MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
|
|
- Taisto Myllymäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti ja ke 1.4.) ei ole luentoja eikä harjoituksia Jatkuu... *1. Olkoot (X, d) metrinen avaruus ja x 0 X kiinteä piste. Merkitään C b (X; R) := {f : X R f on jatkuva ja rajoitettu } f := sup{ f(y) y X}, kun f C b (X; R) Jokaiselle x X olkoon f x : X R, f x (y) := d(x, y) d(y, x 0 ). Osoita, että a) f x C b (X; R) kaikille x X; b) f x f z = d(x, z) kaikille x, z X; c) jokainen metrinen avaruus voidaan upottaa isometrisesti Banachin avaruuden tiheäksi osajoukoksi. *2. (Samaistaako vaiko eikö samaistaa?) Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla Hilbertin avaruus H ja sen duaali H voidaaan samaistaa: H = H, kun samaistetaan a H ja jatkuva lineaarifunktionaali ( a) H. Aina näin ei kuitenkaan voida tehdä. Kaikille s R asetetaan h s := {x = (x n ) n=1 n=1 n2s x n 2 < } sekä (x y) s := n=1 n2s x n y n, kun x = (x n ) n=1, y = (y n) n=1 hs. Tällöin (h s, ( ) s ) on Hilbertin avaruus. Lisäksi h 0 = l 2 ja ( ) 0 on l 2 :n tavallinen sisätulo. a) Osoita, että kaikille y = (y n ) n=1 h 1, kuvaus f 1,y : h 1 K, (x n ) n=1 n=1 x n y n, on jatkuva lineaarifunktionaali, jonka operaattorinormi on y 1. b) Olkoon f : h 1 K jatkuva lineaarifunktionaali. Osoita, että on olemassa y h 1 siten, että f = f 1,y. [Vihje: Aseta y j := f(e j ), kun j Z +, missä (e j ) j=1 on l2 :n standardikanta, sekä y = (y n ) n=1. Kun y(n) := (y 1, y 2,..., y n, 0, 0,...), on y (n) 2 1 = f( n j=1 j 2 y j e j ) f y (n) 1, joten y h 1. Lisäksi f(x) = f 1,y (x) kaikille x h 1.] c) Osoita yleisemmin, että kaikille y = (y n ) n=1 h s, kuvaus f s,y : h s K, (x n ) n=1 n=1 x n y n, on jatkuva lineaarifunktionaali, jonka opetaattorinormi on y s. Siis y f s,y on konjugaattilineaarinen isometria h s (h s ). d) Osoita, että jos f : h s K on jatkuva lineaarifunktionaali, niin on olemassa y h s siten, että f = f s,y. Tässä esimerkissä siis (h 0 ) = h 0 = l 2, mutta kun s 0, niin duaali (h s ) samaistuu avaruuteen h s ; samaistetaan ( y h s ja f s,y (h s ). Jos asetetaan f y (xn ) n=1) := n=1 n2s x n y n, kun x = (x n ) n=1 hr ja y = (y n ) n=1 h 2s r, niin kuvaus y f y : h 2s r (h r ) on konjugaattilineaarinen isometria. Tällöin voidaan samaistaa (h s ) = h s, jolloin (l 2 ) = (h 0 ) = h 2s. *3. Olkoot E ja F normiavaruuksia, D E aliavaruus ja T : E F lineaarikuvaus. Osoita, että T :n kuvaaja Gr(T ) on suljettu, jos ja vain jos ehdoista x n D, n Z +, x n x E ja T x n y F seuraa, että x D ja T x = y.
