MATRIISIALGEBRA. Harjoitustehtäviä syksy Olkoot A =, B =
|
|
- Simo Lahtinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy Olkoot, B =, C = Määrättävä A + B, 4A 2B, A T, C T, (A T ) T. 2. Jos A, B ja C ovat kuten edellisessä tehtävässä, onko a) C + C T määritelty, b) A + C määritelty, c) ovatko A ja B symmetrisiä. Totea, että AB BA. 3. Merkitään 2, B = 3 0 2, C = Laskettava (mikäli mahdollista) a) CB, A T B, AB; b) B T CA, BCA. 4. Olkoot a c e b d 2 3 7, B = ja C = f 0 matriiseja, missä a, b, c, d, e ja f ovat reaalilukuja. Tarkastellaan matriisituloja (AB) T ja B T A T C ja C T AB. Määrää kunkin matriisitulon tulos, jos kyseinen matriisitulo on määritelty. Jos jokin matriisituloista ei ole määritelty, niin perustele miksi ei Määrää kaikki matriisit, jotka kommutoivat matriisin kanssa Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B. 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 5 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 8. Ratkaise yhtälöryhmä x 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x + 5x 2 + 9x 3 = 9 9. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 0. Digitaalisessa kuvankäsittelyssä kuva esitetään kuvamatriisin f avulla ja kuvan ominaisuuksia kuvataan f:n Fourier-muunnoksen F = F(f) = AfB avulla. Kun f on 4 2-matriisi, niin j j, 4 j j
2 B = 2 ( ) ja j on imaginaariyksikkö (j 2 = ). a) Osoita, että A:n käänteismatriisi A = 4Ā, missä Ā on A:n konjugaattimatriisi, ja laske B. b) Määrää alkuperäinen kuvamatriisi f, kun sen Fourier-muunnos on 3 F = 3j 2 + 3j. 8 3j 2 3j. Ratkaise seuraava yhtälöryhmä ilman matriisimerkintöjä 3s t = 4 s + 2t = 3s + 2t = 6 2. Totea, että yhtälöryhmän 2 3 x + 2 x 2 2 x 3 3 = 3 x 2 x x 3 = 2 2 x x 3 = 3 kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 3. a) Onko kaava (A B)(A + B) = A 2 B 2 aina voimassa, kun A ja B ovat samaa lajia olevia neliömatriiseja? Perustelu! b) Poista sulut lausekkeesta (A + B) Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 3x + x 2 x 3 = 4 6x + 2x 2 + 2x 3 = 20, x x 2 + 2x 3 = 7 b) 2x x 3 = + x 2 2x x 2 x 3 + 2x 4 = 2x x 3 + 2x 2 + x + x 4 5 = 0 0 = x + 3x 2 x c) x + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 x + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 =, 2x + 8x 2 + 8x 3 + 2x 4 =. d) 3x + 6x 2 + x 3 = 5 x + 3x 2 x 3 = 3. x + 2x 2 + 2x 3 = 4 5. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin jokainen kala tarvitsee viikossa yksikön ruokaa A, yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2, ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan yksikköä ruokaa A, yksikköä ruokaa B ja yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 6. Ratkaise kerralla yhtälöryhmät Ax = b i, i =, 2, 3, 4, kun , b = (, 0, 0) T, b 2 = (0, 6, 26) T, b 3 = (2,, 2) T ja b 4 = (0,, 2) T
3 7. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) b) c) 8. a) Olkoon matriisi x Määrää vaakarivimuunnoksin matriisin A käänteismatriisi kun x = 3. Millä x:n arvolla A:lla ei ole käänteismatriisia? b) Olkoon A diagonaalimatriisi, diag( x, 2 x, 3 x, 4 x,..., 70 x). Määrää A:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla A:lla ei ole käänteismatriisia? Laske matriisin käänteismatriisi A Ratkaise yhtälöryhmä x + x 2 2x 3 + 2x 4 = 3x + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x + x 2 + 3x 4 = käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A. 20. a) Määrää matriisin LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. b) Ratkaise yhtälöryhmä 3x 7x 2 2x 3 = 7 3x + 5x 2 + x 3 = 5 6x 4x 2 = 2 2. Olkoot kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. 0 0 ja b = Muodosta matriisin A QR-hajoitelma ja laske x = (A T A) A T b sekä x = R Q T b. 22. Matriisit B ja C ovat sarakeortogonaalisia. Laske A T A, kun BC
4 23. Mitkä seuraavista joukoista ovat vektorivaruuden R 3 aliavaruuksia: a) {(x, x 2, x 3 ) R 3 2x x 2 + x 3 + = 0} b) {(x, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x = 2x 3 } c) {(x, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = x 3 x 2 } 24. Mitkä seuraavista joukoista ovat reaalisten matriisien muodostaman vektoriavaruuden aliavaruuksia: a) kaikkien symmetristen matriisien joukko, b) kaikkien singulaaristen matriisien joukko? 25. Selvitä onko vektorijoukko {(4, 3, 2), (2, 3, 5), (,, )} R 3 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. 26. a) Selvitä onko vektorijoukko {(,, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (,, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0,, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko polynomijoukko { + t 2t 2 + 2t 3, 3 + 2t 4t 2 + 5t 3, 2t + 3t 2 2t 3, + t + 3t 3 } vapaa korkeintaan 3:tta astetta olevien reaalikertoimisten polynomien muodostamassa vektoriavaruudessa P 3 (R). Jos on, niin lausu polynomi t 2 polynomijoukon polynomien lineaarikombinaationa. c) Selvitä onko matriisijoukko {, , , 3 2 } 0 3 ( vapaa reaalisten ) 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa a) Tutki, muodostavatko vektorit (0,, 0, ), (0, 0, 2, 0), (, 0,, 0) ja (0,, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. b) Olkoon P n (R) korkeintaan n:ttä astetta olevien reaalikertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus. Tutki muodostaako polynomijoukko { + t, t, t 2 + t 3, t 2 t 3 } polynomiavaruuden P 3 (R) kannan. Jos muodostaa, niin määrää polynomin + 2t + 3t 2 + 4t 3 koordinaatit tämän kannan suhteen. c) Määrää reaalisten 2 2 matriisien muodostaman vektoriavaruuden jokin kanta ja määrää matriisin koordinaatit tämän kannan suhteen. d) Virittävätkö matriisijoukot {, } ja {, } 7 0 saman aliavaruuden reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa? 28. Vektorijoukot S = {(0,, 0), (,, 0), (, 2, 3)} ja S 2 = {(,, 0), (,, ), (, 2, )} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S ovat 3, 2 ja. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Olkoon P 2 (R) korkeintaan astetta 2 olevien reaalikertoimisten polynomien muodostama vektoriavaruus. Polynomijoukot S = {t, +t, +2t t 2 } ja S 2 = {, t, t 2 } ovat polynomiavaruuden P 2 (R) kantoja. Polynomin q(t) koordinaatit kannassa S 2 ovat 2, 3 ja. Määrää tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla polynomin q(t) koordinaatit kannassa S. 30. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään
5 kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos edellisten muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 3. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 32. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, F (x, x 2 ) = (x + 2x 2, x 2, x x 2, 2x + 3x 2 ) matriisi a) luonnollisten kantojen suhteen b) kantojen S = {(, 2), (, 0)} ja S 2 = {(,,, 0), (, 0,, ), (,,, 0), (0, 0,, 0)} suhteen. c) Laske kohdan b) matriisin avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S ovat ja a) Määritä lineaarikuvauksen F : R 2 R 3, F (x, x 2 ) = (x + 2x 2, 2x x 2, x + 3x 2 ) matriisi kantojen {(, ), (0, )} ja {(, 0, ), (0,, 0), (0,, )} suhteen. b) Määrää lineaarikuvauksen F : R 4 R 2, F (x, x 2, x 3, x 4 ) = (2x 2x 2 + x 3 + 4x 4, x 2 x 3 x 4 ) matriisi kantojen S = {(,,, ), (0,,, ), (0, 0,, ), (0, 0, 0, )} ja S 2 = {(, 3), (2, 4)} suhteen. 34. a) Määritä lineaarikuvauksen F : P 3 (R) P 4 (R), F (p(t)) = tp(t 2) matriisi kantojen {, t, t 2, t 3 } ja {, t, t 2, t 3, t 4 } suhteen. b) Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan {,, suhteen. 0, 0 0 } Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) 0 0, 0 b) , c)
