i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
|
|
- Pekka Salminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi ja sisätulo Vektoriavaruuden määritelmässä riitti olettaa, että joukon alkioille on määritelty aksioomat toteuttavat yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Kuitenkin monissa vektoriavaruuksissa voidaan tunnetusti tehdä muitakin laskutoimituksia. Esim. R :ssa tai R 3 :ssa voidaan laskea vektoreiden pituuksia, välisiä kulmia ja pistetuloja. Jatkuvia funktioita voidaan kertoa keskenään, integroida, niiden maksimeja voi etsiä jne. Normiavaruus on sellainen vektoriavaruus, jossa vektoreille on määritelty pituusfunktio, jota kutsutaan normiksi. Sisätuloavaruus on puolestaan normiavaruus, jossa lisäksi kulmien mittaaminen on mahdollista ja erityisesti kohtisuoruus eli ortogonaalisuus on määritelty. Seuraavassa tarkastellaan lähemmin, miten tällaisia pituus- ja kulmafunktioita voidaan määritellä. Määritelmä.. Olkoon V normi, jos se toteuttaa K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus : V R on () v 0 v V. () v = 0 = v = 0. (3) u + v u + v u, v V. (4) α v = α v α K, v V. Vektoriavaruutta, jossa on määritelty jokin normi kutsutaan normiavaruudeksi. Esimerkki.. Vektoriavaruudessa R n tavallisin normi on nk. euklidinen normi ( n ) x = x i. i= Selvästi tämä toteuttaa ehdot (), () ja (4). Ominaisuuden (3) eli kolmioepäyhtälön näytämme hieman myöhemmin. Muita usein käytettyjä normeja R n :ssä ovat n x = x i ja x = max x i. i n i= Näistä on helppo näyttää ominaisuudet ()-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä normia =. Avaruudessa C n käytetään myös aivan samalla tavalla määriteltyjä normeja. Normia kutsutaan taksikuskin normiksi. Miksiköhän?
2 Määritelmä.. Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus, : V V K on sisätulo, jos se toteuttaa ehdot () v, v 0 kaikilla v V. () v, v = 0 = v = 0. (3) u + v, w = u, w + v, w kaikilla u, v, w V. (4) αu, v = α u, v kaikilla α K, u, v V. (5) v, u = u, v kaikilla u, v V. Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta sanotaan sisätuloavaruudeksi. Reaalisessa tapauksessa (5) saa muodon v, u = u, v eli reaalinen sisätulo on symmetrinen. Ominaisuudet (3) ja (4) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. Toisen argumentin suhteen saadaan: (.) u, α v + β w (5) = α v + β w, u (3),(4) = α v, u + β w, u = α v, u + β w, u (5) = α u, v + β u, w. Täten sisätulo on konjugoidusti lineaarinen toisen argumentin suhteen: skalaarit saadaan ulos kompleksikonjugaatteina. Reaalisessa tapauksessa sisätulo on siten lineaarinen myös toisen argumentin suhteen. Vektoriavaruudesta R n tuttu vektoreiden välinen pistetulo : x, y = x T y = n i= x i y i toteuttaa sisätulon ehdot. Vastaavasti C n :n vektoreille määritellään x, y = x T y = n i= x i y i. Esimerkki.. Avaruudessa C[a, b voidaan määritellä f, g = b f(x)g(x) dx. a Ehdot ()-(5) seuraavat suoraan integraalin ominaisuuksista. Esimerkiksi C[ π, π :ssä funktioiden f(x) = sin x ja g(x) = cos x väliset sisätulot ovat Samoin g, g = π. f, g = π π sin x cos x dx = π f, f = π π sin x dx = π π π sin x dx = 0 ( cos x) dx = π. on sisätu- Sisätulon tärkeä ominaisuus on, että se määrittelee heti myös normin: jos V loavaruus, asetetaan (.) v = v, v. Sisätulon ehdoista saadaan normin ehdot (),() ja (4) helposti. (3) eli kolmioepäyhtälö vaatii hieman laskemista. Lausekkeessa x T y vektorit on ajateltu n -matriiseiksi, jolloin x T on n -matriisi ja x T y on -matriisi eli skalaari.
3 Esitellään ensin Schwarzin epäyhtälö 3 : sisätulo ja sen avulla kaavalla (.) määritelty (jota vielä ei tiedetä normiksi) toteuttavat: (.3) u, v u v. Tod. Viittaamme L3-prujuun [TE tai moninisiin oppikirjoihin. Todistus on tyylipuhdas minimointitehtävä, jossa tarkastellaan toisen asteen polynomia, sopiva vaikka koulukurssiin. Emme kuitenkaan tässä paneudu siihen. Näytetään nyt, että kaavalla (.) määritelty toteuttaa normin ehdon (3) eli kolmioepäyhtälön u + v u + v. 3 Tod. Käyttäen sisätulon ominaisuuksia ja Schwarzin epäyhtälöä saadaan u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u, v + v u + u v + v = ( u + v ), josta väite seuraa. Kysmys: Onko jokaisen normin taustalla aina sisätulo? Vastaus: Ei. Esimerkiksi edellä esiintyneet. (taksikuski) ja. eivät ole peräisin mistään sisätulosta... Ortogonaalisuus. Vektorit u ja v ovat ortogonaaliset, kun u, v = 0. Ortogonaalisuus määritellään samoin kompleksikertoimisissa vektoriavaruuksissa. Täten [ i ja [ i ovat ortogonaaliset C :ssa. Sisätuloavaruuden vektorijoukkoa S = {v,..., v k } sanotaan ortogonaaliseksi, jos kaikki sen vektorit ovat keskenään ortogonaaliset: v i, v j = 0, kun i j. Ortogonaalinen vektorijoukko {v,..., v n } on myös lineaarisesti riippumaton edellyttäen, että se ei sisällä nollavektoria. Tämä nähdään seuraavasti. Jos c v + +c n v n = 0, otetaan tämän sisätulo v k :n kanssa, jolloin 0 = c v + + c n v n, v k = c v, v k + +c k v k, v k + +c n v n, v k = c k v k ja koska v k 0, saadaan c k = 0. Näin kaikki kertoimet saadaan yksitellen nolliksi, joten {v,..., v n } on lineaarisesti riippumaton. Jos ortogonaalisen joukon vektorit ovat lisäksi pituudeltaan ykkösiä kutsutaan joukkoa ortonormaaliksi. Samoin, jos matriisin Q R m n sarakkeet ovat ortonormaalit (jolloin välttämättä m n ), saadaan Q T Q = I. Jos m > n, niin Q ei kuitenkaan ole invertoituva; sillä on vain vasemmanpuoleinen inverssi. 3 Täydellisemmin: Cauchy-Schwarz-Bunjakovskin epäyhtälö.
4 4 Olkoon U reaalinen tai kompleksinen matriisi, jonka sarakkeet ovat ortonormaalit Tällöin 4 U U = I ja Ux, Uy = (Uy) Ux = y U Ux = y x = x, y. Erityisesti: unitaarisella (reaalisessa tapauksessa ortogonaalisella) matriisilla kerrottaessa vektoreiden pituudet ja niiden väliset sisätulot säilyvät. Annetun vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo laskea: Olkoon B = {b,..., b n } sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos v = c b + + c n b n, otetaan tämän sisätulo b k :n kanssa, jolloin v, b k = c k b k, b k = c k. Näin saadaan kaikki kertoimet. Siis esitys ortonormaalissa kannassa saadaan: n v = v, b k b k, kaikilla v V. k= Ortonormaaleja kantoja voidaan muodostaa nk. GramSchmidtin prosessilla. Olkoon (v, v,... ) (äärellinen tai ääretön) jono lineaarisesti riippumattomia sisätuloavaruuden vektoreita. Muodostetaan yhtä pitkä jono (q, q,... ) ortonormaaleja vektoreita seuraavasti: q = v / v, (.4) w k = v k k j= q k = w k / w k. v k, q j q j, } k =, 3,... Tässä keskimmäisellä rivillä v k :sta poistetaan sen komponentit jo muodostetuilla suunnilla q,..., q k. Viimeisellä rivillä jäljelle jäävä osa normeerataan ykkösen pituiseksi. Lause.. Edellä esitetylle Gram-Schmidtin prosessille pätee: a) (q, q,... ) on ortonormaali. b) sp(q,..., q k ) = sp(v,..., v k ) kaikilla k. Erityisesti, jos V on äärellisdimensioinen ja {v,..., v n } on sen kanta, niin {q,..., q n } on V :n ortonormaali kanta. Tod. Prosessi pyörii niin kauan, kun w k = 0 (tai v j -vektorit loppuvat). Näytetään aluksi, että b) on voimassa tähän asti. Koska v k = w k q k + k j= v k, q j q j, saadaan kaikilla k : v k sp(q,..., q k ), josta sp(v,..., v k ) sp(q,..., q k ). Toisaalta, jokaiselle q k selvästi pätee q k sp(q,..., q k, v k ). Täten induktiivisesti q k sp(q,..., q k, v k ) sp(q,..., q k, v k, v k ) sp(v,..., v k ). 4 Kompleksiselle matriisille M = M T ja reaaliselle M = M T.
5 5 Näin kaikilla k, joten sp(q,..., q k ) sp(v,..., v k ) ja b) on voimassa. Jos olisi w k = 0 jollakin k, tämä tarkoittaisi, että v k = k j= v k, q j q j sp(v,..., v k ) (sillä b) on voimassa vielä edellisellä kierroksella). Mutta tämä on mahdotonta, koska v,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Siispä w k :t eivät koskaan tule nolliksi. Todistetaan a) induktiolla: Selvästi {q } on ortonormaali. Oletetaan, että {q,..., q k } on ortonormaali. Tällöin, kun i k, saadaan q k+, q i ( = v k+ k j= v k+, q j q j), q i w k+ = w k+ ( v k+, q i k j= v k+, q j q j, q i ) = w k+ ( v k+, q i v k+, q i ) = 0. Näin q k+ on kohtisuorassa kaikkia q i, i k vastaan. Selvästi q k+ =. Ja kun muutkin ovat keskenään ortonormaalit, {q,..., q k+ } on ortonormaali. Huomaa, että saatava ortonormaali joukko riippuu paitsi vektoreista v j myös niiden järjestyksestä. Tehtävä.. Näytä, että äärellisdimensioisen sisätuloavaruuden mielivaltainen ortonormaali joukko voidaan täydentää ortonormaaliksi kannaksi. Esimerkki.3. Lähdetään liikkeelle R 3 :n kannasta {v, v, v 3 } = { [ [ [ } 0,,. 0 Saadaan: [ q = 0 [ [ [ w = = 0 q = w 3 = q 3 = [ [ 00 [ 0 Näin saatiin ortonormaali kanta { [ 0.. Matriisinormi ja häiriöalttius. [ = 0 [ [ 0 =. [,, 0 [ 00 }. [ 00
6 6 Vektorin normi mittaa vektorin pituutta. Matriiseille ja lineaarikuvauksille voidaan myös määritellä normeja. Erityisen hyödyllisiksi osoittautuvat sellaiset normit, jotka on määritelty vektorinormien avulla. Rajoitumme tässä tarkastelemaan vain matriisien normeja, normiavaruuksien välisten lineaarikuvausten normit määritellään samalla tavalla. Olkoon jokin vektorinormi (esim. tai ). Mitataan matriisin kokoa sillä, kuinka pitkiksi vektoreiksi matriisilla kerrottaessa yksikkövektorit saattavat kuvautua. Niinpä matriisille A C m n asetetaan (.5) A = max x = Ax. Tässä siis oikealla puolella esiintyy vektoreiden x C n ja Ax C m normeja. A A Näin määritelty A toteuttaa määritelmän. neljä ehtoa: () (.5):n oikealla puolella esiintyy vain ei-negatiivisia lukuja, joten A 0. () Jos A [ 0, niin sillä on olemassa ei-nolla elementti a ij. Valitaan x = e j, jolloin aj Ax =. 0 ja A Ax > 0. a mj (3) A + B = max (A + B)x max ( Ax + Bx ) x = x = max Ax + max Bx = A + B. x = x = Tässä käytettiin aluksi vektorinormin kolmioepäyhtälöä. (4) αa = max x = αax = max x = α Ax = α A jälleen vektorinormin vastaavan ominaisuuden perusteella. Matriisinormilla ja vastaavalla vektorinormilla on lisäksi ominaisuudet (harjoitustehtävä) (.6) (.7) (.8) Ax A x, AB A B, A k A k, k =,,.... Kun halutaan korostaa, minkä vektorinormin avulla matriisinormi on määritelty käytetään vastaavaa merkkiä. Esimerkiksi A = max Ax ja A = max Ax. x = x = Riippuen valitusta vektorinormista matriisin normin laskeminen voi olla hankalaa tai helpompaa. - ja -normit ovat laskuissa monesti käteviä:
7 7 Lause.. Olkoon A C m n. Tällöin A = max j n i= a ij ja A = max i m n a ij j= Tod. Jos x = n k= x k =, niin n n Ax = (Ax) i = a ik x k a ik x k i= i= k= i= k= n n = x k a ik x k max a ij = max j n j n k= i= k= i= Siten A max m j n i= a ij. Toisaalta, jos l on siten, että a i l = max a ij, j n niin i= joten A max j n m i= a ij. i= [ Ae l a l =. = a m l a i l, -normia koskeva väite jätetään harjoitustehtäväksi. i= a ij. Tehtävä.. Millaisia yleisesti päteviä epäyhtälöitä saat matriisin A C n n normien A, A ja A välille? Katso vastaavien vektorinormien välisiä epäyhtälöitä (tehtävä??). Seuraava tärkeä tulos tulee käyttöön vielä useasti. Loppupuolella esitämme sille myös toisen todistuksen. Lause.3. Olkoon A C n n siten, että A <. Tällöin I A on invertoituva ja (I A) A. Tod. Jos I A ei ole invertoituva, niin on olemassa x C n siten, että x = ja (I A)x = 0. Tällöin A Ax = x =, mikä on ristiriita. Jos x = ja v = (I A) x, niin Siten v A. = (I A)v v Av v A v = ( A ) v. i= Häiriöalttius. Kun käytännön tehtävissä päädytään lineaariseen malliin Ax = b, niin usein yhtälöiden kertoimissa ja datassa eli matriisin A tai vektorin b alkioissa, on epävarmuutta. Kertoimet on voitu saada esimerkiksi mittausten tuloksena. Halutaan tietää,
8 8 miten suuri virhe tästä voi aiheutua ratkaisuun x. Tarkastellaan ensin, miten δb :n suuruinen häiriövektori oikean puolen vektorissa vaikuttaa ratkaisuun. Merkitään δx :llä ratkaisuvektorin muutosta. Vähentämällä yhtälöt Ax = b ja A(x + δx) = b + δb puolittain, saadaan δx = A δb. Siten absoluuttisen virheen normille saadaan yläraja (.9) δx A δb. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun voi kerroinmatriisia skaalaamalla saada pienemmäksi, jolloin myös absoluuttinen virhe pienenee. Paremmin ratkaisun virhettä kuvaakin suhteellinen virhe δx / x. Koska (.0) b A x niin epäyhtälöistä (.9) ja (.0) saadaan suhteelliselle virheelle yläraja-arvio Tämän perusteella asetetaan Määritelmä.3. Matriisin häiriöalttius on δx x A A δb b. κ(a) = A A. Suuri häiriöalttius merkitsee siten, että pienikin suhteellinen virhe b :ssä voi aiheuttaa ratkaisuun x suuren epävarmuuden. Aivan vastaavasti voidaan tarkastella matriisin A häiriön δa aiheuttamaa virhettä ratkaisuun, ja saadaan δx x + δx κ(a) δa A. Häiriöalttius riippuu (hieman) siitä, missä matriisinormissa (ja vastaavassa vektorinormissa) asioita mitataan. Koska = I = AA A A, saadaan κ(a) jokaiselle (invertoituvalle) matriisille normista riippumatta. Huomaa, että (toisin kuin determinantti) häiriöalttius ei riipu matriisin skaalauksesta: κ(αa) = αa (αa) = α A α A = A A = κ(a). Unitaariselle matriisille U pätee Ux = x, joten U = ja samoin U = U =, joten κ (U) =. Siten unitaarisen matriisin häiriöalttius (-normissa mitattuna) on pienin mahdollinen. [ [ Esimerkki.4. ε Lasketaan κ (A), kun A =. Nyt A ε = /ε /ε joten häiriöalttiudeksi saadaan lauseella. (kun ε (0, ) ) κ (A) = A A = ( + /ε) = + /ε, joka on suuri ε :n ollessa pieni.
9 9 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola Tässä voi olla hiukan eri merkintöjä kuin edellisessä luvussa. Ainakin edellä esiintyneen A :n sijasta käytämme A :a.. Ortogonaalisuus, matriisityyppejä ja spektrejä Reaalinen Kompleksinen Symmetrinen: A T = A Hermiittinen: A T = A Vinosymmetrinen: A T = A A T = A Ortogonaalinen: A T = A A T = A. Merkintöjä: A = A T, usein merkitään myös A, myös A H esiintyy ("hermitointi"). Merkintä A on sama kuin Matlab:ssa. Käyttämällä merkintää A (tai vastaavaa synonyymia), voidaan yllä olevat ehdot lausua yhtenäisesti: Hermiittinen tai symmetrisen ehto on: A = A, jne. Aloitamme lemmalla, joka on hyödyllinen monissa seuraavissa todistuksissa. Huomaa, että vaikka olisimme kiinnostuneita vain reaalisista matriiseista, on alla olevat laskut suoritettava kompleksiluvuilla, koska ominaisarvot ja ominaisvektorit saattavat sisältää kompleksilukuja. Lemma.. Olkoon A (m n)- matriisi ja olkoot u C n ja v C m. Tällöin Au, v = u, A v. Tod. Au, v = (Au) T v = u T A T v. Koska A T = A, voidaan yhtälöketjua jatkaa: = u T A v = u, A v. Siinäpä se... Ortogonaaliset matriisit. Ortogonaalisen matriisin prototyyppi on tason kierto. Lause. (KRE Thm. 3). Reaalinen matriisi A on ortogonaalinen, jos ja vain jos sen rivit muodostavat ortonormaalin joukon, jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin joukon. Tod. Eipä muuta, kuin ajatellaan matriisitulon määritelmää yhtälössä A T A = I. Jos merkitään rivivektoreita a i. ja sarakevektoreita a.j, niin (A T A) ij = a T i. a.j = a.i a.j
10 0 Jos merkitään δ ij :llä ns. Kroneckerin deltaa, joka lyhyesti sanottuna tarkoittaa yksikkömatriisin alkiota (I) ij, niin ehto A T A = I merkitsee samaa kuin (A T A) ij, joka siis on sama kuin a.i a.j = δ ij, eli sarakevektorien ortonormaalisuus. Rivivektoreilla aivan vastaavasti tarkastelemalla tuloa AA T = I. Muistamme käänteismatriisin yhteydestä, että jo toinen ehdoista AA T = I tai A T A = I takaa käänteismatriisin olemassaolon, eli sen toisen puolen. Siten implikaatio kulkee sarakkeista tai riveistä ortogonaalisuuteen niinikään. Lause.3 (KRE s. 38, Lop. s. 730). Ortogonaalinen kuvaus säilyttää sisätulon ja siten vektorin normin, ts. Au, Av = u, v. Tod. Olkoon u = Aa, v = Ab. u, v =Aa, Ab = A Aa, b = a, b, koska AA = I. Erityisesti u = u, u = a, a = a. Determinanttien kertosäännöstä ja transposisäännöstä seuraa heti: Lause.4. Ortogonaalisen matriisin det = ±. Lause.5. Ortogonaalisen matriisin ominaisarvot ovat yksikköympyrällä, ts, λ = kaikille ominaisarvoille λ. Tod. Kuten edellä totesimme, Au = u. Jos u, λ on omisarvo/-vektoripari, niin Au = λu, u 0. u = Au = λ u. Koska u 0, voidaan sillä jakaa, ja saadaan λ =. Huomautus.. Yllä oleva todistus menee sanasta sanaan myös unitaariselle... Symmetrinen (hermiittinen) ja vinosymmetrinen matriisi. Lause.6 (Lop s. 73, KRE8 s. 387). (Hiukan eri muodot) Olkoon A symmetrinen reaalinen matriisi. () A:n ominaisarvot ovat reaaliset, vinosymmtrisen puhtaasti imaginaariset () A:n eri ominaisarvoja vastaavat ominaivektorit ovat ortogonaaliset. (3) A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa jopa ortonormaali kanta R n :lle. (4) A on diagonalisoituva, diagonalisoiva matriisi voidaan valita ortogonaaliseksi, ts. voidaan kirjoittaa A = SDS T, missä S on ortogonaalinen. Tod. () Olkoon Ax = λx, x 0.
11 Huomaa, että seuraavat laskut on tehtävä kompleksiluvuilla, koska emmehän voi todistuksessa käyttää väitettä hyväksi! :-) Turvaudumme tuohon mainioon lemmaan, jonka jälkeen kaikki risuaidat saadaan jättää taakse. Ax, x = λ x, x = λ x. Tuon mainitun mainion mukaan vasen puoli on: x, A x = x, Ax = x, λx = λ x, x. Siis λ x = λ x, josta jakamalla x : lla ( 0) saadaan λ = λ, eli λ R. Vinosymmtrinen tapaus menee aivan samoin, paitsi -merkki, joka antaa johtopäätöksen: λ = λ, joka merkitsee sitä, että reaaliosa on nolla, kuten väitettiin. () Olkoon Ax = λx, Ay = µy, λ µ. Ax, y = x, Ay Ax, y = λx, y = λ x, y x, Ay =x, µy =µ x, y (µ = µ). Koska λ µ, on oltava x, y = 0. (3) Tämä on syvällisempi tulos, todistetaan kylläkin L3:ssa (kts. [TE), perustuu ns. Schur'n hajoitelmaan. (4) Kanta voidaan valita ortonormaaliksi, koska eri ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat keskenään ortogonaalisia. Kussakin ominaisavaruudessa voidaan suorittaa edellä esitetty Gram-Schmidt'n ortonormalisointi, jolloin saadaan koko avaruuden ON kanta. 5 5 ON: ortonormaali, OG: ortogonaalinen
1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Lisätiedot1. Ominaisarvot ja -vektorit
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 004. 4. marraskuuta 004 Heikki Apiola Kirjallisuutta. [KRE Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed.,wiley,1999. [Lay Lay. Linear Algebra, 3 rd ed.,addison
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
LisätiedotLINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot