Fourier-sarjat ja -muunnos
|
|
- Ida Korhonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 24. marraskuuta 2016
2 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p
3 Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R Vakiota p kutsutaan funktion jaksoksi Funktion pienintä jaksoa kutsutaan perusjaksoksi ESIMERKKI Funktioiden sin x ja cos perusjakso on 2π, kun taas funktioiden tan x, sin 2x, cos 2x perusjakso on π
4 Jaksollisten funktioiden ominaisuuksia p-jaksoinen funktio on myös np-jaksoinen jokaisella n N: f (x + np) = f (x) kaikilla x R Jos funktioiden f (x) ja g(x) jakso on p, niin funktion h(x) = af (x) + bg(x) a, b vakioita jakso on myös p Jos f (x) on p-jaksoinen, niin a+p a f (x)dx ei riipu pisteen a valinnasta. Eli jos jaksollinen funktio integroidaan yli jaksovälinsä, niin integroinnin aloituspisteen voi vapaasti valita
5 Trigonometriset sarjat Trigonometristen funktioiden sarjaa a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi Trigonometriset funktiot sin nx ja cos nx ovat 2π/n-jaksoisia ja täten myös 2π-jaksoisia Jos sarja suppenee, niin sen summa on myös 2π-jaksollinen
6 Pariton ja parillinen funktion Määritelmä Funktio f : R R on parillinen, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ja pariton, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ESIMERKKI Funktiot x 2, cos x ja cosh x ovat parillisia funktioita, kun taas funktiot x 3, sin x, tan x, sinh x ovat parittomia funktioita
7 Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Jos f (x) on parillinen ja g(x) on parillinen, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on pariton ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on parillinen ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on pariton ESIMERKKI Todistetaan viimeinen kohta. Merkitään h(x) = f (x)g(x) missä f on parillinen ja g pariton. Nyt h( x) = f ( x)g( x) = f (x)( g(x)) = f (x)g(x) = h(x) joten h(x) on pariton
8 Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Tutkitaan integraalia c c f (x)dx, c > 0 kun f (x) on joko parillinen tai pariton funktio Nyt jos f (x) on parillinen funktio, niin c c c f (x)dx = 2 f (x)dx 0 Jos taas f (x) on pariton funktion, niin c c f (x)dx = 0
9 Fourier-sarjat
10 Funktioiden orthogonaalisuus Funktioavaruudessa voimme määritellä sisätulon integraalina < f, g >= b a f (x)g(x)dx Sanomme funktioavaruuden vektoreita f ja g orthogonaalisiksi välillä [a, b] jos < f, g >= 0 Trigonometriset funktiot 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... cos nx, sin nx ovat orthogonaalisia välillä [, π].
11 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Orthogonaalisuuden takia π cos mx cos nxdx = 0 (m n) π π sin mx sin nxdx = 0 (m n) cos mx sin nxdx = 0 missä n, m = 0, 1, 2,...
12 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Osoitetaan, että kun m n π cos mx cos nxdx = 0 Trigonometristen yhteenlaskukaavojen avulla saadaan cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos α cos β = 1 (cos(α + β) + cos(α β)) 2
13 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Jatkoa Täten π cos mx cos nxdx = 1 2 = = 0 π (cos((n + m)x) + cos((n m)x))dx 1 sin((n + m)x) n + m 1 sin((n m)x) n m π π
14 Eulerin kaavat Fourier-kertoimille Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja integoituva välillä [, π]. Oletetaan lisäksi, että sille voidaan muodostaa suppeneva trigonometrinen sarjaesitys: f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 Tehtävänä on nyt johtaa sarjan kertoimet a 0, a n ja b n
15 Kertoimen a 0 määritys Integoidamalla sarjaesitys molemmilta puolilta, saadaan π π ( π ) f (x)dx = a 0 dx + (a n cos nx + b n sin nx) dx n=1 π π = 2πa 0 + a n cos nxdx + b n sin nxdx n=1 } {{ } =0 Täten saamme kertoimen a 0 arvoksi a 0 = 1 π f (x)dx 2π n=1 } {{ } =0
16 Kertoimen a n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä cos mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) cos mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) cos mxdx n=1 π π = a 0 cos mxdx + a n cos nx cos mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 kun n m π + b n sin nx cos mxdx n=1 }{{} =0 π = a m cos mx cos mxdx
17 Kertoimen a n määritys Koska cos 2 α = (1 + cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) cos mxdx = a m π a m = 1 π π = 1 2 a m π = 1 2 a m (x + 1 2m cos mx cos mxdx (1 + cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) cos mxdx, m = 1, 2,... π = a m π
18 Kertoimen b n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä sin mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) sin mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) sin mxdx n=1 π π = a 0 sin mxdx + a n cos nx sin mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 π + b n sin nx sin mxdx n=1 }{{} =0 kun n m π = b m sin mx sin mxdx
19 Kertoimen b n määritys Koska sin 2 α = (1 cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) sin mxdx = b m π b m = 1 π π = 1 2 b m π = 1 2 b m (x 1 2m sin mx sin mxdx (1 cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) sin mxdx, m = 1, 2,... π = b m π
20 Funktion Fourier-sarja Olemme nyt johtaneet Eulerin kaavat Fourier-kertoimille: a 0 = 1 2π a n = 1 π b n = 1 π π π π Trigonometrista sarjaa f (x)dx f (x) cos nxdx, n = 1, 2,... f (x) sin nxdx, n = 1, 2,... a 0 + (a n cos nx + b n sin nx), n=1 jonka kertoimet on määritelty Eulerin kaavojen avulla, kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi.
21 Suorakaideaallon Fourier-sarja Lasketaan 2π-jaksollisen funktion Fourier-sarja f (x) = Eulerin kaavojen perusteella: { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π a 0 = 1 π f (x)dx = 1 0 kdx + 1 π kdx 2π 2π 2π 0 = 1 k( + π) = 0 2π
22 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa π 0 a n = 1 f (x) cos nxdx = 1 π π = 1 [ sin nx 0 k sin nx π n + k n ] π 0 k cos nxdx + 1 2π = 0 π 0 k cos nxdx π b n = 1 π [ = 1 π k f (x) sin nxdx = 1 π cos nx 0 cos nx n k n = 2k nπ (1 ( 1)n ) 0 ] π 0 k sin nxdx + 1 2π = 2k (1 cos nπ) nπ π 0 k sin nxdx
23 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Fourier-sarja on siis muotoa 2k π 1 ( 1) n sin nx = 4k n π n=1 sin nx n n=1,3,5,... (sin x sin 3x + 1 ) 5 sin 5x +... = 4k π Olettaen, että sarja suppenee pisteessä x = π/2 kohtia arvoa f (π/2) = k, saamme ( ) π k = f = 4k (1 1 2 π ) josta seuraa = π 4
24 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Kuvassa on esitetty Fourier-sarjan osasumma 2k π N 1 ( 1) n sin nx n n=1 N = 15 N = 5 N = 1 k k
25 Huomioita esimerkistä Koska f (x), cos nx ja sin nx ovat 2π-jaksollisia, niin integroinnin olisi voinut myös suorittaa esimerkiksi välillä [0, 2π] Esimerkissä a 0 = 0 ja a n = 0. Tämän olisi voinut päätellä suoraan funktion f (x) parittomuudesta f (x) on epäjatkuva pisteissä x = 0. Epäjatkuvuuskohdassa sarjan summa suppenee kohti nollaa. Tarkastelemalla funktion toispuoleisia raja-arvoja epäjatkuvuuskohdassa nähdään, että nolla on myös funktion toispuoleisten raja-arvojen aritmeettinen keskiarvo: f (0) = 1 [f (0 ) + f (0+)] 2
26 Fourier-sarjan suppeneminen Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja voidaan muodostaa, jos 2π-jaksollinen funktio f on integoituva välillä [, π]. Tämä pätee esimerkiksi silloin kun funktio on jatkuva tai paloittain jatkuva. Fourier-sarja ei aina välttämättä suppene (edes jatkuvan funktion tapauksessa), ja vaikka se suppenisi, ei sen summa välttämättä yhdy alkuperäiseen funktioon Jos Fourier-sarja yhtyy alkuperäiseen funktioon niin silloin muulloin kirjoitamme f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 f (x) a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1
27 Fourier-sarjan suppenemislause Lause Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja paloittain jatkuva funktio välillä [, π], jolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikissa välin pisteissä. Tällöin f :n Fourier-sarja suppenee jokaisessa pisteessä x kohti arvoa 1 (f (x+) + f (x )) 2 Erityisesti sarja suppenee kohti arvoa f (x) kaikissa pisteissä x, joissa f on jatkuva.
