d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali"

Transkriptio

1 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla erotusosamäärän rajaarvoa. 74. Todista: Jos f on derivoituva kohdassa a ja c on vakio, niin c f on derivoituva kohdassa a ja d f (c f ) = cd d d. 75. d Todista: d n = n n kaikilla R, n N. 76. Osoita esimerkillä, että f + g voi olla kaikkialla derivoituva, vaikka funktioilla f ja g ei ole millään muuttujan arvolla derivaattaa. 77. Funktio f on määritelty välillä ],[ ja derivaatta f on olemassa pisteessä = 0 (mutta ei välttämättä muualla). Määritä tarkasti perustellen f ( 2 ) f ( 2 ) lim f (0). 78. Funktio f toteuttakoon eräässä origon ympäristössä epäyhtälön f () 2. Todista, että f (0) on olemassa ja määritä sen arvo. Erotusosamäärälle saadaan seuraavaa: ( f (h) f (0))/h = f (h)/h h, mistä seuraa f (0) = Olkoon f () = 3. Määritä sups, kun { S = δ > 0 < δ = f f (a) < } 00

2 ja a) a = 0, b) a =, c) a = 3. Miten tehtävä liittyy derivaatan määritelmään? a) 0 ; b) 0 ( 226 5) ; c) 0 ( 90 30) Olkoon f (0) = 0 ja f (0) = 2. Todista, että on olemassa δ > 0 siten, että 0 < < δ = < f ()/ < Oletetaan, että f (a) on olemassa. Määritä seuraavat raja-arvot: a) f (a), b) f (a) a f (a). f (a + h 2 ) f (a h) f (a) a f () a) lim, b) lim. h 0 h a a 82. Olkoon f (a) olemassa. Määritä (α β) f (a). lim t 0 f (a + αt) f (a + βt). t 83. Muodosta funktion f () = / 2 differentiaali ja korjaustermi pisteessä = 2. Totea, että korjaustermin ε-funktiolla on vaadittu raja-arvo-ominaisuus. 84. Muodosta funktion f lisäys f = f ( + h) f (), vastaava differentiaali d f (, h) ja korjaustermi hε(, h), kun a) f () = 3, b) f () = , c) f () = 2 5 +, d) f () = 2. Tarkista, onko ε-funktiolla derivoituvuudessa vaadittu raja-arvo-ominaisuus. a) d f (,h) = 3 2 h, ε(,h) = 3h + h 2 ; b) d f (,h) = (6 5)h, ε(,h) = 3h; c) d f (,h) = 0h 5 + 2, 0h 3h + 2h2 ε(,h) = (5 + ) 2 ; d) d f (,h) = 2h, ε(,h) = (5 + + h) 3 3 ( + h) Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle a) 27, b) 3 727, c) 6 730, d) Määritä oikaisun itseisarvolle likimääräinen yläraja. Saadaanko ylä- vai alalikiarvo? a) , 6 < 5 0 3, ylälikiarvo; b) , 8 < 2 0 5, ylälikiarvo; c) , 5 < 8 0 7, ylälikiarvo; d) = 0,9750, 4 (0.00)2 < 4 0 5, ylälikiarvo. 86. Olkoon f () =

3 Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle f (7.005). Montako oikeaa desimaalia on vastauksessa? , 6 oikeaa desimaalia. 87. Laske likiarvo luvulle 90 valitsemalla a) = 8 ja = 9, b) = 00 ja = 0. Vertaa tulosta oikeaan 4-desimaaliseen likiarvoon a) 9.5, b) Osoita differentiaalikehitelmää käyttäen, että funktio f () = ( 2) 2 ei ole differentioituva kohdassa = Derivoimissääntöjä 89. Derivoi seuraavat funktiot: a) ( )( ), b) (4 + ) 2 ( 2 2) 3, c) d) ( a)( b), e) c +, f) 2 + 2, ( ) a) 4( 2 ), b) 2(4 + )( 2 2) 2, c) f) 5( + 2 ) 4 ( ) ( + ) Olkoon Määritä derivaatan f () nollakohdat. (2 ) ( + 2 ) 2, d) 2 2c + c(a + b) ab 4 ( c) 2, e) ( 2 ) 2, f () = (a2 + 2 ) 3 (b 3 ) 2. = 0, 2 = b a 2, jos a 0, b 0; = 0, jos a = 0, b 0; ei nollakohtia, jos a 0, b = 0; f () 0, jos a = b = Määritä f (n) (), kun f () on a) f () =, b) f () = +, c) f () = a (b + c) 2. a) n! ( ) n+, b) 2(n!) ( )n ( + ) n+, c) ( )n acn (n + )! (b + c) n+2.

4 92. Polynomilla p() = 3 + a 2 + b + c on nollakohta, joka on myös sen derivaattojen p ja p nollakohta. Osoita, että p on erään polynomin kuutio. p() = ( + a 3 ) Osoita, että jos ( c) 2 on polynomin p() tekijä, niin p (c) = 0. Etsi sellaiset luvut a, että polynomilla a on kaksinkertainen nollakohta. a = 48 tai a = 9680/ Funktion 3 + a 2 + b + c derivaatta häviää, kun = ja funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Määritä a, b ja c. a = 0, b = 3, c = Olkoot f ja g kolmesti derivoituvia ja w() = f ()g(). Laske w () ja w (). w () = f ()g() + 2 f ()g () + f ()g (), w () = f ()g() + 3 f ()g () + 3 f ()g () + f ()g (). 96. Piirrä funktion y = f () kuvaaja, etsi käänteiskuvauksen = g(y) lauseke ja piirrä kuvaaja seuraavien funktioiden tapauksissa; laske myös f ( 0 ) ja g (y 0 ) annetuissa pisteissä. Miten derivaattojen arvot sopivat yhteen käänteisfunktion derivaattaa koskevan lauseen kanssa? a) f () = 3, 0 = 2, y 0 = 5, b) f () =, 0 = 3, y 0 = 3 2, c) f () = +, 0 = 4, y 0 = , d) f () = 3 7, 0 = 8, y 0 = 29. a) 3 ( y), 3, 3, b) y, 4 9, 4 y 9, c) +y, 2 9, 9 7y+5 2, d) y 3, 26, Derivoi seuraavat funktiot: a) 2, b), c) + +, d) 4 (2 2 3 ) 3, e) a 2 2, f) +, g) a + b a b. a) 22 2, b) 7 8 /8, c) e) , d) 3 4 a 2 (a 2 2 ) 3/2, f) ( ) 2, g) ab a 2 b 2 2 (a b) ,

5 98. Määritä funktion y = käänteiskuvauksen ylemmän haaran derivaatta arvolla y = 2 a) käänteisfunktion derivoimissäännön avulla, b) määrittämällä käänteiskuvauksen lauseke Piirrä funktion y() = kuvaaja. Millä reaaliakselin alueilla funktiolla on käänteisfunktio (y)? Piirrä käänteisfunktioiden kuvaajat ja etsi niiden lausekkeet. Laske derivaatat y (3) ja (62). Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Miksi? (y) = y, y 2; 2 (y) = 2 + y, 2 y ; 3 (y) = 2 + y, 2 y ; 4 (y) = y, y 2; y (3) = 96, 4 (62) = / Olkoon s = s(t) derivoituva funktio siten, että t = f (s). Lausu s (t) muuttujan s avulla, kun a) f (s) = 3 2s + s 3, b) f (s) = s4 s+s 4. a) 20. 3s 2 2, b) (s s2 + s 3 ) 2 2s + 3s 2. Olkoon f () = f () kaikilla R. Todista, että jos g(y) on funktion f käänteisfunktio, niin g (y) = y. Älä käytä hyväksi tietoa, että f itse asiassa on muotoa f () = Ce, C vakio. g (y) = / f (g(y)) = / f (g(y)) = /y Funktio f olkoon funktion g käänteisfunktio, jolloin f () = y g(y) =. Olkoon g kahdesti derivoituva ja g (y) 0. Osoita: f () = g (y) g (y) 3. Johda vastaava kaava derivaatalle f () olettaen, että g on kolmesti derivoituva. f () = [ g (y)g (y) + 3g (y) 2 ]/g (y) Olkoon y = y() kahdesti derivoituva funktio siten, että a) 3 + y 3 =, b) y 2 2y + b 2 = 0, c) 4 + y 4 = 2 y 2, d) 4 y 4 = 4 + y 4. Lausu y () muuttujan ja funktion y avulla. a) 2y 5, b) b 2 ( y) 3, c) laskulla ei ole sisältöä, sillä välttämättä on = y = 0, d) 5y Alkeisfunktioiden derivaatat 204. Johda funktion arctan derivaatan lauseke lähtemällä tangentin derivaatasta.

6 205. Johda funktioiden arsinh ja arcosh derivaatat käänteisfunktion derivoimissääntöä käyttäen Derivoi funktiot a) e, b) (e + ). a) e ; b) ( + )e + 2 (e + ). Hermiten polynomit määritellään seuraavasti: 2 dn H n () = e d n e 2, n = 0,,2,.... Laske H 0 (), H (), H 2 () ja H 3 (). Osoita, että näillä on ominaisuudet a) H n+ () + 2H n () + 2nH n () = 0, b) H n () = H n () 2H n () Osoita, että funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön ( ) y = e 2m αt k sin m α2 4m 2 t m d2 y dt 2 + αdy + ky = 0. dt 209. Derivoi seuraavat funktiot: a) ln a + a, b) ln(ln), c) ln( ). a) 20. a a 2 2 ; b) ln ; c). + 2 Olkoon z() = lny(), missä y() on yhtälön = e y + y määrittelemä funktio. Laske z (e + ). /(e + ). 2. Olkoot f ja g kaksi kahdesti derivoituvaa funktiota, jotka toteuttavat identiteetin a f ()g() + b f () + cg() + d 0,

7 missä a, b, c ja d ovat vakioita. Olkoot lisäksi f, sen derivaatta f ja vakiot a ja c positiivisia. Osoita, että jos vakiot täyttävät sopivan ehdon, niin Dln f () g () = k f ()g (), missä k on vakio. Mikä on ehto ja mikä on vakio k? Ehto ad bc > 0, k = 2a/ ad bc. 22. Derivoi funktiot a) a /, b) a tan, c) log a, d) log 2 (log 3 (ln)). a) lna lna 2 a / ; b) cos 2 atan ; c) lna (ln) 2 ; d) (ln2)(ln)ln(ln). 23. Derivoi funktiot a), b) /, c) ln, d), e) ( ), f) a a. a) (ln + ); b) / 2 ( ln); c) 2 ln ln; d) [/ + ln + (ln) 2 ]; e) 2 + ( + 2ln); f) a a (lna + a). 24. Piirrä käyrä y = y. Laske y implisiittisellä derivoinnilla. y = y2 ylny 2 yln. 25. Derivoi seuraavat funktiot: ( a) cos n a ), b) sin, c) cot 3 + 2, d) cos 2 +. a) na 2 cosn ( a ) sin a ; d) ( ( + ) 2 sin 2 + ). cos / 2 b) 4 sin ; c) / 3 3 ( + 2 ) 2 sin 2 ( ) ; 26. Derivoi funktio cose sin. e sin (cos 2 sin). 27. Derivoi funktiot a) lncos, b) [sin(ln) + cos(ln).

8 a) tan / 2 ; b) 2cos(ln). 28. Määritä funktion arvo sellaisissa välin ]0,π/2[ pisteissä, missä f () = Millä muuttujan arvoilla funktio on derivoituva? f () = f () = 27 sin + 64 cos { 2 cos ( ), kun 0,, 0, kun = 0, = Lausu implisiittisen derivoinnin avulla y () muuttujien ja y funktiona, kun a) y + = sinycos, b) y = siny + cos. a) sinsiny + coscosy ; 22. sin + y b) cosy. Yhtälö y = sin( + ay), missä a, määrittelee funktion y = y() sen pisteen ympäristössä, missä yhtälön kuvaaja leikkaa positiivisen -akselin lähinnä origoa. Määritä funktion derivaatta tässä pisteessä. Piirrä kuvaaja. /(a + ) Derivoi funktio f () = 2arctan + arcsin Millä muuttujan arvoilla derivaatta on = 0? Piirrä funktion kuvaaja Derivoi funktiot a) arccos, b) arcsin 4, c) arccos b + acos a + bcos, ) d) 2 + arccos, e) ab arctan ( b a tan, f) ( 2 2)arcsin

9 a) 2 a ; b) 2 ; c) 2 b 2 sgn(sin) ; 4 a + bcos 2 d) ( 2 ) ; e) 2 acos 2 + bsin 2 ; f) 2arcsin Määritellään funktio f : R R asettamalla f () = 2 sin, kun 0, ja f (0) = lim 0 f (). Onko funktio jatkuva? Laske funktion derivaatta origossa. Osoita, että derivaattafunktio f ei ole jatkuva origossa Osoita, että funktio ( π y() = C sin +C 2 cos + cosln tan 4 ) 2 toteuttaa differentiaaliyhtälön y + y = tan. Luvut C ja C 2 ovat vakioita Derivoi funktiot a) ln(cosh ), b) arctan(tanh ), c) tanh(ln ). a) tanh ; b) 227. Derivoi funktiot cosh2 ; c) 4 ( 2 + ) 2. a) arsinhe, b) arcosh, c) 2artanh(tan 2 ), d) arcoth + 4. a) e e 2 + ; b) 2 ; c) cos ; d) Derivaatan ominaisuuksia 228. Osoita derivoimalla, että funktioiden erotus on vakio. Mikä on vakion arvo? Yhteinen derivaatta 24( + 3) 2, vakio = ja 2( + 5) + 3 Olkoon f derivoituva välillä I. Osoita, että derivaatan f kahden peräkkäisen nollakohdan välissä voi olla korkeintaan yksi funktion f nollakohta.

10 230. Olkoon p polynomi, jonka nollakohdat ovat reaaliset. Todista, että derivaattapolynomin p nollakohdat ovat myös reaaliset. 23. Määritä väliarvolauseessa esiintyvä ξ funktiolle a) välillä [36,49]; a) ξ = 69 4, b) ξ = 2 (a + b). b) A 2 + B +C välillä [a,b] Määritä väliarvolauseessa esiintyvä ξ funktiolle A + B C + D, välillä [a,b], joka ei sisällä epäjatkuvuuskohtaa = C D. Oletetaan AD BC 0, C 0. Jos C > 0, b < D/C tai C < 0, a > D/C, niin ξ = C [ D (Ca + D)(Cb + D)]; jos C > 0, a > D/C tai C < 0, b < D/C, niin ξ = C [ D + (Ca + D)(Cb + D)] Käyrän y = 4 pisteiden (,) ja (t,t 4 ) kautta asetetaan suora. Väliarvolauseen mukaan on käyrällä piste (c,c 4 ), jossa tangentti on mainitun suoran suuntainen. Tässä c = c(t). Määritä c(t) ja c (t), kun a) t = 0, b) t =. a) c(0) = 3 4, c (0) = ; b) c() = 0, c () = Funktio f olkoon jatkuva välillä [a,b] ja derivoituva arvolla 0 ]a,b[. Näytä, että on olemassa luku M > 0 siten, että [a,b] = f () f ( 0 ) M Olkoon f jatkuva välillä [a,b] ja derivoituva samalla välillä paitsi mahdollisesti arvolla 0 [a,b]. Todista, että jos lim 0 f () on olemassa ja on = A, niin f ( 0 ) on olemassa ja on = A Olkoon f derivoituva suljetulla välillä [a,b] ja f (a) = A sekä f (b) = B. Todista, että jos C on lukujen A ja B välissä oleva arvo, niin on olemassa arvo c ]a,b[ siten, että f (c) = C Osoita: 0 < a < b = a b < ln b a < b a.

11 Väliarvolause Todista, että jos p > 0, niin yhtälöllä 3 + p + q = 0 on vain yksi reaalijuuri Olkoon f joukossa R + positiivinen, aidosti kasvava ja derivoituva. Näytä, että myös funktio g() = [ f (/)] on joukossa R + aidosti kasvava. g () = 2 f (/) f (/) Määritä { inf a > a = ln > } Osoita, että a) funktio 2ln on kasvava, b) funktio + ln on vähenevä Olkoon a [0,[ vakio. Todista: [a,] = arcsin π 2 a Todista: arctan > 3 3 kaikilla > Määritä ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä + asin 2 = 0 on ratkaisu välillä [0,π/2]. a (4 π)/ Tutki seuraavien funktioiden ääriarvoja: a) y = 3 2a 2 + a 2, b) y = + a2, c) y = +, d) y = 2 2.

12 a) Jos a > 0, suht. maksimi y( a 3 ) = 4 27 a3, suht. minimi y(a) = 0; jos a < 0, suht. maksimi y(a) = 0, suht. minimi y( a 3 ) = 4 27 a3 ; b) suht. maksimi y( a) = 2a, suht. minimi y(a) = 2a (a > 0); c) abs. maksimi y( 3 4 ) = 5 4, suht. minimi y() = ; d) abs. maksimi y() =, abs. minimi y( ) =, suht. maksimi y( 2) = 0, suht. minimi y( 2) = Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat: a) sin + cos, b) cos(sin), c) + sin cos, sin + cos d) sincos, e) sin 2 + cos 2. a) Maksimi y(± π 4 +n2π) = 2, minimit y(π+n2π) =, y(n2π) = ; b) maksimi y(nπ) =, minimi y( π 2 +nπ) = cos; c) minimi y( π 2 +n2π) = 0; d) maksimi y( 5π 4 +n2π) = 2 2, minimi y( π 4 +n2π) = 2 2; e) maksimi y( π 2 + nπ) =, minimi y(nπ) = Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat: a) y = ln, b) y = e /, c) y = ( ). a) Maksimi y( e) = 4 e; b) minimi y() = e; c) minimi y( + e ) = e /e Määritä funktion y = 4 tanh + coth ääriarvot. Piirrä kuvaaja. Maksimi y( 2 ln3) = 4, minimi y( 2 ln3) = Tutki funktiota f () =, > 0. Määritä ääriarvot, piirrä kuvaaja Tutki, onko funktiolla f () = ( e ) 7 ( ) 3 suhteellista ääriarvoa origossa. Piirrä funktion kuvaaja. Ei. 25. Olkoot kaikkialla jatkuvan funktion ääriarvot oleellisia. Osoita, että maksimit ja minimit esiintyvät vuorotellen Olkoot käyrät y = f () ja y = g() alaspäin kuperia välillä [a,b]. Todista, että käyrä y = f () + g() on alaspäin kupera mainitulla välillä.

