2. kierros. 1. Lähipäivä

Transkriptio

1 2. kierros. Lähipäivä

2 Viikon aihe Vahvistimet, kohina, lineaarisuus Siirtofunktiot, tilaesitys

3 Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: tuntia

4 Tavoitteet: tietää Yhden navan vasteen ekvivalentti kohinakaistaleveys Vastuksen terminen kohina Termit input-output -malli, siirtofunktio, tilaesitys

5 Tavoitteet: ymmärtää Miten kaistanleveys liittyy vahvistimen kohinaan Miksi tarvitaan erikseen jännite- ja virtakohinalähteet Miten siirtofunktiolla ja tilaesityksellä voidaan mallintaa systeemin dynamiikkaa

6 Tavoitteet: soveltaa Laskea vahvistimen kohina lähdössä tuloon redusoiduista lähteistä ja kaistasta Laskea vahvistimen harmoniset särökomponentit HDn:stä (tai kääntäen) Laskea differentiaaliyhtälöstä siirtofunktio ja tilaesitys Simuloida prosesseja Matlabilla

7 Mitä tulee mieleen? Laplace

8 Tietoisku I: Differentiaaliyhtälöt, Laplace ja siirtofunktio Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista Laplace-muunnoksen avulla Systeemin dynamiikkaa kuvataan Laplacetasossa siirtofunktiolla G(s)

9 Differentiaaliyhtälöt ja Laplace Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista Laplace-muunnoksen avulla Laplace-muunnetaan systeemiä kuvaavat differentiaaliyhtälöt ja systeemi tulosuureet (aikatasosta Laplace-tasoon) Ratkaistaan saadusta algebrallisesta yhtälöstä lähtösuure (Laplace-tasossa) Laplace-käänteismuunnetaan lähtösuureen lauseke takaisin aikatasoon

10 Esimerkki A i k a t a s o n o n g e l m a y ( t ) + 2 y ( t ) = e y ( 0 ) = t A i k a t a s o n r a t k a i s u y ( t ) = e t L a p l a c e - t a s o n o n g e l m a L a p l a c e - t a s o n r a t k a i s u { s Y ( s ) y ( 0 ) } + { 2 Y ( s ) } = s + y ( 0 ) = Y ( s ) = s +

11 Laplace-muunnos Määritelmä s t = { } = { } F ( s ) L f ( t ) f ( t ) e d t Jos raja-arvot ovat olemassa, niille pätee Loppuarvoteoreema Alkuarvoteoreema 0 s t f ( t ) = L F ( s ) = F ( s ) e d s 2 π j Laplace-taulukoita käytetään muunnoksissa apuna b b 0 + j j l i m f ( t ) = l i m s F ( s ) t 0 s l i m f ( t ) = l i m s F ( s ) t s

12 Muunnostaulukot L a p l a c e - m u u n n o s A j a n f u n k t i o δ ( t ) M s s 2 s n + s + a ( s + a ) 2 n + ( s + a ) n! s ( s + a ) a t e t e M 2 t n t n! a t e a t n a t a t ( e ) M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 L a p l a c e - m u u n n o s A j a n f u n k t i o ( s + a ) ( s + b ) a b b t a t ( e e ) + s ( s + a ) ( s + b ) a b a b ( b a ) a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 a ( s + b ) + a s + b ( s + b ) + a s s + + a b b t a t ( a e b e ) M 9 M 0 s i n ( a t ) M c o s ( a t ) M 2 b t e s i n ( a t ) M 3 b t e c o s ( a t ) M 4 b t δ ( t ) + ( a b ) e M 5

13 Siirtofunktio Säätötekniikassa tutkitaan ohjauksen vaikutusta vasteeseen (alkuarvojen vaikutusta ei tutkita) Vasteen lauseke Laplace-tasossa saa tällöin muodon, jossa vaste on tulo prosessimallin ja ohjauksen Laplace-tason esityksien tulo: Y ( s ) = G ( s ) U ( s ) U ( s ) G ( s ) Y ( s ) h e r ä t e s i i r t o f u n k t i o v a s t e Mallin Laplace-tason esitystä G(s) sanotaan

14 Differentiaaliyhtälöstä siirtofunktioon Yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö: ( n ) ( n ) ( ) ( n ) ( ) y ( t ) + a y ( t ) + + a y ( t ) + a y ( t ) = b u ( t ) + + b u ( t ) + b u ( t ) Laplace-muunnettuna (alkuarvot nollia): Siirtofunktio: n ( n n ) ( n + ) + + n + n = + + n + n n s a s a s a Y ( s ) b s b s b U ( s ) n n G ( s ) Y ( s ) b s + + b s + b n = = n U ( s ) s + a s + + a s + a n n n n n Voidaan edetä myös siirtofunktiosta differentiaaliyhtälöön

15 Esimerkki Laske siirtofunktio seuraavalle differentiaaliyhtälölle ÿ(t)+3 ẏ(t)+2 y(t)=3 u (t)

16 Harjoituksia: Lasketaan tehtävät. a & b 2. a & b

17 Tietoisku II: Kohina Komponenteissa kohinaa erilaisista fysikaalisista prosesseista johtuen Tehotiheys

18 Vastuksen kohina Vastuksen läpi kulkeva virta ei täysin seuraa Ohmin lakia johtuen varauksenkuljettajien lämpöliikkeestä Vastuksen terminen kohina voidaan mallintaa joko sarjajännitelähteenä tai rinnakkaisvirtalähteenä e 2 n = 4kTR i 2 n = 4kT R

19 Vahvistimen kohina Kohina mallinnetaan lisäämällä vahvistimen tuloon kohinalähde, joka aiheuttaisi lähdössä havaittavan kohinan Vahvistimen lähdössä mitattu jännitekohinan tiheys on Vahvistimen jännitevahvistus on 0 (eli 20dB) ja R in >>R s. Redusoidaan kohina tuloon 2µV / Hz e n = 2 µ V / Hz /0 = 200nV / Hz Jos vahvistimen lähtösignaalin kaista rajoitetaan esim. MHz:iin saadaan kohinajännitteeksi lähdössä: o ( ) 2 2 V / Hz = mvrms 6 n = 0 Hz µ 2

20 Kohinakaistanleveys Kohinateho tai -jännite lähdössä saadaan integroimalla tehotiheys tulossa yli vahvistimen taajuusvasteen Yhden navan taajuusvasteen ekvivalentti kohinakaistanleveys B eq on π/2 f c 0 eq K df = K + j f fc 0 2 B 2 df B eq = π 2 f c K 2 2 e n sama pinta-ala

21 Jännite- ja virtakohina Yleisessä tapauksessa täytyy lisätä virtakohinalähde, jotta malliin ei sisälly oletusta signaalilähteen ominaisuuksista Jännitekohinan vaikutus voimistuu kun Rin >>R s Virtakohinan vaikutus voimistuu kun Rs >>R in Usein kohinakomponentteja en ja i n käsitellään toisistaan riippumattomina, vaikka näin ei välttämättä ole e no = R s R + in R in e n A vo e no = RsRin R + R s in i n A vo

22 Harjoituksia: Lasketaan tehtävä 2

23 Simulaatio Yritä löytää tapoja mallintaa simulaatiossa kohinaa esimerkiksi vahvistimessa Voit mallintaa myös kohinaa yhtä komponenttia kohden

24 Tietoisku III: kotiprojekti Miettikää ja tutkikaa ryhmässä, miten kaistanleveys liittyy vahvistimen kohinaan ja miksi tarvitaan erikseen jännite- ja virtakohinalähteet Simuloikaa vahvistin erikseen jännite- ja virtakohinalla ja ilman kohinaa, vertailkaa Tehkää lyhyt tiivistelmä erilaisista kohinatyypeistä (muutama lause per kohinatyyppi) Analogisen kotitehtäväpaketti 2 Ryhmien tulosten purkaminen ensi viikolla

25 Seuraavalla kerralla Jatketaan samasta aiheesta