Fourier-sarjat ja -muunnos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Fourier-sarjat ja -muunnos"

Transkriptio

1 24. marraskuuta 2016

2 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p

3 Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R Vakiota p kutsutaan funktion jaksoksi Funktion pienintä jaksoa kutsutaan perusjaksoksi ESIMERKKI Funktioiden sin x ja cos perusjakso on 2π, kun taas funktioiden tan x, sin 2x, cos 2x perusjakso on π

4 Jaksollisten funktioiden ominaisuuksia p-jaksoinen funktio on myös np-jaksoinen jokaisella n N: f (x + np) = f (x) kaikilla x R Jos funktioiden f (x) ja g(x) jakso on p, niin funktion h(x) = af (x) + bg(x) a, b vakioita jakso on myös p Jos f (x) on p-jaksoinen, niin a+p a f (x)dx ei riipu pisteen a valinnasta. Eli jos jaksollinen funktio integroidaan yli jaksovälinsä, niin integroinnin aloituspisteen voi vapaasti valita

5 Trigonometriset sarjat Trigonometristen funktioiden sarjaa a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi Trigonometriset funktiot sin nx ja cos nx ovat 2π/n-jaksoisia ja täten myös 2π-jaksoisia Jos sarja suppenee, niin sen summa on myös 2π-jaksollinen

6 Pariton ja parillinen funktion Määritelmä Funktio f : R R on parillinen, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ja pariton, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ESIMERKKI Funktiot x 2, cos x ja cosh x ovat parillisia funktioita, kun taas funktiot x 3, sin x, tan x, sinh x ovat parittomia funktioita

7 Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Jos f (x) on parillinen ja g(x) on parillinen, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on pariton ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on parillinen ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on pariton ESIMERKKI Todistetaan viimeinen kohta. Merkitään h(x) = f (x)g(x) missä f on parillinen ja g pariton. Nyt h( x) = f ( x)g( x) = f (x)( g(x)) = f (x)g(x) = h(x) joten h(x) on pariton

8 Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Tutkitaan integraalia c c f (x)dx, c > 0 kun f (x) on joko parillinen tai pariton funktio Nyt jos f (x) on parillinen funktio, niin c c c f (x)dx = 2 f (x)dx 0 Jos taas f (x) on pariton funktion, niin c c f (x)dx = 0

9 Fourier-sarjat

10 Funktioiden orthogonaalisuus Funktioavaruudessa voimme määritellä sisätulon integraalina < f, g >= b a f (x)g(x)dx Sanomme funktioavaruuden vektoreita f ja g orthogonaalisiksi välillä [a, b] jos < f, g >= 0 Trigonometriset funktiot 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... cos nx, sin nx ovat orthogonaalisia välillä [, π].

11 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Orthogonaalisuuden takia π cos mx cos nxdx = 0 (m n) π π sin mx sin nxdx = 0 (m n) cos mx sin nxdx = 0 missä n, m = 0, 1, 2,...

12 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Osoitetaan, että kun m n π cos mx cos nxdx = 0 Trigonometristen yhteenlaskukaavojen avulla saadaan cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos α cos β = 1 (cos(α + β) + cos(α β)) 2

13 Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Jatkoa Täten π cos mx cos nxdx = 1 2 = = 0 π (cos((n + m)x) + cos((n m)x))dx 1 sin((n + m)x) n + m 1 sin((n m)x) n m π π

14 Eulerin kaavat Fourier-kertoimille Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja integoituva välillä [, π]. Oletetaan lisäksi, että sille voidaan muodostaa suppeneva trigonometrinen sarjaesitys: f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 Tehtävänä on nyt johtaa sarjan kertoimet a 0, a n ja b n

15 Kertoimen a 0 määritys Integoidamalla sarjaesitys molemmilta puolilta, saadaan π π ( π ) f (x)dx = a 0 dx + (a n cos nx + b n sin nx) dx n=1 π π = 2πa 0 + a n cos nxdx + b n sin nxdx n=1 } {{ } =0 Täten saamme kertoimen a 0 arvoksi a 0 = 1 π f (x)dx 2π n=1 } {{ } =0

16 Kertoimen a n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä cos mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) cos mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) cos mxdx n=1 π π = a 0 cos mxdx + a n cos nx cos mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 kun n m π + b n sin nx cos mxdx n=1 }{{} =0 π = a m cos mx cos mxdx

17 Kertoimen a n määritys Koska cos 2 α = (1 + cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) cos mxdx = a m π a m = 1 π π = 1 2 a m π = 1 2 a m (x + 1 2m cos mx cos mxdx (1 + cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) cos mxdx, m = 1, 2,... π = a m π

18 Kertoimen b n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä sin mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) sin mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) sin mxdx n=1 π π = a 0 sin mxdx + a n cos nx sin mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 π + b n sin nx sin mxdx n=1 }{{} =0 kun n m π = b m sin mx sin mxdx

19 Kertoimen b n määritys Koska sin 2 α = (1 cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) sin mxdx = b m π b m = 1 π π = 1 2 b m π = 1 2 b m (x 1 2m sin mx sin mxdx (1 cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) sin mxdx, m = 1, 2,... π = b m π

20 Funktion Fourier-sarja Olemme nyt johtaneet Eulerin kaavat Fourier-kertoimille: a 0 = 1 2π a n = 1 π b n = 1 π π π π Trigonometrista sarjaa f (x)dx f (x) cos nxdx, n = 1, 2,... f (x) sin nxdx, n = 1, 2,... a 0 + (a n cos nx + b n sin nx), n=1 jonka kertoimet on määritelty Eulerin kaavojen avulla, kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi.

21 Suorakaideaallon Fourier-sarja Lasketaan 2π-jaksollisen funktion Fourier-sarja f (x) = Eulerin kaavojen perusteella: { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π a 0 = 1 π f (x)dx = 1 0 kdx + 1 π kdx 2π 2π 2π 0 = 1 k( + π) = 0 2π

22 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa π 0 a n = 1 f (x) cos nxdx = 1 π π = 1 [ sin nx 0 k sin nx π n + k n ] π 0 k cos nxdx + 1 2π = 0 π 0 k cos nxdx π b n = 1 π [ = 1 π k f (x) sin nxdx = 1 π cos nx 0 cos nx n k n = 2k nπ (1 ( 1)n ) 0 ] π 0 k sin nxdx + 1 2π = 2k (1 cos nπ) nπ π 0 k sin nxdx

23 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Fourier-sarja on siis muotoa 2k π 1 ( 1) n sin nx = 4k n π n=1 sin nx n n=1,3,5,... (sin x sin 3x + 1 ) 5 sin 5x +... = 4k π Olettaen, että sarja suppenee pisteessä x = π/2 kohtia arvoa f (π/2) = k, saamme ( ) π k = f = 4k (1 1 2 π ) josta seuraa = π 4

24 Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Kuvassa on esitetty Fourier-sarjan osasumma 2k π N 1 ( 1) n sin nx n n=1 N = 15 N = 5 N = 1 k k

25 Huomioita esimerkistä Koska f (x), cos nx ja sin nx ovat 2π-jaksollisia, niin integroinnin olisi voinut myös suorittaa esimerkiksi välillä [0, 2π] Esimerkissä a 0 = 0 ja a n = 0. Tämän olisi voinut päätellä suoraan funktion f (x) parittomuudesta f (x) on epäjatkuva pisteissä x = 0. Epäjatkuvuuskohdassa sarjan summa suppenee kohti nollaa. Tarkastelemalla funktion toispuoleisia raja-arvoja epäjatkuvuuskohdassa nähdään, että nolla on myös funktion toispuoleisten raja-arvojen aritmeettinen keskiarvo: f (0) = 1 [f (0 ) + f (0+)] 2

