i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä"

Transkriptio

1 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi ja sisätulo Vektoriavaruuden määritelmässä riitti olettaa, että joukon alkioille on määritelty aksioomat toteuttavat yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Kuitenkin monissa vektoriavaruuksissa voidaan tunnetusti tehdä muitakin laskutoimituksia. Esim. R :ssa tai R 3 :ssa voidaan laskea vektoreiden pituuksia, välisiä kulmia ja pistetuloja. Jatkuvia funktioita voidaan kertoa keskenään, integroida, niiden maksimeja voi etsiä jne. Normiavaruus on sellainen vektoriavaruus, jossa vektoreille on määritelty pituusfunktio, jota kutsutaan normiksi. Sisätuloavaruus on puolestaan normiavaruus, jossa lisäksi kulmien mittaaminen on mahdollista ja erityisesti kohtisuoruus eli ortogonaalisuus on määritelty. Seuraavassa tarkastellaan lähemmin, miten tällaisia pituus- ja kulmafunktioita voidaan määritellä. Määritelmä.. Olkoon V normi, jos se toteuttaa K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus : V R on () v 0 v V. () v = 0 = v = 0. (3) u + v u + v u, v V. (4) α v = α v α K, v V. Vektoriavaruutta, jossa on määritelty jokin normi kutsutaan normiavaruudeksi. Esimerkki.. Vektoriavaruudessa R n tavallisin normi on nk. euklidinen normi ( n ) x = x i. i= Selvästi tämä toteuttaa ehdot (), () ja (4). Ominaisuuden (3) eli kolmioepäyhtälön näytämme hieman myöhemmin. Muita usein käytettyjä normeja R n :ssä ovat n x = x i ja x = max x i. i n i= Näistä on helppo näyttää ominaisuudet ()-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä normia =. Avaruudessa C n käytetään myös aivan samalla tavalla määriteltyjä normeja. Normia kutsutaan taksikuskin normiksi. Miksiköhän?

2 Määritelmä.. Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus, : V V K on sisätulo, jos se toteuttaa ehdot () v, v 0 kaikilla v V. () v, v = 0 = v = 0. (3) u + v, w = u, w + v, w kaikilla u, v, w V. (4) αu, v = α u, v kaikilla α K, u, v V. (5) v, u = u, v kaikilla u, v V. Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta sanotaan sisätuloavaruudeksi. Reaalisessa tapauksessa (5) saa muodon v, u = u, v eli reaalinen sisätulo on symmetrinen. Ominaisuudet (3) ja (4) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. Toisen argumentin suhteen saadaan: (.) u, α v + β w (5) = α v + β w, u (3),(4) = α v, u + β w, u = α v, u + β w, u (5) = α u, v + β u, w. Täten sisätulo on konjugoidusti lineaarinen toisen argumentin suhteen: skalaarit saadaan ulos kompleksikonjugaatteina. Reaalisessa tapauksessa sisätulo on siten lineaarinen myös toisen argumentin suhteen. Vektoriavaruudesta R n tuttu vektoreiden välinen pistetulo : x, y = x T y = n i= x i y i toteuttaa sisätulon ehdot. Vastaavasti C n :n vektoreille määritellään x, y = x T y = n i= x i y i. Esimerkki.. Avaruudessa C[a, b voidaan määritellä f, g = b f(x)g(x) dx. a Ehdot ()-(5) seuraavat suoraan integraalin ominaisuuksista. Esimerkiksi C[ π, π :ssä funktioiden f(x) = sin x ja g(x) = cos x väliset sisätulot ovat Samoin g, g = π. f, g = π π sin x cos x dx = π f, f = π π sin x dx = π π π sin x dx = 0 ( cos x) dx = π. on sisätu- Sisätulon tärkeä ominaisuus on, että se määrittelee heti myös normin: jos V loavaruus, asetetaan (.) v = v, v. Sisätulon ehdoista saadaan normin ehdot (),() ja (4) helposti. (3) eli kolmioepäyhtälö vaatii hieman laskemista. Lausekkeessa x T y vektorit on ajateltu n -matriiseiksi, jolloin x T on n -matriisi ja x T y on -matriisi eli skalaari.

3 Esitellään ensin Schwarzin epäyhtälö 3 : sisätulo ja sen avulla kaavalla (.) määritelty (jota vielä ei tiedetä normiksi) toteuttavat: (.3) u, v u v. Tod. Viittaamme L3-prujuun [TE tai moninisiin oppikirjoihin. Todistus on tyylipuhdas minimointitehtävä, jossa tarkastellaan toisen asteen polynomia, sopiva vaikka koulukurssiin. Emme kuitenkaan tässä paneudu siihen. Näytetään nyt, että kaavalla (.) määritelty toteuttaa normin ehdon (3) eli kolmioepäyhtälön u + v u + v. 3 Tod. Käyttäen sisätulon ominaisuuksia ja Schwarzin epäyhtälöä saadaan u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u, v + v u + u v + v = ( u + v ), josta väite seuraa. Kysmys: Onko jokaisen normin taustalla aina sisätulo? Vastaus: Ei. Esimerkiksi edellä esiintyneet. (taksikuski) ja. eivät ole peräisin mistään sisätulosta... Ortogonaalisuus. Vektorit u ja v ovat ortogonaaliset, kun u, v = 0. Ortogonaalisuus määritellään samoin kompleksikertoimisissa vektoriavaruuksissa. Täten [ i ja [ i ovat ortogonaaliset C :ssa. Sisätuloavaruuden vektorijoukkoa S = {v,..., v k } sanotaan ortogonaaliseksi, jos kaikki sen vektorit ovat keskenään ortogonaaliset: v i, v j = 0, kun i j. Ortogonaalinen vektorijoukko {v,..., v n } on myös lineaarisesti riippumaton edellyttäen, että se ei sisällä nollavektoria. Tämä nähdään seuraavasti. Jos c v + +c n v n = 0, otetaan tämän sisätulo v k :n kanssa, jolloin 0 = c v + + c n v n, v k = c v, v k + +c k v k, v k + +c n v n, v k = c k v k ja koska v k 0, saadaan c k = 0. Näin kaikki kertoimet saadaan yksitellen nolliksi, joten {v,..., v n } on lineaarisesti riippumaton. Jos ortogonaalisen joukon vektorit ovat lisäksi pituudeltaan ykkösiä kutsutaan joukkoa ortonormaaliksi. Samoin, jos matriisin Q R m n sarakkeet ovat ortonormaalit (jolloin välttämättä m n ), saadaan Q T Q = I. Jos m > n, niin Q ei kuitenkaan ole invertoituva; sillä on vain vasemmanpuoleinen inverssi. 3 Täydellisemmin: Cauchy-Schwarz-Bunjakovskin epäyhtälö.

4 4 Olkoon U reaalinen tai kompleksinen matriisi, jonka sarakkeet ovat ortonormaalit Tällöin 4 U U = I ja Ux, Uy = (Uy) Ux = y U Ux = y x = x, y. Erityisesti: unitaarisella (reaalisessa tapauksessa ortogonaalisella) matriisilla kerrottaessa vektoreiden pituudet ja niiden väliset sisätulot säilyvät. Annetun vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo laskea: Olkoon B = {b,..., b n } sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos v = c b + + c n b n, otetaan tämän sisätulo b k :n kanssa, jolloin v, b k = c k b k, b k = c k. Näin saadaan kaikki kertoimet. Siis esitys ortonormaalissa kannassa saadaan: n v = v, b k b k, kaikilla v V. k= Ortonormaaleja kantoja voidaan muodostaa nk. GramSchmidtin prosessilla. Olkoon (v, v,... ) (äärellinen tai ääretön) jono lineaarisesti riippumattomia sisätuloavaruuden vektoreita. Muodostetaan yhtä pitkä jono (q, q,... ) ortonormaaleja vektoreita seuraavasti: q = v / v, (.4) w k = v k k j= q k = w k / w k. v k, q j q j, } k =, 3,... Tässä keskimmäisellä rivillä v k :sta poistetaan sen komponentit jo muodostetuilla suunnilla q,..., q k. Viimeisellä rivillä jäljelle jäävä osa normeerataan ykkösen pituiseksi. Lause.. Edellä esitetylle Gram-Schmidtin prosessille pätee: a) (q, q,... ) on ortonormaali. b) sp(q,..., q k ) = sp(v,..., v k ) kaikilla k. Erityisesti, jos V on äärellisdimensioinen ja {v,..., v n } on sen kanta, niin {q,..., q n } on V :n ortonormaali kanta. Tod. Prosessi pyörii niin kauan, kun w k = 0 (tai v j -vektorit loppuvat). Näytetään aluksi, että b) on voimassa tähän asti. Koska v k = w k q k + k j= v k, q j q j, saadaan kaikilla k : v k sp(q,..., q k ), josta sp(v,..., v k ) sp(q,..., q k ). Toisaalta, jokaiselle q k selvästi pätee q k sp(q,..., q k, v k ). Täten induktiivisesti q k sp(q,..., q k, v k ) sp(q,..., q k, v k, v k ) sp(v,..., v k ). 4 Kompleksiselle matriisille M = M T ja reaaliselle M = M T.

5 5 Näin kaikilla k, joten sp(q,..., q k ) sp(v,..., v k ) ja b) on voimassa. Jos olisi w k = 0 jollakin k, tämä tarkoittaisi, että v k = k j= v k, q j q j sp(v,..., v k ) (sillä b) on voimassa vielä edellisellä kierroksella). Mutta tämä on mahdotonta, koska v,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Siispä w k :t eivät koskaan tule nolliksi. Todistetaan a) induktiolla: Selvästi {q } on ortonormaali. Oletetaan, että {q,..., q k } on ortonormaali. Tällöin, kun i k, saadaan q k+, q i ( = v k+ k j= v k+, q j q j), q i w k+ = w k+ ( v k+, q i k j= v k+, q j q j, q i ) = w k+ ( v k+, q i v k+, q i ) = 0. Näin q k+ on kohtisuorassa kaikkia q i, i k vastaan. Selvästi q k+ =. Ja kun muutkin ovat keskenään ortonormaalit, {q,..., q k+ } on ortonormaali. Huomaa, että saatava ortonormaali joukko riippuu paitsi vektoreista v j myös niiden järjestyksestä. Tehtävä.. Näytä, että äärellisdimensioisen sisätuloavaruuden mielivaltainen ortonormaali joukko voidaan täydentää ortonormaaliksi kannaksi. Esimerkki.3. Lähdetään liikkeelle R 3 :n kannasta {v, v, v 3 } = { [ [ [ } 0,,. 0 Saadaan: [ q = 0 [ [ [ w = = 0 q = w 3 = q 3 = [ [ 00 [ 0 Näin saatiin ortonormaali kanta { [ 0.. Matriisinormi ja häiriöalttius. [ = 0 [ [ 0 =. [,, 0 [ 00 }. [ 00

6 6 Vektorin normi mittaa vektorin pituutta. Matriiseille ja lineaarikuvauksille voidaan myös määritellä normeja. Erityisen hyödyllisiksi osoittautuvat sellaiset normit, jotka on määritelty vektorinormien avulla. Rajoitumme tässä tarkastelemaan vain matriisien normeja, normiavaruuksien välisten lineaarikuvausten normit määritellään samalla tavalla. Olkoon jokin vektorinormi (esim. tai ). Mitataan matriisin kokoa sillä, kuinka pitkiksi vektoreiksi matriisilla kerrottaessa yksikkövektorit saattavat kuvautua. Niinpä matriisille A C m n asetetaan (.5) A = max x = Ax. Tässä siis oikealla puolella esiintyy vektoreiden x C n ja Ax C m normeja. A A Näin määritelty A toteuttaa määritelmän. neljä ehtoa: () (.5):n oikealla puolella esiintyy vain ei-negatiivisia lukuja, joten A 0. () Jos A [ 0, niin sillä on olemassa ei-nolla elementti a ij. Valitaan x = e j, jolloin aj Ax =. 0 ja A Ax > 0. a mj (3) A + B = max (A + B)x max ( Ax + Bx ) x = x = max Ax + max Bx = A + B. x = x = Tässä käytettiin aluksi vektorinormin kolmioepäyhtälöä. (4) αa = max x = αax = max x = α Ax = α A jälleen vektorinormin vastaavan ominaisuuden perusteella. Matriisinormilla ja vastaavalla vektorinormilla on lisäksi ominaisuudet (harjoitustehtävä) (.6) (.7) (.8) Ax A x, AB A B, A k A k, k =,,.... Kun halutaan korostaa, minkä vektorinormin avulla matriisinormi on määritelty käytetään vastaavaa merkkiä. Esimerkiksi A = max Ax ja A = max Ax. x = x = Riippuen valitusta vektorinormista matriisin normin laskeminen voi olla hankalaa tai helpompaa. - ja -normit ovat laskuissa monesti käteviä:

7 7 Lause.. Olkoon A C m n. Tällöin A = max j n i= a ij ja A = max i m n a ij j= Tod. Jos x = n k= x k =, niin n n Ax = (Ax) i = a ik x k a ik x k i= i= k= i= k= n n = x k a ik x k max a ij = max j n j n k= i= k= i= Siten A max m j n i= a ij. Toisaalta, jos l on siten, että a i l = max a ij, j n niin i= joten A max j n m i= a ij. i= [ Ae l a l =. = a m l a i l, -normia koskeva väite jätetään harjoitustehtäväksi. i= a ij. Tehtävä.. Millaisia yleisesti päteviä epäyhtälöitä saat matriisin A C n n normien A, A ja A välille? Katso vastaavien vektorinormien välisiä epäyhtälöitä (tehtävä??). Seuraava tärkeä tulos tulee käyttöön vielä useasti. Loppupuolella esitämme sille myös toisen todistuksen. Lause.3. Olkoon A C n n siten, että A <. Tällöin I A on invertoituva ja (I A) A. Tod. Jos I A ei ole invertoituva, niin on olemassa x C n siten, että x = ja (I A)x = 0. Tällöin A Ax = x =, mikä on ristiriita. Jos x = ja v = (I A) x, niin Siten v A. = (I A)v v Av v A v = ( A ) v. i= Häiriöalttius. Kun käytännön tehtävissä päädytään lineaariseen malliin Ax = b, niin usein yhtälöiden kertoimissa ja datassa eli matriisin A tai vektorin b alkioissa, on epävarmuutta. Kertoimet on voitu saada esimerkiksi mittausten tuloksena. Halutaan tietää,

8 8 miten suuri virhe tästä voi aiheutua ratkaisuun x. Tarkastellaan ensin, miten δb :n suuruinen häiriövektori oikean puolen vektorissa vaikuttaa ratkaisuun. Merkitään δx :llä ratkaisuvektorin muutosta. Vähentämällä yhtälöt Ax = b ja A(x + δx) = b + δb puolittain, saadaan δx = A δb. Siten absoluuttisen virheen normille saadaan yläraja (.9) δx A δb. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun voi kerroinmatriisia skaalaamalla saada pienemmäksi, jolloin myös absoluuttinen virhe pienenee. Paremmin ratkaisun virhettä kuvaakin suhteellinen virhe δx / x. Koska (.0) b A x niin epäyhtälöistä (.9) ja (.0) saadaan suhteelliselle virheelle yläraja-arvio Tämän perusteella asetetaan Määritelmä.3. Matriisin häiriöalttius on δx x A A δb b. κ(a) = A A. Suuri häiriöalttius merkitsee siten, että pienikin suhteellinen virhe b :ssä voi aiheuttaa ratkaisuun x suuren epävarmuuden. Aivan vastaavasti voidaan tarkastella matriisin A häiriön δa aiheuttamaa virhettä ratkaisuun, ja saadaan δx x + δx κ(a) δa A. Häiriöalttius riippuu (hieman) siitä, missä matriisinormissa (ja vastaavassa vektorinormissa) asioita mitataan. Koska = I = AA A A, saadaan κ(a) jokaiselle (invertoituvalle) matriisille normista riippumatta. Huomaa, että (toisin kuin determinantti) häiriöalttius ei riipu matriisin skaalauksesta: κ(αa) = αa (αa) = α A α A = A A = κ(a). Unitaariselle matriisille U pätee Ux = x, joten U = ja samoin U = U =, joten κ (U) =. Siten unitaarisen matriisin häiriöalttius (-normissa mitattuna) on pienin mahdollinen. [ [ Esimerkki.4. ε Lasketaan κ (A), kun A =. Nyt A ε = /ε /ε joten häiriöalttiudeksi saadaan lauseella. (kun ε (0, ) ) κ (A) = A A = ( + /ε) = + /ε, joka on suuri ε :n ollessa pieni.

9 9 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola Tässä voi olla hiukan eri merkintöjä kuin edellisessä luvussa. Ainakin edellä esiintyneen A :n sijasta käytämme A :a.. Ortogonaalisuus, matriisityyppejä ja spektrejä Reaalinen Kompleksinen Symmetrinen: A T = A Hermiittinen: A T = A Vinosymmetrinen: A T = A A T = A Ortogonaalinen: A T = A A T = A. Merkintöjä: A = A T, usein merkitään myös A, myös A H esiintyy ("hermitointi"). Merkintä A on sama kuin Matlab:ssa. Käyttämällä merkintää A (tai vastaavaa synonyymia), voidaan yllä olevat ehdot lausua yhtenäisesti: Hermiittinen tai symmetrisen ehto on: A = A, jne. Aloitamme lemmalla, joka on hyödyllinen monissa seuraavissa todistuksissa. Huomaa, että vaikka olisimme kiinnostuneita vain reaalisista matriiseista, on alla olevat laskut suoritettava kompleksiluvuilla, koska ominaisarvot ja ominaisvektorit saattavat sisältää kompleksilukuja. Lemma.. Olkoon A (m n)- matriisi ja olkoot u C n ja v C m. Tällöin Au, v = u, A v. Tod. Au, v = (Au) T v = u T A T v. Koska A T = A, voidaan yhtälöketjua jatkaa: = u T A v = u, A v. Siinäpä se... Ortogonaaliset matriisit. Ortogonaalisen matriisin prototyyppi on tason kierto. Lause. (KRE Thm. 3). Reaalinen matriisi A on ortogonaalinen, jos ja vain jos sen rivit muodostavat ortonormaalin joukon, jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin joukon. Tod. Eipä muuta, kuin ajatellaan matriisitulon määritelmää yhtälössä A T A = I. Jos merkitään rivivektoreita a i. ja sarakevektoreita a.j, niin (A T A) ij = a T i. a.j = a.i a.j

10 0 Jos merkitään δ ij :llä ns. Kroneckerin deltaa, joka lyhyesti sanottuna tarkoittaa yksikkömatriisin alkiota (I) ij, niin ehto A T A = I merkitsee samaa kuin (A T A) ij, joka siis on sama kuin a.i a.j = δ ij, eli sarakevektorien ortonormaalisuus. Rivivektoreilla aivan vastaavasti tarkastelemalla tuloa AA T = I. Muistamme käänteismatriisin yhteydestä, että jo toinen ehdoista AA T = I tai A T A = I takaa käänteismatriisin olemassaolon, eli sen toisen puolen. Siten implikaatio kulkee sarakkeista tai riveistä ortogonaalisuuteen niinikään. Lause.3 (KRE s. 38, Lop. s. 730). Ortogonaalinen kuvaus säilyttää sisätulon ja siten vektorin normin, ts. Au, Av = u, v. Tod. Olkoon u = Aa, v = Ab. u, v =Aa, Ab = A Aa, b = a, b, koska AA = I. Erityisesti u = u, u = a, a = a. Determinanttien kertosäännöstä ja transposisäännöstä seuraa heti: Lause.4. Ortogonaalisen matriisin det = ±. Lause.5. Ortogonaalisen matriisin ominaisarvot ovat yksikköympyrällä, ts, λ = kaikille ominaisarvoille λ. Tod. Kuten edellä totesimme, Au = u. Jos u, λ on omisarvo/-vektoripari, niin Au = λu, u 0. u = Au = λ u. Koska u 0, voidaan sillä jakaa, ja saadaan λ =. Huomautus.. Yllä oleva todistus menee sanasta sanaan myös unitaariselle... Symmetrinen (hermiittinen) ja vinosymmetrinen matriisi. Lause.6 (Lop s. 73, KRE8 s. 387). (Hiukan eri muodot) Olkoon A symmetrinen reaalinen matriisi. () A:n ominaisarvot ovat reaaliset, vinosymmtrisen puhtaasti imaginaariset () A:n eri ominaisarvoja vastaavat ominaivektorit ovat ortogonaaliset. (3) A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa jopa ortonormaali kanta R n :lle. (4) A on diagonalisoituva, diagonalisoiva matriisi voidaan valita ortogonaaliseksi, ts. voidaan kirjoittaa A = SDS T, missä S on ortogonaalinen. Tod. () Olkoon Ax = λx, x 0.

11 Huomaa, että seuraavat laskut on tehtävä kompleksiluvuilla, koska emmehän voi todistuksessa käyttää väitettä hyväksi! :-) Turvaudumme tuohon mainioon lemmaan, jonka jälkeen kaikki risuaidat saadaan jättää taakse. Ax, x = λ x, x = λ x. Tuon mainitun mainion mukaan vasen puoli on: x, A x = x, Ax = x, λx = λ x, x. Siis λ x = λ x, josta jakamalla x : lla ( 0) saadaan λ = λ, eli λ R. Vinosymmtrinen tapaus menee aivan samoin, paitsi -merkki, joka antaa johtopäätöksen: λ = λ, joka merkitsee sitä, että reaaliosa on nolla, kuten väitettiin. () Olkoon Ax = λx, Ay = µy, λ µ. Ax, y = x, Ay Ax, y = λx, y = λ x, y x, Ay =x, µy =µ x, y (µ = µ). Koska λ µ, on oltava x, y = 0. (3) Tämä on syvällisempi tulos, todistetaan kylläkin L3:ssa (kts. [TE), perustuu ns. Schur'n hajoitelmaan. (4) Kanta voidaan valita ortonormaaliksi, koska eri ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat keskenään ortogonaalisia. Kussakin ominaisavaruudessa voidaan suorittaa edellä esitetty Gram-Schmidt'n ortonormalisointi, jolloin saadaan koko avaruuden ON kanta. 5 5 ON: ortonormaali, OG: ortogonaalinen

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

1. Ominaisarvot ja -vektorit

1. Ominaisarvot ja -vektorit Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 004. 4. marraskuuta 004 Heikki Apiola Kirjallisuutta. [KRE Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed.,wiley,1999. [Lay Lay. Linear Algebra, 3 rd ed.,addison

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet

Lisätiedot

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0). Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot