d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

Transkriptio

1 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla erotusosamäärän rajaarvoa. 74. Todista: Jos f on derivoituva kohdassa a ja c on vakio, niin c f on derivoituva kohdassa a ja d f (c f ) = cd d d. 75. d Todista: d n = n n kaikilla R, n N. 76. Osoita esimerkillä, että f + g voi olla kaikkialla derivoituva, vaikka funktioilla f ja g ei ole millään muuttujan arvolla derivaattaa. 77. Funktio f on määritelty välillä ],[ ja derivaatta f on olemassa pisteessä = 0 (mutta ei välttämättä muualla). Määritä tarkasti perustellen f ( 2 ) f ( 2 ) lim f (0). 78. Funktio f toteuttakoon eräässä origon ympäristössä epäyhtälön f () 2. Todista, että f (0) on olemassa ja määritä sen arvo. Erotusosamäärälle saadaan seuraavaa: ( f (h) f (0))/h = f (h)/h h, mistä seuraa f (0) = Olkoon f () = 3. Määritä sups, kun { S = δ > 0 < δ = f f (a) < } 00

2 ja a) a = 0, b) a =, c) a = 3. Miten tehtävä liittyy derivaatan määritelmään? a) 0 ; b) 0 ( 226 5) ; c) 0 ( 90 30) Olkoon f (0) = 0 ja f (0) = 2. Todista, että on olemassa δ > 0 siten, että 0 < < δ = < f ()/ < Oletetaan, että f (a) on olemassa. Määritä seuraavat raja-arvot: a) f (a), b) f (a) a f (a). f (a + h 2 ) f (a h) f (a) a f () a) lim, b) lim. h 0 h a a 82. Olkoon f (a) olemassa. Määritä (α β) f (a). lim t 0 f (a + αt) f (a + βt). t 83. Muodosta funktion f () = / 2 differentiaali ja korjaustermi pisteessä = 2. Totea, että korjaustermin ε-funktiolla on vaadittu raja-arvo-ominaisuus. 84. Muodosta funktion f lisäys f = f ( + h) f (), vastaava differentiaali d f (, h) ja korjaustermi hε(, h), kun a) f () = 3, b) f () = , c) f () = 2 5 +, d) f () = 2. Tarkista, onko ε-funktiolla derivoituvuudessa vaadittu raja-arvo-ominaisuus. a) d f (,h) = 3 2 h, ε(,h) = 3h + h 2 ; b) d f (,h) = (6 5)h, ε(,h) = 3h; c) d f (,h) = 0h 5 + 2, 0h 3h + 2h2 ε(,h) = (5 + ) 2 ; d) d f (,h) = 2h, ε(,h) = (5 + + h) 3 3 ( + h) Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle a) 27, b) 3 727, c) 6 730, d) Määritä oikaisun itseisarvolle likimääräinen yläraja. Saadaanko ylä- vai alalikiarvo? a) , 6 < 5 0 3, ylälikiarvo; b) , 8 < 2 0 5, ylälikiarvo; c) , 5 < 8 0 7, ylälikiarvo; d) = 0,9750, 4 (0.00)2 < 4 0 5, ylälikiarvo. 86. Olkoon f () =

3 Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle f (7.005). Montako oikeaa desimaalia on vastauksessa? , 6 oikeaa desimaalia. 87. Laske likiarvo luvulle 90 valitsemalla a) = 8 ja = 9, b) = 00 ja = 0. Vertaa tulosta oikeaan 4-desimaaliseen likiarvoon a) 9.5, b) Osoita differentiaalikehitelmää käyttäen, että funktio f () = ( 2) 2 ei ole differentioituva kohdassa = Derivoimissääntöjä 89. Derivoi seuraavat funktiot: a) ( )( ), b) (4 + ) 2 ( 2 2) 3, c) d) ( a)( b), e) c +, f) 2 + 2, ( ) a) 4( 2 ), b) 2(4 + )( 2 2) 2, c) f) 5( + 2 ) 4 ( ) ( + ) Olkoon Määritä derivaatan f () nollakohdat. (2 ) ( + 2 ) 2, d) 2 2c + c(a + b) ab 4 ( c) 2, e) ( 2 ) 2, f () = (a2 + 2 ) 3 (b 3 ) 2. = 0, 2 = b a 2, jos a 0, b 0; = 0, jos a = 0, b 0; ei nollakohtia, jos a 0, b = 0; f () 0, jos a = b = Määritä f (n) (), kun f () on a) f () =, b) f () = +, c) f () = a (b + c) 2. a) n! ( ) n+, b) 2(n!) ( )n ( + ) n+, c) ( )n acn (n + )! (b + c) n+2.

4 92. Polynomilla p() = 3 + a 2 + b + c on nollakohta, joka on myös sen derivaattojen p ja p nollakohta. Osoita, että p on erään polynomin kuutio. p() = ( + a 3 ) Osoita, että jos ( c) 2 on polynomin p() tekijä, niin p (c) = 0. Etsi sellaiset luvut a, että polynomilla a on kaksinkertainen nollakohta. a = 48 tai a = 9680/ Funktion 3 + a 2 + b + c derivaatta häviää, kun = ja funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Määritä a, b ja c. a = 0, b = 3, c = Olkoot f ja g kolmesti derivoituvia ja w() = f ()g(). Laske w () ja w (). w () = f ()g() + 2 f ()g () + f ()g (), w () = f ()g() + 3 f ()g () + 3 f ()g () + f ()g (). 96. Piirrä funktion y = f () kuvaaja, etsi käänteiskuvauksen = g(y) lauseke ja piirrä kuvaaja seuraavien funktioiden tapauksissa; laske myös f ( 0 ) ja g (y 0 ) annetuissa pisteissä. Miten derivaattojen arvot sopivat yhteen käänteisfunktion derivaattaa koskevan lauseen kanssa? a) f () = 3, 0 = 2, y 0 = 5, b) f () =, 0 = 3, y 0 = 3 2, c) f () = +, 0 = 4, y 0 = , d) f () = 3 7, 0 = 8, y 0 = 29. a) 3 ( y), 3, 3, b) y, 4 9, 4 y 9, c) +y, 2 9, 9 7y+5 2, d) y 3, 26, Derivoi seuraavat funktiot: a) 2, b), c) + +, d) 4 (2 2 3 ) 3, e) a 2 2, f) +, g) a + b a b. a) 22 2, b) 7 8 /8, c) e) , d) 3 4 a 2 (a 2 2 ) 3/2, f) ( ) 2, g) ab a 2 b 2 2 (a b) ,

5 98. Määritä funktion y = käänteiskuvauksen ylemmän haaran derivaatta arvolla y = 2 a) käänteisfunktion derivoimissäännön avulla, b) määrittämällä käänteiskuvauksen lauseke Piirrä funktion y() = kuvaaja. Millä reaaliakselin alueilla funktiolla on käänteisfunktio (y)? Piirrä käänteisfunktioiden kuvaajat ja etsi niiden lausekkeet. Laske derivaatat y (3) ja (62). Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Miksi? (y) = y, y 2; 2 (y) = 2 + y, 2 y ; 3 (y) = 2 + y, 2 y ; 4 (y) = y, y 2; y (3) = 96, 4 (62) = / Olkoon s = s(t) derivoituva funktio siten, että t = f (s). Lausu s (t) muuttujan s avulla, kun a) f (s) = 3 2s + s 3, b) f (s) = s4 s+s 4. a) 20. 3s 2 2, b) (s s2 + s 3 ) 2 2s + 3s 2. Olkoon f () = f () kaikilla R. Todista, että jos g(y) on funktion f käänteisfunktio, niin g (y) = y. Älä käytä hyväksi tietoa, että f itse asiassa on muotoa f () = Ce, C vakio. g (y) = / f (g(y)) = / f (g(y)) = /y Funktio f olkoon funktion g käänteisfunktio, jolloin f () = y g(y) =. Olkoon g kahdesti derivoituva ja g (y) 0. Osoita: f () = g (y) g (y) 3. Johda vastaava kaava derivaatalle f () olettaen, että g on kolmesti derivoituva. f () = [ g (y)g (y) + 3g (y) 2 ]/g (y) Olkoon y = y() kahdesti derivoituva funktio siten, että a) 3 + y 3 =, b) y 2 2y + b 2 = 0, c) 4 + y 4 = 2 y 2, d) 4 y 4 = 4 + y 4. Lausu y () muuttujan ja funktion y avulla. a) 2y 5, b) b 2 ( y) 3, c) laskulla ei ole sisältöä, sillä välttämättä on = y = 0, d) 5y Alkeisfunktioiden derivaatat 204. Johda funktion arctan derivaatan lauseke lähtemällä tangentin derivaatasta.

6 205. Johda funktioiden arsinh ja arcosh derivaatat käänteisfunktion derivoimissääntöä käyttäen Derivoi funktiot a) e, b) (e + ). a) e ; b) ( + )e + 2 (e + ). Hermiten polynomit määritellään seuraavasti: 2 dn H n () = e d n e 2, n = 0,,2,.... Laske H 0 (), H (), H 2 () ja H 3 (). Osoita, että näillä on ominaisuudet a) H n+ () + 2H n () + 2nH n () = 0, b) H n () = H n () 2H n () Osoita, että funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön ( ) y = e 2m αt k sin m α2 4m 2 t m d2 y dt 2 + αdy + ky = 0. dt 209. Derivoi seuraavat funktiot: a) ln a + a, b) ln(ln), c) ln( ). a) 20. a a 2 2 ; b) ln ; c). + 2 Olkoon z() = lny(), missä y() on yhtälön = e y + y määrittelemä funktio. Laske z (e + ). /(e + ). 2. Olkoot f ja g kaksi kahdesti derivoituvaa funktiota, jotka toteuttavat identiteetin a f ()g() + b f () + cg() + d 0,

7 missä a, b, c ja d ovat vakioita. Olkoot lisäksi f, sen derivaatta f ja vakiot a ja c positiivisia. Osoita, että jos vakiot täyttävät sopivan ehdon, niin Dln f () g () = k f ()g (), missä k on vakio. Mikä on ehto ja mikä on vakio k? Ehto ad bc > 0, k = 2a/ ad bc. 22. Derivoi funktiot a) a /, b) a tan, c) log a, d) log 2 (log 3 (ln)). a) lna lna 2 a / ; b) cos 2 atan ; c) lna (ln) 2 ; d) (ln2)(ln)ln(ln). 23. Derivoi funktiot a), b) /, c) ln, d), e) ( ), f) a a. a) (ln + ); b) / 2 ( ln); c) 2 ln ln; d) [/ + ln + (ln) 2 ]; e) 2 + ( + 2ln); f) a a (lna + a). 24. Piirrä käyrä y = y. Laske y implisiittisellä derivoinnilla. y = y2 ylny 2 yln. 25. Derivoi seuraavat funktiot: ( a) cos n a ), b) sin, c) cot 3 + 2, d) cos 2 +. a) na 2 cosn ( a ) sin a ; d) ( ( + ) 2 sin 2 + ). cos / 2 b) 4 sin ; c) / 3 3 ( + 2 ) 2 sin 2 ( ) ; 26. Derivoi funktio cose sin. e sin (cos 2 sin). 27. Derivoi funktiot a) lncos, b) [sin(ln) + cos(ln).

8 a) tan / 2 ; b) 2cos(ln). 28. Määritä funktion arvo sellaisissa välin ]0,π/2[ pisteissä, missä f () = Millä muuttujan arvoilla funktio on derivoituva? f () = f () = 27 sin + 64 cos { 2 cos ( ), kun 0,, 0, kun = 0, = Lausu implisiittisen derivoinnin avulla y () muuttujien ja y funktiona, kun a) y + = sinycos, b) y = siny + cos. a) sinsiny + coscosy ; 22. sin + y b) cosy. Yhtälö y = sin( + ay), missä a, määrittelee funktion y = y() sen pisteen ympäristössä, missä yhtälön kuvaaja leikkaa positiivisen -akselin lähinnä origoa. Määritä funktion derivaatta tässä pisteessä. Piirrä kuvaaja. /(a + ) Derivoi funktio f () = 2arctan + arcsin Millä muuttujan arvoilla derivaatta on = 0? Piirrä funktion kuvaaja Derivoi funktiot a) arccos, b) arcsin 4, c) arccos b + acos a + bcos, ) d) 2 + arccos, e) ab arctan ( b a tan, f) ( 2 2)arcsin