26 Fourier-sarjan suppeneminen Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja voidaan muodostaa, jos 2π-jaksollinen funktio f on integoituva välillä [, π]. Tämä pätee esimerkiksi silloin kun funktio on jatkuva tai paloittain jatkuva. Fourier-sarja ei aina välttämättä suppene (edes jatkuvan funktion tapauksessa), ja vaikka se suppenisi, ei sen summa välttämättä yhdy alkuperäiseen funktioon Jos Fourier-sarja yhtyy alkuperäiseen funktioon niin silloin muulloin kirjoitamme f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 f (x) a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1

27 Fourier-sarjan suppenemislause Lause Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja paloittain jatkuva funktio välillä [, π], jolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikissa välin pisteissä. Tällöin f :n Fourier-sarja suppenee jokaisessa pisteessä x kohti arvoa 1 (f (x+) + f (x )) 2 Erityisesti sarja suppenee kohti arvoa f (x) kaikissa pisteissä x, joissa f on jatkuva.

28 Suppeneminen Suorakaideaallon suppeneminen 2π-jaksollisen suorakaideaallon f (x) = { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π Fourier-sarja suppenee kohti funktiota f (x) lukuun ottamatta epäjatkuvuuspisteitä x = mπ, m Z, joissa sarja suppenee kohti arvoa 1 2 (f (mπ+) + f (mπ )) = 1 (k k) = 0 2

29 Mielivaltainen jakso Olemme tähän mennessä käsitelleet vain 2π-jaksollisia funktioita Fourier-sarjojen yleisen soveltamisen kannalta haluamme kuitenkin käsitellä myös muitakin jaksoja Siirtyminen mielivaltaiseen jaksoon p = 2L tapahtuu yksinkertaisesti muuttujan skaalauksella

30 Fourier sarja ja mielivaltainen jakso Kun funktio f (x) on 2L-jaksollinen, niin silloin sen Fourier sarja on missä f (x) a 0 + (a n cos nπ L x + b n sin nπ L x) n=1 a 0 = 1 2L a n = 1 L b n = 1 L L L L L L L f (x)dx f (x) cos nπ xdx, n = 1, 2,... L f (x) sin nπ xdx, n = 1, 2,... L

31 2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Lasketaan funktion 0 kun 2 < x < 1 f (x) = k kun 1 < x < 1 p = 2L = 4 0 kun 1 < x < 2 Fourier-sarja Kertoimiksi saadaan: a 0 = 1 4 a n = 1 2 b n = f (x)dx = f (x) cos nπ 2 xdx = 1 2 f (x) sin nπ 2 xdx = 1 2 kdx = 1 2 k k cos nπ 2 k sin nπ 2 xdx = 0 xdx = 2k nπ sin nπ 2

32 2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Jatkoa Kun n on parillinen a n = 0 ja kun n on pariton a n = 2k nπ, n = 1, 5, 9,..., a n = 2k, n = 3, 7, 11,.... nπ Täten saamme (cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x cos 5π 2 x +... ) f (x) = k 2 + 2k π k 2 2 k k 2 + 2k π k 2 + 2k π cos π 2 x ( cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x+ 1 5 cos 5π 2 x)

33 Fourier-sarja. Parilliset ja parittomat funktiot Lause Olkoon f (x) 2L-jaksollinen funktio. Jos funktio f on parillinen funktio, niin b n = 0 kun n = 1, 2, 3,.... Jos funktio f on pariton funktio, niin a n = 0 kun n = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin f (x) sin nπ L x on pariton. Täten, b n = L L f (x) sin nπ L xdx = 0 Jos f on pariton, niin f (x) cos nπ L x on pariton ja siten a n = 0

34 Parilliset ja parittomat funktiot. Seurauksia Jos f on parillinen, niin saamme kosini-sarjan f (x) a 0 + a n cos nπ L x n=1 missä a 0 = 1 L L 0 f (x)dx, a n = 2 L L Jos f on pariton, niin saamme sini-sarjan f (x) b n sin nπ L x n=1 0 f (x) cos nπ L xdx missä b n = 2 L L 0 f (x) sin nπ L xdx