28 Suppeneminen Suorakaideaallon suppeneminen 2π-jaksollisen suorakaideaallon f (x) = { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π Fourier-sarja suppenee kohti funktiota f (x) lukuun ottamatta epäjatkuvuuspisteitä x = mπ, m Z, joissa sarja suppenee kohti arvoa 1 2 (f (mπ+) + f (mπ )) = 1 (k k) = 0 2
29 Mielivaltainen jakso Olemme tähän mennessä käsitelleet vain 2π-jaksollisia funktioita Fourier-sarjojen yleisen soveltamisen kannalta haluamme kuitenkin käsitellä myös muitakin jaksoja Siirtyminen mielivaltaiseen jaksoon p = 2L tapahtuu yksinkertaisesti muuttujan skaalauksella
30 Fourier sarja ja mielivaltainen jakso Kun funktio f (x) on 2L-jaksollinen, niin silloin sen Fourier sarja on missä f (x) a 0 + (a n cos nπ L x + b n sin nπ L x) n=1 a 0 = 1 2L a n = 1 L b n = 1 L L L L L L L f (x)dx f (x) cos nπ xdx, n = 1, 2,... L f (x) sin nπ xdx, n = 1, 2,... L
31 2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Lasketaan funktion 0 kun 2 < x < 1 f (x) = k kun 1 < x < 1 p = 2L = 4 0 kun 1 < x < 2 Fourier-sarja Kertoimiksi saadaan: a 0 = 1 4 a n = 1 2 b n = f (x)dx = f (x) cos nπ 2 xdx = 1 2 f (x) sin nπ 2 xdx = 1 2 kdx = 1 2 k k cos nπ 2 k sin nπ 2 xdx = 0 xdx = 2k nπ sin nπ 2
32 2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Jatkoa Kun n on parillinen a n = 0 ja kun n on pariton a n = 2k nπ, n = 1, 5, 9,..., a n = 2k, n = 3, 7, 11,.... nπ Täten saamme (cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x cos 5π 2 x +... ) f (x) = k 2 + 2k π k 2 2 k k 2 + 2k π k 2 + 2k π cos π 2 x ( cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x+ 1 5 cos 5π 2 x)
33 Fourier-sarja. Parilliset ja parittomat funktiot Lause Olkoon f (x) 2L-jaksollinen funktio. Jos funktio f on parillinen funktio, niin b n = 0 kun n = 1, 2, 3,.... Jos funktio f on pariton funktio, niin a n = 0 kun n = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin f (x) sin nπ L x on pariton. Täten, b n = L L f (x) sin nπ L xdx = 0 Jos f on pariton, niin f (x) cos nπ L x on pariton ja siten a n = 0
34 Parilliset ja parittomat funktiot. Seurauksia Jos f on parillinen, niin saamme kosini-sarjan f (x) a 0 + a n cos nπ L x n=1 missä a 0 = 1 L L 0 f (x)dx, a n = 2 L L Jos f on pariton, niin saamme sini-sarjan f (x) b n sin nπ L x n=1 0 f (x) cos nπ L xdx missä b n = 2 L L 0 f (x) sin nπ L xdx
35 Puolen jakson laajennukset Fourier-sarjoja voidaan soveltaa myös funktioille, jotka eivät ole jaksollisia alkuperäisessä määrittelyvälissään Olkoon funktio f määritelty välillä [0, L]. Tällöin voimme jatkaa funktion parilliseksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Jatkamalla funktio 2L-jaksoisena koko reaaliakselille, saamme parillisen jaksollisen funktion, jonka Fourier-sarja on kosini-sarja Voimme myös jatkaa funktion parittomaksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Nyt funktion Fourier-sarja on sini-sarja Tapoja jatkamiseen on mielivaltainen määrä
36 Puolen jakson laajennus Jatketaan funktio f (x) = { 2k L 2k L x kun 0 < x < L/2 (L x) kun L/2 < x < L parittomaksi ja lasketaan funktion Fourier-sarja parillinen jatko L L pariton jatko
37 Puolen jakson laajennus Jatkoa Kun f jatketaan parittomaksi niin a 0 = 0 ja a n = 0. Lasketaan kertoimet b n : Tällöin b n = 2 L = 2 L L 0 L/2 0 = 8k n 2 π 2 sin nπ 2 f (x) = 8k π 2 f (x) sin nπ L xdx 2k L x sin nπ L xdx + 2 L 2k L L/2 L (L x) sin nπ L xdx ( sin π L x sin 3π L x sin 5π L x +... )
38 Kompleksinen Fourier-sarja Eulerin kaavan perusteella cos nx = 1 2 (einx + e inx ), sin nx = 1 2i (einx e inx ) Esitetään 2π-jaksollisen funktion Fourier sarja eksponenttifunktioiden avulla f a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) = a 0 + = a 0 + = a 0 + n=1 n=1 n=1 1 n= 1 ( ) a n (e inx + e inx ) ib n (e inx e inx ) 2 a n + ib n 2 e inx + a n + ib n 2 n=1 e inx + a n ib n e inx 2 n=1 a n ib n e inx 2
39 Kompleksinen Fourier-sarja missä 1 2 (a n ib n ) = 1 2π π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 1 2 (a n+ib n ) = 1 π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 2π Merkitsemällä c n = (a n ib n )/2 ja huomioimalla, että a n ib n = a n + ib n ja c 0 = a 0, saadaan kompleksiseksi Fourier-sarjaksi: f (x) n= c n e inx, c n = 1 π f (x)e inx dx 2π
40 Kompleksinen Fourier-sarja 2L-jaksolliselle funktiolle 2L-jaksollisen funktion kompleksinen Fourier-sarja on: f (x) n= c n e i nπ L x, c n = 1 L f (x)e i nπ L x dx 2L L
41 Kompleksinen Fourier-sarja Etsitään jaksollisen funktion { 1 kun 0 < x < 1 f (x) = 0 kun 1 < x < 2 p = 2L = 2 kompleksinen Fourier-sarja Lasketaan kerroin c n (integroidaan yli välin [0, 2L]) 2 1 c n = 1 f (x)e inπx dx = 1 e inπx dx = i 2nπ (e inπ 1) = i 2nπ (( 1)n 1) (n 0) { 0 kun n parillinen = i nπ kun n pariton
42 Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa Kun n = 0 c 0 = f (x)dx = 1 2 / 1 Täten funktion kompleksinen Fourier-sarja on f (x) = 1 2 i π n pariton 0 x = n einπx Hajottamalla summa kahteen osaan, saadaan f (x) = 1 2 i π = i π 1 n= n=1 1 n 1 n einπx i π n=1 (e inπx e inπx) 1 n einπx missä n on pariton kokonaisluku.