6 36. Määrää matriisien ja B = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 37. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x + x 2 x 3 = 7 4x x 2 + 5x 3 = 4 6x + x 2 + 3x 3 = 20 x 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 5x + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 sarakevektorilla b. 38. Määrää seuraavien matriisien determinantit: a) b) c) , B = , C = j j. 4 j j 39. Tarkastellaan edellisen tehtävän matriiseja. a) Mitkä matriiseista A, B, C ovat säännöllisiä? b) Mitä voit sanoa matriisin B asteesta? Mikä on matriisin C ydin? c) Sisältääkö matriisin A ydin nollasta eroavan vektorin? 40. Määrää determinantin avulla a) pisteiden (2,3,), (2,, ) ja (,2,) kautta kulkevan tason yhtälö, b) pisteiden (2,6), (2,0) ja (5,3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö. 4. Sievennä pisteiden (0, 0, ), (, 0, ), (,, ) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z =
7 muotoon c (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 42. Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) b) c) d) Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit a) Olkoon A neliömatriisi, jolle pätee A 2 = A. Osoita, että jos λ on A:n ominaisarvo, niin λ = tai λ = 0. b) Olkoon x matriisin B ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Määrää vektori ( 00 i= Bi )x. 45. Olkoon a) 2 2 b) Onko matriisi A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T AT ja siihen liittyvä matriisi T. 46. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! Matriisin A ominaisarvot ovat, ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit (,, ), (, 4, ) ja (,2,). Määrää A. 48. n n neliömatriisin (a ij ) jälki tr(a) määritellään yhtälöllä tr(a) = n a ii. Olkoon A diagonalisoituva n n neliömatriisi, jonka ominaisarvot ovat λ, λ 2,..., λ n. Lausu tr(a) A:n ominaisarvojen avulla. Aputulos: tr(bc) = tr(cb) aina kun B ja C ovat n n neliömatriiseja. i=
8 49. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 0, missä Olkoon A tehtävän 46 matriisi. Määrää ainakin yksi matriisi B, joka toteuttaa ehdon B 2 = A. 5. Ratkaise dierentiaaliyhtälöryhmä x 2(t) = x (t) + 2x 2 (t) + x 3 (t) x (t) = x (t) + x 2 (t) 2x 3 (t) x 3(t) = x 2 (t) x 3 (t) alkuehdolla x (0) = 3, x 2 (0) = 2, x 3 (0) = käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 52. Kahden kilpailevan populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = 3x (t) x 2 (t) x 2(t) = 2x (t) + 2x 2 (t) Ratkaise x (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 50 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 53. Kahden symbioosissa elävän populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = 2 x (t) + 4 x 2(t) x 2(t) = x (t) 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x (0) = 00 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e At = T e Dt T, e Dt = diag (e λ t, e λ 2t ). 54. (Saalis-saalistaja-malli) Kahden populaation S ja S 2 yksilöiden lukumäärät x (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöryhmän { x (t) = x (t) + x 2 (t) x 2(t) = x (t) + x 2 (t). (S syö S 2 :n). Laske populaatioiden koot hetkellä t käyttämällä siirtomatriisia, kun alkuhetkellä x (0) = x 2 (0) = 000. Milloin populaatio S 2 on syöty kokonaan pois? 55. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) =, y (0) = 0 palauttamalla se. kertaluvun dierentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 56. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 2 j 2 2j 0 j 2 ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva. 57. a) Osoita, että jos λ on matriisin
9 ominaisarvo, niin 0 < λ < 4. b) Reaalisen symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Olkoon a reaaliluku. Osoita, että jos λ on matriisin a a 0 0 a a ominaisarvo, niin a 3 λ a Laske matriisin itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (,, ). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 59. Laske -, - ja Frobenius normi matriiseille ja B = + j 0 2j + 3j 3j j j j j 60. Laske tehtävän 59 matriisin A normi A 2 iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (0,,, ). 6. Laske matriisin A häiriöalttius (ehtoluku) -normin ja -normin tapauksessa, kun Laske e A, kun a), b) Laske matriisin spektraalisäde Tarkastellaan dierentiaalisäätöjärjestelmää, jonka tilamalli on x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) (missä u(t) on sisäänmeno- ja y(t) ulostulosignaali ja x(t) tilafunktio). Alkuehdon x(0) vallitessa tilafunktion ratkaisuksi saadaan x(t) = e At x(0) + e At t e Ap Bu(p)dp, missä e At :tä kutsutaan siirtomatriisiksi. x Määrää järjestelmän x = ( 2 x(0) = ( 0 2 ) ja u(t) = kun t 0. ) ( x x 2 ) Ratkaise yhtälöryhmä x 5x 2 + x 3 = 6 8x + x 2 + x 3 = x + x 2 4x 3 = u siirtomatriisi ja tilafunktio, kun a) Jacobin menetelmällä b) Gauÿ - Seidelin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi <. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin.
10 66. Yhtälöryhmän { 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään a) Jacobin b) Gauss - Seidelin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää molempien menetelmien iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla menetelmien suppenemista/hajaantumista. 67. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x + x 3 = 4 x x 2 + 3x 3 = x + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k ) < Ratkaise yhtälöryhmä x 3x 2 + 2x 3 = 3 4x + x 2 x 3 = 3 2x + 7x 2 + x 3 = 9 järkevästi Jacobin menetelmällä lähtien vektorista x (0) = 0. Laske kolmas iteraatio x (3). Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G ja laske G Määrää ylideterminoidun systeemin x 6y + = 0 x 2y 2 = 0 x + y = 0 x + 7y 6 = 0 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin (=residuaalivektorin) r normi r. 70. Määrää ylideterminoidun systeemin x x 3 = 4 x 3x 3 = 6 x 2 + x 3 = x 2 + x 3 = 2 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske residuaalivektorin r normi r 2. Laske kerroinmatriisin A pseudoinverssi A. 7. a) Totea että matriisi toteuttaa karakteristisen yhtälönsä. Laske A 5 käyttämällä hyväksi Cayley-Hamiltonin lausetta. b) Osoita, että diagonalisoituva n n matriisi toteuttaa karakteristisen yhtälönsä. 72. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun a), b) Määrää matriisin
11 käänteismatriisi Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella A:n karakteristisesta yhtälöstä. Määrää det(a). 75. Olkoon A 3 3 matriisi, jonka karakteristinen polynomi p(λ) = (λ )(λ 2 3λ+2). Lausu matriisi sin ( π 2 A) matriisien I, A ja A2 avulla. 76. Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, ja 2 sekä A Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A ).
tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.
Lisätiedot2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) 0 5 1 2 4, B =, C = 1 2, E = 1 0 0 0 1 0 ja F = 1 0 0 0 1 0. 3 7 2 4 3 3 1 3 4 2 2 3 0 1. Määrää
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedotja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2015
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:
5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotAx, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ
X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään
Lisätiedot