35 Puolen jakson laajennukset Fourier-sarjoja voidaan soveltaa myös funktioille, jotka eivät ole jaksollisia alkuperäisessä määrittelyvälissään Olkoon funktio f määritelty välillä [0, L]. Tällöin voimme jatkaa funktion parilliseksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Jatkamalla funktio 2L-jaksoisena koko reaaliakselille, saamme parillisen jaksollisen funktion, jonka Fourier-sarja on kosini-sarja Voimme myös jatkaa funktion parittomaksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Nyt funktion Fourier-sarja on sini-sarja Tapoja jatkamiseen on mielivaltainen määrä

36 Puolen jakson laajennus Jatketaan funktio f (x) = { 2k L 2k L x kun 0 < x < L/2 (L x) kun L/2 < x < L parittomaksi ja lasketaan funktion Fourier-sarja parillinen jatko L L pariton jatko

37 Puolen jakson laajennus Jatkoa Kun f jatketaan parittomaksi niin a 0 = 0 ja a n = 0. Lasketaan kertoimet b n : Tällöin b n = 2 L = 2 L L 0 L/2 0 = 8k n 2 π 2 sin nπ 2 f (x) = 8k π 2 f (x) sin nπ L xdx 2k L x sin nπ L xdx + 2 L 2k L L/2 L (L x) sin nπ L xdx ( sin π L x sin 3π L x sin 5π L x +... )

38 Kompleksinen Fourier-sarja Eulerin kaavan perusteella cos nx = 1 2 (einx + e inx ), sin nx = 1 2i (einx e inx ) Esitetään 2π-jaksollisen funktion Fourier sarja eksponenttifunktioiden avulla f a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) = a 0 + = a 0 + = a 0 + n=1 n=1 n=1 1 n= 1 ( ) a n (e inx + e inx ) ib n (e inx e inx ) 2 a n + ib n 2 e inx + a n + ib n 2 n=1 e inx + a n ib n e inx 2 n=1 a n ib n e inx 2

39 Kompleksinen Fourier-sarja missä 1 2 (a n ib n ) = 1 2π π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 1 2 (a n+ib n ) = 1 π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 2π Merkitsemällä c n = (a n ib n )/2 ja huomioimalla, että a n ib n = a n + ib n ja c 0 = a 0, saadaan kompleksiseksi Fourier-sarjaksi: f (x) n= c n e inx, c n = 1 π f (x)e inx dx 2π

40 Kompleksinen Fourier-sarja 2L-jaksolliselle funktiolle 2L-jaksollisen funktion kompleksinen Fourier-sarja on: f (x) n= c n e i nπ L x, c n = 1 L f (x)e i nπ L x dx 2L L

41 Kompleksinen Fourier-sarja Etsitään jaksollisen funktion { 1 kun 0 < x < 1 f (x) = 0 kun 1 < x < 2 p = 2L = 2 kompleksinen Fourier-sarja Lasketaan kerroin c n (integroidaan yli välin [0, 2L]) 2 1 c n = 1 f (x)e inπx dx = 1 e inπx dx = i 2nπ (e inπ 1) = i 2nπ (( 1)n 1) (n 0) { 0 kun n parillinen = i nπ kun n pariton

42 Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa Kun n = 0 c 0 = f (x)dx = 1 2 / 1 Täten funktion kompleksinen Fourier-sarja on f (x) = 1 2 i π n pariton 0 x = n einπx Hajottamalla summa kahteen osaan, saadaan f (x) = 1 2 i π = i π 1 n= n=1 1 n 1 n einπx i π n=1 (e inπx e inπx) 1 n einπx missä n on pariton kokonaisluku.

43 Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa missä n on pariton kokonaisluku. Käyttämällä Eulerin kaavaa, saadaan Fourier-sarjaksi f (x) = π n=1,3,... 1 n sin(nπx)

44 Fourier-sarjan sovelluksia Muodostetaan lineaarisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = f (t) yksittäisratkaisu kun f (t) = { 1 kun 0 < t < 1 0 kun 1 < t < 2 p = 2L = 2 Edellisen esimerkin perusteella tiedetään, että funktion f (t) Fourier-sarja on muotoa f (t) = π n=1,3,... 1 n sin(nπt) Etsitään differentiaaliyhtälölle ratkaisua yritteellä y(t) = a 0 + n=1,3,... (a n cos nπt + b n sin nπt)

45 Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Sijoittamalla yrite differentiaaliyhtälöön saadaan ω 2 a 0 + = π josta saadaan n=1,3,... n=1,3,... ([ω 2 n 2 π 2 ]a n cos nπt + [ω 2 n 2 π 2 ]b n sin nπt) 1 n sin(nπt) a 0 = 1 2ω 2, a n = 0, b n = 2 1 π n(ω 2 n 2 π 2 )

46 Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Yksittäisratkaisu on siten y 1 (t) = 1 2ω π Olkoon nyt ω = 10. Tällöin n=1,3,... 1 n(ω 2 n 2 π 2 sin nπt ) y 1 (t) = sin πt sin 3πt sin 5πt sin 7πt... Nähdään, että taajuudella 3π värähtelevä komponentti dominoi, sillä sen amplitudi on merkittävästi suurin.

47 Fourier-muunnos

48 Fourier-integraali Tarkastellaan 2L-jaksoisen funktion Fourier-sarjaa f (x) = a 0 + (a n cos ω n x + b n sin ω n x), ω n = nπ L n=1 kun L. Lisäämällä yhtälöön Fourier-kertoimien kaavat, saadaan L f (x) = 1 f (t)dt 2L L + 1 ( cos ω n x L n=1 L L f (t) cos ω n tdt + sin ω n x Koska ω = ω n+1 ω n = π/l niin L = π/ ω. L L f (t) sin ω n tdt )

49 Fourier-integraali Voimme nyt kirjoittaa sarjan muotoon f (x) = 1 L f (t)dt + 1 ( [cos ω n x] ω 2L L π n=1 ) +[sin ω n x] ω L L f (t) sin ω n tdt L L f (t) cos ω n tdt Olettaen, että f on integroituva, niin ensimmäinen termi yhtälön oikealta puolelta häviää kun L. Lisäksi ω 0 kun L. Täten voimme formaalisti korvata summan integraalilla. Saamme f (x) = 1 ( ) cos ωx f (t) cos ωtdt + sin ωx f (t) sin ωtdt dω π 0

50 Fourier-integraali Merkitsemällä A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt, B(ω) = 1 π f (t) sin ωtdt voimme kirjoittaa yhtälön muotoon f (x) = 0 (A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx) dω Yhtälö kutsutaan funktion f (x) Fourier-integraaliksi.

51 Fourier-integraali Lause Jos funktio f (x) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä ja funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikkialla ja jos f on integroituva, niin silloin funktio voidaan kuvata Fourier-integraalin avulla. Jos f on epäjatkuva pisteessä x 0, niin kyseisessä pisteessä Fourier-integraalin arvo on 1 2 (f (x 0+) + f (x 0 ))

52 Fourier-integraali Muodostetaan funktion Fourier-integraali f (x) = { 1 kun x < 1 0 kun x > 1 Funktio on parillinen, joten B(ω) = 0. Lasketaan A(ω): A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt = 1 π Täten funktion Fourier-integraali on sin ω cos ωxdω π 0 ω f (t) cos ωtdt = 2 sin ω πω

53 Fourier-integraali Jatkoa Funktion on jatkuva muualla paitsi pisteissä x = ±1. Epäjatkuvuuskohdissa toispuoleisten raja-arvojen keskiarvo 1/2. Täten 2 sin ω cos ωxdω = π 0 ω 1 kun x < kun x = ±1 0 kun x > 1 Vaihtamalla integraalin ylärajan luvulla a, voimme approksimoida Fourier-interaalia ja siten funktiota f (x). Approksimaatio tarkentuu kun a:n arvo kasvaa.

54 Kompleksinen Fourier-integraali Koska cos ω(x t) = cos ωx cos ωt + sin ωx sin ωt Voimme esittää Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω π 0 Koska cos ω(x t) parillinen funktio (muuttujan ω suhteen), niin f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω 2π Toisaalta, koska sin ω(x t) on pariton, niin 1 ( ) f (t) sin ω(x t)dt dω = 0 2π

55 Kompleksinen Fourier-integraali Yhdistämällä yhtälöt (jälkimmäinen yhtälö kerrotaan i:llä) ja käyttämällä Eulerin kaavaa: e iω(x t) = cos ω(x t) + i sin ω(x t) saamme kompleksisen esityksen Fourier-integraalille: f (x) = 1 f (t)e iω(x t) dtdω 2π

56 Fourier-muunnoksen määritelmä Voimme ilmaista Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 2π ( 1 2π ) f (t)e iωt dt e iωx dω Määrittelemme nyt Fourier-muunnoksen kaavalla: ˆf (ω) = 1 2π ja käänteismuunnoksen kaavalla f (t) = 1 2π f (t)e iωt dt ˆf (ω)e iωt dω

57 Fourier-muunnos Fourier muunnos on kuvaus ˆf : R C, joten sen arvot ovat yleensä kompleksilukuja Muunnoksesta käytetään myös merkintää F(f ) ja käänteismuunnoksesta F 1 (ˆf ) Riittävät ehdot muunnoksen olemassaololle: f (t) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä f (t) on integoituva t-akselilla, ts: f (t) dt < Kaavojen edessä on kerroin 1/ 2π. Kirjallisuudessa käytetään myös usein muunnoksille esitystä, jossa Fourier-integraalin kerroin 1/2π on kokonaisuudessaan kiinnitetty joko muunnoksen tai käänteismuunnoksen eteen

58 Fourier-muunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, Fourier-muunnos Muunnoksen määritelmän mukaan ˆf (ω) = 1 2π f (t)e iωt dt = 1 a ke iωt dt 2π 0 = k(1 e iωa ) iω 2π = k 2π sin ωa i(1 cos ωa) ω

59 Kosinimuunnos Kirjoittamalla Fourier-muunnos trigonometrisessä muodossa, saamme ˆf (ω) = 1 2π f (t)(cos ωt i sin ωt)dt Jos f (t) on parillinen, niin päädymme kosinimuunnokseen: ˆf c (ω) = 2 f (t) cos ωtdt π 0 Koska nyt ˆf c (ω) on parillinen funktio, niin käänteismuunnoksen kaavaksi saamme f (t) = 2 π 0 ˆf c (ω) cos ωtdω

60 Sinimuunnos Jos f (t) on pariton, niin päädymme sinimuunnokseen: ˆf s (ω) = jonka käänteismuunnos on f (t) = 2 f (t) sin ωtdt 1 π 0 2 π 0 ˆf s (ω) sin ωtdω Johdimme muunnoksien kaavat pariteetin avulla Määritettyämme muunnoksien kaavat, funktion f (t) käyttäyminen negatiivisella t-akselilla on merkityksetöntä 1 Kerroin i on nyt sisällytetty muunnokseen

61 Sini- ja kosinimuunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, kosini- ja sinimuunnos Muunnoksien määritelmien mukaan ˆf c (ω) = ˆf s (ω) = 2 a k cos ωtdt = π 0 ( ) 2 sin ωa π k ω 2 a ( ) 2 1 cos ωa k sin ωtdt = π 0 π k ω

62 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Olkoon funktioiden f (t), g(t) Fourier-muunnokset F(f ) = ˆf (ω), F(g) = ĝ(ω) määriteltyjä ja a ja b vakioita. Tällöin: Lineaarisuus F(af (t) + bg(t)) = af(f (t)) + bf(g(t)) Skaalaus F(f (at)) = 1 a ˆf ( ω a ), a > 0 Siirto Taajuussiirto F(f (t t 0 )) = e iωt 0 F(f (t)) F ( f (t)e iω 0t ) = ˆf (ω ω 0 )

63 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Todistetaan siirto Todistus. F(f (t t 0 )) = 1 2π = 1 2π = e iωt 0 1 2π f (t t 0 )e iωt dt f (λ)e iω(λ+t 0) dλ = e iωt 0 1 2π f (λ)e iωλ dλ f (t)e iωt dt = e iωt 0 F(f (t))

