Laplace-muunnos: määritelmä
|
|
- Martta Halonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin suppenemiselle: f on eksponentiaalisesti rajoittunut f(t) M 1 e rt, kaikille t, jossa M 1 ja r ovat positiivisia vakioita. Laplacen muunnos on määritelty esimerkiksi kaikille rajoitetuille ja jatkuville funktioille.
2 Laplacen muunnoksen olemassaolo Muunnoksen määritelmä tarkoittaa raja-arvoa F(s) = L(f) = M f(t)e st dt = lim f(t)e st dt, M mikäli ko. raja-arvo on olemassa ja äärellinen. Olkoon funktio f : [, ] R eksponentiaalisesti rajoitettu eli on olemassa positiiviset vakiot M 1 ja r siten, että f(t) M 1 e rt, t. Kaikilla positiivisilla arvoilla M > on voimassa arvio M f(t)e st dt M f(t)e st dt M = M 1 ( 1 e (s r)m ). s r M 1 e (r s)t dt
3 Riittävän suurilla parametrin s arvoilla pätee s r >. Tällöin on voimassa arvio F(s) = f(t)e st dt M 1 s r, s > r. Laplacen muunnoksen määrittelevä integraali suppenee, kun s > r. Toisin sanoen Laplace-muunnos F(s) = L(f)(s) on määritelty kaikille s > r
4 Määritelmän mukaan laskettuja muunnoksia L(1) = e st dt = 1 s, s >, L(t) = t e st dt = ( 1 s )e st dt + t( 1 s )e st = 1, s >, s 2 L(e t ) = e t e st dt = L(e at ) = e at e st dt = e (1+s)t dt = 1 s+1, s > 1, e (a s)t dt = 1 s a, s > a.
5 Ominaisuuksia Lause Laplacen muunnos on lineaarinen operaattori. Olkoon L(f) = F(s) ja L(g) = G(s). Tällöin L(f + g) = L(f)+L(g), L(λf) = λl(f), kaikilla λ R. Perustelu: Olkoot L(f) ja L(g) olemassa. Tällöin ( f(t)+g(t) ) e st dt = = ( f(t)e st + g(t)e st) dt f(t)e st dt + g(t)e st dt. Pätee L(f + g) = L(f)+L(g). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla.
6 Laplace muunnos on yksikäsitteisesti määrätty. Käänteismuunnos ei ole yksikäsitteinen; mutta Jatkuvien funktioiden luokassa funktion f ja sen Laplacen muunnoksen L(f) välillä on yksi-yhteen vastaavuus. Lause Olkoon f : [, [ R jatkuva ja olkoon L(g) jatkuvan funktion g Laplacen muunnos. Tällöin on voimassa yhtäpitävyys L(f) = L(g) f = g.
7 Käänteismuunnos Jos tarkasteltavat funktiot ovat jatkuvia, niin voidaan määritellä käänteismuunnos L 1 siten, että L 1 (F(s)) = L 1 (L(f)) = f(t), L(L 1 (F(s))) = F(s). Käänteismuunnos on lineaarinen operaattori. Lause Olkoon L(f) = F(s) ja L(g) = G(s). Tällöin kaikilla λ R L 1 (F(s)+ G(s)) = L 1 (F(s))+L 1 (G(s)), L 1 (λf(s)) = λl 1 (F(s)).
8 Perustelu: Laplacen muunnoksen lineaarisuuden ja käänteismuunnoksen määrittelyn nojalla L 1 (F(s)+G(s)) = L 1 (L(f)+L(g)) = L 1 (L(f + g)) = f + g = L 1 (L(f))+L 1 (L(g)) = L 1 (F(s))+L 1 (G(s)). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla.
9 Derivaatan Laplace-muunnos Lause Olkoon f,f,...,f (n 1) jatkuvia ja eksponentiaalisesti rajoitettuja funktioita eli f (k) (t) M 1 exp(rt) kaikilla t >, k =,...,n 1. Jos derivaatta f (n) on paloittain jatkuva ja jos F(s) = L(f), niin L(f (n) ) = s n L(f) s n 1 f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n 1) (). Erityisesti ensimmäisen ja toisen derivaatan muunnokset ovat L(f ) = sl(f) f(), L(f ) = s 2 L(f) sf() f ().
10 Laplacen muunnoksen soveltamisperiaate kaaviona. Differentiaaliyhtälö ja alkuehdot aika-alueessa Alkuarvotehtävän ratkaisu y(t). L( ) L 1 ( ) Tavallinen yhtälö ratkaisun muunnokselle s-alueessa. Ratkaisun muunnos Y(s).
11 Esim. 1 Ratkaise Laplacen muunnoksella alkuarvotehtävä Ratkaisu: y + 2y = e t, t >, y() = 2. Merkitään L(y) = Y(s). Derivaatan muunnos on L(y ) = sl(y) y() = sy(s) y(). Muunnetaan yhtälö puolittain L(y + 2y) = L(e t ) = 1 s+1. Vasemman puolen muunnos käyttämällä lineaarisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoa L(y + 2y) = L(y )+2L(y) = sy(s) y()+2y(s) = (s + 2)Y(s) 2.
12 Saadaan s-alueessa yhtälö (s + 2)Y(s) 2 = 1 s+1. Ratkaistaan Y(s) = 1 (s+1)(s+2) + 2 s+2 = 2s+3 (s+1)(s+2). Muodostetaan osamurtokehitelmä Y(s) = 2s+3 (s+1)(s+2) = 1 s s+2. Määrätään ratkaisu käänteismuunnoksella y(t) = L 1 (Y(s))=L 1( 1 s ) s+2 =L 1( ) 1 s+1 +L 1 ( 1 s+2) = e t + e 2t.
13 Esim. 2 Laske Laplacen muunnokset L(sinωt) ja L(cosωt). Ratkaisu: Käytetään muunnoksen määritelmää ja lasketaan osittaisintegroinnilla integraalit: sin(ωt)e st dt = 1 ω cos(ωt)e st ( 1 ω cos(ωt))( s e st )dt 1 = lim M ω cos(ωm)e sm + 1 ω + 1 ω cos(ωt)( s e st )dt = L ω + sin(ωt) ( s e st ) ω 2 sin(ωt) (s 2 e st )dt ω 2
14 sin(ωt)e st dt = L ω sin(ωm) lim (s e sm ) M ω 2 = 1 ω s2 ω 2 sin(ωt)e st dt, s >, sin(ωt) (s 2 e st )dt ω 2 sillä raja-arvot häviävät, mikäli s >. Täten L 1 L 2 cos(ωm) = lim M = lim M ω e sm =, s >, sin(ωm) (s e sm ) =, s >. ω 2
15 Sinin muunnokselle saadaan yhtälö, L(sin(ωt)) = 1 ω s2 ω 2 L(sin(ωt)). Ratkaistaan L(sin(ωt)) = ω s 2 +ω 2, s >. Vastaavasti lasketaan kosinin muunnos. Kaavat ovat L(sin(ωt)) = ω, s >, s 2 +ω 2 L(cos(ωt)) = s, s >. s 2 +ω 2
16 Esim. 3 Ratkaise Laplacen muunnoksella alkuarvotehtävä Ratkaisu: y + 4y = 4e 2t, t >, y() = 2,y () = 1. Merkitään L(y) = Y(s). Toisen derivaatan muunnos on L(y ) = s 2 L(y) sy() y () = s 2 Y(s) sy() y (). Muunnetaan yhtälö puolittain L(y + 4y) = L(4e 2t ) = 4 s+2. Vasemman puolen muunnos käyttämällä muunnoksen lineaarisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoja L(y + 4y) = (s 2 + 4)Y(s) 2s 1.
17 Saadaan yhtälö (s 2 + 4)Y(s) 2s 1 = 4 s+2. Ratkaistaan Y(s) ja kehitetään se osamurtoihin Y(s) = s2 +5s+6 (s+2)(s 2 +4) = 1 2 s s+2 s Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella y(t) = L 1( 1 2 s s+2 ) = 1 2 L 1( 1 s+2 s 2 +4 ) L 1( s s ) +L 1 ( 2 s ) = 1 2 e 2t cos(2t)+sin(2t).
