3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

Transkriptio

1 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause (Käänteiskuvauslause). Olkoon D R m avoin, a D ja f C 1 (D; R m ) sellainen funktio, että sen Jacobin matriisin J f,a determinantti det(j f,a ) 0. Tällöin 1. löytyy sellaiset avoimet joukot U D ja V R n että a U, f(u) = V ja f : U V on injektio, 2. f 1 : V U on C 1 -funktio ja 3. J f 1,f(a)J f,a on identtinen matriisi. Huomautus Lähtö- ja maaliavaruuden dimensiot ovat samat! Lause eroaa lineaarikuvausten vastaavasta tuloksesta vain joukkojen U ja V osalta, jotka voivat olla pieniä joukkoja. Funktio f 1 on määritelty vain kuvajoukon f(d) osajoukossa. Tämä motivoi seuraavaa määritelmää. Määritelmä Olkoon D R m avoin, a D ja f : D R n. Funktio f on lokaalisti eli paikallisesti injektiivinen pisteessä a, jos löytyy sellainen avoin joukko U D, että a U ja f : U f(u) on injektio. Tällöin funktio f on lokaalisti eli paikallisesti kääntyvä pisteessä a ja sen lokaalia käänteiskuvausta merkitään f 1 : f(u) V.

2 Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = (e x 1 cos(x 2 ), e x 1 sin(x 2 )), missä x 1, x 2 R. Tutki, onko funktio f kääntyvä tai lokaalisti kääntyvä. Funktio f : R 2 R 2 ei ole injektio, sillä f(0, 0) = f(0, k2π) kaikilla kokonaisluvuilla k. Funktio f ei ole kääntyvä, koska se ei ole injektio. Funktion f Jacobin matriisi pisteessä (x 1, x 2 ) R 2 on [ ] e x 1 cos(x J f,(x1,x 2 ) = 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e x 1 cos(x 2 ) ja det(j f,(x1,x 2 )) = e 2x 1 cos 2 (x 2 ) + e 2x 1 sin 2 (x 2 ) = e 2x1 0. Funktio f on lokaalisti kääntyvä jokaisessa pisteessa (x 1, x 2 ) R 2. Funktion f lokaalin käänteiskuvauksen derivaatan matriisiesitys luonnollisten kantojen suhteen on Lauseen kohdan 3. nojalla J f 1,f(x 1,x 2 ) = J 1 f,(x 1,x 2 ) = 1 [ ] e x 1 cos(x 2 ) e x 1 sin(x 2 ) e 2x 1 e x 1 sin(x 2 ) e x 1 cos(x 2 ) Funktion f 1 : V U derivaatta voidaan määrätä, vaikka funktiota f 1 sekä joukkoja U ja V ei ole eksplisiittisesti määrätty!

3 Määritelmä Olkoon m 1 ja F : D R m+1 R. Jos on olemassa sellainen funktio f : D R m R, että F (x 1,..., x m, f(x 1,..., x m )) = 0 kaikilla (x 1,..., x m ) D, niin yhtälö F (x 1,..., x m, x m+1 ) = 0 määrittelee funktion f implisiittisesti. Esimerkki a) Olkoon F (x,, y) = x 2 + y 2 1 = 0, missä x, y R. Silloin funktio F määrittelee implisiittisesti esimerkiksi funktiot missä x [ 1, 1], sillä f ± (x) = ± 1 x 2, F (x, y) = F (x, f ± (x)) = x 2 + (f pm (x)) 2 1 = 0, x [ 1, 1]

4 b) Olkoon F (x 1, x 2, x 3 ) = x x x kaikilla x 1, x 2, x 3 R. Silloin tasaarvojoukko {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : F (x 1, x 2, x 3 ) = 0} (3.4.1) on ellipsoidi ja yhtälö määrittelee implisiittisesti funktion kaikilla (x 1, x 2 ) D, missä F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 f(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 2x2 2, D = {(x 1, x 2 ) R 2 : 1 x 2 1 2x 2 2 0}, sillä joukossa D. F (x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) = x x f(x 1, x 2 ) 2 1 = 0

5 Palautetaan mieleen, että joukko S R m on C 1 -sileä pinta, jos löytyy sellainen C 1 -funktio F : D R m R, että F (x) 0 kaikilla x S ja S = {(x 1,..., x m ) R m : F (x 1,..., x m ) = C}. Kirjoittamalla pinnan määräävä funktio muodossa F (x 1,..., x m ) C = 0 (3.4.2) herää kysymys, määrääkö yhtälö (3.4.2) jonkin funktion implisiittisesti. Jos implisiittisesti määritelty funktio f on olemassa, niin pinta S voidaan ilmaista funktion f(x 1,..., x m 1 ) kuvaajan avulla, sillä pinnan pisteet ovat silloin muotoa (x 1,..., x m ) = (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )). Implisiittifunktiolause näyttää, että tämä on totta lokaalisti ( mahdollisen koordinaatiston muunnoksen jälkeen).

