MATRIISIALGEBRA. Harjoitustehtäviä syksy Olkoot A =, B =

Transkriptio

1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy Olkoot, B =, C = Määrättävä A + B, 4A 2B, A T, C T, (A T ) T. 2. Jos A, B ja C ovat kuten edellisessä tehtävässä, onko a) C + C T määritelty, b) A + C määritelty, c) ovatko A ja B symmetrisiä. Totea, että AB BA. 3. Merkitään 2, B = 3 0 2, C = Laskettava (mikäli mahdollista) a) CB, A T B, AB; b) B T CA, BCA. 4. Olkoot a c e b d 2 3 7, B = ja C = f 0 matriiseja, missä a, b, c, d, e ja f ovat reaalilukuja. Tarkastellaan matriisituloja (AB) T ja B T A T C ja C T AB. Määrää kunkin matriisitulon tulos, jos kyseinen matriisitulo on määritelty. Jos jokin matriisituloista ei ole määritelty, niin perustele miksi ei Määrää kaikki matriisit, jotka kommutoivat matriisin kanssa Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 5 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 8. Ratkaise yhtälöryhmä x 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x + 5x 2 + 9x 3 = 9 9. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 0. Digitaalisessa kuvankäsittelyssä kuva esitetään kuvamatriisin f avulla ja kuvan ominaisuuksia kuvataan f:n Fourier-muunnoksen F = F(f) = AfB avulla. Kun f on 4 2-matriisi, niin j j, 4 j j

2 B = 2 ( ) ja j on imaginaariyksikkö (j 2 = ). a) Osoita, että A:n käänteismatriisi A = 4Ā, missä Ā on A:n konjugaattimatriisi, ja laske B. b) Määrää alkuperäinen kuvamatriisi f, kun sen Fourier-muunnos on 3 F = 3j 2 + 3j. 8 3j 2 3j. Ratkaise seuraava yhtälöryhmä ilman matriisimerkintöjä 3s t = 4 s + 2t = 3s + 2t = 6 2. Totea, että yhtälöryhmän 2 3 x + 2 x 2 2 x 3 3 = 3 x 2 x x 3 = 2 2 x x 3 = 3 kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 3. a) Onko kaava (A B)(A + B) = A 2 B 2 aina voimassa, kun A ja B ovat samaa lajia olevia neliömatriiseja? Perustelu! b) Poista sulut lausekkeesta (A + B) Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 3x + x 2 x 3 = 4 6x + 2x 2 + 2x 3 = 20, x x 2 + 2x 3 = 7 b) 2x x 3 = + x 2 2x x 2 x 3 + 2x 4 = 2x x 3 + 2x 2 + x + x 4 5 = 0 0 = x + 3x 2 x c) x + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 x + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 =, 2x + 8x 2 + 8x 3 + 2x 4 =. d) 3x + 6x 2 + x 3 = 5 x + 3x 2 x 3 = 3. x + 2x 2 + 2x 3 = 4 5. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin jokainen kala tarvitsee viikossa yksikön ruokaa A, yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2, ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan yksikköä ruokaa A, yksikköä ruokaa B ja yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 6. Ratkaise kerralla yhtälöryhmät Ax = b i, i =, 2, 3, 4, kun , b = (, 0, 0) T, b 2 = (0, 6, 26) T, b 3 = (2,, 2) T ja b 4 = (0,, 2) T

3 7. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) b) c) 8. a) Olkoon matriisi x Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi kun x = 3. Millä x:n arvolla A:lla ei ole käänteismatriisia? b) Olkoon A diagonaalimatriisi, diag( x, 2 x, 3 x, 4 x,..., 70 x). Määrää A:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla A:lla ei ole käänteismatriisia? Laske matriisin käänteismatriisi A Ratkaise yhtälöryhmä x + x 2 2x 3 + 2x 4 = 3x + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x + x 2 + 3x 4 = käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A. 20. a) Määrää matriisin LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. b) Ratkaise yhtälöryhmä 3x 7x 2 2x 3 = 7 3x + 5x 2 + x 3 = 5 6x 4x 2 = 2 2. Olkoot kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. 0 0 ja b = Muodosta matriisin A QR-hajoitelma ja laske x = (A T A) A T b sekä x = R Q T b. 22. Matriisit B ja C ovat sarakeortogonaalisia. Laske A T A, kun BC