43 Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa missä n on pariton kokonaisluku. Käyttämällä Eulerin kaavaa, saadaan Fourier-sarjaksi f (x) = π n=1,3,... 1 n sin(nπx)
44 Fourier-sarjan sovelluksia Muodostetaan lineaarisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = f (t) yksittäisratkaisu kun f (t) = { 1 kun 0 < t < 1 0 kun 1 < t < 2 p = 2L = 2 Edellisen esimerkin perusteella tiedetään, että funktion f (t) Fourier-sarja on muotoa f (t) = π n=1,3,... 1 n sin(nπt) Etsitään differentiaaliyhtälölle ratkaisua yritteellä y(t) = a 0 + n=1,3,... (a n cos nπt + b n sin nπt)
45 Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Sijoittamalla yrite differentiaaliyhtälöön saadaan ω 2 a 0 + = π josta saadaan n=1,3,... n=1,3,... ([ω 2 n 2 π 2 ]a n cos nπt + [ω 2 n 2 π 2 ]b n sin nπt) 1 n sin(nπt) a 0 = 1 2ω 2, a n = 0, b n = 2 1 π n(ω 2 n 2 π 2 )
46 Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Yksittäisratkaisu on siten y 1 (t) = 1 2ω π Olkoon nyt ω = 10. Tällöin n=1,3,... 1 n(ω 2 n 2 π 2 sin nπt ) y 1 (t) = sin πt sin 3πt sin 5πt sin 7πt... Nähdään, että taajuudella 3π värähtelevä komponentti dominoi, sillä sen amplitudi on merkittävästi suurin.
47 Fourier-muunnos
48 Fourier-integraali Tarkastellaan 2L-jaksoisen funktion Fourier-sarjaa f (x) = a 0 + (a n cos ω n x + b n sin ω n x), ω n = nπ L n=1 kun L. Lisäämällä yhtälöön Fourier-kertoimien kaavat, saadaan L f (x) = 1 f (t)dt 2L L + 1 ( cos ω n x L n=1 L L f (t) cos ω n tdt + sin ω n x Koska ω = ω n+1 ω n = π/l niin L = π/ ω. L L f (t) sin ω n tdt )
49 Fourier-integraali Voimme nyt kirjoittaa sarjan muotoon f (x) = 1 L f (t)dt + 1 ( [cos ω n x] ω 2L L π n=1 ) +[sin ω n x] ω L L f (t) sin ω n tdt L L f (t) cos ω n tdt Olettaen, että f on integroituva, niin ensimmäinen termi yhtälön oikealta puolelta häviää kun L. Lisäksi ω 0 kun L. Täten voimme formaalisti korvata summan integraalilla. Saamme f (x) = 1 ( ) cos ωx f (t) cos ωtdt + sin ωx f (t) sin ωtdt dω π 0
50 Fourier-integraali Merkitsemällä A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt, B(ω) = 1 π f (t) sin ωtdt voimme kirjoittaa yhtälön muotoon f (x) = 0 (A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx) dω Yhtälö kutsutaan funktion f (x) Fourier-integraaliksi.
51 Fourier-integraali Lause Jos funktio f (x) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä ja funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikkialla ja jos f on integroituva, niin silloin funktio voidaan kuvata Fourier-integraalin avulla. Jos f on epäjatkuva pisteessä x 0, niin kyseisessä pisteessä Fourier-integraalin arvo on 1 2 (f (x 0+) + f (x 0 ))
52 Fourier-integraali Muodostetaan funktion Fourier-integraali f (x) = { 1 kun x < 1 0 kun x > 1 Funktio on parillinen, joten B(ω) = 0. Lasketaan A(ω): A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt = 1 π Täten funktion Fourier-integraali on sin ω cos ωxdω π 0 ω f (t) cos ωtdt = 2 sin ω πω
53 Fourier-integraali Jatkoa Funktion on jatkuva muualla paitsi pisteissä x = ±1. Epäjatkuvuuskohdissa toispuoleisten raja-arvojen keskiarvo 1/2. Täten 2 sin ω cos ωxdω = π 0 ω 1 kun x < kun x = ±1 0 kun x > 1 Vaihtamalla integraalin ylärajan luvulla a, voimme approksimoida Fourier-interaalia ja siten funktiota f (x). Approksimaatio tarkentuu kun a:n arvo kasvaa.
