Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
|
|
- Arto Kahma
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015
2 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio x : Z R tai yleisemmin x : Z C Lukujonon termeille käytetään merkintää x k = x(k) Lukujonolle käytetään merkintää {x k } Lukujono esitetään usein antamalla sen k:s termi Sanotaan, että jono {x k } on kausaalinen, jos x k = 0 kun k < 0 Tällä kurssilla käsittelemme pääsääntöisesti kausaalisia lukujonoja, joille käytämme merkintää {x k } 0 = {x k}
3 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kausaalinen lukujono Kausaalinen lukujono {x k } = {2 k 2 } = { 1 4, 1 2, 1, 2, 4, 8,...} {x k } = {2 k 2 } k
4 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aritmeettinen ja geometrinen lukujono Aritmeettisessa lukujonossa kahden peräkkäisen termin erotus on vakio {x k } = {ak + b} = {b, a + b, 2a + b, 3a + b,...} Geometrisessä lukujonossa kahden peräkkäisen termin välinen osamäärä on vakio {x k } = {ab k } = {a, ab, ab 2, ab 3,...} Esimerkkejä Aritmeettinen lukujono { 1, 2, 5, 8,...} Geometrinen lukujono {2, 6, 18, 54,...}
5 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Yksikköaskeljono ja impulssijono Määrittelemme yksikköaskeljonon {u k } jonoksi, jonka termeille pätee { 1 kun k 0 u k = 0 kun k < 0 Yksikköaskeljono on yksinkertaisesti ykkösjono {1} 0 = {1} Määrittelemme impulssijonon {δ k } jonoksi, jonka termeille pätee { 1 kun k = 0 δ k = 0 kun k 0
6 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-muunnoksen määritelmä Määritelmä Jonon {x k } (kaksipuolinen) määritellään kaavalla Z{x k } = X() = k= x k k muuntaa lukujonon kompleksimuuttujan funktioksi
7 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kausaalisen jonon Kausaalisille jonoille x k = 0 kun k < 0, joten Z{x k } = k=0 Kyseessä on yksipuolinen x k k = x 0 + x 1 + x x Kausaalisen lukujonon ta voidaan pitää Laplace-muunnoksen diskreettinä vastineena
8 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Yksikköaskeljonon ja impulssinjonon ESIMERKKI. Yksikköaskeljonon {u k } Z{u k } = = k= u k k = 1 k = ( ) 1 k k= / = 1 k=0 ( > 1) ESIMERKKI. Impulssinjonon {δ k } Z{δ k } = k= δ k k = δ 0 = 1 ( )
9 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Geometrisen jonon ESIMERKKI. Geometrisen jonon {a k } Z{a k } = = k=0 a k k = k=0 ( a ) k 1 1 a/ = a ( > a )
10 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kaksipuolinen ESIMERKKI. Lasketaan jonon { a k } 1 Z{ a k } 1 = 1 k= = 1 k=0 = a a k k ( a = k=1 ) k = 1 ( < a ) a k k = k a k k=1 1 1 /a = a
11 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aritmeettisen jonon ESIMERKKI. Lasketaan aritmeettisen jonon {k} Geometrisen jonon {a k } on Z{a k } = a ( > a ) Derivoimalla molemmat puolet muuttujan a suhteen: d da Z{ak } = Z{ d da ak } = d ( ) da a joten Kun a = 1 Z{ka k 1 } = Z{k} = ( a) 2 ( > a ) ( 1) 2 ( > 1)
12 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Näytteistetyt funktiot Miten muuntaa jatkuvat funktiot (jatkuva-aikaiset signaalit)? Käyttämällä näytteenottovaliä T, voimme diskretisoida funktion f (t) jonoksi {f (kt)} = {f (0), f (T), f (2T),..., f (nt),...} Näytteistetyn funktion : Z{f (kt)} = k=0 f (kt) k
13 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Näytteistetyn funktion ESIMERKKI. Lasketaan signaalin f (t) = e t u(t) Käytetään näytteenottoväliä T, jolloin saamme jonon {e kt } = {1, e T, e 2T, e 3T,..., e nt,...} Määritelmän mukaan Z{e kt } = k=0 e kt k = ( ) e T k = k=0 Suppenemisalue riippuu näytteeottovälistä e T ( > e T )
14 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus Lineaarisuus. Olkoon jonon {x k } X() ja sen suppenemissäde R 1, ja jonon {y k } Y () ja sen suppenemissäde R 2. Olkoon lisäksi α ja β vakioita. Tällöin Z{αx k + βy k } = αz{x k } + βz{y k } = αx() + βy () kun > max(r 1, R 2 ) Todistus. Z{αx k + βy k } = k=0 αx k + βy k k = αx() + βy () = α k=0 x k k + β y k k k=0
15 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus ESIMERKKI. Lasketaan jonon {2, 6, 18, 54,...} Kyseessä on geometrinen jono {2 3 k } = {2, 6, 18, 54,...} Z{2 3 k } = 2Z{3 k } = 2 3, > 3 ESIMERKKI. Lasketaan jonon { 1, 2, 5, 8,...} Kyseessä on aritmeettinen jono {3k 1} = { 1, 2, 5, 8,...} Z{3k 1} = 3Z{k} + Z{1} = 3 ( 1) 2 + 1, > 1 = ( 1) 2
16 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus ESIMERKKI. Lasketaan sinifunktion f (t) = sin(ωt)u(t) Käyttämällä Eulerin kaavaa ja lineaarisuutta, saamme Z{sin(kωT)} = Z{ 1 2i eikωt 1 2i e ikωt } = 1 2i Z{eikωT } 1 2i Z{e ikωt } = 1 2i e iωt 1 2i e iωt = 1 (e iωt e iωt ) 2i 2 (e iωt + e iωt ) + 1 sin(ωt) = 2 ( > 1) 2 cos(ωt) + 1
17 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäinen translaatiolause. Viive Viive. Olkoon {x k } kausaalinen lukujono. Tällöin viivästetylle lukujonolle {x k k0 } pätee Z{x k k0 } = 1 k 0 Z{x k} kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k Todistus. Z{x k k0 } = = k=0 p=0 x k k0 k = x p p+k = 1 0 k 0 x k k0 k k=k 0 p=0 x p p = 1 k Z{x k} 0
18 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Viive ESIMERKKI. Viivästetty geometrinen jono {x k } = {2 k } = {1, 2, 4, 8,...}, {x k 2 } = {0, 0, 1, 2, 4, 8,...} = {2 k 2 u k 2 } Z{x k 2 } = 1 2 Z{x k} = ESIMERKKI. Viivästetty impulssijono {δ k 4 } = {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,...} Z{δ k 4 } = 1 4 Z{δ k} = 1 4
19 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toinen tranlaatiolause. Aikaistus Aikaistus. Olkoon {x k } kausaalinen lukujono. Tällöin aikaistetulle lukujonolle {x k+1 } pätee Z{x k+1 } = Z{x k } x 0 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k Todistus. Z{x k+1 } = = k=0 p=1 x k+1 k = x p p = x p p 1 p=1 x p x 0 + p=0 p = Z{x k } x 0
20 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aikaistus Yleisemmin: k Z{x k+k0 } = k Z{x k } x n k n n=0 Erityisesti aikaistetulle lukujonolle {x k+2 } pätee: Z{x k+2 } = 2 Z{x k } 2 x 0 x 1
21 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Muita ominaisuuksia Olkoon lukujonon {x k } X() = Z{x k }, a vakio ja n positiivinen kokonaisluku. Tällöin Potenssifunktiolla a k kertominen Kertominen funktiolla k n Z{a k x k } = X(a 1 ) Z{k n x k } = ( d d ) n X() Alkuarvolause ja loppuarvolause lim X() = x 0, ( lim x k = lim 1 1 ) X() k 1
22 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Taulukko Z-muunnoksista {x k } Z{x k } Suppenemisalue δ k 1 u k 1 > 1 a k a > a k ( 1) 2 > 1 ka k 1 e kt ( a) 2 e T > a > e T sin kωt sin ωt 2 2 cos ωt+1 > 1
23 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos Käänteismuunnokselle käytetään merkintää Z 1. Olkoon jonon {x k } X(). Tällöin {x k } = Z 1 [X()] Käänteismuunnos on lineaarinen operaatio Menetelmiä Integraalikaava Algebrallinen manipulaatio (osamurtokehitelmä) + taulukot Sarjakehitelmien hyödyntäminen
24 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Integraalikaava Käänteismuunnos voidaan määrittää käyräintegraalista x k = 1 X() k 1 d 2πi C missä C on positiivisesti suunnistettu yksinkertainen umpinainen käyrä, joka kiertää origon ja sisältyy suppenemisalueeseen. Kertoimet voidaan laskea nyt residylauseen avulla: n x k = Res[X() k 1, j ] j=1 missä 1, 2,..., n ovat funktion f () = X() k 1 navat
25 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos residy-laskennan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 1 + 4, > 4 Kun k = 0 funktiolla X() k 1 on navat pisteissä = 0 ja = 4. Täten [ ] [ ] 1 x 0 = Res ( + 4), Res ( + 4), 4 = = 0 Kun k 1 funktiolla X() k 1 on napa pisteessä = 4.
26 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos residy-laskennan avulla Jatkoa Täten x k = Res [ ] k 1 + 4, 4 = ( 4) k 1 kun k 1. Kyseessä on siis lukujono {0, 1, 4, 4 2, 4 3,...} = {( 4) k 1 u k 1 }.
27 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion X() = Z-käänteismuunnos ( 1) 2 ( 3), > 3 Muodostetaan funktiolle X()/ osamurtokehitelmä X() = 2 7 ( 1) 2 ( 3) = 1/ /2 ( 1) 2 + 1/4 3 Hyödyntämällä käänteismuunnoksen lineaarisuutta ja taulukoita, saamme {x k } = 1 [ ] 4 Z [ ] 1 2 Z 1 ( 1) 2 1 [ ] 4 Z 1 3 = 1 4 {u k} {k} 1 4 {3k }
28 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion X() = Z-käänteismuunnos Osamurtokehitelmä: X() = ( 1) 2 ( 3), > ( 1) 2 ( 3) = 11/ /2 ( 1) 2 + 3/ = ( 1) Ensimmäisen translaatiolauseen perusteella Z{x k 1 } = 1 Z{x k}
29 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä Jatkoa Ottamalla käänteismuunnos ja hyödyntämällä lineaarisuutta, saamme jonon {x k }, jonka termeille pätee tai x k = { 11 4 u k (k 1) 3 4 3k 1 kun k > 0 0 kun k = 0 x k = { k 1 4 3k kun k > 0 0 kun k = 0 = 1 4 u k k 1 4 3k kun k 0
30 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 2 + 1, > 1 Muodostetaan funktiolle X()/ osamurtokehitelmä. Saamme X() = = 1/2i + i + 1/2i i Ottamalla käänteismuunnos, saamme {x k } = { 1 2 i( i)k 1 2 i(i)k } = { 1 2 ie ikπ/2 1 2 ieikπ/2 } = {sin k π 2 }
31 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos potenssisarjan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = Voimme ilmaista funktion X() potenssisarjana X() = ja siten Z 1 [X()] = {1, 2, 0, 1, 0, 0,...}
32 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos potenssisarjan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 1 + 4, > 4 X() = = ( 4/) = 1 k=0 = ( 4 ) k Kyseessä on siis lukujono {0, 1, 4, 4 2, 4 3,...}, joka on geometrisen lukujonon {x k } = {( 4) k } viivästetty versio {x k 1 } = {( 4) k 1 u k 1 }
33 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Differenssiyhtälöt Differenssiyhtälöt kuvaavat diskreettejä systeemejä Kertalukua p oleva lineaarinen differenssiyhtälö voidaan esittää muodossa: a p y k+p + a p 1 y k+p a 0 y k = x k Z-muunnoksen avulla differenssiyhtälö voidaan muuntaa algebralliseen muotoon hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta ja käyttäen translaatiolausetta. Käänteismuuntamalla algrebrallisen yhtälön ratkaisu, saamme alkuperäisen differenssiyhtälön ratkaisun
34 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y (t) = F(t, y(t)) = 1 y(t) numeerisesti kun y(0) = 0 Diskretisoidaan differentiaaliyhtälö käyttäen Eulerin menetelmää: y k+1 y k T = F(t k, y k ) = 1 y k missä T on aika-askeli. Saadaan differenssiyhtälö y k+1 (1 T)y k = T, y 0 = 0 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+1 } (1 T)Z{y k } = TZ{1}
35 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö Jatkoa Translaatiolauseen perusteella Z{y k+1 } = Z{y k } y 0 = Z{y k }, joten Y () (1 T)Y () = T 1 missä Y () = Z{y k }. Ratkaistaan Y ()/ ja muodostetaan osamurtokehitelmä. Saamme Y = (1 T) joten Y () = 1 (1 T)
36 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö Jatkoa Käänteismuuntamalla saamme ratkaisuksi {y n } = {1 (1 T) n }
37 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toisen kertaluvun homogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö y k+2 + 3y k+1 + 2y k = 0, y 0 = 0, y 1 = 1 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+2 + 3y k+1 + 2y k } = Z{y k+2 } + 3Z{y k+1 } + 2Z{y k } = 0 Toisen translaatiolauseen perusteella ( 2 Y () 2 y 0 y 1 ) + 3 (Y () y 0 ) + 2Y () = 0 Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () =
38 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toisen kertaluvun homogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Y () = = Käänteismuuntamalla saamme {y k } = Z 1 [Y ()] = {( 1) k ( 2) k }
39 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö 8y k+2 6y k+1 + y k = 9, y 0 = 1, y 1 = 3 2 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme 8Z{y k+2 } 6Z{y k+1 } + Z{y k } = 9Z{u k } = Toisen translaatiolauseen perusteella 9 1 ) 8 ( 2 Y () 2 y 0 y 1 6 (Y () y 0 ) + Y () = 9 1
40 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () = (4 1)(2 1) + 9 (4 1)(2 1)( 1) Muodostamalla osamurtokehitelmän funktiolle Y ()/ saamme Y () = 2 1/4 4 1/ joten Y () = 2 1/4 4 1/
41 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Käänteismuuntamalla saamme { ( ) 1 k ( ) 1 k {y k } = } 4 2
42 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö y k+2 + 7y k+1 18y k = δ k, y 0 = 0, y 1 = 0 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+2 } + 7Z{y k+1 } 18Z{y k } = Z{δ k } = 1 Toisen translaatiolauseen perusteella ( 2 Y () 2 y 0 y 1 ) + 7 (Y () y 0 ) 18Y () = 1 Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () =
43 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Osamurtokehitelmän avulla voimme kirjoittaa funktion Y () muotoon Y () = = 1/ / = Käänteismuuntamalla saamme jonon {y k }, jonka termeille pätee y k = { k ( 9)k 1 kun k > 0 0 kun k = 0
Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
z-muunnos ja differenssiyhtälöt
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS,
Laplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.429 Systeemien Identifiointi 3. harjoituksen ratkaisut. Vapaan vasteen löytämiseksi asetetaan ohjaukseksi u(t)
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Diskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Kompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Kompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Luento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Kompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Luento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,
Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n
2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Fourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Toispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt