7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Transkriptio

1 7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin toinen laki. Differentiaalihtälön ratkaisemiseksi on etsittävä (arvaamalla / kokeilemalla tai sstemaattisesti tuntematon funktio, joka toteuttaa ko. htälön. Differentiaalihtälöt voidaan luokitella niissä esiintvien termien avulla (esim. lineaarinen. Osittaisdifferentiaalihtälöillä tarkoitetaan htälöitä, joissa tuntematon funktio riippuu useasta muuttujasta ja niissä voi esiintä osittaisderivaattoja. 4. Homogeeninen lineaarinen (tavallinen vakiokertoiminen differentiaalihtälö voidaan ratkaista kättäen eksponentiaalista ritefunktiota. 5. Epähomogeeninen lineaarinen differentiaalihtälö voidaan ratkaista tädellisesti, jos htälölle lödetään ksikin ratkaisu. 6. Eksakti differentiaalihtälö voidaan ratkaista viivaintegraalin avulla. 7. Jotkut epäeksaktit differentiaalihtälöt voidaan muuntaa eksakteiksi differentiaalihtälöiksi integroivan tekijän avulla. 8. Jotkut osittaisdifferentiaalihtälöt voidaan ratkaista muuttujien separointimenettelllä. 9. Differentiaalihtälö voidaan muuntaa tavalliseksi htälöksi Laplace-muunnoksen avulla. Käänteismuunnos antaa ratkaisun. 3 Perusideat:. Differentiaalihtälön ratkaisulla tarkoitetaan funktiota, joka toteuttaa derivaattoineen annetun htälön.. Liikehtälö (Newton II on esimerkki differentiaalihtälöstä: F = ma (F = voima, m = massa, a = kiihtvs. Toisella tavalla kirjoitettuna: F = m (, (, z( t t t, missä vektori [(, (, z(] kertoo kappaleen sijainnin ajanhetkellä t. 3. Edellisen htälön avulla voidaan ratkaista kappaleen liikerata, jos kappaleen alkupaikka ja alkunopeus tunnetaan. Differentiaalihtälöt ja Newtonin lait Nopeus ja kiihtvs ovat kolmiulotteisia vektoreita: v = dr( a = d r( = i d( = i d ( + j d( + j d ( + k dz( = iv + jv + kv z + k d z( = ia + ja + ka z dv {z} ( Nopeus ja kiihtvs liittvät toisiinsa: = a {z} ( samoin paikka ja nopeus: d{(, (, z(} = v {z} ( Edelliset htälöt voidaan integroida puolittain: dv {z} ( v {z} (t v {z} ( = = a ( {z} {(t, (t,z(t } {(, (, z(} = t ( t ( t ( d{(t, (t,z(t } = v {z} (t t ( 4

2 Yhdessä ulottuvuudessa Newton II -htälö (F = ma saa muodon: F z (z = m d z( Jos tunnetaan kappaleen massa (m ja siihen vaikuttava voima F z, voidaan differentiaalihtälöstä ratkaista kappaleen paikka z(. Usein voima saadaan laskettua potentiaalienergiafunktiosta V(z seuraavasti: F z (z = dv(z (leisesti: F( z = V( z dz Näillä htälöillä on kaksi eritisen tärkeää ominaisuutta:. Jos z ( ja z ( ovat htälön ratkaisuja, mös niiden lineaarikombinaatio z 3 ( = c z ( + c z ( on ko. htälön ratkaisu. c ja c ovat z:sta riippumattomia vakioita.. Jos z( toteuttaa htälön, mös cz(, missä c on z:sta riippumaton vakio, toteuttaa sen. Yhtälöllä on siis monta eri ratkaisua Differentiaalihtälö voidaan ratkaista seuraavalla menettelrutiinilla:. Valitaan testifunktioksi: z( = e t. Sijoitetaan tämä funktio htälöön, jolloin saadaan ns. karakteristinen htälö :lle.. Etsitään kaikki arvot, jotka toteuttavat htälön ja merkitään näitä,,..., n. 3. Yleinen ratkaisu on: z( = c e t + c e t c n e nt. 5 Huomautus. Kertoimet c,..., c n ovat llä siis vapaasti valittavia. Kaikki valinnat tuottavat funktion, joka sopii differentiaalihtälön ratkaisuksi VAKIOKERTOIMISET LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tarkastellaan esimerkkinä ns. harmonista oskillaattoria hdessä ulottuvuudessa: d z( + k m z( = missä z( on kappaleen paikka ajanhetkellä t, k on ns. jousivakio ja m on kappaleen massa. Tämä on esimerkki differentiaalihtälöstä, jossa tuntemattomana on siis funktio z(. Yhtälön luokittelu:. Se on lineaarinen: funktio z ja sen derivaatat esiintvät enintään korotettuna ensimmäiseen potenssiin.. Se on homogeeninen: siinä ei esiinn z:sta riippumattomia termejä. 3. Se on toista kertalukua: korkein derivaatta on toinen derivaatta. 4. Se on vakiokertoiminen: z:n ja sen derivaattojen kertoimet ovat vakioita. 6 E 7.. Osoitetaan, että testifunktio ( = e toteuttaa differentiaalihtälön: a 3 d 3 ( d 3 + a d ( d + a d( d + a ( = Sijoitetaan ( = e paikalleen htälöön: a 3 3 e + a e + a e + a e = a a + a + a = (jaetaan e :llä puolittan Yhtälöstä voidaan ratkaista kolme eri arvoa :lle, joilla htälö toteutuu. E 7.. Ratkaistaan differentiaalihtälö: d ( + d( d d ( = Sijoitetaan testifunktio htälöön, jolloin saadaan karakteristinen htälö: + =. Tästä voidaan ratkaista: = tai =. Siten htälön leinen ratkaisu on: ( = c e + c e. Ratkaisuja on siis useita, koska c ja c ovat vapaasti valittavissa. 8

3 Tehtävä Osoita, että harmonisen värähtelijän karakteristinen htälö on + k/m =. Osoita mös, että alla ratkaistu z( toteuttaa ko. differentiaalihtälön. Karakteristisen htälön ratkaisu on = ±i(k/m /, joten leinen ratkaisu on ( k z( = c ep * +i m + ( k t- + c ep *.i, m = c [ cos(/ + isin(/ ] + c [ cos(/. isin(/ ], missä / = k m Halutaan reaalinen ratkaisu, koska z on fsikaalisesti mitattava suure. Siten asetetaan (kts. kpl. : c + c = b ja i(c. c = b, jolloin saadaan ekvivalentti tulos: z( = b cos(/ + b sin(/, missä b ja b ovat reaaliset. + t-, (. Lineaarinen differentiaalihtälö n:ttä kertalukua f n ( d n z( n + f n ( d n z( n on epähomogeeninen, jos g(, mutta siis vakiokertoiminen, jos f n -termit eivät riipu t:stä.. kertaluvussa leinen ratkaisu on: z( = e f (t f (t f (t f e (t g( + c f ( ( +L+ f ( dz( + f (z( = g( 9 Yksittäisellä ratkaisulla tarkoitetaan htälön jotain htä ratkaisua. Usein kemiallinen tai fsikaalinen ssteemi asettaa lisärajoitteita eli reunaehdot tai alkuehdot, jotka rajoittavat ratkaisujen määrän hteen. Alkuehdot (hetkellä t = z( = ja v z ( = v antavat tulokselle z( = b cos( + b sin( eritisratkaisun b = z( = b sin(. Nopeus saadaan derivoimalla: v z ( = dz/ = b cos(, ja kättämällä alkuehtoa, saadaan Epähomogeeninen differentiaalihtälö voidaan ratkaista mös seuraavaa menettelä kättäen:. Poista ensin epähomogeeninen termi ja ratkaise homogeeninen htälö.. Etsi jollain keinolla ksi epähomogeenisen htälön ratkaisu. 3. Epähomogeenisen htälön leinen ratkaisu saadaan muodostettua liittämällä homogeenisen htälön leiseen ratkaisuun epähomogeenisen htälön ksittäinen ratkaisu. v z ( = b b = v /, eli z( = v / sin( ja v z ( = v cos(. E 7.3 d z + k m z = F( m on pakotetun harmonisen värähtelijän htälö, jossa F( on ulkoinen voima.

4 Ns. parametrien variointimenetelmä antaa taulukoidut ritefunktiot epähomogeeniselle lineaariselle differentiaalihtälölle: Epähomogeeninen termi t n e t t n e t e t sin( e t cos( Yritefunktio A A + A t + A t A n tn Aet e t (A +A t + A t A n t n e t (A cos( + B sin( e t (A cos( + B sin( (* E 7.4 Ensimmäisen kertaluvun reaktio voidaan kuvata seuraavan differentiaalihtälön avulla: dc( = kc( missä c( on konsentraatio ajanhetkellä t ja k on ns. reaktionopeusvakio. Jaetaan htälö c(:llä ja kerrotaan :llä: Integroidaan puolittain (C on integrointivakio: dc( c( dc( c( = k = k ln(c( = kt + C Esim. jos F(/m = F sin( / m, saadaan sijoittamalla (* z eritisr. ( = F sin( / [m( - ]. Kokonaisratkaisu on siten z leinen ( = b cos( + b sin( + z eritisr. (. Jotta tästä saadaan lauseke c(:lle on molempiin puoliin operoitava eksponenttifunktiolla: c( = e C e kt MUUTTUJIEN SEPAROINTITEKNIIKKA Tässä kappaleessa tarkastellaan differentiaalihtälöitä, jotka voidaan muokata muotoon: g( d, d = f ( missä g on integroituva funktio muuttujan suhteen ja f on integroituva funktio :n suhteen. Kerrotaan htälö puolittain d:llä ja kätetään aiemmin ollutta tulosta (d/dd = d: g(d = f (d Nt htälö voidaan integroida puolittain (integrointivakiot: g(d = f (d tai tunnettaessa ala- ja lärajat (ei integrointivakioita: g(d = f (d 4 Mikä on e C :n merkits? Tarkastellaan konsentraatiota ajanhetkellä t = : c( = e C. Vakiokerroinosa liitt siis lähtökonsentraatioon, jolloin voidaan merkitä: c( = c(e kt. Saman asian voi nähdä kättämällä määrättä integrointia: c(t dc = ln c(t t c c( = (k = (kt c( Tästä saadaan siis (lopussa merkitt t = t : c( = c(e kt. Esim. Ilmanpaineen P muutosnopeus korkeuden h funktiona on suoraan verrannollinen ilmanpaineeseen tarkastelukorkeudessa: dp(h = P(h dp = dh + C dh P 6

5 Huom. Monet. kertaluvun differentiaalihtälöt voidaan muuntaa separoituviksi muuttujanvaihdolla. Jos htälö on (esim. muotoa d / d = F( /, voidaan tehdä muunnos u = / missä = ( ja u = u(. E 7. 5 d d =+ { F( / Muuttujanvaihto antaa = u, jolloin d d = d du (u = u +. Sijoitus differentiaalihtälöön : d d u + du d =+ u du d = = f ( g(u ( Integroinnin * du = * d kautta saadaan u = ln( + C, jolloin = (ln( + C on leinen ratkaisu. Koska polun C voi valita vapaasti, on helpointa tehdä se seuraavasti: (, (, (,. Ensimmäisellä osalla :n arvo on vakio (, joten d = ja toisella osalla :n arvo on vakio ( eli d =. Siten saadaan tulos: df = M( C d + N(,d Jos ko. integraalit osataan laskea, saadaan alkuperäisen differentiaalihtälön ratkaisu. E 7.6 Ratkaistaan differentiaalihtälö: d d + = Muutetaan htälö ensin sopivaan muotoon kertomalla se puolittain d :llä: d + d = EKSAKTIT DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tarkastellaan differentiaalihtälöitä, jotka voidaan muokata muotoon: df = M ( d + N( d = Aiemman mukaan differentiaali df on eksakti jos: M = N Lisäksi tämä tarkoittaa, että funktion f tät olla vakiofunktio, koska sen differentiaali on nolla. Aiemmin todettiin, että eksakti differentiaali voidaan integroida li mielivaltaisen polun C laskemalla sitä vastaavan funktion f arvo alku- ja loppupisteissä: df = f ( C, f (, missä pisteet (, ja (, ovat polun alku- ja loppupisteet. Testataan seuraavaksi että kseessä on eksakti differentiaali: M ( = N( = M = ja N = ( Eksakti differentiaali. Kätetään edellisen sivun tulosta: d + d = = M ( d + N(, d = d = + = + d = ( + ( Merkitään ja sisältävää osuutta vakiolla C ja vaihdetaan ja pelkiksi :ksi ja :ksi. Ratkaisu on siis muotoa ( = C /. Tehtävä Varmista, että llä saatu ratkaisu toteuttaa DY:n. Ratkaise htälö (4+d + d =. 8

6 7.4 INTEGROIVAN TEKIJÄN KÄYTTÖ Tarkastellaan epäeksaktia differentiaalihtälöä: M ( d + N( d = Aiemmasta tiedämme, että jotkut epäeksaktit differentiaalit voidaan muuntaa eksakteiksi kertomalla ne integroivalla tekijällä (Kpl. 5. Olkoon g( eo. htälön integroiva tekijä ja kerrotaan htälö sillä puolittain: g( M ( d + g( N( d = Tämä htälö voidaan siten ratkaista kättäen aiempaa menetelmää: = = { =C d ( = ( ( d = C = C ( ( ( ( Tämä on leinen ratkaisu, koska alkuperäinen htälö on ensimmäisen kertaluvun htälö. Sen leiseen ratkaisuun tät liittä ksi tuntematon vakio. Tällä htälöllä on samat ratkaisut kuin alkuperäisellä differentiaalihtälöllä. E 7.7 Ratkaistaan differentiaalihtälö: d d = Muunnetaan htälö ensin muotoon: d d = Tehtävä Osoita, että mös / on integroiva tekijä htälölle d/d = / ja antaa saman ratkaisun. 3 Seuraavaksi testataan onko kseessä eksakti vai epäeksakti differentiaalihtälö: = ja (( = ( Epäeksakti differentiaalihtälö. Funktio / on integroiva tekijä htälölle. Kertomalla htälön molemmat puolet tällä saadaan: d ( d = Nt : ( * / -, / = ja +,./ ( * (/ -, / +. = Eksakti differentiaalihtälö 7.5 YHTÄLÖIDEN RATKAISU LAPLACEN MUUNNOKSELLA Laplacen muunnos: F(s = Funktion f( derivointi tai integrointi muuntuu Laplacen muunnoksella luvulla s kertomiseksi tai jakamiseksi, kts. Kpl. 6. Differentiaali- ja integraalihtälöt muuntuvat Laplacen muunnoksella polnomihtälöiksi. Laplacen käänteismuunnoksessa: f (e st f ( = i +i i F(se st ds integroidaan kompleksitasossa pitkin vertikaalista viivaa =>Re(s p, missä s p ovat F(s:n singulaaripisteet. Contour-integrointi tehdään kätännössä residlaskennan keinoin (FMPIII, kompleksianalsi, mutta tulokset voi onneksi lötää taulukoista. 4

7 E 7.8. Ratkaistaan toisen kertaluvun differentiaalihtälö: + = t alkuehdoilla ( =, ( = -. -tehdään Laplacen muunnos jokaiselle DY:n termille, -kätetään derivaatan Laplacen muunnoksen ominaisuutta L[ f n (] = s n L s n f ( s n f ( L f n ( -saadaan karakteristinen htälö, joka ratkaistaan L :lle, jolla Laplacen muunnosta L[] merkitään, -saatu tulos käänteismuunnetaan, jolloin saadaan DY:n ratkaisu L[ +] = L[ t] L[ ] + L[] = L[ t] s L[] s( ( + L[] = s s L s + + L = s L = s + s = s + s + s + s 3 + s = L [L] = L s + s + s 3 s = L + L 3L + s ( s ( + s ( + s ( = t + cos( 3sin( OSITTAISDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (lhesti Katsotaan tässä esimerkkien avulla miltä osittaisdifferentiaalihtälöt nättävät ja missä niitä voidaan kättää. Esimerkkejä (lämmön johtuminen osittaisdifferentiaalihtälöistä (engl. partial differential equation; PDE : u( u( = = t ( u u( u( u( = + t u( z, u( u( = + + = u z, diffuusiovakio = ksiulotteinen lämpöhtälö Kseessä on siis differentiaalihtälön kaltainen ongelma, mutta riippumattomia muuttujia on nt enemmän kuin ksi. kaksiulotteinen lämpöhtälö Laplace n htälö, 3-ulotteinen (potentiaaliteoria, sähköoppi, hdrodnamiikka YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN NUMEERISESTI Eulerin menetelmä: d = f (, tunnetulla alkuarvolla ( =. Muodollista ratkaisua t (t = + f ( approksimoidaan seuraavasti: t ( + f (, = + t f (,. Prosessi toistetaan monta kertaa Tarkempi Runge-Kutta menetelmä: (saatu muodostamalla Talorin kehitelmä pienellä t arvolla, kunnes haluttu t saavutetaan. Kun on toistettu i kertaa, eli t i = it, ollaan pisteessä i. Kirjoitetaan siis i+ i + t f ( i,t i. i+ i + ( 6 F + F + F 3 + F 4, missä F = t f ( i,t i F = t f i + F,t i + t ( F 3 = t f i + F,t + t i ( F 4 = t f ( i + F 3,t i +. 6 Tavallisen osittaisdifferentiaalihtälön lisäksi on olemassa ns. ominaisarvohtälöitä, jotka tpillisesti sisältävät differentiaalioperaattoreita. Esim. ajasta riippumaton hden kappaleen Schrödingerin htälö on ominaisarvohtälö: h m + + ( * + V = E z Yhtälössä on tunnettu potentiaalifunktio V(z ja tuntemattomia ovat ((z ja E (m ja h ovat vakioita. Ratkaisu saadaan esim. muuttujien separoinnilla, jolloin ritefunktio koostuu hden muuttujan funktioiden tulosta: ((z=x(y(z(z. Yhtälöstä on olemassa mös ns. ajasta riippuva muoto (= ((z,t : i ( h ( ( ( h = V ( t m ( ( ( z Kvanttimekaniikka pohjautuu pääosin edellisiin htälöihin ja siten ne ovat perustana kemian teoreettiselle mallintamiselle. 8