763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

Transkriptio

1 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee mielivaltaiselle pisteelle P = (, y). Esitetään tämä kulman α ja etäisyyden origosta r avulla, Muunnos antaa -koordinaatille ja y-koordinaatille = r cos α, y = r sin α. = r cos α cos φ + r sin α sin φ = r (cos α cos φ + sin α sin φ) = r cos(α φ), y = r cos α sin φ + r sin α cos φ = r ( cos α sin φ + sin α cos φ) = r sin(α φ). Eli uudessa koordinaatistossa piste P = (, y ) on yhä r:n päässä origosta, mutta kulma - akselista on nyt α φ. Uusi koordinaatisto on siten saatu kiertämällä vanhaa φ:n verran vastapäivään. Muunnosmatriisi on siis se matriisi, jolla kertomalla saadaan (, y):stä (, y ). Matriisi löytyy kaavasta (1), kun matriisin (vaaka)riveille poimitaan :n ja y:n kertoimet: ( ) ( ) ( cos φ sin φ y = sin φ cos φ y ), (2) eli muunnosmatriisi R(φ) on ( cos φ sin φ R(φ) = sin φ cos φ ). (3) Muunnosmatriisi todellakin kuvaa rotaatiota, sillä DetR(φ)] = 1.

2 (b) Kirjoitetaan yhtälö matriisimuotoon ihan samoin kuin edellä, paitsi että kullekin matriisin riville haetaan ct,, y, ja z:n kertoimet, ja muistetaan yhtälöt ct:lle ja z:lle. Kaikki yhdessä: ct = ct, = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, z = z. Selvyyden vuoksi täytetään puuttuvat kertoimet: ct = 1 ct + + y + z, = ct + cos φ + sin φ y + z, y = ct sin φ + cos φ y + y, z = ct + + y + 1 z. Poimitaan nyt kerroinmatriisi ylläolevista yhtälöistä: ct y z = 1 cos φ sin φ sin φ cos φ 1 ct y z. (c) Lorentz-muunnoksen muoto y-suuntaisen liikkeen tapauksessa on melko helppo arvata, kun muistaa muunnoksen -suuntaiselle liikkeelle: koordinaatit ja y vain vaihtavat rooleja. Eli, Lorentz muunnos on nyt =, y = γ(y vt), z = z, t = γ(t vy/c 2 ), missä γ = 1/ 1 v 2 /c 2. Jälleen, lisätään tässä puuttuvat kertoimet, jotta varmasti tulee selväksi miten muunnosmatriisi muodostetaan. Lisäksi kirjoitetaan yhtälöt ct:lle t:n sijaan: ct = γ ct + γv/c y + z, = ct y + z, y = γv/c ct + + γ y + z, z = ct + + y + 1 z. Eli matriisimuodossa: ct y z = γ γv/c 1 γv/c γ 1 ct y z. Nelivektorimuodossa tämä voidaan ilmaista seuraavasti ( ) ν = Λ ν µ µ, missä Λ ν µ on Lorentz-muunnosta vastaava tensori (esimerkiksi yllä määritetty matriisi).