64 Derivaatan Fourier-muunnos Lause Olkoon funktio f (t) jatkuva ja f (t) 0 kun t. Olkoon lisäksi f (t) integroituva yli R. Tällöin Todistus. F(f (t)) = 1 2π F(f (t)) = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt = 1 2π / f (t)e iωt 1 2π = 0 + iω 1 2π = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt f (t)( iω)e iωt dt

65 Fourier-muunnos derivaatan avulla Lasketaan funktion f (t) = te t2 Fourier-muunnos kun tiedetään, että F(e t2 ) = e 1 4 ω2 / 2 Nyt Täten d ( 1 ) dt 2 e t2 = te t2 = f (t) ( d F(f (t)) = F ( 1 )) dt 2 e t2 = iwf ( 1 ) 2 e t2 = 1 ( 2 iωf e t2) = iω 2 2 e 1 4 ω2

66 Toisen derivaatan Fourier-muunnos Koska F(f (t)) = iωf(f (t)) = (iω) 2 F(f (t)) saamme toisella derivaatalle F(f (t)) = ω 2 F(f (t)) Yleisemmin F(f (n) (t)) = (iω) n F(f (t))

67 Konvoluutioteoreema Olkoon funktiot f (t), g(t) määritelty koko R:ssä. Tällöin funktioiden f, g konvoluutio on määritelty seuraavasti (f g)(t) = f (s)g(t s)ds Lause Olkoon funktiot f (t), g(t) paloittain jatkuvia, rajoitettuja, ja integroituvia yli koko R:n. Tällöin F(f g) = 2πF(f )F(g)

68 Konvoluutioteoreema Todistus. Nyt F(f g) = 1 2π f (s)g(t s)e iωt dsdt Vaihtamalla integrointijärjestys ja tekemällä muuttujanvaihdon q = t s, saamme F(f g) = 1 2π = 1 2π = 2πF(f )F(g) f (s)g(q)e iω(s+q) dqds f (s)e iωs ds g(q)e iωq dq

69 Fourier-muunnoksen sovelluksia Muodostetaan differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu y (t) + a 2 y(t) = δ(t), a > 0 Ottamalla yhtälöstä Fourier-muunnos puolittain, saadaan ω 2 F(y(t)) + a 2 F(y(t)) = F(δ(t)) Ratkaisemalla funktion y(t) Fourier-muunnos: F(y(t)) = 1 ω 2 + a 2 F(δ(t)) = F ( ) 2π 2a e a t F(δ(t))

70 Fourier-muunnoksen sovelluksia Jatkoa Konvoluutioteoreeman perusteella y(t) = 1 2π 2π 2a e a t δ(t) = 1 e a t s δ(s)ds 2a = 1 2a e a t

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla 4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu

Lisätiedot

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt 8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos 9. joulukuuta 2004 Sisältö Kirjallisuuta, historiaa, merkitys i 1. Jaksolliset funktiot,

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT 3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos Syksy 2003 Huom! Tämä ei kata kaikkea Fourier-sarjoista. Lisäksi on syytä konsultoida

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-II FOURIER-SARJAT. 1. Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat Trigonometrinen sarja 2

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-II FOURIER-SARJAT. 1. Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat Trigonometrinen sarja 2 Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II FOURIER-SARJAT HEIKKI APIOLA Teknillinen korkeakoulu Matematiikan laitos Sisältö Johdanto, merkintöjä i 1. Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat 1 1.1.

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

6.2.3 Spektrikertymäfunktio

6.2.3 Spektrikertymäfunktio ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden

Lisätiedot

Fourier-analyysin alkeet

Fourier-analyysin alkeet 1 Fourier-analyysin alkeet Joni Teräväinen 8. toukokuuta 212 Fourier'n teoria ei ole ainoastaan yksi modernin analyysin kauneimpia tuloksia, vaan sen sanotaan varustavan käyttäjänsä korvaamattomalla työkalulla

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot