Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Transkriptio

1 X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan A:n liittomatriisiksi (engl. adjoint). Jos x C n, y C m ja A on kompleksinen matriisi kokoa m n, niinliittomatriisinjac m :n skalaaritulon määritelmistä seuraa helposti (vrt. reaalinen tapaus edellä) Ax, y = x, A y. Jos A = {a ij } n i,j= on neliömatriisi ja A = A, ts.a ji =ā ij i, j, niinsanotaan, että A on hermiittinen (engl. Hermitean): A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. Esimerkki 5 Yleinen hermiittinen matriisi kokoa 2 2 on muotoa [ ] a c A =, c b missä a, b R ja c C. HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Laske 2A +3B, A B T, AB ja BA, kun A = 3 2, B = Olkoon A = [ ], B = Laske AB, AC, BC, CA ja BA T , C =

2 X.. Matriisialgebra Pitkäranta: Calculus Fennicus 3. Millä matriisien tyyppiä koskevilla oletuksilla tulot AB ja BA ovat molemmat määriteltyjä, b) samaa tyyppiä? 4. Olkoon a = [, 3, 5, 2], b =[, 3, 2, 4] T, A =(( ) i+j,i=, 2, j=, 2, 3, 4). Laske vektorien/matriisien a, b, A keskinäisistä (kaksittaisist tuloista kaikki, jotka ovat määriteltyjä. 5. Matriisit A ja B ovat kokoa 0 0 ja niiden alkiot ovat a ij = i + j ja b ij = i j. LasketulomatriisinC = AB alkio c ij. 6. Olkoon A = a, B = b c c c d d c d d Määritä luvut a, b, c, d siten, että A 0, B 0, A 2 = A, B 2 = B ja AB = Määritä matriisi A, kuntiedetään,että A = 3, A = 2, A = Hae kaikki matriisit B, jotkakommutoivatmatriisin [ ] [ 0 0 A =, b) A = 0 0 kanssa. 9. Olkoon A ja B samaa kokoa olevia neliömatriiseja. Todista: (A + B) 2 = A 2 +2AB + B 2 A ja B kommutoivat b) A ja B symmetriset AB symmetrinen A ja B symmetriset ja kommutoivat AB symmetrinen 0. Laske A k k N, b) B =(I + A) 00,kun A = , I = ]

3 X.. Matriisialgebra. Todista matriisitulon transponointisääntö (AB) T = B T A T. b) Näytä, että jokainen neliömatriisi on esitettävissä yksikäsitteisesti muodossa A = B + C, missäb on symmetrinen ja C on vinosymmetrinen: C + C T = Olkoon A = , b = 2 3 x, x = y. z Sievennä lauseke f(x, y, z) =x T Ax + b T x toisen asteen polynomiksi. 3. Laske Ax, Bx, AB, (AB) ja B A,kun [ ] 2 i i i 3 i i 2+i A =, B = i 2 +i, x = 3 i. i 2i 3+2i 3i 2+2i i 2+i 4. (*) Jos reaalinen matriisi A =(a ij ) kokoa m n tulkitaan avaruuden R mn alkiona, niin ko. avaruuden euklidista normia vastaa matriisinormi ( m /2 n A = aij) 2. i= j= Näytä, että pätee Ax A x x R n. 5. (*) Olkoon x R ja määritellään x A = 0 x x, I = , x exp(a) =I + k= k! Ak. Laske matriisin exp(a) alkiot x:n funktiona. 6. (*) (Naudat laitumell Nautalaumassa on on 83 täysin ruskeata eläintä, 77 sarvipäätä, 36 sukupuoleltaan sonnia, 22 ruskeata sarvipäätä, 5 ruskeata sonnia, 25 sarvipäistä sonnia ja 7 ruskeata sarvipäistä sonnia. Kaikki lauman eläimet kuuluvat johonkin mainituista ryhmistä. Montako eläintä laumassa on? Vihje: Jaa eläimet pistevieraisiin ryhmiin, esim. ruskeita sarvipäisiä sonneja x kpl... ei-ruskeita sarvettomia lehmiä x 8 kpl. Kirjoita lineaarinen yhtälöryhmä ja ratkaise! 669

4 X.2. Neliömatriisit. Käänteismatriisi HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Olkoon A, B ja C samaa kokoa olevia neliömatriiseja. Todista: A säännöllinen ja symmetrinen A symmetrinen. b) CA = CB ja C säännöllinen A = B. AB singulaarinen A tai B singulaarinen. d) A singulaarinen ja B säännöllinen AB ja BA singulaariset. e) A ja B ortogonaaliset AB ortogonaalinen. 2. Tarkista kokoa 2 2 olevan matriisin käänteismatriisin laskusääntö [ ] a b = [ ] d b, D = ad bc 0. c d D c a 3. Näytä, että jokainen ortogonaalinen 2 2-matriisi voidaan kirjoittaa jollakin θ R jompaan kumpaan seuraavista muodoista: [ ] [ ] cos θ sin θ cos θ sin θ A = tai A =. sin θ cos θ sin θ cos θ b) Olkoon A kokoa 3 3 oleva ortogonaalimatriisi,jonka alkioista tiedetään: a = 3 7, a 2 = 2 7,a 22 = 6 7,a 2 < 0, a 3 > 0, a 3 < 0. LaskeA ja A. Totea, että yhtälöryhmässä 2 x 3 + x x 3 3 = 3 x 2 x x 3 =2 x x 2 3 =3 kerroinmatriisi on ortogonaalinen. Ratkaise tätä tietoa käyttäen! d) Matriisilla A = on ominaisuus: λa on ortogonaalinen eräällä λ R. Määritätätätietoa hyväksi käyttäen vaakavektori x T siten, että x T A = [7, 3, 3, 9]. 4. Olkoon H = I xx T,missäx R n, x 0 ja x.näytä,ettäeräällä λ R pätee H = I + λxx T. b) Olkoon x R n, x 0 ja r =2 x 2.Näytä,ettäH = I r xx T on symmetrinen ja ortogonaalinen matriisi. Näytä, että jos matriisille A pätee A + A T = 0 ja I + A on säännöllinen matriisi, niin B =(I + A) (I A) on ortogonaalinen. 679

5 X.2. Neliömatriisit. Käänteismatriisi Pitkäranta: Calculus Fennicus 5. Onko joukon (, 2,...,0) permutaatio (4, 6, 2, 7, 9,, 3, 0, 5, 8) parillinen vai pariton? 6. Matriiseista V ja V 2 kokoa 3 3 tiedetään, että kertoessaan vasemmalta matriisin A matriisi V vaihtaa A :n rivienja2järjestyksenjav 2 rivien 2ja3järjestyksen.Millaisenrivienpermutoinninsillointuottavat V V 2 ja V 2 V?MääritämyösV ja V 2 sekä mainitut tulot. 7. Olkoon A =(a ij ) kokoa n n ja D = diag{d i,i=...n}. Määritä matriisien AD ja DA alkiot. b) Olkoon n, k N, n 2, k n, A =(a ij ) kokoa n n, a ii = a 0kun i k, a kk = b 0, a ik = c 0kun i>kja a ij =0muulloin. Määritä käänteismatriisin A alkiot. 8. Määritä seuraavien kolmiomatriisien käänteismatriisit ratkaisemallayleinen lineaarinen yhtälöryhmä, jonka kerroinmatriisina on ko. matriisi. [ ] b) d) e) f) (*) Näytä Lauseeseen X.2.6 vedoten, että neliömatriiseille pätee: AB säännöllinen A ja B säännölliset. b) A 2 +3A +2I = 0 A säännöllinen. 0. (*) Näytä, että on olemassa permutaatiomatriisit U ja V siten, että pätee A = = U V Laske käänteismatriisi A tämän tiedon avulla. Tarkista, että AA = I.. (*) Olkoon a, b R ja b 0.Näytämatriisialgebranavulla,ettäpätee: Differentiaaliyhtälöllä y +ay +by = x 00 on yksittäisratkaisuna polynomi astetta

6 X.3. Gaussin algoritmi kuormitus ristikkorakenteessa, vrt. Luku X.8), niin Gaussin algoritmin eliminaatiovaiheen toistaminen pystytään välttämään pelkän LU-hajotelman avulla: Kun hajotelman matriisit L ja U tallennetaan, niin yhtälöryhmä Ax = b voidaan purkaa kahdeksi peräkkäiseksi yhtälöryhmäksi: LUx = b Ly = b, Ux = y. Nämä ratkeavat eteen- ja takaisinsijoituksilla, jolloin yhtälöryhmän ratkaisemisen työmääräksi tulee W n 2 (ks. Harj.teht. 5b). Jos A olisi tallennettu, olisi työmäärä sama, joten käänteismatriisin laskemisella ei voiteta mitään (!). HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Kirjoita seuraavat yhtälöryhmät taulukkomuotoon ja ratkaise Gaussin algoritmilla. Laske myös kerroinmatriisien LU-hajotelmat. { { x + y =33 x + ay = b) (a ±) 2x +4y =00 ax + y =2 x +3x 2 x 3 =4 x +2x 2 +3x 3 = x + x 2 +2x 3 =7 d) x + x 2 x 3 =2 2x +6x 2 +2x 3 =20 x 6x 3 =4 x + x 2 +2x 3 = x x 2 +4x 3 =8 e) x + x 2 = f) x 2x 2 +3x 3 =0 3x x 2 +3x 3 = 3 2x +4x 2 5x 3 =8 g) 2. Olkoon 2x x 2 = x +2x 2 x 3 =2 x 2 +2x 3 x 4 = x 3 +2x 4 = h) 2x x 2 x 4 = 4 x +2x 2 x 3 = x 2 +2x 3 x 4 =4 x x 3 +3x 4 = A = 2 2 0, b =, b 2 = Ratkaise Gaussin algoritmilla yhtälöryhmät Ax = b ja Ax = b 2 ja laske matriisin A LU-hajotelma. 69

7 X.3. Gaussin algoritmi Pitkäranta: Calculus Fennicus 3. Olkoon 0 0 A = Laske käänteismatriisi A Gaussin algoritmilla ratkaisemalla yhtälöryhmä Ax = b yleisellä b R 4 (symbolinen lasku), b) ratkaisemalla taulukkomuodossa yhtälöryhmät Ax = e i,i= Näytä, että jos lineaarisen yhtälöryhmän kerroimatriisi A on symmetrinen, niin Gaussin algoritmi säilyttää symmetrisenä sen matriisin osan, johon eliminaatio ei ole vielä edennyt, ts. (k ):n eliminaatioaskeleen jälkeen pätee a (k ) ji = a (k ) ij i, j k. Päättele, että Gaussin algoritmin vaatima laskutyö on symmetrisen kerroinmatriisin tapauksessa W = 6 n3 + O(n 2 ). 5. Olkoon A, B matriiseja kokoa n n, L, U ala- ja yläkolmiomatriiseja samaa kokoa ja b R n.näytäoikeaksiseuraavatlaskuoperaatioidentyömääriä koskevat arviot (työyksikkö = kertolasku + yhteenlasku). A, b Ab n 2 + O(n) b) L, b L b 2 n2 + O(n) A, B AB n 3 + O(n 2 ) d) L, U LU 3 n3 + O(n 2 ) 6. (*) Näytä, että laskuoperaation A A työmäärä Gaussin algoritmin eri vaihtoehdoissa on (A kokoa n n, työyksikkö=kertolasku+yhteenlasku) [ A I ] [ I A ] n 3 + O(n 2 ) b) A A = U L n 3 + O(n 2 ) 692

8 X.4. Tuettu Gaussin algoritmi HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Näytä, että tuetun Gaussin algoritmin kuluessa suoritetut tukioperaatiot (rivien ja sarkkeiden vaihdot) voidaan suorittaa ennen eliminaatioita lopputuloksen muuttumatta. b) Olkoon A matriisi kokoa n n ja olkoon A k matriisi kokoa k k, joka koostuu A:n alkioista a ij, i,j =...k.näytä,ettäyhtälöryhmäax = b ratkeaa Gaussin algoritmilla ilman tukioperaatioita täsmälleen kun A k on säännöllinen matriisi jokaisella k =...n. 2. Muunna singulaariseen perusmuotoon tuetulla Gaussin algoritmilla, määritä ratkaisut tai totea ratkeamattomuus: 2 3 x 8 0 x y = 4 b) 2 x 2 = 6 z x 3 2 d) x x 2 x 3 x 4 = x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 0 = Määritä A:n säännöllisyysaste, kaikki yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisut sekä tulohajotelma A = V T LUW T,kunA = d) b) e) f)

9 X.4. Tuettu Gaussin algoritmi Pitkäranta: Calculus Fennicus 4. Saata seuraavat yhtälöryhmät tuetulla Gaussin algoritmilla singulaariseen perusmuotoon. Määritä ratkeavuusehdot ja yleinen ratkaisu sekäedelleen kerroinmatriisin tulohajotelma A = V T LUW T x b x 2 = b 2 b) x 3 b 3 x b x 2 x 3 x 4 = b 2 b 3 b 4 x 5 b x x 2 x 3 x 4 = 5. Muunna singulaariseen perusmuotoon ja ratkaise, mikäli mahdollista: [ ] x 0 4 [ ] 2 [ ] x = b) 4 6 x = 4 3 y x e) x x 2 x Olkoon A = = 2 4 d) x x 2 x 3 x 4 = x y = 4 z , b) A = Määritä Gaussin algoritmilla ratkeavuusehdot ja yleinen ratkaisu yhtälöryhmille Ax = b (b R 3 )jaa T x = b (b R 4 ).. b b 2 b 3 b 4 702

10 X.5. Determinantti Cramerin sääntö Determinantin muista käyttömuodoista on syytä vielä mainita (ilman todistusta, ks. Harj.teht. ) seuraavat kaksi laskusääntöä. Lause X.5.7 (Cramerin sääntö) Jos A on säännöllinen neliömatriisi kokoa n n, niinyhtälöryhmänax = b ratkaisu on x =(x i ), x i = det A(i) det A, i =... n, missä A (i) saadaan A:sta korvaamalla i:s sarake b:llä. Lause X.5.8 Säännöllisen matriisin A käänteismatriisi on A = B T, i+j det A(ij) [B] ij =( ) det A. Cramerin säännöllä on pienikokoisia yhtälöryhmiä ratkaistaessa edelleen jonkin verran käyttöä käsinlaskussa. Etenkin jos kerroinmatriisin alkiot ovat kokonaislukuja, voidaan säännöllä minimoida (käsinlaskussa vaivalloiset) jakolaskut. Myös symbolisessa (käsin)laskennassa Cramerin säännöllä on käyttöä samaan tapaan kuin determinantilla yleensä. Numeerisessa matriisilaskennassa sen sijaan Cramerin säännöllä on kyseenalainen kunnia esiintyä maailman huonoimpana lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisualgoritmina. HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Näytä, että ortogonaalisen matriisin determinantilla on vainkaksimahdollista arvoa: Joko det A =tai det A =. 2. Laske Sarrus n säännöllä: b) Olkoon α, β, γ R. Laske α α 2 α + β α+2β α+3β β β 2 b) α +3β α+ β α+2β γ γ 2 α +2β α+3β α+ β 2 α α 2 α 2 α α α 3 Sveitsiläinen matemaatikko Gabriel Cramer ( ) oli determinanttiteorian uranuurtajia teoksellaan Introduction à l analyse des lignes courbes algébrigues (750). 7

11 X.5. Determinantti Pitkäranta: Calculus Fennicus Laske alideterminanttikehitelmällä, b) ja Gaussin algortimilla, d) molemmilla: b) d) Laske det B, kun B =( 5AA T ) 7 ja A = Määritä kaikki reaaliset tai kompleksiset λ:n arvot, joilla seuraavat matriisit ovat singulaarisia. [ ] λ λ 4 b) λ λ λ 6 λ 3 3 λ 4 4 λ 2 d) λ Olkoon a,...,a n R n,jamääritellään. λ 2 2 λ 3 2 +λ b k = a k, b j = a j + β j a k, j =...n, j k, missä k n ja β j R. NäytädeterminanttifunktionV ominaisuuksien perusteella, että pätee V (b,...,b n )=V (a,...,a n ).Mitentämätulos liittyy Gaussin algoritmiin sovellettuna matriisiin A =[a...a n ] T? 8. Neliömatriisi A =(a ij ) olkoon kokoa n n ja tridiagonaalinen, ts.a ij =0, kun i j 2. Edelleenolkoona ii =, i =...n,jaa ij = λ, kun i j =. Näytä, että determinantille D n =deta pätee palautuskaava D n = D n λ 2 D n 2. b) Laske D n,n=2...0, kunλ =2.Josλ =, niin millä n:n arvoilla A on singulaarinen?

12 X.5. Determinantti 9. (*) Näytä, että jos determinantti kokoa n 3 lasketaan alideterminanttisäännöllä, niin tarvittava kertolaskujen lukumäärä on n W n = n! k!. 0. (*) Määritellään determinanttifunktio V (a,...,a n )=det[a...a n ] palautuvasti käyttäen Lauseen X.5.5 ensimmäistä purkusääntöä (k =)sekä sääntöä det a = a determinantille kokoa n =. Näytä induktiolla, että mainitulla tavalla määritellyllä funktiolla on determinanttifunktion ominaisuudet (i) (iii). b) Näytä, että jos p = (i,...,i n ) on joukon (,...,n) permutaatio ja I p =[e i...e in ],niina-kohdanmääritelmänmukaisestionjokodet I p = tai det I p =. Päättele,ettäedellisessätapauksessapermutaatiop on parillinen (eli saavutettavissa parillisella määrällä parivaihtoj ja jälkimmäisessä pariton siis jokainen permutaatio on jompaa kumpaa tyyppiä.. (*) Valitsemalla b = b j e j, j =...n johda Cramerin sääntö alideterminanttisäännöstä. Todista edelleen Lause X.5.8 lähtien Cramerin säännöstä. k= 73