Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Transkriptio

1 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f k() = 2k 2k + 1, c) f k() = k 2k + 1. a) Suppenee, kun 2; rajafunktio f () = 0, kun > 2; f () = 1, kun = 2; b) suppenee, kun > 1; rajafunktio f () = 0; c) suppenee, kun 1; rajafunktio f () = 0, kun = 1; f (1) = Tutki, millä muuttujan R arvoilla sarja f k suppenee, kun Piirrä summafunktion kuvaaja. a) f k () = 2k 2k + 1, b) f k() = 2k 2k + 1, c) f k() = k 2k + 1. a) > 2; b) > 1; c) = Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 62. Määritä funktiojonon f n () = 2n 1 + 2n rajafunktio joukossa R. Piirrä funktioiden f n kuvaajia. Onko suppeneminen tasaista? Rajafunktio f () = 0, kun < 1; f () = 1, kun > 1; f () = 2 1, kun = Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja f n () = 1 + n 2 ja g n () = f n(). Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot? Jono f n suppenee tasaisesti, jono g n ei; rajafunktiot f () = 0 ja g() = 0, jos 0, g(0) = Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja f n () = sinn n ja g n () = f n(). Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot?

2 65. Olkoon f ( ) = n(1 ) n, [0,1]. Määritä rajafunktio f () = lim n f n () ja tutki, onko suppeneminen tasaista. Piirrä funktioiden kuvaajia. 66. Olkoon f n () = lim p (cosn!π) 2p, R, p N. Suppeneeko funktiojono f n kaikilla R? Minkälainen on rajafunktio? Tarkastele erikseen muuttujan rationaali- ja irrationaaliarvoja. 67. sink 2 k suppenee tasaisesti joukossa R. Piirrä summafunktion kuvaaja. 68. Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että sarja suppenee tasaisesti joukossa R. Valitse M k = termin itseisarvon maksimi. 69. k(1 + k 2 ) ( 1) k 2 + k suppenee tasaisesti jokaisella rajoitetulla välillä [ a, a]. Voidaanko tarkastelussa käyttää Weierstrassin testiä? Entä Leibnizin lausetta? Leibnizin lausetta voidaan käyttää, Weierstrassin testiä ei. 70. Tutki, suppeneeko sarja k k 2 2 tasaisesti välillä [0,[. Onko suppeneminen tasaista välillä [a,[, missä a > 0?

3 71. Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että funktioterminen sarja ympyrärenkaassa 2 z cosk 10 k suppenee tasaisesti kaikilla R. Laske sarjan summa pisteissä = 0, π 3, π Tutki, suppeneeko sarja 1 k 2 + z 2 z k z 2k suppenee tasaisesti kompleksitason + 2 tasaisesti siinä kompleksitason joukossa, joka saadaan poistamalla termien nimittäjien nollakohdat ympyrästä z R (R vakio). 74. Oletetaan, että sarja f k () suppenee tasaisesti ja f k () pisteittäin välillä [a,b]. Seuraako tästä, että f k () suppenee tasaisesti ko. välillä? Tarkastele esimerkkinä funktioita f k () = ( 1) k k (1 ) välillä [0,1] Tasainen suppeneminen ja jatkuvuus 75. Tutki, millä muuttujan R arvoilla sarja (1 + ) k suppenee ja määritä sen summa. Piirrä summafunktion kuvaaja. Onko summafunktio määrittelyalueessaan jatkuva? Suppeneeko sarja tasaisesti välillä [0,1]? Entä välillä [1,2]? Perustele vastauksesi. 76. sink k 2 suppenee tasaisesti koko reaalilukujoukossa. Onko sarjan summafunktio jatkuva? Piirrä tämän kuvaaja.

4 4.4. Termeittäin derivointi ja integrointi 77. Funktiojono f n määritellään seuraavasti: n 2, kun [0, n 1], f n () = n 2 + 2n, kun [ 1 n, 2 n ], 0 muulloin. Määritä jonon rajafunktio. Päteekö Rajafunktio f () = 0 ; ei päde. 78. lim f n ()d = lim f n()d? n 0 0 n Olkoon g : [0,1] R jatkuva funktio ja olkoon f n edellisen tehtävän funktiojono. Määritä lim f n ()g()d. n 0 g(0). 79. Laske sarjojen e k summafunktiot. Millä muuttujan arvoilla sarjat suppenevat? ja ke k 80. Laske sarjan 1 k2 k summa laskemalla ensin integraali 2 0 k 1 d. Perustele laskusi. ln s() = ke k suppenee tasaisesti välillä [1,2] ja laske integraali 2 1 s()d.

5 82. sin2 k π 2 k suppenee tasaisesti kaikilla R. Voidaanko sarja derivoida termeittäin? Piirrä alkuperäisen sarjan ja termeittäin derivoimalla saadun sarjan osasummien kuvaajia. 83. Tutki, millä arvoilla R funktio s() = e k /k 2 on määritelty. Millä alueella summafunktion derivaatta ja integraalifunktio voidaan muodostaa termeittäin derivoimalla ja integroimalla? Määritelty, kun 0; voidaan derivoida termeittäin, kun < 0; integroida, kun 0.