuiksi? 432. n n C n, n. Johda sijoitusta t = tan käyttäen palautuskaava integraalille I n = tan n, n = 2,3,4,... Laske erikseen I ja I sekä palautuskaavan avulla I m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

9 Laske seuraavat integraalit: sin 7, b) cos 5, e) cos3 g) sin, h) tan 3 j), k) cos cos 4, c) cos 6, sin 2 4 cos 2 4, f) sin 2 3 sin 2 5, 3 sin sin2 sin3, i) sin 2 cos 3, tan sin cos., l) 6 sin 5 cos Laske integraalit sin 5 cos 3, b) sin 2 cos 8 tan, c) sin 4, cos 4 3cos 2 + 5sin 2, e) sin 3 cos Muunna integraali 5 + 4sin sijoituksella t = tan 2 ja laske se. Piirrä integraalifunktion kuvaaja. Onko tämä jatkuva? 436. Laske 2π 5 + 4sin Laske integraalit 2 sin 2 + cos, b) 5 4sin + 3cos Olkoon a >, b >. Laske a + bcos. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

10 439. Laske kaikilla arvoilla a R + acos Olkoon (a, b) (, ). Laske a + btan, b) a 2 cos 2 + b 2 sin Laske kaikilla arvoilla a,b R cosa cosb, b) sina cos 2 b Millä kokonaisluvun n arvoilla integraalit sinh n ja cosh n palautuvat polynomin integroimiseen? Millaista sijoitusta tällöin on käytettävä? Laske sovellutuksena sinh 5, b) cosh 7, c) n positiivinen ja pariton tai negatiivinen ja parillinen. sinh 6, cosh Laske seuraavat integraalit: e) ( + cosh) 2, b) sinh 5, f) tanh 3, c) sinh cosh, cosh 2 sinh 4, g) coth 2, h) cosh 4, sinh 3 cosh Laske palauttamalla eksponenttifunktioon (cosh + sinh) cosh sinh, b) cosh3 sinh 3 cosh 3 + sinh 3. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

11 445. Laske integraali Laske integraali Anna vastaus logaritmifunktion avulla Laske seuraavat integraalit: +, b) a + g) j) + 4, c) 3, + a, e) 6 ( ), f) 4 2 2, , h) k) , (2 3)(4 ). i) , + a ( 2, 448. Laske seuraavat määrätyt integraalit: a a π/4 2 a 2 2, b) 3/2 3/2 sin 4 cos 2, e) π/ , c) 2cos + 3, f) π/2 2 +, a 2 sin 2 + b 2 cos 2 (ab ) Sievennä funktio ja piirrä sen kuvaaja. f () = 2/( 3 ). 45. Muotoa /2 dt f () = /2 ( 2 t 2 ) 3/2 ( ) I = P n () a 2 + b + c m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

12 oleva integraali, missä P n () on astetta n oleva polynomi, voidaan laskea kirjoittamalla I = (A n + A 2 n A n ) a 2 + b + c + A n+ a 2 + b + c. Osoita, että kertoimet A k voidaan määrätä yksinomaan polynomien yhtäsuuruutta koskevasta ehdosta, joka saadaan asettamalla edellä olevien lausekkeiden derivaatat yhtä suuriksi. Sovella menettelyä seuraavien integraalien laskemiseen: , b) Palauta annetuilla sijoituksilla integraalit b) ( ) 2 + +, = t, , edellisessä tehtävässä käsiteltyyn muotoon ja laske ne Palauta integraali = t ( 2 ) 2 + edellisessä tehtävässä käsiteltyyn tyyppiin muodostamalla ensin osamurtokehitelmä funktiolle /( 2 ). Laske integraali Laske (ln) n kaikille n N. n! n k= ( )n k (ln) k /k! +C Laske integraalit 3 5 ( 2 ) 2, b) 7 4, e) a + b, c) n a , 3 28 ( ) 3 2 +C; b) jos b, a >, niin /(n [ln a + b n a ln( a + b n + ] +C; jos b, a =, niin 2/(n b n ) +C; jos b, a <, niin 2/(v arctan( a + b n / +C; jos b =, a, niin ln / a +C; c) ( ) 2 /(5 5 ) +C; m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos

13 (2 4 + ) 4 /(6 6 ) +C; e) 2 3 arctan( a 3 3 /( )) +C Laske integraalit c) 3 ( ) 7 ( + ), b) 2 ( + 2 ), 4 ( ) , 2 ( 2 + ) (3 5) 3 + 6( ) +C; b) ( ) 3/2 +C; c) C; 2 arccos C Laske integraalit ln( + + ), b) arcsin 2, c) ( + 2 ) 2 arctan. ln( + + ) + 2 arcsin 2 +C; b) arcsin ln + 2 +C; c) ( )arctan ln( + 2 ) +C Tutki, voidaanko seuraavat funktiot integroida alkeisfunktioiden avulla: e e, b) ( + ) Tutki, voidaanko seuraavat funktiot integroida alkeisfunktioiden avulla: sin cos, b). m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiikan laitos