Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7

Transkriptio

1 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet eli Fourier-muunnos r ŝ : Z C. [Vihje: Eulerin kaavat cos(α) (e iα + e iα )/, sin(α) ] Ratkaisu 7.1. Eulerin kaavan avulla voidaan funktiot sin ja cos kirjoittaa muodoissa {sin(t) eit e it i cos(t) eit +e it. Näin ollen signaali s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt) voidaan kirjoittaa muodossa s(t) 1 + e4πit + e 4πit + e6πit e 6πit i 1 + e4πit + e 4πit + e6πit i e 6πit. (7.1) i Koska signaali s(t) on 1-periodinen (s(t) s(t + 1)), on sen Fourier-muunnos muotoa s(t) j Z ŝ(j)eiπjt. Lauseke (7.1) on selvästi juuri tätä muotoa, ja siitä nähdään ŝ() 1 ŝ() 1 ŝ( ) 1 ŝ(3) 1 i ŝ( 3) 1 i ŝ(j) muutoin. Harjoitustehtävä 7.. Laske signaalin s : R/Z C Fourier-kerroinmuunnos ŝ : Z C, kun [Vihje: Eulerin kaava cos(α) (e iα + e iα )/.] s(t) cos(πt). 1

2 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Ratkaisu 7.. Hyödynnämme jälleen Eulerin kaavoja trigonometrisille funktioille juuri kuten 1. tehtävässä: [ ] e πit + e πit s(t) e 4πit e4πit 4 ŝ(j)e πijt. j Z Fourier-kertoimet ovat siis: ŝ( ) 1 4 ŝ() 1 ŝ() 1. 4 Harjoitustehtävä 7.3. Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z C, s(t) t (missä t < 1/). Ratkaisu 7.3. Lasketaan Fourier-kertoimet ŝ(j) signaalille s(t) t, t 1/. Kun j Z/{}, niin Fourier-kertoimet ovat ŝ(j) 1 t 1 t 1 te iπtj dt t iπj e iπtj 1 1 4iπj e iπj 1 4iπj eiπj i 4πj e iπj + i πj cos(πj) i 4πj eiπj i πj ( 1)j. 1 iπj e iπtj dt Kun j, saadaan Näin ollen muunnos ŝ(j), j Z on ŝ() 1 t dt. ŝ(j) { i πj ( 1)j, kun j, kun j.

3 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.4. Olkoon < r < 1. Poisson-näyteydin φ r kaavalla φ r (t) : r ν e iπt ν. : R/Z R määritellään Näytä laskemalla, että Poisson-ytimen suurin ja pienin arvo. φ r (t) dt 1 ja että φ r (t) 1 r. Laske myös 1 + r r cos(πt) Ratkaisu 7.4. Osoitetaan ensiksi, että φ r(t) dt 1: r ν e iπt ν dt 1 r ν e iπt ν dt Yllä käytettiin myös tulosta e iπt ν dt { 1, kun ν /{}, kun ν Z \ {}. Ratkaistaan nyt tehtävän toinen osa: merkitään summassa iπt a, jolloin φ r (t) r ν e aν 1 ν r ν e aν + r e + Vaihdetaan ensimmäisessä sarjassa indeksiä ν µ φ r (t) r µ e aµ + r e + µ1 r ν + r 1 1. r ν e aν. ν1 r ν e aν, jonka jälkeen nähdään, että sarjan termit ovat muotoa (q) k (re ±a ) k, toisin sanottuna kyseessä on geometrinen sarja. Suppenevan geometrisen sarjan summaksi tiedetään S k1 qk q (kun q < 1). Tällöin 1 q pätee φ r (t) r µ e aµ + r e + r ν e aν re a rea re a 1 re a µ1 ν1 re a (1 re a ) (1 re a )(1 re a ) + (1 re a )(1 re a ) (1 re a )(1 re a ) + re a (1 re a ) (1 re a )(1 re a ) 1 r 1 + r r(e a + e a ) 1 r 1 + r r(e iπt + e iπt ). 1 Äärettömän sarjan summan siirtämisen integraalin ulkopuolelle voi perustella esim. Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseella. 3 ν1

4 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Tästä saamme jälleen Eulerin kaavan cos t eit +e it avulla Annetulla vakion r arvolla funktio φ r (t) x 1 r 1 + r r cos(πt). 1 r 1 + r rx on kasvava välillä x [ 1, 1], joten funktio saa ääriarvonsa välin päätepisteissä. Koska 1 cos(πt) 1, t R/Z, saamme max φ r (t) t R/Z min φ r (t) t R/Z 1 r 1 + r r (1) 1 r 1 + r r ( 1) (1 r)(1 + r) (1 r) 1 + r 1 r (1 r)(1 + r) (1 + r) 1 r 1 + r. Harjoitustehtävä 7.5. Olkoon s : R/Z C sileä. Perustele välivaiheet seuraavassa laskussa: s(t) lim lim lim s(u) φ r (t u) du s(u) ŝ(ν) r ν e iπt ν ŝ(ν) e iπt ν. r ν e iπ(t u) ν du Ratkaisu 7.5. Poisson-ydin φ r lähestyy Diracin deltaa, kun r 1, kuten voidaan arvata katsomalla luentomonisteiden kuvaajia (s. 45). Poissonin ytimen raja-arvon kautta tulkittuna tämä tarkoittaa s(t) lim s(u)φ r (t u) du. 4

5 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Tämän voi perustella vielä täsmällisesti tarkastelemalla erotusta s(t) 1 s(u)φ r (t u) du s(t) φ r (t u) du s(u)φ r (t u) du }{{} 1 r> s(t)φ r (t u) du s(u)φ r (t u) du [s(t) s(u)]φ r (t u) du s(t) s(u) φ r (t u) du s(t) s(u) φ r (t u) du. Poissonin ytimen raja-arvo lim r 1 φ r (x) on nolla kaikilla x. Toisin sanoen jokaiselle 1 > δ > pätee lim φ r(t u), kun t u δ r 1 ja erityisesti jokaiselle ε > on olemassa < r < 1 siten, että pätee φ r (t u) du < ε, (7.) kun 1 > r > r. Kun oletetaan, että funktio s(t) on jatkuva, tiedetään myös ε > δ > : t u < δ s(t) s(u) < ε. Jaetaan edellisen epäyhtälöketjun viimeinen integraali kahteen osaan s(t) s(u) φ r (t u) du s(t) s(u) φ r (t u) du + s(t) s(u) φ r (t u) du max s(t) φ r (t u) du + s(t) s(u) φ r (t u) du t [,1] }{{} :M M φ r (t u) du + s(t) s(u) φ r (t u) du. Olkoon nyt ε >. Kun oletetaan funktio s(t) jatkuvaksi, voidaan valita δ > siten, että s(t) s(u) < ε. Huomautuksen (7.5) perusteella on olemassa r, jolle pätee φ r (t u) du < ε, 5

6 MS-C14, Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 kun 1 > r > r. Liittämällä nämä arviot edelliseen epäyhtälöketjuun saadaan M φ r (t u) du + s(t) s(u) φ r (t u) du < Mε + ε φ r (t u) du < (M + 1)ε } {{ } <1 kaikille 1 > r > r. Saatiin siis osoitettua, että jokaiselle positiiviselle luvulle ε on olemassa säde < r < 1 siten, että pätee s(t) s(u)φ r (t u) du < ε kaikilla 1 > r > r, mikä tiiviimpään muotoon kirjoitettuna on tehtävän ensimmäinen vaihe s(t) lim s(u)φ r (t u) du. Seuraavat vaiheet saadaan perusteltua lyhyemmin. Kirjoitetaan auki Poissonin ydin summakaavan avulla ja saadaan lim s(u) r ν e iπ(t u)ν du lim lim r ν e iπtν s(u)e iπuν du r ν e iπtν ŝ(ν), missä jälkimmäinen yhtälö seuraa suoraan Fourier-kertoimien määritelmästä. Selvästi kun r 1, niin r ν 1, ν, joten mikäli aiemmin jatkuvaksi oletettu funktio on niin mukava, että myös summa ŝ(ν)eiπtν suppenee itseisesti, voidaan päätellä tehtävän viimeinen vaihe lim r ν e iπtν ŝ(ν) ŝ(ν)e iπtν. Summa suppenee tasaisesti, kun r < 1, joten summauksen ja integroinnin järjestyksen voi vaihtaa. 6