5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

Transkriptio

1 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon (u(n) = 1) n=0 = (1,1,1,...) Z-muunnos? Ratk. Z-muunnos on geoemtrinen sarja X(z) = n=0 ja sarja suppenee, kun z > 1. z n = z = z z 1, 90

2 Z-muunnos ja suppene- Esim. misalue. 5. Määrää potenssijonon {a n } n=0 Ratk. Z-muunnos on geometrinen sarja X(z) = n=0 a n z n = n=0 (az 1 ) n, jonka summa on 1 X(z) = 1 az 1 = z z a. Geometrisen sarjan suppenemissäde on R = 1, joten Z-muunnos suppenee jos ja vain jos a z < 1, l. kun z > a. 91

3 x(n) Lause 15. Jos lim n x(n+1) = R, niin sarja n=0 x(n)z n suppenee R-säteisen ympyrän ulkopuolella, ja Suppenemisalueessaan Z- muunnos on analyyttinen funktio. Esim. 6. Määrää jonon {δ(n 1)} n= Z-muunnos. Ratk. X(z) = n= δ(n 1)z n = z 1. 92

4 5.2 Ominaisuuksia Jonon {x(n)} n=0 Z-muunnos olkoon Z{x(n)} = X(z), ja sen suppenemisalue on {z C R < z }. Tällöin Z-muunnokselle on voimassa seuraavat ominaisuudet: Viiveen Z-muunnos: Z{x(n n 0 )} = z n 0X(z), n 0 > 0 Aikaistuksen Z-muunnos: Z{x(n+k)} = z k ( X(z) k 1 l=0 x(l)z l ) Eksponenttijonolla kertominen Z{a n x(n)} = X(a 1 z). 93

5 Muunnoksen derivointi Z{nx(n)} = z dx(z) dz. Konjugoidun jonon Z-muunnos Z{x(n)} = X(z).

6 Alkuarvolause x(0) = lim z X(z). Konvoluution Z-muunnos Jonojen {x(n)} n 0 ja {y(n)} n=0 konvoluutio: {x y(n)} = n k=0 Konvoluution Z-muunnos on ( W(z) = Z {x(n)} {y(n)} x(k)y(n k). ) = X(z)Y (z). 94

7 Konvoluutio Jonojen konvoluutio voidaan ajatella matriisin ja vektorin kertolaskuna x y(0) x y(1) x y(2). = x(0) x(1) x(0) x(2) x(1) x(0) y(0) y(1) y(2). 95

8 Käänteismuunnos Käänteismuunnoskaava: Cauchy n integraalilause: 1 2πj C zk 1 = 1, k = 0 0, k 0 missä kompleksimuuttujan funktiota integroidaan pitkin suljettua käyrää, joka sisältää origon. Z-muunnoksia Kerrotaan Z-muunnos funktiolla x k 1 ja integroidaan pitkin käyrää C. Näin saadaan käänteismuunnoskaava x(k) = 1 2πj C X(z)zk 1 dz. Käytännössä integraali lasketaan Residue-kaavan avulla, jossa määritetään ensin Z-muunnoksen navat suljetun käyrän C sisältä., 96

9 Rationaalifunktion Osamurtokehitelmä X(z) = P(z) Q(z). käänteismuunnos rationaalifunktion osamurtokehitelmän avulla. Esim. 7. Määrää funktion X(z) = z2 z käänteismuunnos. Ratk. Rationaalifunktion osamurtokehitelmän määrääminen alkaa napojen määräämisellä. Ne ovat polynomin z nollakohdat: α 1 = 1 2, α 2 = 1 2. Määrää vakiot A ja B siten, että X(z) = Az z Bz z

10 Kerrotaan yhtälö puolittain monomeilla z 1 2 ja z ja asetetaan molemmin puolin ensin z = 1 2 ja sitten z = 1 2. Näin saadaan vakioiksi ja osamurtokehitelmäksi saadaan A = 1 2, B = 1 2, X(z) = 1 z 2z z 2z 2 1. Funktion X(z) käänteismuunnos on jono x(n) = 1 2 [( 1 2 )n + ( 1 2 )n ], n 0 0, n < 0.

11 5.3. Differenssiyhtälö Z-muunnos = differenssiyhtälön ratkaisu. Esim. 8. Ratkaise lineaarinen differenssiyhtälö alkuehdoilla x(0) = 1, x(1) = 0. x(n + 2) 1 4 x(n) = 0 Ratk. Yksipuolinen Z-muunnos (käytetään siirron Z-muunnosta): Alkuehtojen nojalla z 2 X(z) z 2 x(0) zx(1) 1 X(z) = 0. 4 (z )X(z) = z2, 98

12 Jonon {x(n)} Z-muunnos: X(z) = z2 z 1 4. Differenssiyhtälön ratkaisu (kts. ed. esim.): x(n) = 1 2 [(1 2 )n + ( 1 2 )n ], n 0.

13 Yleinen vakiokertoiminen lineaarinen differenssiyhtälö N k=0 a k y(n + k) = Yhtälön Z-muunnos (yksipuolinen): ( N k=0 a k z k )Y (z) = N k=0 ( M k=0 Ratkaisemalla yhtälöstä Y (z) M k=0 a k z [( k k 1 l=0 b k z k )X(z) b k x(n + k). ] y(l)z l ) M k=1 Y (z) = H(z)X(z) + R(z). b k x [( k k 1 ] x(l)z l ). l=0 99

14 Systeemin siirtofunktio: H(z) = N k=0 N k=0 b k z k a k z k. Ominaisuuksia: Systeemin l. differenssiyhtälön rakenne. Rationaalifunktio. 100

15 Systeemin alkuehdot sisältyvät funktioon R(z) = M k=0 b k z [( k k 1 ] x(l)z l ) l=0 + N k=0 a k z [( k k 1 ] y(l)z l ). l=0 Jos kaikki alkuehdot ovat nollia: x(0) = = x(m) = 0, y(0) = = y(n) = 0, niin Y (z) = H(z)X(z). Impulssivaste= Siirtofunktion käänteismuunnos {h(n)}. Systeemi on kausaalinen, jos h(n) = 0, kun n <

16 5.4 Diskreetti systeemi Differenssiyhtälöä vastaa aina diskreettiaikainen systeemi, joka voidaan kuvat kolmen peruselementin yhdistelmillä: Summain x 1 (n) + x 1(n) + x 2 (n) x 2 (n) x(n) Kertoja a a x(n) Viive-elementti x(n 1) x(n) z 1 102

17 Esim. 9. Määrää akun differenssiyhtälö, ja impulssivaste: x(n) + z 1 y(n) 103

18 Ratk. Differenssiyhtälö: y(n) = x(n) + y(n 1). Z-muunnos: Y (z) = X(z) + z 1 Y (z) G(z) = Y (z) X(z) = 1 1 z 1. Akun impulssivaste: h(n) = u(n) = 1, n 0 0, n < 0. Systeemi on siis kausaalinen. 104

19 Esim. 10. Määrää diskreetin systeemin siirtofunktio ja impulssivaste. x(n) v(n) z 1 z 1 + y(n) 105

20 Ratk. Lisätään apumuuttuja v(n) (Jos systeemissä on m kappaletta summaimia, niin lisätään jokaisen summaimen jälkeen apumuuttuja, joten niitä on silloin m-1 kappaletta). Ensimmäisen summaimen jälkeen oleva apumuuttuja v(n) = x(n) + 1 v(n 2). 2 Toisen summaimen jälkeen tuleva muuttuja on systeemin vaste y(n) = v(n) + v(n 1). 106

21 Systeemiyhtälöpari Z-muunnetaan tilayhtälöt: y(n) = v(n) + v(n 1) x(n) = v(n) 1 v(n 2). 2 Y (z) = V (z) + z 1 V (z) = (1 + z 1 )V (z) X(z) = V (z) 1 2 z 2 V (z) = (1 1 2 z 2 )V (z). Näin ollen systeemin siirtofunktio on H(z) = Y (z) X(z) = 1 + z = 1 z 1 z z z 2, 107

22 Geometrisen sarjan summan avulla H(z) = n=0 ( 1 2 )n z 2n + Sarjat voidaan yhdistää sarjaksi n=0 ( 1 2 )n z (2n+1). H(z) = m=0 h(m)z m, missä h(m) = ( 1 2 ) m. Eksponentissa oleva "lattiafunktio" m on suurin kokonaisluku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin m. Näin ollen impulssivaste on jono {1,1, 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 8, 1 8,... }.

23 5.5 Systeemin stabiilisuudesta Diskreetin lineaarisen systeemin siirtofunktio H(z) = P(z) Q(z) Karakteristinen polynomi= Q(z) Siirtofunktion navat = Systeemin stabiilisuus Oletus: Navat a i, i = 1,..., N ovat yksinkertaisia. Siirtofunktio: H(z) = z d N i=1 B i z a i. Impulssivaste on geometristen lukujonojen {a n i } n=0 summa. 108

24 Impulssivaste lähenee nollaa, jos jokainen napojen määräämistä lukujonoista suppenee kohti nollaa, ts. lim n h(n) = 0 a i < 1, i = 1,..., N.

25 Lause 16. Diskreetti lineaarinen aikainvariantti (kausaalinen) systeemi on stabiili, jos ja vain jos siirtofunktion navat ovat yksikköympyrän sisällä. Jos yksikköympyrä sisältyy impulssivasteen Z-muunnoksen suppenemisalueeseen, niin silloin merkitsemällä z = e jω, saadaan taajuusvastefunktioksi G(ω) = H(e jω ) = n= h(n)e jωn impulssivasteen Fourier-muunnos ("ympäri käydään yhteen tullaan"). 109

26 Valtiollinen säätöjärjestelmä Tämä osa luennoista on ylikurssia. Laitan valtiollisen kontrollin malliesimerkin joskus tänne verkkosivuille. 110

27 Z-muunnoksia: Z(δ(n)) = 1, z C Z(δ(n n 0 )) = z n 0, z > 0 Z(u(n)) = z z 1, z > 1 Z( u( n 1)) = z z 1, z < 1 Z(a n u(n)) = z, z > a z a Z( b n u( n 1)) = z, z < b z b 111

28 Z(a n cos(ωn)u(n)) = Z(a n sin(ωn)u(n)) = Z(cos(ωn)u(n)) = Z(sin(ωn)u(n)) = Z(nu(n)) = z 2 az cos(ω) z 2 2az cos(ω) + a2, z > a az sin(ω) z 2 2az cos(ω) + a2, z > a z2 z cos(ω) z 2 2z cos(ω) + 1, z > 1 z sin(ω) z 2 2z cos(ω) + 1, z > 1 z (z 1) 2, z > 1 112