6 Lause (Implisiittifunktiolause 2D tapauksessa). Olkoon D R 2 avoin, (a, b) D ja F = F (x, y) C 1 (D) sellainen funktio, että F (a, b) = 0 ja y (a, b) 0. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U, V R, että 1. a U ja b V, 2. jokaisella x U löytyy yksikäsitteinen y =: f(x) V, jolla F (x, f(x)) = 0 ja 3. b = f(a) sekä funktio f : U V on C 1 - funktio, jonka derivaatta on kaikilla x U. f x (x) = y (x, f(x)) (x, f(x)) Esimerkki Käytetään Implisittifunktiolausetta ns. implisiittiseen derivointiin 2Dtapauksessa. Olkoon F (x, y) = x 5 + y 5 + 5x 3 y kaikilla (x, y) R 2. Silloin F C 1 (R 2 ). Tarkastellaan pistettä x = 1. Olkoon y R sellainen 1, että F (1, y) = 0. Silloin 1 Tässä kohtaa kannattaa yleisemmässä tapauksessa ratkaista y y (1, y) = 5y4 + 5 > 0.

7 Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy sellainen pisteen 1 pieni ympäristö U ja sellainen f C 1 (U), että f(1) = b ja funktion f derivaatta pisteessä 1 on f x (1) = y (1, f(1)) + 15f(1) = 5 (1, f(1)) 5f(1) Kun f(1) tunnetaan, niin myös derivaatta f (1) tunnetaan. Pyritään löytämään f(1) (tämän kannattaa tehdä usein ensimmäisenä) 0 = F (1, f(1)) = 1 + f(1) 5 + 5f(1), jonka likimääräinen ratkaisu on f(1) Tällöin f (1) 0.3

8 Lause (Implisiittifunktiolause m-ulotteisessa tapauksessa). Olkoon m 2, D R m avoin, a D ja F = F (x 1,..., x m ) C 1 (D) sellainen funktio, että F (a) = 0 ja x m (a) 0. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U R m 1 ja V R, että 1. (a 1,... a m 1 ) U ja a m V, 2. jokaisella (x 1,..., x m 1 ) U löytyy yksikäsitteinen x m =: f(x 1,..., x m 1 ) V, jolla F (x 1,... x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) = 0 ja 3. a m = f(a 1,..., a m 1 ) sekä funktio f : U V on C 1 - funktio, jonka osittaisderivaatat ovat f x (x 1,..., x m 1 ) = i (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) x i x m (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) kaikilla (x 1,..., x m 1 ) U ja i = 1,..., m 1.

9 Esimerkki Olkoon S R m on C 1 -sileä pinta. Silloin löytyy sellainen C 1 -funktio F : D R m R, että ja F (x) 0 kaikilla x S. Olkoon a = (a 1,..., a m ) S. S = {(x 1,..., x m ) R m : F (x 1,..., x m ) C = 0}. Mikäli x m (a) = 0, tehdään koordinaatiston vaihto numeroimalla koordinaattiakselit uudelleen siten, että osittaisderivaatta viimeisen koordinaatin suhteen ei häviä. Tämä on mahdollista, sillä F (a) 0, joten ainakin yksi sen komponenteista ei häviä. Implisiittifunktiolauseen nojalla on olemassa pisteen (a 1,..., a m 1 ) avoin ympäristö U R m 1 sekä funktio f(x 1,..., x m 1 ), joilla pisteet (x 1,..., x m 1, f(x 1,..., x m 1 )) S. C 1 -sileä pinta voidaan esittää kunkin pisteensä pienessä ympäristössä (mahdollisen lineaarisen koordinaatiston vaihdon jälkeen) jonkin C 1 - funktion kuvaajana