18 Lisää muunnoskaavoja Lause Olkoon L(f) = F(s). Tällöin L(t n f(t)) = ( 1) n dn ds n [ F(s) ].
19 Perustelu: Yleinen tapaus induktiolla. Lasketaan tapaus n = 1. ( 1) d [ ] ds F(s) = d ds f(t)e st dt = f(t) s( e st ) dt = = L(tf(t)). tf(t)e st dt
20 Siirros s-alueessa Lause Jos L(f) = F(s) niin L(e at f(t)) = F(s a). Perustelu: Laskemalla saadaan L(e at f(t)) = e at f(t)e st dt = f(t)e (s a)t dt = F(s a).
21 Esim Määrää L(t sin(ωt)). 2. Määrää L(e at sin(ωt)). 3. Määrää L(e at t sin(ωt)). Ratkaisu: 1. Nyt L(tf(t)) = F (s) ja L(sin(ωt)) = ω. s 2 +ω 2 Tällöin L(t sin(ωt)) = d ( ) ω ds s 2 +ω = 2ωs. 2 (s 2 +ω 2 ) 2 2. Tässä L(e ct f(t)) = F(s c) ja L(sin(ωt)) = ω, joten s 2 +ω 2 L(e at sin(ωt)) = ω (s+a) 2 +ω Tässä L(e ct f(t)) = F(s c) ja L(t sin(ωt)) = 2ωs, (s 2 +ω 2 ) 2 joten L(e at 2ω(s + a) t sin(ωt)) = ((s + a) 2 +ω 2 ) 2.
22 Laplace-muunnos taulukko f(t) F(s) 1 1 s 1 t s 2 t n 1 1 (n 1)! s n ω sin ωt s 2 +ω 2 s cosωt s 2 +ω 2 e at 1 s a t a, a > 1 Γ(a+1) s a+1 f(t) F(s) e ct t 1 e ct tn 1 (n 1)! e ct sinωt e ct cosωt e ct t a, a > 1 (s c) 2 1 (s c) n ω (s c) 2 +ω 2 s c (s c) 2 +ω 2 Γ(a+1) (s c) a+1
23 Heavisiden askelfunktio Heavisiden yksikköaskelfunktio H: { 1, jos t >, H(t) =, jos t <. Siirros Heavisiden yksikköaskelfunktion muuttujapisteessä: { 1, jos t > c, H(t c) =, jos t < c. Siirron Laplace-muunnos: L(H(t c)) = 1 s e cs. Aikaviiveen ja viivästyksen muunnos: Lause Jos L(f) = F(s) niin L(H(t c)f(t c)) = e cs F(s), L 1 (e cs F(s)) = H(t c)f(t c).
24 Perustelu: Tulos seuraa muuttujan vaihdosta u = t c L(H(t c)f(t c)) = f(t c)e st dt c = f(u)e (u+c)s du = e cs F(s).
25 Esim. 5 Tutki seuraavia esimerkkejä. Piirrä kuviot. L 1( 1 s 3 e 3s) = 1 2 (t 3)2 H(t 3) = { 1 2 (t 3)2, t > 3,, t 3. L ( cos(2t) cos(2(t 2π))H(t 2π) ) = s(1 e 2πs ) s 2 + 4
26 Esim. 6 Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla alkuarvotehtävä { y + 2y t, t < 1, + y = 1, t 1, y() = y () =.
27 Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s). Muunnetaan yhtälö. L(y + 2y + y) = L(f) = F(s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + 2y + y) = L(y )+2L(y )+L(y) = s 2 Y(s) y () sy() +2(sY(s) y())+y(s) = ( s 2 + 2s + 1 ) Y(s).
28 Lausutaan oikea puoli askelfunktiota hyväksi käyttäen eli f(t) = t [ H(t) H(t 1) ] + H(t 1) = th(t) (t 1)H(t 1). Muunnos (lineaarisuus ja laskukaavat): F(s) = L ( f(t) ) = L ( th(t) ) L ( (t 1)H(t 1) ) = 1 s 2 1 s 2 e s. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö ( s 2 + 2s + 1 ) Y(s) = F(s) = 1 s 2 e s s 2,
29 Ratkaisu s-alueessa Y(s) = 1 ( 1 (s + 1) 2 s 2 e s ) 1 = s 2 s 2 (s + 1) 2 1 s 2 (s + 1) 2 e s. Osamurtokehitelmä G(s) := 1 s 2 (s + 1) 2 = 2 s + 1 s s (s + 1) 2, joten voimme määritellä apufunktion g(t) = 2L 1( 1) +L 1 ( 1 s + 2L 1( 1 s + 1 ) s 2 ) +L 1 ( 1 ) (s + 1) 2 = 2+t + 2e t + t e t.
30 Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( 1 s 2 (s + 1) 2 ) L 1 ( 1 s 2 (s + 1) 2 e s) = g(t) g(t 1)H(t 1) { 2+t + 2e t + t e t, t < 1, = 1+(2+t)e t (t + 1)e (t 1), t > 1.
31 Impulssin mallintaminen Mekaniikassa voiman F = F(t) impulssi aikavälillä [a,a+h] määritellään integraalina I = a+h F(t)dt. Suuri voima vaikuttaa lyhyen ajan (isku, törmäys). Tarkastelemme paloittain määriteltyä funktiota δ a,h (t) a { 1 h, a < t < a+h, δ a,h (t) =, muulloin, Sen impulssi on yksi yksikkö kaikilla parametrin h arvoilla.
32 Funktio δ a,h on kahden askelfunktion summa δ a,h (t) = 1 h[ H(t a) H(t (a+h)) ]. Sen Laplacen muunnos saadaan laskettua askelfunktion muunnoksen ja lineaarisuuden perusteella L(δ a,h ) = 1 [ e as e (a+h)s] as 1 e hs = e. hs hs Annamme aikavälin pituuden lyhentyä rajatta. Rajalla h merkitsemme "rajafunktiota" lim δ a,h(t) = δ(t a), h δ(t a) on ns. Dirac n deltafunktio.
33 Diracin deltafunktion omin. Dirac n deltafunktio ei varsinaisesti ole funktio, sillä sen ominaisuuksia {, t = a, δ(t a) = δ(t a)dt = 1., muulloin, ei voi olla tavallisella funktiolla. Dirac n deltan Laplacen muunnos saadaan Hospitalin säännön avulla L(δ(t a)) = e as.
34 Vaimennetun systeemin vaste kanttipulssiin Esim. 7 Ratkaise alkuarvotehtävä { y + 4y + 3y = y() = y () =. 1, < t < 1,, muulloin, Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s).
35 Muunnetaan yhtälö L(y + 4y + 3y) = L(f) = F(s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + 4y + 3y) = L(y )+4L(y )+3L(y) = s 2 Y(s) y () sy() + 4 ( sy(s) y() ) + 3Y(s) = ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s). Oikean puolen muunnos määritelmän tai askelfunktion avulla: F(s) = f(t)e st dt = 1 e st dt = 1 s 1 s e s
36 Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö Y(s) = Osamurtokehitelmä ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s) = 1 s 1 s e s G(s) := 1 s(s 2 + 4s + 3) = Määritelläään apufunktio 1 s(s 2 + 4s + 3) e s. 1 s(s 2 + 4s + 3) = 1 s(s + 1)(s + 3) s 2 s s + 3, g(t) = L 1( 1 ) s(s + 1)(s + 3)
37 Apufunktio g(t) = 1 3 L 1( 1) 1 s 2 L 1( 1 ) 1 + s L 1( 1 ) s + 3 = e t e 3t. Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( 1 s(s 2 + 4s + 3) = g(t) g(t 1)H(t 1) = ) L 1 ( 1 s(s 2 + 4s + 3) e s) { e t e 3t, t < 1, 1 2 e t e 3t e (t 1) 1 6 e 3(t 1), t > 1.
38 Vaimennetun systeemin vaste impulssiin Esim. 8 Ratkaise alkuarvotehtävä y + 4y + 3y = δ(t a), y() = y () =. Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s).
39 Muunnetaan yhtälö L(y + 4y + 3y) = L(δ(t a)) = e as. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s) = e as Osamurtokehitelmä G(s) := Y(s) = 1 s 2 + 4s + 3 e as s 2 + 4s + 3 = 1 (s + 1)(s + 3) = 2 s s + 3,
40 Apufunktio g(t) = L 1( 1 ) (s + 1)(s + 3) = 1 2 L 1( 1 ) 1 s L 1( 1 ) s + 3 = 1 2 e t 1 2 e 3t. Tehtävän ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( G(s)e as) = L 1( 1 (s 2 + 4s + 3) e as) = g(t a)h(t a).
41 Erityisesti tapauksessa a = 1 saadaan {, t 1, y(t) = g(t 1)H(t 1) = 1 2 e (t 1) 1 2 e 3(t 1), t > 1. Kuviossa on vaimennetun systeemin vaste sekä kanttipulssiin, että hetkellä t = 1 annettuun impulssiin f(t)-f(t-1)*h(t-1) g(t-1)*h(t-1)
42 Konvoluutio Toisen kertaluvun vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä y (t)+py (t)+qy(t) = f(t), y() =, y () =. Ratkaiseminen Laplacen muunnoksen avulla johtaa ratkaisun muunnoksen lausekkeeseen 1 Y(s) = F(s)G(s) = F(s) (s 2 + ps + q). Funktio G on differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän kuvaaman lineaarisen systeemin siirtofunktio. Oletamme, että tunnemme funktion f Laplacen muunnoksen F. Funktion G käänteismuunnos g voidaan aina määrätä osamurtokehitelmän avulla.
43 Käänteismuunnokselle voidaan osoittaa laskukaava L 1 (Y(s)) = L 1 (F(s)G(s)) = f g, f g on funktioiden f ja g konvoluutio. Konvoluutio määritellään kaavalla (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ. Täten nolla-alkutilaisen vakiokertoimisen lineaarisen systeemin vaste y voidaan lausua herätteen f ja siirtofunktion käänteismuunnoksen eli impulssivasteen g konvoluution avulla y(t) = (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ.
44 Konvoluution laskusäännöt f g = g f, f (g h) = (f g) h, f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2, f = f =.
45 Ne perustellaan kirjoittamalla kaavat auki ja käyttämällä integraalin laskusääntöjä. Jos alkuehdot nollasta eroavia, niin yhtälöä y (t)+py (t)+qy(t) = f(t), y() = a,y () = b vastaa s alueessa yhtälö (s 2 + ps + q)y(s) as b ap = F(s), Ratkaisun muunnos Y(s) = as + b+ap (s 2 + ps + q) + F(s) (s 2 + ps + q). Alkuehdoista riippuvan osan käänteismuunnoksen voi laskea osamurtokehitelmällä ja muunnoskaavoilla. Herätteestä riippuvan osan voi lausua systeemin impulssivasteen ja herätteen konvoluution avulla.
46 Funktioita ja niiden Laplace muunnoksia f(t) 1 1 s 1 t t n 1 (n 1)! sin ωt cos ωt F(s) s 2 1 s n ω s 2 +ω 2 s s 2 +ω 2 e at 1 s a t a, a > 1 Γ(a+1) s a+1
47 Laplace muunnoksen yleisiä kaavoja L(αf(t)+βg(t)) = αl(f(t))+βl(g(t)) L 1 (αf(s)+βg(s)) = αl 1 (F(s))+βL 1 (G(s)) L(e ct f(t)) = F(s c) L(t n f(t)) = ( 1) n F (n) (s) L(H(t c)f(t c)) = e cs F(s)) L(δ(t c)) = e cs L((f g)(t)) = F(s)G(s)
Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
LisätiedotMatemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0
Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä
Lisätiedotvakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1)
Toisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Φ(x,y,y,y ) =, jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu muuttujan x,
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotLaplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
LisätiedotKompleksinen Laplace-muunnos
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedotjärjestelmät Luento 8
DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotDiskreetin LTI-systeemin stabiilisuus
Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi
LisätiedotSaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS),
SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS), 5.2.2019 Tentin arvosteluperusteita: o Kurssin alku on osin kertausta SäAn ja prosessidynamiikkakursseista, jotka oletetaan
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedotlnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotMS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotDifferentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö
Differentiaaliyhtälön ratkaisu ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio Systeemin ymmärtämisen ja hallinnan kannalta on olennaista tietää, miten
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot