Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Transkriptio

1 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t / b u(tv(t a b a u (tv(t.. Tutki, ovatko seuraavat funktiot parillisia, parittomia vai eivät kumpaakaan: x + x, x, e x, e x, (sin x, x sin x, x cos x, e x. Ratkaisu: Määritelmä. Funktiota f(x sanotaan parilliseksi, jos pätee Funktio f(x on pariton, jos pätee f(x f(x. f(x f(x. Muissa tapauksissa funktio ei ole parillinen eikä pariton. Tutkitaan annettuja funktioita määritelmän perusteella ja luokitellaan funktiot parillisiin, parittomiin ja jämiin. (i f(x x + x. f(x (x x x x. Siispä funktio x + x ei ole parillinen eikä pariton. (ii f(x x. Näin ollen x on parillinen funktio. (iii f(x e x. f(x x x f(x. f(x e x. Siipä funktio e x ei ole parillinen eikä pariton. (iv f(x e x. Näin ollen e x on parillinen funktio. (v f(x (sin x. f(x e (x e x f(x. sin x pariton f(x [sin(x] ( sin x (sin x f(x. Näin ollen (sin x on parillinen funktio.

2 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 (vi f(x x sin x. f(x (x sin(x x ( sin x x sin x f(x. Näin ollen x sin x on parillinen funktio. (vii f(x x cos x. f(x (x cos(x Näin ollen x cos x on pariton funktio. (viii f(x e x cos x parillinen x cos x f(x. f(x e x e x f(x. Näin ollen e x on parillinen funktio.. Todista, että parillisen funktion kompleksiset Fourier-kertoimet ovat reaalisia ja parittoman puhtaasti imaginäärisiä. Mitä tämä tarkoittaa reaalisen Fourier-sarjan tapauksessa? Ratkaisu: Olkoon funktio f : [, R jatkettu -jaksolliseksi funktioksi R:ään. Olkoon funktion f(t kompleksinen Fourier-sarja esitys muotoa f(t k, missä kertoimet ˆf k f(te ikπt. Vastaavasti olkoon f(x:n reaalisen Fourier-sarjan esitys muotoa missä kertoimet a k f(t a + a k cos b k k ( kπt + b k sin ( kπt, ( kπt f(t cos, k,,,..., ( kπt f(t sin, k,,.... Väite: Jos funktio f(t on parillinen, niin sen kompleksiset Fourier-kertoimet ovat reaalisia. Vastaavasti, jos f(t on pariton, niin sen kompleksiset Fourierkertoimet ovat imaginärisiä.

3 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Todistus: Oletetaan aluksi, että f(t on parillinen funktio ja lasketaan f(t:n kompleksiset kertoimet ˆf k. ˆf k Euler f(te ikπt [ f(t cos ( kπt ( kπt f(t cos ( kπt f(t cos i sin if(t sin ( kπt f(t cos. R i ( ] kπt ( kπt ( kπt f(t sin, koska f(t sin( kπt on pariton. Eli jos funktio f(t on parillinen, niin sen kompleksiset Fourier-kertoimet ovat reaaliset. Vastaavasti, jos f(t on pariton funktio, niin saadaan ˆf k ( kπt f(t cos i, koska f(t cos( kπt joka on imaginäärinen. f(t sin ( kπt on pariton., i f(t sin ( kπt Reaalisen Fourier-sarjan kertoimet voidaan esittää kompleksisen Fourier-sarjan kertoimien avulla seuraavasti: { a k ˆf k + ˆf k, b k i( ˆf k ˆf k. Kun f(t on parillinen, saatiin että Fourier-kertoimet ovat reaalisia. Näin ollen reaalisen Fourier-sarjan kertoimet b k kaikilla k,,.... Vastaavasti kun f(t on pariton, niin kertoimet a k kaikilla k,,, aske tehtävän K funktiolle virheen suuruus, kun sitä approksimoidaan n:nnen asteen trigonometrisilla polynomeilla, n,, 3, 4, 5. Vihje: aske ˆf k e ikπt f, n,,..., 5. 3

4 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ratkaisu: Määritelmä. Olkoot f, g : [, C jatkuvia. Määritellään sisätulo f, g f(tg(t ja lisäksi normi f f, f. Tällöin virhetermi saadaan muotoon En ˆf k e ikπt f f ˆf k. Miksi näin? Tämä liittyy läheisesti Parsevalin kaavaan (luennoitsijan Fouriermuistiinpanot, sivu 4. Perustelukin on oleellisesti sama, mutta lasketaan se tähän auki. E n f ( n ( n [( n ( n f(t f(t ( n f(t ( n ˆf k e ikπt ( n ln + f(tf(t ˆf l e ilπt ] f(t ˆf k e ikπt f(t ( n f(t Nyt ja f(tf(t f(t f ( n f(t f(t ( n ˆf k e ikπt. 4

5 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Koska f(t ( n ˆf k e ikπt ˆf k f(te ikπt ˆf k ˆfk ˆf k on reaalinen, on siis oltava En ( n ( n ln ˆf l e ilπt ˆf k + f. Edelleen I : ( n ( n ln ln ˆf k ˆfl e i(klπt. ˆf l e ilπt Kun k l, saadaan k l ja siis e i πt. Toisaalta, kun k l m, Siispä e imπt I / imπ ln ˆf k ˆfk imπ e imπt imπ ( ( m ( m. ˆf k ˆfl ˆf k. ( e imπ e imπ e i(klπt Kun kaikki edellä oleva yhdistetään, saadaan lopulta haluttu tulos E n ˆf k Tehdään sitten käytännön laskut. ˆf k + f f ˆf k. 5

6 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Kotitehtävässä on ja Fourier-sarjan kertoimiksi saatiin {, k parillinen ˆf k. 4 k π, k pariton asketaan normin f neliö f 4 t 4 asketaan nyt virheet, kun n,, 3, 4, 5. ( 4 E E 3 4 π , [ ( E 4 E π + [ ( E π + t / 3 t3 3 ( ( 4 ] 9π.7684, ( 4 ( 9π + 4 ] 5π Olkoon f : [, R, f(t { t, t <, t, t <, jatkettu -jaksolliseksi funktioksi R:ään. Etsi funktion f(t kompleksinen ja reaalinen Fourier-sarja. Ratkaisu: asketaan ensin f(t:lle kompleksinen Fourier-sarja, jonka kertoimesta voidaan laskea reaalisen Fourier-sarja. Annetun funktion f(t jakso ei ole π, joten käytetään loppuviikon tehtävässä esiintynyttä Fourier-sarjan esitystä, missä. Näin ollen f(t:n kompleksinen Fourier-sarja saa muodon f(t k, ( missä ˆf k f(te ikπt. 6

7 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 (Huom. Koska sekä t f(t että t e ikπt ovat molemmat -jaksollisia funktioita, myös niiden tulo on ja siis pätee f(te ikπt f(te ikπt d+ d f(te ikπt. asketaan ensin kerroin ˆf ˆf / te iπt + t + t + / ( t ( te iπt t t 4 ( + [( 4 ( ] 4 +. Nyt muiden kertoimien ˆf k kimppuun Integoiraan I ja II erikseen. I os. int. / ˆf k te ikπt + I t u(t e ikπt v (t t ikπ eikπt ( te ikπt } {{ } II ikπ eikπt ikπ ( eikπ e ikπ / ikπ eikπ i k π (eikπ e ikπ i kπ eikπ + k π (eikπ i kπ eikπ + k π eikπ k π. (ikπ eikπt 7

8 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Seuraavaksi lausekkeen II kimppuun. II os. int. / ( te ikπt e ikπt t u(t e ikπt v (t [ / ] ikπ eikπt t ikπ eikπt ikπ eikπt ikπ (eikπ e ikπ ( eikπ ikπ e ikπ, k, k + / (ikπ eikπt ikπ ( e ikπ + e ikπ + i k π (eikπ e ikπ i kπ ( k π ( e ikπ i kπ k π + k π eikπ Kompleksisen Fourier-sarjan kertoimet ˆf k I + II kπ eikπ + k π eikπ k π }{{ } kπ + k π e ikπ I + ( kπ + k π., k i kπ k π + k π eikπ II Hirveän integroimistyön ja sieventämisen jälkeen saatiin ˆf k :t selville. Tutkitaan tarkemmin kertoimia ˆf k, kun k parillinen ja pariton. k parillinen: ˆf k kπ + k π kπ + k π. e ikπ,k parillinen kπ + k π kπ + k π 8

9 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 k pariton: Saatiin kertoimet ˆf k kπ + k π kπ + k π kπ + k π i kπ k π ikπ + k π. e ikπ,k pariton kπ + k π kπ + k π ˆf k {, kun k on parillinen, ikπ+ k π, kun k on pariton. Sijoitetaan kertoimet ˆf k yhtälöön (, jolloin saadaan k iπ 9π e 3iπt + + iπ π e ikπt + iπ + π e ikπt + 3iπ + 9π e 3iπt... Reaalisen Fourier-sarjan kertoimet saadaan yhtälöistä { a k ˆf k + ˆf k, b k i( ˆf k ˆf k. Kertoimet a k, b k kun k on parillinen. a k ˆf k + ˆf k ikπ + k π i(kπ + (k π ikπ + k π ikπ + k π 4 k π. 9