2 ... jatkuu 2 *4. Olkoon z l 2 vektori, jolle (z e j ) 0 äärettömän monelle j Z +. Olkoot D := {z} {e j j Z + } ja T : D l 2, T (x 0 z + ) x j e j := x 0 z. j Z + Osoita, että T on lineaarikuvaus. Perustele aluksi, miksi T on hyvin määritelty. (Huomaa, että kun x 0 z + j Z + x j e j D, summassa vain äärellisen monta x j 0.) Osoita, että a) T :n kuvaaja ei ole suljettu; b) T :n kuvaajan sulkeuma Gr(T ) ei ole minkään lineaarikuvauksen kuvaaja. [Vihje: Osoita, että (z, z) Gr(T ) ja (z, 0) Gr(T ).] Tehtävän opetus? Ensin määritelmä: Rajoittamaton operaattori on sulkeutuva, jos sen kuvaajan sulkeuma on jonkin rajoittamattoman operaattorin kuvaaja. Jos T on sulkeutuva ja S on operaattori, jolle Gr(T ) = Gr(S), on S rajoittamattoman operaattorin T sulkeuma. Tehtävä siis sanoo, että kaikki rajoittamattomat operaattorit eivät ole sulkeutuvia. *5. Olkoon (E n ) n=1 avaruuden L2 Hilbertin kanta. Olkoot D := C c (R) kompkatikantajaisten C -funktioiden joukko ja T : D L 2 (R), T f := f(n) e n. n=1 Osoita, että T on hyvin määritelty lineaarikuvaus. Seuraavassa hahmotellaan todistusta sille, että rajoittamattoman operaattorin T adjungaatin T määrittelyjoukko D = {0}. Valitse g L 2 (R), g 0. Osoitetaan, että lineaarimuoto f (T f g) ei tällöin ole jatkuva: Koska g 0, on (g e N ) 0 jollekin N Z +. Valitse f k D siten, että supp f k [N 1 2, N ], f k(n) = 1 ja f k 2 0, kun k. Osoita, että (T f k g) 0, kun k, vaikka f k 2 0. *6. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z x n < (t.s. x l 1 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on siis jatkuva, 2πjaksoinen funktio f : R C. [Vihje: Weierstrassin M-testi.] *7. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n x n < (t.s. (n x n ) n Z l 1 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: idem.] *8. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n 2s x n 2 < jollekin s > 1/2 (t.s. ( n s x n ) n Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: CSB, yliharmoninen sarja ja Weierstrassin M-testi.] *9. Olkoon x = (x n ) n Z C siten, että n Z n 2s+2 x n 2 < jollekin s > 1/2 (t.s. ( n s n x n ) n Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja n Z x n e i n t suppenee itseisesti ja tasaisesti, ja sen summa f(t) on jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoinen funktio f : R C. [Vihje: idem.]
3 Sobolevin avaruuksien jonoversio. Kaikille s R asetetaan... jatkuu 3 h s := { x = (x k ) k Z x 2 π,s = k Z(1 + k 2 ) s x k 2 < }, (x y) π,s := k Z(1 + k 2 ) s x k y k, kun x = (x k ) k Z h s ja y = (y k ) k Z h s. Huomaa, että h 0 = l 2 (Z) ja π,0 = 2. *10. Osoita, että kuvaus I s : h s l 2 (Z), I s x := ((1 + k 2 ) s/2 x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h s, on isometrinen lineaarinen bijektio. Päättele tämän avulla, että (h s, ( ) π,s ) on Hilbertin avaruus. *11. Kaikille s, r R asetetaan I s,r : h s h r, I s,r x := ((1 + k 2 ) (s r)/2 x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h s. Osoita, että I s,r on isometrinen lineaarinen bijektio. Osoita lisäksi, että I s,r I r,t = I s,t ja I s,r I r = I s. *12. Olkoon D π,1 : h 1 l 2 (Z), D π,1 x := (k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h 1. Osoita, että kuvaus D π,1 on jatkuva lineaarikuvaus, ja x 2 π,1 := x D π,1x 2 2. *13. Kun n N, olkoon D π,n : h n l 2 (Z), D π,n x := (k n x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z h n. Osoita, että kuvaus D π,n on jatkuva lineaarikuvaus. Osoita lisäksi, että x ( x D π,nx 2 2 on normi h n :ssä, ja että se on ekvivalentti normin π,n kanssa. *14. Olkoot D := s R hs ja D π : D D, D π x := (k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z D. Kun j N, olkoon Dπ j : D D, Dπx j := (k j x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z D. Huomaa, että D π h 1 = D π,1 ja Dπ n h n = D π,n. Olkoon n N. Osoita, että h n = {x l 2 (Z) Dπx j l 2 (Z) kaikille j = 1,..., n}. Osoita lisäksi, että x ( x n j=1 Dj πx 2 1/2 2) on normi h n :ssä, ja että se on ekvivalentti normin π,n kanssa. *15. a) Olkoot y = (y k ) k Z l 2 ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D π,2 x + λ x = y on tasan yksi ratkaisu x h 2. b) Olkoot y = (y k ) k Z D ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D 2 πx + λ x = y on tasan yksi ratkaisu x D. Osoita myös, että jos y h s, niin x h s+2. *16. Osoita, että kun s > r, on h s h r vektorialiavaruutena. Asetetaan kaikille s, r R, joille s r, U s,r : h s h r, U s,r x := x (upotus). Osoita, että U s,r on jatkuva. *17. Osoita, että kun s > 0, on h s tiheä l 2 (Z):n aliavaruus. [Vihje: f := {x = (x n ) n Z x n 0 vain äärellisen monelle n} h s kaikille s R.] *18. Osoita, että kun s > r, on h s tiheä h r :n aliavaruus. *19. Kaikille x = (x k ) k Z h s, y = (y k ) k Z h s asetetaan f y : h s C, f y (x) := k Z x ky k. Osoita, että f y (h s ), ja että kuvaus h s (h s ), y f y on lineaarinen isometria, vieläpä isomorfismi. Huomaa, että tässä ei ole kyse Fréchet n ja Rieszin lauseen isomorfiasta Hilbertin avaruuden ja sen duaalin välillä. Tässä l 2 (Z):n duaali samastetaan itseensä, jolloin h s :n duaali tulee samastumaan avaruuden h s kanssa. Ks. tehtävää *2, Samaistaako vaiko eikö samaistaa? ) 1/2
4 ... jatkuu 4 *20. ( Sobolevin upotuslause ) Olkoon C 2π kaikkien 2π-jaksoisten jatkuvien funktioiden f : R C muodostama Banachin avaruus, normina f := sup{ f(t) t R}. Kun s > 1/2, olkoon S s : h s C 2π, (S s x)(t) := n Z x ne i n t, kun x = (x n ) n Z. Osoita, että kuvaus on hyvinmääritelty ja jatkuva. *21. Kun k N, olkoon C k 2π := {f C 2π f (j) on jatkuva kaikille j = 1,..., k}, missä f (j) := f:n j. derivaatta. Olkoon f k, := k j=0 f (j), missä f (0) := f. Olkoon s > k + 1/2. Osoita, että S s x C k 2π, kun x hs, ja että S s : h s C k 2π on jatkuva. *22. (Vastaisen varalle, kun on opiskeltu kompakteja operaattoreita; vrt. moniste, luku IX, Kompaktit operaattorit.) Olkoot λ = (λ k ) k Z l (Z) ja T : l 2 (Z) l 2 (Z), T x := (λ k x k ) k Z, kun x = (x k ) k Z l 2 (Z). Tällöin T on jatkuva lineaarikuvaus. Lisäksi T on kompakti, jos ja vain jos λ c 0 (Z), t.s. λ k 0, kun k. *23. ( Rellichin lemma ) Olkoon s > 0. Osoita, että upotus U s,0 : h s l 2 (Z), x x, on kompakti. [Vihje: U s,0 Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) on edellisen tehtävän perusteella helppo osoittaa kompatiksi. Muista, että kuvaus I s : h s l 2 (Z) on isometrinen isomorfismi.] *24. Olkoon s > r. Osoita, että upotus U s,r : h s h r, x x, on kompakti. [Vihje: I r U s,r Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) on helppo osoittaa kompatiksi.] Selityksiä: Rieszin ja Fisherin lauseen nojalla funktion f L 2 ([ π, π]) Fourier-kertoimien jono x k = 1 π 2π π f(t) e i k t dt, kuuluu avaruuteen l 2 (Z), ja kääntäen jos (x k ) k Z l 2 (Z), niin on olemassa f L 2 ([ π, π]) s.e. x k = 1 π 2π π f(t) e i k t dt, f(t) = k Z x k e ikt. Muodollisesti termeittäin derivoimalla saadaan f (t) = k Z i k x k e i k t. Siis derivaattaa vastaa kerrointa i lukuunottamatta jono (k x k ) k Z. Jotta derivaatta f L 2 ([ π, π]), on siis oletettava, että (k x k ) k Z l 2 (Z). Ehdot f L 2 ([ π, π]), f L 2 ([ π, π]), voidaan Fourierkertoimille x k korvata yhdellä ehdolla (x k ) k Z π,1 <. Koska funktion f L 2 ([ π, π]) Fourier-kertoimien jono (x k ) k Z l 2 (Z), on x k 0, kun k. Olkoon f C 1 2π. Näytä osittaisintegroimalla y k := 1 π 2π π f (t) e i k t dt, että y k = i k x k. Näytä edelleen, että (k x k ) k Z l 2 (Z) sekä (x k ) k Z h 1 1. Lisäksi 2π f 2 1,2 = (x k ) k Z 2 π,1, missä f 2 1,2 = π π ( f 2 + f 2 ) dt. Käyttämällä Cauchyn jonoja päättele, että 1 2π f 2 1,2 = (x k) k Z 2 π,1 kaikille f H1,2 π := C 1 2π :n täydentymä normin 1,2 suhteen. Kuvaus D π,1 vastaa Fourier-kertoimille Sobolevin avaruuden Hπ 1,2 heikkoa derivaattaa (tekijää i lukuunottamatta). Vastaavasti, jos f on n kertaa jatkuvasti derivoituva, saadaan osittaisintegroinnilla π π f (n) (t) e i k t dt = (i k) n x k, ja (x k ) k Z h n. Operaattori D π,n vastaa Fourier-kertoimille 1 2π Sobolevin avaruuden H n,2 π heikkoa n. kertaluvun derivaattaa, kun H n,2 π := C n 2π :n täydentymä normin n,2 suhteen, missä f 2 n,2 = π n π j=0 f (j) 2 dt. Jaksollisten funktioiden tilanteessa ei ole eri avaruuksia H 1,2 ja H 1,2 0, koska 2π-jaksoiset funktiot voidaan samastaa yksikköympyrän kehän funktioiden kanssa, ja yksikköympyrän kehällä ei ole reunaa. Avaruuksien h s leikkaus h s = { ( (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 ) x k k Z l (Z) kaikille s R } s R vastaa C 2π -funktioita: Jos (x n) n Z s R hs, niin t n Z x ne i n t on 2π-jaksoinen, C - funktio.
5 ... jatkuu 5 Yhdiste D = h s = { ( (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 ) x k k Z l (Z) jollekin s R } s R vastaa 2π-jaksoisten distribuutioiden joukkoa ja D π distribuutioderivaattaa. Yhtälö D π,2 x + λ x = y vastaa yhtälöä f + λ f = g. Myös tässä tilanteessa operaattorilla D π,2 on ominaisarvoja. Mitkä? Mitkä ovat vastaavat ominaisvektorit? Aliavaruus f (=jonot (x n ) n Z, joille x n 0 vain äärellisen monelle n) vastaa trigonometristen polynomien joukkoa. Seuraavissa tehtävissä E, F ja G ovat normiavaruuksia, U E avoin ja x 0 U. *25. määritelmä: Kuvaus f : U F on differentioituva pisteessä x 0, jos on olemassa A B(E; F ) siten, että (D) f(x 0 + h) f(x 0 ) = Ah + h ε(h), missä ε f,x0 (h) = ε(h) 0, kun h 0. Lineaarikuvaus A on kuvauksen f derivaatta pisteessä x 0 ja sitä merkitään Df(x 0 ). Kuvaus f on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa pisteessä x U. Differentioituva kuvaus f : U F on jatkuvasti differentioituva, jos derivaatta Df : U B(E; F ) on jatkuva. *26. Osoita, että ehto (D) määrää derivaatan A yksikäsitteisesti. *27. Olkoot U E avoin, x 0 U ja f : U F annettu kuvaus. Osoita, että jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f on jatkuva pisteessä x 0. *28. Olkoot U E avoin, F = F 1 F m normiavaruuksien tulo ja f = (f 1,..., f m ): U F annettu kuvaus. Osoita, että f on differentioituva pisteessä x 0 U, jos ja vain jos jokainen f j on differentioituva pisteessä x 0 ; tällöin on Df(x 0 ) = (Df 1 (x 0 ),..., Df m (x 0 )). 1 *29. Olkoon B : E F G jatkuva bilineaarikuvaus. Osoita, että B on differentioituva ja DB(x, y)(u, v) = B(x, v) + B(u, y). *30. (Ketjusääntö) Olkoot U E avoin, V F avoin, f : U V differentioituva pisteessä x 0 U ja g : V G differentioituva pisteessä y 0 := f(x 0 ) V. Osoita, että g f : U G on differentioituva pisteessä x 0 ja D(g f)(x 0 ) = Dg(y 0 ) Df(x 0 ). *31. Olkoot U E avoin ja f : U R differentioituva. Osoita, että jos funktiolla f on pisteessä a U lokaali ääriarvo (määrittele), niin Df(a) = 0. *32. Olkoot E Banachin avaruus ja U := {A B(E; E) A on kääntyvä ja A 1 B(E; E)}. Osoita, että U on Banachin avaruuden B(E; E) avoin osajoukko. [Ks. H 3/T 7.] Olkoon I: U B(E; E), I(A) := A 1. Osoita, että I on differentioituva ja DI(A)H = A 1 H A 1 kaikille H B(E; E). 1 Väitetyssä kaavassa B(E; F ) samaistetaan tulon L(E; F 1 ) L(E; F m ) kanssa seuraavasti: Kun A B(E; F ) on annettu, asetetaan A j := p j A B(E; F j ), missä p j : F F j on projektio. Tällöin Au = (A 1 u,..., A m u) kaikille u E. Kääntäen, kun A j B(E; F j ), 1 j m, on annettu, määrittelee Au := (A 1 u,..., A m u) jatkuvan lineaarikuvauksen E F.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.
128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot1 Lineaarialgebraa Vektoriavaruus Lineaarikuvaus Zornin lemma ja Hamelin kanta... 10
Sisältö I Banachin avaruudet 5 1 Lineaarialgebraa 7 1.1 Vektoriavaruus................................. 7 1.2 Lineaarikuvaus................................. 8 1.3 Zornin lemma ja Hamelin kanta........................
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Funktionaalianalyysi Harjoitukset 1,
f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 1, 19.1.2005 Jatkuu... Tähdellä merkityt tehtävät ovat ylimääräisiä. 1. Olkoot X epätyhjä joukko, F b (X, R) := {f : X R f o rajoitettu}, f := sup x X f(x) ja d(f,
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
Lisätiedoton Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.
f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSI 2017
FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)
Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Vektorianalyysi II (MAT22, syksy 28 Kurssitentti, Ma 7228 (RATKAISUEHDOTUKSET Tentaattori: Ville Tengvall (villetengvall@helsinkifi Vastaa kaikkiin
LisätiedotVuoristosolalause. Eero Ruosteenoja. Pro gradu -tutkielma
Vuoristosolalause Eero Ruosteenoja Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Vuoristosolalauseen versioita 3 1. Vuoristosolalauseen
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström
Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille Joona Lindström HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotMonistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
Lisätiedot