10 Lause (Implisiittifunktiolause vektoriarvoisille funktioille). Olkoon D R m R n avoin ja a R m sekä b R n sellaisia, että (a, b) D. Olkoon F = F (x 1,..., x m, y 1,..., y n ) C 1 ( D; R n ) sellainen funktio, että F (a, b) = 0 ja matriisi i y j (a, b), missä i, j = 1,..., n, on kääntyvä. Silloin löytyy sellaiset avoimet joukot U R m ja V R n, että 1. a U, b V, 2. jokaisella x U löytyy yksikäsitteinen y =: f(x) V, jolle F (x, f(x)) = 0, 3. b = f(a) ja funktio f : U V on C 1 -funktio, jonka Jacobin matriisi pisteessä x U on n m-matriisi J f,x = (J) 1 n n( J) n m, missä i, j = 1,..., n ja k = 1,..., m. J ij = i y j (x, f(x)) ja J ik = i x k (x, f(x)),

11 Esimerkki a) Olkoon { x + y + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 (3.4.3) Kolmea muuttujaa x, y ja z sitoo kaksi yhtälöä, jolloin formaalisti ainoastaan yksi muuttuja jää vapaaksi. Olkoon vapaa muuttuja x. Näytetään, että yhtälöryhmällä (3.4.3) on implisiittisesti määrätty ratkaisu y = y(x) ja z = z(x) pisteen x = 1 2 lähellä kun tiedetään, että piste ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) = ( 1 2, 1 4 (1 + 5), 1 4 (1 5) ) on yhtälöryhmän (3.4.3) eräs ratkaisu. Asetetaan F (x, y 1, y 2 ) = (x + y 1 + y 2 1, x 2 + y1 2 + y2 2 1) kaikilla x, y 1, y 2 R. Silloin F on C 1 -funktio ja [ ] 1 y 1 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) [ ] 1 y 2 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) y 1 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) =, 2 y 2 ( x, ỹ 1, ỹ 2 ) 2ỹ 1 2ỹ 2 jonka determinantti on 2ỹ 2 2ỹ 1 = Implisiittifunktiolauseen nojalla löytyy pisteen x = 1 2 pienessä ympäristössä yksikäsitteinen C 1 -funktio f, jolle pätee F (x, f(x)) = (0, 0). Siis yhtälöryhmän (3.4.3) implisiittinen ratkaisu pisteen x = 1 2 lähellä on (x, y, z) = (x, f(x)).

12 b) Yksi implisiittifunktiolauseen ja käänteiskuvauslauseen käyttökohteista on koordinaatistonmuunnokset, joita käytetään myöhemmin moniulotteisten integraalien muuttujienvaihdossa. Tarkastellaan havainnollistamisen nimissä yksinkertainen tapaus, jonka voi käsitellä myös suoraviivaisemmilla menetelmillä. Määritelllään paraboliset koordinaatit (y 1, y 2 ) vaatimalla, että euklidisen avaruuden piste (x 1, x 2 ) = (y 2 1 y 2 2, y 1 y 2 ). Tunnetaan siis kuvaus parabolisesta koordinaatistosta euklidiseen koordinaatistoon. Riittää tarkastella pisteitä (y 1, y 2 ) (0, 0), sillä koordinaattimuunnos (ja sen mahdollinen käänteismuunnos) kuvaa origon origoksi. Tällöin vektoriyhtälö F (x 1, x 2, y 1, y 2 ) = (y 2 1 y 2 2, y 1 y 2 ) (x 1, x 2 ) = (0, 0) määrää implisiittisesti koordinaattien lokaalin muunnoksen euklidisista koordinaateista parabolisiin koordinaatteihin f(x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ), sillä F on C 1 -funktio ja matriisin [ ] 1 y 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 1 y 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 2 y 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) 2 y 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) determinantti 2y y 2 2 > 0 kaikilla (y 1, y 2 ) R 2 \{(0, 0)}. = [ ] 2y1 2y 2 y 2 y 1

13 Todistuksia Lemma (Väliarvolause) Olkoon D R m avoin, f : D R differentioituva ja pisteet a, b D sellaisia, että a+t(b a) D jokaisella t [0, 1]. Silloin löytyy sellainen piste c {a + t(b a) : t (0, 1)}, että f(b) f(a) = f(c) (b a) Todistus. Merkitään g(t) = f(a + t(b a)). Silloin g(1) = f(b) ja g(0) = f(a). Tällöin reaalifunktioiden väliarvolauseen ja ketjusäännön nojalla on olemassa sellainen t 0 (0, 1), että g(1) g(0) = g (t 0 )(1 0) = f(a + t 0 (b a)) Merkitään c = a + t 0 (b a). d(a + t(b a)). dt