13 253. Määritä käyrän y = ääriarvopisteet ja käännepisteet. Millä muuttujan arvoilla käyrä on alaspäin, millä ylöspäin kupera? Piirrä kuvaaja Tutki seuraavien käyrien kuperuutta ja määritä käännepisteet: a) y = , b) y = ( 2 6) 5, c) y = + 2 +, d) 3 y = 2 + 3a 2, e) y = a 3 b. a) Alaspäin kupera välillä ] 3, 2[, käännepisteet ( 3, 294) ja (2, 4); b) alaspäin kupera väleillä ],0[, ]2,4[, ]6, [, käännepisteet (0,0), (2, 32768), (4, 32768), (6,0); c) alaspäin kupera väleillä ] 2 3, 2 + 3[, ], [, käännepisteet ( 2 3, 4 ( 3)), ( 2 + 3, 4 ( + 3)), (,); d) alaspäin kupera väleillä ], 3a[, ]0,3a[, käännepisteet ( 3a, 9a 4 ), (0,0), (3a, 9a 4 ) (A > 0); e) alaspäin kupera välillä ]b, [, käännepiste (b,a) Määritä käyrän y = sin 4 ääriarvo ja käännepisteet. Maksimi y( π 2 + nπ) =, minimi y(nπ) = 0, käännepisteet (± π 3 + nπ, 9 6 ) Määritä käyrien a) y = e, b) y = e 2 sin 2 ääriarvo- ja käännepisteet. Piirrä kuvaajat. a) Maksimi y() = /e, käännepiste (2,2e 2 ); b) maksimi y( 3π 4 + nπ) = 2 ep( 3π 2 + n2π), minimi y(nπ) = 0; käännepisteet ( 7π 2 + nπ, 4 (2 + 3)ep( 7π π 6 + n2π), ( 2 + nπ, 4 (2 3)ep( π 6 + n2π) Määritä käyrältä y = e ( )2 pisteet, joiden etäisyydellä pisteestä (, a) on ääriarvo. Määritä ääriarvojen lukumäärä ja laatu parametrin a eri arvoilla. Jos a 3 2, niin piste (,) antaa minimin; jos a > 2 3, niin piste (,) antaa maksimin ja pisteet ( ) ± ln a+ a 2 2 2, a+ a 2 2 minimin Millä vakioiden a ja b arvoilla piste (,3) on käyrän y = a 3 + b 2 käännepiste? a = 3 2, b = Olkoon kaikkialla kahdesti derivoituva funktio f kasvava ja alaspäin kupera. Osoita, että funktio g() = f ( 2 ) on alaspäin kupera.

14 260. Osoita, että käyrän y = 2 5 a4 5 6a a 2 3 käännepisteet ovat samalla suoralla. Määritä tämän suoran yksikkösuuntavektori. 26. Millä vakion a arvoilla käyrällä y = a ( + a) 2 on käännepisteitä? Määritä myös ääriarvopisteet ja asymptootit ja piirrä kuvaaja. Käännepiste (5a, 9a ), kun a 0; absoluuttinen maksimi y(3a) = 8a, kun a > 0; absoluuttinen minimi y(3a) = 8a, kun a < 0; suoraviivaiset asymptootit = a, y = 0.

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ... 4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p()

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0

lnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0 BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

HARJOITUKSIA, SYKSY x

HARJOITUKSIA, SYKSY x Matematiikan perusmetodit I/Mat HARJOITUKSIA, SYKSY 006. Johda yhtälön ax + bx + c =0(a 0) ratkaisukaava. Tarkastele ensin esimerkkinä yhtälöä x +5x +6=0.. Mitä alkioita kuuluu joukkoon A = {x R x = }?

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot