Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Transkriptio

1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla esimerkiksi x = sin u. Kokeillaan: x = sin u du = cos u = cos udu Nyt koska: cos u = sin u =( sin u)du =( x )du Nyt tehdään sijoitus ja ratkaistaan integraali: x = du( x ) = du( x ) = du cos u = du cos u = du( cos u + ) = u sin u + + C 4 Nyt lasketaan määrätty integraali. Tärkeää on muistaa muuttaa myös integroimisrajat: / π u sin u + 4 = π 4 + sin π 4 = π 4

2 b) Myös tämä integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla: u =e x du =ex du =e x Sijoitetaan ja lasketaan integraali: e x + = du e x + e x = du u(u + ) ( = du u ) u + = ln u ln (u + ) + C Lasketaan määrätty integraali: / e ( ) ln u ln (u + ) = + ln ln (e + )

3 Mapu I Laskuharjoitus 6, tehtävä 3 3. Laske seuraavat epäoleelliset integraalit a) + x b) e x sin(x) Ratkaisu a. π b. a) + x Epäoleellinen integraali ratkaistaan kaavalla k f(x) = lim f(x) k Integrointi voidaan jakaa kahteen osaan, jolloin + x = + x + Huomataan että integraali + x = arctan(x) + C nyt saadaan siis + x Ja tästä + x = lim k + lim karctan(x) k k arctan(x) lim arctan() arctan(x) + lim arctan(k) arctan() k k = arctan() arctan( ) + arctan( ) arctan() = ( π/) + π/ = π/ + π/ = π b. e x sin(x)

4 Mapu I Laskuharjoitus 6, tehtävä 3 Lasketaan integraali e x sin(x) osittaisintegroimalla f(x) = e x f (x) = e x g (x) = sin(x) g(x) = cos(x) e x sin(x) = e x cos(x) e x cos(x) osittaisintegroidaan uusiksi f(x) = e x f (x) = e x g (x) = cos(x) g(x) = sin(x) e x sin(x) = e x cos(x) (e x sin(x) + e x sin(x) josta saadaan e x sin(x) = e x cos(x) e x sin(x) Lasketaan nyt integroimisrajojen kanssa sillä e = e x sin(x) = lim k k + c e x cos(x) e x sin(x) e k cos(k) e k sin(k) lim e cos() e sin() k e k cos(k) e k sin(k) lim + k = + =

5 Tehtävä 4 a) Pyörähdyskappaleen tilavuuden differentiaali on dv = πr = πf(x) () jolloin pyörähdyskappaleen tilavuudeksi saadaan välillä x [a, b] b V = a πf(x) () Lasketaan nyt pyörähdyskappaleen tilavuus, kun välillä x [, ] funktio f(x) = x pyörähtää x-akselin ympäri. Kaavan mukaan saadaan V = π( x) = πx = π/ V = π x = π( ) = π b) Käyrän pyyhkäisemän pinta-alan differentiaali on puolestaan da = πrds = πf(x) + (f (x)) (3) Jolloin pyyhkäisty pinta-ala välillä x [a, b] on b A = πf(x) + (f (x)) (4) a Funktion f(x) = x derivaatta on f (x) = x. Nyt yhtälön 4 avulla voidaan laskea vaipan pinta-ala π/ A = π x 3 (x ) + ( x ) = π = 4π 3 [( + 4 ) 3 x( + 4 x ) = π x + 4 ( ) ] = 4π 3 3 [(9 4 ) ( 3 4 ) ] = 4π 3 (33 3 ) = 3π 3 A = 3π 3

6 5. Gammafunktio määritellään Γ(n) = x n e x (a) Osoita osittaisintegroimalla, että gammafunktiolle pätee rekursio Γ(n + ) = nγ(n). (b) Laske Γ(). (c) Osoita rekursiokaavaa käyttäen, että on positiiviselle kokonaisluvulle n pätee Γ(n + ) = n! Ratkaisu: a) Kyllähän se näin on. b) Γ() =. c) Jälleen pätee. Tehtävässä päästään siis tutustumaan gammafunktioon, joka on lukion todennäköisyyslaskennasta tutun kertomafunktion laajennus positiivisilta kokonaisluvuilta reaali- ja kompleksiluvuille. Gammafunktio pomppaa esiin gammajakauman myötä mitä erinäköisimmissä tilanteissa aina elektronisten komponenttien kestoista säieteoriaan ja vakuutuslaskuihin, joten siihen on hyvä tutustua jo tässä vaiheessa. Muistetaan vielä kertomafunktion määritelmä: n! = n k = n (n ) (n ).... k= Siis, kertomafunktio on luvun n ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Osittaisintegrointi määrätyn integraalin tapauksessa sujuu seuraavasti: b a f g = / b a fg b a fg.

7 (a) Olkoon nyt f = e x ja g = x n + = x n. Näitä vastaavat termit ovat f = e x ja g = nx n. Muistetaan lisäksi, että n on positiivinen kokonaisluku (= vakio). Nyt, tehtävä saadaan ratkaistua helposti osittaisintegroimalla: Γ(n + ) = x n e x = / = e x x n / = lim k = lim k e x nx n x n e x + n x n e x / k = ( ) + n = n = nγ(n) x n e x + n ( ) k n e k n e x n e x x n e x + n x n e x x n e x Neljännellä rivillä esiintyvä termi k n lim k e k tiedetään nollaksi, koska eksponenttifunktio kasvaa polynomifunktioita nopeammin. Osoittaja toki lähenee ääretöntä, mutta nimittäjä lähenee ääretöntä huomattavasti nopeammin.

8 (b) Arvo saadaan laskettua gammafunktion määritelmästä: (c) Γ() = = = = / x e x e x e x ( e ) e = ( ) =. Voimme nyt hyödyntää aiemmissa kohdissa huomattua gammafunktion rekursiivisuutta todistaaksemme, että gammafunktio todella vastaa kertomafunktiota, mutta argumentti siirtyy yhdellä. Γ(n + ) = nγ(n) = n (n )Γ(n ) = n (n ) (n )Γ(n ) = n (n ) (n )... Γ() = n (n ) (n )... = n! 3

9 H6 Malliratkaisut - Tehtävä 6 Eelis Mielonen 7. lokakuuta 7 a) Tässä tehtävässä riittää tehdä muutama yksinkertaista havaintoa. Kirjoitetaan summa ensin kompaktimpaan muotoon: + /3 + / = Huomaamme että jokainen termi u n on pienempi kuin sitä edellinen termi u n (niiden suhde toisiinsa on /3 < ), ja sarjan termeille pätee: n= lim u n = lim n n 3 n = Koska termit pienenevät monotonisesti ja u n häviää äärettömässä, sarja suppenee. Eli, kun n summaan lisätään vain nollaa, joten summa on äärellinen. Tähän tulokseen voi myös päätyä käyttäen tarkempia menetelmiä (esim. koska tämän geometrisen sarjan summa on 3, se tietenkin suppenee). 3 n b) Edessämme on tällä kertaa: n= Kuten kohdassa a), meidän pitää todistaa että sarjan termit pienenevät monotonisesti ja että termit äärettömässä lähestyvät nollaa. Selvästi n! lim u n = lim n n n! = ja kun laskemme termin u n+ suhteen u n ään saamme: u n+ u n = n! (n + )! = (n + ) < Joka pätee kaikille n >. Sarja siis suppenee, koska kaikilla näillä indekseillä n termit ovat pienempiä kuin edelliset ja äärettömässä u n lähestyy nollaa.

10 c) Silmäisyllä näkee, että sarja: t= t t + Ei suppene. Syynä on se, että sen termit kasvavat rajatta. Kun lasketaan esimerkiksi raja arvo lim u t n = lim n n t + = saadaan tulos että kun t kasvaa sarjan termit kasvavat äärettömän suuriksi. Tämä riittää sarjan hajaantumisen todistamiseksi, mutta voidaan vielä näyttää että sarjan termit kasvavat monotonisesti. Jos oletetaan että f(t) = u t niin f (t) = (t + ) Tämä derivaatta on aina isompi kuin nolla positiivisille t n arvoille joten termit aina kasvavat.

11 Mapu. Laskuharjoitus 6, Tehtävä S a) Piirretään funktion f(x) = ( x) kuvaaja: b) Integroidaan funktio välittämättä äärettömästä arvosta pisteessä x = ( x) = / ( x) = ( ) ( ) = Lasketun integraalin tulisi kuvastaa käyrän ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa. Kuvaajasta nähdään ensinnäkin, että käyrän ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on ehdottomasti suurempi kuin ja toiseksi, käyrä saa ainoastaan positiivisia y:n arvoja, jolloin integroinnista saatavan pintaalankin tulisi olla positiivinen. Integraalille saamamme vastaus (-) ei siten vaikuta kovinkaan mielekkäältä. c) Katsotaan sitten antaisiko tehtävässä esitelty Cauchyn pääarvointegraali menetelmä järkevämmän tuloksen. Tässä menetelmässä integraali lasketaan kahdessa osassa hankaluuksia tuottavaa määrittelemätöntä pistettä x = hiuksenhienosti vältellen: ε f(x) = lim ( f(x) ε + = lim ( / ε ( x) + +ε / ( x) ) ε + + f(x) ) +ε = lim ε + (( ( ε)) ( ) + ( ) ( ( + ε)) ) = lim ε + (ε + ε ) = lim ε + ( ε ) = Tämä tulos vaikuttaa jo puolestaan järkevältä ainakin äärettömyyksien kontekstissa.