9 a) 2 a ; b) 2 ; c) 2 b 2 sgn(sin) ; 4 a + bcos 2 d) ( 2 ) ; e) 2 acos 2 + bsin 2 ; f) 2arcsin Määritellään funktio f : R R asettamalla f () = 2 sin, kun 0, ja f (0) = lim 0 f (). Onko funktio jatkuva? Laske funktion derivaatta origossa. Osoita, että derivaattafunktio f ei ole jatkuva origossa Osoita, että funktio ( π y() = C sin +C 2 cos + cosln tan 4 ) 2 toteuttaa differentiaaliyhtälön y + y = tan. Luvut C ja C 2 ovat vakioita Derivoi funktiot a) ln(cosh ), b) arctan(tanh ), c) tanh(ln ). a) tanh ; b) 227. Derivoi funktiot cosh2 ; c) 4 ( 2 + ) 2. a) arsinhe, b) arcosh, c) 2artanh(tan 2 ), d) arcoth + 4. a) e e 2 + ; b) 2 ; c) cos ; d) Derivaatan ominaisuuksia 228. Osoita derivoimalla, että funktioiden erotus on vakio. Mikä on vakion arvo? Yhteinen derivaatta 24( + 3) 2, vakio = ja 2( + 5) + 3 Olkoon f derivoituva välillä I. Osoita, että derivaatan f kahden peräkkäisen nollakohdan välissä voi olla korkeintaan yksi funktion f nollakohta.

10 230. Olkoon p polynomi, jonka nollakohdat ovat reaaliset. Todista, että derivaattapolynomin p nollakohdat ovat myös reaaliset. 23. Määritä väliarvolauseessa esiintyvä ξ funktiolle a) välillä [36,49]; a) ξ = 69 4, b) ξ = 2 (a + b). b) A 2 + B +C välillä [a,b] Määritä väliarvolauseessa esiintyvä ξ funktiolle A + B C + D, välillä [a,b], joka ei sisällä epäjatkuvuuskohtaa = C D. Oletetaan AD BC 0, C 0. Jos C > 0, b < D/C tai C < 0, a > D/C, niin ξ = C [ D (Ca + D)(Cb + D)]; jos C > 0, a > D/C tai C < 0, b < D/C, niin ξ = C [ D + (Ca + D)(Cb + D)] Käyrän y = 4 pisteiden (,) ja (t,t 4 ) kautta asetetaan suora. Väliarvolauseen mukaan on käyrällä piste (c,c 4 ), jossa tangentti on mainitun suoran suuntainen. Tässä c = c(t). Määritä c(t) ja c (t), kun a) t = 0, b) t =. a) c(0) = 3 4, c (0) = ; b) c() = 0, c () = Funktio f olkoon jatkuva välillä [a,b] ja derivoituva arvolla 0 ]a,b[. Näytä, että on olemassa luku M > 0 siten, että [a,b] = f () f ( 0 ) M Olkoon f jatkuva välillä [a,b] ja derivoituva samalla välillä paitsi mahdollisesti arvolla 0 [a,b]. Todista, että jos lim 0 f () on olemassa ja on = A, niin f ( 0 ) on olemassa ja on = A Olkoon f derivoituva suljetulla välillä [a,b] ja f (a) = A sekä f (b) = B. Todista, että jos C on lukujen A ja B välissä oleva arvo, niin on olemassa arvo c ]a,b[ siten, että f (c) = C Osoita: 0 < a < b = a b < ln b a < b a.

11 Väliarvolause Todista, että jos p > 0, niin yhtälöllä 3 + p + q = 0 on vain yksi reaalijuuri Olkoon f joukossa R + positiivinen, aidosti kasvava ja derivoituva. Näytä, että myös funktio g() = [ f (/)] on joukossa R + aidosti kasvava. g () = 2 f (/) f (/) Määritä { inf a > a = ln > } Osoita, että a) funktio 2ln on kasvava, b) funktio + ln on vähenevä Olkoon a [0,[ vakio. Todista: [a,] = arcsin π 2 a Todista: arctan > 3 3 kaikilla > Määritä ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä + asin 2 = 0 on ratkaisu välillä [0,π/2]. a (4 π)/ Tutki seuraavien funktioiden ääriarvoja: a) y = 3 2a 2 + a 2, b) y = + a2, c) y = +, d) y = 2 2.