54 Kompleksinen Fourier-integraali Koska cos ω(x t) = cos ωx cos ωt + sin ωx sin ωt Voimme esittää Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω π 0 Koska cos ω(x t) parillinen funktio (muuttujan ω suhteen), niin f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω 2π Toisaalta, koska sin ω(x t) on pariton, niin 1 ( ) f (t) sin ω(x t)dt dω = 0 2π
55 Kompleksinen Fourier-integraali Yhdistämällä yhtälöt (jälkimmäinen yhtälö kerrotaan i:llä) ja käyttämällä Eulerin kaavaa: e iω(x t) = cos ω(x t) + i sin ω(x t) saamme kompleksisen esityksen Fourier-integraalille: f (x) = 1 f (t)e iω(x t) dtdω 2π
56 Fourier-muunnoksen määritelmä Voimme ilmaista Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 2π ( 1 2π ) f (t)e iωt dt e iωx dω Määrittelemme nyt Fourier-muunnoksen kaavalla: ˆf (ω) = 1 2π ja käänteismuunnoksen kaavalla f (t) = 1 2π f (t)e iωt dt ˆf (ω)e iωt dω
57 Fourier-muunnos Fourier muunnos on kuvaus ˆf : R C, joten sen arvot ovat yleensä kompleksilukuja Muunnoksesta käytetään myös merkintää F(f ) ja käänteismuunnoksesta F 1 (ˆf ) Riittävät ehdot muunnoksen olemassaololle: f (t) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä f (t) on integoituva t-akselilla, ts: f (t) dt < Kaavojen edessä on kerroin 1/ 2π. Kirjallisuudessa käytetään myös usein muunnoksille esitystä, jossa Fourier-integraalin kerroin 1/2π on kokonaisuudessaan kiinnitetty joko muunnoksen tai käänteismuunnoksen eteen
58 Fourier-muunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, Fourier-muunnos Muunnoksen määritelmän mukaan ˆf (ω) = 1 2π f (t)e iωt dt = 1 a ke iωt dt 2π 0 = k(1 e iωa ) iω 2π = k 2π sin ωa i(1 cos ωa) ω
59 Kosinimuunnos Kirjoittamalla Fourier-muunnos trigonometrisessä muodossa, saamme ˆf (ω) = 1 2π f (t)(cos ωt i sin ωt)dt Jos f (t) on parillinen, niin päädymme kosinimuunnokseen: ˆf c (ω) = 2 f (t) cos ωtdt π 0 Koska nyt ˆf c (ω) on parillinen funktio, niin käänteismuunnoksen kaavaksi saamme f (t) = 2 π 0 ˆf c (ω) cos ωtdω
60 Sinimuunnos Jos f (t) on pariton, niin päädymme sinimuunnokseen: ˆf s (ω) = jonka käänteismuunnos on f (t) = 2 f (t) sin ωtdt 1 π 0 2 π 0 ˆf s (ω) sin ωtdω Johdimme muunnoksien kaavat pariteetin avulla Määritettyämme muunnoksien kaavat, funktion f (t) käyttäyminen negatiivisella t-akselilla on merkityksetöntä 1 Kerroin i on nyt sisällytetty muunnokseen
61 Sini- ja kosinimuunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, kosini- ja sinimuunnos Muunnoksien määritelmien mukaan ˆf c (ω) = ˆf s (ω) = 2 a k cos ωtdt = π 0 ( ) 2 sin ωa π k ω 2 a ( ) 2 1 cos ωa k sin ωtdt = π 0 π k ω
62 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Olkoon funktioiden f (t), g(t) Fourier-muunnokset F(f ) = ˆf (ω), F(g) = ĝ(ω) määriteltyjä ja a ja b vakioita. Tällöin: Lineaarisuus F(af (t) + bg(t)) = af(f (t)) + bf(g(t)) Skaalaus F(f (at)) = 1 a ˆf ( ω a ), a > 0 Siirto Taajuussiirto F(f (t t 0 )) = e iωt 0 F(f (t)) F ( f (t)e iω 0t ) = ˆf (ω ω 0 )
63 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Todistetaan siirto Todistus. F(f (t t 0 )) = 1 2π = 1 2π = e iωt 0 1 2π f (t t 0 )e iωt dt f (λ)e iω(λ+t 0) dλ = e iωt 0 1 2π f (λ)e iωλ dλ f (t)e iωt dt = e iωt 0 F(f (t))
64 Derivaatan Fourier-muunnos Lause Olkoon funktio f (t) jatkuva ja f (t) 0 kun t. Olkoon lisäksi f (t) integroituva yli R. Tällöin Todistus. F(f (t)) = 1 2π F(f (t)) = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt = 1 2π / f (t)e iωt 1 2π = 0 + iω 1 2π = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt f (t)( iω)e iωt dt
65 Fourier-muunnos derivaatan avulla Lasketaan funktion f (t) = te t2 Fourier-muunnos kun tiedetään, että F(e t2 ) = e 1 4 ω2 / 2 Nyt Täten d ( 1 ) dt 2 e t2 = te t2 = f (t) ( d F(f (t)) = F ( 1 )) dt 2 e t2 = iwf ( 1 ) 2 e t2 = 1 ( 2 iωf e t2) = iω 2 2 e 1 4 ω2
66 Toisen derivaatan Fourier-muunnos Koska F(f (t)) = iωf(f (t)) = (iω) 2 F(f (t)) saamme toisella derivaatalle F(f (t)) = ω 2 F(f (t)) Yleisemmin F(f (n) (t)) = (iω) n F(f (t))
67 Konvoluutioteoreema Olkoon funktiot f (t), g(t) määritelty koko R:ssä. Tällöin funktioiden f, g konvoluutio on määritelty seuraavasti (f g)(t) = f (s)g(t s)ds Lause Olkoon funktiot f (t), g(t) paloittain jatkuvia, rajoitettuja, ja integroituvia yli koko R:n. Tällöin F(f g) = 2πF(f )F(g)
68 Konvoluutioteoreema Todistus. Nyt F(f g) = 1 2π f (s)g(t s)e iωt dsdt Vaihtamalla integrointijärjestys ja tekemällä muuttujanvaihdon q = t s, saamme F(f g) = 1 2π = 1 2π = 2πF(f )F(g) f (s)g(q)e iω(s+q) dqds f (s)e iωs ds g(q)e iωq dq
69 Fourier-muunnoksen sovelluksia Muodostetaan differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu y (t) + a 2 y(t) = δ(t), a > 0 Ottamalla yhtälöstä Fourier-muunnos puolittain, saadaan ω 2 F(y(t)) + a 2 F(y(t)) = F(δ(t)) Ratkaisemalla funktion y(t) Fourier-muunnos: F(y(t)) = 1 ω 2 + a 2 F(δ(t)) = F ( ) 2π 2a e a t F(δ(t))
70 Fourier-muunnoksen sovelluksia Jatkoa Konvoluutioteoreeman perusteella y(t) = 1 2π 2π 2a e a t δ(t) = 1 e a t s δ(s)ds 2a = 1 2a e a t
Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
LisätiedotLaplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT. Sisältö
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos 9. joulukuuta 2004 Sisältö Kirjallisuuta, historiaa, merkitys i 1. Jaksolliset funktiot,
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedota(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMuuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotMat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos Syksy 2003 Huom! Tämä ei kata kaikkea Fourier-sarjoista. Lisäksi on syytä konsultoida
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotLaplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotYhteenveto Fourier-numeriikan luennoista
March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi KP3-II FOURIER-SARJAT. 1. Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat Trigonometrinen sarja 2
Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos Sisältö Johdanto, merkintöjä i 1. Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat 1 1.1.
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedotintegraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotReaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotRadiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot