Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
|
|
|
- Albert Auvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
2 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
3 1 Johdanto Funktion parillisuus ja parittomuus Jaksollisuus Signumfunktio, Diracin, ja Heavisiden funktio 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
4 Joseph Fourier ( ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
5 Paloittain jatkuva funktio Reaali- tai kompleksimuuttujan funktio f on paloittain jatkuva alueessa D, jos se on epäjatkuva korkeintaan alueen D erillisissä pisteissä. Kuva: Paloittain jatkuva funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
6 Funktion parillisuus ja parittomuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on parillinen, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
7 Funktion parillisuus ja parittomuus, jatkoa Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on pariton, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
8 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
9 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
10 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
11 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
12 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. Parillisen ja parittoman funktion tulo on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
13 Parittoman/parillisen funktion integraali Lemma Jos f on pariton ja c > 0, niin c Jos f on parillinen, niin c c c f (t) dt = 0. c f (t) dt = 2 f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
14 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
15 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
16 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
17 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 = c 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c f ( s) ds + f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
18 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
19 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = Parillisen funktion osalta todistus sujuu samaan tapaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
20 Jaksollisuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on jaksollinen (jaksona T ), jos f (t + T ) = f (t) kaikilla t. Kuva: Jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
21 Etumerkkifunktio eli signumfunktio Etumerkkifunktio määritellään sgn (t) = { 1, kun t < 0, 1, kun t 0. Kuva: Etumerkkifunktio eli signumfunktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
22 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
23 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
24 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Huomautus 2: Yksikköaskelfunktio voidaan kirjoittaa sigumfunktion avulla u(t) = (1 + sgn (t))/2. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
25 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
26 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. Selvästi aina f ε (t) dx = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
27 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio Selvästi aina f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. f ε (t) dx = 1. Jos annetaan epsilonin lähestyä nollaa, piikin leveys pienenee ja korkeus kasvaa. Saadaan origossa äärettömän korkea ja kapea pulssi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
28 Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
29 Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). Diracin deltafunktio ei ole oikea funktio vaan nk. distribuutio. Vaikka sillä ole äärellistä arvoa origossa, pätee: f ɛ (t)g(t)dt g(0) =: f ɛ (t)g(t)dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
30 1 Johdanto 2 Fourier-sarja Dirichlet n ehdot Fourier-sarjan laskeminen Gibbsin ilmiö Kompleksinen Fourier-sarja Sovelluksia differentiaaliyhtälöihin 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
31 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
32 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
33 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
34 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja (3) integraali on äärellinen. T /2 T /2 f (t) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
35 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
36 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 f (t) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
37 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
38 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 ja a k = 2 T b k = 2 T a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
39 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, ja f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T b k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. Kertoimia a 0, a k, b k sanotaan funktion f Fourier-kertoimiksi ja sarjaa (2.1) sen Fourier-sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
40 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
41 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
42 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, [ lim f (t) + t t 0 + Todistus. Sivuutetaan. lim f (t)], jos f on epäjatkuva t 0:ssa. t t 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
43 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
44 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
45 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
46 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. Vastaavasti, jos f on pariton, niin h(t) = f (t) cos(kωt) on pariton ja siten a k = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
47 Fourier-sarjan laskeminen Lause Oletetaan, että f on T -jaksoinen integroituva funktio. Tällöin T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 +r f (t) dt kaikilla r R. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
48 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
49 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
50 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
51 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 +r f (s + T ) ds f (t) dt = f (t) dt. T 2 T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
52 Fourier-sarjan laskeminen, jatkoa Seuraus Fourier-sarjan kertoimet voidaan laskea a k = 2 T b k = 2 T T /2+r T /2+r T /2+r T /2+r f (t) cos(nωt) dt, f (t) sin(nωt) dt. Huomautus. Erityisesti, jos r = T /2, saadaan a k = 2 T T 0 f (t) cos(nωt) dt, b k = 2 T T 0 f (t) sin(nωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
53 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
54 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
55 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. Saadaan a 0 = 2 T 2 2 f (t) dt = dt = 3. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
56 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = 1 2 cos ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
57 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ cos ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ sin 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
58 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = 1 = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ ) ] sin + sin(kπ) kπ 2 2 cos ) sin ( kπt ) dt 2 = 2 kπ sin ( kπ 2 ( 2kπ )] 2 ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
59 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 sin ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
60 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 sin ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ cos 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
61 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ cos kπ 2 sin ) ] cos(kπ). ( kπt ) dt 2 ) cos ( 2kπ )] 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
62 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
63 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
64 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
65 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
66 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
67 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja b k = kπ cos(kπ) sin(kπ) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
68 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja kπ cos(kπ) sin(kπ) b k = k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
69 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
70 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
71 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). Jatkuville funktioille, joiden derivaatta on myös jatkuva paitsi äärellisen monessa pisteessä, pätee Fourier-sarjan nk. tasainen suppeneminen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
72 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
73 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
74 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
75 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) Kaavoista (2.3), (2.4) saadaan cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
76 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
77 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx (a k + ib k )e ikx. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
78 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx (a k + ib k )e ikx. Sijoitetaan tämä Fourier-sarjan esitykseen (2.2). Saadaan f (x) = c 0 + (c k e ikx + d k e ikx ), k=1 missä c 0 = a 0 /2, c k = (a k ib k )/2 ja d k = (a k + ib k )/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
79 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
80 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
81 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
82 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π Havaitaan, että d k = c k ja a 0 /2 = c 0. f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
83 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
84 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. Huomaa: Sarjan summa on reaaliarvoinen kaikilla t joss c k e ikωt + c k e ikωt R kaikilla t, joss c k = c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
85 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
86 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
87 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. Sijoittamalla tämä kaavaan saadaan c k = 1 π e x e ikx dx = 1 2π π 2π = 1 2π 1 1 ik ex ikx π x= π 1 1 ik (eπ e π )( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
88 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
89 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
90 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). Trigonometrisessa muodossa oleva Fourier-sarja voidaan johtaa tästä seuraavasti. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
91 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
92 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
93 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan 2(cos kx k sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
94 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan Sarjaksi saadaan e x = 2 sinh π π 2(cos kx k sin kx). [ ] (cos x sin x) (cos 2x 2 sin 2x).... A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
95 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = c k e ikt, y(t) = k= k= y k e ikt, y (t) = iky k e ikt. k= A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
96 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. k= iky k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
97 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k k= iky k e ikt. Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. Ratkaisu saadaan Fourier sarjan muodossa y(t) = k= c k 2 + ik eikt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
98 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
99 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
100 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
101 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. Saadaan vain yksi jaksollinen ratkaisu, joka on y(t) = 1 4 (eit + e it ) = 1 cos t. 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
102 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
103 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
104 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
105 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). Valitaan r(t):ksi 2π-jaksollinen funktio { t + π r(t) = 2, jos π < t 0, t + π 2, jos 0 < t π, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
106 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
107 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
108 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
109 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. Sijoittamalla tämä yhtälöön (2.5) saadaan ratkaistua A k = 4(25 k2 ) k 2 πd k, B k = 0, 2 kπd k, missä D k = (25 k 2 ) 2 + (0, 05k) 2. Ratkaisu voidaan kirjoitaa y(t) = k=1 A k cos(kt) + B k sin(kt). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
110 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään y ja r Fourier-sarjoina y(t) = k y k e ikt, r(t) = k c k e ikt, c k = { 2 πk 2, k pariton 0, k parillinen Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [m(ik) 2 +γ(ik)+κ]y k = [ k ik+25]y k = c k = joten y k = 0 kun k on parillinen ja y k = { 2 πk 2 2 π(25 k ik)k 2 = 50 2k2 0.1ik πk 2 D k, k pariton 0, k parillinen A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
111 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
112 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
113 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(r cos t, r sin t) = a (a k r k cos(kt) + b k r k sin(kt)), missä z = re it. k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
114 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
115 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
116 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(z = re it ) = k= c k r k e ikt = k= c k z k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
117 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos DFT: diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
118 DFT: diskreetti Fourier muunnos Määritelmä Diskreetti Fourier muunnos (DFT) on kuvaus C n C n. Vektorin v C n DFT on ˆv C n, missä elementeittäin ˆv k = 1 n ja missä z = e 2πi/n C. n v j z jk, j=1 k = 1,... n Huomaa z n = 1, z k 1, k = 1,..., n 1, zz = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
119 DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = c k e iωt k= 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
120 DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = k= c k e iωt = k= kt n/t c k z missä ω = 2π/T ja kuten edellä z = e 2πi/n. Valitaan tasavälein t j = Tj/n (0, T ], j = 1,..., n, ja poimitaan funktiosta f näytteitä eli asetetaan v j := f (t j ) = = k c k z kj. 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
121 DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Diskreetti Fourier muunnos on summa Fourier-sarjan kertoimista. ˆv l = 1 n n v k z kl = 1 n k=1 1 n = c j z k(j l) n j= k=1 }{{} n c j z kj z kl k=1 j= = j= c l+jn missä 1 n n z k(j l) = k=1 { 0, (j l) mod n 0 1, (j l) mod n = 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
122 DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Valitsemalla absoluttiarvoltaan pienin indeksi ˆv l lausekkeen summassa saadaan (indeksiehdot yhteiset) { c k + { j 0 ˆv k = c k+nj c k n + c k, 1 k n/2 j 1 c k+nj c k n, n/2 < k n Huomaa, että ˆv n = c 0 + j 0 c nj Kun n on riittävän suuri, summat muodostuvat pieniksi, koska c k 0 kun k. Pienillä n näin ei kuitenkaan tapahdu. Tätä ilmiötä kutsutaan laskostumiseksi, se tapahtuu aina, mutta on merkittävä ilmiö kun näytteenottotaajuus on liian pieni eli n on liian pieni. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
123 FFT DFT on tullut erittäin tärkeäksi työkaluksi käytännön sovelluksissa erityisesti sen jälkeen kun J. W. Cooley ja J. W. Tukey 1965 julkaisivat 3 ja tekivät tunnetuksi erittäin nopean tavan Fast Fourier Transform (FFT) laskea DFT annetulle vektorille v C n, n = 2 k jollekin k N. Joskin jo Gauss:in väitetään tunteneen algoritmin 1805, katso Signaalinkäsittely on eräs erittäin keskeinen FFT:n sovellus. Laskennan työmäärän ero on valtava. FFT laskenta vaatii O(n log n) operaatiota, triviaali tapa vuorostaan O(n 2 ) operaatiota. Ero on huomattava, kun on tyypillisessä sovelluksessa, n = (2 10 ) 2 = (Arvioi vaadittava laskenta-aika, jos FFT vie 1ms. ) 3 Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput. 19: 297. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Fourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Luento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Laplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Jaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
f(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
Nopeat Fourier-muunnokset
opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
Konvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista
March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat
Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat,
TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Funktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Sarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä