Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anni Meisalmi Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 212

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Meisalmi, Anni: Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista Pro gradu -tutkielma, 37 s. Matematiikka Maaliskuu 212 Tiivistelmä Tämän tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija Laplace-muunnokseen ja sen moniin erilaisiin sovelluksiin. Laplace-muunnos muuntaa tavallisen differentiaaliyhtälön perusalgebralliseksi lausekkeeksi ja siksi se onkin tehokas menetelmä ratkaista esimerkiksi differentiaaliyhtälöitä. Tutkielman ensimmäisessä luvussa määritellään Laplace-muunnos ja esitellään sen perusominaisuuksia, mm. sen lineaarisuus ja käänteisyys. Tutkielman toisessa luvussa esitellään tarkemmin Laplace-muunnoksen eri sovelluksia. Tarkoituksena on siis laajentaa Laplace-muunnoksen käyttöaluetta ja toisessa luvussa käsitellään gamma-funktio, äärettömät sarjat, jaksolliset funktiot, funktion derivaatan Laplace-muunnos, Laplace-muunnoksen käyttäytyminen ensimmäisen ja toisen asteen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä sekä konvoluutio. Lukijalta edellytetään monipuolista analyysin tuntemusta ja ymmärtämistä. Erityisesti integrointi täytyy tuntea hyvin. Tutkielmassa päälähteinä on käytetty teoksia Schiff, J.: The Laplace Transform: Theory and Applications ja Dyke, P.: An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series. 2

3 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Laplace-muunnoksesta Laplace-muunnoksen määritelmä ja perusominaisuuksia Eksponentiaalinen kertaluku ja Laplace-luokka Laplace-muunnoksen lineaarisuus ja äärettömät sarjat Käänteismuunnos Sovellukset ja ominaisuudet Gamma-funktiosta Gamma-funktion määritelmä ja sen ominaisuuksia Äärettömät sarjat Jaksollisten funktioiden Laplace-muunnos Funktion derivaatan Laplace-muunnos Tavalliset differentiaaliyhtälöt Konvoluutio Viitteet 35 3

4 1 Johdanto Tässä tutkielmassa perehdytään Laplace-muunnokseen ja sen erilaisiin sovelluksiin. Tutkielman luvussa 2 käsitellään Laplace-muunnosta ja sen perusominaisuuksia. Ensimmäisenä alaluvussa 2.1 määritellään integraalinen Laplace-muunnos, jonka jälkeen on taulukoitu muutamia yleisimpiä Laplacemuunnoksia. Seuraavassa alaluvussa 2.2 määritellään eksponentiaalinen kertaluku ja Laplace-luokka, joka on yksi merkittävä funktioiden luokka. Alaluvussa 2.3 todistetaan Laplace-muunnoksen lineaarisuus ja esitellään yksi tärkeä äärettömiin sarjoihin liittyvä lause, jota tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Tämän luvun 2 viimeisessä alaluvussa 2.4 määritellään Laplace-muunnoksen käänteismuunnos ja annetaan esimerkki trigonometrisista funktioista. Lopuksi todetaan, että erisuurilla funktioilla on erisuuri Laplace-muunnos, eli todetaan ns. Lerchin teoreema. Tutkielman kolmannessa luvussa tutustutaan paremmin Laplace-muunnoksen sovelluksiin. Ensimmäisessä alaluvussa 3.1 määritellään Gammafunktio ja todistetaan, että se sisältää kertoman ominaisuuden. Tämän jälkeen esitellään äärettömiä sarjoja. Alaluvussa 3.2 tutustutaan, kuinka Laplacemuunnos käyttäytyy jaksollisten funktioiden kanssa. Ensiksi määritellään jaksollinen funktio, jonka jälkeen esitetään vielä yksi esimerkki. Alaluvussa 3.3 käsitellään funktion derivaatan Laplace-muunnosta ja todistetaan derivaattalause. Alaluku 3.4 käsittelee sekä ensimmäisen että toisen asteen lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ja niiden ratkaisua Laplace-muunnoksen avulla. Ensimmäiseksi käsitellään alkuarvoprobleema, jonka jälkeen esitetään yleinen menetelmä tällaisien yhtälöiden ratkaisemiseksi Laplace-muunnoksen avulla. Tämän jälkeen esitellään yleinen ratkaisu, reuna-arvo probleema, differentiaaliyhtälöparit ja lopuksi integraaliyhtälöt. Viimeisessä alaluvussa 3.5 määritetään kahden funktion välinen konvoluutio ja kuinka se on yhteydessä Laplace-muunnokseen. 4

5 2 Laplace-muunnoksesta 2.1 Laplace-muunnoksen määritelmä ja perusominaisuuksia Tavallinen differentiaaliyhtälö ja osittaisdifferentiaaliyhtälö kuvaavat tiettyjen suureiden vaihtelua ajan suhteen, kuten esimerkiksi virtaa sähköpiirissä, kalvon värähtelyä tai eristetyn johdon läpi menevää lämpövirtaa. Nämä yhtälöt ovat yleensä yhdistetty alkuehtoihin, jotka kuvaavat systeemin alkutilaa, kun t =. Tehokas menetelmä ratkaista tämänkaltaisia ongelmia on Laplace-muunnos, joka muuttaa tavallisen differentiaaliyhtälön perusalgebralliseksi lausekkeeksi. Tämä algebrallinen lauseke voidaan palauttaa takaisin, jolloin saadaan ratkaisu alkuperäiseen ongelmaan. Tämä tekniikka on tunnettu nimellä Laplacemuunnos. Tässä luvussa 2.1 määritellään Laplace-muunnos ja esitellään sen perusominaisuuksia. (Vrt. [2, s. 1]). Oletetaan, että f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio reaalimuuttujan t > (aika) suhteen ja s on reaalinen tai kompleksinen parametri. Määritellään funktion f Laplace-muunnos seuraavasti. Määritelmä 2.1. Laplace-muunnos. Olkoon f paloittain jatkuva funktio. Sen Laplace-muunnos määritellään kaavalla (2.1) F (s) = L(f(t)) = e st f(t)dt t = lim e st f(t)dt t aina, kun raja-arvo on olemassa (äärellinen luku). Kun raja-arvo on olemassa, integraalin (2.1) sanotaan olevan suppeneva. Jos raja-arvoa ei ole olemassa, integraalin sanotaan olevan hajaantuva ja tällöin Laplace-muunnosta ei ole määritelty funktiolle f. Merkintää L(f) käytetään yleensä funktion f Laplace-muunnoksesta, ja integraali on tavallinen Riemannin (epäoleellinen) integraali. (Vrt. [2, s. 1-2]). Parametrin s määrittelyjoukko on joko reaalinen suora tai kompleksinen taso. Valitaan s sopivasti niin, että Laplace-integraali (2.1) suppenee. Ma- 5

6 tematiikan ja tekniikan kannalta parametrin s määrittelyjoukko on tärkeä. Joka tapauksessa, käytännön kannalta, kun differentiaaliyhtälö on ratkaistu, parametrin s määrittelyjoukko on rutiininomaisesti jätetty huomioimatta. Kun s on kompleksinen, käytetään usein merkintää s = x + iy. (Vrt. [2, s. 2]). Symboli L on Laplace-muunnos, joka toimii funktioon f = f(t) ja tuottaa uuden funktion F (s) = L(f(t)). Esimerkki 2.1. (Vrt. [2, s. 2]). Jos f(t) 1, kun t, niin (2.2) L(f(t)) = = lim e st 1dt / t e st s t ( e st = lim t s + 1 s ) = 1 s edellyttäen, että s > (jos s reaalinen). Näin ollen (2.3) L(1) = 1 s (s > ). Jos s, silloin integraali hajaantuu ja Laplace-muunnoksella ei ole tulosta. Jos oletetaan, että s on kompleksinen muuttuja samalla oletuksella, että Re(s) >, saadaan L(1) = 1. (Vrt. [2, s. 3]). Yleisimmät Laplacemuunnokset ja käänteismuunnokset näkyvät taulukossa s 1. 6

7 Taulukko 1: Yleisiä Laplace-muunnoksia ja käänteismuunnoksia. f(t) F (s) = f(t)e st dt 1 1 s t n n! s n+1 e at 1 s a t n at n! e (s a) n+1 cos bt sin bt cosh at sinh at s s 2 +b 2 b s 2 +b 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2 Todistetaan seuraavaksi, että esimerkissä esitetty integraali voidaan käsitellä samalla tavalla, vaikka s olisi kompleksinen. Määritellään ensiksi tunnettu Eulerin lause. Lause 2.1. (Vrt. [2, s. 3]). Olkoon θ reaaliluku. Silloin (2.4) e iθ = cos θ + i sin θ. Eulerin lauseesta seuraa, että e iθ = 1. Apulause 2.2. Olkoon s = x + iy mikä tahansa kompleksiluku. Tällöin (2.5) Todistus. Ks. [2, s. 3]. e st dt = est s. 7

8 2.2 Eksponentiaalinen kertaluku ja Laplace-luokka Määritelmä 2.2. Funktiolla f on eksponentiaalinen kertaluku α, jos on olemassa vakiot M > ja α R siten, että jollakin t, f(t) Me αt, t t. Selvästi eksponenttifunktiolla e at on eksponentiaalinen kertaluku α = a, kun taas funktiolla t n on eksponentiaalinen kertaluku α millä tahansa luvulla α > ja n N. Rajoitetuilla funktioilla, kuten esimerkiksi sin t, cos t, tan 1 t, on eksponentiaalinen kertaluku, kun taas funktiolla e t on kertaluku 1. Funktiolla e t2 ei ole eksponentiaalista kertalukua. Jos β > α, niin eksponentiaalinen kertaluku α implikoi eksponentiaalisen kertaluvun β, sillä e αt e βt, t. Yleensä kertaluku on pienin mahdollinen arvo α, ja jos arvo ei itsessään ole merkittävä, sitä ei tarvitse määrittää ollenkaan. (Vrt. [2, s. 12]). Seuraavaksi esitellään laaja funktioiden luokka, Laplace-luokka, joka on isossa osassa Laplace-muunnosten käsittelyssä. Lause 2.3. Jos f on paloittain jatkuva välillä [, ) ja sen eksponentiaalinen kertaluku on α, niin sen Laplace-muunnos L(f) on olemassa, kun Re(s) > α ja se suppenee itseisesti. Todistus. (Vrt. [2, s. 13]). Olkoon f(t) M 1 e αt, t t jollakin reaaliluvulla α. Funktio f on paloittain jatkuva välillä [, t ] ja näin ollen rajoitettu tällä välillä. Tällöin f(t) M 2, < t < t. Nyt koska funktiolla e αt on positiivinen minimi välillä [, t ], niin vakio M voidaan valita riittävän suureksi siten, että f(t) Me αt, t >. 8

9 Näin ollen τ Kun τ, niin saadaan e st f(t) τ dt M τ = τ/ e (x α)t dt Me (x α)t (x α) = M x α Me (x α)τ x α. e st f(t) dt M x α, koska Re(s) = x > α Täten Laplacen integraali suppenee itseisesti, kun Re(s) > α. 2.3 Laplace-muunnoksen lineaarisuus ja äärettömät sarjat Laplace-muunnoksen yksi perusominaisuus on sen lineaarisuus. Tämän ominaisuuden ansiosta siitä tulee käytännöllinen muun muassa insinöörimatematiikassa. Laplace-muunnoksen lineaarisuus on yksi helpoimmista ja käytetyimmistä menetelmistä laskea muunnoksia. Lineaarisuutta käytetään apuna laskettaessa esimerkiksi trigonometrisia ja hyperbolisia funktioita. Lause 2.4. Laplace-muunnos on lineaarinen kuvaus. Ts. jos f L, kun Re(s) > a, ja g L, kun Re(s) > b, niin f + g L, kun Re(s) > max[a, b]. Lisäksi L(αf + βg) = αl(f) + βl(g), missä α, β C. 9

10 Todistus. (Vrt. [2, s. 31]). L(αf + βg) = = = α e st (αf(t) + βg(t)) dt ( e st αf(t) ) dt + ( e st f(t) ) dt + β = αl(f) + βl(g). ( e st βg(t) ) dt ( e st g(t) ) dt Äärettömillä sarjoilla, n= a n t n, ei ole yleisesti mahdollista ottaa sarjan Laplace-muunnosta termi termiltä. Lause 2.5. Jos f(t) = a n t n n= suppenee, kun t, ja a n Kαn n! kaikilla riittävän suurilla luvuilla n, ja α >, K >, tällöin L (f(t)) = a n L(t n a n n! ) = n= n= s n+1 (Re(s) > α). Todistus. Ks. [2, s ]. 1

11 2.4 Käänteismuunnos Tässä luvussa 2.4 käsitellään Laplace-muunnoksen käänteismuunnosta. Kun halutaan käyttää Laplace-muunnosta fysikaalisten ongelmien ratkaisussa, on usein välttämätöntä käyttää käänteismuunnosta. Määritelmä 2.3. Olkoon L(f(t)) = F (s). Silloin käänteinen Laplace-muunnos on L 1 (F (s)) = f(t), missä t. Tämän muunnoksen tarkoituksena on muuntaa funktio alkuperäiseen muotoonsa. Esimerkki 2.2. ( ) L 1 ω = sin ωt. s 2 + ω 2 Tästä luonnollisesti herää kysymys: Onko olemassa toista funktiota f(t) sin ωt, jonka käänteismuunnos on L ( ) 1 ω s 2 +ω = sin ωt? On siis tiedettävä, 2 milloin käänteismuunnos on yksikäsitteinen. (Vrt. [2, s. 23]). Esimerkki 2.3. Olkoon sin ωt jos t > ; g(t) = 1 jos t =. Tällöin ω L (g(t)) = s 2 + ω. 2 Yhden pisteen muuttaminen (tai jopa äärellisen määrän pisteitä) ei muuta Laplacen (Riemannin) integraalin arvoa. (Vrt. [2, s. 23]). Tämä esimerkki havainnollistaa, että käänteismuunnoksia L 1 (F (s)) voi olla enemmän kuin yksi funktio, itse asiassa äärettömän monta, ainakin silloin kun funktiot ovat epäjatkuvia. (Vrt. [2, s ]). Lause 2.6. Erisuurilla jatkuvilla funktioilla välillä [, ) on erisuuri Laplacemuunnos. Tämä tulos tunnetaan Lerchin teoreemana. Se tarkoittaa, että jos rajoitutaan välillä [, ) jatkuviin funktioihin, niin käänteismuunnos L 1 (F (s)) = f(t) 11

12 on yksikäsitteinen ja voidaan puhua vain käänteismuunnoksesta L 1 (F (s)). Näin ollen voidaan kirjoittaa ( ) L 1 ω = sin ωt, t. s 2 + ω 2 Koska monet funktioista, joiden kanssa olemme tekemisissä, ovat ratkaisuja differentiaaliyhtälöihin, niin ne ovat jatkuvia ja yllä olevat oletukset ovat täysin sallittuja. (Vrt. [2, s. 24]). Huomataan myös, että L 1 on lineaarinen eli L 1 (af (s) + bg (s)) = af(t) + bg(t), missä L (f(t)) = F (s) ja L (g(t)) = G(s). Tämä seuraa funktion L lineaarisuudesta (Lause 2.4) ja pätee, kun funktioiden F ja G määrittelyjoukut ovat samat. (Vrt. [2, s. 24]). 12

13 3 Sovellukset ja ominaisuudet Erilaiset ongelmat, joita voidaan käsitellä Laplace-muunnoksen yhteydessä, sisältää tavallisen- tai osittaisdifferentiaaliyhtälön sekä integraalin ja integraalisen differentiaaliyhtälön. Tässä luvussa käsitellään Laplace-muunnoksen toimintaperiaatteita ratkaista näitä kaikkia yhtälöitä. Jotta siis Laplacemuunnoksen käyttöalueet hieman laajentuisi, on käsiteltävä gamma-funktio, äärettömät sarjat, jaksolliset funktiot, funktion derivaatan Laplace-muunnos, Laplace-muunnoksen käyttäytyminen ensimmäisen ja toisen asteen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä sekä konvoluutio. 3.1 Gamma-funktiosta Gamma-funktion määritelmä ja sen ominaisuuksia Tarkastellaan yhtälöä (3.1) L(t n ) = n!, n = 1, 2, 3, sn+1 Jotta tätä yhtälöä voidaan laajentaa ei-kokonaisluku arvoille n, on otettava huomioon L(t v ) = e st t v dt (v > 1). Itse asiassa, kun 1 < v <, funktio f(t) = t v ei ole paloittain jatkuva välillä [, 1), koska se lähestyy ääretöntä, kun t +. Silti, koska (epäoleellinen) integraali t tv dt on olemassa, kun v > 1, ja f(t) = t v on rajoitettu kaikilla suurilla arvoilla t, Laplace-muunnos L(t v ) on olemassa. (Vrt. [2, s. 42]). Muuttujanvaidolla x = st, (s > ), saadaan (3.2) L(t v ) = e x ( x s ) v 1 s dx = 1 x v e x dx. s v+1 Suure (3.3) Γ(p) = x p 1 e x dx, (p > ) 13

14 tunnetaan (Eulerin) gamma-funktiona. Vaikka epäoleellinen integraali on olemassa ja se on jatkuva funktio, kun p >, se ei ole yhtäsuuri minkään alkeisfunktion kanssa (Kuva 1).(Vrt. [2, s. 42]). (3.4) Tällöin yhtälöstä (3.3) saadaan L(t v ) = Kuva 1: Gamma-funktio [4]. Γ(v + 1), v > 1, s >. s v + 1 Verrataan yhtälöä (3.1) yhtälöön (3.4), kun v = n =, 1, 2,..., saadaan (3.5) Γ(n + 1) = n!. Näin ollen voidaan todeta, että gamma-funktio on yleistys kertoman käsitteestä. Itse asiassa, se voidaan määritellä kaikilla kompleksiluvuilla v, missä v, 1, 2,..., ja se sisältää kertoman ominaisuuden Γ(v + 1) = vγ(v), v, 1, 2,... Todistus. [2, s. 46, tehtävä 1] Gamma-funktion määritelmä on Γ(r) = x r 1 e x dx (yhtälö (3.3)). Tämän nojalla Γ(v + 1) = = = 14 x (v+1) 1 e x dx x v+1 1 e x dx x v e x dx.

15 Suoritetaan osittaisintegrointi. Merkitään u = e x ja v = x v. Tehdään sijoitus u vdx = uv e x x v dx = uv dx / e x x v e x vx v 1 dx = + v x v 1 e x dx = v x v 1 e x dx. = vγ(v) Esimerkki 3.1. (Vrt. [2, s ]). Määritä L(log t) = Asetetaan x = st, s >, jolloin e st log tdt. (3.6) L(log t) = = 1 s ( ) x 1 e x log s s dx e x log xdx log s = 1 (log s + γ), s e x dx missä on Eulerin vakio. γ = e x log xdx =,

16 3.1.2 Äärettömät sarjat Jos f(t) = a n t n+v (v > 1) n= suppenee kaikilla t ja a n K( αn ), K >, α >, kaikilla tarpeeksi n! suurilla luvuilla n, tällöin L (f(t)) = n= a n Γ(n + v + 1) s n+v+1 (Re(s) > α). Tämä tulos yleistää lauseen 2.5. Tutkitaan seuraavaksi samaa käänteismuunnokselle. Jos (3.7) F (s) = n= a n s n+v+1 (v > 1), missä sarja suppenee kun s > R, tällöin käänteismuunnos voidaan tehdä termi termiltä: (3.8) f(t) = L 1 (F (s)) = n= a n Γ(n + v + 1) tn+v, (t ). Todistetaan yhtälö (3.8). Huomaa, että koska sarja (3.7) suppenee, kun s > R, niin a n s n K jollakin vakiolla K ja kaikilla luvuilla n. Tällöin kun s = r > R, niin (3.9) a n Kr n. Myös (3.1) r n < 2n n rn = αn n, kun α = 2r. Koska Γ(n + v + 1) Γ(n), kun v > 1, n 2, niin yhtälöiden (3.9) ja (3.1) nojalla (3.11) mikä piti osoittaa. a n Γ(n + v + 1) Kαn nγ(n) = Kαn, n! Lisäksi yhtälö (3.11) osoittaa a n Γ(n + v + 1) tn K(αt)n n! 16 (t ),

17 ja kun n= (αt) n n! = e αt suppenee, suppenee yhtälön (3.8) sarja itseisesti. Lisäksi tämä osoittaa, että funktio f on eksponentiaalista kertalukua. Olkoon v = yhtälössä (3.7). Silloin saadaan seuraava tulos: Jos F (s) = n= a n s ( n + 1) suppenee, kun s > R, tällöin käännökseksi saadaan (Vrt. [2, s ]). f(t) = L 1 (F (s)) = n= a n n! tn. 3.2 Jaksollisten funktioiden Laplace-muunnos Tässä luvussa käsitellään Laplace-muunnoksen käyttäytymistä jaksollisten funktioiden yhteydessä. Jaksollisilla funktioilla on tärkeä rooli eri insinöörien toimialoilla ja soveltavilla tieteenaloilla, erityisesti fysiikassa. Määritelmä 3.1. Jos funktio F (t) noudattaa sääntöä F (t) = F (t + T ) jollakin reaalisella luvulla T ja kaikilla arvoilla < t <, tällöin funktiota F (t) kutsutaan jaksolliseksi funktioksi periodilla T. (Vrt. [1, s. 32]). Jaksollisia funktioita ovat esimerkiksi sin t ja cos t, joiden periodit ovat molemmilla T = 2π, kun taas funktion tan t periodi T = π. Koska funktiot f, joita on tähän mennessä käsitelty, on määritelty vain kun t, käytetään samaa jaksollisuutta kuin kuvassa (2) näkyy, myös näihin funktioihin. Funktion f kuvaaja näkyy kuvassa (2) ja sen periodi on T. Määritellään seuraavaksi (3.12) F 1 (s) = T e st f(t)dt, joka tarkoittaa funktion f Laplace-muunnoksen ensimmäistä periodia ja joka saa arvon nolla muualla. Kokonaisen funktion f Laplace-muunnos on tietty monikerta ensimmäisestä periodista eli funktiosta F 1 (s). (Vrt. [2, s. 48]). 17

18 Kuva 2: Funktion F(t) kuvaaja periodilla T [3]. Lause 3.1. Jos funktio F (s) = L (f(t)) on jaksollinen periodilla T >, niin (3.13) F (s) = Todistus. (Vrt. [2, s ]). F (s) = e st f(t)dt = 1 1 e st F 1(s). T e st f(t)dt + T e st f(t)dt. Tehdään muuttujan vaihto τ = t T viimeiseen integraaliin, jolloin saadaan T e st f(t)dt = = e st e s(τ+t ) f(τ + T )dτ e sτ f(τ)dτ funktion f jaksollisuuden perusteella. Näin ollen F (s) = josta ratkaisemalla saadaan T F (s) = e st f(t)dt + e st F (s), 1 1 e st F 1(s). 18

19 Esimerkki 3.2. (Vrt. [2, s. 49]) Etsi jaksollisen funktion f(t) (kuva 3) Laplacemuunnos. Kuva 3: Funktion f(t) kuvaaja periodilla 2a. Tämä funktio on paloittain jatkuva funktio periodilla T = 2a. Näin ollen Laplace-muunnos on muotoa missä Näin ollen F (s) = F (s) = F 1 (s) = 1 1 e 2as F 1(s), 2a a = 1 s e st dt ( e 2as e as) = 1 s (e as e 2as ). e as s(1 + e as ) = 1 s(1 + e as ). 19

20 3.3 Funktion derivaatan Laplace-muunnos Ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä, on välttämätöntä tietää funktion f derivaatan f Laplace-muunnos. Termi L(f ) voidaan ratkaista kirjoittamalla se termin L(f) avulla. Lause 3.2. (Derivaattalause) Oletetaan, että f on jatkuva välillä (, ) ja eksponentiaalista kertalukua α ja että f on paloittain jatkuva välillä [, ). Tällöin (3.14) L (f (t)) = sl (f(t)) f( + ) (Re(s) > α). Todistus. (Vrt. [2, s. 54]) Integroidaan termeittäin τ e st f (t)dt = lim lim δ τ δ τ/ = lim lim δ τ δ e st f (t)dt τ e st f(t) + s δ e st f(t)dt = lim lim δ τ e sτ f(τ) e sδ f(δ) + s = f( + ) + s e st f(t)dt τ δ (Re(s) > α). e st f(t)dt Näin ollen L (f (t)) = sl (f(t)) f( + ). Tässä on käytetty sitä tietoa, että Re(s) = x > α, joten e sτ f(τ) e xτ Me ατ = Me (x α)τ, kun τ. Vielä huomioitavaa on, että f( + ) on olemassa, koska f ( + ) = lim t + f (t) on olemassa. Selvästi, jos f on jatkuva, kun t =, niin tällöin f( + ) = f() ja saadaan muoto (3.15) L (f (t)) = sl (f(t)) f(). 2

21 Huomautus. Derivaattalauseella on mielenkiintoinen ominaisuus, sillä L (f (t)) saadaan ilman sitä edellytystä, että f itse olisi eksponentiaalista kertalukua (Ks. [2, s. 15], Esim ). Esimerkki 3.3. (Vrt. [2, s ]). Laske L(sin 2 ωt) ja L(cos 2 ωt) kaavan (3.15) avulla. Olkoon ensiksi f(t) = sin 2 ωt, jolloin sen derivaatta f (t) = 2ω sin ωt cos ωt = ω sin 2ωt. Nyt kaavan (3.15) avulla saadaan josta saadaan Vastaavasti L(ω sin 2ωt) = sl(ω sin 2 ωt) sin 2, L(ω sin 2 ωt) = 1 L(ω sin 2ωt) s = ω 2ω s s 2 + 4ω 2 2ω 2 = s(s 2 + 4ω 2 ). L(ω cos 2 ωt) = 1 s L( ω sin 2ωt) + 1 s = ω 2ω s s 2 + 4ω s = s2 + 2ω 2 s(s 2 + 4ω 2 ). On huomiotava, että jos f() =, voidaan kaavan (3.15) avulla ilmaista missä F (s) = L(f(t)). Siis esimerkiksi L 1 (sf (s)) = f (t), ( ) ( ) L 1 s sinh at = = cosh at. s 2 a 2 a Se voi olla mahdollista, että funktio f muuttuu epäjatkuvaksi muualla kuin alkuperäinen funktio. Tämä voidaan osoittaa seuraavalla tavalla. 21

22 Lause 3.3. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä [, ), lukuun ottamatta hyppyepäjatkuvuuskohtaa, kun t = t 1 >. Oletetaan lisäksi, että f on eksponentiaalista kertalukua α ja f on paloittain jatkuva välillä [, ). Tällöin L (f (t)) = sl (f(t)) f() e t 1s ( f(t + 1 ) f(t 1 ) ) Todistus. (Vrt. [2, s. 56]). e st f (t)dt = lim τ τ t / 1 τ = lim = lim τ Näin ollen e st f (t)dt e st f(t) + t + 1 τ/ τ e st f(t) + s e st f(t)dt e st 1 f(t 1 ) f() + e sτ f(τ) e st 1 f(t + 1 ) + s (3.16) L (f (t)) = sl (f(t)) f() e t 1s ( f(t + 1 ) f(t 1 ) ). τ (Re(s) > α). e st f(t)dt. Jos = t < t 1 < < t n on äärellinen määrä lukuja, jotka muuttuvat epäjatkuviksi, saadaan (3.16) muotoon n (3.17) L (f (t)) = sl (f(t)) f( + ) e ( t ks f(t + k ) f(t k )). k=1 Huomautus. Jos oletetaan, että f on jatkuva välillä [, ) ja myös eksponentiaalista kertalukua, tästä seuraa, että sama pätee myös funktiolle f itselle. Tarkastellaan tätä tarkemmin. Oletetaan, että f (t) Me αt, t t, α. Tällöin f(t) = t t f (τ)dτ + f(t ), 22

23 ja f(t) M t t e ατ dτ + f(t ) M α eατ + f(t ) Ce ατ, t t. Koska f on jatkuva, tulos pätee, kun α ja tapaus α = on sisällytetty tähän.(vrt. [2, s. 56]). Käsitellessä differentiaaliyhtälöitä, on myös tiedettävä mitä on L(f ), L(f ) jne. Oletetaan, että voidaan soveltaa kaavaa (3.15) funktiolle f. Tällöin L (f (t)) = sl (f (t)) f () = s (sl (f(t)) f()) f () (3.18) = s 2 L (f(t)) sf() f (). Samoin L (f (t)) = sl (f (t)) f () (3.19) = s 3 L (f(t)) s 2 f() sf () f () sopivin ehdoin. (Vrt. [2, s. 57]). 3.4 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Derivaattalause 3.2 antaa kaikki mahdollisuudet käyttää Laplace-muunnosta apuna, kun ratkaistaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä (Vrt. [2, s. 59]). Differentiaaliyhtälöt ovat yhtälöitä, joiden tuntematon on derivaattamuodossa. Laplace-muunnoksen avulla on mahdollista eliminoida yhtälön derivaatta korvaamalla derivaatta luvun s monikerralla. Laplace-muunnos on hyvä menetelmä ratkaista tämän kaltaisia differentiaaliyhtälöitä. Tavallisen differentiaaliyhtälön aste on tuntemattoman korkein derivaatta. Täten yhtälö ( ) 3 dy + y = sin(x) dx 23

24 on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö. Vastaavasti yhtälö d 2 ( ) 4 y dy dx + + ln x = 2 dx on toisen asteen differentiaaliyhtälö.(vrt. [1, s. 49]). Jos yhtälö on tavallisesta poikkeava, sitä ei voida ratkaista Laplace-muunnoksella. Tämän takia ratkaiseminen on rajoitettava ensimmäisen ja toisen asteen lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin. Vaikka tämä vaikuttaa suurelta rajoitukselta, se silti käsittää lähes kaikki tavalliset lineaariset differentiaaliyhtälöt oikean elämän tilanteissa. Laplace-muunnos on lineaarinen ja sen lineaarisuus on esitetty lauseessa 2.4. Lineaarisen differentiaaliyhtälön riippuvan muuttujan on myös noudatettava tätä lineaarisuuden ominaisuutta. Differentiaaliyhtälöt, joita ei voida ratkaista Laplace-muunnoksen avulla, sisältävät usein tuntemattomia tai lausekkeita kuten esimerkiksi tan(y) ja e y. Sana Tavallinen tarkoittaa, että derivointi tapahtuu riippumattoman muuttujan suhteen.(vrt. [1, s. 5]). Kaksi käytännöllistä tulosta, joita voidaan tässä hyödyntää, ovat (3.2) L (f (t)) = sf (s) f() ja (3.21) L (f (t)) = s 2 F (s) sf() f (), missä derivointi tapahtuu muuttujan t suhteen. Huomaa, että molemmissa lausekkeissa oikealla puolella on f(). Lisäksi derivaatan aste määrittää sen, kuinka monta mielivaltaista vakiota ratkaisu sisältää. Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö sisältää yhden mielivaltaisen vakion, toisen asteen differentiaaliyhtälö sisältää kaksi mielivaltaista vakiota, jne. (Vrt. [1, s. 5]). Kun otetaan Laplace-muunnos tavallisesta lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä, funktion f(t) derivaatat häviävät ja funktion f(t) Laplace-muunnos kerrotaan luvulla s, kun kyseessä on 1. asteen derivaatta ja luvulla s 2, kun kyseessä 2. asteen derivaatta. Lisäksi vakiot saavat muodon f(), kun kyse 1. asteen differentiaaliyhtälöstä, ja muodon f() sekä f (), kun kyse 2. asteen differentiaaliyhtälöstä. (Vrt. [1, s. 5]). Yksi tapa ratkaista tavallisia differentiaaliyhtälöitä on alkuarvoprobleema. Tämä on yleisin tapa ratkaista tällaisia yhtälöitä ja seuraavassa esimerkissä ratkaistaankin 1. asteen tavallinen differentiaaliyhtälö. 24

25 Esimerkki 3.4. (Tekijän itse laatima.) Ratkaise alkuarvoprobleema Laplacemuunnoksen avulla dy dt + y =, missä y() = 2. Otetaan ensiksi Laplace-muunnos molemmilta puolilta yhtälöä ( ) dy L + L(y) = L(1) dt Nyt kaavaa (3.2) apuna käyttäen saadaan Tehdään osamurtokehitelmä sy(s) y() + y(s) = 1 s sy(s) + y(s) = 1 s + 2 y(s)(s + 1) = 1 + 2s s y(s) = 1 + 2s s(s + 1) 1 + 2s s(s + 1) = A s + B s + 1 A(s + 1) = s(s + 1) + Bs s(s + 1) A(s + 1) + Bs = s(s + 1) s(a + B) + A = s(s + 1) Näin ollen saadaan A = 1 ja B = 1, jolloin L(y) = 1 s + 1 s + 1. Tästä otetaan vielä Laplacen käänteismuunnos, eli { 1 L 1 s + 1 } = 1 + e t. s + 1 Yleinen menetelmä. Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Laplacemuunnoksen avulla voidaan tiivistää seuraaviin kolmeen vaiheeseen. 1. Ota Laplace-muunnos molemmilta puolilta differentiaaliyhtälöä. Tätä tulosta kutsutaan muunnosyhtälöksi. 25

26 2. Selvitä yhtälö L(y) = F (s), missä F (s) on algebrallinen lauseke muuttujana s. 3. Käytä käänteismuunnosta tuloksen y = L 1 (F (s)) saavuttamiseksi. Useat menetelmät käänteismuunnoksen selvittämiseksi sisältää osamurtokehitelmän, käännöksen, derivaatan ja integraalin teorioita, konvoluution ja integroinnin kompleksitasossa (Vrt. [2, s. 6]). Seuraavaksi esitellään muutama esimerkki, kuinka Laplace-muunnosta käytetään toisen asteen tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkiasemisessa. Tekniikka ei ole muodoltaan erilainen kuin ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa, mutta käänteinen Laplace-muunnos on usein huomattavasti haastavampi löytää. (Vrt. [1, s. 54]). Esimerkki 3.5. (Vrt. [2, s. 59]). Ratkaise alkuarvoprobleema Laplace-muunnoksen avulla, kun d 2 y dt + y = 1, missä y() = 2 y () =. Otetaan Laplace-muunnos molemmilta puolilta yhtälöä Sovelletaan kaavaa (3.21) seuraavasti Sijoitetaan alkuarvot, jolloin saadaan L(y ) + L(y) = L(1). s 2 L(y) sy() y () + L(y) = 1 s. s 2 L(y) + L(y) = 1 s Tehdään osamurtokehitelmä L(y)(s 2 + 1) = 1 s 1 L = s(s 2 + 1). 1 s(s 2 + 1) = A s + Bs + C s Ratkaisemalla saadaan vakioiden arvoiksi A = 1, B = 1 ja C =. Näin ollen saadaan L(y) = 1 s(s 2 + 1) = 1 s s s

27 Tästä otetaan käänteinen Laplace-muunnos, jolloin tulokseksi saadaan y = 1 cos t. Laplace-muunnos soveltuu erityisen hyvin n.-asteen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön alkuarvoprobleeman ratkaisemiseen, eli siis (3.22) d n y a n dt + a d n 1 y n n 1 dt + + a y = f(t), n 1 missä y() = y, y () = y 1,, y (n 1) () = y n 1. Insinöörien parissa funktio f(t) tunnetaan paremmin sisääntulofunktiona, missä y = y(t) on ulostulo tai vastaus. Tässä tapauksessa sisääntulo f(t) on eksponentiaalista kertalukua ja jatkuva, ulostulo y = y(t) yhtälön (3.22) nojalla on myös eksponentiaalista kertalukua ja jatkuva (Ks. [2, s ], Lause A.6). Samalla kun Laplace-muunnoksen menetelmä antaa ratkaisuksi y = y(t) (yhtälö (3.22)) silloin, kun t, se on yleisesti tosi koko reaaliakselilla < t <, jos se on funktion f(t) määrittelyjoukko.(vrt. [2, s. 61]). Sisääntulo funktio f(t) voi olla myös epäjatkuva. Esimerkki 3.6. (Vrt. [2, s ]) Ratkaise alkuarvoprobleema y + y = Eu a (t), y() =, y () = 1. Tässä systeemi olettaa, että sisääntulo on nolla, kun t < a, ja E (vakio), kun t a. Tällöin ja Tästä saadaan s 2 L(y) sy() y () + L(y) = Ee as s L(y) = 1 s ( ) 1 y = L 1 s Ee as s(s 2 + 1) = 1 s E ( 1 s s s ) e as. [( 1 + EL 1 s s ) ] e as s = sin t + Eu a (t)(1 cos(t a)). 27

28 Tässä voidaan todeta, että y on muotoa sin t, kun t < a y = sin t + E(1 cos(t a)), kun t a. Huomataan vielä, että y(a ) = y(a + ) = sin a, y (a ) = y (a + ) = cos a, y (a ) = sin a, mutta y (a + ) = sin a + Ea 2. Näin ollen y (t) on vain paloittain jatkuva. Yleinen ratkaisu. Jos kaavassa (3.22) olevia alkuarvoja ei ole määritelty, Laplace-muunnosta voi silti soveltaa yleisen ratkaisun löytämiseksi. Esimerkki 3.7. (Vrt. [2, s. 63]). Ratkaise y + y = e t, kun y() = y, y () = y 1 ei ole määritelty. Nyt s 2 L sy() y () + L = L(e t ). Tehdään osamurtohajotelma, josta saadaan L(y) = = 1 (s + 1)(s 2 + 1) + sy s y 1 s s + 1 s s y s s y 1 s 2 + 1, Otetaan käänteinen Laplace-muunnos L 1, jolloin saadaan y = 1 2 e t + ( y 1 ) ( cos t + y ) sin t. 2 2 Koska y ja y 1 voivat saada kaikki mahdolliset arvot, yleiseksi ratkaisuksi saadaan y = c cos t + c 1 sin t e t, missä c ja c 1 ovat mielivaltaisia reaalisia vakioita. Huomaa, että tämä tulos on voimassa, kun < t <. Reuna-arvoprobleema. Laplace-muunnoksen avulla voi ratkaista myös tämän tyyppisiä ongelmia. 28

29 Esimerkki 3.8. [2, s. 73, tehtävä 2a] Ratkaise reuna-arvoprobleema y + λ 2 y = sin λt, y() = 1, y( π 2λ ) = π. Otetaan ensiksi Laplace-muunnokset molemmilta puolilta yhtälöä. Tällöin Tästä ratkaisemalla saadaan (3.23) L(y ) + λ 2 L(y) = L(sin λt). s 2 L(y) sy() y () + λ 2 L(y) = λ s 2 + λ 2 L(y)(s 2 + λ 2 ) sy() y () = λ s 2 + λ 2 L(y)(s 2 + λ 2 λ ) = s 2 + λ + sy() + 2 y () L(y) = Ratkaisemalla Laplace-muunnokset, saadaan λ (s 2 + λ 2 ) + sy() 2 s 2 + λ + y () 2 s 2 + λ. 2 y = 1 2λ t sin λt + cos λt + y () sin λt. λ Sijoittamalla yhtälöön (3.23) reunaehto y( π ) = π, saadaan 2λ Näin ollen ( π π = y = 2λ) 1 π (λ 2λ 2λ sin π ) 2λ π = π 4λ + y () 2 λ y () = λπ π 4λ. y = 1 t sin λt + cos λt + 2λ Vastaavasti, jos reunaehto olisi y() = 1, y ( π λ ) = π, niin yhtälön (3.23) derivaataksi saataisiin ( + cos λ π ) + y () (λ 2λ λ sin π ) 2λ ( ) λπ π 4λ sin λt. λ y = 1 2λ (sin λt + λt cos λt) λ sin λt + y () cos λt. 29

30 Näin ollen ( ) π π = y = 1 ( sin λ π ) λ 2λ λ + λπ λ cos λπ λ sin λ π λ λ + y () cos λ π λ π = 1 2λ ( + π( 1)) y ()( 1) π = π 2λ y () y () = π π 2π. Näin ollen ratkaisuksi saadaan y = 1 2λ t sin λt + cos λt + 1 ( π π ) sin λt. λ 2λ Differentiaaliyhtälöparit. Laplace-muunnoksen menetelmää voi soveltaa myös differentiaaliyhtälöparien ratkaisemiseen (vrt. [2, s. 65]). Samalla tavoin kuin Laplace-muunnos muuttaa yksinkertaisen differentiaaliyhtälön yksinkertaiseksi algebralliseksi yhtälöksi, se voi muuttaa differentiaalliyhtälöparin algebralliseksi yhtälöpariksi. Seuraavassa esimerkissä oleva lineaarinen differentiaaliyhtälöpari tullaan muuntamaan algebralliseksi yhtälöpariksi. Nämä yhtälöt sisältävät muuttujan s ja tämä muunnos muuntaa muuttujan parametriksi. Tällaiset lausekkeet voivat yleisesti olla varsin monimutkaisia. (Vrt. [1, s. 63]). Esimerkki 3.9. [2, s. 74, tehtävä 6a] Ratkaise yhtälöpari 2 dx + 3x + y = dt (1) 2 dy + x + 3y = dt (2) Laplace-muunnosta apuna käyttäen, kun x() = 2 ja y() =. Otetaan ensiksi Laplace-muunnos molemmista yhtälöistä. Yhtälöstä (1) näin ollen saadaan 2L(x ) + L(3x) + L(y) = 2sL(x) x() + 3L(x) + L(y) = 2sL(x) 2 + 3L(x) + L(y) = (2s + 3)L(x) + L(y) = 2. 3

31 Vastaavasti yhtälöstä (2) saadaan 2L(y ) + L(x) + L(3y) = 2sL(y) y() + L(x) + 3L(y) = Yhtälöstä (1) saadaan Cramerin säännöllä L(x) + (2s + 3)L(y) =. L(x) = Vastaavasti yhtälöstä (2) saadaan L(y) = 4s + 6 4s s s s + 8. Tehdään molemmille yhtälöille osamurtokehitelmä, jolloin yhtälöstä (1) saadaan L(x) = 1 s s + 1. Samoin yhtälöstä (2) saadaan L(y) = 1 s s + 1. Molemmista yhtälöistä otetaan vielä käänteinen Laplace-muunnos, jolloin ratkaisuksi saadaan x(t) = e 2t + e t (1) y(t) = e 2t e t. (2) Integraaliyhtälöt. Tietyt differentiaaliyhtälöt on välttämätöntä laskea Laplace-muunnoksen integraalin avulla. Lause 3.4. Jos f on paloittain jatkuva välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua α ja niin g(t) = t L (g(t)) = 1 s L (f(t)) f(u)du, (Re(s) > α). 31

32 Todistus. (Vrt. [2, s. 66]). Nyt g (t) = f(t) lukuunottamatta funktion f epäjatkuvuuspisteitä. Osittaisintegroidaan, jolloin saadaan τ/ e st g(t)e g(t)dt = lim st + 1 τ e st f(t)dt. τ s s Koska g() =, riittää laskea Lopulta saadaan g(τ)e τ sτ e xτ Me xτ f(u) du τ e αu du = M α (e (x α)τ e xτ ) g(τ)e sτ lim. τ s kun τ silloin, kun x = Re(s) > α >. Vastaavasti tämä pätee, kun α =. Näin ollen L (g(t)) = 1 s L (f(t)) (Re(s) > α). Esimerkki 3.1. (Vrt. [2, s. 67]). Funktiota Si(t) kutsutaan sini-integraaliksi. Määritä tämän Lapalace-muunnos. t sin u L (Si(t)) = L u du = 1 ( ) sin t s L t = 1 s tan 1 1 s. 3.5 Konvoluutio Kahden funktion, f(t) ja g(t), missä t >, konvoluutio on tärkeä ratkaisumenetelmä monissa fysikaalisissa sovelluksissa. Tässä luvussa käsitellään konvoluutio ja sen yhteys Laplace-muunnokseen. 32

33 Määritelmä 3.2. (Konvoluutio). Kahden funktion f(t) ja g(t) konvoluutio f g määritellään integraalina (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ, missä funktiot f(t) ja g(t) ovat paloittain jatkuvia. (Vrt. [1, s. 37]). Yksi tärkeä konvoluution ominaisuus on yhteys Laplace-muunnokseen, missä kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos tuottaa näiden funktioiden Laplace-muunnoksien tulon. Tämä on esitetty seuraavassa konvoluutiolauseessa. Lause 3.5. (Konvoluutiolause). Jos f ja g ovat paloittain jatkuvia välillä [, ) ja eksponentiaalista kertalukua α, niin L[(f g)(t)] = L (f(t)) L (g(t)) (Re(s) > α). Todistus. (Vrt. [2, s. 92]). Yhtälön oikeasta puolesta saadaan L (f(t)) L (g(t)) = = e sτ f(τ)dτ e su g(u)du e s(τ+u) f(τ)g(u)du dτ. Merkitään t = τ + u ja huomataan, että τ on kiinnitetty sisemmässä integraalissa, jolloin du = dt. Näin ollen (3.24) L (f(t)) L (g(t)) = τ e st f(τ)g(t τ)dt dτ. Jos määritellään, että g(t) =, kun t <, niin g(t τ) =, kun t < τ. Näin ollen yhtälöstä (3.24) saadaan L (f(t)) L (g(t)) = e st f(τ)g(t τ)dtdτ. Koska funktiot f ja g toteuttavat Laplace-muunnoksen olemassaolon ehdon, funktioiden f ja g integraalit suppenevat itseisesti ja näin ollen e st f(τ)g(t τ) dtdτ 33

34 suppenee. Nyt voidaan muuttaa integrointijärjestys, jolloin saadaan L (f(t)) L (g(t)) = = = t e st f(τ)g(t τ)dtdτ t e st = L[(f g)(t)]. e st f(τ)g(t τ)dτ dt f(τ)g(t τ)dτ dt Esimerkki [2, s. 11, tehtävä 1c] Laske ( ) L 1 1 s 2 (s 2 + 1) konvoluutiota apuna käyttäen. Aikaisemmin käytettiin osamurtokehitelmää, mutta nyt voidaan kirjoittaa 1 s 2 (s 2 + 1) = 1 1 s 2 s 2 + 1, missä L(t) = 1 ja L(sin t) = 1. Konvoluutiolauseen nojalla saadaan s 2 s s 2 1 s = L(t sin t). Suoritetaan osittaisintegrointi. Merkitään u = sin(t τ) ja v = τ. Tehdään sijoitus, jolloin saadaan ( ) L 1 1 = t sin t s 2 (s 2 + 1) t τ sin(t τ)dτ = / t τ cos(t τ) = t cos(t t) + / t t = t cos + sin sin t = t sin t. cos(t τ)dτ sin(t τ) 34

35 Viitteet [1] Dyke, Philip P. G. An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, 3rd ed., Springer-Verlag, London, [2] Schiff, Joel L. The Laplace Transform Theory and Applications, Springer- Verlag, New York, [3] Internet: viitattu [4] Internet: viitattu

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Laplace-muunnos: määritelmä

Laplace-muunnos: määritelmä Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin

Lisätiedot

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt

Laplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt 8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.

Lisätiedot

Kompleksinen Laplace-muunnos

Kompleksinen Laplace-muunnos TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0

Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. e st f(t)dt, s > s 0 Laplace-muunnos (Kr. 6. Aalto Mat-.32/332, C3-II/KP3-II, 8/23, Kari Eloranta Matemaattisessa analyysissa on usein käyttökelpoista soveltaa integraalimuunnoksia. Yksi tärkeimmistä on Laplace-muunnos. Määritelmä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Mellin-muunnos ja sen sovelluksia

Mellin-muunnos ja sen sovelluksia Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen 25645 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia................

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt. Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

järjestelmät Luento 8

järjestelmät Luento 8 DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7

Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet

Lisätiedot