12 a) Jos a > 0, suht. maksimi y( a 3 ) = 4 27 a3, suht. minimi y(a) = 0; jos a < 0, suht. maksimi y(a) = 0, suht. minimi y( a 3 ) = 4 27 a3 ; b) suht. maksimi y( a) = 2a, suht. minimi y(a) = 2a (a > 0); c) abs. maksimi y( 3 4 ) = 5 4, suht. minimi y() = ; d) abs. maksimi y() =, abs. minimi y( ) =, suht. maksimi y( 2) = 0, suht. minimi y( 2) = Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat: a) sin + cos, b) cos(sin), c) + sin cos, sin + cos d) sincos, e) sin 2 + cos 2. a) Maksimi y(± π 4 +n2π) = 2, minimit y(π+n2π) =, y(n2π) = ; b) maksimi y(nπ) =, minimi y( π 2 +nπ) = cos; c) minimi y( π 2 +n2π) = 0; d) maksimi y( 5π 4 +n2π) = 2 2, minimi y( π 4 +n2π) = 2 2; e) maksimi y( π 2 + nπ) =, minimi y(nπ) = Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat: a) y = ln, b) y = e /, c) y = ( ). a) Maksimi y( e) = 4 e; b) minimi y() = e; c) minimi y( + e ) = e /e Määritä funktion y = 4 tanh + coth ääriarvot. Piirrä kuvaaja. Maksimi y( 2 ln3) = 4, minimi y( 2 ln3) = Tutki funktiota f () =, > 0. Määritä ääriarvot, piirrä kuvaaja Tutki, onko funktiolla f () = ( e ) 7 ( ) 3 suhteellista ääriarvoa origossa. Piirrä funktion kuvaaja. Ei. 25. Olkoot kaikkialla jatkuvan funktion ääriarvot oleellisia. Osoita, että maksimit ja minimit esiintyvät vuorotellen Olkoot käyrät y = f () ja y = g() alaspäin kuperia välillä [a,b]. Todista, että käyrä y = f () + g() on alaspäin kupera mainitulla välillä.

13 253. Määritä käyrän y = ääriarvopisteet ja käännepisteet. Millä muuttujan arvoilla käyrä on alaspäin, millä ylöspäin kupera? Piirrä kuvaaja Tutki seuraavien käyrien kuperuutta ja määritä käännepisteet: a) y = , b) y = ( 2 6) 5, c) y = + 2 +, d) 3 y = 2 + 3a 2, e) y = a 3 b. a) Alaspäin kupera välillä ] 3, 2[, käännepisteet ( 3, 294) ja (2, 4); b) alaspäin kupera väleillä ],0[, ]2,4[, ]6, [, käännepisteet (0,0), (2, 32768), (4, 32768), (6,0); c) alaspäin kupera väleillä ] 2 3, 2 + 3[, ], [, käännepisteet ( 2 3, 4 ( 3)), ( 2 + 3, 4 ( + 3)), (,); d) alaspäin kupera väleillä ], 3a[, ]0,3a[, käännepisteet ( 3a, 9a 4 ), (0,0), (3a, 9a 4 ) (A > 0); e) alaspäin kupera välillä ]b, [, käännepiste (b,a) Määritä käyrän y = sin 4 ääriarvo ja käännepisteet. Maksimi y( π 2 + nπ) =, minimi y(nπ) = 0, käännepisteet (± π 3 + nπ, 9 6 ) Määritä käyrien a) y = e, b) y = e 2 sin 2 ääriarvo- ja käännepisteet. Piirrä kuvaajat. a) Maksimi y() = /e, käännepiste (2,2e 2 ); b) maksimi y( 3π 4 + nπ) = 2 ep( 3π 2 + n2π), minimi y(nπ) = 0; käännepisteet ( 7π 2 + nπ, 4 (2 + 3)ep( 7π π 6 + n2π), ( 2 + nπ, 4 (2 3)ep( π 6 + n2π) Määritä käyrältä y = e ( )2 pisteet, joiden etäisyydellä pisteestä (, a) on ääriarvo. Määritä ääriarvojen lukumäärä ja laatu parametrin a eri arvoilla. Jos a 3 2, niin piste (,) antaa minimin; jos a > 2 3, niin piste (,) antaa maksimin ja pisteet ( ) ± ln a+ a 2 2 2, a+ a 2 2 minimin Millä vakioiden a ja b arvoilla piste (,3) on käyrän y = a 3 + b 2 käännepiste? a = 3 2, b = Olkoon kaikkialla kahdesti derivoituva funktio f kasvava ja alaspäin kupera. Osoita, että funktio g() = f ( 2 ) on alaspäin kupera.

14 260. Osoita, että käyrän y = 2 5 a4 5 6a a 2 3 käännepisteet ovat samalla suoralla. Määritä tämän suoran yksikkösuuntavektori. 26. Millä vakion a arvoilla käyrällä y = a ( + a) 2 on käännepisteitä? Määritä myös ääriarvopisteet ja asymptootit ja piirrä kuvaaja. Käännepiste (5a, 9a ), kun a 0; absoluuttinen maksimi y(3a) = 8a, kun a > 0; absoluuttinen minimi y(3a) = 8a, kun a < 0; suoraviivaiset asymptootit = a, y = 0.