Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246"

Transkriptio

1 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

2 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

3 1 Johdanto Funktion parillisuus ja parittomuus Jaksollisuus Signumfunktio, Diracin, ja Heavisiden funktio 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

4 Joseph Fourier ( ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

5 Paloittain jatkuva funktio Reaali- tai kompleksimuuttujan funktio f on paloittain jatkuva alueessa D, jos se on epäjatkuva korkeintaan alueen D erillisissä pisteissä. Kuva: Paloittain jatkuva funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

6 Funktion parillisuus ja parittomuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on parillinen, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

7 Funktion parillisuus ja parittomuus, jatkoa Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on pariton, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

8 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

9 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

10 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

11 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

12 Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. Parillisen ja parittoman funktion tulo on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

13 Parittoman/parillisen funktion integraali Lemma Jos f on pariton ja c > 0, niin c Jos f on parillinen, niin c c c f (t) dt = 0. c f (t) dt = 2 f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

14 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

15 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

16 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

17 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 = c 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c f ( s) ds + f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

18 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

19 Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = Parillisen funktion osalta todistus sujuu samaan tapaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

20 Jaksollisuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on jaksollinen (jaksona T ), jos f (t + T ) = f (t) kaikilla t. Kuva: Jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

21 Etumerkkifunktio eli signumfunktio Etumerkkifunktio määritellään sgn (t) = { 1, kun t < 0, 1, kun t 0. Kuva: Etumerkkifunktio eli signumfunktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

22 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

23 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

24 Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Huomautus 2: Yksikköaskelfunktio voidaan kirjoittaa sigumfunktion avulla u(t) = (1 + sgn (t))/2. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

25 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

26 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. Selvästi aina f ε (t) dx = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

27 Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio Selvästi aina f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. f ε (t) dx = 1. Jos annetaan epsilonin lähestyä nollaa, piikin leveys pienenee ja korkeus kasvaa. Saadaan origossa äärettömän korkea ja kapea pulssi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

28 Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

29 Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). Diracin deltafunktio ei ole oikea funktio vaan nk. distribuutio. Vaikka sillä ole äärellistä arvoa origossa, pätee: f ɛ (t)g(t)dt g(0) =: f ɛ (t)g(t)dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

30 1 Johdanto 2 Fourier-sarja Dirichlet n ehdot Fourier-sarjan laskeminen Gibbsin ilmiö Kompleksinen Fourier-sarja Sovelluksia differentiaaliyhtälöihin 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

31 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

32 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

33 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

34 Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja (3) integraali on äärellinen. T /2 T /2 f (t) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

35 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

36 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 f (t) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

37 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

38 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 ja a k = 2 T b k = 2 T a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

39 Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, ja f (t) = a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T b k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. Kertoimia a 0, a k, b k sanotaan funktion f Fourier-kertoimiksi ja sarjaa (2.1) sen Fourier-sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

40 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

41 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

42 Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, [ lim f (t) + t t 0 + Todistus. Sivuutetaan. lim f (t)], jos f on epäjatkuva t 0:ssa. t t 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

43 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

44 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

45 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

46 Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. Vastaavasti, jos f on pariton, niin h(t) = f (t) cos(kωt) on pariton ja siten a k = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

47 Fourier-sarjan laskeminen Lause Oletetaan, että f on T -jaksoinen integroituva funktio. Tällöin T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 +r f (t) dt kaikilla r R. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

48 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

49 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

50 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

51 Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 +r f (s + T ) ds f (t) dt = f (t) dt. T 2 T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

52 Fourier-sarjan laskeminen, jatkoa Seuraus Fourier-sarjan kertoimet voidaan laskea a k = 2 T b k = 2 T T /2+r T /2+r T /2+r T /2+r f (t) cos(nωt) dt, f (t) sin(nωt) dt. Huomautus. Erityisesti, jos r = T /2, saadaan a k = 2 T T 0 f (t) cos(nωt) dt, b k = 2 T T 0 f (t) sin(nωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

53 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

54 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

55 Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. Saadaan a 0 = 2 T 2 2 f (t) dt = dt = 3. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

56 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = 1 2 cos ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

57 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ cos ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ sin 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

58 Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = f (t) cos(kωt) dt = 1 = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ ) ] sin + sin(kπ) kπ 2 2 cos ) sin ( kπt ) dt 2 = 2 kπ sin ( kπ 2 ( 2kπ )] 2 ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

59 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 sin ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

60 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 sin ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ cos 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

61 Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ cos kπ 2 sin ) ] cos(kπ). ( kπt ) dt 2 ) cos ( 2kπ )] 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

62 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

63 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

64 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

65 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

66 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

67 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja b k = kπ cos(kπ) sin(kπ) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

68 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja kπ cos(kπ) sin(kπ) b k = k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

69 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

70 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

71 Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). Jatkuville funktioille, joiden derivaatta on myös jatkuva paitsi äärellisen monessa pisteessä, pätee Fourier-sarjan nk. tasainen suppeneminen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

72 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

73 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

74 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

75 Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) Kaavoista (2.3), (2.4) saadaan cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

76 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

77 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx (a k + ib k )e ikx. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

78 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx (a k + ib k )e ikx. Sijoitetaan tämä Fourier-sarjan esitykseen (2.2). Saadaan f (x) = c 0 + (c k e ikx + d k e ikx ), k=1 missä c 0 = a 0 /2, c k = (a k ib k )/2 ja d k = (a k + ib k )/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

79 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

80 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

81 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

82 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π Havaitaan, että d k = c k ja a 0 /2 = c 0. f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

83 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

84 Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. Huomaa: Sarjan summa on reaaliarvoinen kaikilla t joss c k e ikωt + c k e ikωt R kaikilla t, joss c k = c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

85 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

86 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

87 Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. Sijoittamalla tämä kaavaan saadaan c k = 1 π e x e ikx dx = 1 2π π 2π = 1 2π 1 1 ik ex ikx π x= π 1 1 ik (eπ e π )( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

88 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

89 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

90 Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). Trigonometrisessa muodossa oleva Fourier-sarja voidaan johtaa tästä seuraavasti. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

91 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

92 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

93 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan 2(cos kx k sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

94 Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan Sarjaksi saadaan e x = 2 sinh π π 2(cos kx k sin kx). [ ] (cos x sin x) (cos 2x 2 sin 2x).... A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

95 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = c k e ikt, y(t) = k= k= y k e ikt, y (t) = iky k e ikt. k= A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

96 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. k= iky k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

97 Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k k= iky k e ikt. Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. Ratkaisu saadaan Fourier sarjan muodossa y(t) = k= c k 2 + ik eikt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

98 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

99 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

100 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

101 Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. Saadaan vain yksi jaksollinen ratkaisu, joka on y(t) = 1 4 (eit + e it ) = 1 cos t. 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

102 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

103 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

104 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

105 Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). Valitaan r(t):ksi 2π-jaksollinen funktio { t + π r(t) = 2, jos π < t 0, t + π 2, jos 0 < t π, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

106 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

107 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

108 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

109 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t cos 3t + 1 ) cos 5t, x k x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. Sijoittamalla tämä yhtälöön (2.5) saadaan ratkaistua A k = 4(25 k2 ) k 2 πd k, B k = 0, 2 kπd k, missä D k = (25 k 2 ) 2 + (0, 05k) 2. Ratkaisu voidaan kirjoitaa y(t) = k=1 A k cos(kt) + B k sin(kt). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

110 Esimerkki 3, jatkoa Esitetään y ja r Fourier-sarjoina y(t) = k y k e ikt, r(t) = k c k e ikt, c k = { 2 πk 2, k pariton 0, k parillinen Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [m(ik) 2 +γ(ik)+κ]y k = [ k ik+25]y k = c k = joten y k = 0 kun k on parillinen ja y k = { 2 πk 2 2 π(25 k ik)k 2 = 50 2k2 0.1ik πk 2 D k, k pariton 0, k parillinen A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

111 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

112 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

113 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(r cos t, r sin t) = a (a k r k cos(kt) + b k r k sin(kt)), missä z = re it. k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

114 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

115 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

116 Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(z = re it ) = k= c k r k e ikt = k= c k z k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

117 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos DFT: diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

118 DFT: diskreetti Fourier muunnos Määritelmä Diskreetti Fourier muunnos (DFT) on kuvaus C n C n. Vektorin v C n DFT on ˆv C n, missä elementeittäin ˆv k = 1 n ja missä z = e 2πi/n C. n v j z jk, j=1 k = 1,... n Huomaa z n = 1, z k 1, k = 1,..., n 1, zz = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

119 DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = c k e iωt k= 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

120 DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = k= c k e iωt = k= kt n/t c k z missä ω = 2π/T ja kuten edellä z = e 2πi/n. Valitaan tasavälein t j = Tj/n (0, T ], j = 1,..., n, ja poimitaan funktiosta f näytteitä eli asetetaan v j := f (t j ) = = k c k z kj. 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

121 DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Diskreetti Fourier muunnos on summa Fourier-sarjan kertoimista. ˆv l = 1 n n v k z kl = 1 n k=1 1 n = c j z k(j l) n j= k=1 }{{} n c j z kj z kl k=1 j= = j= c l+jn missä 1 n n z k(j l) = k=1 { 0, (j l) mod n 0 1, (j l) mod n = 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

122 DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Valitsemalla absoluttiarvoltaan pienin indeksi ˆv l lausekkeen summassa saadaan (indeksiehdot yhteiset) { c k + { j 0 ˆv k = c k+nj c k n + c k, 1 k n/2 j 1 c k+nj c k n, n/2 < k n Huomaa, että ˆv n = c 0 + j 0 c nj Kun n on riittävän suuri, summat muodostuvat pieniksi, koska c k 0 kun k. Pienillä n näin ei kuitenkaan tapahdu. Tätä ilmiötä kutsutaan laskostumiseksi, se tapahtuu aina, mutta on merkittävä ilmiö kun näytteenottotaajuus on liian pieni eli n on liian pieni. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

123 FFT DFT on tullut erittäin tärkeäksi työkaluksi käytännön sovelluksissa erityisesti sen jälkeen kun J. W. Cooley ja J. W. Tukey 1965 julkaisivat 3 ja tekivät tunnetuksi erittäin nopean tavan Fast Fourier Transform (FFT) laskea DFT annetulle vektorille v C n, n = 2 k jollekin k N. Joskin jo Gauss:in väitetään tunteneen algoritmin 1805, katso Signaalinkäsittely on eräs erittäin keskeinen FFT:n sovellus. Laskennan työmäärän ero on valtava. FFT laskenta vaatii O(n log n) operaatiota, triviaali tapa vuorostaan O(n 2 ) operaatiota. Ero on huomattava, kun on tyypillisessä sovelluksessa, n = (2 10 ) 2 = (Arvioi vaadittava laskenta-aika, jos FFT vie 1ms. ) 3 Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput. 19: 297. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt 8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Nopeat Fourier-muunnokset

Nopeat Fourier-muunnokset opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT

TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT 3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat

Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat Anu Pääkkö Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 01 Tiivistelmä: Pääkkö, A. 01, Sinin ja kosinin erilaiset määrittelytavat,

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,

Lisätiedot

6.2.3 Spektrikertymäfunktio

6.2.3 Spektrikertymäfunktio ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla 4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot