HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Transkriptio

1 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä ovat diskreetin jakauman kertymäfunktioita ja mitkä jatkuvan jakauman kertymäfunktioita? Laske diskreeteille jakaumille niiden pistetodennäköisyysfunktio ja jatkuville jakaumille niiden tiheysfunktio. kun x <, F (x) = (x + ) 4 /6 kun x <, kun x, kun x <, F (x) = 4 cos(x) kun x <, kun x, kun x <, / kun x < /4, F (x) = 8/ kun /4 x < 6/7, kun x 6/7, kun x <, F 4 (x) = x kun x <, kun x. Ratkaisu: Funktio F on selvästi kasvava ja lisäksi kaikilla x R, F (x+) = F (x) eli F on oikealta jatkuva. Selvästi myös F ( ) = ja F ( ) =, joten lauseen. nojalla F on kertymäfunktio. Täten on olemassa satunnaismuuttuja X, jolle F on X :n kf. Koska F ( ) = F (+) =, niin F 6 ei ole jatkuva pisteessä, jolloin se ei voi olla jatkuvan jakauman kertymäfunktio, koska tällöin sen tulisi olla jatkuva koko R:ssä. Kun x =, pistetodennäköisyys P(X = x) = P(X = ) = P(X ) P(X < ) = F () F ( ) = 6 = 6 ja kaikilla x R\{}, P (X = x) =. Ainoa nollasta poikkeava pistetodennäköisyys saadaan siten pisteessa x =. Funktio, kun x =, 6 f (x) =, muualla ei kuitenkaan voi olla pistetodennäköisyysfunktio (esim. Lause.4), joten satunnaismuuttuja X ei voi olla myöskään diskreetti eikä F siten voi olla diskreetin jakauman kf. Funktio F on myös kasvava ja oikealta jatkuva kaikilla x R ja lisäksi F ( ) = ja F ( ) =, joten lauseen. nojalla F on kertymäfunktio. Täten on olemassa satunnaismuuttuja X, jolle F on X :n kf. Huomataan, että F ei ole jatkuva pisteissä,, 6 ja, joten se ei voi olla jatkuvan jakauman kf. Kun x {,, 6}, niin =, kun x =, 8 P(X = x) = F (x) F (x ) = = 5, kun x =, 4 8 =, kun x = 6. 7

2 Muualla pistetodennäköisyys P(X = x) =. Merkitään Koska f on kaikkialla ei-negatiivinen ja, kun x =, 5 f (x) = P (X = x) =, kun x =, 4, kun x = 6. 7, muualla. f (x) =, x niin f on diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio ja siten myös F on diskreetin jakauman kf. Huomataan, että F () = 4 cos ( ) = 4 > = 4 cos ( ) = F (), joten F ei ole kasvava funktio, jolloin se ei voi olla kertymäfunktio. Funktio F 4 on selvästi kasvava, oikealta jatkuva ja lisäksi F 4 ( ) = ja F 4 ( ) =, joten lauseen. nojalla F 4 on kertymäfunktio. Koska lim F 4(x) = = lim F 4(x) ja x x + lim F 4(x) = = lim F 4(x) x x + ja muualla F 4 on polynomifunktiona tai vakiofunktiona selvästi jatkuva, niin F 4 on jatkuva koko R:ssä. Kun x < tai kun x >, niin derivaatta F 4(x) =. Kun x (, ), F 4(x) = x. Merkitään F 4 (x):llä funktion F 4 vasemmanpuoleista derivaattaa pisteessä x ja F 4 + (x):llä funktion F 4 oikeanpuoleista derivaattaa pisteessä x. Koska F 4 () = = = F 4 + (), niin F 4 on derivoituva pisteessä. Koska F 4 () = = = F 4 + (), niin F 4 ei ole derivoituva pisteessä. Koska muualla F 4 on polynomi- tai vakiofunktiona derivoituva (derivaatta itse asiassa johdettiin jo näissä alueissa), niin F 4 on derivoituva kaikkialla paitsi yhdessä pisteessä ja derivaatta F 4 on jatkuva kaikkialla paitsi tässä pisteessä. Nyt lauseen.7 nojalla F 4 on jatkuvan jakauman kertymäfunktio, eli on olemassa satunnaismuuttuja X 4, jolle F 4 on X 4 :n kf. X 4 :n tiheysfunktioksi (merk. f 4 ) voidaan saman lauseen nojalla valita F 4 :n derivaatta F 4. Derivaattaa ei ole määritelty pisteessä x =, mutta koska tiheysfunktion arvo voidaan valita vapaasti äärellisen monessa pisteessa, niin voidaan valita esimerkiksi f 4 () =, jolloin eräs X 4 :n tiheysfunktio on x, kun < x, f 4 (x) =, muualla.. Olkoon α >. Määritellään jatkuva jakauma, jonka tf on f(x) = k h(x), jossa h on h(x) = x α, kun < x <, ja h on nolla muualla. (a) Laske vakion k arvo, (b) johda jakauman kertymäfunktio, (c) johda jakauman kvantiilifunktio. Ratkaisu:

3 (a) Koska f on tiheysfunktio, niin = = k / f(x) dx = x α α = k α (α α ) = k α. Tästä voidaan ratkaista, että k = α. k x α dx = k x α dx (b) Koska tiheysfunktio tunnetaan, voidaan kertymäfunktio ratkaista lauseen.6 avulla. Olkoon F tehtävän jakauman kertymäfunktio. Kun x (, ), niin F (x) = x f(u) du = x α u α du = Lisäksi F (x) =, kun x ja F (x) =, kun x. x/ u α = x α. (c) Koska F on kertymäfunktio, niin sille on olemassa kvantiilifunktio F : (, ) (, ). Kvantiilifunktion lauseke voidaan selvittää ratkaisemalla x yhtälöstä eli F (u) = u α kaikilla u (, ). F (x) = u x α = u x = u α. Olkoon X > jatkuvasti jakautunut sm, jonka tf f X (x) on jatkuva ja aidosti positiivinen, kun x > (ja f X (x) = muuten). Laske satunnaismuuttujien Y ja Z kertymäfunktiot, kun Y = X, Z = X +. Tarkista, että sekä Y :n että Z :n jakauma on jatkuva (joko sovella lausetta.7 tai tarkista lauseen. oletukset). Laske lopuksi Y :n ja Z :n tiheysfunktiot. Ratkaisu: Koska X >, niin Y = X >. Nyt kaikilla y > pätee F Y (y) = P(Y y) = P ( X y ) = P ( ) X y = P ( ) ( ) X y = FX y. Nyt siis F Y on jatkuva pisteessä, koska, kun y (, ], F Y (y) = ( ) F X y, kun y (, ) lim F Y (y) = lim F X y + y + ( y ) = FX () = = lim y F Y (y). Muualla F Y on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta F X. Siten F Y on jatkuva koko R:ssä. Lisäksi F Y on derivoituva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteessä y = ja sen derivaatta, kun y R \ {}, on, kun y <, F Y ( ) (y) = ( ) f X y, kun y >. y

4 Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteessä y =. Näin ollen lauseen.7 nojalla F Y on jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja sen erääksi tiheysfunktioksi voidaan valita, kun y, ( ) f Y (y) = ( ) f X y, kun y >. y Koska X >, niin muunnoksen Z = Z < kaikilla X >. Nyt Siis Nyt X+ ( ) F Z (z) = P(Z z) = P X + z = P nimittäjä X + >. Tällöin Z > ja (X z ) = F X ( z ), kun z, ( F Z (z) = F X z ), kun z (, ), kun z ( ) lim F Z(z) = lim F X z + z + z = F X ( ) = = = lim F Z(z), z Eli F Z on jatkuva kohdassa. Lisäksi ( ) lim F Z(z) = lim F X z z z = F X () = = lim F Z(z). z + Näin ollen F Z on jatkuva pisteissä ja. Koska muualla F Z on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta, niin F Z on jatkuva koko R:ssä. Lisäksi F Z on derivoituva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteissä z = ja z = ja sen derivaatta, kun z R \ {, }, on ( F Z(z) f z = X z ), kun z (, ), muualla Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteissä z = ja z =. Näin ollen lauseen.7 nojalla F Z on jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja sen erääksi tiheysfunktioksi voidaan valita ( f z f Z (z) = X z ), kun z (, ), muualla. 4. Olkoon U U(, ) tasajakautunut sm. Etsi sellainen muunnos g : R R, että sm X = g(u) on a) on jatkuvasti jakautunut ja tf on f X (x) = { < x < } + { x }x 4 (vihje. kvantiilifunktio) b) on diskreetti ja ptnf on f X on f X (x) = { x {,, } } + { x = 8 } 5 5 (vihje. g porrasfunktio, jonka voit etsiä suoraan tai määritelmän.9 ja lauseen. avulla) Ratkaisu:

5 (a) Selvitetään ensin X :n kertymäfunktio F X Kun x <, F X (x) =. Kun x (, ), ja sitä kautta kvantiilifunktio F X. F X (x) = x f X (t) dt = x dt = x/ t = x. Kun x, on F X (x) = x + f X (t) dt = x + t 4 dt = x/ + x = x + = x. Koska F X on jatkuvan jakauman kf, niin sille on olemassa kvantiilifunktio F X. Kvantiilifunktion lauseke voidaan selvittää ratkaisemalla x yhtälöstä F X (x) = u. Kun x (, ), niin F X (x) = u (, ) ja F X (x) = u x = u x = u. Kun x [, ), niin F X (x) = u [, ) ja Kvantiilifunktioksi F X F X (x) = u x = u x = u x =. u : (, ) R saadaan siis F X (x) = u, kun u (, ), kun u [, ) u Nyt lauseen. nojalla satunnaismuuttujalla FX (U) on jakauma, jonka kertymäfunktio on F X ja siten myös tiheysfunktio f X. Muunnokseksi g : R R voidaan siten valita FX, kun vain valitaan, että g(u) =, kun u tai u. (b) Selvitetään jälleen aluksi X :n kertymäfunktio F X. Tälle diskreetille jakaumalle kertymäfunktio on porrasfunktio:, kun x <, kun x [, ) 5 F X (x) = P(X x) =, kun x [, ) 5, kun x [, 8) 5, kun x 8.

6 Kertymäfunktion F X yleistetty käänteisfunktio (määritelmä.9) F X (u) = inf{x : F (x) u} =, kun u (, ] 5, kun u (, ] 5 5, kun u (, ] 5 5 8, kun u (, ) 5 Nyt kuten äsken lauseen. nojalla satunnaismuuttujalla FX (U) on jakauma, jonka kertymäfunktio on F X ja siten myös pistetodennäköisyysfunktio f X. Muunnokseksi g : R R voidaan siten valita FX, kun vain valitaan, että g(u) =, kun u tai u. 5. Olkoon X jatkuvasti jakautunut sm, jonka tf on f X on jatkuva (mahdollisesti lukuunottamatta äärellisen monta poikkeuskohtaa). Olkoon g(x) = x { x < } + (x + ){ x }. Määrää sm:n Y = g(x) kf ja varmista, että Y on jatkuvasti jakautunut. Laske myös sen tiheysfunktio tapauksessa, kun X U(, ). Ratkaisu: Huomataan, että g(x) > kaikilla x, joten P(g(X) y) =, kun y. Kun < y <, niin Kun y, niin P(Y y) = P(g(X) y) = P({X y} ({X < }) = P( y X < ) = P(X < ) P(X < y) = F X () F X ( y). P(Y y) = P(g(X) y) = P[{g(X) y} ({X < } {X })] = P[({g(X) y} {X < }) ({g(x) y} {X })] = P[{g(X) y} {X < }] + P[{g(X) y} {X }]. Merkitään A = P[{g(X) y} {X < }] ja B = P[{g(X) y} {X }], jolloin P(Y y) = A + B, kun y. Nyt ja A = P[{g(X) y} {X < }] = P[{X y} {X < }] = P[{ y X y} {X < }] = P[ y X < ] = P[X < ] P[X < y] = F X () F X ( y) B = P[{g(X) y} {X }] = P[{X + y} {X }] = P[{X y } {X }] = P [ X y ] = P [ X y ] ( ) P [X < ] = F X y FX (). Näin ollen, kun y, saadaan P(Y y) = A + B = F X () F X ( ( ) y) + F X y FX () ( ) = F X y FX ( y).

7 Satunnaismuuttujan Y = g(x) kertymäfunktioksi saadaan siten Koska, kun y F Y (y) = P(Y y) = F X () F X ( y), kun < y < F X ( y ) F X ( y), kun y. lim F Y (y) = F X () F X ( ) = F X () F X () = = lim F Y (y), y + y niin F Y on jatkuva pisteessä y =. Lisäksi koska ja lim F Y (y) = F X () F X ( ) = F X () F X ( ) y lim F ( ) Y (y) = F X FX ( ) = F X ( ) F X ( ) = F X () F X ( ), y + niin F Y on jatkuva pisteessä y = ja siten koko R:ssä, koska muualla F Y on jatkuva joko vakiofunktiona tai yhdistettynä funktiona jatkuvasta funktiosta. Lisäksi F Y on derivoituva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteissä y = ja y = ja sen derivaatta, kun y R \ {, }, on, kun y < F Y (y) = f y X( y), kun < y < ( f y ) X ( y ) + f y X( y), kun y >. Derivaattafunktio on jatkuva kaikkialla, paitsi mahdollisesti pisteissä y = ja y =. Täten lauseen.7 nojalla F Y on jatkuvan jakauman kertymäfunktio, eli satunnaismuuttuja Y on jatkuvasti jakautunut. Y :n tiheysfunktioksi voidaan valita sen kertymäfunktion derivaatta ja tf:n arvot pisteissä ja voidaan valita vapaasti. Näin ollen Y :n tiheysfunktioksi kelpaa, kun y f Y (y) = f y X( y), kun < y ( f y ) X ( y ) + f y X( y), kun y >. Tapauksessa X U(, ), on, kun x (, ) f X (x) =, muualla, jolloin < Y = g(x) < 9 ja, kun y f Y (y) =, kun < y y (, kun < y < 9 y ), kun y 9 6. (Kriittisiä pisteitä kvantiilifunktion avulla.) Olkoon Y jatkuvasti jakautunut sm, jonka kvantiilifunktio q on kertymäfunktion tavanomainen käänteisfunktio. Oletetaan lisäksi, että kvantiilifunktion q arvot osataan laskea. Annettuna on luku < α <.

8 (a) Etsi pisteet y ja y siten, että P(Y < y ) = P(Y > y ) = α. Ratkaisu: Tehtävän oletusten nojalla pätee P(Y < y ) = P(Y y ) = F (y ) = α ( ) q α = y Vastaavasti P(Y > y ) = P(Y y ) = F (y ) = α F (y ) = α q ( ) α = y Kaikilla < α < voidaan siis valita y = q ( α) ja y = q ( α).