Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Transkriptio

1 Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut , Prujut2008: s Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden avulla integroituvan, voidaan se joskus palauttaa siihen tekemällä integroimismuuttujan vaihto x t: x = f (t) tai t = g(x) Tällöin joudutaan lausumaan myös uuden muuttujan avulla. TAPAUS : x = f (t): TAPAUS 2: t = g(x): = (df ) = ( df ) = (dg ) = ( dg ) ESIMERKKI, TAPAUS : ln x x Tehdään muuttujan vaihto x = e t. Integraali tulee muotoon = et = e t ln x t x = e t et = t Tässä tapauksessa tekijä ( dg ) pitää muistaa lausua t:n avulla.

2 ESIMERKKI, TAPAUS 2: Yritetään t = g(x) = x 2 +. x + x 2 = 2x = 2x = 2 t missä viimeisessä vaiheessa lausuttiin x muuttujan t avulla sijoitettamalla x = t. Integraali tulee muotoon x + x 2 = 2 t t t = t 2 Kun integraali on laskettu, pitää lauseke palauttaa alkuperäisen muuttujan x funktioksi. Jatketaan edellistä esimerkkiä: t /2 x + x 2 = 2 = 3 t3/2 + C = 3 (x2 + ) 3/2 + C Joitakin (todennäköisesti) toimivia muuttujan vaihtoja, kun integroitava sisältää seuraavia termejä: (x + a) n t = x + a tai t = (x + a) n (a 2 x 2 ) n (a 2 + x 2 ) n sin x, cos x, tan x x = a sin t sillä sin 2 x = cos 2 x x = a sinh t sillä + sinh 2 x = cosh 2 x t = sin x tai t = cos x tai t = tan(x/2) perustuu tulon derivoimissääntöön. Derivoidaan funktioiden f (x) ja g(x) tulo: Integroimalla molemmat puolet d ( ) df fg = g + f dg = f g + fg fg = f g + Ja ryhmitellään tämä lopuksi muotoon fg f g = fg fg Viimeinen sijoitus perustellaan kohta.

3 f g = fg fg on käyttökelpoinen, kun integroitavassa termi f on helposti integroitavissa ja termin g derivaatta on helppo. ESIM: Lasketaan x sin 2x Lopuksi x sin 2x = x 2 cos 2x + sin 2x 4 Valitaan g = x koska derivoidessa tästä päästään eroon ja f = sin 2x koskapa tämäkin osataan integroida. tuottaa xsin 2x = x( cos 2x ) 2 ( cos 2x ) 2 Ykkösellä kertominen on myös osittaisintegroinnissa usein käyttökelpoinen tekniikka: Valitaan f = ja g = ln x. ln x = ln x ln x = x ln x x x = x ln x x + C rekursio Integroidessa ja derivoidessa funktioita sin x, sinh x, e x ja vastaavia ne palautuvat samoihin termeihin. Tästä syystä osittaisintegraali käyttäytyy seuraavasti: I n (x) = sin n x = sin xsin n x = cos xsin n x + ( cos x)(n ) sin n 2 x cos x = cos x sin n x + (n ) cos 2 x sin n 2 x = cos x sin n x + (n ) sin n 2 x (n ) sin n x = cos x sin n x + (n )I n 2 (x) (n )I n (x)

4 rekursio Ratkaisemalla yhtälöstä I n (x) saadaan sille rekursio- eli palautuskaava I n (x) = n cos x sinn x + n n I n 2(x) I n (x) saadaan siis integroimatta laskettua, kunhan I n 2 (x) tunnetaan. I (x) = cos x I 3 (x) = 3 cos x sin2 x I (x) = 3 cos x( 2 + sin 2 x ) I 5 (x) = 5 cos x sin4 x I 3(x) =... Muotoa P(x) olevat lausekkeet saadaan integroitua, kun polynomi P(x) esitetään sen nollakohtien avulla ns. osamurtokehitelmänä: P(x) = (x x 0 )(x x )... (x x N ) A = (x x 0 ) + B (x x ) N (x x N ) Tehtäväksi jää määrätä kertoimet A, B,.... Ylläoleva kehitelmä toimii, kun P(x):llä ei ole moninkertaisia juuria. m:n ja n:n asteen polynomien osamäärä Moninkertaisen juuren tapauksessa kehitelmä on muotoa (x x 0 )(x x ) 2 = A (x x 0 ) + B (x x ) + C (x x ) 2 Joskus törmätään seuraavanlaiseen muotoon (x x 0 )(x 2 x ) = A (x x 0 ) + Bx + C (x 2 x ) Edelleen vakioiden A, B,... määrittämisen jälkeen osamurtokehitelmän kukin termi osataan integroida. voidaan kirjoitaa muotoon E m (x) F n (x) G m n (x) + H(x) F n (x) missä polynomin H(x) aste on pienempi kuin n. Esim. 3x 3 + 2x 2 + x + x + joka on suoraviivaista integroida. = 3x 2 x + 2 x +

5 Toinen esimerkki: Polynomien jakolasku voidaan suorittaa esimerkiksi jakokulmassa. Myös suoraviivainen, mutta työläämpi menetelmä toimii: x 3 + x 2 + x + x + = Ax 2 + Bx + C + D x + jossa vakiot määritetään ristiinkertomisen jälkeen. x 4 + x + x 2 = x x + 2 x 2 = x 2 x (x )(x + ) Jälkimmäinen termi voidaan hajottaa osamurtokehitelmäksi x + 2 (x )(x + ) = A x + + B x Kun A ja B on löydetty voidaan integraali laskea loppuun. Trigonometristen funktioiden integrointi Monet trigonometrisia funktioita (ja näiden polynomeja) sisältävät integroitavat voidaan palauttaa rationaalifunktioiden integraaliksi sijoituksella t = tan(x/2). Tämä perustuu siihen että tällöin t = tan x 2 = 2 ( + tan2 x 2 ) = cos x = t2 + t 2 sin x = 2t + t 2 tan x = 2t t t 2