3 2. s 2 tulkinta (a) Oletetaan siis, että s 2 = c 2 t 2 2 > koorinaatistossa K. Siirrytään koordinaatistoon K, jossa oletetaan olevan voimassa =. Nyt Lorentz-muunnoksen nojalla pätee = v t 1 v2 /c. 2 Tällöin saadaan koordinaastistojen väliseksi suhteelliseksi nopeudeksi, että v t = eli v = / t. Vielä täytyy tarkistaa, että v = t < c, mutta tämä seuraa ehdosta s 2 = c 2 t 2 2 >, josta saadaan arvio < c t. Tapahtumien aikaeroksi voidaan laskea δτ = t Lorentz-muunoksesta tai käyttämällä suureen s 2 invarianttisuutta ja laskemalla koordinaatistossa K s 2 = c 2 t 2 2 = c 2 t 2 = c 2 τ 2. (b) Nyt s 2 <. Etenemällä samaan tapaan kuin edellä eli valitaan koordinaatistoksi K siten, että t =. Lorenz-muunoksen t = t (v/c2 ), 1 v2 /c 2 jolloin saadaan koordinaatistojen väliseksi suhteelliseksi nopeudeksi v = t c2. Vaatimus s 2 < antaa, että > c t. Näin ollen v < c. Toisin sanoen, kun s 2 <, on olemassa koordinaatisto, jossa tapahtumat ovat samanaikaisia. Lisäksi s 2 = c 2 t 2 2 = 2 eli s 2 voidaan tulkita tapahtumien paikkoeroksi edellä valitussa koordinaatistossa K. 3. Kaksosparadoksi karusellissa (a) Karusellissa matkustavan maailmanviiva on spiraali. Ajan edetessä karuselli kiertää 1 m säteistä kehää.

4 (b) Olkoon T = 5 s aika, jossa karuselli tekee yhden kierroksen. Karusellin vieressä (nopeus u = ) kulunut itseisaika on tietenkin T τ = 1 u2 c 2 dt = 1 dt = T. Karusellissa, u = 2π 1 m/5 s 12.6 m/s, Näiden ero on siten τ = τ τ = (1 1 u 2 /c 2 )T ( u 2 )] 2 c 2 T = u2 2c 2 T s. 1 u2 c 2 dt = T 1 u 2 /c 2. Neliöjuurilauseke todella lähellä ykköstä. Arvioidaan sitä Taylorin sarjan ensimmäisillä termeillä. (c) Karusellin kyydissä olevan mielestä vieressä seisovan aika vaikuttaa kuluvan hitaammin, joten voisi ajatella, että ominaisajat ovat yhtä suuret. Karusellissa liike on kuitenkin kiihtyvää, minkä vuoksi tilanne ei ole symmetrinen. 4. Ominaisaika kiihtyvässä liikkeessä Kuvaan on piirretty r(t), sekä siitä saatu nopeus u, ja ominaisajan laskemisessa tarvittava 1 u 2 /c 2. Olkoon T matkaan käytetty aika. Hetkellä t = T on matkaaja takaisin kotona, eli r(t ) = r() =. r(t ) = R ( 1 cos 2cT ) =, 2 R eli cos 2cT/R = 1, mikä toteutuu toisen kerran, kun 2cT/R = 2π. Matka-ajaksi saadaan siis T = πr c.

5 Nopeus saadaan derivoimalla t:n suhteen, Koska sinin maksimi on 1, on maksiminopeus c. Ominaisaika on nyt τ 2 τ 1 = = = 2 = 2 t2 t 1 = 2 R 2c = R c /2 u(t) = dr dt (t) = R 2 ( 1)2c 2ct 2ct sin = c sin R R R. 1 u2 c 2 dt = 2ct cos R dt 2ct cos R dt /4 = 2R c. 1 1 c 2 c2 sin 2 2ct dt R }{{} = cos 2 2ct/R = cos 2ct/R /2 cos 2ct R dt 2 T/4 sin ct ] 2R 2 R 2c sin π 2 sin π + sin π ] 2 Kosinin integraali koko jakson yli on sama kuin kaksi kertaa kosinin integraali puolen jakson yli. Jaetaan integraali osiin, joissa cos:n merkki vakio. Merkki vaihtuu jakson neljäsosan kohdalla. cos 2ct R dt Miinus-merkki jälkimmäisessä osassa on peräisin itseisarvosta. sin ct ] ct sin ct/r = π R 2R Siis tuloksena saadaan, että matkaajalle τ = 8a ja Maassa t = 4πa. Suhteellisuusteorian 1 laskareiden tehtävän vakionopeudella v = (3/4)c vastaavat arvot olivat matkaajalle τ = 6a ja Maassa t = 1a. Siis matkaaja vanhenee hitaamin.