10 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Vastaavasti saadaan b k i( ˆf k ˆf k [ i ikπ + k π + i(kπ + ] (k π [ i ikπ + k π + ikπ + ] k π i ikπ k π kπ. Nyt f(t voidaan kirjoittaa muodossa. 5. Olkoon f : [ π, 3π R, f(t a + a k cos(kπt + b k sin(kπt, k { t, π f(t t < π, π, t < 3π, jatkettu π-jaksolliseksi funktioksi R:ään. Etsi funktion f(t kompleksinen ja reaalinen Fourier-sarja. Ratkaisu: asketaan ensin f(t:n kompleksinen Fourier-sarja ja päätellään sen kertoimista ˆf k reaalisen Fourier-sarjan kertoimet a k ja b k. Funktio f(t on π-periodinen, joten f(t:n Fourier-sarja on muotoa f(t k ˆf k e ikt, ( missä ˆf k π f(te ikt. π π

11 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 asketaan ensin kerroin ˆf. ˆf π π π π 4π. 3π π π π π π π / π f(te it. te it. t. t [ (π ( ] π

12 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Muiden kertoimien ˆf k kimppuun. ˆf k π π π Euler π π 3π π π π π π π π π π i π f(te ikt. te ikt + π te ikt 3π π t [cos(kt i sin(kt] t cos(kt, koska t cos(kt pariton π t u(t sin(kt v (t e ikt. i π t sin(kt π π parillinen [ os. int. i π / t ] π π k cos(kt k cos(kt [ i π π ( πk k cos + cos(k + k i π π ( πk k cos + ( πk k sin k i π i k cos [ π ( πk k cos ( πk i πk sin + ( ] πk k sin ( πk. π / ] k sin(kt sin(k Esim. kertoimet { ˆf 5,, ˆf 5 } { i 5π, i 8, i 9π, i 4, i π,, i π, i 4, i 9π, i 8, i 5π }. Tutkitaan seuraavaksi tapauksia, kun k on parillinen ja k pariton. k n: ˆf n i ( π n cos n i ( π π(n sin n i cos (πn i sin (πn n π(n ±, n ( n i n.

13 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 k n + : i ( π ˆf n+ (n + cos (n + i ( π π(n + sin (n + i (πn (n + cos + π i (πn }{{ } π(n + sin + π }{{ }, n ± ( n i π(n + i (n+ π(n +. Saatiin kertoimet, kun k, ˆf k ( k i k, kun k on parillinen, ( k+ i kun k on pariton. Huomautus: Kertoimille ˆf k pätee πk, ˆf k ˆf k. Saadut kertoimet voidaan sijoittaa kaavaan (, jolloin saadaan k ˆf k e ikt... + i 4 eit + i π eit + i π eit i 4 eit +... Reaalisen Fourier-sarjan kertoimet saadaan yhtälöistä { a k ˆf k + ˆf k, b k i( ˆf k ˆf k. Kertoimet ˆf k ovat imaginäärisiä, jolloin kertoimet a k kaikille k. b k i( ˆf k ˆf k ˆf k ˆf k k i ˆf k ( k + k k parillinen. ( k k pariton Ja reaaliseksi Fourier-sarjaksi saadaan k b k sin(kt π sin(t + sin(t 9π sin(3t 4 sin(4t +... πk 3

14 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 6. Tutki tehtävän 5 Fourier-sarjan suppenemista funktion f(t epäjatkuvuuskohdassa. Ratkaisu: Epäjatkuvuuskohdassa Fourier-sarja EI suppene funktion arvoon, vaan pätee ause 3. (uentomuistiinpanot s. 6 Olkoon f(t π-jaksollinen paloittain jatkuva funktio siten, että sillä on toispuoleiset derivaatat jokaisessa pisteessä. Silloin lim n ˆf k e ikt f +(t + f (t. asketaan loppuviikon tehtävän 5 reaalisen Fourier-sarja pisteessä π. Tällöin saadaan lauseen 3 nojalla ( kπ ( π b k sin b sin + b sin (π + b 3 sin k b b 3 + b 5 b Parittomat kertoimet b k voidaan laskea seuraavasti Nyt saadaan summaksi b k ( k ( kπ b k sin k k π. k π 4, ( 3kπ (k + π koska f(t:n toispuoleisten raja-arvojen keskiarvo on f + (t + f (t Saatiin epäjatkuvuuskohdalle yhtälö π 4 + π π 4. ( π + 9π + 5π + 49π Kerrotaan puolittain π ja jaetaan vielä luvulla, niin saadaan identiteetti π b 4 sin (π