4 23. Mitkä seuraavista joukoista ovat vektorivaruuden R 3 aliavaruuksia: a) {(x, x 2, x 3 ) R 3 2x x 2 + x 3 + = 0} b) {(x, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x = 2x 3 } c) {(x, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = x 3 x 2 } 24. Mitkä seuraavista joukoista ovat reaalisten matriisien muodostaman vektoriavaruuden aliavaruuksia: a) kaikkien symmetristen matriisien joukko, b) kaikkien singulaaristen matriisien joukko? 25. Selvitä onko vektorijoukko {(4, 3, 2), (2, 3, 5), (,, )} R 3 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. 26. a) Selvitä onko vektorijoukko {(,, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (,, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0,, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko polynomijoukko { + t 2t 2 + 2t 3, 3 + 2t 4t 2 + 5t 3, 2t + 3t 2 2t 3, + t + 3t 3 } vapaa korkeintaan 3:tta astetta olevien reaalikertoimisten polynomien muodostamassa vektoriavaruudessa P 3 (R). Jos on, niin lausu polynomi t 2 polynomijoukon polynomien lineaarikombinaationa. c) Selvitä onko matriisijoukko {, , , 3 2 } 0 3 ( vapaa reaalisten ) 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa a) Tutki, muodostavatko vektorit (0,, 0, ), (0, 0, 2, 0), (, 0,, 0) ja (0,, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. b) Olkoon P n (R) korkeintaan n:ttä astetta olevien reaalikertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus. Tutki muodostaako polynomijoukko { + t, t, t 2 + t 3, t 2 t 3 } polynomiavaruuden P 3 (R) kannan. Jos muodostaa, niin määrää polynomin + 2t + 3t 2 + 4t 3 koordinaatit tämän kannan suhteen. c) Määrää reaalisten 2 2 matriisien muodostaman vektoriavaruuden jokin kanta ja määrää matriisin koordinaatit tämän kannan suhteen. d) Virittävätkö matriisijoukot {, } ja {, } 7 0 saman aliavaruuden reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa? 28. Vektorijoukot S = {(0,, 0), (,, 0), (, 2, 3)} ja S 2 = {(,, 0), (,, ), (, 2, )} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S ovat 3, 2 ja. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Olkoon P 2 (R) korkeintaan astetta 2 olevien reaalikertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus. Polynomijoukot S = {t, +t, +2t t 2 } ja S 2 = {, t, t 2 } ovat polynomiavaruuden P 2 (R) kantoja. Polynomin q(t) koordinaatit kannassa S 2 ovat 2, 3 ja. Määrää tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla polynomin q(t) koordinaatit kannassa S. 30. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään

5 kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos edellisten muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 3. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 32. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, F (x, x 2 ) = (x + 2x 2, x 2, x x 2, 2x + 3x 2 ) matriisi a) luonnollisten kantojen suhteen b) kantojen S = {(, 2), (, 0)} ja S 2 = {(,,, 0), (, 0,, ), (,,, 0), (0, 0,, 0)} suhteen. c) Laske kohdan b) matriisin avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S ovat ja a) Määritä lineaarikuvauksen F : R 2 R 3, F (x, x 2 ) = (x + 2x 2, 2x x 2, x + 3x 2 ) matriisi kantojen {(, ), (0, )} ja {(, 0, ), (0,, 0), (0,, )} suhteen. b) Määrää lineaarikuvauksen F : R 4 R 2, F (x, x 2, x 3, x 4 ) = (2x 2x 2 + x 3 + 4x 4, x 2 x 3 x 4 ) matriisi kantojen S = {(,,, ), (0,,, ), (0, 0,, ), (0, 0, 0, )} ja S 2 = {(, 3), (2, 4)} suhteen. 34. a) Määritä lineaarikuvauksen F : P 3 (R) P 4 (R), F (p(t)) = tp(t 2) matriisi kantojen {, t, t 2, t 3 } ja {, t, t 2, t 3, t 4 } suhteen. b) Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan {,, suhteen. 0, 0 0 } Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) 0 0, 0 b) , c)

6 36. Määrää matriisien ja B = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 37. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x + x 2 x 3 = 7 4x x 2 + 5x 3 = 4 6x + x 2 + 3x 3 = 20 x 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 5x + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 sarakevektorilla b. 38. Määrää seuraavien matriisien determinantit: a) b) c) , B = , C = j j. 4 j j 39. Tarkastellaan edellisen tehtävän matriiseja. a) Mitkä matriiseista A, B, C ovat säännöllisiä? b) Mitä voit sanoa matriisin B asteesta? Mikä on matriisin C ydin? c) Sisältääkö matriisin A ydin nollasta eroavan vektorin? 40. Määrää determinantin avulla a) pisteiden (2,3,), (2,, ) ja (,2,) kautta kulkevan tason yhtälö, b) pisteiden (2,6), (2,0) ja (5,3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö. 4. Sievennä pisteiden (0, 0, ), (, 0, ), (,, ) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z =

7 muotoon c (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 42. Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) b) c) d) Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit a) Olkoon A neliömatriisi, jolle pätee A 2 = A. Osoita, että jos λ on A:n ominaisarvo, niin λ = tai λ = 0. b) Olkoon x matriisin B ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Määrää vektori ( 00 i= Bi )x. 45. Olkoon a) 2 2 b) Onko matriisi A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T AT ja siihen liittyvä matriisi T. 46. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! Matriisin A ominaisarvot ovat, ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit (,, ), (, 4, ) ja (,2,). Määrää A. 48. n n neliömatriisin (a ij ) jälki tr(a) määritellään yhtälöllä tr(a) = n a ii. Olkoon A diagonalisoituva n n neliömatriisi, jonka ominaisarvot ovat λ, λ 2,..., λ n. Lausu tr(a) A:n ominaisarvojen avulla. Aputulos: tr(bc) = tr(cb) aina kun B ja C ovat n n neliömatriiseja. i=

8 49. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 0, missä Olkoon A tehtävän 46 matriisi. Määrää ainakin yksi matriisi B, joka toteuttaa ehdon B 2 = A. 5. Ratkaise dierentiaaliyhtälöryhmä x 2(t) = x (t) + 2x 2 (t) + x 3 (t) x (t) = x (t) + x 2 (t) 2x 3 (t) x 3(t) = x 2 (t) x 3 (t) alkuehdolla x (0) = 3, x 2 (0) = 2, x 3 (0) = käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 52. Kahden kilpailevan populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = 3x (t) x 2 (t) x 2(t) = 2x (t) + 2x 2 (t) Ratkaise x (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 50 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 53. Kahden symbioosissa elävän populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = 2 x (t) + 4 x 2(t) x 2(t) = x (t) 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x (0) = 00 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e At = T e Dt T, e Dt = diag (e λ t, e λ 2t ). 54. (Saalis-saalistaja-malli) Kahden populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = x (t) + x 2 (t) x 2(t) = x (t) + x 2 (t). (S syö S 2 :n). Laske populaatioiden koot hetkellä t käyttämällä siirtomatriisia, kun alkuhetkellä x (0) = x 2 (0) = 000. Milloin populaatio S 2 on syöty kokonaan pois? 55. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) =, y (0) = 0 palauttamalla se. kertaluvun dierentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 56. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 2 j 2 2j 0 j 2 ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva. 57. a) Osoita, että jos λ on matriisin

9 ominaisarvo, niin 0 < λ < 4. b) Reaalisen symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Olkoon a reaaliluku. Osoita, että jos λ on matriisin a a 0 0 a a ominaisarvo, niin a 3 λ a Laske matriisin itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (,, ). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 59. Laske -, - ja Frobenius normi matriiseille ja B = + j 0 2j + 3j 3j j j j j 60. Laske tehtävän 59 matriisin A normi A 2 iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (0,,, ). 6. Laske matriisin A häiriöalttius (ehtoluku) -normin ja -normin tapauksessa, kun Laske e A, kun a), b) Laske matriisin spektraalisäde Tarkastellaan dierentiaalisäätöjärjestelmää, jonka tilamalli on x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) (missä u(t) on sisäänmeno- ja y(t) ulostulosignaali ja x(t) tilafunktio). Alkuehdon x(0) vallitessa tilafunktion ratkaisuksi saadaan x(t) = e At x(0) + e At t e Ap Bu(p)dp, missä e At :tä kutsutaan siirtomatriisiksi. x Määrää järjestelmän x = ( 2 x(0) = ( 0 2 ) ja u(t) = kun t 0. ) ( x x 2 ) Ratkaise yhtälöryhmä x 5x 2 + x 3 = 6 8x + x 2 + x 3 = x + x 2 4x 3 = u siirtomatriisi ja tilafunktio, kun a) Jacobin menetelmällä b) Gauÿ - Seidelin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi <. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin.

10 66. Yhtälöryhmän { 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään a) Jacobin b) Gauss - Seidelin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää molempien menetelmien iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla menetelmien suppenemista/hajaantumista. 67. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x + x 3 = 4 x x 2 + 3x 3 = x + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k ) < Ratkaise yhtälöryhmä x 3x 2 + 2x 3 = 3 4x + x 2 x 3 = 3 2x + 7x 2 + x 3 = 9 järkevästi Jacobin menetelmällä lähtien vektorista x (0) = 0. Laske kolmas iteraatio x (3). Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G ja laske G Määrää ylideterminoidun systeemin x 6y + = 0 x 2y 2 = 0 x + y = 0 x + 7y 6 = 0 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin (=residuaalivektorin) r normi r. 70. Määrää ylideterminoidun systeemin x x 3 = 4 x 3x 3 = 6 x 2 + x 3 = x 2 + x 3 = 2 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske residuaalivektorin r normi r 2. Laske kerroinmatriisin A pseudoinverssi A. 7. a) Totea että matriisi toteuttaa karakteristisen yhtälönsä. Laske A 5 käyttämällä hyväksi Cayley-Hamiltonin lausetta. b) Osoita, että diagonalisoituva n n matriisi toteuttaa karakteristisen yhtälönsä. 72. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun a), b) Määrää matriisin

11 käänteismatriisi Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella A:n karakteristisesta yhtälöstä. Määrää det(a). 75. Olkoon A 3 3 matriisi, jonka karakteristinen polynomi p(λ) = (λ )(λ 2 3λ+2). Lausu matriisi sin ( π 2 A) matriisien I, A ja A2 avulla. 76. Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, ja 2 sekä A Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A ).