Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Transkriptio

1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

2 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän periaate Dynaamisen systeemin stabiilisuus Dynaamisen systeemin esitystavat: tilayhtälömalli ja siirtofunktio PID-säädin ja tilatakaisinkytkentä Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 2

3 Säätötekniikka Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa dynaamisen systeemin toimimaan halutulla tavalla. - Servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti, esim. teollisuusrobotin asennonsäätö. - Stabilointiongelma: ulostulon oltava vakio systeemiin vaikuttavista häiriöstä riippumatta, esim. säiliön pinnankorkeuden säätö, vaihtovirtageneraattorin kierrosluku. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 3

4 Takaisinkytkentä Takaisinkytkentä ulostulosta erosuureen e(t) muodossa. - Jos e(t) = 0 OK! Muuten korjaa u(t):tä kunnes e(t) = 0. Säätöongelma: valitse säädin - Rakenne: PID, tilatakaisinkytkentä, sumea logiikka... - Parametrit säätimelle Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 4

5 Avoin ohjaus vs. takaisinkytkentä Avoin silmukka (open loop): ei takaisinkytkentää. - Ohjaus muodostetaan ilman ulostuloa. - Esim. Auton ohjaus silmät kiinni kartassa olevan tien muodon perusteella. - Ongelma: Häiriöitä ei voida kompensoida. Suljettu silmukka (closed loop): takaisinkytkentä. - Hyödynnetään systeemin ulostuloa ohjauksen muodostamisessa. - Esim. Autolla ajo: Muodostetaan ohjaus näköhavaintojen perusteella s.e. pysytään tiellä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 5

6 Mielenkiintoisia kysymyksiä Onko systeemi rakenteeltaan sellainen, että sitä voidaan hallita? - Systeemi on ohjattava, jos se voidaan palauttaa nollatilaan (äärellisessä ajassa). Tarvitseeko systeemi erityistä hallintaa? (stabiilius) Miten sitä hallitaan? (säätöteoria/ -tekniikka) Miten hallitaan parhaalla mahdollisella tavalla? (dynaaminen optimointi) Mitä systeemin sielunelämästä voidaan sanoa? - Systeemi on tarkkailtava, jos tila voidaan rekonstruoida ohjauksen ja ulostulon perusteella. Miten sielunelämää havaitaan? (tilahavaitseminen) - Kalman-suodin (Käytetään mm. GPS-paikantimissa) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 6

7 Stabiilisuus 1/3 Klassisen mekaniikan stabiilisuuskäsitys: tasapainosta häirityn systeemin käyttäytyminen (ilman ohjausta) - Jos vaste (ulostulo) pysyy rajoitettuna, systeemi on stabiili. Muussa tapauksessa systeemi on epästabiili. - Asymptoottinen stabiilius: Vaste lähestyy nollaa ajan myötä. - Marginaalinen stabiilius: Vaste ei mene nollaan, mutta ei myöskään kasva rajatta. Esim. harmoninen värähtelijä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 7

8 Stabiilisuus 2/3 BIBO-stabiilius (Bounded Input, Bounded Output), (=sisäänmeno-ulostulo stabiilisuus) - Pysyykö ulostulo rajoitettuna mielivaltaisella rajoitetulla ohjauksella (lähdettäessä mistä tahansa tilasta)? Säädön tavoitteena on saada epästabiilista systeemistä stabiili. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 8

9 Stabiilisuus 3/3 Asymptoottisesti stabiili systeemi 10 Ulostulo 5 0 Aika Marginaalisesti stabiili systeemi 10 Ulostulo 0 10 Epästabiili systeemi Aika Ulostulo Aika Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 9

10 Lineaarinen tilayhtälömalli Lineaarinen tilayhtälömalli (state space) on muotoa: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Tilayhtälömalli on dynaamisen systeemin esitysmuoto aikatasossa. Vaihtoehtoinen tapa on dynaamisen systeemin esittäminen Laplace-tasossa siirtofunktion avulla. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 10

11 Laplace-muunnos Signaalin f(t) Laplace-muunnos määritellään seuraavasti: F(s) = - Oletetaan f(t) = 0 kun t < 0. Esim. f(t) = c (vakio) 0 f(t)e st dt F(s) = 0 ce st dt = c s 0 se st dt =... = c s Laplace-muunnos on lineaarinen operaatio: L[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] = a 1 F 1 (s) + a 2 F 2 (s) - Laplace-muunnos voidaan siis tehdä termeittäin. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 11

12 Derivaatan Laplace-muunnos Derivaatan Laplace-muunnos: L[f (t)] = sf(s) f(0) - Yleistettynä korkeampiin derivaattoihin: [ ] [ ] L f (n) (t) = s n F(s) s n 1 f(0) f (n 1) (0) Kun oletetaan alkuarvojen f(0)...f (n 1) (0) olevan nollia: - Derivointi: s:llä kertominen - Integrointi: s:llä jakaminen Vrt. Integrator-lohko Simulinkissä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 12

13 Siirtofunktio 1/2 Systeemiä kuvaava differentiaaliyhtälö voidaan saattaa siirtofunktiomuotoon (transfer function) Laplace-muuntamalla. Esim. 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö: ẏ(t) + ay(t) = u(t) Laplace-muunnetaan termeittäin: sy (s) y(0) + ay (s) = U(s) Siirtofunktiota muodostettaessa systeemin alkuarvot oletetaan nolliksi: y(0) = 0. (s + a)y (s) = U(s) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 13

14 Siirtofunktio 2/2 Siirtofunktioksi G(s) kutsutaan ulostulon Y (s) ja sisäänmenon U(s) osamäärää: G(s) = Y (s) U(s) = 1 s + a Y (s) = G(s)U(s) Siirtofunktioesityksen hyöty: Differentiaaliyhtälöt muutettu algebrallisiksi yhtälöiksi helpompi käsitellä! Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 14

15 PID-säädin 1/3 P=proportionaalinen, I=integroiva, D=derivoiva P-säädin: u(t) = K P e(t), missä K P on säätimen parametri. - Suhteellinen takaisinkytkentä - Yksinkertaisin mahdollinen säädin. Ongelma: P-säädin ei osaa kompensoida askelmaista häiriötä. - Syntyy pysyvä poikkeama ulostuloon Idea: kasvatetaan ohjausta kunnes e(t) = 0. - Asetetaan u(t) riippumaan e(t):n integraalista. t PI-säädin: u(t) = K P e(t) + K I 0 e(τ)dτ Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 15

16 PID-säädin 2/3 Kun K I kasvaa, vaste (eli ulostulo) nopeutuu MUTTA: - Suljetun silmukan systeemi muuttuu eräällä parametriyhdistelemällä epästabiiliksi. - Syy: luotetaan liian vanhaan informaatioon (integrointi). (Eräs) ratkaisu: derioiva takaisinkytkentä; perustetaan u(t) e(t):n derivaatalle (vrt. ennustaminen). PID-säädin: u(t) = K P e(t) + K I t 0 e(τ)dτ + K D d dt e(t) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 16

17 PID-säädin 3/3 Tehtävä: Valitse sopivat parametrit K P, K I, K D. - K P suuri nopea vaste, mutta epästabiilisuus vaanii. - K P suuri nopea vaste, pysyvät poikkeamat kompensoituvat (epästabiilisuus!) - K P : käyttö esim. stabilointi (ongelma: kohina) PID-säädin on yleisesti käytetty säädintyyppi teollisuudessa. PID-säätimen virittämiseen eli parametrien määrittämiseen on olemassa erilaisia tekniikoita. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 17

18 PID-säädin Simulinkissä Simulinkissä PID-säädin löytyy kohdasta Simulink Extras Additional Linear. Säätimen rakennetta voi tutkia Look Under Mask-kohdasta. (Oikealla hiiren näppäimellä aukeava valikko) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 18

19 Tilatakaisinkytkentä Vaihtoehtoinen tapa PID-säätimelle. Lineaarinen systeemi on muotoa ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Muodostetaan ohjaus u(t) = K x(t) ẋ(t) = Ax(t) + B ( Kx(t)) = (A KB)x(t) Tehtäväksi jää valita matriisi K s.e. systeemi käyttäytyy halutulla tavalla. Suositeltava lähestymistapa erityisesti MIMO-malleilla (Multiple-input multiple-output) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19

20 Kysymyksiä 1. Mitä eroa on servo- ja stabilointiongelmilla? 2. Mitä tarkoitetaan käsitteillä ohjattavuus ja tarkkailtavuus? 3. Mitä eroa on avoimen ja suljetun silmukan systeemeissä? 4. Miksi takaisinkytkentää käytetään säätötekniikassa? 5. Millainen on asymptoottisesti stabiili systeemi? 6. Mainitse kaksi erilaista säädintyyppiä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 20